bài tóan hình học phẳng qua cách giải bằng góc định hướng

bài tóan hình học phẳng qua cách giải bằng góc định hướng tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài t...

Cáikhó, khôngthấyđượcgiảinóbằnggócđịnhhướng. Khiđãthấy, tathấytoánhọcsaomàhấpdẫnlạ! I.CÁCĐỊNHNGHĨA 1.Gócđịnhhướngcủahaivectơchunggốc. Kíhiệu : ( ) OB OA, . OA :làvectơđầu; OB :làvectơcuối. sd ( ) p a 2 , k OB OA + = ; hoặc sd ( ) ) 2 (mod , p a º OB OA .TrongđógocAOB= a ( ) p a 2 0 £ £ làgóckhôngđịnhhướng. 2.Gócđịnhhướngcủahaivectơkhôngchunggốc. Cho haivectơ CD AB, (đềukhácvectơkhông).LấyđiểmOdựng CD ON AB OM = = , Tacó ( ) ( ) , , 2sd AB CD sd OM ON k a p = = + uuur uuur uuuur uuur 3.Gócđịnhhướngcủahaiđườngthẳng. Kí hiệu:(a,b).alàđườngthẳngđầu;blàđườngthẳngcuối. sd(a, b)= p a k + ,hay ) (mod p a = b) sd(a, .trongđó a làgóckhôngtùcủagóchaiđườngthẳngavàb khônghướng. II.CÁC TÍNH CHẤT. 1.(AB,CD)= ( ) CD AB, ;.(AB,CD) ) , ( DC AB º (mod p );.(AB,CD) ) , ( CD BA º (mod p ) 2.Haiđườngthẳnga,btrùngnhauhoặcsongsongkhivàchỉkhi ( ) ( ) p mod 0 , º b a 3.Haiđườngthẳnga,bvuônggócnhaukhivàchỉkhi ( ) ( ) p p mod 2 , º b a 4.Góc (a,b) º (b,a) ( ) p mod 5.HệthứcSale:(a,b)=(a,c)+(c;b). ( ) p mod . 6.Hiệu(a,b) º (c,b) –(c,a). III.ỨNGDỤNG +Bađiểmthẳnghàng. -BađiểmA,B,Cthẳnghàngkhivàchỉkhi(AB,AC) º 0 ( ) p mod . BađiểmA,B,Cthẳnghàngkhivàchỉkhi(AB,AM) º(AC,AM) ( ) p mod (Mtùyý). +Haiđườngthẳngvuônggóc. Haiđường thẳng AB,CDvuônggóckhivàchỉkhi(AB,AC) º ( ) p p mod 2 . +Haiđiểm đốixứngquatr ục. HaiđiểmA,A’đốixứngquatrụcBCkhivàchỉkhi(AB,AC) º (A’C,A’B) ( ) p mod . +Gócnộitiế p vaøgócởtâm : M,A,Bởtrênđườngtròn(O): ( ) ( ) ) (mod ) , ( , 2 1 , p BT BA OB OA MB MA º = ,trongđóBTlàtiếptuyếncủa(O)tạiB. +Boánđiểmcùngnằmtrênđườngtròn. w w w w w w w w w . . . l l l a a a i i i s s s a a a c c c . . . p p p a a a g g g e e e . . . t t t l l l B B B À À À I I I T T T O O O Á Á Á N N N H H H Ì Ì Ì N N N H H H H H H Ọ Ọ Ọ C C C P P P H H H Ẳ Ẳ Ẳ N N N G G G QUACÁCHGIẢIBẰNGGÓCĐỊNHHƯỚNG NGUYỄNLÁI -BốnđiểmA,B,C,Dcùngnằmtrênđườngtrònkhivàchỉkhi(AB,AD) ) , ( CD CB º (mod p ) Hệquả:TậphợpđiểmMnằmtrongmặtphẳngchứatamgiácABCthỏamãn: (MA, MB) ) , ( CB CA º (mod p )làđườngtrònngoạitiếptamgiácABC. +Goùccủahaiđườ ngthẳngcócáccạnhđôimộtvuônggóc. Ta coù HG CD EF AB ^ ^ ; khivàchỉkhi(AB,CD) º (EF;HG) ) (mod p  . +Tậphợpđiểm - { } = º ) (mod ) , /( p a MB MA M cungtrònchứagóc a quaA,B.  { } = - º ) (mod ) , /( p a MB MA M cungtrònkhôngchứagóc a  quaA,B. IV.BÀITẬPMINHHỌA A.Phươngphápphứngminhhaiđườngthẳngsongsong ,bađiểmthẳnghàng. + Haiđườngthẳnga,bcùngphươngkhivàchỉkhi(a,b) º 0 ( ) p mod . +Haiđườngthẳnga,bcùngphươngkhivàchỉkhi(a;c) º (b,c)(mod p ),đườngthẳngctùyý + BađiểmA,B,Cthẳnghàngkhivàchỉkhi(AB,AC) º 0 ( ) p mod . +BađiểmA,B,Cthẳnghàngkhivàchỉkhi(AB,EF) º (AC,EF)(mod p ),đườngEFtùyý. Bài1.Chohaiđườngtròn(O)và(O’)cắtnhautạiA,B.HaicáttuyếnbấtkìD,D’lầnlượtquaA,B cắt(O) và(O’)lầnlượttạiM,M’ vàN, N’.ChứngtỏMN//M’N’. HD. Tacó(MN,MA) º (BN,BA) ( ) p mod .(1) . vì(AMNB)nộitiếp (M’A,M’N’,) º (BA,BN’) ( ) p mod . vì(AM’N’B)nộitiếp Û Hay(MA,M’N’) º (BA,BN) ( ) p mod .(2) Cộng(1)và(2)theoSaletacó: (MN,M’N’)=0 Þ MN//M’N’ Bài2.(ĐườngthẳngSimson) . ÑểđiểmMnằmtrênđườngtrònngoạitiếptam giácABCkhivàchỉkhi cáchìnhchiếucủaMlầnlượtxuốngbacạnhtamgiácABCthẳng hàng . HD.Giảsử E,F,HlầnlượtlàhìnhchiếucủaMxuốngcạnh BC, AC,AB.Ta có E,F,Hthẳnghàng ) )(mod , ( ) , ( p HM HF HM HE = Û ( , ) ( , )(mod( )CE CM HF HM p Û = .(vìHMECnộitiếp) ( , ) ( , )(mod )CB CM AB AM p Û = (HMFAnộitiếp) Û AMBCnộitiếp Î Û M VòngngoạitiếptamgiácABC. B.Phươngphápchứngminhhaiđườngthẳngvuônggóc. +HaiđườngthẳngAB,CDvuônggóckhivàchỉkhi(AB,AC) º ( ) p p mod 2 . + b d c d c a b a ^ Û î í ì º ^ ) )(mod , ( ) , ( p  . Bài1.Haidâycung AB,CDcủađườngtròn(O)vuônggócnhautạiP.ChứngminhtrungtuyếnPM củatamgiácBPClàđườngcaocủatamgiácPAD. HD.Tacó(PM,AD)=(PM,PC)+(PC,AD)=(PM,PC)+(DC,DA). VìtamgiácPMCcântạiMnên (PM, PC)=(CP,CB)=(CD,CB)=(AD,AB). thayvào(1)tacó(PM,AD)=(AD,AB)+(DC,DA)=(DC,DA)+(DA,AB) H F E C B A M O' O N' N M' M B A M P D C B A =(DC,AB) ) (mod 2 p p Suyra (PM,AB) ) (mod 2 p p P M A D ị ^ . Bi2.Chohai vũngtrũn (O)v(O) ctnhautiA,B.MtimMlungtrờn(O).MAvMBct vũng(O) tiCvD.Chngminh CD MO ^ . HD.TiMktiptuynvũng(O) Tacú(MA,MT) (BA,BM) ) (mod p (1) Xộtvũng(O)tacú(BA,BD) (CA,CD) ) (mod p (2) hay(BA,BM) (MA,CD) ) (mod p (3) T(1),(2),(3)tacú(MA,MT) (MA,CD) MT CD// ) (mod ị p M CD MO MO MT ^ ị ^ Bi3. Cho tamgiỏcABC. Vphớangoinútadngcỏctamgiỏc uABE,ACF.GiGltõmtam giỏcABEvKltrungimcaonEF.Chngminhrng tamgiỏcKGCvuụngvcúmtgúc 0 60 . E A P Lụứi giaỷi.DngimPsaochoEGFPlhỡnhbỡnhhnh K TachngminhtamgiỏcCGPcõntiC. G F XộthaitamgiỏcGACvCPFcúEG=PF PF AG = ị (1). CA=CF(2). Mtkhỏc(FP,FC) (GE,FC) ) (mod p . B C Vy(FP,FC)=(GE,GA)+(GA,CA)+(CA,FC) ) (mod p Chn(AB,AC)lgúcdng,tacú Tacú(GE,GA) 3 2 p - = (CA,FC) (CA,CF) ) (mod p = 3 p Vy(FP,FC) 3 2 ( p - +(GA,CA)+ 3 p ) ) (mod p =(AG,AC) ) (mod p PFC GAC é = é ị (3). T(1),(2),(3) CP CG CPF GAC = ị D = D ị ,nờntamgiỏccõnGCPcútrungtuynCKcngval ngcao,haytamgiỏcKGCvuụngtiK, Maởt khaựctacú ẳ ẳ ẳ ẳ ẳ ẳ GCA PCF GCA ACP PCF ACP = ị + = + , hay ẳ ẳ 0 60GCP ACF = = Doú ẳ 0 60KGB = . Bi4. ChotamgiỏcABCnitipngtrũn(O).MNlmtngkớnhca(O).Chngminhrng cỏcngthngSớmsontamgiỏcABCngvihaiimM,Nthỡvuụnggúcnhau. HD.GiX,YlcỏchỡnhchiucaMtrờnAB,BCtheothtvZ,TlcỏchỡnhchiucNtrờnAB, BCtheotht.Tacnchng minh XY ZT ^ . Thtvytathybbnim M,B, X,YvN, B,Z,T ng viờn. Tacú(XY,ZT)=(XY,MY)+(MY,NT) ) (mod p . ( , ) ( , ) 0 ( , )(mod )XY ZT XB MB NB ZB ị = + + p ( , ) ( , )(mod )XY ZT NB MB ị p (vỡ XB,ZBtrựng nhau ) ( , ) (mod ) 2 XY ZT p ị = p ( Vỡ MNlngkớnhca(O)). Suyra XY ZT ^ _Y _K _Z _T _O _X _N _M _C _A _A C D B A T M O' O C.Phngphỏpchngminhcỏcimngviờn(cuứng nmtrờn mtngtrũn). -BnimA,B,C,Dcựngnmtrờnng trũnkhivchkhi(AB,AD) ) , ( CD CB (mod p ) Hqu:TphpimMnmtrongmtphngchatamgiỏcABCthamón (MA, MB) ) , ( CB CA (mod p )lngtrũnngoitiptamgiỏcABC. Baứi1.ChohaingtrũnctnhautiAvB.KmtcỏttuynMAN .Caực tiptuyntiMvNvi ng trũnctnhautiC, ChngminhrngbnimM,N,C,Bcựngnm trờnmtngtrũn. HD.VỡMCltiptuynnờntacú(BM,BA) (MC,MA)(mod p )(1) VỡNCltiptuynnờn(BA,BN) (NA,NC)(mod p )(2) Cng(1)v(2)tacú(BM,BN)=(MC,NC)=(CM,CN))(mod p ) VybnimC,B,M,Ncựngnm trờnngtrũn. Bi2.ChotgiỏcABCDnitiptrongngtrũn. 1 1 1 1 , , ,A C B D lhỡnhchiuA, CvB,Dxung BD, AC.Chngminh 1 1 1 1 A B C D ltgiỏcnitip. HD.Vỡ 1 1 ABA B nitipnờntacú ( ) 1 1 1 ,B A B A ( ) 1 ,BA BA (mod p ).(1) VỡABCDnitipnờn(BD,BA) (CD,CA)(mod p ). Hay ( ) 1 ,BA BA (CD,CA)(mod p ).(2) Vỡ 1 1 DDC C nitipnờn ( ) 1 ,CD CD ( ) 1 1 1 ,C D C D (mod p ). hay(CD,CA) ( ) 1 1 1 1 ,C A C D (mod p ).(3). Cng(1),(2),(3)tacú ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 , ,B A B A C A C D = (mod p ). ị 1 1 1 1 A B C D ltgiỏcnitip. Baứi3.imixngcatrctõmHquabacnhcamttamgiỏcABCthỡnmtrờnngtrũn ngoitiptamgiỏcABC. HD.GiHlimixngcaHquaBC Tacú(AC,AB) (HB,HC) ( ) p mod (Gúccúcnhtng ngvuụnggúc (HB,HC) (HC,HB) ( ) p mod (HaigúcixngquaBC) ị (AC,AB) (HC,HB) ( ) p mod HABCnitiphay ẻ ' H vũngABC Hqu.Bavũngixngvivũngngoi tipquabacnhtamgiỏcthỡquatrctõm H Baứi 4. ChoM,N,PlnltlbaimtrờnbacnhAB,BC,CAcatamgiỏcABC. Chngtrngbangtrũn(AMP), (BMN)(CNP)cúmtimchung. HD.Giaỷ sửỷ haivũng(BMN)v(CNP)ctnhautiH tacúBMHNnitipnờn:(BMBN) (HM,HN) ( ) p mod (1) tacúCNHPnitipnờn:(CN,CP) ((HN,HP) ( ) p mod hay(BN,CP) ((HN,HP) ( ) p mod (2) Cng(1)v(2)tacú(BM,CP)=(HM,HP) ( ) p mod ị AMHPnụitip. Hayvũng (AMP)iquaH. ị iuphichngminh. B C N A M O' O v D1 D1 C1 A1 D C B A z O H' H C B A P N M B A C Bi5. ChotamgiỏcABCvmtimP btk trongmtphng catamgiỏc.Chngminhrngcỏc vũngtrũnixngcabavũngtrũn ngoitipcỏctamgiỏcPAB,PBC,PCAquacỏccnhAB,BC, CAcúmtimchung. HD. Goùi P 1 , P 2 , P 3 laứimixngcaPquaAB,BC,CAvQlgiaoimthhaicahaivũng (P 1 AB),(P 2 BC). Vỡtớnhchtixngnờntacú(P 1 A,P 1 B)(PA,PB)(mod p ).(1) (P 2 B,P 2 C)(PB,PC)(mod p ).(2) (P 3 C,P 3 A)(PC,PA)(mod p ).(3) CỏcimP 1 ,A,B,Qngviờn,tacú(QA,QB) (P 1 A,P 1 B)(mod p ).(4) CỏcimP 2 ,C,B,Qngviờn,tacú(QB,QC) (P 2 B,P 2 C)(mod p ).(5) Cng(4)v(5)tacú(QA,QC)=(P 1 A,P 1 B)+(P 2 B,P 2 C) =(PA,PB)(PB,PC)=(PA,PC).(6) T(6)v(3)tacú(QA,QC) (P 3 A,P 3 C)(mod p ) ị P 3 ,Q,A,Cngviờn. Suyraiuphichngminh. D.Phngphỏpchngminhtiptuyn ngtrũn. + ATltiptuynng trũnngoitiptamgiỏcABCkhivchkhi(AT,AB) (CA,CB)(mod p ). Bi1.ChotamgiỏccõnABCnhA.MtimMdichuyntrờnngtrũnngoitiptamgiỏcABC. ngthngAMctctBCtaiP. 1. Chửựng minhrngcỏcvũngtrũnngoitipcatamgiỏcBMPvCMPtipxỳcviAB vACln lttiBvC. 2.Tỡm taọp hụùptõmcacỏcngtrũnBMPvCMP. HD.VỡA,B.C.M ngviờnnờn(BA,BM)=(CA,CM) = (CA,CB)+(CB,CM)(1). TheogithittamgiỏcABCcõntiAnờntacú (CA,CB)(BC,BA)(mod p )(2) (CB,CM) (AB,AM)(mod p )(3) T(1),(2),(3)tacú(BA,BM)=(BC,BA)+(AB,AM)=(BC,AM) ( , ) ( , )(mod )BA BM PB PM p ị ị BAltiptuynvũngngoitiptam giỏcPMB. TngtACltiptuyncavũngngoitiptamgiỏcCMPtiC 2.GisIltõmngtrũnngoitiptamgiỏcBMPnờnIlgiaoim ngtrungtrccnhBPvngthng D cnhvuụnggúcAB.Khi Mlungtrờnngtrũn(ABC)thỡPlungtrờnBC,suyraIlu ngtrờn D E.Phngphỏptỡmtphpim. +TphpimMnmtrờnvũng(ABC)khivchkhi(MB,MC) ) , ( AC AB (mod p ) + { } = ) (mod ) , /( p a MB MA M cungtrũnchagúc a quaA,B. + { } = - ) (mod ) , /( p a MB MA M cungtrũnkhụngchagúc a quaA,B. Bi1.ChotamgiỏcABC.MlmtimlungtrờncnhBC.HaivũngthayiquaM,tipxỳc viAB,AC,lnlttiA,BctnhautiI.TỡmtphpimIkhiMthayi. HD.Vỡ AB laứ tiptuynvũng(O 1 ) ị (IB,IM)=(BA,BM)=(BA,BC) ( ) p mod (1) VỡACltiptuynvũng(O 2 ) ị (IM,IC)=(CM,CA)=(BC,CA) ( ) p mod (2) Cng(1)v(2)tacú(IB,IC)=(AB,AC) ( ) p mod ị ABICnitip.VytphpimIlvũngngoitiptam giỏcABC. Q B A P C P1 P2 M C P I B A I M B C A O2 O1 Baứi 2. Chongtrũn(O)v(O)cúbỏnkớnhRvRctnhautiA,B.MtimMlungtrờn (O). MAvMBctng(O)tiCvD.TỡmtphptrungimIcaCDkhiMlungtrờn(O). HD. Tacú(AD,AC)=(AD,BM)+(BM,AC) M(AD,BM)=(AD,BD)= ) ' , ' ( 2 1 B O A O =(OOOB) ) (mod p (BM,AC)=(MB,MA)= ) )(mod ' , ( ) , ( 2 1 p OO OB OA OB = . Doú(AD,AC)=(OOOB)+ ) ' , ( OO OB =(OB,OB). ) (mod p . hay(AD,AC)=(AOAO) ) (mod p . tgúc a a = é ị = é ' OAO CAD khụngi. DoúdiCDkhụngi ị a sin 2R CD = .Nờn khongcỏch a cos ' R I O = . VytphptrungimIlngtrũntõmObỏnkớnhbng a cos R Bi3.ChotamgiỏcABCnhn,trctõmHvflmtngthngtựyýquaH.Gi , , a b c f f f lnlt lcỏcngthngixngvifquacỏcngthngBC,CA,AB.Chngminhrng , , a b c f f f ng quitimtimtrờnngtrũnngoitiptamgiỏcABC(Bungarian1999). Gii.Gi 1 1 1 , ,A B C theothtlcỏcimixngviHquacỏc ngthng BC,CA,ABkhiúddngchngminhc 1 1 1 , ,A B C thuc(ABC),ngoira ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) mod a b a b f f f BC BC CA CA f p = + + ( ) ( ) ( ) ( ) modB C f BC CA f CA p = + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 modB C f BC CA f CA p + + Suyra ( ) a b f f ABC ầ ẻ tngttacngcú ( ) b c f f ABC ầ ẻ , ( ) a c f f ABC ầ ẻ Tú,domtngthngvmtngtrũnctnhautinhiunhthaiim,suyraiuphi chngminh Bi4.(ThiHSG2006BngA).ChotgiỏcliABCD.Xộtmtim Mdingtrờn ngthngAB saochoMkhụngtrựngvi AvB.GiNlgiaoimthhaikhỏcMcangtrũniquabaim (M,A, C)vngtrũniquabaim(M,B,D).Chngminh: 1. imNdingtrờnngtrũncnh . 2. ngthngMNluụniquamtimc nh HD.1)Gi Ilgiaoim cahaing chộoliABCD.Xột cỏcgúcnh hng ,tacú(CI,CN)=(CA,CN)=(MA,MN)=(MB,MN)=(DB,DN) (DI,DN)(mod p )(1). Vy(CI,CN)=(DI,DN)(mod p) ị C,I,D,Nngviờn.Doúim Ndi ng trờnng trũncnh(C,D,I) 2.ng thng quaI,songsongviABctng thng MNtiK(gilt). Vỡ(MA,MN)=(KI,KN)(mod p).Doú bnim C,I,K,Nng viờn.hay im Knm trờnng trũncnhquaC,D,I,N.im Klgiaoim ng thng tcnhvng trũn(C,D,T)cnhnờnng thng MN luụniquaim Kcnh. BITPNGH I A N M K D C A B j B A Ô O' M C D Bài1.TrênmộtđườngtrònlấybốnđiểmA,B,C,D.CácđườngtrònđườngkínhBAvàBC,BCvà CD,CDvàDA,DAvàABcắtlạinhaulầnlượttạiB’,C’,D’A’.ChứngminhrằngbốnđiểmA’,B’, C’,D’cùngnằmtrênmộtđườngtròn Bài2.ChotamgiácABCvớitrựctâmHnooijtiếptrongđườngtròntâm(O).Gọi 1 2 ,A A theothứtựlà điểmđốixứngvớiHquaBCvàtrungđiểmBC.Cácđiểm 1 2 1 2 , , ,B B C C đượcxácđịnhmộtcáchtương tự.Chứngminhrằng 1 1 1 , ,A B C nằmtrênđườngtròn(O). Bài3.HaidaycungvuônggócABvàCDcủamộtđườngtròncắtnhautạiP.Chứngminhrằngtrung tuyếncủatamgiácPBClàđườngcaocủatamgiácPAD. Bài4.ChotứgiácABCDnộitiếptrongđườngtròn(O).GọiE,F,Gtheothứtựlàgiaođiểmcủacác cặpđườngthawngrABvàCD,BCvàDA,ACvàBD.Cácđườngtròn(DAE),(DCF)cắtnhautạiđiểm thứhaiH.Phângiáccủagóc ¼ AHB cắtABtạiI,phângiáccủagóc ¼ DHC cắtCDtạiJ.Chứngminh rằngI,G,Jthẳnghàng. Bài5.ChomộttamgiáccânABCđỉnhA.MộtđiểmMthayđổitrênđườngtrònngoạitiếptamgiác ABC.ĐườngthẳngAMcắtBcCtạiP 1. ChứngminhrằngcácđườngtrònngoạitiếpcủatamgiácBMPvàCMPtiếpxúcvớiABvàAC tạiBvàC. 2. TìmtậphợpcáctâmcủacácđườngtrònBMPvàCMP. Bài6.GọiM.NtheothứtựlàtrungđiểmcáccạnhAB,ACcủatamgiácABC.Mộtđườngthẳngd quayquanhA.GọiP,QlàhìnhchiếucủaB,Ctrênd.TìmtậphợpgiaođiểmcủahaiđườngthẳngPM vàQN. Bài7.ChomộttamgiácABCnộitiếptrongđườngtròn(O). 1. KẽmộtdaycungMNvuônggócvớiBC.ChứngminhrằngđườngthẳngSimsoncủađiểmM songsongvớiAN. 2. GọiM’làđiểmxuyêntâmđốicủaM.Chứngminhrằng đườngSimsoncủaMvàM’vuônggóc nhau. Bài8.Chotrướcđườngtròn(O)vàhaiđiểmA,BsaochoABtiếpxúcvớiđườngtròn(O)tạiB.Lấy điểmCkhôngnằmtrênđườngtròn(O)saochoACcắt(O)tạihaiđiểmphânbiệt,dựngđườngtròn(O’) tiếpxúcvớiACtạiC,tiếpxúcvới(O)tạiDsaochoB,Dnằmvềhaiphíacủađường thawngrAC. ChứngminhrằngtâmđườngtrònngoạitiếptamgiácBCDnằmtrênđườngtrònngoạitiếptamgiác ABC. . Cáikhó, khôngthấyđược giải nó bằng góc định hướng.  Khiđãthấy, tathấytoán học saomàhấpdẫnlạ! I.CÁCĐỊNHNGHĨA 1. Góc định hướng củahaivectơchunggốc. Kíhiệu. +Boánđiểmcùngnằmtrênđườngtròn. w w w w w w w w w . . . l l l a a a i i i s s s a a a c c c . . . p p p a a a g g g e e e . . . t t t l l l B B B À À À I I I T T T O O O Á Á Á N N N H H H Ì Ì Ì N N N H H H H H H Ọ Ọ Ọ C C C P P P H H H Ẳ Ẳ Ẳ N N N G G G QUA CÁCHGIẢIBẰNGGÓCĐỊNHHƯỚNG NGUYỄNLÁI -BốnđiểmA,B,C,Dcùngnằmtrênđườngtrònkhivàchỉkhi(AB,AD) ) , ( CD CB º (mod p ) Hệquả:TậphợpđiểmMnằmtrongmặt phẳng chứatamgiácABCthỏamãn:. ) ) 2 (mod , p a º OB OA .TrongđógocAOB= a ( ) p a 2 0 £ £ là góc không định hướng. 2. Góc định hướng củahaivectơkhôngchunggốc. Cho haivectơ CD AB, (đềukhácvectơkhông).LấyđiểmOdựng