một số chuyên đề, bài viết về hình học phẳng

một số chuyên đề, bài viết về hình học phẳng tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất...

Cácchuyênđề,bàiviếtdướiđâydo laisacsưutầmtrênInternetrồibiên soạn,cắtxén vàdánthànhhai filetổnghợpvớimụcđíchphụgiúp(thờigiantìmkiếm)chocácemởđộituyểntrườngTHPTchuyên L.V.C.Vìkhôngliênhệđược trựctiếpvớicáctácgiảđểxinphép,mongthôngcảm! 1.ĐịnhLý Ceva ChotamgiácABC.D,E,FlầnlượtnằmtrêncáccạnhBC,AC,AB.Chứngminhrằngcácmệnhđề saulàtươngđương: 1.1 AD,BE,CFđồngquytại mộtđiểm. 1.2 · · · · · · sin sin sin . . 1 sin sin sin ABE BCF CAD DAB EBC FCA = . 1.3 . . 1 AE CD BF EC DB FA = . Chứngminh: Chúngtasẽchứngminhrằng1.1dẫnđến1.2,1.2dẫn đến1.3,và1.3dẫnđến1.1. Giảsử1.1đúng.GọiPlàgiaođiểmcủaAD,BE,CF. TheođịnhlýhàmsốsintrongtamgiácAPD,ta có: · · · · sin sin . sin sin ABE ABP AP BP DAB BAP = = (1) Tươngtự,tacũngcó: · · sin ; sin BCF BP CP EBC = (2) · · sin . sin CAD CP AP FCA = (3) Nhântừngvếcủa(1),(2),(3)tađược1.2. Giảsử1.2đúng.TheođịnhlýhàmsốsintrongtamgiácABDvàtamgiácACDta có: · · · · sin sin ; . sin sin ADB AB CAD CD DB CA BAD ACD = = Dođó: · · sin . . sin CAD AB CD CA DB BAD = · · ( ) 0 180BDA ADC + = (4) Tươngtự,tacũngcó: · · sin . . sin BCF CA BF BC FA FCA = (5) www.laisac.page.tl M M Ộ Ộ T T S S Ố Ố C C H H U U Y Y Ê Ê N N Đ Đ Ề Ề , , B B À À I I V V I I Ế Ế T T V V Ề Ề H H Ì Ì N N H H H H Ọ Ọ C C P P H H Ẳ Ẳ N N G G ( ( T T ậ ậ p p I I : : V V Ậ Ậ N N D D Ụ Ụ N N G G T T Í Í N N H H C C H H Ấ Ấ T T , , Đ Đ Ị Ị N N H H L L Ý Ý N N Ổ Ổ I I T T I I Ế Ế N N G G ) ) · · sin . . sin ABE BC AE AB EC EBC = (6) Nhântừngvếcủa(4),(5), (6)tađược1.3. Giảsử1.3đúng,tagọi 1 , .P CF BE D AP BC = = I I Theo1.1và1.2,tacó: 1 1 . . . . 1 CD AE BF AE CD BF EC D B FA EC DB FA = = hay: 1 1 . CD CD D B DB = Dođó: 1 D D º . Nhậnxét. VớiđịnhlýCeva,tacóthểchứngminhđượccácđườngtrungtuyến,đườngcao,đườngphângiác trongcủatamgiácđồngquytạimộtđiểm.Cácđiểmđólầnlượtlàtrọngtâm(G),trựctâm(H),tâm đườngtrònnộitiếptamgiác(I).NếuđườngtrònnộitiếptamgiácABCcắtAB,BC,CAlầnlượtlàtại F,D,E.Khiđó, tacó:AE=AF; BF=BD;CD=CF.BằngđịnhlýCeva,tachứngminhđượcAD,BE,CF đồngquytạimộtđiểm,điểmđógọilàđiểm Gergonne (Ge) củatamgiácABC(hìnhdưới). Lưuý:ĐịnhlýCevacóthểđượcsuyrộngbởinhữnggiaođiểmnằmngoàitam giácABC mà khôngnhấtthiếtphảinằmtrongnó.Vìvậy,cácđiểmD,E,FcóthểnằmngoàicáccạnhBC,CA,AB nhưhìnhbên. VídụsausẽchothấyrõtácdụngcủađịnhlýCeva. Bàitoán. [IMO2001ShortList]ChođiểmA 1 làtâmcủahìnhvuôngnội tiếptamgiácnhọnABCcó haiđỉnhnằmtrêncạnhBC.CácđiểmB 1 ,C 1 cũnglầnlượtlàtâmcủacáchìnhvuôngnộitiếptamgiác ABCvớimộtcạnhnằmtrên ACvàAB.ChứngminhrằngAA 1 ,BB 1 ,CC 1 đồngquy. Lờigiải: GọiA 2 làgiaođiểmcủaAA 1 vàBC.B 2 vàC 2 đượcxác địnhtươngtự. Theođịnhlýhàmsố sin,ta có: · · 1 1 1 1 sin sin SA SAA AA A SA = hay · µ ( ) 1 2 0 1 sin sin 45 SA BAA AA B = + Tươngtự: · µ ( ) 1 2 0 1 sin sin 45 TA CAA AA C = + hay µ ( ) · 0 1 1 2 sin 45 sin C AA TA CAA + = .Dođó, tađược: · · µ ( ) µ ( ) 0 2 1 1 0 1 1 2 sin 45 sin . . 1. sin sin 45 C BAA AA SA TA AA CAA B + = = + (1) Chứngminhhoàntoàntươngtự, ta cũngđược: · · µ ( ) µ ( ) 0 2 0 2 sin 45 sin . 1. sin sin 45 B BCC ACA A + = + (2) · · µ ( ) µ ( ) 0 2 0 2 sin 45 sin . 1. sin sin 45 A ABB CBB C + = + (3) Nhântừngvếcủa(1), (2), (3) kếthợpđịnhlýCevatađượcđiềucầnchứngminh. Bàitập ápdụng: 1. QuacácđiểmAvàDnằmtrênđườngtròn kẻcácđườngtiếptuyến,chúngcắtnhautại điểmS.TrêncungADlấy cácđiểmA vàC. CácđườngthẳngACvàBDcắtnhautạiđiểmP, các đườngthẳngABvàCDcắtnhautạiđiểmO.ChứngminhrằngđườngthẳngPQchứađiểmO. 2. Trên cáccạnhcủatamgiácABCvềphía ngoàitadựngcáchinhvuông.A 1 ,B 1 ,C 1 , là trungđiểm cáccạnh của các hìnhvuôngnằmđốinhauvới cáccạnhBC,CA,ABtươngứng. ChứngminhrằngcácđườngthẳngAA 1 ,BB 1 ,CC 1 đồngquy. 3. Chứngminhcácđườngcao,đườngtrungtuyến,tâmđườngtrònnộitiếp,ngoạitiếptam giácđồngquy tạimộtđiểm. 4. Trên cáccạnhBC,CA,ABcủatamgiácABClấycácđiểmA 1 ,B 1 ,C 1 saochocácđường thẳngAA 1 ,BB 1 ,CC 1 đồngquy tạimộtđiểm.ChứngminhrằngcácđườngthẳngAA 2 ,BB 2 ,CC 2 đốixứngvớicácđườngthẳngđó quacácđườngphângiáctươngứng,cũngđồngquy. 2.ĐịnhLýMenelaus ChotamgiácABC.Cácđiểm H,F,GlầnlượtnằmtrênAB,BC,CA.Khiđó: M,N, Pthẳnghàngkhi vàchỉkhi . . 1. AH BF CG HB FC GA = - Chứngminh: Ø Phầnthuận: Sửdụngđịnhlýsintrongcáctam giácAGH,BFH,CGF, tađược: · · · · · · sin sin sin ; ; sin sin sin AH AGH BF BHF CG GFC GA HB FC AHG HFB CGF = = = . (vớilưuý rằng · · · · · · sin sin ;sin sin ;sin sin .AGH CGF AHG BHF HFB GFC = = = ) Nhântừngvếtađượcđiềuphảichứngminh. Ø Phầnđảo: Gọi ' .F GH BC = I Hoàntoàntươngtựta cóđược: ( ) ' . . . . 1 . ' AH BF CG AH BF CG HB F C GA HB FC GA = = - Hay ' ' BF BF F C FC = ,suyra '.F F º Nhậnxét.ĐịnhlýMenelauscó rấtnhiều ứngdụngtronggiảitoán.Nhiềuđịnhlýnổitiếngđược chứngminhmột cáchdễdàngnhờđịnhlýMenelausnhưđịnhlýCeva,Pascal,Desargues(sẽđượcnêu ởphầnbàitậpdướiđây). Vídụ: ChoA,B,C,D, E, F làcácđiểmnằmtrênmộtđường tròn (có thểkoxếptheothứ tựnhưtrên). Gọi , , .P AB DE Q BC EF R CD FA = = = I I I Chứng minhrằngP,Q, Rthẳnghàng. Chứngminh: Gọi , , .X EF AB Y AB CD Z CD EF = = = I I I ÁpdụngđịnhlýMenelauschoBc,DE,FA (đốivới tamgiácXYZ), ta có: ( ) . . . . . . 1 . ZQ XB YC XP YD ZE YR ZF XA QX BY CZ PY DZ EX RZ FX AY = = = - Dođó: . . 1 ZQ XP YR QX PY RZ = - .TheođịnhlýMenelausta đượcP, Q, Rthẳnghàng. Bàitập ápdụng: 1. ĐiểmPnằmtrênđườngtrònngoạitiếpcủatamgiácABC,A 1 ,B 1 ,C 1 lầnlượtlàchân đườngvuônggóchạtừ PxuốngBC,CA,AB.ChứngminhrằngA 1 ,B 1 ,C 1 thẳnghàng. 2. TrongtamgiácvuôngABCkẻ đườngcaoCKtừđỉnh của gócvuôngC,còntrongtam giácACKkẻđườngphângiácCE.D làtrungđiểm củađoạnAC,F làgiaođiểmcủacácđường thẳngDEvàCK.ChứngminhBF//CE. 3. CácđườngthẳngAA 1 ,BB 1 ,CC 1 đồngquy tạiđiểmO.Chứngminhrằnggiaođiểm của cácđườngthẳngABvà A 1 B 1 ,BC vàB 1 C 1 ,CA vàC 1 A 1 nằmtrênmộtđườngthẳng. 4. ChohaitamgiácABC,A’B’C’.NếucácđườngthẳngAA’,BB’,CC’đồngquy tạimột điểmO,thìcácđiểmP,Q,Rthẳnghàng,trongđó ' ', ' ', ' '.P BC B C Q CA C A R AB A B = = = I I I P Y Z R Q O F A C D E B X DIỆNTÍCHTAMGIÁCTHỦYTÚC IvanBorsenco Translator:DuyCuong. TrongToánhọc,HìnhHọcluôngiảiquyếtcácbàitoánvớinhữngkếtquảchínhxácvàhấpdẫn.Bài viếtsauđâytrìnhbàyvềmột trongnhữngkếtquảtuyệtđẹptrongbàitoánhìnhhọc–ĐịnhlýEulercho tamgiácthùytúcvàứngdụngcủanó.Chúngtahãybắtđầuvớiphépchứngminhđịnhlý,sauđócùng nhauthảoluậncácBàitoánOlympiad. Địnhlý1.ChoC(O,R)làđườngtrònngoạitiếptamgiácABC.XétmộtđiểmMtuỳýnằmtrong tamgiác.KýhiệuA 1 ,B 1 , C 1 làhìnhchiếucủaMlêncácmặtcủatamgiácthì 1 1 1 2 2 2 . 4 A B C ABC R OM S S R - = Chứngminh. ĐầutiêntađểýrằngAB 1 MC 1 ,BC 1 MA 1 ,CA 1 MB 1 lànhữngtứgiácnộitiếp.Ápdụng định lý Cauchy mở rộng vào tam giác AB 1 C 1 ta được 1 1 sinB C AM a = . Tương tự, ta được 1 1 sinAC BM b = và 1 1 sinB C CM g = .Từđósuyra: 1 1 1 1 1 1 , , . 2 2 2 B C AM AC BM A B CM BC R AC R BC R = = = GiảsửAM, BM, CMcắtđườngtròn C(O,R) tại X, Y,Z. Tacó: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 .A B C A B M MB C ACM MAC ZYB BYX ZYX Ð = Ð + Ð = Ð + Ð = Ð + Ð = Ð Tương tự, 1 1 1 B C A YZX Ð = Ð và 1 1 1 .B AC YXZ Ð = Ð Dođó, 1 1 1 A B C D đồngdạngvới XYZ D và 1 1 11 1 . A B C R A B XY R = Mặtkhác, MAB D đồngdạngvới MYX D nêntacó . XY MX AB MB = Từcáckếtquảthuvềtađược: 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 . . . . . . . . . 2 2 4 4 A B C ABC A B C R OM S R A B B C AC MX MA MB MA MX S R AB BC AC MB R R R R - = = = = Từđótacóthểthấybiểuthứctrênkhôngphụthuộcvàovịtríđiểm M(kểcảtronghayngoàiđường tròn). Hệquả1:Nếu M nằmtrênđườngtròn,hìnhchiếucủaMlêncáccạnhtamgiácsẽthẳnghàng (ĐịnhlýSimson). Mộtđịnhlýnữamàchúngtôimuốngiớithiệu(khôngchứngminh)đếnbạnđọclàđịnhlý Lagrangenổitiếng. Địnhlý2 ChoMlàmộtđiểmnằmtrongmặtphẳngtamgiácABC vớibộsố ( , , )u v w .Vớimột điểm P bấtkỳnằmtrongmp(ABC).Tađược: 2 2 2 2 2 2 2 . . . ( ) . vwa uwb uvc u PA v PB w PC u v w PM u v w + + + + = + + + + + CáchchứngminhcóthểtìmthấykhiápdụngĐịnhlýStewartmộtsốlần.Địnhlýnàycómộthệquả rấthaykhi P trùngvớitâm OđườngtrònngoạitiếptamgiácABC.Khiđó,tađược: 2 2 2 2 2 2 . ( ) vwa uwb uvc R OM u v w + + - = + + TừhệquảnàykếthợpđịnhlýEulerchotamgiácthùytúc,tađượcđịnhlýsau: Địnhlý3:ChoMlàđiểmnằmtrongmặtphẳngtamgiácABC,vớibộsố(u,v,w).KýhiệuA 1 ,B 1 ,C 1 làhìnhchiếucủaMlêncáccạnhtamgiác.Tađược: 1 1 1 2 2 2 2 2 . 4 ( ) A B C ABC S vwa uwb uvc S R u v w + + = + + TừkếtquảtrênchúngtacóthểthấyĐịnhlý1vàĐịnhlý3đãđưachúngtanhậnthứcphầnnào về diệntíchtamgiácthùytúc.ĐịnhlýEulervềdiệntíchtamgiácthùytúcthậtsựlàmộtcôngcụtiệních choviệcgiải các bàitoán hìnhhọc. Ứng dụng đầu tiênmà chúngtôi sắp giớithiệu sauđây  nóivề nhữngđiểmBrocard Địnhngh ĩađiểmBrocard:TrongtamgiácABC,đườngtrònquaAvàtiếpxúcvới BCtại B,đường trònquaBvàtiếpxúcvớiACtạiCvàđườngtrònquaCtiếpxúcvớiABtạiA.Chúngcắtnhautạimột điểm,gọilàđiểmBrocard.Mộtcáchtổngquát,tacóhaiđiểmBrocard,điểmthứhaixuấthiệnkhita quayngượcchiềukimđồnghồsựtiếpxúccủacácđườngtròn. Bàitoán1:Cho 1 W và 2 W làhaiđiểmBrocardcủatamgiácABC.Chứngtỏrằng 1 2 O O W = W ,với OlàtâmđườngtrònngoạitiếptamgiácABC. Hướngdẫn: Từđịnhnghĩađiểm Brocard,tathấy: 1 1 1 1 AB BC CA w ÐW = ÐW = ÐW = ,tươngtự 2 2 1 2 BA AC CB w ÐW = ÐW = ÐW = .Tađichứng minh 1 2 w w = . Đểýrằng 1 2 1 1 1 2 . sin sin . sin sin B C ABC S B BC w w S AB BC b b W W = = vàtươngtự, 1 1 2 2 1 1 2 2 sin sin , . sin sin C A A B ABC ABC S S w w S S g a W W = = Cộngcácdiệntíchtađược: 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 sin sin sin 1 sin sin sin B C C A A B ABC S S S w w w S a b g W W W + + = = + + hay 2 2 2 2 1 1 1 1 1 sin sin sin sinw a b g = + + (1) Cáchtínhtươngtự,tacũngđược 2 2 2 2 2 1 1 1 1 sin sin sin sinw a b g = + + (2) Từ(1),(2)suyra 1 2 .w w w = = Ýtưởngchocáchchứngminhtrênbắt nguồntừĐịnhlýEulerchotamgiácthùytúc.Đểýrằng 1 W và 2 W luônnằmtrongtamgiácABC,bởivìmỗinửađườngtrònnhưtrênđềuthuộcmp(ABC).Từ đó, 1 W và 2 W luônnằmtrongtamgiác.Đểchứngminh 1 2 O O W = W tachứngminhdiệntíchtamgiác thùytúccủachúngbằngnhau.Nếuvậy,tacó 2 2 2 2 1 2 R O R O - W = - W .Từđósuyrađpcm. Kýhiệu 1 1 1 , ,A B Clầnlượtlàhìnhchiếucủa 1 W lêncáccạnhBC,CA,AB.Sauđó,sửdụngđịnhlý hàm Sin mở rộng, ta được 1 1 1 sinAC B b = W , vì 1 BWlà đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác 1 1 1 BA C W .CũngápdụngđịnhlýSinvàotamgiác 1 ABW tađược: 1 sin sin B c w b W = Dẫnđến: 1 1 1 sin sin .AC B b c w = W = Tươngtự,tacó 1 1 sinB C b w = và 1 1 sinA B a w = .Dễdàngtathấytamgiác 1 1 1 A B Cđồngdạngvới tamgiácABC theotỉsốđồngdạng sin w. Từ 1 2 w w w = = , ta kết luận được tam giác thùytúc chứa 1 W và 2 W có cùng diện tích. Suy ra 1 2 O O W = W . Chúý:Giaocủacácđườngđốitrungtrongtamgiáckýhiệulà KvàđượcgọilàđiểmLemoine.Ta có thểchứng minh được 1 2 K K W = W . Hơn thế nữa, các điểmO, 1 W , K, 2 W nằm trên đường tròn đườngkínhOKgọilàđườngtrònBrocard.ChúngtahãycùngnhautìmhiểumộtBàitoánthúvịkhác sauđây: Bàitoán2:ChotamgiácABC,kýhiệuO,I,Hlầnlượtlàtâmđườngtrònngoạitiếp,nộitiếpvà trựctâmcủatamgiácABC.Chứngminhrằng: .OI OH £ Hướngdẫn:NhiềucáchchứngminhsẽbắtđầutừOIhay OH,nhưngchúngtahãychọnmộthướng khác,đólàđặtdiệntíchnộitiếpvàoIvàH.Mộtcáchđơngiản,tâmđườngtrònnộitiếpluônnằmbên trongtamgiácA BC,vànếu OH R ³ ,tađượcđiềucầnchứngminh.Vìvậy,giảsử OH R < .Điềuđó dẫnđếntamgiácABClàtamgiácnhọn.Đểchứngminh OI OH £ tacóthểsửdụngđịnhlýEulercho tamgiácthùytúcvàchứngminhdiệntíchtamgiácthùytúctâmI, I S lớnhơndiệntíchtamgiácthùy túc tâmH, H S .Từđó,do I H S S ³ nên 2 2 2 2 R OI R OH - ³ - hay .OH OI ³ Bây giờ chúng ta hãy tìm cả hai diện tích. Ký hiệu 1 1 1 , ,A B Clần lượt là hình chiếu của H và 2 2 2 , ,A B C lầnlượtlàhìnhchiếucủaIlênBC,CA,AB.Tacó 1 1 1 , ,A B CnằmtrênđườngtrònEulerbán kính R/2,từđó: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . . 4. / 2 A B C A B B C C A S R = SửdụngđịnhlýSin,dễdàngtađược 1 1 1 1 1 1 cos , cos , cosB C a AC b A B c a b g = = = vàvìthế 1 1 1 .cos cos cos 2 cos cos cos . 2 A B C abc S S R a b g a b g = = Đểtínhdiệntíchtamgiác 2 2 2 A B C ,đểýrằng: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) (sin sin sin ) 2 4 A B C A IB A IC B IC r a b c S S S S r R a b g + + = + + = + + = . Mà sin sin sin 4 2 2 2R p a b g = Tađược: 2 2 2 2 2 sin sin sin . 4 2 2 2 A B C r S S S R a b g = = Từđóđủđểchứngminh sin sin sin cos cos cos . 2 2 2 a b g a b g ³ BâygiờchúngtahãysửdụngBấtĐẳngThứcJensenschohàmlõm : 0, , ( ) ln cos . 2 f R f x x p æ ö ® = ç ÷ è ø Từđó: ( ) ( ) ( ). 2 2 2 a b b c c a f f f f a f b f c + + + æ ö æ ö æ ö + + ³ + + ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø Vìvậy, ( ) ln sin sin sin ln cos cos cos 2 2 2 a b g a b g æ ö ³ ç ÷ è ø ,vàbàitoánđãđượcgiảiquyết. HaivídụkếtiếpđểhướngdẫngiảimộtcáchngắngọnmộtsốbàitoánOlympiadbằngcáchsửdụng ĐịnhLýEulervềtamgiácthùytúc. Bàitoán3: (OlympiadToánBalkan). Chotamgiácnhọn ABC.Kýhiệu 1 1 1 , ,A B Clàhìnhchiếucủatrọngtâm Glêncácmặtcủatamgiác. Chứngminhrằng: 1 1 1 2 1 . 9 4 A B C ABC S S £ £ Hướngdẫn:Nhưchúngtađãthấy,yêucâubàitoánhướngchúngtasửdụng trựctiếpđịnhlýEuler vềtamgiácthùytúc.Ápdụngngaytađược: 2 2 2 2 1 . 9 4 4 R OG R - £ £ Bấtđẳngthứcbênphảiluônđúng.Tađichứngminhbấtđẳngthứcbêntráiđúng.Nhớlạibiểuthức màchúngtađãbiết 2 2 2 9 (1 8cos cos cos )OG OH R a b g = = - VìtamgiácABCnhọnnêntacócos cos cos 0 a b g ³ ,dẫnđến8cos cos cos 0 a b g ³ . Vìvậy, 2 2 9OG R £ hay 2 2 . 9 R OG £ Đưađếnkếtluậnsau: Bàitoán4.(Toánđốixứng,IvanBorsenco)Vớiđiểm M bấtkìnằmtrongtamgiácABC,xác địnhbộba( 1 2 3 , ,d d d )lầnlượtlàkhoảngcáchtừ M đếncạnh , ,BC AC AB .Chứngminhrằngtậphợp cácđiểm M thỏamãnđiềukiện 3 1 2 3 . .d d d r ³ ,với r làbánkínhđườngtrònnộitiếptamgiác,nằm trongvòngtròntâm O bánkính OI . Lờigiải. Gọi 1 1 1 , ,A B C làhìnhchiếucủa M trêncáccạnh , ,BC AC AB .Xét 1 1 1 A B CV làtamgiácthùytúccho điểm M,tacó ¼ ¼ ¼ 1 1 1 1 1 1 180 , 180 , 180B MC A MC A MB a b g = - = - = - ,nên: 1 1 1 1 2 3 1 3 1 2 2 2 . .sin . .sin . .sin A B C  S S d d d d d d a b g = = + + V Viếtgọnlại,tađược: 1 1 1 1 2 3 1 1 2 3 . . 2 2 . . 2 A B C  d d d a b c S S R d d d æ ö = = + + ç ÷ è ø V Màtađãbiết: 1 2 3 2 2 . . . . ABC S S a d b d c d = = + + V ÁpdụngBĐTCauchySchwarztađược: ( ) ( ) 2 1 2 3 1 2 3 1 1 2 3 1 2 3 . . . . . 4 . . . . . 2 2 d d d a b c d d d a b c S S a d b d c d R d d d R + + æ ö = + + + + ³ ç ÷ è ø SửdụngđịnhlíEulerchotamgiácthùytúc,tacó: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 1 2 3 2 4 . . . . . 4 2 2 S R OM d d d a b c r a b c R R R - + + + + ³ ³ Từđâycóthểsuyra 2 2 2 2 .OI R Rr OM = - ³ Vậyvớimọi điểm M trongtậphợp,tacó OM OI £ (điềuphảichứngminh). Bàitoán5:(IvanBorsencođềnghị) Cho M làđiểmnằmtrongtamgiác ABC vàcótọađộlà ( ) ; ;x y z .Gọi M R làbánkínhđườngtròn nộitiếptamgiácthùytúccủađiểm M.Chứngminhrằng: ( ) 2 2 2 . 6 3. . M a b c x y z R x y z æ ö + + + + ³ ç ÷ è ø Lờigiải. Kíhiệu N làđẳnggiáccủađiểm M.Chúngtacần2bổđềsau: Bổđề1:Nếu 1 1 1 A BC và 2 2 2 A B C là2tam giácthùytúccủa2đẳnggiácđiểm M và N thì 6điểmnàynằmtrênmộtvòngtròn. Chứngminh.Chúngtasẽchứngminhrằng 1 2 1 2 B B C C làmộttứgiácnộitiếp.Đặt ¼ ¼ B AM CAN f = = .Vàbởivì 1 1 AB MC nộitiếp, nên: ¼ ¼ ¼ 1 1 1 1 2 1 90 90 90 . o o o AB C C B C C AM f = - = - = - Tươngtự,vì 2 2 AB NC nêntacó: ¼ ¼ ¼ 2 2 1 2 2 2 90 90 90 o o o AC B B C B B AN f = - = - = - Dođó ¼ ¼ 1 1 2 2 AB C AC B = nên 1 2 2 1 B B C C làmộttứgiácnộitiếp.Cứthếtathuđượcrằng 1 2 2 1 A A B B và 1 2 2 1 A A C C cũnglàtứgiácnộitiếp.Xét3đườngtrònngoạitiếptứgiáccủachúngta,nếuchúngkhông trùngnhauthìchúngcómộttâmđẳngphương,đólàđiểmgiaonhaucủa3trụcđẳngphương.Tuynhiên, chúngtacóthểthấyrằngnhữngtrụcđẳngphươngnày,tứccácđườngthẳng 1 2 1 2 1 2 , ,A A B B C C ,tạothành mộttamgiác,đặttênlà ABC ,mộtđiềutráingược.Điềunàychứngtỏ,cácđiểm 1 2 1 2 1, 2 , , , ,A A B B C C nằmtrêncùng1đườngtròn. Bổđề2: Nếu ,M N làhaiđẳnggiácđiểm,thìtaluôncó: . . . 1. A M AN BM BN CM CN bc ac ab + + = Chứngmin.Gọi 1 1 1 A BC làtangiácthủytúccủađiểm M.Dễdàngchứngminhđượcrằng 1 1 .B C AN ^ Vậydiệntíchcủatứgiác 1 1 AB NC đượctínhtheocôngthức 1 1 1 . . 2 B C AN.Vì 1 1 .sinB C AM a = ,chúngtađược 1 1 1 . . .sin 2 AB NC S AM AN a = .Tươngtự,tatìm đượcrằng 1 1 1 . . .sin 2 BC NA S BM BN b = và 1 1 1 . . .sin 2 CA NB S CM CN g = Từtrên,tasuyra: 1 1 1 1 1 1 ABC AB NC BC NA CA NB S S S S = + + Hay: 1 .( . .sin . .sin . .sin ) 2 ABC S AM AN BM BN CM CN a b g = + + SửdụngĐịnhlíhàmSin,tađượcđiềucầnchứngminh: . . . 1. A M AN BM BN CM CN bc ac ab + + = QuaytrởlạiBàitoán.ÁpdụngBĐTAMGMvàobổđề2,tađược: 3 2 2 2 1 1 . . . . . . . . 27 27 A M AN BM BN CM CN AM AN BM BN CM CN bc ac ab a b c æ ö = + + ³ ç ÷ è ø Lạicó: . I P Y Z R Q O F A C D E B X DIỆNTÍCHTAMGIÁCTHỦYTÚC IvanBorsenco Translator:DuyCuong. TrongToán học, Hình Học luôngiảiquyếtcác bài toánvớinhữngkếtquảchínhxácvàhấpdẫn. Bài viết sauđâytrìnhbày về một trongnhữngkếtquảtuyệtđẹptrong bài toán hình học –ĐịnhlýEulercho tamgiácthùytúcvàứngdụngcủanó.Chúngtahãybắtđầuvớiphépchứngminhđịnhlý,sauđócùng nhauthảoluậncác Bài toánOlympiad. Địnhlý1.ChoC(O,R)làđườngtrònngoạitiếptamgiácABC.Xét một điểmMtuỳýnằmtrong tamgiác.KýhiệuA 1 ,B 1 ,. ÷ è ø ,và bài toánđãđượcgiảiquyết. Haivídụkếtiếpđểhướngdẫngiải một cáchngắngọn một số bài toánOlympiadbằngcáchsửdụng ĐịnhLýEuler về tamgiácthùytúc. Bài toán3:. + TừkếtquảtrênchúngtacóthểthấyĐịnhlý1vàĐịnhlý3đãđưachúngtanhậnthứcphầnnào về diệntíchtamgiácthùytúc.ĐịnhlýEuler về diệntíchtamgiácthùytúcthậtsựlà một côngcụtiệních choviệcgiải các bài toán hình học.  Ứng dụng đầu tiênmà