Giải đề thi tuyển sinh đại học môn Toán năm 2004 – 2008

Xeùt daáu : Đa thức hay phân thức hữu tỷ, dấu A/B giống dấu A.B; bên phải cùng dấu hệ số bậc cao nhất; qua nghiệm đơn bội lẻ : đổi dấu; qua nghiệm kép bội chẵn : không đổi dấu... Tìm ñk [r]

giải đề thi tuyển sinh đại học môn toán năm 2004 – 2008 GIẢI TÍCH TỔ HỢP Giai thừa : n! = 1.2 n 0! = n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) n Nguyên tắc cộng : Trường hợp có m cách chọn, trường hợp có n cách chọn; cách chọn thuộc đúng trường hợp Khi đó, toång soá caùch choïn laø : m + n Nguyên tắc nhân : Hiện tượng có m cách chọn, cách chọn này lại có n cách chọn tượng Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai tượng là : m x n Hoán vị : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác Số cách xếp : Pn = n ! Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn k vật Số cách chọn : Cnk = n! k!(n − k )! Chỉnh hợp : Có n vật khác Chọn k vật, xếp vào k chỗ khác soá caùch : A nk = n! , A nk = Cnk Pk (n − k)! Chỉnh hợp = tổ hợp hoán vị Tam giaùc Pascal : 1 1 1 3 1 Tính chaát : C00 C10 C20 C30 C04 C11 C12 C13 C14 C22 C32 C24 C0n = C nn = 1, C nk = Cnn − k Cnk −1 + C nk = Cnk +1 Nhị thức Newton : * (a + b)n = C0n an b + C1n an −1b1 + + Cnn a0 b n a = b = : C0n + C1n + + C nn = n Lop12.net C33 C34 C44 giải đề thi tuyển sinh đại học môn toán năm 2004 – 2008 Với a, b ∈ {±1, ±2, }, ta chứng minh nhiều đẳng C 0n , C1n , , C nn thức chứa : * (a + x )n = C0n an + C1n an −1x + + Cnn x n Ta chứng minh nhiều đẳng thức chứa C 0n , C1n , , C nn baèng caùch : - Đạo hàm lần, lần, cho x = ±1, ±2, a = ±1, ±2, - Nhân với xk , đạo hàm lần, lần, cho x = ±1, ±2, , a = ±1, ±2, ±1 - Cho a = ±1, ±2, , ∫ hay ±2 β α ∫ hay ∫ Chuù yù : * (a + b)n : a, b chứa x Tìm số hạng độc lập với x : Ckn a n −k b k = Kx m Giải pt : m = 0, ta k * (a + b)n : a, b chứa Tìm số hạng hữu tỷ k n −k n Ca m p b = Kc d k r q ⎧m / p ∈ Z , tìm k ⎨ ⎩r / q∈ Z k k Giải pt , bpt chứa A n , Cn : đặt điều kiện k, n ∈ N* , k ≤ n Giaûi heä pt : * Cần biết đơn giản các giai thừa, qui đồng mẫu số, đặt thừa số chung * Cần phân biệt : qui tắc cộng và qui tắc nhân; hoán vị (xếp, không bốc), tổ hợp (bốc, không xếp), chỉnh hợp (bốc xếp) * Áp dụng sơ đồ nhánh để chia trường hợp , tránh trùng lắp thiếu trường hợp * Với bài toán tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà chia trường hợp, ta thấy số cách chọn không thỏa tính chất p ít trường hợp hôn, ta laøm nhö sau : soá caùch choïn thoûa p = soá caùch choïn tuøy yù - soá caùch choïn khoâng thoûa p Cần viết mệnh đề phủ định p thật chính xác Lop12.net giải đề thi tuyển sinh đại học môn toán năm 2004 – 2008 * Vé số, số biên lai, bảng số xe : chữ số có thể đứng đầu (tính từ traùi sang phaûi) * Daáu hieäu chia heát : - Cho : taän cuøng laø 0, 2, 4, 6, - Cho : tận cùng là 00 hay chữ số cuối hợp thành số chia hết cho - Cho : tận cùng là 000 hay chữ số cuối hợp thành số chia hết cho - Cho : tổng các chữ số chia hết cho - Cho : tổng các chữ số chia hết cho - Cho : taän cuøng laø hay - Cho : chia heát cho vaø - Cho 25 : taän cuøng laø 00, 25, 50, 75 ĐẠI SỐ Chuyeån veá : a + b = c ⇔ a = c – b; ab = c ⇔ ⎡b = c = ⎢⎧ b ≠ ⎢⎨ ⎣⎩ a = c / b a/b = c ⇔ ⎧ a = bc ; ⎨ ⎩b≠ a2 n +1 = b ⇔ a = n +1 b a 2n = b ⇔ a = ± b, a = 2n 2n ⎧ b = a 2n b ⇔ ⎨ ⎩a ≥0 ⎧ b = ±a a= b ⇔⎨ , a = log α b ⇔ b = α a ⎩a≥ b = 0, c > ⎧b>0 a + b < c ⇔ a < c − b ; ab < c ⇔ ⎨ ⎩ a < c/ b ⎧b<0 ⎨ ⎩ a > c/ b Giao nghieäm : ⎧x >a ⎧x <a ⇔ x > max{ a, b} ; ⎨ ⇔ x < min{ a, b} ⎨ ⎩x > b ⎩x < b Lop12.net giải đề thi tuyển sinh đại học môn toán năm 2004 – 2008 ⎧p ⎨ ⎧x >a a < x < b(neá u a < b) ⎧ p ∨ q ⎩Γ ; ⇔ ⇔ ⎨ ⎨ V N (neá u a ≥ b) ⎧q ⎩Γ ⎩x <b ⎨ ⎩Γ a Nhiều dấu v : vẽ trục để giao nghiệm Công thức cần nhớ : : bình phương vế không âm Làm phaûi ñaët ñieàu kieän ⎧b ≥ ⎧b ≥ ≤ ⇔ a=b⇔⎨ , a b ⎨ 2 ⎩a = b ⎩0 ≤ a ≤ b ⎧b < ⎧b ≥ ∨⎨ a≥b⇔⎨ ⎩a ≥ ⎩a ≥ b ab = b : phaù a b (neáu a, b ≥ 0) − a − b (neáu a, b < 0) baèng caùch bình phöông : nghóa : a = a = a2 hay baèng ñònh a (neáu a ≥ 0) − a (neáu a < 0) ⎧b ≥ a =b⇔⎨ ; a = b ⇔ a = ±b ⎩a = ± b a ≤ b ⇔ −b ≤ a ≤ b ⎧b ≥ a ≥ b ⇔ b < 0hay ⎨ ⎩a ≤ − b ∨ a ≥ b a ≤ b ⇔ a2 − b2 ≤ c Muõ : y = ax , x ∈ R , y > 0, y ↑ neáu a > 1, y ↓ neáu < a < Lop12.net giải đề thi tuyển sinh đại học môn toán năm 2004 – 2008 a =1; a −m / n m m n = 1/ a ; a a = a n m +n am / an = am −n ; (am )n = am n ; an / b n = (a/ b)n an b n = (ab)n ; am = an ⇔ (m = n,0 < a ≠ 1) ∨ a = am < a n ⇔ d m < n (neáu a > 1) , α = aloga α m > n (neáu < a < 1) log : y = logax , x > , < a ≠ 1, y ∈ R y↑ neáu a > 1, y↓ neáu < a < 1, α = logaaα loga(MN) = logaM + logaN ( ⇐ ) loga(M/N) = logaM – logaN ( ⇐ ) loga M = loga M , loga M = loga M (⇒) logaM3 = 3logaM, logac = logab.logbc logbc = logac/logab, log aα M= loga M α loga(1/M) = – logaM, logaM = logaN ⇔ M = N loga M < loga N ⇔ < M < N (neá u a > 1) M > N > 0(neá u < a < 1) Khi làm toán log, miền xác định nới rộng : dùng điều kiện chặn lại, tránh dùng công thức làm thu hẹp miền xác định Mất log phải có ñieàu kieän Đổi biến : a Ñôn giaûn b Hàm số : t = f(x) dùng BBT để tìm điều kiện t Nếu x có thêm ñieàu kieän, cho vaøo mieàn xaùc ñònh cuûa f Lượng giác : t = sinx, cosx, tgx, cotgx Dùng phép chiếu lượng giác để tìm ñieàu kieän cuûa t Hàm số hợp : bước làm theo các cách trên Xeùt daáu : Đa thức hay phân thức hữu tỷ, dấu A/B giống dấu A.B; bên phải cùng dấu hệ số bậc cao nhất; qua nghiệm đơn (bội lẻ) : đổi dấu; qua nghiệm kép (bội chẵn) : không đổi dấu Biểu thức f(x) vô tỷ : giải f(x) < hay f(x) > c d a b : t = ax + b∈ R, t = x ≥ 0, t = x ≥ 0,t = x ≥ 0, t = ax > 0,t = loga x ∈ R Lop12.net c giải đề thi tuyển sinh đại học môn toán năm 2004 – 2008 Biểu thức f(x) vô tỷ mà cách b không làm : xét tính liên tục và đơn điệu f, nhẩm nghiệm pt f(x) = 0, phác họa đồ thị f , suy daáu cuûa f So sánh nghiệm phương trình bậc với α : f(x) = ax2 + bx + c = (a ≠ 0) * S = x1 + x2 = – b/a ; P = x1x2 = c/a Dùng S, P để tính các biểu thức đối xứng nghiệm Với đẳng thức g(x1,x2) = không đối xứng, giải hệ pt : ⎧g = ⎪ ⎨ S = x1 + x ⎪ P = x x ⎩ Biết S, P thỏa S2 – 4P ≥ 0, tìm x1, x2 từ pt : X2 – SX + P = * Dùng Δ, S, P để so sánh nghiệm với : x1 < < x2 ⇔ P < 0, < x1 < x2 ⇔ x1 < x2 < ⇔ ⎧Δ > ⎪ ⎨P> ⎪S > ⎩ ⎧Δ > ⎪ ⎨P> ⎪S < ⎩ * Dùng Δ, af(α), S/2 để so sánh nghiệm với α : x1 < α < x2 ⇔ af(α) < α < x1 < x2 ⇔ ⎧Δ >0 ⎪ ⎨ a.f (α ) > ⎪α < S/2 ⎩ α < x1 < β < x2 ⇔ ⎧ a.f (β) < ⎪ ⎨ a.f (α) > ⎪α<β ⎩ x1 < α < x2 < β ⇔ ; x1 < x2 < α ⇔ ; ⎧ a.f (α ) < ⎪ ⎨ a.f (β) > ⎪α <β ⎩ Phöông trình baäc : Lop12.net ⎧Δ > ⎪ ⎨ a.f (α ) > ⎪S/2 < α ⎩ giải đề thi tuyển sinh đại học môn toán năm 2004 – 2008 Vieâte : ax3 + bx2 + cx + d = x1 + x2 + x3 = – b/a , x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a , x1.x2.x3 = – d/a Bieát x1 + x2 + x3 = A , x1x2 + x1x3 + x2x3 = B , x1.x2.x3 = C thì x1, x2, x3 laø nghieäm phöông trình : x3 – Ax2 + Bx – C = b Soá nghieäm phöông trình baäc : • x = α ∨ f(x) = ax2 + bx + c = (a ≠ 0) : a nghieäm phaân bieät ⇔ ⎧Δ > ⎨ ⎩ f (α ) ≠ nghieäm phaân bieät ⇔ ⎧Δ > ∨ ⎨ α = f ( ) ⎩ nghieäm ⇔ ⎧Δ = ⎨ ⎩f (α ) ≠ ⎧Δ = Δ < hay ⎨ ⎩f ( α ) = • Phương trình bậc không nhẩm nghiệm, m tách sang vế : dùng tương giao (C) : y = f(x) và (d) : y = m • Phương trình bậc không nhẩm nghiệm, m không tách sang vế : dùng tương giao (Cm) : y = f(x, m) và (Ox) : y = nghieäm ⇔ ⎧Δ y ' > ⎨ ⎩y CÑ y CT < nghieäm ⇔ ⎧Δ y ' > ⎨ ⎩y CÑ y CT = nghieäm ⇔ Δy' ≤ ∨ c Phöông trình baäc coù nghieäm laäp thaønh CSC : ⇔ d ⎧Δ y ' > ⎨ ⎩y CÑ y CT > ⎧Δ y ' > ⎨ ⎩y uoán = So sánh nghiệm với α : • x = xo ∨ f(x) = ax2 + bx + c = (a ≠ 0) : so saùnh nghieäm phöông trình bậc f(x) với α Lop12.net giải đề thi tuyển sinh đại học môn toán năm 2004 – 2008 10 • Không nhẩm nghiệm, m tách sang vế : dùng töông giao cuûa f(x) = y: (C) vaø y = m: (d) , ñöa α vaøo BBT • Không nhẩm nghiệm, m không tách sang vế : dùng tương giao (Cm) : y = ax3 + bx2 + cx + d (có m) ,(a > 0) và (Ox) α < x1 < x2 < x3 ⇔ ⎧ Δy ' > ⎪ ⎪ y CÑ y CT < ⎨ ⎪ y(α) < ⎪α<x ⎩ CÑ x1 < α < x2 < x3 ⇔ ⎧ Δy' > ⎪ y y < ⎪ CÑ CT ⎨ ⎪ y (α ) > ⎪⎩ α < x CT x1 < x2 < α < x3 ⇔ ⎧ Δy' > ⎪ y y < ⎪ CÑ CT ⎨ ⎪ y (α ) < ⎪⎩ x CÑ < α x1 < x2 < x3 < α ⇔ ⎧ Δy ' > ⎪ ⎪ y CÑ y CT < ⎨ ⎪ y(α) > ⎪x <α ⎩ CT Phöông trình baäc coù ñieàu kieän : f(x) = ax2 + bx + c = (a ≠ 0), x ≠ α nghieäm ⇔ ⎧ f (α ) ≠ ⎨ ⎩Δ > , nghieäm ⇔ Lop12.net α x1 x1 x1 x1 x α α x α ⎧Δ > ⎨ ⎩ f (α ) = ⎧Δ = ⎨ ⎩ f (α ) ≠ giải đề thi tuyển sinh đại học môn toán năm 2004 – 2008 Voâ nghieäm ⇔ Δ < ∨ a ⎧Δ = ⎨ ⎩ f (α ) = 11 Nếu a có tham số, xét thêm a = với các trường hợp nghiệm, VN Phöông trình baäc : ax + bx + c = (a ≠ 0) ⇔ Truøng phöông : t t = x2 ⇔ x = ± nghieäm ⇔ ⎧Δ > ⎪ ⎨P> ⎪S > ⎩ ; nghieäm ⇔ ⎧P= ⎨ ⎩S > P< nghieäm ⇔ ⎧ Δ = ;1 nghieäm ⇔ ⎨ ⎩S/2 > VN ⇔ Δ < ∨ ⎧ t = x2 ≥ ⎨ ⎩ f (t ) = ⎧Δ ≥ ⎪ ⎨P> ⎪S < ⎩ ⎧P= ⎨ ⎩S < ⎧Δ = ⎨ ⎩S/2 = ⎧ ⎪ ⇔Δ<0 ∨ ⎨P>0 ⎪S <0 ⎩ ⎧ < t1 < t ⎨ ⎩ t = t1 ⎧ t = t1 ⎪ ⎨ S = t1 + t ⎪ P = t t ⎩ nghieäm CSC ⇔ Giaûi heä pt : b ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = Ñaët t = x + t ≥2 c ax4 + bx3 + cx2 – bx + a = Ñaët t = x – t ∈ R Lop12.net Tìm ñk cuûa t baèng BBT : x Tìm ñk cuûa t baèng BBT : x d giải đề thi tuyển sinh đại học môn toán năm 2004 – 2008 12 (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + b = c + d Đặt : t = x2 + (a + b)x Tìm ñk cuûa t baèng BBT e (x + a)4 + (x + b)4 = c Ñaët : 10 a+ b , t ∈ R ⎧ ax + by = c Heä phöông trình baäc : ⎨ Tính : a ' x + b ' y = c ' ⎩ a b c b a c D= , Dx = , Dy = a' b' c' b' a' c' t=x+ D ≠ : nghieäm nhaát x = Dx/D , y = Dy/D D = 0, Dx ≠ ∨ Dy ≠ : VN D = Dx = Dy = : VSN hay VN (giải hệ với m đã biết) 11 Hệ phương trình đối xứng loại : Từng phương trình đối xứng theo x, y Đạt S = x + y, P = xy ÑK : S2 – 4P ≥ Tìm S, P Kieåm tra ñk S2 – 4P ≥ 0; Theá S, P vaøo pt : X2 – SX + P = 0, giaûi nghieäm laø x vaø y (α, β) laø nghieäm thì (β, α) cuõng laø nghieäm; nghieäm nhaát ⇒α=β⇒m=? Thay m vaøo heä, giaûi xem coù nhaát nghieäm khoâng 12 Hệ phương trình đối xứng loại : Phương trình này đối xứng với phương trình Trừ phương trình, dùng các đẳng thức đưa phương trình tích A.B = Nghiệm làm hệ đối xứng loại 13 Heä phöông trình ñaúng caáp : ⎧ ax + bxy + cy = d ⎨ 2 ⎩ a' x + b' xy + c' y = d ' Xét y = Xét y ≠ : đặt x = ty, chia phương trình để khử t Còn phöông trình theo y, giaûi y, suy t, suy x Coù theå xeùt x = 0, xeùt x ≠ 0, ñaët y = tx 14 Bất phương trình, bất đẳng thức : * Ngoài các bất phương trình bậc 1, bậc 2, dạng , , log, mũ có thể giải trực tiếp, các dạng khác cần lập bảng xét dấu Với bất phương trình dạng tích AB < 0, xét dấu A, B AB * Nhân bất phương trình với số dương : không đổi chiều soá aâm : có đổi chiều Chia bất phương trình : tương tự * Chỉ nhân bất pt vế theo vế , vế không âm Lop12.net giải đề thi tuyển sinh đại học môn toán năm 2004 – 2008 * Bất đẳng thức Côsi : a, b ≥ : 13 a+ b ≥ ab Daáu = xaûy chæ a = b a, b, c ≥ : a+ b+c ≥ abc Daáu = xaûy chæ a = b = c * Bất đẳng thức Bunhiacốpxki : a, b, c, d (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2).(c2 + d2); Daáu = xaûy chæ a/b = c/d 15 Bài toán tìm m để phương trình có k nghiệm : Nếu tách m, dùng tương giao (C) : y = f(x) và (d) : y = m Soá nghieäm baèng soá ñieåm chung Nếu có điều kiện x ∈ I, lập BBT f với x ∈ I 16 Bài toán tìm m để bất pt vô nghiệm, luôn luôn nghiệm, có nghiệm x ∈I: Nếu tách m, dùng đồ thị, lập BBT với x ∈ I f(x) ≤ m : (C) (d) (hay cắt) f(x) ≥ m : (C) treân (d) (hay caét) LƯỢNG GIÁC Đường tròn lượng giác : Trên đường tròn lượng giác, góc α đồng với cung AM, đồng với điểm M Ngược lại, điểm trên đường tròn lượng giác ứng với vô số các số thực x + k2π Trên đường tròn lượng giác, nắm vững các goùc ñaëc bieät : boäi cuûa vaø π ( x=α+ π ( cung phaàn tö) cung phaàn tö) 2k π n : α là góc đại diện, n : số điểm cách trên đường tròn lượng giác Lop12.net −2 π + 2π giải đề thi tuyển sinh đại học môn toán năm 2004 – 2008 tg sin Hàm số lượng giác : M M cos Cung lieân keát : * Đổi dấu, không đổi hàm : đối, bù, hiệu π (ưu tiên không đổi dấu : sin bù, cos đối, tg cotg hiệu π) * Đổi hàm, không đổi dấu : phụ * Đổi dấu, đổi hàm : hiệu cotg chieáu xuyeân taâm chieáu ⊥ 14 π (sin lớn = cos nhỏ : không đổi dấu) Công thức : a Cơ : đổi hàm, không đổi góc b Cộng : đổi góc a ± b, a, b c Nhân đôi : đổi góc 2a a d Nhân ba : đổi góc 3a a e Hạ bậc : đổi bậc bậc Công thức đổi bậc bậc suy từ công thức nhân ba f Ñöa veà t = tg a : đưa lượng giác đại số g Tổng thành tích : đổi tổng thành tích và đổi góc a, b thành (a ± b) / h Tích thành tổng : đổi tích thành tổng và đổi góc a, b thành a ± b Phöông trình cô baûn : sinα = 0⇔ cosα = – hay cosα = 1⇔ α = kπ, sinα = ⇔ α = π + k2π; sinα = –1 ⇔ α = – cosα = ⇔ sinα = –1 hay sinα = ⇔ α = π + k2π, π + kπ, cosα = ⇔ α = k2π, cosα = – ⇔ α = π + k2π sinu = sinv ⇔ u = v + k2π ∨ u = π – v + k2π cosu = cosv ⇔ u = ± v + k2π tgu = tgv ⇔ u = v + kπ Lop12.net giải đề thi tuyển sinh đại học môn toán năm 2004 – 2008 cotgu = cotgv ⇔ u = v + kπ Phöông trình baäc theo sin vaø cos : asinu + bcosu = c * Ñieàu kieän coù nghieäm : a2 + b2 ≥ c2 * Chia veá cho a2 + b , dùng công thức cộng đưa phương trình cô baûn (caùch khaùc : ñöa veà phöông trình baäc theo = 15 t = tg u ) Phương trình đối xứng theo sin, cos : Đưa các nhóm đối xứng sin + cos và sin.cos Ñaët t = sinu + cosu π⎞ t2 − ⎛ sin ⎜ u + ⎟ , − ≤ t ≤ 2,sin u.cos u = 4⎠ ⎝ Phương trình chứa ⏐sinu + cosu⏐ và sinu.cosu : Ñaët : π⎞ t −1 ⎛ t = sin u + cos u = sin ⎜ u + ⎟ , ≤ t ≤ ,sin u.cos u = 4⎠ ⎝ Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu : Đặt : π⎞ ⎛ t = sin u − cos u = sin ⎜ u − ⎟ , − ≤ t ≤ , 4⎠ ⎝ − t2 sin u.cos u = 10 Phương trình chứa ⏐sinu – cosu⏐ và sinu.cosu : Ñaët π⎞ ⎛ t = sin u − cos u = sin ⎜ u − ⎟ ,0 ≤ t ≤ , 4⎠ ⎝ sin u.cos u = 1− t2 11 Phương trình toàn phương (bậc và bậc theo sinu và cosu) : Xét cosu = 0; xét cosu ≠ 0, chia vế cho cos2u, dùng công thức 1/cos2u = + tg2u, ñöa veà phöông trình baäc theo t = tgu 12 Phương trình toàn phương mở rộng : * Baäc vaø baäc theo sinu vaø cosu : chia veá cho cos3u * Baäc vaø baäc – : chia veá cho cosu 13 Giải phương trình cách đổi biến : Lop12.net : giải đề thi tuyển sinh đại học môn toán năm 2004 – 2008 16 Nếu không đưa phương trình dạng tích, thử đặt : * t = cosx : phương trình không đổi thay x – x * t = sinx : phương trình không đổi thay x π – x * t = tgx : phương trình không đổi thay x π + x * t = cos2x : cách trên đúng * t = tg x : cách trên không đúng 14 Phöông trình ñaëc bieät : * * * * * ⎧u=0 u2 + v = ⇔ ⎨ ⎩v = ⎧u=v ⎧u=C ⎪ ⎨u≤C⇔ ⎨ ⎩v =C ⎪v ≥C ⎩ ⎧u≤A ⎧u=A ⎪ ⇔⎨ ⎨v ≤ B ⎩v = B ⎪u+v =A +B ⎩ ⎧ sin u = ⎧ sin u = −1 ∨ ⎨ sinu.cosv = ⇔ ⎨ ⎩ cos v = ⎩ cos v = −1 ⎧ sin u = ⎧ sin u = −1 ∨ ⎨ sinu.cosv = – ⇔ ⎨ ⎩ cos v = −1 ⎩ cos v = Tương tự cho : sinu.sinv = ± 1, cosu.cosv = ± 15 Hệ phương trình : Với F(x) là sin, cos, tg, cotg a Daïng : ⎧ F(x ) ± F(y ) = m (1) ⎨ (2 ) ⎩x ±y = n Dùng công thức đổi + thành nhaân, theá (2) vaøo (1) ñöa veà heä phöông trình : b Daïng : ⎧ F(x ).F(y ) = m ⎨ ⎩x±y =n ⎧x +y =a ⎨ ⎩x −y = b Tương tự dạng 1, dùng công thức đổi nhân thành + Lop12.net giải đề thi tuyển sinh đại học môn toán năm 2004 – 2008 c Daïng : Duøng tæ ⎧ F(x ) / F(y ) = m ⎨ ⎩x±y =n a c a+ c a−c = ⇔ = lệ thức : b d b+d b−d 17 biến đổi phương trình (1) dùng công thức đổi tổng thành tích d Dạng khác : tìm cách phối hợp phương trình, đưa các pt baûn 16 Toán Δ : * Luoân coù saün pt theo A, B, C : A + B + C = π * A + B bù với C, (A + B)/2 phụ với C/2 * A, B, C ∈ (0, π) ; A/2, B/2, C/2 ∈ (0, π/2) A + B ∈ (0, π) ; (A + B)/2 ∈ (0, π/2) ; A – B ∈ (– π, π) , (A – B)/2 ∈ (– π/2, π/2) Dùng các tính chất này để chọn k * Đổi cạnh góc (đôi đổi góc cạnh) : dùng định lý hàm sin : a = 2RsinA hay ñònh lyù haøm cos : a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA * * * 1 abc S = aha = ab sin C = = pr 2 4R = p( p − a)( p − b)( p − c) b2 + 2c2 − a2 Trung tuyeán : m a = A bc cos Phaân giaùc : ℓa = b+c TÍCH PHAÂN Định nghĩa, công thức, tính chất : * F là nguyên hàm f ⇔ f là đạo hàm F Hoï taát caû caùc nguyeân haøm cuûa f : ∫ f (x )dx = F(x) + C * (C ∈ R) u α+1 ∫ du = u + C ; ∫ u du = α + + C , α Lop12.net α≠–1 giải đề thi tuyển sinh đại học môn toán năm 2004 – 2008 18 du = ln u + C; ∫ e u du = e u + C; ∫ audu = au / ln a + C u ∫ sin udu = − cos u + C ; ∫ cos udu = sin u + C ∫ ∫ du / sin u = − cot gu + C b * ∫ f (x)dx = F(x) b a ∫ du / cos ; u = tgu + C = F(b) − F(a) a * a ∫a b = ; ∫ = −∫ a a b c b c a b ,∫ =∫ +∫ a b b b b b a a a a a ∫ (f + g) = ∫ f + ∫ g ; ∫ kf = k ∫ f Tích phân phần : ∫ udv = uv − ∫ vdu Thường dùng tính tích phân các hàm hỗn hợp a b c ∫ x e , ∫ x sin x ; ∫ x cos x : u = x n ∫ x ln x : u = ln x x x x x ∫ e sin x , ∫ e cos x : u = e hay dv = e dx n x n n n phần lần, giải phương trình ẩn hàm ʃ Các dạng thường gặp : a ∫ sin x cos x m n +1 ∫ cos x.sin x 2m 2n ∫ sin x cos x 2m 2n ∫ tg x / cos x 2m 2n ∫ cot g x / sin x ∫ chứa a – u b c m n +1 2 : u = sinx : u = cosx : haï baäc veà baäc : u = tgx (n ≥ 0) : u = cotgx : u = asint Lop12.net (n ≥ 0) giải đề thi tuyển sinh đại học môn toán năm 2004 – 2008 d 19 : u = a/cost ∫ chứa u – a : u = atgt ∫ chứa a + u ∫ R (sin x , cos x ) , R : hàm hữu tỷ 2 2 R(–sinx, cosx) = – R(sinx, cosx) R(sinx, –cosx) = – R(sinx, cosx) R(–sinx,–cosx) = R(sinx, cosx) R ñôn giaûn : π/ ∫ u = tg :thử đặt u = π x : u = cosx : u = sinx : u = tgx ∨ u = cotgx π −x ∫ :thử đặt u = π − x e f g h ∫ x (a + bx ) , (m + 1) / n ∈ Z : u = a + bx m n p/ q m +1 p q n n ∫ x (a + bx ) , n + q ∈ Z : u x = a + bx m n p/ q q n ∫ dx /[(hx + k ) ax + bx + c : hx + k = u ∫ R (x , (ax + b) /(cx + d) , R laø haøm hữu tyû : u = (ax + b) /(cx + d ) i ∫ Tích phân hàm số hữu tỷ : * * chứa (a + bxk)m/n : thử đặt un = a + bxk ∫ P(x ) / Q(x ) : baäc P < baäc Q Ñöa Q veà daïng tích cuûa x + a, (x + a)n, ax2 + bx + c (Δ < 0) Đưa P/Q dạng tổng các phân thức đơn giản, dựa vào các thừa số cuûa Q : Lop12.net giải đề thi tuyển sinh đại học môn toán năm 2004 – 2008 x +a→ 20 A A A2 An , (x + a)n → + + + x +a x + a (x + a) (x + a)n A (2ax + b) B + ax + bx + c ax + bx + c ax + bx + c(Δ < 0) → dx ⎛ ⎞ (Δ < 0) = ∫ du /(u2 + a2 ) :ñaë t u = atgt ⎟ ⎜∫ ax bx c + + ⎝ ⎠ Tính dieän tích hình phaúng : b S D = ∫ f (x ) dx a D giới hạn x = a, x = b, (Ox), (C) : y = f(x) : b f(x) : phân thức hữu tỉ : lập BXD f(x) trên [a,b] để mở ⏐.⏐; f(x) : hàm lượng giác : xét dấu f(x) trên cung [a, b] đường tròn lượng giác D giới hạn x = a, x = b , (C) : y = f(x) a b (C') : y = g(x) : S D = ∫ f (x ) − g(x ) dx a c Xét dấu f(x) – g(x) trường hợp a/ D giới hạn (C1) : f1(x, y) = , (C2) : f2 (x, y) = f(x) α/ b S D = ∫ f (x) − g(x) dx g(x) a x=a β/ b S D = ∫ f (y) − g(y) dy g(y) a x=b y=b f(y) y=a Với trường hợp α) : biên trên hay biên bị gãy, ta cắt D các đường thẳng đứng chỗ gãy Với trường hợp β) : biên phải hay biên trái bị gãy, ta cắt D các đường ngang chỗ gãy Choïn tính ∫ theo dx hay dy để ∫ dễ tính toán hay D ít bị chia cắt Cần giải các hệ phương trình tọa độ giao điểm Lop12.net giải đề thi tuyển sinh đại học môn toán năm 2004 – 2008 21 Cần biết vẽ đồ thị các hình thường gặp : các hàm bản, các đường tròn, (E) , (H), (P), hàm lượng giác, hàm mũ, hàm Cần biết rút y theo x hay x theo y từ công thức f(x,y) = và biết choïn a + hay − ⎛ y = + ⎜ ⎜ x = + ⎝ : treâ n,y = − : phaû i,x = − Tính theå tích vaät theå troøn xoay : D nhö 5.a/ xoay quanh (Ox) : f(x) b V = π∫ [f (x )]2 dx a a b a b b b f(y) V = π∫ [f (y )] dy f(x) a g(x b c :dướ i, ⎞ ⎟ : traù i ⎟⎠ b a V = π ∫ [f (x ) − g2 (x )]dx a b b d g(y) V = π ∫ [f (y ) − g (y )]dy 2 a a f(x) a f(x) b g(x a c Lop12.net -g(x) b f(y) giải đề thi tuyển sinh đại học môn toán năm 2004 – 2008 c b a c 22 V = π ∫ f (x )dx + π ∫ g (x )dx e c b V = π ∫ g (y )dy + π∫ f (y )dy f a b f(y) c a -g(y) c Chuù yù : xoay quanh (Ox) : ∫ dx ; xoay quanh (Oy) : ∫ dy KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ , daïng ∞ : Tìm lim daïng a Phân thức hữu tỷ P(x ) (x − a)P1 (x ) P = lim (daïng / 0) = lim x →a Q ( x ) x →a ( x − a)Q1 ( x ) x →a Q1 sin u f (x ) b Haøm lg : lim (dạng / 0), dùng công thức lim =1 x →a g( x ) u →0 u f (x ) c Hàm chứa : lim (dạng / 0) , dùng lượng liên hiệp : x→a g( x ) : lim a2 – b2 = (a – b)(a + b) để phá , a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) để phaù d Haøm chứa 1/ u lim (1 + u) u→0 muõ hay log (daïng 1∞) : duøng coâng thức =e Đạo hàm : a Tìm đạo hàm định nghĩa : f (x ) − f (x o ) x →x o x − xo f ' (x ) = lim Tại điểm xo mà f đổi công thức, phải tìm đạo hàm phía : f +/ (x o ) = lim , f −/ (x o ) = lim x →x o+ x →x o− Neáu f +/ (x o ) = f −/ (x o ) đạo hàm xo f(x) Lop12.net α M thì f coù