Chứng minh đường thẳng qua Q vuông góc với BM luôn đi qua điểm cố định khi BC cố định và A di động trên đường tròn O .. Mời các bạn vào Blog: “goctoanhoc.net” để lấy các đề thi và đề [r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NGHỆ AN
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU
NĂM HỌC 2018 - 2019 Môn thi chuyên: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (6,5 điểm)
a) Giải phương trình x 2 4 x 2x25x1
b) Giải hệ phương trình
2
Câu 2 (2,5 điểm)
a) Tìm các số nguyên x y z, , sao cho 2 2 2
x y z xy y z b) Cho hai số nguyên dương m n, thoả mãn m n 1 là một ước nguyên tố của 2 2
2 m n 1 Chứng minh rằng: m n là số chính phương
Câu 3 (2,0 điểm)
Cho a b c, , là các số thực dương thoả mãn abc1 Chứng minh rằng:
3
Câu 4 (7,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại AAB ACnội tiếp đường tròn O , đường cao AH Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên BD Qua H kẻ đường thẳng song song với BD cắt AK tại I Đường thẳng BI cắt đường tròn O tại N (N khác B)
a) Chứng minh AN BI DH BK
b) Tiếp tuyến của O tại D cắt đường thẳng BC tại P Chứng minh đường thẳng BC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ANP
c) Tiếp tuyến của O tại C cắt DP tại M Đường tròn qua D tiếp xúc với CM tại M và cắt OD tại Q (Q khác D) Chứng minh đường thẳng qua Q vuông góc với BM luôn đi qua điểm cố định khi
BC cố định và A di động trên đường tròn O
Câu 5 (2,0 điểm)
Để phục vụ cho lễ khai mạc World Cup 2018, ban tổ chức giải chuẩn bị 25000 quả bóng, các quả bóng được đánh số từ 1 đến 25000 Người ta dùng 7 màu: Đỏ, Da cam, Vàng, Lục, Lam, Chàm, Tím để sơn các quả bóng (mỗi quả được sơn một màu) Chứng minh rằng trong 25000 quả bóng nói trên tồn tại ba quả bóng cùng màu được đánh số là a b c, , mà a chia hết cho b, b chia hết cho c và abc17
HẾT
Mời các bạn vào Blog: “goctoanhoc.net” để lấy các đề thi và đề thi thử vào lớp 10 THPT, lớp 10 chuyên, đề thi THPTQG, đề thi các lớp; các chuyên đề hay và khó như chuyên đề phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức, hình học không gian, tọa độ trong mặt phẳng; các sáng kiến kinh nghiệm,
Đề chính thức
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NGHỆ AN TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
NĂM HỌC 2018 – 2019
HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn thi chuyên: TOÁN
(Hướng dẫn chấm này gồm 04 trang)
1
(6,5
điểm)
c) (3,0 đ) Giải phương trình x 2 4 x 2x25x1 (1)
2
1 2x 5x 3 ( x 2 1) ( 4 x 1) 0 0,5
(2 1)( 3) 3 3 0
3 0 (*)
x
x
0,5
Giải pt (*) ta được x=3
Pt (**) vô nghiệm ( do vế trái của (**) luôn dương với mọi x2 Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất là x=3
0,5
d) (3,5 đ) Giải hệ phương trình
2
Hệ pt (I)
2
2
2 2
3 4 (*) ( ) 8( ) 7 0 (**)
Giải pt (**) ta được x-y =1 hoặc x-y -7 0,5 +) Với x-y=1 thế vào (*) ta được: 2
3x 4x 3 0
;
x x
=>
2 13 3
5 13 3
x
y
hoặc
2 13 3
5 13 3
x
y
0,5
+) Với x-y=7 thế vào (*) ta được:
3x210x21 0 =>
5 2 22 3
26 2 22 3
x
y
hoặc
5 2 22 3
26 2 22 3
x
y
0,5
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm:
Đề chính thức
Trang 32 13 3
5 13 3
x
y
;
2 13 3
5 13 3
x
y
;
5 2 22 3
26 2 22 3
x
y
;
5 2 22 3
26 2 22 3
x
y
0,5
2
(2,5
điểm)
c) (1,0 đ)Tìm các số nguyên x y z, , sao cho x2y2z2 6 xy3y4z (1)
Ta có: x y z, , là các số nguyên nên 2 2 2
1 x y z 6 1 xy3y4z 0,25 x2y2z2 7 xy3y4z0 0,25
1 2 2 2
y
(2)
0,25
y
0
2
2
2 0
y x
x y
y z z
0,25
d) (1,5 đ) Cho hai số nguyên dương m n, thoả mãn m n 1 là một ước nguyên tố của 2 2
2 m n 1 Chứng minh rằng: m n là số chính phương
Giả sử m n ta có (m+n)2 -1 =(m+n+1)(m+n-1) (m+n+1) 0,25
2(m2+n2) – 1- [(m+n)2-1] (m+n+1)
2
vì m+n+1 là số nguyên tố => m n (m+n+1) => m n (m+n+1) (vô lý) 0,5 Vậy m = n nên m.n = m2
3
(2,0
điểm)
Cho a b c, , là các số thực dương thoả mãn abc1 Chứng minh rằng:
3
0,25
4 3
a a ab ab a
4 3
1
2 ab a
Chứng minh tương tự ta có:
4 3
1
2 bc b
;
1
2 ca c
0,25
Đặt
A
A
0,25
A
Trang 41
1
A
4
(7điểm) a) Chứng minh AN BI. DH BK.
E
C H
I
O1
B
A
D K
N
I1
M Q
J G
Suy ra tứ giác ANHI nội tiếpAHN AINBIK 0,5
BK DH AN BI
b) Tiếp tuyến của O tại D cắt BC tại P Chứng minh đường thẳng BC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ANP
Gọi O1 là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ANP, I1 là trung điểm của NP
Vì A, D đối xứng qua BC nên PA là tiếp tuyến của O
0,5
+) Có PO I1 1PAN ADN
(1)
0,5
+) Vì từ giác ANHI nội tiếp nên ANH AIH 900 NAH NHP (góc có
cạnh tương ứng vuông góc) mà NAH NDPNHPNDP Suy ra tứ giác
PDHN nội tiếp NPH NDA
0,5
Trang 5(2)
Mà PO I1 1O PI1 1900 O PH1 NPHO PI1 1900
Suy ra BC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ANP
0,5
c) Tiếp tuyến của O tại C cắt DP tại M Đường tròn qua D tiếp xúc với CM tại M và cắt
OD tại Q (Q khác D) Chứng minh đường thẳng qua Q vuông góc với BM luôn đi qua điểm cố định khi BC cố định và A di động trên đường tròn O
Gọi J là trung điểm của OM, G là trung điểm của OC, E là giao điểm của QG và
BM Ta có:
+) Có MQ//BC QMOMOPQOM QOMcân tại Q QJ OM
(góc có cạnh tương ứng vuông góc)
(3)
0,5
+) Có OGJ OJQ GJ OG
Suy ra GJ OB
JQ OM (4)
0,5
Từ (3) và (4) có: GJQ BOM OMBJQG Suy ra tứ giác QEJM nội tiếp
Vậy đường thẳng qua Q, vuông góc với BM luôn đi qua trung điểm G của OC
0,5
5
(2điểm)
Để phục vụ cho lễ khai mạc World Cup 2018, ban tổ chức giải chuẩn bị 25000 quả bóng, các quả bóng được đánh số từ 1 đến 25000 Người ta dùng 7 màu: Đỏ, Da cam, Vàng, Lục, Lam, Chàm, Tím để sơn các quả bóng (mỗi quả được sơn một màu) Chứng minh rằng trong 25000 quả bóng nói trên tồn tại ba quả bóng cùng màu được đánh số là a b c, , mà a chia hết cho b, b chia hết cho c
và abc17
Xét tập A1; 2;3; ; 25000 và 2 13
1;3;3.2;3.2 ; ;3.2
Tập B có 15 phần tử Do mỗi quả bóng được sơn một màu mà có 7 màu nên theo
nguyên lý Đirichle trong tập B tồn tại 3 quả bóng cùng màu
0,5
Giả sử 3 quả bóng được đánh số là a b c thì a b và b c và abc18 17 0,5
Chú ý: Thí sinh giải cách khác nếu đúng cho điểm tối đa