v do ‚ MÎt c¡ch t˜Ïng t¸, b i (4.4) v g(x0) + tkg Do ‚,
(iii) VÓi
∈ T w wk := (xk − x0 − tku)/
N¸u f0 (x0)w ∈ −intcone[C + f0 (x0)u], th¼, vÓi k ı lÓn, f
i·u n y suy ra r¬ng f(xk) − f(x0) ∈ −intC: m¥u thu¨n.
L˜u ˛ r¬ng k¸t luªn cıa ‡nh l˛ 4.2 n‚i v· t§t c£ c¡c iºm thuÎc tªp D2(f, g, h)(x0, u)
lÓn hÏn tªp ˜Òc dÚng trong ‡nh l˛ 4.2 cıa [13], v¼ th¸ k¸t qu£ cıa
chÛng tÊi m¤nh hÏn. HÏn n˙a, ‡nh l˛ 4.2 m rÎng c¡c M»nh · 3.5 cıa [5] v 4.1 cıa [19], m ch¿ x²t tr˜Ìng hÒp h= 0 v g0 (x0)u ∈ −K(g(x0)).
º ¤t ˜Òc t¯ ‡nh l˛ 4.2 mÎt d¤ng Ëi ng¨u theo c¡c nh¥n t˚ Lagrange, ta k˛ hi»u tªp hÒp c¡c nh¥n t˚ Fritz John b i
Λ(x0) := {(c∗, k∗, h∗) ∈ (Rm)∗ × (Rp)∗ × (Rr)∗ : (c∗, k∗, h∗) 6= (0, 0, 0), c∗ ◦ f0
(x0)+ k∗ ◦ g0 (x0) + h∗ ◦ h0 (x0) = 0, c∗∈ C∗, k∗∈
N(−K, g(x0))}. Ta c¦n ‡nh l˛ t¡ch sau ¥y.
BÍ · 4.3 ([27], ‡nh l˛ 20.2).Cho C1, C2 ⊂Rnl c¡c tªp lÁi sao cho C1l a di»n. Khi ‚, tÁn t¤i mÎt si¶u ph¯ng t¡ch ri¶ng C1 v C2v khÊng ch˘a C2n¸u v ch¿ n¸u
C1 ∩ riC2 = ∅.
‡nh l˛ 4.4. Cho intCand intKkh¡c rÈng v c¡c gi£ thi¸t (vÓi (i), (ii) v (iii)) cıa ‡nh l˛ 4.2 th‰a m¢n, vx 0 l nghi»m y¸u‡a ph˜Ïng cıa(P). Khi‚,
(i) tÁn t¤i (c∗, k∗, h∗)∈ Λ(x0) sao cho (c∗, k∗) 6= (0, 0);
(ii) vÓi mÂi u∈ Rn vÓi (f, g, h)0(x0)u ∈ −[C ×clK(g(x0)) \int(C × K(g(x0)))]× {0}, v (y0, z0, w0) ∈D2(f, g, h)(x0, u), tÁn t¤i (c∗, k∗, h∗)∈Λ(x0) sao cho
hc∗, y0i + hk∗, z0i + hh∗, w0i ≥ supk∈A2(−K,g(x0),g0(x0)u)hk∗, ki,
v n¸u, th¶m n˙a,
•h = 0, th¼ (c∗, k∗) 6= (0, 0); •i·u ki»n ch½nh quy c§p hai
(TRu) (g, h)0 (x0)Rn − T (T (−K, g(x0)), g0 (x0)u) × {0} = Rp × Rr,
th‰a, th¼ c∗ 6= 0;
(iii) n¸u w∈ T00(M, x0, u), th¼ tÁn t¤i c∗∈ C∗\ {0} vÓi hc∗, f0 (x0)ui= 0 sao cho
Ch˘ng minh. (i) B i‡nh l˛ 4.2 (i), ¡p dˆng BÍ· 4.3 vÓi
C =
− int[C
2
(0, 0, 0) v α ∈ R sao cho, ∀(y, z, t) ∈
v si¶u ph¯ng
H := {(y, z, t) ∈ Rm × Rp × Rr) : hc∗, yi + hk∗, zi + hh∗, ti = α}
khÊng ch˘a C2. V¼ (f, g, h)0 (x0)Rn v C × K(g(x0)) l c¡c n‚n, α = 0. Khi ‚ (4.7) suy ra r¬ng c∗◦f0(x0) + k∗◦g0 (x0) + h∗◦h0 (x0) = 0. Cho k = 0 trong (4.8) ta ¤t ˜Òc
c∗ ∈ C ∗. °t c = 0 trong (4.8) ta c‚ k∗∈ K(g(x0))∗ = N(−K, g(x0)). V¼ si¶u ph¯ng H khÊng ch˘a C2, (c∗, k∗) 6= (0, 0).
(ii) Gi£ s˚ A2(−K, g(x0), g0 (x0)u) 6=∅ (n¸u khÊng, k¸t qu£ l t¦m th˜Ìng). Theo ‡nh l˛ 4.2 (ii), ¡p dˆng BÍ · 4.3 vÓi C1 = (f, g, h)0(x0)Rn+(y0, z0, w0) v C2=−intcone[C +
f0 (x0)u] ×IT 2(−K, g(x0), g0 (x0)u) ×{0}, ta¤t˜Òc (c∗, k∗, h∗) ∈ (Rm)∗ ×(Rp)∗ ×(Rr)∗
vÓi (c∗, k∗, h∗) = (0,0,0) v α
−intcone[C + f0 (x0)u] v
hc
v si¶u ph¯ng
H gian con, t¯ (4.9) ta c‚, vÓi mÂi (y, z, t) ∈(f, g, h)0(x0)Rn
v v¼ th¸ c∗ ◦ f0 (x0) + k∗ ◦ g0(x0) + h∗ ◦ h0(x0) = 0 v V¼
−
f0 (x0)u], m suy ra r¬ng
(4.10), ta c‚ hk∗
k ∈ A2(−K, g(x0), g0 (x0)u) (xem M»nh· 1.3 (iv)). i·u n y cÚng vÓi (4.11) suy ra r¬ng
hc∗, y0i + hk∗, z0i + hh∗, w0i ≥ supk∈A2(−K,g(x0),g0(x0)u)hk∗, ki.
º th§y r¬ng (c∗, k∗, h∗) ∈ Λ(x0) nh˜ y¶u c¦u, ta quan s¡t t¯ M»nh · 3.1 [8], A2(−K, g(x0), g0 (x0)u) + T (T (−K, g(x0)), g0 (x0)u) ⊂ A2(−K, g(x0), g0 (x0)u). Do ‚, hk∗, k+k1i ≤ α, vÓi k ∈ A2(−K, g(x0), g0 (x0)u) v k1 ∈ T (T (−K, g(x0)), g0 (x0)u). V¼ T (T (−K, g(x0)), g0 (x0)u) l n‚n, t¯ cÊng th˘c (2.110) trong [6] suy ra r¬ng
k∗ ∈ −[T (T (−K, g(x0)), g0 (x0)u)]∗ = {k∗∈ N(−K, g(x0)) : hk∗, g0 (x0)ui = 0}. (4.12) B¥y giÌ, gi£ s˚ h= 0. N¸u (c∗, k∗) = (0,0), th¼ b i (4.9) v (4.10), α = 0 v do ‚ si¶u ph¯ng H ch˘a C2: m¥u thu¨n.
Gi£ s˚i·u ki»n (TRu) th‰a m¢n, t˘c l , vÓi mÂi (y, z)∈Rp×Rr, tÁn t¤i x∈Rnv
k ∈ T (T (−K, g(x0)), g0 (x0)u) sao cho (g, h)0 (x0)x − (k, 0) = (y, z). Do‚, h(k∗, h∗), (y, z)i = hk∗, g0 (x0)xi + hh∗, h0 (x0)xi − hk∗, ki.
N¸u c∗ = 0, th¼ v¸ ph£i cıa ¯ng th˘c tr¶n b¬ng −hk∗, ki, v¼ (c∗, k∗, h∗) ∈ Λ(x0). B i (4.12) hk∗, ki ≤ 0. V¼ (y, z) l tÚy ˛, (k∗, h∗) = (0, 0): m¥u thu¨n.
(iii) i·u n y suy ra t¯ ‡nh l˛ 4.2 (iii) v ‡nh l˛ t¡ch thÊng th˜Ìng.
Sau ¥y l h» qu£ tr¸c ti¸p cıa ‡nh l˛ 4.4 khi h= 0.
H» qu£ 4.5. Cho c¡c gi£ thi¸t cıa ‡nh l˛ 4.4 th‰a m¢n,h = 0, v x0 l ‡a ph˜Ïng cıa (P). Khi ‚,
Λ (x ) :=
1 0
(ii) vÓi mÂi u∈ Rn
(y0, z0) ∈ D2(f, g)(x0, u), tÁn t¤i (c∗, k∗) ∈ Λ1(x0) sao cho
v c∗= 0 n¸u, th¶m n˙a, i·u ki»n ch½nh quy sau ¥y th‰a
6 (TR1u)
(iii) n¸uw
hc∗, f0 (x0)wi ≥ 0.
L˜u ˛ 1. (i) Kh¯ng‡nh (iii) trong c¡c ‡nh l˛ 4.2 v
c¡c h m g v h tÚy ˛. HÏn n˙a, n¸u ta
l-Ín‡nh t¤i x0v d˜Ói ch½nh quy metric theo h˜Óng t¤i (x0, u) Ëi vÓi −K × {0}, th¼ kh¯ng ‡nh (iii) tr n¶n m¤nh hÏn v ˜Òc di¹n t£ theo g v h nh˜ sau: n¸u g0(x0)w∈
T 00 (−K, g(x0), g0 (x0)u) v h0 (x0)w = 0, th¼ tÁn t¤i c∗∈ C∗ \ {0} vÓi hc∗, f0 (x0)ui = 0 sao cho hc∗, f0(x0)wi ≥0. Thªt vªy, ¡p dˆng M»nh · 4.6 d˜Ói ¥y vÓi (g, h) thay v¼ g
v K 0 }thay v¼ T 00 ,−ta × { c‚ T 00 (M, x0, u) = {w ∈ Rn : (g, h)0 (x0)w ∈ T 00 (−K × {0}, (g, h)(x0), (g, h)0 (x0)u)} = {w ∈ Rn : g0 (x0)w ∈ T 00 (−K, g(x0), g0 (x0)u), h0 (x0)w = 0}.
(ii) M°c dÚ ta ¢ bi¸t biºu th˘c sau ¥y xu§t hi»n trong ‡nh l˛ 4.4 l khÊng d˜Ïng:
supk∈A2(−K,g(x0),g0(x0)u)hk∗, ki ≤ 0,
ta muËn ˜a ra lÌi gi£i th½ch Ïn gi£n v¼ t¦m quan trÂng cıa n‚. B i M»nh · 1.3 (i), ta c‚
A2(−K, g(x0), g0 (x0)u) ⊂clcone[cone(−K − g(x0)) − g0 (x0)u].
M°c kh¡c (xem ph¦n cuËi cıa ph²p ch˘ng minh ‡nh l˛ 4.4 (ii) v M»nh · 2.5 (ii) [15]),
k∗ ∈ −[T (T (−K, g(x0)), g0 (x0)u)]∗ = −[clcone(cone(−K − g(x0)) − g0 (x0)u)]∗.
i·u n y d¨n ¸n (4.13). CÊng th˘c n y ph£n ¡nh hi»n t˜Òng envelop-like, b i v¼ n‚ c‚ thº th‰a m¢n nh˜ l b§t ¯ng th˘c ch°t. Supremum trong (4.13) tri»t ti¶u (v giËng tr˜Ìng hÒp cÍ iºn) n¸u 0∈A2(−K, g(x0), g0 (x0)u). °c bi»t, i·u n y x£y ra n¸u ta x²t c¡c i·u ki»n c¦n c§p hai ch¿ cho h˜Óng u∈ Rn vÓi g0(x0)u∈ cone(−K− g(x0)) = −K(g(x0)) (xem M»nh· 1.3 (v) (b)), nh˜ nhi·u t¡c gi£ th¸c hi»n. Tuy nhi¶n, ‡nh l˛ 4.4 x²t h˜Óng u vÓi g0 (x0)u ∈ clcone(−K − g(x0)) = −clK(g(x0)). Ngh¾a l , hi»n t˜Òng envelop-like x£y ra cho c¡c iºm u trong lÍ hÍng bao ‚ng d˜Ìng nh˜ nh‰ n y. ChÛng ta nh§n m¤nh r¬ng khÊng c‚ hi»n t˜Òng envelop-like x£y ra cho g0
(x0)u∈−K(g(x0)), ngay c£ khi iºm n y n¬m tr¶n bi¶n.
HÏn n˙a, n¸u K l tªp a di»n, th¼ −K(g(x0)) l ‚ng, v v¼ th¸ cÙng khÊng c‚ hi»n t˜Òng envelop-like x£y ra.
H» qu£ 4.5 m rÎng ‡nh l˛ 4.1 cıa [19] v ‡nh l˛ 3.1 cıa [5], do x²t th¶m c¡c iºm u
trong lÍ hÍng n‚i tr¶n v x£y ra hi»n t˜Òng. HÏn n˙a, n¸u h= (h1, ..., hr) kh£ vi c§p hai
t¤i x0 vÓi h01(x0), ..., h0r(x0) Îc lªp tuy¸n t½nh, th¼ i·u ki»n (MF) th‰a m¢n vÓi S ={0}
v , do ‚, i·u ki»n (DMSRu) cÙng th‰a m¢n. V¼ th¸, ‡nh l˛ 4.4 (t˜Ïng ˘ng, ‡nh l˛ 4.2) c£i thi»n Theorem 2 (t˜Ïng ˘ng, ‡nh l˛ 1) cıa [13], trong ‚ c¡c gi£ thi¸t giÓi h¤n hÏn nh˜ sau: f0v g0
Fr²chet c§p hai t¤i x0
˜Òc dÚng trong c¡c ‡nh l˛ 4.2 v
K¸t qu£ sau ¥y cho ta mÎt °c tr˜ng cıa n‚n ti¸p xÛc c§p hai ti»m cªn cıa tªp ch§p nhªn ˜Òc M = g−1(−K).
M»nh· 4.6.Cho h mgll-Ín‡nh t¤ix
0 d˜Ói ch½nh quy metric theo h˜Óng t¤i (x0, u) Ëi vÓi
−K. Khi‚, vÓi M = g−1(−K) ta c‚
T 00 (M, x0, u) = {w ∈ Rn : g0 (x0)w ∈ T 00 (−K, g(x0), g0 (x0)u)}.
Ch˘ng minh. VÓi sao cho xk :=x0 + tku+
V¼ g(xk) ∈ −K, ta c‚ g0 (x0)w ∈ T00 (−K, g(x0), g0 (x0)u).
B¥y giÌ gi£ s˚ g0 (x0)w ∈ T 00 (−K, g(x0), g0 (x0)u). Khi ‚, tÁn t¤i (tk, rk) → (0+, 0+) : tk/rk → 0 v zk → g0 (x0)w sao cho g(x0) + tkg0 (x0)u + 12 tkrkzk ∈ −K vÓi mÂi k. B i gi£ thi¸t v· d˜Ói ch½nh quy metric, vÓi k ı lÓn, ta c‚ tk ∈ (0, ρ) v uk := u+ 12 rkw ∈ Bn(u, ρ) sao cho
d(x0 + tkuk, M) ≤ µd(g(x0 + tkuk), −K) ≤ µkg(x0 + tkuk) − g(x0) − tkg0 (x0)u − 12 tkrkzkk ≤ µ(kg(x0 + tkuk) − g(x0) − g0 (x0)(tkuk)k + k12 tkrkg0 (x0)w − 12 tkrkzkk) ≤ µϑktkukk2 + 12 µtkrkkg0 (x0)w − zkk = 12 µtkrk(2ϑ(tk/rk)kukk2 + kg0 (x0)w − zkk) (b§t ¯ng th˘c sau cÚng ˜Òc suy ra t¯ BÍ · 3.2). V¼ zk →g0(x0)w, b§t ¯ng th˘c n y d¨n ¸n tÁn t¤i xk ∈M sao cho kx0+ tkuk−xkk/12tkrk →0. Do ‚, w∈ T00 (M, x0, u) v¼
wk :=xk −x 0 −t ku =xk −x 0 −t ku k +w→w. tkrk/2 tkrk/2
V½ dˆ sau ¥y cho th§y mÎt tr˜Ìng hÒp m ‡nh l˛ 4.4 c‚ thº ¡p dˆng ˜Òc trong khi mÎt sË k¸t qu£ g¦n ¥y khÊng ¡p dˆng ˜Òc.
V½ dˆ 4.1. Choϕ: [0,+∞)→R˜Òc‡nh ngh¾a b i
ϕ(s) =
V¼ ϕ khÊng gi£m tr¶n [0,+∞), h m ˜Òc ‡nh ngh¾a cho x
v c‚ c¡c ¤o h m b¶n ph£i v b¶n tr¡i, vÓi q∈ N, θ+0(1/q) = 1/q, θ−0(1/q) = 1/(q + 1). Cho C = K = R+, x0 = (0, 0) v f,g, h : R2 → R ˜Òc ‡nh ngh¾a b i f(x1, x2) = g(x1, x2) = 12 x21 + x1 + x32, h(x1, x2) = −x21 − x2. Khi ‚, g v h l c¡c h m thuÎc lÓp C2v ta c‚ f0 (x0) = (0, 1), g0 (x0) = (1, 0), h0 (x0) = (0, −1).
V¼ i·u ki»n (MF) Ëi vÓi
u ∈ R
Λ(x0) = {(c∗, k∗, h∗) ∈ R3 : c∗ = h∗ > 0, k∗ = 0}.
H m f khÊng kh£ vi trong U\ {x0}, vÓi b§t c˘ l¥n cªn U cıa x0. Do ‚, ta khÊng thº dÚng ‡nh l˛ 2 cıa [13].
Ta kh¯ng ‡nh r¬ng f l l-Ín‡nh t¤i x0.
Thªt vªy, cho U l mÎt l¥n cªn cıa x0,
x = (x1, x2) ∈ U, v u = (u1, u2) ∈ S2. N¸u x1 > 0, th¼ |fl(x, u) − fl(x0, u)| = |2x1u1| ≤ 2kx − x0k. N¸u x1 < 0, th¼
|fl(x, u) − fl(x0, u)| = |θ±0(x1)u1| ≤ lims→x±1 ϕ(s) ≤ −x1 ≤ kx − x0k.
N¸u x1 = 0, th¼ |fl(x, u) − fl(x0, u)| = 0. Nh˜ th¸, f l l-Ín‡nh t¤i x0, v¼ |fl(x, u) −
l
f (x0, u)| ≤ 2kx − x0k vÓi mÂi x ∈ U v u ∈ S2. ChÂn u= (−1, 0). Khi ‚
(f, g, h)0 (x0)u = (0, −1, 0) ∈ −[C×clK(g(x0))\ int(C × K(g(x0)))] × {0}, A2(−K, g(x0), g0 (x0)u) = R, D2(f, g, h)(x0, u) = {(1 + α, β, −2 − α) : α, β ∈ R}.
(º t½nh th nh ph¦n ¦u ti¶n cıa D2(f, g, h)(x0, u), quan s¡t r¬ng |x| − ln(1 +|x|) ≤
0|x| ϕ(s)ds ≤ R( 0 0, w0) ∈ R y , z c‚ hc∗, y0i + hk∗, z0i + hh
B i ‡nh l˛ 4.4 (ii), (v¼ khÊng c‚ hi»n t˜Òng envelope-like x£y ra), x0khÊng l y¸u ‡a ph˜Ïng.
Trong v½ dˆ sau ¥y, H» qu£ 4.5 thuªn ti»n hÏn nhi·u k¸t qu£ g¦n ¥y.
V½ dˆ 4.2. Cho C
x0 = (0, 0), v f : R → R v g : R → R (x0, u) Ëi vÓi tªp n y vÓi mÂi
trong ‚ θ ˜Òc ‡nh ngh¾a trong V½ dˆ 4.1 (v
Khi ‚, g l h m thuÎc lÓp
0
f(x0) = (0, 1)
R„ r ng K l n‚n lÁi ‚ng vÓi intK 6= ∅. B¥y giÌ ta t½nh K(g(x0)) = cone(K +g(x0)).
VÓi (t1, t2, t3) ∈ K(g(x0)), (t1, t2, t3) = α[(k1, k2, k3) + (0, 1, 0)] ⇔ t1 = αk1, t2 = α(k2 + 1), t3 = αk3vÓi α ≥ 0 v (k1, k2, k3) ∈ K. N¸u α = 0, th¼ (t1, t2, t3) = (0, 0, 0). N¸u α > 0, th¼ k1 = t1/α, k2 = (t2/α) − 1, k3 = t3/α. Ta c‚ k2 ≤ 0 ⇔ t2 ≤ α, k3 ≤ 0 ⇔ t3 ≤ 0, k2k3 ≥ 2k12⇔ (t2 − α)t3 ≥ 2t21.
Ta c‚ hai tr˜Ìng hÒp. N¸u t3 = 0, th¼ d¹ d ng th§y r¬ng t1 = 0. V¼ t2 ≤α, ta ˜Òc
(t1, t2, t3) = (0, β2, 0) vÓi β2 N¸u t3 <0, th¼ t2 ≤ α+ (2t12/t3). V¼ th¸ (t1, t2, t3) = (β1, β2, β3) vÓi β1, β2 T¯ (4.14) - (4.16), ta ¤t ˜Òc K(g(x0)) = {(k1, k2, k3) ∈ R3 : k3 < 0} ∪ {(0, k2, 0) : k2∈ R}. HÏn n˙a, T (−K, g(x0)) = {(k1, k2, k3) ∈ R3 : k3 ≥ 0}, N(−K, g(x0)) = {λ(0, 0, −1) : λ ∈ R}, Λ1(x0) = {(c∗, k∗) ∈ R × R3 : c∗ = α > 0, k∗ = α(0, 0, −1)}.
T˜Ïng t¸ nhˆ trong V½ dˆ 4.1, ta c‚ thº ch˘ng minh r¬ng f l l-Ín ‡nh t¤i x0 v khÊng kh£ vi trong
U\ {x0}, vÓi b§t c˘ l¥n cªn U cıa x0. Cho u= (u1, u2)∈R2sao cho
Khi ‚, u= (u1,0) vÓi u1 th¼ g0 (x0)u 6∈ −K(g(x0)). N¸u u = 0, th¼ g0 (x0)u ∈ −K(g(x0)) v {(β, γ, 0, β) : β, γ (1, 0, 0, − 1)∈ C hk∗, z0i = 0. Do‚,‡nh l˛ 4.1 cıa [19] v M°c kh¡c, chÂn u= (1,0), ta c‚ A2(−K, g(x0), g0 (x0)u) = {(k1, k2, k3) ∈ R3 : k3 ≥ 4}, D2(f, g)(x0, u) = {(−6 + β, γ, 2, β) : β, γ ∈ R}. VÓi α > 0, cho (c∗, k∗) = (α, 0, 0, −α) ∈ Λ1(x0), ta c‚ supk∈A2(−K,g(x0),g0(x0)u)hk∗, ki = −4α, v , vÓi (y0, z0)∈ D2(f, g)(x0, u), hc∗, y0i + hk∗, z0i = α(−6 + β) − αβ = −6α < −4α. B i H» qu£ 4.5 (ii),x
0 khÊng l nghi»m y¸u ‡a ph˜Ïng cıa b i to¡n (P).
V½ dˆ ti¸p theo minh hÂa vi»c ¡p dˆng kh¯ng ‡nh (iii) cıa H» qu£ 4.5 trong tr˜Ìng hÒp m kh¯ng ‡nh (ii) khÊng ¡p dˆng ˜Òc.
V½ dˆ 4.3. Cho C = R+, K ={0}, x0
˜Òc ‡nh ngh¾a b i g(x1, x2) =x13+ x22
V¼ intK =∅, H» qu£ 4.5 (ii) khÊng thº ¡p dˆng ˜Òc. Th˚ kiºm tra kh¯ng ‡nh (iii), ta c‚
M = {(x1, x2) ∈ R2 : x31 + x22 = 0}, T (M, x0) = {(u1, u2) ∈ R2 : u1 ≤ 0, u2 = 0}.
VÓi u = (−1, 0) ∈ T (M, x0), T 00 (M, x0, u) = R2. L§y w = (w1, w2) vÓi w2 < 0. Khi ‚, vÓi mÂi c∗ ∈ C∗ \ {0} vÓi hc∗, f0 (x0)ui = 0, t˘c l , c∗ >0, ta c‚ hc∗, f0 (x0)wi =c∗w < 0.
B i (iii),x
0 khÊng l nghi»m y¸u ‡a ph˜Ïng.
L˜u ˛ r¬ng c¡c x§p x¿ (˜Òc ‡nh ngh¾a trong [1, 16]) l c¡c lo¤i ¤o h m r§t tÍng qu¡t trong vi»c nghi¶n c˘u c¡c i·u ki»n tËi ˜u (xem [18, 20, 21]). V½ dˆ sau ¥y ch˘ng t‰ r¬ng H» qu£ 4.5 c‚ thº ¡p dˆng ˜Òc trong khi c¡c i·u ki»n c¦n theo c¡c x§p x¿ trong ‡nh l˛ 4.1 cıa [20] khÊng ¡p dˆng ˜Òc.
V½ dˆ 4.4. ChoC =R+, K=R,x0= 0, v f, g :R →R ˜Òc‡nh ngh¾a b i g= 0 v f(x) =
(f ˜Òc l§y t¯ V½ dˆ 4.1 cıa [19]). Khi ‚, f kh£ vi li¶n tˆc t¤i x0 v hÒp c¡c nh¥n t˚ Fritz John cıa (P) l
Λ1(x0) = {(c∗, k∗) ∈ R2 : c∗ > 0, k∗ = 0}. VÓi u = 1, A2(−K, g(x0), g0 (x0)u) = R, D2(f, g)(x0, u) = {(−1, 0)}, v Λ1(x0), ta c‚
hc∗, −1i + hk∗, 0i = −c∗ < supk∈A2(−K,g(x0),g0(x0)u)hk∗, ki = 0. B i H» qu£ 4.5 (ii), x0 khÊng l
B¥y giÌ ta th˚ dÚng ‡nh l˛ 4.1 cıa [20]. Hiºn nhi¶n r¬ng vÓi mÂi u∈ Rn, T2(M, x0, u) =
00
T (M, x0, u) = R. Ta t½nh x§p x¿ c§p hai cıa f t¤i x0v c¡c tªp li¶n quan nh˜ sau:
Bf (x0) = {−1/2} ∪ (α, +∞) vÓi α > 0, clBf (x0) = {−1/2} ∪ [α, +∞) v
[0,+∞). V¼ th¸,x
0th‰a m¢n c¡ci·u ki»n c¦n trong‡nh l˛ 4.1 cıa [20]
Ch˜Ïng 5: C¡c i·u ki»n tËi ˜u ı c§p hai
Trong ph¦n n y, ta x²t b i to¡n (P) vÓi h = 0, v C, K c‚ thº khÊng lÁi vÓi ph¦n trong rÈng. BÍ · sau ¥y ˜Òc s˚ dˆng º ch˘ng minh c¡c i·u ki»n ı c§p hai.
BÍ · 5.1. Gi£ s˚x0∈M⊆Rn. N¸uxk∈M\ {x0}hÎi tˆ¸nx0, th¼ tÁn t¤iu ∈ T (M, x0) \ {0} v mÎt d¢y con, cÚng k˛ hi»u xk, sao cho
(i) (xk − x0)/tk → u, trong ‚ tk = kxk − x0k;
(ii) ([15], BÍ · 3.4) ho°cz ∈ T 2(M, x0, u)∩u⊥ tÁn t¤i sao cho(xk −x0 −tku)/
ho°c z
1 ∈
tku)/ 2 tkrk → z, trong ‚ u⊥l ph¦n bÚ tr¸c giao cıa u ∈ Rn ‡nh l˛ 5.2. X²t b i to¡n (P) vÓih= 0, chofvgll-Ín‡nh t¤ix0∈M. Khi‚,mÎt trong c¡ci·u ki»n sau lıºx
0 l nghi»m chc chn‡a ph˜Ïng c§p hai.
(i) ∀u ∈ Sn,∃(c∗, k∗) ∈ C∗ × K(g(x0))∗sao cho c∗, f0
h
(ii) ∀u ∈Sn vÓi u ∈ T (M, x0) v
(a) ∀w ∈ T 2(M, x0, u) ∩ u⊥, ∀(y0, z0) ∈ d2(f, g)(x0, u) vÓi g0 (x0)w + z0 ∈ T 2(−K, g(x0), g0 (x0)u), ∃(c∗, k∗) ∈ Λ1(x0) (˜Òc‡nh ngh¾a trong H» qu£ 4.5) th ‰a m¢n
h
c∗, y
0i (b) ∀w ∈ T 00 (M, x0, u) ∩ u⊥ \ {0},∃c∗ ∈
C∗ \ {0} vÓi hc∗, f0 (x0)ui = 0 th‰a m¢n hc∗, f0 (x0)wi > 0.
Ch˘ng minh. (i) Xem ‡nh l˛ 4.2 (i) trong [19]. (ii) Gi£ s˚ ph£n ch˘ng r¬ng tÁn t¤i xk ∈M∩ Bn(x0,
f(xk) − f(x0) + ck∈ Bm(0,
trong ‚ tk =kxk −x0k. Ta c‚ thº gi£ s˚ (xk −x0)/tk →u ∈ T (M, x0) ∩ Sn. Chia (5.2) cho tk v qua giÓi h¤n, ta ˜Òc f0(x0)u∈−C. B i BÍ · 5.1, ch¿ c¦n x²t hai tr˜Ìng hÒp sau l ı.
Tr˜Ìng hÒp mÎt: TÁn t¤i w ∈ T 2(M, x0, u)∩u⊥ sao cho wk := (xk −x0 −tku)/12
t2k → w. B i M»nh · 3.4 (i), ta c‚ (y
k
vÓi (y, z) ∈ D2p(f, g)(x0, u, w). B i M»nh · 3.5, vÓi (y0, z0) ∈ d2(f, g)(x0, u). V¼ g(xk) ∈ −K v
zk = (g(xk) − g(x0) − tkg0 (x0)u)/ suy ra r¬ng g0 (x0)w+ z0
B i gi£ thi¸t (ii) (a), tÁn t¤i (c∗, k∗)∈ Λ1(x0) th‰a m¢n (5.1). CÎng th¶m hc∗, f0
(x0)wi 25 v o hai v¸ cıa (5.1) v t˜Ïng ˜Ïng vÓi dÚng ¯ng th˘c c∗ ◦f0(x0) +k∗◦ g0(x0) = 0, b§t ¯ng th˘c (5.1) hc∗, f0 (x0)w + y0i > 0. M°t kh¡c, t¯ (5.2) ta suy ra (f(xk) − f(x0) − tkf0 (x0)u)/12 t2k + (ck + tkf0 (x0)u)/12 t2k → 0. V¼ sË h¤ng ¦u ti¶n ¥y lyk, s¸ hÎi tˆ tr¶n d¨n¸n
y = f0 (x0)w + y0∈ −clcone(C + f0 (x0)u).
V¼ f0(x )u C, g0
0 ∈ −
hc∗, f0 (x0)ui = 0, v
m¥u thu¨n vÓi (5.3).
Tr˜Ìng hÒp hai: TÁn t¤i rk → 0+ sao cho tk/rk → 0 v
B i gi£ thi¸t (ii) (b), tÁn t¤i c∗
M»nh · 3.4 (iii), ta c‚
(f(xk) − f(x0) − tkf0 (x0)u)/12 tkrk → f0 (x0)w. M°t kh¡c, t¯ (5.2) ta suy ra
(f(xk) − f(x0) − tkf0 (x0)u)/12 tkrk + (ck + tkf0 (x0)u)/12 tkrk → 0.
V¼ th¸, f0 (x0)w ∈ −clcone(C + f0(x0)u). Do ‚, hc∗, f0(x0)wi ≤ 0: m¥u thu¨n.
L˜u ˛ 2. (i) i·u ki»n (ii) (a) trong ‡nh l˛ 5.2 hiºn nhi¶n ˜Òc suy ra b i mÎt trongc¡c i·u ki»n
sau ¥y (a0) ∀w ∈ Rn,∀(y0, z0) ∈ d2(f, g)(x0, u) vÓi g0 (x0)w + z0∈ T 2(−K, g(x0), g0 (x0)u), ∃(c∗, k∗) ∈ Λ1(x0) th‰a m¢n (5.1). (a00 ) ∀ (y0 , z )0
(ii) i·u ki»n (ii) (b) trong ‡nh l˛ 5.2 ˜Òc suy ra b i mÎt trong c¡c i·u ki»n sau ¥y (b0 ) ∀w ∈ u⊥ \ {0} vÓi hk∗, g0 (x0)wi < 0. (b00 ) w ∀ ∈ Λ (x ), h k ∗, g0 1 0
Th¸c vªy, b i M»nh · 3.4 (iii), n¸u w∈ T00(M, x0, u), th¼
g0 (x0)w ∈ T 00 (−K, g(x0), g0 (x0)u) ⊂clcone[cone(−K − g(x0)) − g0 (x0)u]. Do ‚, ‡nh l˛ 5.2 c£i thi»n ‡nh l˛ 3 cıa [13], trong ‚
‡nh t¤i x0 v c¡c i·u ki»n (a') v (b) ˜Òc dÚng. L˜u ˛ r¬ng, thay v¼
nh˜ trong c¡c i·u ki»n c¦n, trong ‡nh l˛ 5.2 ta dÚng tªp nh‰ hÏn
˜Òc k¸t luªn m¤nh hÏn.
(iii) B¥y giÌ ta n‚i ¸n lÍ hÍng gi˙a i·u ki»n c¦n trong ‡nh l˛ 4.4 v i·u ki»n ı trong ‡nh l˛ 5.2. ¦u ti¶n l˜u ˛ r¬ng, n¸u u∈T(M, x0), th¼ g0 (x0)u ∈T(−K, g(x0)) =
−clK(g(x0)). V¼ th¸, ‡nh l˛ 5.2 (ii) cÙngÛng n¸u c¡c h˜Óng u ∈ Snsao cho (f, g)0 (x0)u ∈ −[C×clK(g(x0))] ˜Òc x²t¸n (nh˜ trong‡nh l˛ 4.4). HÏn n˙a,‡nh l˛ 4.4 (t˜Ïng˘ng, ‡nh l˛ 5.2) cÙng Ûng (th¸c s¸ y¸u hÏn) n¸u ta thay D2 (t˜Ïng ˘ng,
d2) b i d2 (t˜Ïng ˘ng, D2). Ngay c£ vÓi vi»c l m y¸u i nh˜ tr¶n, khi −K th‰a m
¢n t½nh ch§t sau t¤i g(x0): T 2(−K, g(x0), u) = A2(−K, g(x0), u) vÓi mÂi u ∈ Rp, lÍ hÍng n‚i tr¶n l nh‰:
c¡c b§t ¯ng th˘c trong i·u ki»n c¦n ˜Òc thay b i c¡c b§t ¯ng th˘c ch°t trong i·u ki»n ı.
Trong v½ dˆ sau ¥y, ‡nh l˛ 5.2 kh¯ng ‡nh nghi»m chc chn, trong khi c¡c k¸t qu£ g¦n ¥y th¼ khÊng.
V½ dˆ 5.1. X²t V½ dˆ 4.2 nh˜ng vÓif˜Òc‡nh ngh¾a b i (θnh˜ trong V½ dˆ 4.1) f(x1, x2) =
T˜Ïng t¸ nh˜ trong V½ dˆ 4.2, ta c‚ thº ch˘ng minh r¬ng f l l-Ín‡nh t¤i x0v
f0 (x0) = (0, 1). Khi‚, vÓi u = (1, 0) ∈ S2v (c∗, k∗) ∈ C∗ × K(g(x0))∗, ta c‚ hc∗, f0 (x0)ui + hk∗, g0 (x0)ui = 0.
Do ‚, i·u ki»n (i) trong ‡nh l˛ 5.2 khÊng th‰a m¢n. Cho u= (u1, u2)∈S2sao cho
(f, g)0 (x0)u ∈ −[C×clK(g(x0))]. Khi‚, u = (u1, 0) vÓi u1 = ±1. Ta c‚
T 2(−K, g(x0), g0 (x0)u) = A2(−K, g(x0), g0 (x0)u),
v do ‚, vÓi k∗= (0, 0, −1) ∈ N(−K, g(x0)), supk∈T 2(−K,g(x0),g0 (x0)u)hk∗, ki = −4. N¸u u1 = 1, th¼ vÓi (y0, z0) ∈ d2(f, g)(x0, u) = {(−2, 0, 2, 0)}, tÁn t¤i (c∗, k∗) = (1, 0, 0, −1) ∈ Λ1(x0) th‰a m¢n
hc∗, y0i + hk∗, z0i = −2 > supk∈T2(−K,g(x0),g0(x0)u)hk∗, ki. N¸u u1=−1, th¼ vÓi (y0, z0)∈ d2(f, g)(x0, u), tÁn t¤i tk →0+ sao cho y0 = limk→+∞
v z0 = (0, 2, 0). V¼ th¸, vÓi (c∗, k∗) = (1, 0, 0, −1) ∈ Λ1(x0), ta c‚ h c∗, y 0i θ(−tk) t2k/2
Do ‚, i·u ki»n (a00 ) th‰a m¢n, v do ‚ i·u ki»n (a) cıa ‡nh l˛ 5.2 cÙng th‰a
m¢n.
Cho w = (w
clcone[cone(−K−g(x0))−g
(c∗, k∗) = (1, 0, 0,
th‰a m¢n, v do ‚ i·u ki»n (b) cıa ‡nh l˛ 5.2 cÙng th‰a m¢n. K¸t qu£ l , b i ‡nh l˛ 5.2,x
0 l nghi»m chc chn‡a ph˜Ïng c§p hai cıa b i to¡n (P). V¼ f0khÊng Ín‡nh t¤i
x0, ‡nh l˛ 4.2 cıa [19] v ‡nh l˛ 3 cıa [13] khÊng ¡p dˆng ˜Òc. HÏn n˙a, v¼ v¸ tr¡i cıa (5.4) c‚ thº ¥m, ‡nh l˛ 4.1 cıa [5] khÊng ¡p dˆng ˜Òc.
K¸t luªn v h˜Óng nghi¶n c˘u m rÎng · t i
Trong · t i nghi¶n c˘u n y, ¦u ti¶n, chÛng tÊi giÓi thi»u kh¡i ni»m h m l-Ín ‡nh
vÊ h˜Óng cÙng nh˜ vectÏ v kh£o s¡t mÎt sË t½nh ch§t cıa chÛng. Ti¸p theo, chÛng tÊi · xu§t kh¡i ni»m ¤o h m theo h˜Óng a tr‡ c§p hai v ˜a ra c¡c t½nh ch§t cıa chÛng. CuËi cÚng, dÚng c¡c ¤o h m theo h˜Óng a tr‡ Hadamard v Dini d˜Ói gi£ thi¸t kh£
vi ch°t (trong c¡c i·u ki»n tËi ˜u c¦n) hay l-Ín ‡nh (trong c¡c i·u ki»n tËi ˜u ı),
chÛng tÊi thi¸t lªp c¡c i·u ki»n tËi ˜u c§p hai mÓi cho c¡c nghi»m y¸u ‡a ph˜Ïng hay c¡c nghi»m chc chn ‡a ph˜Ïng, vÓi t½nh ch§t envelope-like ˜Òc l m r„ hÏn, trong b i to¡n quy ho¤ch a mˆc ti¶u khÊng trÏn (P).
Trong k¸ ho¤ch nghi¶n c˘u t˜Ïng lai, chÛng tÊi s³ m rÎng h˜Óng nghi¶n c˘u