Tr-ờng đại học Vinh Khoa Toán Bài toán quy hoạch đa mục tiêu Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân s- phạm toán Giáo viên h-ớng dẫn: PGS.TS Trần Xuân Sinh Ng-ời thực hiện: Lê Thị Th-ơng Sinh viên lớp 43A2 - Khoa Toán Vinh - 2006 Lời nói đầu Trong hầu hết toán tối -u, chóng ta th-êng míi ®Ị cËp ®Õn mét mơc tiêu nhất, mục tiêu đ-ợc biểu thị hàm cần làm cực đại hay cực tiểu Chúng ta đà biết cách giải toán quy hoạch tuyến tính mục tiêu Còn toán quy hoạch nhiều mục tiêu sao, liệu có đ-ợc giải t-ơng tự hay không? Bài toán quy hoạch đa mục tiêu tuyến tính đà đ-ợc nhiều ng-ời quan tâm giải tính phức tạp ứng dụng quan trọng thực tiễn kinh tế kỹ thuật Vấn đề tìm ph-ơng án để đạt đ-ợc mục tiêu mà công việc cần làm tìm ph-ơng án làm tối -u đồng thời nhiều hàm mục tiêu Tuy nhiên, hàm mục tiêu ®ã th-êng xung ®ét nhau, ®ã viƯc t×m mét ph-ơng án nh- khó Chẳng hạn nh- thực tế nhà sản xuất kinh doanh phải có ph-ơng án sản xuất nh- để mục tiêu nh- giảm chi phí, hạ giá thành sản phẩm ng-ời ta quan tâm đến việc trì lợi nhuận, ổn định lao động Để đạt đ-ợc đồng thời mục tiêu nh- thực không dễ Chính khó vấn đề đà khiến có tò mò muốn quan tâm sâu vào tìm hiểu Do đà chọn đề ti Bài toán quy hoạch đa mục tiêu Trong phạm vi khoá luận tốt nghiệp, dám nêu mục đích đề tài đ-a toán quy hoạch đa mục tiêu số h-ớng tiếp cận toán Từ đ-a số thuật toán để giải toán Khoá luận đ-ợc chia thành ch-ơng Ch-ơng 1: Trình bày toán quy hoạch đa mục tiêu tuyến tính, h-ớng tiếp cận toán nêu số tính chất quan trọng toán Mục đích ch-ơng cho ng-ời đọc nhìn tổng quát toán đa mục tiêu Ch-ơng 2: Đ-a b-ớc giải toán Phần đầu trình bày số ph-ơng pháp giải toán kết hợp với sở thích ng-ời nhận lời giải Phần sau trình bày thuật toán tối -u Pareto để giải toán Khoá luận đ-ợc thực hoàn thành tr-ờng Đại học Vinh với giúp đỡ, h-ớng dẫn tận tình chu đáo thầy giáo PGS.TS Trần Xuân Sinh thầy cô giáo thuộc tổ Điều khiển khoa Toán Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy h-ớng dẫn thầy cô giáo khoa Toán đà tạo điều kiện giúp đỡ trình học tập hoàn thành khoá luận Do thời gian khả có hạn tác giả, khoá luận tránh khỏi thiếu sót, mong đ-ợc góp ý ng-ời đọc Vinh, 4/2006 Tác giả Ch-ơng quy hoạch Đa mục tiêu 1.1 Bài toán Trong nhiều ứng dụng thuộc ngành kinh tế - kỹ thuật, điều khiển hoạt động sản xuất, thực tế th-ờng gắn liền với việc thiết kế lập kế hoạch theo nhiỊu mơc tiªu tèi -u Chóng ta cịng th-êng gặp toán liên quan đến việc phân tích, lựa chọn định h-ớng vào nhiều mục tiêu khác Chẳng hạn đơn vị sản xuất kinh doanh, nên lựa chọn định cho đạt đ-ợc mục tiêu nh-: nhanh, nhiều, tốt, rẻ, v.v Tuy nhiên, mục tiêu th-ờng xung đột với nhau, thế, khó có giải pháp đạt tối -u đồng thời tất mục tiêu Trong tình nh- vậy, ta cần có cách đặt toán cách xử lý thích hợp Quy hoach đa mục tiêu cung cấp thêm công cụ để giải vấn đề Bài toán quy hoạch ®a mơc tiªu (Multiple objective programming problem MOP): max (min)f(X) : X D Rn, (1.1) ®ã f(X) = (f1(X), , fk(X)) gọi vectơ mục tiêu (k 2), f1, f2, , fk hàm mục tiêu D , đ-ợc gọi tập ph-ơng án X D gọi ph-ơng án (Chú ý: Để tiện lợi, từ ta ký hiệu tập ph-ơng án D) Một ph-ơng án X làm cực đại (hay cực tiểu) đồng thời hàm mục tiêu đ-ợc gọi ph-ơng án tối -u (hoặc nghiệm) toán Trong giáo trình này, xét toán quy hoạch đa mục tiêu tuyến tính (Multiple objective linear programming problem - MOLP), tøc lµ f(X) hµm tuyÕn tÝnh tập D đa diện tồi Ta hÃy nªu mét vÝ dơ thĨ 1.2 VÝ dơ Mét nhà máy dự kiến sản xuất loại sản phẩm míi A, B, C (cïng mét lo¹i vËt liƯu) Chi phí vật liệu, công lợi nhuận thu đ-ợc cho bảng 1.1 Biết nhà máy dùng đ-ợc vào phần sản xuất 165 kg vật liệu 130 ngày công Lập mô hình toán thể kế hoạch sản xuất cho tổng số tiền lÃi tổng số sản phẩm lớn B¶ng 1.1 S¶n phÈm VËt liƯu (kg) A B C Công (ngày) 20 30 15 Lợi nhuận (triệu đồng) 50 35 20 Lập toán: Gọi x1, x2, x3 lần l-ợt số sản phẩm A, B, C Khi đó, điều kiện hạn chế vật liệu lao động là: 20x1 + 30x2 + 15x3 165 7x1 + 6x2 + 3x3 130 x1, x2, x3 TiÒn lÃi thu đ-ợc tổng số sản phẩm A, B, C lần l-ợt đ-ợc biểu diễn là: f1(X) = 50x1 + 35x2 + 20x3 f2(X) = x1 + x2 + x3 Cần tìm X = (x1, x2, x3) thỏa mÃn điều kiện cho số tiền lÃi tổng số sản phẩm lớn Ta có mô hình toán học max f(X) = (f1(X), f2(X)) : X D, D đ-ợc xác định 20x1 + 30x2 + 15x3 165 7x1 + 6x2 + 3x3 130 xi 0, i = 1, 2, Ta ®· biÕt cách giải toán quy hoạch mục tiêu, để giải toán quy hoach đa mục tiêu, ta có nhiều h-ớng tiếp cận khác Sau số h-ớng tiếp cận giải toán quy hoạch đa mục tiêu 1.3 Các h-ớng tiếp cận giải toán quy hoạch đa mục tiêu 1.3.1 Cách tiếp cận theo mục tiêu Nội dung cách tiếp cận là: - Quy định cho mục tiêu mức số xác định - Xác định hệ số phạt vi phạm mức quy định - Tìm ph-ơng án đạt cực tiểu tổng độ lệch giá trị mục tiêu so với mức đà quy định cho mục tiêu, tổng đ-ợc tính với trọng số hệ số phạt đà xác định Có dạng mức mục tiêu: - Cận d-ới (mức phía): quy định giới hạn d-ới cho giá trị mục tiêu cần đạt đ-ợc - Mức phía: quy định giá trị mà mục tiêu cần đạt đ-ợc (không hơn, không kém) - Cận (mức phía): quy định giới hạn mà giá trị mục tiêu không đ-ợc v-ợt Theo cách tiếp cận này, toán nhiều mục tiêu đ-ợc chia loại toán: quy họach nhiều mục tiêu không -u tiên quy hoạch nhiều mục tiêu có -u tiên Sau đây, ta xét riêng loại toán a) Quy hoạch nhiều mục tiêu không -u tiên Trong toán này, mục tiêu đ-a có tầm quan trọng nh- nhau, không phân biệt nào, để giải toán ta sử dụng biến phụ để đ-a toán nhiều mục tiêu toán quy hoạch tuyến tính đà biết cách giải Để cho dễ hiểu ta xét ví dụ thĨ sau: VÝ dơ: Mét xÝ nghiƯp dù kiÕn đ-a vào sản xuất loại sản phẩm (kí hiệu A, B, C) để thay cho mẫu sản phẩm cũ ngừng sản xuất Chủ xí nghiệp muốn cân nhắc tới mục tiêu chính: lợi nhuận, lao động vốn đầu t- Cụ thể là: 1) Cần đạt lợi nhuận tối thiểu 125 triệu đồng từ sản phẩm 2) Cố gắng trì đội ngũ lao động có mức 4000 ng-ời 3) Giữ mức đầu t- không v-ợt 55 triệu đồng Chủ xí nghiệp thấy khả đạt đồng thời mục tiêu Vì sau bàn bạc, ông định đ-a hệ số phạt nh- sau: triệu đồng lợi nhuận đạt thấp mức quy định; 100 lao động sử dụng thêm; 100 lao động dôi d- triệu đồng vốn đầu t- tăng thêm Giả sử mức lợi nhuận, số lao động vốn đầu t- tỷ lệ thuận với mức sản xuất sản phẩm Các số liệu định mức đ-ợc cho bảng 1.2, với mức mục tiêu hệ số phạt Bảng 1.2 Mục tiêu Sản phẩm Mức mục tiêu A B C Lỵi nhn 12 15 125 (triƯu ®ång) Lao ®éng = 40 ( 100 lao động Vốn đầu t- 55 (triệu đồng) Hệ số phạt 2(+), 4(-) Trong toán có đủ dạng mức mục tiêu: cận d-ới (lợi nhuận), mức phía (lao động) cận (vốn đầu t-) Gọi x1, x2, x3 lần l-ợt số sản phẩm A, B, C Các mục tiêu lợi nhuận, lao động vốn đầu t- lần l-ợt đ-ợc diễn đạt: 12x1 + 9x2 + 15x3 125 5x1 + 3x2 + 4x3 = 40 5x1 + 3x2 + 4x3 55 KÝ hiƯu Z lµ l-ợng phạt vi phạm mục tiêu với hệ số phạt đà cho mục tiêu tổng thể tìm x1, x2, x3 cho làm cực tiểu l-ợng phạt Để diễn đạt xác hơn, ta thêm vào biến số phụ y1, y2, y3 y1 = 12x1 + 9x2 + 15x3 – 125 y2 = 5x1 + 3x2 + 4x3 - 40 y3 = 5x1 + 3x2 + 4x3 55 Do yj nhận giá trị d-ơng hay âm nên ta thay biến yj = yj+ - yj-, víi yj+, yj- 0; j = 1, 2, Mục tiêu đà nêu mặt toán học diến đạt Z = 5y1- + 2y2+ + 4y2- + 3y3+ 12x1 + 9x2 + 15x3 - (y1+ - y1- ) = 125 5x1 + 3x2 + 4x3 - (y2+ - y2- ) = 40 với điều kiện: 5x1 + 7x2 + 8x3 - (y3+ - y3- ) = 55 xj 0, yk+ 0, yk- 0, víi j = 1, 2, 3; k = 1, 2, Đây mô hình toán quy hoạch tuyến tính mục tiêu Dùng ph-ơng pháp đơn hình giải toán trên, ta nhận đ-ợc ph-ơng án tối -u nh- sau: 25 x1 = , x2 = 0, x3 = 3 25 y1+ = 0, y1- = 0, y2+ = , y2 = 0, y3+ = 0, y3- = 25 , y3 = 0, nghĩa mục tiêu thứ thứ 3 đ-ợc thỏa mÃn, mục tiêu lao động không thỏa mÃn, v-ợt mức quy định 25 (tức 833 ng-ời) L-ợng phạt vi phạm mục tiêu lao động Z = 16 b) Quy hoạch nhiều mục tiêu có -u tiên Trong toán mục tiêu đ-ợc phân cấp theo mức -u tiên khác nhau, mục tiêu có mức -u tiên cao đ-ợc ý Vì thế, tập trung tr-ớc hết vào việc đạt đ-ợc mục tiêu đến mức tối đa có thể, sau xét đến mục tiêu Khi xét mục tiêu cấp -u tiên, cách làm giống nh- phần Có ph-ơng pháp để xử lý toán quy hoạch nhiều mục tiêu có -u tiên: - Ph-ơng pháp - Ph-ơng pháp trực tiếp Ta xét ph-ơng pháp thông qua ví dụ cụ thể sau: Ví dụ: Không hài lòng với dự án tăng lực l-ợng lao động xí nghiệp 20% (833/4000) nh- đà thấy ví dụ tr-ớc, chủ xí nghiệp định xem xét lại cách đặt toán nh- đà nêu tóm tắt bảng tr-ớc Việc tăng số lao động gây cho xí nghiệp nhiều khó khăn, Vì thế, mục tiêu hàng đầu tránh tăng lao động, nữa, chủ xí nghiệp biết tăng mức đầu t- cho sản xuất sản phẩm v-ợt 55 triệu đồng vấn đề nan giải nên tránh đầu t- mức mục tiêu hàng đầu cần đ-ợc tính ®Õn Tõ ®ã, chđ xÝ nghiƯp qut ®Þnh mơc tiêu có mức -u tiên số 1, mục tiêu lại có mức -u tiên Các hệ số phạt đ-ợc cho bảng 1.3, M biểu thị số d-ơng lớn (lớn số cần so sánh với nó) Bảng 1.3 Nh- vậy, y1 = 0, y2 = Mục tiêu Sản phẩm A B C Mức mục tiêu Hệ số phạt Møc 5 40 (100 lao ®éng) 55 (triƯu ®ång) 2M 3M Møc 12 15 125 (triÖu ®ång) 40 (100 lao ®éng) * Ph-¬ng pháp Theo ph-ơng pháp này, giải toán quy hoạch đa mục tiêu thông qua việc giải dÃy toán quy hoạch tuyến tính Tổng quát nh- sau: - Giai đoạn đầu ta dựa vào mô hình quy hoach tuyến tính mục tiêu có mức -u tiên áp dụng ph-ơng pháp đơn hình để giải nh- mô hình đà làm tr-ớc Nếu ph-ơng án tối -u dừng lại mà không cần xét mục tiêu lại Nếu có nhiều ph-ơng án tối -u với giá trị tối -u f*, chuyển sang giai đoạn đ-a vào mô hình mục tiêu có mức -u tiên - Giai đoạn 2: + Nếu f* = biến phụ biểu thị độ lệch giá trị mục tiêu có mức -u tiên mức mục tiêu chúng phải 0, lúc biến phụ loại bỏ khỏi mô hình giai đoạn + Nếu f* > thêm vào mô hình đà thiết lập giai đoạn mục tiêu có mức -u tiên 2, sau cần thêm vào ràng buộc phản ánh giá trị mục tiêu giai đoạn f* Sau giải theo thuật toán đơn hình, thấy có nhiều lời giải tiếp tục lặp lại trình chocác mục tiêu có mức -u tiên thÊp h¬n VÝ dơ: XÐt vÝ dơ víi sè liƯu cho bảng 1.3 giai đoạn có mục tiêu có mức -u tiên đ-ợc đ-a vào mô hình quy hoạch tuyến tính, Vì thế, ta bỏ nhân tử M hệ số phạt Gọi x1, x2, x3 lần l-ợt số sản phẩm A, B, C T-ơng tự nh- toán nhiều mục tiêu không -u tiên, toán quy hoạch tuyến tính t-ơng ứng có dạng f = 2y2+ + 3y3+ 5x1 + 3x2 + 4x3 - (y2+ - y2- ) = 40 + víi ®iỊu kiƯn 5x1 + 7x2 + 8x3 - (y3 - y3 ) = 55 x 0, y + 0, y - 0, j = 1, 2, 3; k = 2, j k k (§Ĩ dƠ so sánh với mô hình mà mục tiêu cã cïng møc -u tiªn nh- chØ sè d-íi biến phụ đ-ợc giữ nguyên nh- cũ) Dùng ph-ơng pháp đơn hình giải ta đ-ợc lời giải toán có y2+ = y3+ = 0, với f* = 0, lúc biến phụ y2+, y3+ loại bỏ khỏi mô hình Mô hình toán quy hoạch tuyến tính giai đoạn f = 5y2- + 4y3- víi điều kiện: 12x1 + 9x2 + 15x3 - y1+ + y1= 125 5x1 + 3x2 + 4x3 - y2- = 40 5x1 + 3x2 + 4x3 - y3- = 55 xj 0, yk+ 0, yk- 0, j = 1, 2, 3; k = 1, 2, Dùng ph-ơng pháp đơn hình giải toán ta nhận đ-ợc nghiệm x1 = 5; x2 = 0; x3 = 3,75 y1+ = 0; y1- = 8,75; y2- = 0; y3- = với f* = 43,75 Do lời giải nên trình giải kết thúc, ph-ơng án tối -u toán Xt.- = (x1, x2, x3 ) = (5; 0; 3,75) Nh- vËy, ë møc -u tiên 1: mục tiêu thỏa mÃn, mức -u tiên có mục tiêu lao động đ-ợc thỏa mÃn, mục tiêu lợi nhuận gần đạt đ-ợc (thiếu 8,75 triệu đồng) * Ph-ơng pháp trực tiếp Theo ph-ơng pháp mục tiêu đ-ợc đ-a lúc vào mô hình nh-ng với hệ số phạt đ-ợc nhân với nhân tử khác nhau, mức -u tiên cao nhân tử M lớn Nh- vậy, ph-ơng pháp khác với ph-ơng pháp tìm lời giải toán nhiều mục tiêu cách giải mô hình quy hoạch tuyến tính Ví dụ: §Ĩ dƠ h×nh dung ta xÐt tiÕp vÝ dơ víi số liệu cho bảng 1.3 Từ bảng cho thấy: - Các mục tiêu mức -u tiên đ-ợc gắn với hệ số phạt khác - Các hệ số phạt (2 3) mục tiêu có mức -u tiên đ-ợc nhân với hệ số M lớn Với hệ số phạt t-ơng tự cách lập toán nh- trên, ta đến mô hình quy hoach tuyến tính Z = 5y2- + 2My2+ + 4y2- + 3My3+ víi ®iỊu kiƯn 12x1 + 9x2 + 15x3 - (y1+ - y1-) 5x1 + 3x2 + 4x3 5x1 + 7x2 + 8x3 = 125 - (y2+ - y2-) = 40 - (y3+ - y3- ) = 55 xj 0, yk+ 0, yk- 0, j = 1, 2, 3; k = 1, 2, Và ta thu đ-ợc kết nh- 21 maxf3(X) với điều kiện XD f1(X) f10 - f1 f2(X) f2* - f2 Giả sử f3* giá trị tối -u toán, chuyển sang b-ớc B-ớc k Căn vào fk0 fk*, NNLG bắt fk nh-ợng l-ợng fk giải toán với điều kiện XD f1(X) f10 - f1 f2(X) f2* - f2 fk(X) fk* - fk Ph-ơng án tối -u toán cuối lấy làm ph-ơng án tối -u cho toán xuất phát ban đầu 2.1.2 Ph-ơng pháp tìm nghiệm có khoảng cách ngắn đến nghiệm lý t-ởng Theo ph-ơng pháp này, hàm lợi ích u tỷ lệ với khoảng cách từ ph-ơng án X D đến nghiệm lý t-ởng Ta gọi X1 gần nghiệm lý t-ởng X2 ph-ơng án X1 X2 Tr-ớc tiên ta định nghĩa nghiệm lý t-ởng khoảng cách đ-ợc xác định nh- 2.1.2.1 Định nghĩa Giả sử X1, X2 Rn Khoảng cách điểm X1, X2 số d xác định n d = xi xi2 i 1 víi X1 = (x11, x21, , xn1); X2 = (x12, x22, , xn2) Rn; lµ tham sè, Từ định nghĩa ta thấy d d d1, ®ã d = max xi1 – xi2 i 22 tiêu Cho toán quy hoạch đa mục maxf(X) X D, X* đ-ợc gọi nghiệm lý t-ởng toán X* nghiệm (nói chung không thiết ph-ơng án chấp nhận đ-ợc) mà giá trị hàm mục tiêu riêng rẽ đạt cực đại Giả sử fi* giá trị tối -u mục tiªu riªng rÏ: fi* = maxfi(X) víi X D Khi giá trị hàm mục tiêu f X* (f1*, , fk*) khoảng cách từ ph-ơng án X đến nghiệm lý t-ởng xác định k d = f i ( X ) f i i 1 2.1.2.2 Bài toán cực tiểu khoảng cách đến nghiệm lý t-ởng Bài toán k f i ( X ) f i i X D (2.1) (2.2) vấn đề xác định nói chung phụ thuộc vào toán cụ thể kết mặt lý thuyết để tìm thuật toán giải toán quy hoạch (2.1)(2.2) Xét tr-ờng hợp đặc biệt: (+) Tr-ờng hợp = Lúc giải to¸n d1 = X D XD k f i ( X ) f i , i (2.3) t-ơng đ-ơng với lời giải toán k max f i ( X ) X D i 1 (2.4) Lóc nµy X1 X2 k k i 1 i 1 fi(X1) > fi(X2) (+) Tr-êng hỵp = Bài toán d = max fi* – fi (X), X D X D 1 i k (2.4) 23 viết d-ới dạng W (2.5) fi* - fi(X) W, i = 1, , k (2.6) XD (2.7) NÕu X* nghiệm (2.5)-(2.7) nghiệm thỏa hiÖp tèt nhÊt theo nghÜa X D: X* X X* X (tr-ờng hợp sau xẩy X cịng lµ nghiƯm tèi -u) Ký hiƯu 1 = f1* - W nh-ợng mục tiêu thứ nhất, nh- quan điểm nh-ợng dựa nh-ợng đồng theo tất mục tiêu, ph-ơng án X* l trội nhượng l nhỏ Ngoài ra, tr-ờng hợp này, Xaluevatde có nêu thuật toán thỏa hiệp: quan hệ (), () đ-ợc dựa mêtric d: k k i i 1 X1 X2 fi* - fi(X1) < fi* - fi(X2), k k X1 ∽ X2 fi - fi(X1) = fi* - fi(X2) * i 1 i (+) Trong tr-ờng hợp chung, tập nghiệm (2.1)(2.2) tập nghiệm thỏa hiệp tốt Ng-ời ta đà chứng minh đ-ợc tập nghiệm thoả hiệp tốt tập tập nghiệm không cải tiến đ-ợc Zeleny (1974) đà chứng minh đ-ợc tËp c¸c nghiƯm tháa hiƯp øng víi d (1 ) nằm khoảng nghiệm ứng với d1 d 2.1.3 Ph-ơng pháp giải theo dÃy mục tiêu đ-ợc xếp Theo ph-ơng pháp này, hàm lợi ích đ-ợc thể d-ới dạng ẩn Còn việc xác định quan hƯ (), (∽) dùa trªn thø tù d·y tiªu chn (f1, f2, , fk) thứ tự dÃy thể mức độ quan trọng dÃy tiêu chuẩn, có -u tiên tuyệt đối cho mục tiêu đứng tr-ớc Thuật toán giải B-ớc Sắp xếp thứ tự mục tiêu f1, , fk B-ớc Giải toán Ký hiệu maxf1(X) (2.8) X D (2.9) 24 D1 = X1 f1(X1) = max f1(X) (2.10) X D Ta cã D1 D B-íc Gi¶i toán maxf2(X) (2.11) X D1 Ký hiệu D2 = X2 f2(X2) = max f2(X) (2.12) XD1 Ta cã D D1 D2 B-íc k Giải toán max fk(X) (2.13) X Dk Ký hiÖu Dk = Xk fk(Xk) = max fk(X) (2.14) X Dk 1 Ta cã D D1 Dk Khi X k Dk đ-ợc lấy làm nghiệm toán đa mục tiêu ban đầu 2.1.4 Thuật toán thích nghi ổn định tối -u hóa Xét toán quy hoạch đa mục tiêu maxf(X) (2.15) X D Rn (2.16) víi f(X) = (f1(X), , fk(X)) Giả thiết tồn X0 D vectơ tối -u NNLG, yêu cầu NNLG -ớc l-ợng giá trị mà thích fv0 , (v = 1, , k) với điều kiện xuất phát tồn fv0 = fv(X0) Giải toán E fv0 – fv(X) min, v = 1, , k X D, víi E lµ kú väng toán học Đặt độ lệch v(fv0(X)) = fv0 fv(X), (v = 1, , k) (2.17) 25 giải toán Giải toán (2.17) đ-ợc chuyển E v2(fv0(X) (2.18) X D, hay bµi toán t-ơng đ-ơng k v E ( f v f v ( X )) v1 X D, ë ®©y v > 0, (2.19) k v = v Hàm lợi ích tr-ờng hợp cách t-ờng minh mà NNLG ngụ ý D có hàm ý thích, Còn quan hệ (), () đ-ợc rút thông qua việc so sánh hàm mục tiêu fi, i = 1, , k Nghiệm toán (2.19) đ-ợc lấy làm nghiệm cho toán (2.15) (2.16) 2.1.5 Ph-ơng pháp trọng số Trong ph-ơng pháp hàm lợi ích u tuyến tính theo giá trị ph-ơng án Gắn cho hàm mục tiêu fi(X) trọng số pi t-¬ng øng víi pi 0, i = 1, 2, k ., k pi = 1, đặt p = (p1, p2, , pk) Lóc nµy hµm u ®-ỵc biĨu diƠn i 1 u(f(X)) = p, f(X) = k pifi(X) i Khi ta giải toán mục tiêu k max pi fi(X) i 1 XD TËp nghiÖm toán nghiệm toán đa mục tiêu ban đầu Quan hệ (), () rút thông qua so sánh hàm mục tiêu Về mặt thực tiễn, pi xem tỷ lệ qui đổi thứ nguyên mục tiêu thứ i Chẳng hạn, ta qui đổi tất mục tiêu dạng tiền tệ, pi biểu đơn vị mục tiêu thứ i đ-ợc thay pi đơn vị tiền tệ 2.2 Thuật toán tối -u pareto Xét toán quy hoạch đa mơc tiªu tun tÝnh (MOLP) 26 Vmax CX : X D Ta nhắc lại khái niệm 2.2.1 Định nghĩa Điểm X0 D đ-ợc gọi điểm hữu hiệu toán (MOLP) có CX CX0, víi X D th× CX = CX0 Điểm hữu hiệu gọi điểm tối -u Pareto Ký hiệu DE tập hợp điểm hữu hiệu toán (MOLP) T- t-ởng ph-ơng pháp từ đa mục tiêu, lấy riêng mục tiêu đó, ký hiệu Ci, X, xét toán quy ho¹ch (P) max Ci, X : X DE §Ĩ dƠ lý ln, chóng ta hiĨu vect¬ Ci lÊy riêng vectơ hàng ma trận C, nghĩa Ci không nằm ma trận C Giải toán (P), cho ta ph-ơng án tối -u Ph-ơng án tối -u tìm đ-ợc đ-ợc coi ph-ơng án tối -u cần tìm Nh- vậy, hiểu ph-ơng án tối -u toán đa mục tiêu ph-ơng án đ-ợc làm tối -u mục tiêu mà không xâm hại đến mục tiêu khác Để giải toán (P), ta cần nghiên cứu tập DE tính chất liên quan đến toán Ký hiệu Dex tập đỉnh D Giả sử Dex Chú ý Từ định lý 1.4.2.2, 1.4.2.3 vµ 1.4.2.4 ta thÊy r»ng: 1) NÕu toán quy hoạch đa mục tiêu có điểm hữu hiệu có đỉnh (ph-ơng án cực biên) điểm hữu hiệu 2) Nếu điểm X1, X2 điểm hữu hiệu kề tất điểm thuộc đoạn thẳng nối X1, X2 điểm hữu hiệu 3) Có thể xây dựng thuật toán giải toán đa mục tiêu cách trực quan tập ph-ơng án đa diện lồi D có đỉnh dễ xác định nh- sau: 2.2.2 Thuật toán giải toán (P) B-ớc chuẩn bị Xác định đỉnh D, giả sử ®Ønh Xi, i = 1, 2, , k B-íc Giải k toán quy hoạch tuyến tính (Pi) , t-¬ng øng víi Xi y0 = y1 + y2 + + yp max víi ®iỊu kiÖn 27 CX – Y = CXi AX = B X0 Y = (y1, , yp) i = 1, 2, , k B-íc NÕu tồn i0 mà hàm mục tiêu y0 không bị chặn tập ph-ơng án toán (P) điểm hữu hiệu Dừng thuật toán B-ớc Nếu tồn ph-ơng án tối -u (X1, Y1) toán (Pi) mà y0 = Xi t-ơng ứng điểm hữu hiệu toán (P) B-ớc Nếu (X1, Y1) ph-ơng án tối -u với giá trị maxy0 > X1 điểm hữu hiệu toán đa mục tiêu (P) B-ớc Từ b-ớc b-ớc ta có đ-ợc ph-ơng án cực biên D điểm hữu hiệu toán (P), giả sử đỉnh X1, X2, , Xr B-íc T×m maxf(Xi) : i = 1, 2, , r = f(Xl) Ta đ-ợc Xl ph-ơng án tối -u cần tìm toán (P) 2.2.3 Ví dụ Ta lấy lại ví dụ Bảng 1.4 ch-ơng sản xuất bàn, ghế đà xét (tạm không xét đến điều kiện nguyên) Lúc toán với tập ph-ơng án có đỉnh Bảng 2.2 C1, X = C2, X = 60x1 + 25x2 x1 + x2 O(0; 0), 0 A(0; 50), 1250 50 B(12; 30), 1470 42 D(19,5; 0) 1170 19,5 §Ønh x2 80- 40x1+ 10x2 = 780 50- A(0; 50) 30B(12; 30) 5x1+ 3x2 = 150 10 D(19,5; 0) 20 30 x1 Hình 2.1 Giải toán (Pi), i = 1, 2, cho thấy đỉnh A(0; 50) B(12; 30) điểm hữu hiệu Lúc chọn mục tiêu thứ làm tối -u, chẳng hạn (2x1 + 3x2) ph-ơng án tối -u Pareto lµ 28 max(2x1 + 3x2) = max(2.12+3.30; 2.0+3.50) = max(114; 150) = f(A) Vậy đỉnh A(0; 50) ph-ơng án tối -u cần tìm 2.3 Thuật toán Pareto nới lỏng Sau ta trình bày Thuật toán nới lỏng giải toán quy hoạch đa mục tiêu ph-ơng pháp Pareto [5] 2.3.1 Cơ sở lý luận Tác giả H P Benson (1982) đà chứng minh đ-ợc định lý 1.4.2.5 làm sở lý luận cho thuật toán Nh- vậy, để giải toán (P), tr-ớc hết ta giải toán quy hoạch tuyến tính (LP) max Ci, X : X D Giả sử toán (LP) có ph-ơng án tối -u đỉnh Xd Nếu Xd DE Xd ph-ơng án tối -u cần tìm Nếu Xd DE, điều có nghĩa Xd xâm phạm mục tiêu khác Ký hiệu = Rn : , e r, e, ®ã e = (1, 1, , 1) Rn, r số thực d-ơng Tác giả J Philip (1972) đà chứng minh đ-ợc định lý sau làm sở cho việc xét điểm X D có phải điểm hữu hiệu hay không 2.3.1.1 Định lý Điểm X0 D điểm hữu hiệu (X0 DE) tồn vectơ cho X0 ph-ơng án tối -u toán (P) cho max 0CX : X D Nh vËy, b¯i to²n (P) cã thể xét tương đương với bi ton (P) = Ci, X TCX TC Xˆ , víi Xˆ D XD Chú ý toán nêu toán quy hoạch song tuyến tính với ẩn X §Ĩ gi°i b¯i to²n (P’), J W 29 Blankenship J E Falk (1976) đà đ-a thuật toán nhánh cận H P Benson đà sử dụng thuật toán nhánh cận để giải toán (P) Ph-ơng pháp mà Benson thực nh- vậy, đ-ợc gọi thuật toán nới lỏng (thay xét DE, ta xét D) Chú ý rằng, giả sử ë b-íc lỈp k, (k = 0, 1, ), ta có điều kiện toán (P) TCX TCXk, víi Xk D XD ®ã Xk Dex DE, (k = 0, 1, ) đạt đ-ợc trình thuật toán Khi b-ớc k + thực với viƯc gi°i b¯i to²n (P’) cã ®iỊu kiƯn TCX TCXk+ 1, víi Xk+1 D XD Từ kết đà nêu, ta có thuật toán giải toán (P) 2.3.2 Thuật toán nới lỏng giải toán (P) Thuật toán nới lỏng sau đ-ợc thực với việc xem nh- thuật toán nhánh cận giải toán mà J W Blankenship J E Falk (1976) đà đ-a đ-ợc thực B-ớc xuất phát Chọn điểm X0 DE Dex Tìm vectơ cho X0 ph-ơng án tối -u toán (P) Tại = 0, đặt k = B-ớc k, (k = 0, 1, ) k.1 Tìm ph-ơng án tối -u (Xk+1, k+1) toán nới lỏng ph-ơng pháp nhánh cận k+1 = Ci, X víi ®iỊu kiƯn TCX TCXk, víi Xk D XD k.2 NÕu k+1 = Ci, Xj, víi mét j 0, 1, , k dừng lại: Xj ph-ơng án tối -u toán (P) số j t-ơng ứng Nếu ng-ợc lại, k+1 Ci, Xj, với mäi j 0, 1, , k th× tiÕp tơc k.3 Giải toán quy hoạch tuyến tính maxe CX : CX CXk+1, X 30 T D, đ-ợc ph-ơng án tối -u X* D Nếu eTCX* = eTCXk+1, dừng lại: Xk+1 ph-ơng án tối -u toán (P) Nếu ng-ợc lại, eTCX* eTCXk+1, tiếp tục k.4 Giải toán quy hoạch tuyến tính max(k+1)TCX : X D đ-ợc ph-ơng án tối -u X** Đặt Xk+1 := X**, k := k + 1, råi trë l¹i b-íc k 2.3.3 VÝ dụ (Ví dụ đ-ợc thực báo đà nêu Benson) Giải toán quy hoạch đa mục tiêu thuật toán nới lỏng cho D = (x1, x2, x3) R3 tháa m·n ®iỊu kiƯn 2x1 + x2 16, 8x1 + 5x2 66, 2x1 + 3x2 27, x1 0, x2 7, x3 vµ 1 0 , Ci = (-1, 0, 1) C = Tập D, Dex DE đ-ợc cho Hình 1, DE bao gồm điểm không gian chiều, thuộc diện HIFG, IJEF, JKNE Bảng 3.5 ghi điểm cực biên D Giá trị cực đại D, X D điểm nằm cạnh AB Bảng 2.3 Các điểm cực biên D Điểm cực biên Tọa độ A B C D E F G H I J K (0, 0, 2) (0, 7, 2) (0, 7, 0) (3, 7, 0) (9/2, 6, 0) (7, 2, 0) (8, 0, 0) (8, 0, 2) (7, 2, 2) (9/2, 6, 2) (3, 7, 2) x3 A H O B K I F C x2 N G J E H×nh 2.2 x1 31 O (0, 0, 0) B-íc chn bÞ Chän 0 = (9,0; 5,0)T Giải toán quy hoạch tuyến tính (P) với = đ-ợc ph-ơng án tối -u điểm cực biên điểm hữu hiệu (theo định lý 2.3.1.1) X0 = F = (7,0; 2,0; 0,0) Đặt k = B-ớc 0.1 Sư dơng tht to²n níi láng nh²nh v¯ cận gii bi ton (P), tìm ph-ơng án tối -u (X1, 1) = [(0,0; 4,3860; 2,0), (1,0; 9,5)] víi 1 = 2,0 0.2 Tõ 1 = 2,0 vµ Ci, X0 = -7,0 2,0 Tiếp tục 0.3 Giải toán quy hoạch tuyến tính maxeTCX CX CX1 XD đ-ợc nghiệm X* = (4,5; 6,0; 0,0) víi eTCX* = 10,50 Do eTCX1 10,50 nªn ta tiếp tục (Điểm X1 điểm hữu hiệu) 0.4 Giải toán quy hoạch tuyến tính (P) với = = (1,0; 9,5), ta đ-ợc nghiệm X** = (4,5; 6,0; 0,0) Chóng ta g¸n X1 := (4,5; 6,0; 0,0) th× X1 DE Dex Chóng ta đặt k = chuyển sang b-ớc B-ớc 1.1 Sư dơng tht to²n níi láng nh²nh v¯ cận gii bi ton (P), tìm ph-ơng án tối -u (X2, 2) = [(0,0; 6,2368; 2,0), (1,0; 19,0)] víi 2 = 2,0 1.2 Tõ 2 = 2,0; Ci, X0 Ci, X1 2,0 Tiếp tục 1.3 Giải toán quy hoạch tuyến tính maxeTCX CX CX2 XD đ-ợc nghiệm X* (4,1447; 6,2368; 0,0) víi eTCX* 10,3816 Do eTCX1 10,3816 nªn ta tiếp tục (Điểm X2 điểm hữu hiệu) 1.4 Giải toán quy hoạch tuyến tính (P) với = = (1,0; 19,0), ta đ-ợc nghiệm X** = (3,0; 7,0; 0,0) Chóng ta g¸n X2 := (3,0; 7,0; 0,0) th× X2 DE Dex Chóng ta đặt k = chuyển sang b-ớc 32 B-íc 2.1 Sư dơng tht to²n níi láng nhnh v cận gii bi ton (P), tìm ph-ơng ¸n tèi -u (X3, 3) = [(3,0; 7,0; 2,0), (1,0; 1,5)] víi 3 = -1,0 2.2 Tõ 3 = -1,0; Ci, X0, Ci, X1 vµ Ci, X2 -1,0 TiÕp tục 2.3 Giải toán quy hoạch tuyến tính maxeTCX CX CX3 XD đ-ợc nghiệm X* = (3,0; 7,0; 0,0) víi eTCX* = 10,0 Do eTCX3 = eTCX* = 10,0 Thuật toán dừng Ph-ơng án X3 = (3,0; 7,0; 2,0) ph-ơng án tối -u cần tìm toán (P) Kết luận Với đề ti đ nêu bi ton quy hoch đa mục tiêu, l vấn đề rộng lớn đ-ợc ứng dụng nhiều ngành kinh tế kỹ thuật Chúng hạn chế đ-a đ-ợc số ví dụ cụ thể cho thấy ứng dụng toán đa mục tiêu đ-a số ph-ơng pháp giúp giải toán Trong thời gian ngắn ngủi lực nhiều hạn chế, góp đ-ợc số kết sau Đ-a toán đa mục tiêu, h-ớng tiếp cận giải toán Phát biểu chứng minh số tính chất quan trọng toán Trình bày số ph-ơng pháp 33 để giải toán, đặc biệt thuật toán Pareto thuật toán Pareto nới lỏng giúp giải toán cách có hiệu Chúng hy vọng bổ sung thêm lực cần thiết, tiếp tục nghiên cứu thu đ-ợc kết bổ ích Để có đ-ợc tiến sau lần tập d-ợt này, ng-ời viết mong muốn nhận đ-ợc nhiều ý kiến đóng góp, xây dựng thầy cô giao bạn bè Chúng xin chân thành cảm ơn Tài liệu tham khảo [1] Trần Vũ Thiệu, Giáo trình tối -u tuyến tính, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2004 [2] Bùi Minh Trí, Quy hoạch toán học, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội, 2005 [3] Hoàng Tụy, Phân tÝch hƯ thèng vµ øng dơng, NXB Khoa häc vµ kü thuËt, Hµ Néi, 1987 [4] H P Benson, An all-linear programming relaxation algorithm for optimizing over the efficient set, University of Florida, College of Business Administration Gainesville, Florida 32611-2017, USA, Journal of Global Optimization, N0 (1991), 83-104 34 Mục lục trang Lời nói đầu Ch-ơng Quy hoạch đa mục tiêu 1.1 Bài toán 1.2 Ví dụ 1.3 Các h-ớng tiếp cận giải toán quy hoạch đa mục tiêu 1.4 Một số tính chất toán quy hoạch đa mục tiêu tuyến tính Ch-ơng thuật toán giải quy hoạch ®a mơc tiªu 16 19 tun tÝnh 2.1 Tỉng quan ph-ơng pháp giải toán đa mục tiêu 19 2.2 ThuËt to¸n tèi -u pareto 26 2.3 ThuËt to¸n Pareto níi láng 28 35 KÕt ln 33 Tµi liƯu tham kh¶o 34 ... 83-104 34 Mục lục trang Lời nói đầu Ch-ơng Quy hoạch đa mục tiêu 1.1 Bài toán 1.2 Ví dụ 1.3 Các h-ớng tiếp cận giải toán quy hoạch đa mục tiêu 1.4 Một số tính chất toán quy hoạch đa mục tiêu tuyến... Bài toán nhiều mục tiêu ban đầu chuyển toán quy hoạch thông th-ờng với hàm mục tiêu h(X) h(X) XD Trên số cách tiếp cận để giải toán quy hoạch đa mục tiêu 1.4 Một số tính chất toán quy hoạch đa. .. chọn đề ti Bài toán quy hoạch đa mục tiêu Trong phạm vi khoá luận tốt nghiệp, dám nêu mục đích đề tài đ-a toán quy hoạch đa mục tiêu số h-ớng tiếp cận toán Từ đ-a số thuật toán để giải toán Khoá