Chuyªn ®Ò: Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn PhÇn I:A. Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn.[r]
(1)Chuyên đề: Phơng trình nghiệm nguyên Phần I:
Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên
A Tóm tắt lý thuyết 1.Số số nghuyên tố chẵn
2.Phng trỡnh c đa dạng f(x).g(x) = k với f(x) g(x) đa thức hệ số nguyên Ta phân tích k thừa số nguyên tố giải hệ phơng trình
( ) ( ) f x m g x n
víi m.n = k.
3.Phơng trình đối xứng ẩn x, y, z Khi tìm nghiệm nguyên dơng ta giả sử x y z
4.Kh«ng tån số phơng nằm hai số phơng liên tiếp B dạng toán Thờng gặp
Dạng 1: Sư dơng phÐp chia hÕt vµ chia cã d.
Hai vế phơng trình nghiệm nguyên chia cho số có số d khác phơng trình khơng có nghiệm ngun.
VÝ dơ 1: Tìm nghiệm nguyên phơng trình sau x2 2y2 (1) Giải:
Rõ ràng x = y = lµ nghiƯm cđa (1)
NÕu x y0, 0 vµ ( , )x y0 lµ nghiƯm cđa (1) Gäi d ( , )x y0 , suy
0 , 1. x y d d
Ta cã:
2
2 0
0 2
x y x
x y
d d d
ch½n
2
0
2 y x
d d
chẵn, vô lý Vậy phơng trình (1) có nghiệm nguyên (0,0)
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phơng trình sau x2 2y2 (1) Giải:
1)NÕu x5 th×
2 2
2y x 5 y5 x 2y 25
v« lý
2)Nếu x5thì từ y5 ta có x2 1(mod 5)vày2 1(mod 5)suy
2 2 1, 3(mod 5)
x y Vậy phơng trình không cã nghiƯm nguyªn
Ví dụ 3: Chứng minh tổng bình phơng ba số nguyên phép chia cho khơng thể có d từ suy phơng trình 4x225y2144z2 2007 khơng có nghiệm nguyên.
Gi¶i:
(2)2 7,6,3(mod8)
y z nhng y2z20,1, 2, 4,5,(mod8) v« lý VËy x2y2z27(mod 8)
Phơng trình cho viết:(2 )x 2(5 )y 2(12 )z 6 125 7 Từ suy phơng trình khơng có nghiệm nguyờn
Ví dụ 4: Giải phơng trình sau tËp sè nguyªn:
4 4
1 2008 x x x
Gi¶i: 1)NÕu x = 2k th× x16.
2)Nếu x = 2k + x41 ( x1)(x1)(x2 1) 16, (x1)(x 1) (x2 1) Vậy x4 0;1(mod16) Do chia tổng
4 4
1
x x x cho 16 có số d không vợt
quỏ 7, 2008 8(mod16) Suy phơng trình khơng có nghiệm ngun Dạng 2: Phơng pháp phân tích.
T×m nghiệm nguyên phơng trình: a( x+ y ) + b = cxy ( víi a, b, c Z ) (1)
Ta cã: (1)
2
( ) a( ) a
cxy ay b y cx a cx a b
c c
2 (cx a cy a)( ) a bc
Phân tích a2bc m n với m, n Z, sau lần lợt giải hệ:
cx a m cy a n
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình: 2(x y ) 16 xy Gi¶i:
Ta cã: 2(x y ) 16 3 xy3xy 2x 2y16
2
(3 2) (3 2) 16 (3 2)(3 2) 52
3
y x x x y
Giả sử:x y 3 x 3 y 52 = 1.52 = 2.26 = 4.13 ta có hệ sau:
3 ; 52
x y
3 2 ; 26
x y
3 ; 13
x y
Giải hệ ta đợc nghiệm nguyên dơng phơng trình là: ( 1, 18); ( 18, 1); ( 2, 5); ( 5, 2);
VÝ dô 2: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: (2 1)(2 ) 105
x
x y y x x
Giải:
Vì 105 số lẻ nên 2x5y1lẻ suy y chẵn mà x2 x x x( 1) chẵn nên 2x lẻ x =
(3)5 21 y y
hc
5 21
4
y
y y
Thư l¹i ta thÊy x = 0, y = - nghiệm
nguyên phơng trình
Ví dụ 3: Tìm tất tam giác vuông có cạnh số nguyên có diƯn tÝch b»ng chu vi.
Gi¶i:
Gäi x, y, z cạnh tam giác vuông : 1 x y z Ta cã:
2 2 (1)
2( )(2)
x y z xy x y z
Tõ (1) ta cã: z2 (x y )2 2xy(x y )2 4(x y z )
2
2
( ) 4( ) 4
( 2) ( 2)
x y x y z z
x y z
2
x y z
(x y 2) Thay z x y 4 vào (2) ta đợc:
4
4 12
( 4)( 4)
4
4
x x
y y
x y
x x
y y
cặp: ( , , ) (5,12,13);(6,8,10);x y z
Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: p x y( )xy. với p số nguyên tố.
Giải:
Ta có:
2 2
( )
p x y xy xy px py p p x p y p p
Mà p2 p p ( p).( p) 1. p2 ( p2).( 1) Từ phơng trình cho có nghiệm nguyên là: ( , ) (0,0);(2 , );(x y p p p1,p2p);(p2p p, 1);(p p p 2, 1);(p1,p p 2); Dạng 3: Phơng trình đối xứng.
Để tìm nghiệm nguyên phơng trình đối xứng ta giả sử x y z rồi chặn ẩn.
VÝ dô 1: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x y z xyz (1) Giải:
Vì x, y ,z có vai trò nh nên ta giả sử x y z Tõ (1) suy ra:
2
1 1
1 x
xy yz zx x
Víi x = ta cã
1
1 ( 1)( 1)
1
y y
y z yz y z
z z
(4)Vậy (1) có nghiệm nguyên dơng ( x, y, z ) = ( 1, 2, ) hoán vị Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: 5(x y z t ) 10 2 xyzt(1)
Gi¶i:
Vì x, y ,z có vai trò nh nên ta gi¶ sư x y z t 1 Tõ (1) suy ra:
3
1
5 5 10 30
2
2 t t xyz xzt xyt xyzt t
*)Víi t1ta cã:
2
1
5 5 15 30
5( ) 15 2 15
3 z
x y z xyz z z
xy yz xz xyz z
z
1)Víi z = ta cã:
2 65 35
2
5( ) 20 (2 5)(2 5) 65
2 13
2 5
x x
y y
x y xy x y
x x
y y
Ta cã c¸c nghiƯm( x, y, z, t) =( 35, 3, 1, ),( 9, 5, 1, ) hoán vị chúng, 2) Với z = 2, z= 3, phơng trình nghiệm nguyên dơng
*) Với t2, ta có:
2
5 5 20 35 35
5( ) 20 4
4
x y z xyz z
xy yz xz xyz z
2 z
v× (z t 2).
Khi đó: 5(x y ) 30 8 xy (8x 5)(8y 5) 265.
Do x y z t nªn 8x 8 y 11 , mµ 265 = 53.5 Trêng hợp phơng trình nghiệm nguyên dơng
Ví dụ 3: Một tam giác có số đo độ dài đờng cao mhững số nguyên dơng và đờng trịn nội tiếp tam giác có bán kính Chứng minh tam giác là tam giác đều.
Gi¶i:
Đặt a = BC, b = CA, c = AB Gọi độ dài đờng cao ứng với cạnh a, b, c tam giác
Bán kính đờng trịn nội tiếp nên x, y, z > Giả sử x y z > Diện tích tam giác ABC:
1 1
(1)
2 2
S a x b y c z
Mặt khác:
1
( )(2)
2
AOB BOC AOC
SS S S a b c
Tõ (1) vµ (2) Suy ra:
1 1 1
a b c a b c a x b y c z a b c a b c
x y z x y z
(5)1 1
1 z z
x y z z
Thay z = vµo
1 1 x y z
ta đợc:
2
( )
2
1
3( ) (2 3)(2 3)
3 3
2 3
x x
Loai
y y
x y xy x y
x y x x
y y
Vậy x = y = z = 3, a = b = c Vậy tam giác ABC tam giác Dạng 4: Phơng pháp loại trừ.
TÝnh chÊt: Nếu có số nguyên m cho m2 n(m1)2thì n số chính phơng.
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: 1! 2! 3! 4! x!y2 Gi¶i:
Víi x x! có chữ số tận nªn:
1! 2! 3! 4! 5! x! 33 5! x!
Có chữ số tận nên khơng thể số chinh, Vậy x phơng trình cho khơng có nghiện ngun dơng
Víi x < 5, b»ng c¸ch thư trùc tiếp x = 1, 2, 3, phơng trình có nghiệm (1,1) (3,3)
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x6 3x3 y4 Giải:
Râ rµng x = 0, y = lµ nghiệm nguyên phơng trình +)Với x > ta cã:
3 6 3
(x 1) x 2x 1 x 3x 1 y (x 2) x 1 y x 2 ( v« lý ).
+)Víi x - th× :
3 3 (x 2) y (x 1) x 2 y x 1
( vô lý ) +)Với x = - : y4 1, ( v« lý )
Vậy phơng trình cho có hai cặp nghiệm ( 0; ); ( 0; -1 )
VÝ dơ 3: T×m nghiệm nguyên phơng trình: x2(x1)2 y4(y1) Giải:
Khai triển rút gọn hai vế ta đợc:
4 2 2
2 2
( 1) ( 1) ( 1)
1 ( 1) (1)
x x y y y y x x y y y y
x x y y
(6)+)NÕu x < - th× tõ (x1)2 1 x x2 x2suy ra(1) nghiệm nguyên
+)Nếu x = x = - từ (1) suy
2 1 1
1 y y y
y
.
Vậy phơng trình cã nghiƯm nguyªn ( x; y ) = ( 0; ); ( 0; -1 ); ( -1; ); (-1; -1 ); Dạng 5: Phơng pháp xuống thang.
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x3 3y3 9z3 0 Gi¶i:
Giả sử x y z0, ,0 0 nghiệm nguyên phơng trình x03đặt x0 3 x1 thay
x x vào (1) ta đợc: 9x13 y03 9z03 0 y03 đặt y0 3y1 z03,khi đó:
3 3 3
1 1 0
9x 27y 3z 0 3x 9y z 0 z 3.đặt z0 3z1 đó: x13 3y13 9z13 0.
VËy
0 , 0, 3 x y z
nghiệm phơng trình.
Quỏ trỡnh tiếp tục đợc:
0, 0, 3 3k k k
x y z
là nghiệm nguyên (1) với k
điều xảy x0 y0 z0 0.VËy ( 0, 0, ) lµ nghiƯm nhÊt cđa
phơng trình ó cho
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x2y2z2t2 2xyzt(1) Giải:
Gi s x y z t0, , ,0 0 nghiệm nguyên phơng trình đó: 2 2
0 0 0 0(1)
x y z t x y z t lµ số chẵn nên số x y z t0, , ,0 0 0 ph¶i cã sè
chẵn số lẻ (0; ) +)Nếu x y z t0, , ,0 0 lẻ
2 2 0 0
(x y z t ) 4 , 2x y z t0 0 04.
+)NÕu c¸c sè x y z t0, , ,0 0 có hai số lẻ
2 2 0 0
(x y z t )2(mod 4), trong
khi 2x y z t0 0 04 Vậy x y z t0, , ,0 0phải số chẵn,
đặt x0 2 x1 ,y0 2 y1 ,z0 2 z1 ,t0 2 t1 phơng trình trở thành: 2 2
1 1 1 1(1)
x y z t x y z t
Lý luËn t¬ng tù ta cã: x22 y22z22t22 8x y z t2 2 2(1)
Víi
1 1
2 , , , ,
2 2
x y z t
x y z t
tiÕp tôc ta cã:
0 , 0, , ,
2 2
n n n n n n n n
x y z t
(7)Lµ sè nguyên vơi n, điều xảy x0 y0 z0 t0 0.VËy ( 0, 0, 0, )
là nghiệm phơng trình ó cho
Dạng 6: Hạn chế tập hợp chứa nghiệm dựa vào điều kiện ẩn. Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình: x y 50
Gi¶i:
Ta thÊy 0x y, 50 tõ y 50 x ta cã y 50 x 50x 50 x 10 x
Vì y nguyên nên 2x4k2 x2 (k2 kZ)với 2k2 50 k2 25.(kZ) k nhận giá trị: 0; 1; 2; 3; 4; Lựa chọn k số để thoả mãn ph -ơng trình ta đợc nghiệm: ( ; ) (0;50);(2;32);(8;18);(18;8);(32;2);(50;0)x y
Dạng 7: Một số dạng khác.
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: 3x25y212(1) Giải:
Ta cã: (1) 3(x21) 5(3 y2).Do (3, 5) = nên(x2 1) 5.và (3 y2) 3. Đặt x2 1 k ,3 y2 3 l Ta cã: 3.5k5.3l k l k l Z ( , )
Do đó:
2
1
1
3 1
x k k
k l
y l l
Vậy x = 2, y = Phơng trình cã hai nghiƯm nguyªn ( 2, ); ( -2, )
Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x2 4xy5y2 16 Giải:
Tac có: x2 4xy5y2 16 (x )y 2y2 16
V×: 16 4 202 nªn
2
0 x y y
hc
2
4 x y y
Giải hệ phơng trình ta đợc nghiệm nguyên phơng trình là:
( ; ) (4;0);( 4;0);(8; 4);( 8; 4);x y
Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: 3(x2xy y 2) x y Giải:
Phng trình cho đợc viết lại là: 3x2(3y 1)x3y2 8y 0(1) Phơng trình (1) có nghiệm khi:
2 2
(3y 1) 12(3y ) 0y 27y 90y
(8)+)Víi y = ta cã x = +)Víi y = ta cã x =
+)Với y = y = ta có khụng tỡm c x nguyờn
Vậy phơng trình có hai nghiệm nguyên ( x ; y ) = ( ; ); ( ; );
Phần II: Bài tập
Dạng 1: Sử dụng phép chia hết chia có d.
Giải phơng trình tập số nguyên. a)x2 3y2 17 b)x2 5y2 17 c)x2 2y2 1 d)2x122 y2 32 e)15x2 7y2 f)x22x4y2 37 Dạng 2: Phơng pháp phân tích.
Giải phơng trình tập số nguyên. a)5(x y ) 3 xy b)2(x y ) 3 xy c)x2 y2 91
d)x2 x y2 e)x2 y2 169 e)x2 y2 1999
Dạng 3: Phơng trình i xng.
Tìm nghiệm nguyên dơng phơng tr×nh sau.
a)x y 1 xyz b)x y z xyz c)x y z t xyzt
d)
1
x y . e)
1 1 1
x yz t . f) 2 2
1 1
1 x y z t .
Dạng 4: Phơng pháp loại trừ.
Giải phơng trình tập số nguyªn.
a)x2 6xy13y2 100 b)1 x x2x3 y3 c)1 x x2x3x4 y2 d)x2 y y( 1)(y2)(y3) e)(x 2)4 x4 y3 f)x x( 1)(x7)(x8)y2 Dạng 5: Phơng pháp xuống thang.
Giải phơng trình tập số nguyên.
a)x3 2y3 4z2 b)8x44y42z4 u4 c)x2y2z2 2xyz Dạng Dạng 7.
Giải phơng trình tập số nguyên.
a)(x y 1)2 3(x2y21) b)x22y22z2 2xy 2yz 2z4 c)
1
1
2
x y z x y z
PhÇn III: KÕt luËn.
(9)đánh giá, nhận xét đồng chí hội đồng khoa học Phịng giáo dục Hiệp Hồ, để chuyên đề đợc đầy đủ góp phần vào việc thi giáo viên giỏi cấp tỉnh huyn t kt qua cao
Xin chân thành cảm ơn !
Hùng Sơn, ngày 21 tháng 02 năm 2008
Ngêi viÕt