Các điều kiện tối ưu cấp hai với hiện tượng envelope like trong các bài toán quy hoạch đa mục tiêu không trơn

i BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TP.HCM ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI VỚI HIỆN TƯỢNG ENVELOPE-LIKE TRONG CÁC BÀI TỐN QUY HOẠCH ĐA MỤC TIÊU KHƠNG TRƠN Mã số: CS – 2013 - 37 Chủ nhiệm: TS Nguyễn Đình tuấn Tp Hồ Chí Minh 12 – 2013 M÷C L÷C M÷C L÷C Ch˜Ïng m ¦u L˛ chÂn · t i Mc tiảu v kát quÊ nghiản cu Ph˜Ïng ph¡p nghi¶n c˘u 4 K¸t c§u cıa · t i Ch˜Ïng 1: MỴt sË cÊng cˆ gi£i t½ch Lipschitz ‡a ph˜Ïng khÊng trÏn v c¡c kh¡i ni»m và cĂc têp tiáp xc cĐp mẻt v cĐp hai Ch˜Ïng 2: Kh¡i ni»m h m l-Ín ‡nh vÊ h˜Ĩng cÙng nh vectẽ v mẻt sậ tẵnh chĐt ca chng Ch˜Ïng 3: KhĂi niằm Ôo h m theo hểng a tr cĐp hai v cĂc tẵnh chĐt ca chng 11 Chẽng 4: CĂc iÃu kiằn tậi u cƯn cĐp hai vểi hi»n t˜Òng envelope-like 15 Ch˜Ïng 5: C¡c i·u ki»n tËi ˜u ı c§p hai 25 Kát luên v hểng nghiản cu m rẻng à t i 28 T i li»u tham kh£o 29 C¡c b i bĂo khoa hc liản quan trác tiáp án à t i nghi¶n c˘u 31 Ch˜Ïng m ¦u L˛ chÂn · t i Trong quy hoÔch toĂn hc, v tng quĂt hẽn tậi u ha, cĂc iÃu kiằn tậi u cĐp hai chiám mẻt v trẵ quan trng, vẳ n cung cĐp thấng tin thảm quan cho cĂc iÃu kiằn tậi u cĐp mẻt Ăp ng cho sá phƠn loÔi ng dng th¸c t¸, c¡c b i to¡n tËi ˜u ˜Ịc xem x²t, v ‚ c¡c cÊng cˆ v kˇ thuªt nghiản cu, ng y c ng tr nản phc tÔp hẽn Tuy nhiản chng ta c th nhên thĐy rơng, a sậ cĂc kát quÊ nghiản cu liản quan  c, nẻi dung chẵnh ca cĂc kát quÊ và i·u ki»n tËi ˜u c§p hai c‚ thº ˜Ịc kh¯ng nh mẻt cĂch tẽng tá nh kát quÊ c in l Ôo h m cĐp hai ca cĂc h m mˆc ti¶u (ho°c c¡c h m Lagrange c¡c b i toĂn c r ng buẻc) tÔi cĂc im tiu l khấng Ơm Kawasaki [17] l nh nghiản cu Ưu tiản cho thĐy rơng cĂc Ôo h m theo h˜Ĩng c§p hai cıa h m Lagrange c‚ thº Ơm tÔi cĂc im tiu, náu Ôo h m theo h˜Ĩng cıa h m k¸t hỊp b i h m mc tiảu v cĂc r ng buẻc nơm trản phƯn c biằt ca biản ca nn hềp Ơm tẵch cĂc khấng gian Ênh ặng Đy gi hiằn tềng n y l hi»n t˜Ịng envelope-like C¡c k¸t qu£ cıa Kawasaki  ềc nhiÃu nh nghiản cu phĂt trin [6, 8, 25, 26], luÊn luÊn xem x²t c¡c b i toĂn quy hoÔch vấ hểng thuẻc lểp C2, giậng nh [17] Trong quy hoÔch a muc tiảu, cĂc kát quÊ Ưu tiản thuẻc kiu n y ềc nghiản c˘u [14, 15] cÙng x²t cho c¡c tr˜Ìng hỊp trẽn ậi vểi quy hoÔch a mc tiảu khấng trẽn, Gutirrez-Jimnez-Novo [13]  dng cĂc Ôo h m theo hểng cĐp hai Dini v parabolic a tr thiát lêp c¡c i·u ki»n tËi ˜u c§p hai vĨi hi»n t˜Ịng envelope-like H xem x²t c¡c h m kh£ vi Fr²chet m Ôo h m ca n l liản tc hoc n nh tÔi im nghiản cu Tuy nhiản, văn cÃn nhi·u t¡c gi£ ch˜a nhªn hi»n t˜Ịng envelope-like nghiản cu cĂc iÃu kiằn tậi u cĐp hai iÃu n y c th dăn án mẻt sậ sai lƯm khÊng bi¸t HÏn n˙a, c¡c b i b¡o n‚i tr¶n, Êi khÊng x¡c ‡nh ˜Ịc n o th¼ hi»n t˜Ịng envelop-like x£y v n o thẳ khấng CĂc quan sĂt trản Ơy l ngun cÊm hng cho mc ẵch nghiản cu Ưu tiản ca chng tÊi · t i nghi¶n c˘u n y l l m r„ hi»n t˜Òng envelope-like c¡c i·u ki»n tậi u cĐp hai Mt khĂc, mẻt cĂch tiáp cên chẵnh cho tậi u khấng trẽn l à xuĐt v Ăp dng cĂc Ôo h m suy rẻng thẵch hềp thay thá Ôo h m GƠteaux v Frchet c in khấng tn tÔi thiát lêp cĂc iÃu kiằn tậi u NhiÃu loÔi Ôo h m  ềc dng, mẩi loÔi Ãu c thuên lềi riảng mẻt sậ tẵnh huậng c th nhng khấng thuên lềi cho tĐt cÊ cĂc trèng hềp GƯn Ơy, cĂc Ôo h m a tr‡ cho h m vectÏ Ïn tr‡ ¢ ˜Ịc s˚ dˆng hi»u qu£ º cung c§p c¡c quy tc nhƠn t cĂc quy hoÔch khấng trẽn, xem [5, 10, 11, 13, 19, 23] (nh˜ng [5, 10, 11, 19, 23], hi»n t˜Òng envelope-like khÊng x£y ra) C¡c quan s¡t n y l nguÁn c£m h˘ng ti¸p theo cho mc ẵch nghiản cu th hai ca chng tấi · t i nghi¶n c˘u n y l ¡p dˆng Ôo h m theo hểng cĐp hai Hadamard ( ềc à xuĐt [19]) cng vểi tẵnh chĐt l-n nh ( ềc nghiản cu [2, 3, 4, 12]) ¤t ˜Ịc c¡c i·u ki»n tËi ˜u c§p hai mĨi cÊi thiằn v m rẻng cĂc kát quÊ nghiản cu gƯn Ơy Vẳ giĂ tr ca Ôo h m theo hểng cĐp hai Hadamard tÔi mẻt im thẳ lển hẽn giĂ tr ca cĂc Ôo h m theo hểng cĐp hai Dini v parabolic, c¡c i·u ki»n c¦n cıa chÛng tấi mÔnh hẽn cĂc iÃu kiằn cƯn [13] Hẽn na, chng tấi nểi lng cĂc giÊ thiát chẵnh t [13]: thay thá lƯn lềt tẵnh khÊ vi liản tc v n nh b i tẵnh khÊ vi cht v l-n nh Mc tiảu v kát qu£ nghi¶n c˘u ChÛng tÊi xem x²t b i to¡n quy hoÔch a mc tiảu sau Ơy Cho cĂc h m n g:R →R p B i to¡n d˜Ĩi s¸ xem x²t cıa chÛng tÊi l (P) N¸u K = Rn+, thẳ r ng buẻc g(x) K tr th nh r ng buẻc bĐt ng thc thấng thèng Chng tấi dng cĂc Ôo h m theo hểng a tr Hadamard v Dini d˜Ĩi gi£ thi¸t kh£ vi ch°t (trong c¡c i·u ki»n tËi ˜u c¦n) hay l-Ín ‡nh (trong cĂc iÃu kiằn tậi u ) thiát lêp cĂc iÃu kiằn tậi u cĐp hai mểi vểi tẵnh chĐt envelope-like ˜Òc l m r„ hÏn cho b i to¡n quy hoÔch a mc tiảu khấng trẽn (P) C th, à t i thác hiằn cĂc mc tiảu nghiản cu sau ¥y + Kh¡i ni»m h m l-Ín ‡nh vÊ hểng cng nh vectẽ v mẻt sậ tẵnh chĐt ca chng + KhĂi niằm Ôo h m theo hểng a tr cĐp hai v cĂc tẵnh chĐt ca chng + CĂc iÃu kiằn cƯn tậi u cĐp hai vểi hiằn t˜Ịng envelope-like cho c¡c nghi»m y¸u ‡a ph˜Ïng cıa (P) + (P) C¡c i·u ki»n tËi ˜u ı c§p hai cho c¡c nghi»m chc chn ‡a ph˜Ïng cıa C¡c k¸t qu£ cıa · t i ho n thi»n c¡c k¸t quÊ Â c lắnh vác nghiản cu cĂc iÃu kiằn tậi u cĂc b i toĂn quy hoÔch a mc tiảu khấng trẽn CĂc kát quÊ nghiản cu n y ¢ ˜Ịc t¡c gi£ v GS.TSKH Phan Qc KhĂnh, trèng Ôi hc Quậc tá, Ôi hc Quậc gia Tp HCM cấng bậ trản mẻt tÔp chẵ khoa hc quậc tá hằ thậng ISI Phẽng phĂp nghiản c˘u · t i nghi¶n c˘u dÚng c¡c cÊng cˆ v k thuêt giÊi tẵch khấng trẽn, giÊi tẵch a tr v giÊi tẵch h m Kát cĐu cıa · t i · t i bao gÁm chẽng ã Chẽng m Ưu: L thác hiằn à t i, mc tiảu v kát quÊ nghiản cu ca · t i Ch˜Ïng 1: MỴt sË cÊng cˆ gi£i t½ch Lipschitz ‡a ph˜Ïng khÊng trÏn v c¡c kh¡i niằm và cĂc têp tiáp xc cĐp mẻt v cĐp hai • Ch˜Ïng 2: Kh¡i ni»m h m l-Ín ‡nh vấ hểng cng nh vectẽ v mẻt sậ tẵnh chĐt ca chng ã ã Chẽng 3: KhĂi niằm Ôo h m theo hểng a tr cĐp hai v cĂc tẵnh chĐt ca chng ã Chẽng 4: CĂc iÃu kiằn cƯn tậi u cĐp hai vểi hiằn tềng envelope-like ã Chẽng 5: C¡c i·u ki»n tËi ˜u ı c§p hai v Chẽng 1: Mẻt sậ cấng c giÊi tẵch Lipschitz ‡a ph˜Ïng khÊng trÏn v c¡c kh¡i ni»m v· cĂc têp tiáp xc cĐp mẻt v cĐp hai Nv R lƯn lềt l ậi ngău topo ca of X; X, X l nh chuân bĐt k v n n kx − yk < r}; Sn = {y ∈ R : kyk = 1}; Sn∗ = {y ∈ (R )∗ : kyk = 1}; L(X, Y ) l k˛ hi»u khấng gian cĂc Ănh xÔ tuyán tẵnh b chn t X v o Y , ‚ X v Y l c¡c khÊng gian ‡nh chu©n VĨi n‚n C ⊂ Rn, k˛ hi»u C∗ = {c∗ ∈ (Rn)∗ : hc∗, ci ≥ 0, n ∀c ∈ C} l n‚n Ëi c¸c cıa C VĨi A ⊂ R , c¡c k˛ hi»u riA, intA, clA, bdA, convA, coneA v LinA l¦n l˜Ịt l ph¦n t˜Ïng Ëi, ph¦n trong, bao ‚ng, bi¶n, bao lÁi, bao n‚n cıa A v khÊng gian tuyán tẵnh sinh b i A Vểi t > 0.v r ∈ N, o(tr) l k˛ hi»u cıa mỴt iºm phˆ thc v o t cho o(tr)/tr → t 0+ Chng ta hÂy nhể lÔi mẻt sậ nh nghắa sau Ơy nh xÔnáu f : Rn X, X n c Ôo h m l khÊng gian gian ‡nh chu©n, ˜Ịc gÂi l kh£ vi cht tÔi x Rn (x) tÔi x v limy→x,t→0+ suph∈Sn k t (f(y + th) − f(y)) − f (x)hk = Lipschitz ‡a ph˜Ïng f : Rn → Rm, Jacobian suy rỴng VĨi h m ca f tÔi x ềc nh nghắa b i Frchet f0 Clarke ∂f(x) = conv{limf (xk) : xk ∈ Ω, xk → x}, ‚ f kh£ vi Ω, vĨi Ω l tªp trÚ mªt b i ‡nh l Rademacher Mẻt v i tẵnh chĐt cẽ bÊn ca Jacobian suy rẻng Clarke ềc liằt kả mằnh à sau ¥y M»nh · 1.1 ([7]) Cho f : Rn Rm l h m Lipschitz a phẽng tÔi x Khi , n m (i) f(x) l têp compôc li kh¡c rÈng L(R , R ); (ii) ∂f(x) l têp mẻt im náu v ch náu f l khÊ vi cht tÔi x: f(x) = {f0(x)}; (iii) f(x) = {limk→∞vk : vk ∈ ∂f(xk), xk → x}, n‚i c¡ch khĂc (vẳ f(x) l compôc), Ănh xÔ f(.) l na liản tc trản tÔi x; (iv) (nh l giĂ tr trung bẳnh Lebourg) náu f l Lipschitz a phẽng mẻt lƠn cên li U ca x v a, b ∈ U, th¼ f(b) − f(a) ∈ conv(∂f([a, b])(b − a)) v m = 1, tn tÔi mẻt im c ∈ (a, b) cho f(b) − f(a) ∈ f(c)(b a) Giè Ơy, ta nhc lÔi cĂc khĂi niằm và cĂc nn tiáp xc v têp tiáp xc cĐp hai s ềc s dng phƯn sau ‡nh ngh¾a 1.2 Cho x0, u ∈ Rn v M Rn (a) Nn contingent ca M tÔi x0 l n + T (M, x0) = {v ∈ R : ∃tk → , ∃vk → v, ∀k ∈ N, x0 + tkvk ∈ M} (b) N‚n ti¸p xÛc ca M tÔi x0 l n + IT (M, x0) = {v ∈ R : ∀tk → , ∀vk → v, ∀k ı lÓn, x0 + tkvk ∈ M} (c) Têp contingent cĐp hai ca M tÔi (x0, u) l n + T (M, x0, u) = {w ∈ R : ∃tk → , ∃wk → w, ∀k ∈ N, x0 + tku + 2 t kwk M} (d) Nn tiáp xc cĐp hai tiằm cên ca M tÔi (x0, u) l n + + T 00 (M, x0, u) = {w ∈ R : ∃(tk, rk) → (0 , ) : tk/rk → 0, ∃wk → w, ∀k ∈ N, x0 + tku + Têp kà cĐp hai ca M tÔi (x0, u) l (e) n tkrkwk + ∈ M} A (M, x0, u) = {w ∈ R : ∀tk → , ∃wk → w, ∀k ∈ N, x0 + tku + (f) 2 t kwk M} Têp tiáp xc cĐp hai ca M tÔi (x0, u) l n + IT (M, x0, u) = {w ∈ R : ∀tk → , ∀wk → w, ∀k ı lÓn, x0 + tk u + 2 t kwk ∈ M} M»nh à sau Ơy tm tt mẻt sậ tẵnh chĐt cẽ bÊn ca cĂc têp tiáp xc cĐp hai trản n n M ⊂ R , x0 ∈ R v u ∈ R M»nh · 1.3 Cho Khi ‚, n (i) IT 2(M, x0, u) ⊂ A2(M, x0, u) ⊂ T 2(M, x0, u) ⊂ clcone[cone(M − x0) − u]; (ii) náu u T (M, x0), thẳ T 2(M, x0, u) = Náu, thảm na, M l li, intM 6= ∅ v u ∈ T (M, x0), th¼ (xem [15, 24, 28]) (iii) intcone(M − x0) = IT (intM, x0); (iv) náu A2(M, x0, u) 6= , thẳ (v) 2 IT (M, x0, u) = intA (M, x0, u), clIT (M, x0, u) = A (M, x0, u); náu u cone(M x0), thẳ (a) IT 2(M, x0, u) = intcone[cone(M − x0) − u]; (b)A2(M, x0, u) = clcone[cone(M − x0) − u] Ch˜Ïng 2: Kh¡i ni»m h m l-Ín ‡nh vÊ hểng cng nh vectẽ v mẻt sậ tẵnh chĐt ca chÛng H m h : Rn → Rm ˜Òc gÂi l n nh tÔi x Rn náu tn tÔi mẻt lƠn cên U ca x v > cho, vÓi mÂi y ∈ U, kh(y) − h(x)k ≤ ϑky − xk ‡nh ngh¾a 2.1 ([2, 12]) (i) ¤o h m theo h˜Ĩng d˜Ĩi (t˜Ïng ˘ng, tr¶n) cıa h m : Rn R tÔi x theo h˜Ĩng u ˜Ịc ‡nh ngh¾a b i l ϕ (x, u) = lim inft→0+ t (ϕ(x + tu) − ϕ(x)) u (t˜Ïng ˘ng, ϕ (x, u) = lim supt→0+ t (ϕ(x + tu) − ϕ(x))) H m ϕ ềc gi l l-n nh (tẽng ng, u-n nh) tÔi x náu tn tÔi mẻt (ii) lƠn cên U ca x v ϑ > cho, vÓi mÂi y ∈ U v u ∈ Sn, l l |ϕ (y, u)−ϕ (x, u)| ≤ ϑky −xk (t˜Ïng ˘ng, |ϕu(y, u) u(x, u)| ky xk) Mẻt sậ tẵnh ch§t cıa h m l-Ín ‡nh ϕ : Rn → R ˜Òc t‚m tt m»nh · sau M»nh · 2.2 (i) (ii) ([2, 4]) H m l-Ín ‡nh l Lipschitz ‡a ph˜Ïng v kh£ vi ch°t ([12]) ϕ l l-n nh tÔi x náu v ch náu l khÊ vi (Frchet) tÔi x v tn tÔi mẻt lƠn cên U ca x cho l Lipschitz trản U, v kϕ0 (y) − ϕ0 (x)k ≤ ϑky − xk hƯu hát U (theo nghắa ẻ o Lebesgue) (iii) ([12]) C¡c kh¡i ni»m l-Ín ‡nh v u-Ín ‡nh l v h¬ng sË ϑ ˜Ịc ¡p dˆng giËng c¡c b§t ¯ng th˘c (2.1) ho°c (2.2) B i M»nh · 2.2 (iii), ph¦n sau ta ch¿ s˚ dng Ôo h m theo hểng dểi v l-n nh, cÃn Ôo h m theo hểng trản v u-n nh ềc nhc án cƯn thiát KhĂi niằm l-n nh ˜Ịc m rỴng cho c¡c h m vectÏ nh˜ sau nh nghắa 2.3 ([3]) Ôo h m theo tÔi x theo h˜Óng u Ëi vÓi ξ∗ ∈ (Rm)∗ Φ ξ∗ (x, u) = lim inft→0+ thξ∗, Φ(x + tu) − Φ(x)i l ∗ thξ , Φ(x + tu) (x)i) Tẵnh chĐt giĂ tr trung bẳnh sau Ơy cho cĂc h m vectẽ liản tc s cƯn án cha oÔn Mằnh à 2.4 ([3]) Cho h m : Rn Rm liản tc trản mẻt têp m U ⊂ Rn [a, (t˜Ïng ˘ng, Φuξ ∗ m ∗ ∗ (x, u) = lim supt→0+ b] v ξ ∈ (R ) Khi , tn tÔi cĂc im 1, γ2 ∈ (a, b) cho Φ ξ∗ (γ1, b − a) ≤ hξ∗, Φ(b) − Φ(a)i ≤ Φ ξ∗ (γ2, b − a) l l ‡nh ngh¾a 2.5 Cho h m Φ : Rn → Rm v = C∗ ∩ Sm∗ (i) ([3]) Gi£ s˚ C ⊂ Rm l n‚n lÁi, ‚ng v nhÂn vÓi intC 6= ∅ ềc gi l l-n nh tÔi x theo nghắa ca Bednarẵk-Pastor náu > cho, vểi mÂi y ∈ U, u ∈ Sn, v ξ ∈ , l (ii) tn tÔi mẻt lƠn cên U ca x v l |Φ ξ∗ (y, u) − Φ ξ∗ (x, u)| ≤ ϑky − xk ([12]) Φ ˜Òc gÂi l l-n nh tÔi x theo nghắa ca Ginchev náu, vÓi mÂi ∗ ξ ∈ (R )∗, h m vÊ h˜Ĩng Φξ∗ (.) := hξ∗, Φ(.)i l m Hiºn nhi¶n, náu h m vấ hểng hay nh, thẳ f l l-n nh l-n nh tÔi x vectẽ f c Ôo h m Frchet f0 l n Mẻt v i tẵnh chĐt ca cĂc h m vectẽ l-n nh ềc têp hỊp d˜Ĩi ¥y (xem [3, 12]) M»nh · 2.6 (i) ([12]) : R tÔi mẻt lƠn cên U ca x v |Φ ξ∗ (y, u) − Φ ξ∗ (x, u)| ≤ ϑkξ∗kky − xk (ii) ([12]) Φ : Rn Rm l l-n nh tÔi x theo nghắa ca Ginchev náu v ch náu n khÊ vi Frchet tÔi x v tn tÔi mẻt lƠn cên m U ca x v ϑ > cho Φ l Lipschitz trản U, v , vểi hƯu hát y U, kΦ0 (y) − Φ0 (x)k ≤ ϑky − xk l l (iii) ([3, 12]) N¸u h m Φ : Rn Rm l l-n nh tÔi x theo nghắa ca Bednarẵk- Pastor hoc Ginchev, thẳ l Lipschitz a phẽng tÔi x v khÊ vi cht tÔi x Sau Ơy, ta chng minh rơng hai nh nghắa trản và l-n ‡nh cho c¡c h m vectÏ l t˜Ïng ˜Ïng M»nh · 2.7 N¸u Φ : Rn → Rm l l-n nh tÔi x theo nghắa ca Ginchev, thẳ bĐt ng thc nh nghắa và l-n nh ca Bednarẵk-Pastor tha mÂn Náu C l nhn v intC 6= , thẳ hai nh nghắa trản l tẽng ẽng Chng minh T¯ M»nh · 2.6 (i), ta suy r¬ng l l-n nh tÔi x theo nghắa ca Ginchev náu v ch náu tn tÔi mẻt lƠn cên U cıa x v ϑ > cho, vÓi mÂi y ∈ U, u ∈ Sn, v ξ∗ ∈ Sm∗, Vẳ thá, bĐt ng thc n y tha mÂn cho Sm ca Bednarẵk-Pastor Ngềc lÔi, giÊ s C l V¼ Lin =( with ri = 1, , m cho ei e∗ , x h i R = i =x i tÔi x0 vểi h01(x0), , h0r(x0) ẻc lêp tuyán tẵnh, thẳ iÃu kiằn (MF) th‰a m¢n vĨi S = {0} v , ‚, iÃu kiằn (DMSRu) cng tha mÂn Vẳ thá, nh l 4.4 (t˜Ïng ˘ng, ‡nh l˛ 4.2) c£i thi»n Theorem (t˜Ïng ˘ng, ‡nh l˛ 1) cıa [13], ‚ c¡c giÊ thiát giểi hÔn hẽn nh sau: f0 v g0 Frchet cĐp hai tÔi x0 ềc dng cĂc nh l 4.2 v Kát quÊ sau Ơy cho ta mẻt c trng ca nn tiáp xc cĐp hai tiằm cên ca têp chĐp nhên ềc M = g1(K) Mằnh à 4.6 Cho h m g l l-n nh tÔi x dểi chẵnh quy metric theo hểng tÔi (x0, u) Ëi vÓi −1 −K Khi ‚, vÓi M = g (−K) ta c‚ n T 00 (M, x0, u) = {w ∈ R : g0 (x0)w ∈ T 00 (−K, g(x0), g0 (x0)u)} Ch˘ng minh VÓi cho xk := x0 + tku + V¼ g(xk) ∈ −K, ta c‚ g0 (x0)w ∈ T 00 (−K, g(x0), g0 (x0)u) B¥y giÌ gi£ s˚ g0 (x0)w ∈ T 00 (−K, g(x0), g0 (x0)u) Khi , tn tÔi (tk, rk) (0+, + ) : tk/rk → v zk → g0 (x0)w cho g(x0) + tkg0 (x0)u + tkrkzk ∈ −K vÓi mÂi k B i gi£ thiát và dểi chẵnh quy metric, vểi k lển, ta c‚ tk ∈ (0, ρ) v uk := u+ 12 rkw ∈ Bn(u, ρ) cho d(x0 + tkuk, M) ≤ µd(g(x0 + tkuk), −K) tkrkzkk (x0)(tkuk)k + k tkrkg0 ≤ µkg(x0 + tkuk) − g(x0) − tkg0 (x0)u − ≤ µ(kg(x0 + tkuk) − g(x0) − g0 (x0)w − tkrkzkk) ≤ µϑktkukk + = 2 µtkrkkg0 (x0)w − zkk àtkrk(2(tk/rk)kukk + kg0 (x0)w zkk) (bĐt ng th˘c sau cÚng ˜Ịc suy t¯ BÍ · 3.2) Vẳ zk g0 (x0)w, bĐt ng thc n y dăn án tn tÔi xk M cho kx0 + tkuk − xkk/12 tkrk → Do ‚, w ∈ T 00 (M, x0, u) v¼ wk := x x tu k− 0− k = x x tu k k k+ww tkrk/2 tkrk/2 Vẵ d sau Ơy cho thĐy mẻt trèng hềp m nh l 4.4 c th Ăp dng ềc mẻt sậ kát quÊ gƯn Ơy khấng Ăp dng ềc Vẵ d 4.1 Cho ϕ : [0, +∞) → R ˜Ịc ‡nh ngh¾a b i (s) = Vẳ khấng giÊm trản [0, +), h m ˜Ịc ‡nh ngh¾a cho x ∈ 21 v c cĂc Ôo h m phÊi v trĂi, vÓi q ∈ N, θ+0(1/q) = 1/q, θ−0(1/q) = 1/(q + 1) Cho C = K = R+, x0 = (0, 0) v f,g, h : R2 → R ˜Òc ‡nh ngh¾a b i f(x1, x2) = g(x1, x2) = Khi ‚, g v h l 2 x c¡c h m thc lĨp C2 + x1 + x v ta c‚ 2 , h(x1, x2) = −x − x2 f0 (x0) = (0, 1), g0 (x0) = (1, 0), h0 (x0) = (0, −1) V¼ i·u ki»n (MF) Ëi vĨi (x0, u) Ëi vĨi tªp n y vĨi mÂi u∈R Λ(x0) = {(c∗, k∗, h∗) ∈ R : c∗ = h∗ > 0, k∗ = 0} H m f khÊng kh£ vi U \ {x0}, vểi bĐt c lƠn cên U ca x0 Do ‚, ta khÊng thº dÚng ‡nh l˛ ca [13] Ta khng nh rơng f l Thêt vêy, cho U l mẻt lƠn cên ca x0, x = (x1, x2) ∈ U, v u = (u1, u2) ∈ S2 Náu x1 > 0, thẳ l Náu x1 < 0, thẳ l l-n nh tÔi x0 l |f (x, u) − f (x0, u)| = |2x1u1| ≤ 2kx − x0k l |f (x, u) − f (x0, u)| = |θ±0(x1)u1| ≤ lims→x±1 ϕ(s) ≤ −x1 ≤ kx − x0k Náu x1 = 0, thẳ |fl(x, u) fl(x0, u)| = Nh thá, f l l-n nh tÔi x0, v¼ |fl(x, u) − l f (x0, u)| ≤ 2kx − x0k vÓi mÂi x ∈ U v u ∈ S2 ChÂn u = (−1, 0) Khi ‚ (f, g, h)0 (x0)u = (0, −1, 0) ∈ −[C×clK(g(x0))\ int(C × K(g(x0)))] × {0}, A (−K, g(x0), g0 (x0)u) = R, D2(f, g, h)(x0, u) = {(1 + α, β, −2 − α) : α, β ∈ R} (º t½nh th nh phƯn Ưu tiản ca D2(f, g, h)(x0, u), quan s¡t r¬ng |x| − ln(1 + |x|) ≤ |x| R ϕ(s)ds ≤ ( 0, w0) y,z ∈ R c‚ hc∗, y0i + hk∗, z0i + B i ‡nh l˛ 4.4 (ii), (v¼ khÊng c‚ hi»n t˜Ịng envelope-like xÊy ra), x0 khấng l yáu a phẽng Trong vẵ d sau Ơy, Hằ quÊ 4.5 thuên tiằn hẽn nhiÃu kát quÊ gƯn Ơy Vẵ d 4.2 Cho C x0 = (0, 0), v f : R → R v g : R → R ‚ θ ˜Òc ‡nh nghắa Vẵ d 4.1 (v Khi , g l 22 h m th f(x0) = (0, 1) R„ r ng K l n‚n lÁi ‚ng vÓi intK 6= BƠy giè ta tẵnh K(g(x0)) = cone(K + g(x0)) VÓi (t1, t2, t3) ∈ K(g(x0)), (t1, t2, t3) = α[(k1, k2, k3) + (0, 1, 0)] ⇔ t1 = αk1, t2 = α(k2 + 1), t3 = αk3 vÓi α ≥ v (k1, k2, k3) ∈ K N¸u α = 0, th¼ (t1, t2, t3) = (0, 0, 0) Náu > 0, thẳ k1 = t1/, k2 = (t2/α) − 1, k3 = t3/α Ta c‚ k ≤ ⇔ t2 ≤ α , k3 ≤ ⇔ t3 ≤ 0, k2k3 ≥ 2k12 ⇔ (t2 − α)t3 ≥ 2t21 Ta c‚ hai tr˜Ìng hỊp N¸u t3 = 0, thẳ d ng thĐy rơng t1 = V¼ t2 ≤ α, ta ˜Ịc (t1, t2, t3) = (0, β2, 0) vĨi β2 N¸u t3 < 0, th¼ t2 ≤ α + (2t12/t3) V¼ (t1, t2, t3) = (β1, β2, β3) vĨi β1, β2 th¸ T¯ (4.14) - (4.16), ta Ôt ềc K(g(x0)) = {(k1, k2, k3) ∈ R : k3 < 0} ∪ {(0, k2, 0) : k2 ∈ R} HÏn n˙a, T (−K, g(x0)) = {(k1, k2, k3) ∈ R : k3 ≥ 0}, N(−K, g(x0)) = {λ(0, 0, −1) : λ ∈ R}, Λ1(x0) = {(c∗, k∗) ∈ R × R : c∗ = α > 0, k∗ = α(0, 0, 1)} Tẽng tá nh Vẵ d 4.1, ta c th chng minh rơng f l l-n nh tÔi x0 v khÊng kh£ vi U \ {x0}, vÓi bĐt c lƠn cên U ca x0 Cho u = (u1, u2) ∈ R2 cho Khi ‚, u = (u1, 0) vểi u1 thẳ g0 (x0)u K(g(x0)) Náu u = 0, th¼ g0 (x0)u ∈ −K(g(x0)) v {(β, γ, 0, β) : β, γ (1, 0, 0, hk∗, z0i = 1) − Do ‚, ‡nh l˛ 4.1 cıa [19] v M°c kh¡c, chÂn u = (1, 0), ta c‚ A (−K, g(x0), g0 (x0)u) = {(k1, k2, k3) ∈ R : k3 ≥ 4}, D2(f, g)(x0, u) = {(−6 + β, γ, 2, β) : β, γ ∈ R} VÓi α > 0, cho (c ∗ , k∗) = (α, 0, 0, −α) ∈ Λ1(x0), ta c‚ supk∈A2(−K,g(x0),g0 (x0)u)hk∗, ki = −4α, v , vÓi (y0, z0) ∈ D2(f, g)(x0, u), hc∗, y0i + hk∗, z0i = α(−6 + β) − αβ = −6α < −4α B i H» qu£ 4.5 (ii), x khÊng l nghi»m y¸u ‡a ph˜Ïng cıa b i to¡n (P) 23 C Vẵ d tiáp theo minh viằc ¡p dˆng kh¯ng ‡nh (iii) cıa H» qu£ 4.5 tr˜Ìng hỊp m kh¯ng ‡nh (ii) khÊng ¡p dˆng ˜Ịc V½ dˆ 4.3 Cho C = R+, K = {0}, x0 ˜Ịc ‡nh ngh¾a b i g(x1, x2) = x13 + x22 V¼ intK = ∅, H» qu£ 4.5 (ii) khÊng thº ¡p dˆng ˜Òc Th˚ kiºm tra kh¯ng ‡nh (iii), ta c‚ 2 M = {(x1, x2) ∈ R : x + x = 0}, T (M, x0) = {(u1, u2) ∈ R : u1 ≤ 0, u2 = 0} VÓi u = (−1, 0) ∈ T (M, x0), T 00 (M, x0, u) = R2 L§y w = (w1, w2) vĨi w2 < Khi ‚, vÓi mÂi c∗ ∈ C∗ \ {0} vÓi hc∗, f0 (x0)ui = 0, t˘c l , c∗ > 0, ta c‚ hc∗, f0 (x0)wi = c∗w < B i (iii), x khÊng l nghi»m y¸u a phẽng Lu rơng cĂc xĐp x (ềc nh nghắa [1, 16]) l cĂc loÔi Ôo h m rĐt tng quĂt viằc nghiản cu cĂc iÃu kiằn tậi u (xem [18, 20, 21]) Vẵ d sau Ơy ch˘ng t‰ r¬ng H» qu£ 4.5 c‚ thº ¡p dˆng ềc cĂc iÃu kiằn cƯn theo cĂc xĐp x¿ ‡nh l˛ 4.1 cıa [20] khÊng ¡p dˆng ˜Ịc V½ dˆ 4.4 Cho C = R+, K = R, x0 = 0, v f, g : R → R ˜Ịc ‡nh ngh¾a b i g = v f(x) = (f ềc lĐy t Vẵ d 4.1 ca [19]) Khi , f khÊ vi liản tc tÔi x0 v hỊp c¡c nh¥n t˚ Fritz John cıa (P) l Λ1(x0) = {(c∗, k∗) ∈ R : c∗ > 0, k∗ = 0} VÓi u = 1, A2(−K, g(x0), g0 (x0)u) = R, D2(f, g)(x0, u) = {(−1, 0)}, v Λ1(x0), ta c‚ ∗ ∗ ∗ ∗ hc , −1i + hk , 0i = −c < supk∈A2(−K,g(x0),g0 (x0)u)hk , ki = B i H» qu£ 4.5 (ii), x0 khÊng l 00 B¥y giÌ ta th˚ dÚng ‡nh l 4.1 ca [20] Hin nhiản rơng vểi mi T (M, x0, u) = R Ta tẵnh xĐp x cĐp hai ca f tÔi x0 v cĂc têp liản quan nh˜ sau: Bf (x0) = {−1/2} ∪ (α, +∞) vÓi > 0, [0, + ) Vẳ thá, x b¡c b‰ cl Bf (x0) = {−1/2} th‰a m¢n c¡c i·u ki»n c¦n ‡nh l˛ 4.1 cıa [20] ∪ [α, +∞) v n u ∈ R , T (M, x0, u) = 24 Ch˜Ïng 5: C¡c i·u kiằn tậi u cĐp hai Trong phƯn n y, ta x²t b i to¡n (P) vÓi h = 0, v C, K c‚ thº khÊng lÁi vĨi ph¦n rÈng BÍ · sau ¥y ˜Ịc s˚ dˆng º ch˘ng minh c¡c i·u ki»n ı c§p hai BÍ · 5.1 Gi£ s˚ x0 ∈ M ⊆ Rn N¸u xk ∈ M \ {x0} hẻi t án x0, thẳ tn tÔi u T (M, x0) \ {0} v mẻt dÂy con, cÚng k˛ hi»u xk, cho (i) (xk − x0)/tk → u, ‚ tk = kxk − x0k; (ii) ([15], BÍ · 3.4) ho°c z ∈ T 2(M, x0, u)u tn tÔi cho (xk x0 tku)/ hoc z tku)/ ∈ tkrk → z, ‚ u l phƯn b trác giao ca u R ‡nh l˛ 5.2 X²t b i to¡n (P) vÓi h = 0, cho f v g l l-n nh tÔi x0 ∈ M Khi ‚, nghi»m chc chn ‡a ph˜Ïng c§p hai (i) ∀u ∈ Sn, ∃(c∗, k∗) ∈ C∗ × K(g(x0))∗ c∗, f mỴt c¡c i·u ki»n sau l ı º x 0l cho h (ii) ∀u ∈ Sn vÓi u ∈ T (M, x0) v (a) ∀w ∈ T 2(M, x0, u) ∩ u⊥, ∀(y0, z0) ∈ d2(f, g)(x0, u) vÓi g0 (x0)w + z0 ∈ T ∗ ∗ (−K, g(x0), g0 (x0)u), ∃(c , k ) ∈ Λ1(x0) (˜Ịc ‡nh ngh¾a H» qu£ 4.5) th ‰a m¢n c∗, y h i (b) ∀w ∈ T 00 (M, x0, u) ∩ u⊥ \ {0}, ∃c∗ ∈ C∗ \ {0} vÓi hc∗, f0 (x0)ui = th‰a m¢n hc∗, f0 (x0)wi > Ch˘ng minh (i) Xem ‡nh l˛ 4.2 (i) [19] (ii) GiÊ s phÊn chng rơng tn tÔi xk M ∩ Bn(x0, f(xk) − f(x0) + ck ∈ Bm(0, ‚ tk = kxk − x0k Ta c‚ thº gi£ s˚ (xk − x0)/tk → u ∈ T (M, x0) ∩ Sn Chia (5.2) cho tk v qua giÓi hÔn, ta ềc f0 (x0)u C B i B · 5.1, ch¿ c¦n x²t hai tr˜Ìng hỊp sau l Trèng hềp mẻt: Tn tÔi w T 2(M, x0, u)∩u⊥ cho t2k → w B i M»nh · 3.4 (i), ta c‚ (y vÓi (y, z) ∈ D2 k p (f, g)(x0, u, w) B i M»nh · 3.5, vĨi (y0, z0) ∈ d2(f, g)(x0, u) V¼ g(xk) ∈ −K v wk := (xk −x0 −tku)/12 n suy zk = (g(xk) − g(x0) − tkg0 (x0)u)/ rơng g (x0)w + z0 B i giÊ thiát (ii) (a), tn tÔi (c, k) 1(x0) tha mÂn (5.1) Cẻng thảm hc, f0 (x0)wi v o hai vá cıa (5.1) v t˜Ïng ˜Ïng vÓi 25 dÚng ¯ng th˘c c ◦ f0 (x0) + k∗ ◦ g0 (x0) = 0, b§t ¯ng th˘c (5.1) ∗ hc∗, f0 (x0)w + y0i > M°t kh¡c, t¯ (5.2) ta suy 2t k 2t k (f(xk) − f(x0) tkf0 (x0)u)/ Vẳ sậ hÔng Ưu tiản Vẳ f0 (x ∗ + (ck + tkf0 (x0)u)/ → Ơy l yk, sá hẻi t trản dăn án y = f0 (x0)w + y0 ∈ −clcone(C + f0 (x0)u) C, g0 )u hc , f0 (x0)ui = 0, v mƠu thuăn vểi (5.3) Trèng hềp hai: Tn tÔi rk 0+ cho tk/rk v B i giÊ thiát (ii) (b), tn tÔi c Mằnh · 3.4 (iii), ta c‚ tkrk (f(xk) − f(x0) − tkf0 (x0)u)/ → f0 (x0)w M°t kh¡c, t¯ (5.2) ta suy tkrk (f(xk) − f(x0) − tkf0 (x0)u)/ tkrk → + (ck + tkf0 (x0)u)/ Vẳ thá, f0 (x0)w clcone(C + f0 (x0)u) Do ‚, hc , f0 (x0)wi ≤ 0: mƠu thuăn Lu (i) iÃu kiằn (ii) (a) ‡nh l˛ 5.2 hiºn nhi¶n ˜Ịc suy b i mỴt c¡c i·u ki»n ∗ ∗ g (x0)w ∈ T (−K, g(x0), g (x0)u), ∃(c , k ) ∈ Λ1(x0), sau ¥y (a0 ) (ii) sau (b0 ) ∗ ∀w ∈ Rn, ∀(y0, z0) ∈ d2(f, g)(x0, u) vÓi g0 (x0)w + z0 ∈ T 2(−K, g(x0), g0 (x0)u), ∃(c∗, k∗) ∈ Λ1(x0) th‰a (a00 ) Ơy 00 mÂn (5.1) (y iÃu kiằn (ii) (b) ‡nh l˛ 5.2 ˜Òc suy b i mỴt c¡c i·u ki»n ∀w ∈ u⊥ \ {0} vÓi hk , g (x0)wi < (b00 ) w ), Λ (x k∗ , g h Thác vêy, b i Mằnh à 3.4 (iii), n¸u w ∈ T ∀ ∈ 00 (M, x0, u), th¼ ,z g0 (x0)w ∈ T 00 (−K, g(x0), g0 (x0)u) ⊂ clcone[cone(−K − g(x0)) − g0 (x0)u] Do ‚, ‡nh l˛ 5.2 c£i thi»n ‡nh l˛ cıa [13], nh tÔi x0 v c nh c¡c i·u ki»n c¦n, ‡nh l˛ 5.2 ta dÚng têp nh hẽn ềc kát luên mÔnh hẽn (iii) BƠy giè ta ni án l hng gia iÃu kiằn cƯn ‡nh l˛ 4.4 v i·u ki»n ı ‡nh l 5.2 Ưu tiản lu rơng, náu u T (M, x0), th¼ g0 (x0)u ∈ T (−K, g(x0)) = 26 clK(g(x0)) Vẳ thá, nh l 5.2 (ii) cng Ûng n¸u c¡c h˜Ĩng u ∈ Sn cho (f, g)0 (x0)u [CìclK(g(x0))] ềc xt án (nh nh l˛ 4.4) HÏn n˙a, ‡nh l˛ 4.4 (t˜Ïng ˘ng, ‡nh l˛ 5.2) cÙng Ûng (th¸c s¸ y¸u hÏn) n¸u ta thay D2 (t˜Ïng ˘ng, d2) b i d2 (t˜Ïng ˘ng, D2) Ngay c£ vĨi vi»c l m y¸u i nh˜ trản, K tha, l m 2 p Ân tẵnh tÔi g(x0): T (K, g(x0), u) = A (K, g(x0), u) vĨi mÂi u ∈ R hÍng n‚i ch§t trảnsau l nh: cĂc bĐt ng thc iÃu kiằn cƯn ềc thay b i cĂc bĐt ng thc cht iÃu kiằn Trong vẵ d sau Ơy, nh l˛ 5.2 kh¯ng ‡nh nghi»m chc chn, c¡c kát quÊ gƯn Ơy thẳ khấng Vẵ d 5.1 Xt Vẵ d 4.2 nhng vểi f ềc nh nghắa b i (θ nh˜ V½ dˆ 4.1) f(x1, x2) = Tẽng tá nh Vẵ d 4.2, ta c th chng minh rơng f l x0 v l-n nh tÔi , ta c‚ f0 (x0) = (0, 1) Khi ‚, vÓi u = (1, 0) ∈ S2 v (c∗, k∗) ∈ C∗ × K(g(x0))∗ hc∗, f0 (x0)ui + hk∗, g0 (x0)ui = Do ‚, i·u ki»n (i) ‡nh l˛ 5.2 khÊng th‰a m¢n Cho u = (u1, u2) ∈ S2 cho (f, g)0 (x0)u ∈ −[C×clK(g(x0))] T Khi ‚, u = (u1, 0) vÓi u1 = ±1 Ta c‚ 2 (−K, g(x0), g0 (x0)u) = A (−K, g(x0), g0 (x0)u), v ‚, vÓi k∗ = (0, 0, −1) ∈ N(−K, g(x0)), supk∈T (−K,g(x0),g0 (x0)u)hk∗, ki = Náu u1 = 1, thẳ vểi (y0, z0) ∈ d2(f, g)(x0, u) = {(−2, 0, 2, 0)}, tÁn tÔi (c, k) = (1, 0, 0, 1) 1(x0) th‰a m¢n hc∗, y0i + hk∗, z0i = −2 > supk∈T (−K,g(x0),g0 (x0)u)hk∗, ki 2 N¸u u1 = −1, thẳ vểi (y0, z0) d2(f, g)(x0, u), tn tÔi tk → 0+ cho y0 = limk→+∞ v z0 = (0, 2, 0) Vẳ thá, vểi (c, k) = (1, 0, 0, −1) ∈ Λ1(x0), ta c‚ c∗, y θ(−tk) t k/2 0i h Do ‚, i·u ki»n (a ) th‰a m¢n, v 00 ‚ i·u ki»n (a) cıa ‡nh l˛ 5.2 cÙng th‰a m¢n Cho w = (w clcone[cone(−K − g(x 0)) − g (c∗, k∗) = (1, 0, 0, th‰a m¢n, v ‚ i·u kiằn (b) ca nh l 5.2 cng tha mÂn Kát qu£ l , b i ‡nh 5.2, x l nghi»m chc chn ‡a ph˜Ïng c§p hai cıa b i toĂn (P) l khấng n nh tÔi Vẳ f0 x0, ‡nh l˛ 4.2 cıa [19] v ‡nh l˛ cıa [13] khấng Ăp dng ềc Hẽn na, vẳ vá trĂi cıa (5.4) c‚ thº ¥m, ‡nh l˛ 4.1 cıa [5] khấng Ăp dng ềc 27 Kát luên v hểng nghiản cu m rẻng à t i Trong à t i nghiản cu n y, Ưu tiản, chng tấi giểi thi»u kh¡i ni»m h m l-Ín ‡nh vÊ h˜Ĩng cÙng nh vectẽ v khÊo sĂt mẻt sậ tẵnh chĐt ca chng Tiáp theo, chng tấi à xuĐt khĂi niằm Ôo h m theo h˜Ĩng a tr‡ c§p hai v ˜a cĂc tẵnh chĐt ca chng Cuậi cng, dng cĂc ¤o h m theo h˜Óng a tr‡ Hadamard v Dini d˜Ĩi gi£ thi¸t kh£ vi ch°t (trong c¡c i·u ki»n tËi ˜u c¦n) hay l-Ín ‡nh (trong c¡c i·u ki»n tậi u ), chng tấi thiát lêp cĂc iÃu kiằn tậi u cĐp hai mểi cho cĂc nghiằm yáu a ph˜Ïng hay c¡c nghi»m chc chn ‡a ph˜Ïng, vĨi t½nh ch§t envelope-like ˜Ịc l m r„ hÏn, b i toĂn quy hoÔch a mc tiảu khấng trẽn (P) Trong ká hoÔch nghiản cu tẽng lai, chng tấi s m rẻng hểng nghiản cu ca à t i bơng cĂch x²t b i to¡n tËi ˜u vectÏ khÊng trÏn kh¡ tÍng qu¡t sau ¥y: (P1) ‚ f : X → Y , g : X → Z, v gian Banach, Y v K ⊂ Z l tªp lÁi Z h:XW l l cĂc Ănh xÔ, X v Chng tấi s thiát lêp cĂc iÃu kiằn tậi u cƯn v cĐp mẻt v nghiằm yáu v nghiằm chc chn ca b i toĂn (P1) bơng cĂc quy tc nhƠn t Fritz-JohnLagrange dng cĂc Ôo h m theo hểng a tr v cĂc nn tiáp xc v têp tiáp xc cĐp hai Chng tấi t cĂc giÊ thiát giÊm nhµ: steadiness v kh£ vi ch°t cho c¡c i·u ki»n cƯn cĐp mẻt v cĐp hai, tẽng ng; n nh v l-n nh cho cĂc iÃu kiằn cĐp mẻt v c§p hai, t˜Ïng ˘ng 28 T i li»u tham kh£o [1]K Allali and T Amahroq, Second-order approximations and primal and dual neces-sary optimality conditions, Optimization 40 (1997) 229-246 [2] D Bednar½k and K Pastor, On second-order conditions in unconstrained optimiza-tion, Math Program (Ser A) 113 (2008) 283-298 [3] D Bednar½k and K Pastor, Decrease of C1,1 property in vector optimization, RAIRO-Oper Res 43 (2009) 359-372 [4]D Bednar½k and K Pastor, l-stable functions are continuous, Nonlinear Anal 70 (2009) 2317-2324 [5] D Bednar½k and K Pastor, On second-order optimality conditions in constrained multiobjective optimization, Nonlinear Anal 74 (2011) 1372-1382 [6] J.F Bonnans and A Shapiro, Perturbation Analysis of Optimization Problems , Springer, New York (2000) [7]F.H Clarke, Optimization and Nonsmooth Analysis , Wiley Interscience, New York (1983) [8] R Cominetti, Metric regularity, tangent sets and second order optimality conditions, (1990) 265287.Appl.Math.Optim.21 [9] A.L Donchev, R.T Rockafellar, Implicit Functions and Solution Mappings , Springer, Dordrecht (2009) [10] I Ginchev, A Guerraggio and M Rocca, Second-order conditions for C1,1 vector optimization, Math Program (Ser B) 104 (2005) 389-405 con- strained [11]I Ginchev, A Guerraggio and M Rocca, From scalar to vector optimization, Appl Math 51 (2006) 5-36 [12] I Ginchev, On scalar and vector l-stable functions, Nonlinear Anal 74 (2011) 182- 194 [13] C Guti²rrez, B Jim²nez and V Novo, On second order Fritz John type optimality conditions in nonsmooth multiobjective programming, Math Program (Ser B) 123 (2010) 199-223 [14] B Jim²nez and V Novo, Second order necessary conditions in set constrained differentiable vector optimization, Math Methods Oper Res 58 (2003) 299-317 [15]B Jim²nez and V Novo, Optimality conditions in differentiable vector optimization via second-order tangent sets, Appl Math Optim 49 (2004) 123-144 [16] A Jourani and L Thibault, Approximations and metric regularity in mathematical programming in Banach spaces, Math Oper Res 18 (1992) 390-400 [17] H Kawasaki, An envelope-like effect of infinitely many inequality constraints on second-order necessary conditions for minimization problems, Math Program 41 (1988) 73-96 [18] P.Q Khanh and N.D Tuan, First and second-order optimality conditions using 29 ... kh£ vi ch°t (trong c¡c i·u ki»n tËi ˜u c¦n) hay l-Ín ‡nh (trong c¡c iÃu kiằn tậi u ) thiát lêp cĂc iÃu kiằn tậi u cĐp hai mểi vểi tẵnh chĐt envelope- like ˜Òc l m r„ hÏn cho b i to¡n quy hoÔch a... c§p hai vĨi hi»n t˜Ịng envelope- like H xem x²t c¡c h m kh£ vi Fr²chet m ¤o h m cıa n‚ l li¶n tˆc ho°c Ín nh tÔi im nghiản cu Tuy nhiản, văn cÃn nhiÃu tĂc giÊ cha nhên hiằn tềng envelope- like. .. hi»n t˜Ịng envelope- like C¡c k¸t qu£ cıa Kawasaki ¢ ˜Ịc nhi·u nh nghi¶n c˘u ph¡t triºn [6, 8, 25, 26], luÊn luÊn xem x²t c¡c b i toĂn quy hoÔch vấ hểng thuẻc lểp C2, giậng nh [17] Trong quy hoÔch