Điều kiện tối ưu cấp hai với các hàm lớp C (LV thạc sĩ)

Điều kiện tối ưu cấp hai với các hàm lớp C (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cấp hai với các hàm lớp C (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cấp hai với các hàm lớp C (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cấp hai với các hàm lớp C (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cấp hai với các hàm lớp C (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cấp hai với các hàm lớp C (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cấp hai với các hàm lớp C (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cấp hai với các hàm lớp C (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cấp hai với các hàm lớp C (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cấp hai với các hàm lớp C (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cấp hai với các hàm lớp C (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cấp hai với các hàm lớp C (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cấp hai với các hàm lớp C (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cấp hai với các hàm lớp C (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cấp hai với các hàm lớp C (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cấp hai với các hàm lớp C (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cấp hai với các hàm lớp C (LV thạc sĩ)Điều kiện tối ưu cấp hai với các hàm lớp C (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THỊ MINH TÂM ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI VỚI CÁC HÀM LỚP C1 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN THỊ MINH TÂM ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP HAI VỚI CÁC HÀM LỚP C1 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU Thái Nguyên - 2016 i Mục lục Lời nói đầu Chương ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CỦA GINCHEV - IVANOV 1.1 1.2 Điều kiện đủ tối ưu cho cực tiểu toàn cục Điều kiện cần tối ưu cho cực tiểu địa phương 1.3 1.4 Điều kiện đủ tối ưu cho cực tiểu địa phương cô lập cấp Điều kiện tối ưu cho cực tiểu địa phương parabolic 15 19 Chương ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CHO CỰC TIỂU CÔ LẬP CẤP 22 2.1 2.2 Các khái niệm định nghĩa Điều kiện cần cho cực tiểu địa phương cô lập cấp 22 26 2.3 Cực tiểu cô lập tính lồi suy rộng 34 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 Lời nói đầu Lý chọn đề tài Điều kiện tối ưu Karush – Kuhn – Tucker (KKT) công cụ hữu hiệu để giải toán tối ưu phi tuyến Các điều kiện cần cấp cho phép ta tìm tập điểm dừng Các điều kiện tối ưu cấp cho phép loại bỏ điểm dừng không nghiệm xác định liệu điểm dừng có nghiệm hay không I Ginchev V I Ivanov ([6], 2008) thiết lập điều kiện cần tối ưu KKT Fritz John (FJ) cấp cho toán tối ưu có ràng buộc bất đẳng thức ràng buộc tập với hàm lớp C1 , đạo hàm chúng không Lipschitz địa phương Các điều kiện đủ nhận với hàm mục tiêu khả vi giả lồi cấp V I Ivanov ([10], 2009) tiếp tục nghiên cứu điều kiện tối ưu cho cực tiểu cô lập toán đó; điều kiện đủ dẫn với giả thiết tính lồi suy rộng Điều kiện tối ưu cấp đề tài thời sự, nhiều tác giả nước quan tâm nghiên cứu Chính vậy, chọn đề tài “Điều kiện tối ưu cấp hai với hàm lớp C1 ” Nội dung đề tài Luận văn trình bày điều kiện tối ưu Karush – Kuhn – Tucker Fritz John cấp Ginchev – Ivanov ([6], 2008) cho toán tối ưu với hữu hạn ràng buộc bất đẳng thức ràng buộc tập với hàm khả vi liên tục, điều kiện tối ưu cấp cho cực tiểu cô lập Ivanov ([10], 2009) cho toán Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo CHƯƠNG I ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CỦA GINCHEV - IVANOV Trình bày kết nghiên cứu Ginchev - Ivanov ([6], 2008) điều kiện tối ưu Fritz John KKT cấp cho toán tối ưu có ràng buộc bất đẳng thức ràng buộc tập Trong điều kiện cần, hàm mục tiêu hàm ràng buộc tích cực giả thiết khả vi liên tục, gradient chúng không thiết Lipschitz địa phương Các điều kiện cần dạng hệ không tương thích dạng đối ngẫu trình bày Trong điều kiện đủ, hàm mục tiêu khả vi giả lồi cấp 2, hàm ràng buộc khả vi tựa lồi Trong điều kiện đủ cho cực tiểu địa phương cô lập ta giả thiết toán thuộc lớp C1,1 ; điều kiện đủ cho cực tiểu parabolic cô lập cấp toán lớp C1 CHƯƠNG II ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CHO CỰC TIỂU CÔ LẬP CẤP Trình bày kết nghiên cứu Ivanov ([10], 2009) điều kiện tối ưu cấp cấp cho cực tiểu cô lập cấp toán có ràng buộc bất đẳng thức ràng buộc tập Trong điều kiện cần cho cực tiểu địa phương cô lập cấp 2, hàm khả vi liên tục khả vi theo phương cấp Các điều kiện cần tối ưu cấp dạng hệ không tương thích dạng đối ngẫu, có điều kiện quy cấp trình bày Các điều kiện đủ tối ưu cho cực tiểu cô lập trình bày với giả thiết tính lồi suy rộng Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn PGS TS Đỗ Văn Lưu, Viện toán học - Viện Hàn Lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn khoa học mình, thầy tận tâm nhiệt tình bảo Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin, phòng Đào tạo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, toàn thể cán giảng dạy lớp cao học toán K8B nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt trình học tập Cuối tác giả xin cảm ơn bố mẹ, gia đình, bạn bè đồng nghiệp bên cạnh động viên, giúp đỡ trình học tập hoàn thành luận văn Tác giả Trần Thị Minh Tâm Chương ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẤP CỦA GINCHEV - IVANOV Chương trình bày điều kiện tối ưu Fritz John Karush – Kuhn – Tucker cấp Ginchev - Ivanov [6] cho toán tối ưu có hữu hạn ràng buộc bất đẳng thức ràng buộc tập Trong điều kiện cần, hàm mục tiêu hàm ràng buộc tích cực giả thiết thuộc lớp C1 , gradient chúng không thiết Lipschitz địa phương Các điều kiện cần dạng hệ bất đẳng thức không tương thích dạng đối ngẫu trình bày Trong điều kiện đủ, hàm mục tiêu giả thiết khả vi giả lồi cấp 2, hàm ràng buộc khả vi tựa lồi Các điều kiện đủ cho cực tiểu parabolic cô lập cấp toán lớp C1 trình bày chương 1.1 Điều kiện đủ tối ưu cho cực tiểu toàn cục Trong chương trình bày điều kiện tối ưu KKT FJ cho toán (P) sau: Minimize fi (x) f0 (x) , 0, i = 1, , m, x ∈ X, X ⊂ Rn fi , i = 0, 1, , m hàm xác định X Ký hiệu R ¯ = R ∪ {−∞} ∪ {+∞} tập số thực R Hàm f : X → R X tập mở, X ⊂ Rn , f khả vi điểm x ∈ X, f (x) đạo hàm f x Đạo hàm theo phương cấp f (x, u) f x ∈ X theo phương u ∈ Rn xác định công thức ( f (x + tu) − f (x) − t t→+0 t f (x, u) = lim f (x) u) Hàm f gọi khả vi theo phương cấp X đạo hàm f (x, u) tồn với x ∈ X phương u ∈ Rn Nhắc lại hàm f : X → R gọi tựa lồi x ∈ X (theo X) y ∈ X, f (y) f (x) ,t ∈ [0, 1] , (1 − t) x + ty ∈ X ⇒ f ((1 − t) x + ty) f (x) Nếu tập X lồi hàm f gọi tựa lồi X với x, y ∈ X t ∈ [0, 1] ta có f ((1 − t) x + ty) max ( f (x) , f (y)) Bổ đề 1.1.1 ([12]) Giả sử X tập mở Rn f hàm thực xác định X khả vi tựa lồi x ∈ X Khi đó, y ∈ X, f (y) f (x) =⇒ f (x) (y − x) Giả sử hàm f : X → R với X ⊂ Rn tập mở, f khả vi x ∈ X Khi đó, f gọi giả lồi x ∈ X y ∈ X f (y) < f (x) =⇒ f (x) (y − x) < Nếu f khả vi X f gọi giả lồi X f giả lồi x ∈ X Xét hàm f : X → R, X miền mở, f khả vi x ∈ X khả vi theo phương cấp x ∈ X theo phương y − x cho y ∈ X, f (y) < f (x) , f (x) (y − x) = Định nghĩa 1.1.2 Ta nói f giả lồi cấp (nói vắn tắt 2-giả lồi) x ∈ X với y ∈ X, f (y) < f (x) ⇒ f (y) < f (x) , f (x) (y − x) 0; f (x) (y − x) = ⇒ f (x, y − x) < Giả sử f khả vi X khả vi theo phương cấp x ∈ X theo phương y − x cho y ∈ X, f (y) < f (x) , f (x) (y − x) = Ta nói f 2-giả lồi X f 2-giả lồi x ∈ X Từ định nghĩa ta suy hàm giả lồi khả vi 2-giả lồi Điều ngược lại không Trong phần ta giả sử fi , i = 0, , m hàm thực xác định không gian Euclid hữu hạn chiều Rn Xét toán (P) Ký hiệu S tập chấp nhận S := {x ∈ X| fi (x) 0, i = 1, 2, , m} Với điểm chấp nhận x ∈ S ta kí hiệu I (x) tập số ràng buộc tích cực I (x) := {i ∈ {1, 2, , m} | fi (x) = 0} Định nghĩa 1.1.3 Phương d gọi tới hạn điểm x ∈ S fi (x) d với i ∈ {0} ∪ I (x) Kết phần định lý sau đây: Định lý 1.1.4 Giả sử ràng buộc tập X mở, hàm fi , i = 0, , m xác định X Giả sử fi , (i ∈ {0} ∪ I(x)) ¯ khả vi điểm chấp nhận x¯ khả vi theo phương cấp x¯ theo phương tới hạn d ∈ Rn , f0 2-giả lồi x, ¯ fi , (i ∈ I(x)) ¯ tựa lồi x ¯ Với phương tới hạn d ∈ Rn , tồn nhân tử Lagrange không âm λ1 , λ2 , , λm với λi fi (x) ¯ = 0, i = 1, , m, L (x) ¯ = 0, L = f0 (x) + ∑m ¯ d) i=1 λi f i (x) hàm Lagrange L (x, x¯ cực tiểu toàn cục (P) Khi đó, Chứng minh Để đơn giản kí hiệu, ta viết L (x) ¯ = x L (x, ¯ λ ) Giả sử ngược lại tồn x ∈ S với f0 (x) < f0 (x) ¯ Giả sử x − x¯ phương tới hạn Do tính 2-giả lồi, ta có f0 (x) ¯ (x − x) ¯ Do tính tựa lồi fi (x) f (x) ¯ , i ∈ I (x) ¯ Bổ đề 1.1.1 ta có fi (x) ¯ (x − x) ¯ với i ∈ I (x) ¯ Điều suy x − x¯ tới hạn Sử dụng giả thiết định lý suy tồn nhân tử không âm λ1 , λ2 , , λm với L (x) ¯ (x − x) ¯ =0 λi fi (x) ¯ = 0, i = 1, , m cho L (x, x − x) ¯ Do đó, λi = với i ∈ / I (x) ¯ Do x − x¯ tới hạn, ta nhận L (x) ¯ (x − x) ¯ = f0 (x) ¯ (x − x) ¯ + ∑ λi fi (x) ¯ (x − x) ¯ i∈I(x) ¯ Vì vậy, f0 (x) ¯ (x − x) ¯ = λi Khi đó, fi (x) ¯ (x − x) ¯ = với i ∈ I(x) ¯ fi (x) ¯ (x − x) ¯ = λi > Do tính 2-giả lồi, ta suy f0 (x, ¯ x − x) ¯ < Do L (x, ¯ x − x) ¯ < ∑ ¯ x − x) ¯ λi f (x, i∈I(x) ¯ = ∑ i∈I(x),λ ¯ i >0 λi lim t→+0 fi (x¯ + t (x − x)) ¯ − fi (x) ¯ t /2 Do tính tựa lồi ta có fi (x¯ + t (x − x)) ¯ fi (x) ¯ = 0, với i ∈ I(x) ¯ với t ∈ [0, 1] đủ nhỏ Từ ta suy L (x, x − x) ¯ < Đây mâu thuẫn Định lý 1.1.4 tổng quát hóa kết sau Mangasarian [12, định lý 10.1.2], lớp hàm 2-giả lồi chứa lớp hàm giả lồi khả vi Định lý 1.1.5 (Xem [12]) Giả sử tập ràng buộc X mở Các hàm fi (i = 0, 1, , m) xác định X x¯ điểm chấp nhận Giả sử fi (i ∈ {0} ∪ I(x)) ¯ khả vi x, ¯ f0 giả lồi x¯ fi (i ∈ I(x)) ¯ tựa lồi x ¯ Nếu tồn nhân tử Lagrange không âm λ1 , λ2 , , λm với λi fi (x) ¯ = 0, i = 1, , m L (x) ¯ = 0, L = f0 (x) + ∑m i=1 λi f i (x) x¯ cực tiểu toàn cục (P) Ví dụ 1.1.6 Xét toán sau: Minimize f0 (x) = x2 ,x , −x2 , x < với ràng buộc f1 = −x Trong toán fi ∈ C1 , i = 0, Hàm mục tiêu 2-giả lồi x¯ = Hàm ràng buộc tuyến tính, tựa lồi Hàm Lagrange L (x) = f0 (x) − λ x Điểm dừng x¯ = với nhân tử Lagrange λ = Ràng buộc tích cực x¯ = Các phương tới hạn tất phương d ∈ R cho d Dễ kiểm tra L (0, d) = f0 (0, d) = 2d Khi đó, theo Định lý 1.1.4, x¯ = cực tiểu toàn cục Bài toán giải với điều kiện đủ Mangasarian [12, định lý 10.1.2], f0 không giả lồi Ví dụ 1.1.7 Xét toán sau Minimize f0 (x) = x3 , với ràng buộc f1 (x) = x Hàm ràng buộc f1 = x tựa lồi Hàm mục tiêu f0 = x3 không 2-giả lồi x¯ = 0, tựa lồi Hàm Lagrange L (x, λ ) = x3 + λ x Tập phương tới hạn {d ∈ R|d 0} Điểm dừng x¯ = với nhân tử Lagrange λ = Ta có L (0, 0) = 0, x¯ = không cực tiểu toàn cục 30 trường hợp B (x, ¯ d) = Rn Giả sử i ∈ I (x) ¯ với cho fi (x) ¯ d = z ∈ A (x, ¯ d) Khi đó, tồn δi > ¯ fi x¯ + td + 0, 5t z − fi (x) 0, ∀t ∈ (0, δi ) Từ chứng minh Định lý 2.2.1, ta suy ¯ fi (x) ¯ z + fi (x, ¯ d) = lim 2t −2 fi x¯ + td + 0, 5t z − fi (x) t→+0 Bổ đề chứng minh Ví dụ sau bao hàm thức ngược lại không Ví dụ 2.2.3 Xét hàm g : R2 → R xác định g (x1 , x2 ) = x13 Chọn x¯ = (0, 0) , d = (1, 0) Ta có A (x, ¯ d) = z ∈ R2 |∃δ > : g x + td + 0, 5t z B (x, ¯ d) = z ∈ R2 | g (x) ¯ d = =⇒ 0, ∀t ∈ (0, δ ) , g (x) ¯ z + g (x, ¯ d) , g (x) ¯ = (0, 0) , g (x, ¯ d) = Nếu z¯ = (1, 0), g x + td + 0, 5t z¯ > 0, với t > Do z¯ ∈ B (x, ¯ d), z¯ ∈ / A (x, ¯ d) Giả thiết A (x, ¯ d) = B (x, ¯ d) điều kiện quy cấp Định lý 2.2.4 (Điều kiện cần cấp 2) Giả sử tất giả thiết Định lý 2.2.1 Giả thiết thêm điều kiện quy A (x, ¯ d) = B (x, ¯ d) thỏa mãn với phương tới hạn d Khi đó, với phương tới hạn d ∈ Rn , d = 0, không tồn z ∈ Rn nghiệm hệ f0 (x) ¯ z + ( f0 )− (x, ¯ d) fi (x) ¯ z + fi (x, ¯ d) 0, 0, ∈ I0 (x, ¯ d) ; i ∈ I0 (x, ¯ d) \ {0} (2.12) Chứng minh Giả sử ngược lại tồn phương tới hạn d cho hệ (2.12) có nghiệm z ∈ Rn I0 (x, ¯ d) = 0, / x¯ cực tiểu địa phương Xét trường hợp sau: 31 10 ) Với i ∈ I0 (x, ¯ d) \ {0}, ta có fi (x) ¯ z + fi (x, ¯ d) Do đó, z ∈ B (x, ¯ d) Vì A (x, ¯ d) = B (x, ¯ d), với i ∈ I0 (x, ¯ d), tồn δi > cho fi x¯ + td + 0, 5t z fi (x) ¯ = 0, 20 ) Với i ∈ I (x) ¯ \I0 (x, ¯ d), ta có ∀t ∈ (0, δi ) fi (x) ¯ d < Do ϕi (0) < 0, ϕ xác định (2.9) Tồn δi > với ϕi (t) < ϕi (0), với t ∈ (0, δi ) Do đó, fi x¯ + td + 0, 5t z fi (x) ¯ = 0, ∀t ∈ (0, δi ) 30 ) Với i ∈ {1, 2, , m} \I (x), ¯ ta có fi (x) ¯ < Do tính liên tục fi , tồn δi > cho fi x¯ + td + 0, 5t z < 0, ∀t ∈ (0, δi ) Như vậy, điểm x¯ + td + 0, 5t z chấp nhận với t > đủ nhỏ Giả sử ∈ I0 (x, ¯ d) Tồn C > cho f0 x¯ + td + 0, 5t z − f0 (x) ¯ Ct d + 0, 5tz , với t > đủ nhỏ, x¯ cực tiểu địa phương cô lập Do đó, f0 (x) ¯ z + ( f0 )i (x, ¯ d) = lim inf 2t −2 f0 x¯ + td + 0, 5t z − f0 (x) ¯ t→+0 2C d > Điều mâu thuẫn với giả thiết hệ (2.12) có nghiệm Nếu ∈ / I0 (x, ¯ d) ϕ0 (0) = f0 (x) ¯ d < f0 x¯ + td + 0, 5t z < f0 (x) ¯ với t > đủ nhỏ Điều mâu thuẫn với giả thiết x¯ cực tiểu địa phương cô lập cấp 32 Bổ đề 2.2.5 Giả sử điểm chấp nhận x¯ cực tiểu địa phương cô lập cấp toán (P) hàm fi (i ∈ {0} ∪ I (x)) ¯ thuộc lớp C1 Giả sử với phương chấp nhận d, hàm fi (i ∈ I0 (x, ¯ d) \ {0}) khả vi theo phương cấp 2, hàm fi (i ∈ / I (x)) ¯ liên tục Khi đó, với phương tới hạn d, d = 0, hai điều kiện sau tương đương: (i) hệ (2.12) với ẩn số z ∈ Rn không tương thích (ii) tồn nhân tử không âm λ = (λ0 , λ1 , , λm ) = cho p λi fi (x) ¯ = 0, i = 1, 2, , m, ∑ λi fi (x) ¯ = 0, i=0 fi (x) ¯ d = 0, i ∈ {0} ∪ I (x) ¯ , λi p λ0 ( f0 )− (x, ¯ d) + ∑ λi fi (x, ¯ d) > (2.13) i=0 Chứng minh Xét ma trận A mà hàng { fi (x) ¯ |i ∈ I0 (x, ¯ d)} vectơ b mà thành phần ( f0 )− (x, ¯ d) , ∈ I0 (x, ¯ d) fi (x, ¯ d) |i ∈ I0 (x, ¯ d) \ {0} Khi đó, toán quy hoạch tuyến tính {y|Az + b y} y ký hiệu vectơ có tất thành phần y, có giá trị tối ưu dương (i) Một dạng tương đương toán {y| − Az + y b} Bài toán quy hoạch đối ngẫu p max p T ∑ λibi| − A i=0 λ = 0, ∑ λi = 1, λi 0, i = 1, 2, , p , i=0 ký hiệu AT chuyển vị ma trận A Theo định lý đối ngẫu hai toán giải Do đó, toán thứ hai có giá trị tối ưu dương (i) Định lý 2.2.6 (Điều kiện cần đối ngẫu cấp 2) Giả sử tất giả thiết Định lý 2.2.4 Khi đó, với phương tới hạn d = 0, tồn nhân tử 33 không âm λ = (λ0 , λ1 , , λm ) = thỏa mãn điều kiện (2.13) Chứng minh Định lý suy trực tiếp từ Định lý 2.2.4 Bổ đề 2.2.5 Dựa ý tưởng định nghĩa hàm giả lõm cấp 2, ta xét khái niệm sau: Định nghĩa 2.2.7 Xét hàm biến ϕ : (−a, a) → R khả vi t = tồn đạo hàm phải cấp ϕ (0, 1) := lim 2t −2 ϕ (t) − ϕ (0) − tϕ (0) t→+0 Khi đó, ta gọi ϕ giả lõm địa phương cấp t = 0, tồn dãy {tk }∞ k=1 ,tk > 0,tk → +0 cho suy luận sau đúng: ϕ (tk ) > ϕ (0) , ∀k =⇒ ϕ (tk ) > ϕ (0) , ∀k, ϕ (0) = ϕ (0) 0, =⇒ ϕ (0, 1) > Sau điều kiện đủ cho điều kiện quy Mệnh đề 2.2.8 Giả sử hàm fi (i ∈ / I (x)) ¯ liên tục x, ¯ hàm fi (i ∈ I (x)) ¯ khả vi có đạo hàm cấp x¯ theo phương d ∈ Rn cho fi (x) ¯ d = Giả sử x¯ điểm chấp nhận (P) hàm biến ϕi (i ∈ I (x)) ¯ xác định (2.9) giả lõm địa phương cấp t = 0, với phương tới hạn d z ∈ Rn Khi đó, A (x, ¯ d) = B (x, ¯ d) , với phương tới hạn d Chứng minh Theo Bổ đề 2.2.2 ta cần chứng minh B (x, ¯ d) ⊆ A (x, ¯ d) Giả sử d phương tới hạn tùy ý z ∈ / A (x, ¯ d) Ta chứng minh z∈ / B (x, ¯ d) Do z ∈ / A (x, ¯ d), ta suy tồn j ∈ I (x) ¯ dãy {tk }∞ k=1 ,tk → +0 gồm số dương có tính chất ϕ j (tk ) > ϕ j (0), với k nguyên dương Theo tính chất giả lõm địa phương cấp 2, ta nhận ϕ j (0) = fi (x) ¯ d Do d tới hạn, ta suy fi (x) ¯ d Do đó, ϕ j (0) = Lại theo tính giả lõm địa phương cấp ta có ϕ j (0, 1) > Điều kéo theo z ∈ / B (x, ¯ d) 34 2.3 Cực tiểu cô lập tính lồi suy rộng Trong phần trình bày điều kiện đủ tối ưu kiểu KKT cho cực tiểu địa phương cô lập cấp với hàm lồi suy rộng Định lý 2.3.1 Giả sử x¯ điểm chấp nhận (P) Giả sử fi (i ∈ I (x)) ¯ khả vi tựa lồi x, ¯ f0 khả vi lân cận x, ¯ f0 giả lồi mạnh x, ¯ thỏa mãn điều kiện Lipschitz lân cận x, ¯ gradient f0 (.) liên tục Lipschitz x ¯ Nếu tồn nhân tử Lagrange λi cho λi fi (x) ¯ = 0, i = 1, 2, , m, f0 (x) ¯ + ∑ λi 0, i = 1, 2, , m fi (x) ¯ = 0, (2.14) i∈I(x) ¯ x¯ cực tiểu địa phương cô lập cấp Chứng minh Giả sử x¯ cực tiểu cô lập Do đó, với dãy {εk }∞ k=1 số dương hội tụ đến 0, tồn dãy {xk } cho xk − x¯ εk , xk ∈ X, f0 (xk ) < f0 (x) ¯ + εk xk − x¯ , fi (xk ) fi (x) ¯ = 0, i ∈ I (x) ¯ (2.15) (2.16) Từ (2.15) suy xk → x ¯ Ký hiệu tk = xk − x¯ , dk = (xk − x) ¯ /tk Chuyển qua dãy cần thiết, ta giả sử dk → d với d = Phương d tới hạn, bất đẳng thức thứ hai (2.15) viết dạng f0 (x¯ + tk dk ) − f0 (x) ¯ < εktk tk Tồn K > cho f0 (x¯ + tk dk ) − f0 (x¯ + tk d) Ktk dk − d , với k đủ lớn Do đó, f0 (x¯ + tk d) − f0 (x) ¯ − K dk − d < εktk tk 35 Lấy giới hạn k → ∞, ta nhận f0 (x) ¯ d fi (x) ¯ (xk − x) ¯ Từ (2.16) tính tựa lồi fi , ta suy Do đó, fi (x) ¯ dk 0, với i ∈ I (x) ¯ (2.17) Lấy giới hạn k → ∞, ta nhận fi (x) ¯ d Mặt khác, đẳng thức thứ hai (2.14) kéo theo f0 (x) ¯ d+ ∑ λi fi (x) ¯ d = i∈I(x) ¯ Bởi d tới hạn, ta suy f0 (x) ¯ d = 0, λi fi (x) ¯ d = 0, i ∈ I (x) ¯ Theo (2.15) ta nhận εktk2 ( f0 (x¯ + tk d) − f0 (x)) ¯ + ( f0 (x¯ + tk dk ) − f0 (x¯ + tk d)) (2.18) Theo định lý giá trị trung bình, tồn θk ∈ (0, 1) cho f0 (x¯ + tk dk ) − f0 (x¯ + tk d) = f0 (x¯ + tk d + tk θk (dk − d)) (dk − d)tk Do tính giả lồi mạnh, tồn β > cho βtk2 , (2.19) Bởi f0 (x) ¯ d = ta suy f0 (x¯ + tk d) − f0 (x) ¯ với k đủ lớn Từ (2.14), (2.17) ta suy f0 (x) ¯ (dk − d) εk f0 (x) ¯ (dk ) Do bất đẳng thức (2.18), (2.19) ta nhận f0 (x¯ + tk d + tk θk (dk − d)) (dk − d) − tk β+ với số nguyên k đủ lớn Do gradient suy tồn số L > cho | f0 (x) ¯ (dk − d) (2.20) f (.) liên tục Lipschitz x, ¯ ta f0 (x¯ + tk d + tk θk (dk − d)) (dk − d) − f0 (x¯ + tk d + tk θk (dk − d)) (dk − d) − f0 (x) ¯ (dk − d) | f0 (x) ¯ (dk − d) 36 Ltk d + θk (dk − d) (dk − d) , (2.21) với k đủ lớn Bằng cách loại bỏ tk (2.20) sử dụng (2.21) lấy giới hạn k → +∞, ta nhận bất đẳng thức xẩy β Điều mâu thuẫn với giả thiết Do đó, x¯ cực tiểu địa phương cô lập Ví dụ sau Định lý 2.3.1 không với hàm mà ánh xạ gradient không liên tục Lipschitz Ví dụ 2.3.2 Xét toán Minimize f0 = max 2/3 0, x2 − 2x1 với ràng buộc f1 = −x1 + max 2/3 0, x1 − x2 , 0, x1 , x2 số thực Tất nhiên điểm x¯ = (0, 0) không cực tiểu địa phương cô lập cấp f0 (x) = 0, với x = (x1 , x2 ) 2/3 2/3 đường cong x1 = x2 2x1 = x2 Thậm chí không cực tiểu địa phương chặt Hàm mục tiêu f0 thuộc lớp C1 R2 , f0 (.) không liên tục Lipschitz x ¯ Nếu ta lấy x¯k = 0, k−1 , lim k→+∞ f0 (x¯k ) − f0 (x) ¯ / x¯k − x¯ = +∞ f0 khả vi theo phương cấp Ta có ¯ (d1 , d2 )) = +∞ f0 (x) ¯ = (0, 0), f0 (x, d2 = f0 (x, ¯ (d1 , d2 )) = 2d12 d2 = Do đó, f0 giả lồi mạnh x ¯ Mặt khác, x¯ điểm dừng với nhân tử Lagrange λ1 = Các điều kiện đủ Định lý 2.3.1 thỏa mãn Giả thiết thêm Định lý 2.3.1 f giả lồi mạnh điểm X Khi đó, từ định lý ta suy điểm cực tiểu chặt toàn cục hàm giả lồi mạnh giả lồi chặt Ví dụ 2.3.2 tính giả lồi mạnh f x¯ không kéo theo tính giả lồi chặt x ¯ Thật vậy, f (x) ¯ (x − x) ¯ = 0, với x ∈ R2 , f (x) = f (x) ¯ = x hai 2/3 2/3 đường cong x1 = x2 2x1 = x2 Định lý 2.3.3 ([12]) Giả sử hàm fi (i = (0, 1, , m)) xác định X x¯ điểm chấp nhận Giả sử fi (i ∈ {0} ∪ I (x)) ¯ khả vi x, ¯ f0 giả lồi x, ¯ fi (i ∈ I (x)) ¯ tựa lồi x ¯ Nếu tồn nhân tử Lagrange không âm λ1 , λ2 , , λm cho (2.14) đúng, x¯ cực tiểu toàn cục 37 (P) Hơn nữa, f0 giả lồi chặt x¯ x¯ cực tiểu chặt Điều kiện đủ cho cực tiểu toàn cục toán có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức ràng buộc tập liệu tựa lồi cho Giorgi [5] tài liệu tham khảo Martin [13] đưa vào khái niệm lồi bất biến Kuhn - Tucker (gọi tắt lồi bất biến KT) cho toán (P): Bài toán (P) gọi lồi bất biến KT tồn hàm η : X × X → Rn cho x ∈ S, x¯ ∈ S =⇒ f0 (x) − f0 (x) ¯ − f0 (x) ¯ η (x, x) ¯ 0, fi (x) ¯ η (x, x) ¯ 0, i ∈ I (x) ¯ (2.22) Khẳng định sau đặc trưng cho toán quy hoạch lồi bất biến KT Mệnh đề 2.3.4 Giả sử toán (P) khả vi Khi (P) lồi bất biến KT suy luận sau x¯ ∈ S, { ν f0 (x) ¯ ν| ⇒ f0 (x) fi (x) ¯ ν 0, i ∈ I (x)} ¯ f0 (x) ¯ , ∀x ∈ S (2.23) Chứng minh 10 ) Giả sử suy luận (2.22) Ta chứng minh suy luận (2.23) Giả sử x¯ ∈ S, { ν f0 (x) ¯ ν| fi (x) ¯ ν 0, i ∈ I (x)} ¯ 0, (2.24) tồn x¯ ∈ S với f0 (x) < f0 (x) ¯ Khi đó, từ (2.22) suy tồn η (x, x) ¯ cho f0 (x) ¯ η (x, x) ¯ < 0, fi (x) ¯ η (x, x) ¯ 0, i ∈ I (x) ¯ Do đó, { ν f0 (x) ¯ ν| fi (x) ¯ ν 0, i ∈ I (x)} ¯ f0 (x) ¯ η (x, x) ¯ < 0, 38 ν (x, x) ¯ thỏa mãn ràng buộc toán quy hoạch tuyến tính { ν f0 (x) ¯ ν| fi (x) ¯ ν i ∈ I (x)} ¯ 0, Như ta nhận mâu thuẫn 20 ) Giả sử suy luận (2.23) Ta chứng minh suy luận (2.22) Giả sử ngược lại suy luận (2.22) không Do đó, tồn x ∈ S x¯ ∈ S cho với v ∈ Rn bất đẳng thức sau f0 (x) − f0 (x) ¯ − f0 (x) ¯ v 0, fi (x) ¯ v i ∈ I (x) ¯ , (2.25) không Nói riêng, lấy v = ta nhận f0 (x) < f0 (x) ¯ Theo dạng phủ định (2.23) ta kết luận { ν f0 (x) ¯ v| fi (x) ¯ v 0, i ∈ I (x)} ¯ < fi (x) ¯ u 0, i ∈ I (x) ¯ Vì vậy, tồn u ∈ Rn cho f0 (x) ¯ u < 0, (2.26) Đặt v = tu,t > (2.25) Từ (2.25) (2.26) ta suy f0 (x) − f0 (x) ¯ < f0 (x) ¯ (tu) , ∀t > Do (2.26) điều không xẩy Suy luận (2.23) thuận tiện (2.22) để kiểm tra tính lồi bất biến KT hàm η chưa biết không xuất (2.23) Bổ đề 2.3.5 Giả sử toán (P) khả vi Khi (2.24) x¯ điểm KT (P), nghĩa x¯ thỏa mãn (2.14) Chứng minh Quan hệ (2.24) tương đương với x¯ ∈ S, { ν f0 (x) ¯ v| fi (x) ¯ v 0, i ∈ I (x)} ¯ = 0, (2.27) 39 điểm v = thỏa mãn ràng buộc f0 (x) ¯ (0) = Mặt khác (2.27) tương đương với x¯ ∈ S, max {− f0 (x) ¯ v| ν fi (x) ¯ v 0, i ∈ I (x)} ¯ = 0, (2.28) Đối ngẫu toán quy hoạch tuyến tính (2.28) 0| λ ∑ λi fi (x) ¯ =− f0 (x) ¯ , λi 0, i ∈ I (x) ¯ i∈I(x) ¯ Theo định lý đối ngẫu hai toán giải đồng thời Điều kéo theo (2.24) x¯ điểm KT Kết sau Định lý 2.1 [13] Đây hệ trực tiếp Mệnh đề 2.3.4 Bổ đề 2.3.5 Hệ 2.3.6 Giả sử toán (P) khả vi Khi đó, điểm KT cực tiểu toàn cục (P) lồi bất biến KT Ta đưa vào định nghĩa sau dựa suy luận (2.23) Định nghĩa 2.3.7 Giả sử toán (P) khả vi Ta gọi (P) lồi bất biến KT mạnh x¯ ∈ S suy luận sau { f0 (x) ¯ v| =⇒ ∃α > : f0 (x) 0, i ∈ I (x)} ¯ fi (x) ¯ v f0 (x) ¯ + α x − x¯ , ∀x ∈ S (2.29) Ta gọi (P) lồi bất biến KT mạnh (2.29) với x¯ ∈ S Ví dụ sau cách kiểm tra tính lồi bất biến KT mạnh Ví dụ 2.3.8 Bài toán Minimize f0 = 4x1 − x12 + 4x2 − x22 , f1 = −x1 0, f = x1 − 0, f3 = −x2 0, f = x2 − lồi bất biến KT mạnh Thật vậy, giả sử x¯ = (x¯1 , x¯2 ) điểm chấp nhận v = (v1 , v2 ) phương Xét trường hợp sau: 40 10 ) x¯ = (0, 0) Do I (x) ¯ = {1, 3} Ta có { f0 (x) ¯ v| fi (x) ¯ v = {4v1 + 4v2 |v1 f0 (x) f0 (x) ¯ + x 0, v2 0, i = 1, 3} 0} = với x chấp nhận 20 ) x¯ = (0, 0) Trong trường hợp ta có { f0 (x) ¯ v| fi (x) ¯ v 0, i ∈ I (x)} ¯ = −∞ Hàm mục tiêu không lồi mạnh, thực lõm Định lý sau bao hàm điều kiện đủ cho cực tiểu toàn cục cô lập cấp (gọi tắt cực tiểu cô lập toàn cục) toán (P) Định lý 2.3.9 Giả sử toán (P) khả vi Khi (a) Điểm KT x¯ cực tiểu toàn cục cô lập (P) lồi bất biến KT mạnh x ¯ (b) Mỗi điểm KT cực tiểu toàn cục cô lập (P) lồi bất biến KT mạnh Chứng minh Định lý suy trực tiếp từ định nghĩa cực tiểu toàn cục cô lập, Định nghĩa 2.1.2 Bổ đề 2.3.5 Trong định lý sau ta tính lồi bất biến mạnh tổng quát hóa tính lồi mạnh Định lý 2.3.10 Giả sử X lồi (P) khả vi Giả sử f0 hàm lồi mạnh, fi , i = 1, 2, , m tựa lồi Khi (P) lồi bất biến KT mạnh Chứng minh Ta chứng minh suy luận (2.29) Ta có { ν { x∈S fi (x) ¯ v 0, i ∈ I (x)} ¯ f0 (x) ¯ (x − x) ¯ | fi (x) ¯ (x − x) ¯ f0 (x) ¯ v| 0, i ∈ I (x)} ¯ 41 Giả sử x điểm chấp nhận Do đó, với i ∈ I (x), ¯ ta có fi (x) = fi (x) ¯ Do tính tựa lồi ràng buộc ta suy fi (x) ¯ (x − x) ¯ Khi bất đẳng thức { x∈S f0 (x) ¯ (x − x) ¯ | fi (x) ¯ (x − x) ¯ 0, i ∈ I (x)} ¯ kéo theo { x∈S f0 (x) ¯ (x − x)} ¯ Do tính tựa lồi ràng buộc, S lồi Do đó, tính lồi mạnh, tồn số α > cho f0 (x¯ + t (x − x)) ¯ t f0 (x) + (1 − t) f0 (x) ¯ − αt (1 − t) x − x¯ , với t ∈ [0, 1] Ta viết bất đẳng thức dạng f0 (x¯ + t (x − x)) ¯ − f0 (x) ¯ t f0 (x) − f0 (x) ¯ − α (1 − t) x − x¯ Lấy giới hạn t → +0, ta nhận f0 (x) ¯ (x − x) ¯ Do minx∈S { f0 (x) ¯ (x − x)} ¯ f0 (x) Như (2.29) thỏa mãn f0 (x) − f0 (x) ¯ − α x − x¯ 0, ta suy f0 (x) ¯ + α x − x¯ , ∀x ∈ S 42 KẾT LUẬN Luận văn trình bày điều kiện tối ưu cấp Ginchev - Ivanov [6] Ivanov [10] cho toán tối ưu có hữu hạn ràng buộc bất đẳng thức ràng buộc tập Nội dung luận văn bao gồm: - Các điều kiện đủ tối ưu cấp cho cực tiểu toàn cục; - Các điều kiện cần tối ưu cấp dạng hệ không tương thích dạng đối ngẫu cho cực tiểu địa phương; - Các điều kiện đủ tối ưu dạng hệ không tương thích dạng đối ngẫu cho cực tiểu địa phương cô lập cấp 2, có điều kiện quy cấp 2; - Các điều kiện đủ cho cực tiểu địa phương toàn cục cô lập cấp 2; - Các điều kiện cần đủ cho cực tiểu cô lập toàn cục; - Các ví dụ minh họa Điều kiện tối ưu cấp cho toán tối ưu với hàm lớp C1 C1,1 đề tài nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu 43 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội Tiếng Anh [2] A Ben - Tal, J Zowe (1985) “Directional derivatives in nonsmooth optimization”, J Optim Theory Appl, 47, 483 – 490 [3] W E Diewert, M Avriel, I Zang (1981) “Nine kinds of quasiconcavity and concavity”, J Econom Theory, 25, 397 – 420 [4] I Ginchev, A Guerraggio, M Rocca (2006) “From scalar to vector optimization”, Appl Math, 51, – 36 [5] G Giorgi (1994) “On sufficient optimality conditions for a quasiconvex programming problems”, J Optim Theory Appl, 81, 401 – 405 [6] I Ginchev, V I Ivanov (2008) “Second - order optimality conditions for problems with C1 data”, J Math Anal Appl., 340, 646 – 657 [7] J -B Hiriart - Urruty, J J Strodiot, V H Nguyen (1984) “Generalized Hessian matrix and second - order optimality conditions for problems with C1,1 data”, Appl Math Optim., 11, 169 – 180 [8] N Hadjisavvas, S Schaible (1995) “On strong pseudomonotonicity and (semi)strict quasimonotonicity”, J Optim Theory Appl., 79, 139 – 155 44 [9] M A Hanson (1981) “On sufficiency of the Kuhn - Tucker conditions”, J Math Anal Appl., 80, 545 – 550 [10] V I Ivanov (2009) “Optimality conditions for an isolated minimum of order two in C1 constrained optimization”, J Math Anal Appl, 356, 30 – 41 [11] V Jeyakumar, X Wang (1999) “Approximate Hessian matrices and second - order optimality conditions for nonlinear programming problems with C1 data”, J Aust Math Soc B, 40, 403 – 420 [12] O L Mangasarian (1994), Nonlinear Programming, McGraw - Hill, New York, 1969, reprinted in: Classics Appl Math., vol 10, SIAM, Philadelphia, PA [13] D H Martin (1985) “The essence of invexity”, J Optim Theory Appl., 47, 65 – 76 [14] M Studniarski (1986) “Necessary and sufficient conditions for isolated local minima of nonsmooth functions”, SIAM J Control Optim., 24, 1044 – 1049 ... ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU C P CHO C C TIỂU C LẬP C P Chương trình bày điều kiện tối ưu c p c p cho c c tiểu c lập c p Ivanov ([10], 2009) toán tối ưu c hữu hạn ràng bu c bất đẳng th c ràng bu c tập C c. .. điều kiện đủ cho c c tiểu địa phương c lập ta giả thiết toán thu c lớp C1 ,1 ; điều kiện đủ cho c c tiểu parabolic c lập c p toán lớp C1 CHƯƠNG II ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU C P CHO C C TIỂU C LẬP C P... liên t c khả vi theo phương c p C c điều kiện c n tối ưu c p dạng hệ không tương thích dạng đối ngẫu, c điều kiện quy c p trình bày C c điều kiện đủ tối ưu cho c c tiểu c lập trình bày với giả