Chuyên đề 2 tích phân đáp án

Bài tập trắc nghiệm về nguyên hàm tích phân, mức nhận biết thông hiểuvận dụng trích từ các đề thi thử, tham khảo của Bộ Giáo dục, đề thi THPTQG từ 2017 đến 2020 . Phân dạng cụ thể theo từng bài , chia theo từng mức độ và có lời giải đáp án rõ ràng. Phù hợp với học sinh tự học và giáo viên làm tài liệu giảng dạy. Đặc biệt: font TimesNew Roman chuẩn, các công thức toán đều có định dạng mathtype .

Chuyên đề 26 TÍCH PHÂN- PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM Dạng Tích phân có điều kiện 1.Định nghĩa: Cho hàm số F ( x) y = f ( x) nguyên hàm f ( x) liên tục K ; a, b hai phần tử thuộc K , F ( b) − F ( a) K Hiệu số gọi tích phân của b f ( x) từ a đến b kí hiệu: Các tính chất tích phân: a f ( x ) dx = ∫ + a + a b b a ∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = F ( x ) b a a = F ( b) − F ( a) a b + b b ∫  f ( x ) ± g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx a a + a b c b a a c ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + Nếu f ( x ) ≥ g ( x ) ∀x ∈ [ a; b ] b b b a ∫ ∫ k f ( x ) dx = k.∫ f ( x ) dx a b f ( x ) dx ≥ ∫ g ( x ) dx a Bảng nguyên hàm số hàm thường gặp α ∫ x dx = xα +1 +C α +1 ∫ x dx = ln x + C ∫x dx = − + C x ( ax + b ) ∫ ( ax + b ) dx = a α + + C 1 ∫ ax + b dx = a ln ax + b + C 1 ∫ ( ax + b ) dx = − a ax + b + C α +1 α ∫ sin x.dx = − cos x + C ∫ sin ( ax + b ) dx = − a cos ( ax + b ) + C ∫ cosx.dx = sin x + C ∫ cos ( ax + b ) dx = a sin ( ax + b ) + C ∫ sin x 1 dx = − cot x + C ∫ sin ( ax + b ) dx = − a cot ( ax + b ) + C dx = tan x + C ∫ cos ( ax + b ) dx = a tan ( ax + b ) + C ∫ cos x ∫ e dx = e x x ∫ a dx = x +C 1 dx = eax +b + C a dx x−a ∫ x − a = 2a ln x + a + C ∫e ax +C ln a  Nhận xét Khi thay ax + b x bằng ( ax + b ) lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm a Câu F ( x) (Kinh Môn - Hải Dương 2019) Cho F ( 2) F ( −1) = Tính kết quả ln + A B ln + nguyên hàm C ln + Lời giải f ( x) = x + Biết D ln Chọn D ∫ f ( x)dx = F ( ) − F ( −1) ⇔ ∫ x + = 2ln x + Ta có: ⇔ F ( ) − F ( −1) = ln ⇔ F ( ) = ln −1 Câu −1 −1 = ln − ln1 = ln F ( −1) = (do ) f ( x) f ( 0) = f ' ( x ) = sin x + 1, ∀x ∈ ¡ (Mã 103 - 2019) Cho hàm số Biết , đó π ∫ f ( x ) dx bằng π + 16π − 16 A π2 −4 B 16 π + 15π 16 C Lời giải π + 16π − 16 16 D Chọn A f ( x ) = ∫ ( 2sin x + 1) dx = ∫ ( − cos x ) dx = x − sin x + C Ta có f ( 0) = ⇒ C = Vì f ( x ) = x − sin x + Hay Suy π π 0   ∫ f ( x ) dx = ∫  x − sin x + ÷ dx π π2 π + 16π − = x + cos x + x = +π − = 16 16 Câu Biết rằng hàm số đúng? A m + n = f ( x ) = mx + n thỏa mãn B m + n = −4 ∫ f ( x ) dx = , ∫ f ( x ) dx = C m + n = Lời giải m x + nx + C Ta có: ∫ = m 1 ∫0 f ( x ) dx = ⇒  x2 + nx ÷ = ⇔ 12 m + n = ( 1) Lại có: m 2 ∫0 f ( x ) dx = ⇒  x + nx ÷ = ⇔ 2m + 2n = ( ) 1  m+n =3 m = 2 ⇔ ( 1) ( ) ta có hệ phương trình: 2m + 2n = n = Từ f ( x ) dx = ∫ ( mx + n ) dx ⇒ m+n = Khẳng định D m + n = −2 Câu Biết rằng hàm số − A Ta có: f ( x ) = ax + bx + c Lại có: , ∫ f ( x ) dx = −2 D ) a ∫ f ( x ) dx = − ⇒  x B C Lời giải a b ax + bx + c dx x + x + cx + C = − ∫ f ( x ) dx = ∫ ( thỏa mãn ∫ f ( x ) dx = − a ∫ f ( x ) dx = −2 ⇒  x + + b 1 x + cx ÷ = − ⇔ a + b + c = − 2 0 2 ( 1) b 2 x + cx ÷ = −2 ⇔ a + 2b + 2c = −2 ( 2) 0 3 13  a b  13 13 ⇒  x + x + cx ÷ = ⇔ 9a + b + 3c = 2   2 ( 3) 1 3 a + b + c = −   a = 8  a + b + c = −  ⇔ b = 3  13  16 c = − a + b + c =  ( 1) , ( ) ( 3) ta có hệ phương trình:  2  Từ  16  ⇒ P = a + b + c = 1+ +  − ÷= −  3 ∫ f ( x ) dx = Câu a a < a1 < a2 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Có hai giá trị số thực a , ( ) a  a2  a1 a2 T = + + log x − d x = ( )  ÷ ∫  a1  thỏa mãn Hãy tính A T = 26 B T = 12 C T = 13 D T = 28 Lời giải Chọn C a Ta có: ∫ ( x − ) dx = ( x a Vì ∫ ( x − ) dx = Lại có < a1 < a2 − 3x ) a = a − 3a + a =  nên a − 3a + = , suy  a = nên a1 = a2 = ; a  T = 3a1 + 3a2 + log  ÷ = 31 + 32 + log  ÷  a1    = 13 Như m Câu ∫ ( 3x − x + 1) dx = (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho thuộc khoảng sau đây? ( −1; ) ( −∞ ; 0) ( 0; ) A B C Giá trị tham số m D ( −3;1) Lời giải Chọn C m ∫ ( 3x Ta có: m ∫ ( 3x Vậy − x + 1) dx = ( x − x + x ) − x + 1) dx = m = ∈ ( 0; ) m = m3 − m2 + m ⇔ m3 − m2 + m − = ⇔ m = ∈ ( 0; ) Câu I = ∫ ( x − 2m ) dx (Thi thử Lômônôxốp - Hà Nội 2019) Cho m để I + > ? A B C Lời giải Chọn D Có giá trị nguyên I = ∫ ( x − 2m ) dx = ( x − 2m x ) = −2m + Theo định nghĩa tích phân ta có Khi đó D 0 I + > ⇔ −2m + + > ⇔ − m2 + > ⇔ −2 < m < m ∈ { −1; 0;1} Mà m số nguyên nên Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu a Câu ( x − ) dx ≤ (Sở GD Kon Tum - 2019) Có giá trị nguyên dương a để ∫0 ? A B C D Lời giải Chọn C ( x − 3) dx = ( x Ta có: ∫ a − x ) = a − 3a a a Khi đó: ∫ ( x − 3) dx ≤ ⇔ a − 3a ≤ ⇔ −1 ≤ a ≤ a ∈ { 1; 2;3; 4} Mà a ∈ ¥ * nên a Vậy có giá trị thỏa đề Câu ( π ;3π ) cho (THPT Lương Thế Vinh - HN 2018).Có số thực b thuộc khoảng b ∫ cos xdx = π A ? B C Lời giải b ∫ cos xdx = ⇔ 2sin x π b Ta có: π π   b = 12 + kπ ⇔ b = 5π + kπ = ⇔ sin 2b =  12 Do đó, có số thực b thỏa mãn yêu cầu toán D Câu 10 f ( x) R\ { −2; 2} (Cần Thơ - 2018) Cho hàm số xác định thỏa mãn f ( −3) + f ( 3) = f ( −1) + f ( 1) = f ( −4 ) + f ( ) + f ( ) Giá trị biểu thức bằng A B C D f ′( x) = x −4 , Lời giải Ta có: Do đó: ∫x   dx = ∫  − ÷dx = ln x − − ln x + + C −4  x−2 x+2  x−2 ln x + + C1 x < −2   2− x f ( x ) = ln + C2 − < x <  x+2  x−2 ln x + + C3 x >  f ( −3) = ln + C1 ; f ( 3) = ln + C3 ; f ( ) = C2 ; f ( −1) = ln + C2 ; f ( 1) = ln + C2 ; C1 + C3 = ⇒ f ( −3) + f ( 3) = f ( −1) + f ( 1) = ⇔ C1 + C3 = 2C2 = C2 = Vậy f ( −4 ) + f ( ) + f ( ) = ln + C1 + C2 + ln + C3 = C1 + C2 + C3 = Câu 11 ∫ x + ex + dx = a + eb − e c 2x 4x xe với a , b (Chuyên Lương Thế Vinh - Đồng Nai - 2018) Biết , c số nguyên Tính T = a + b + c A T = −3 B T = C T = −4 D T = −5 Lời giải + x Ta có ∫ x + ex  1 = + x÷ 2x xe  x e  nên x + ex 1  + dx = ∫  + x ÷dx = 2x 4x e  xe 12 x ( x − e− x ) = + e −1 − e −4 Vậy a = , b = −1 , c = −4 Suy T = −4 Câu 12 f ( x) ¡ \ { 0} f ′( x) = (Sở Bạc Liêu - 2018) Cho hàm số xác định thỏa mãn 3 f ( −2 ) = f ( ) = ln − Giá trị biểu thức f ( −1) + f ( ) bằng ln − ln + ln + ln − 4 4 A B C D Lời giải x +1 x2 , Có f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫  ln x − x + C1 ⇒ f ( x) =   ln x − + C  x Do Do f ( −2 ) = x +1 dx = ln x − + C x x x < x > 3 ⇒ ln + + C1 = ⇒ C1 = − ln 2 2 f ( ) = ln − 3 ⇒ ln − + C2 = ln − ⇒ C2 = ln − 2  ln x − x + − ln f ( x) =   ln x − + ln −  x Như vậy, x < x >   8ln + f ( −1) + f ( ) = ( − ln ) +  ln − + ln − 1÷ = 4   Vậy (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2020) Cho hàm số f ( x) có f (0) = Câu 13 π f ¢( x ) = cos x +1, " x Ỵ ¡ Khi đó π + 16π + 16 π2 +4 16 A B 16 ò f (x)dx bằng π + 16π + 16 D π + 14π 16 C Lời giải Chọn D Ta có ỉỉ ö ÷ + cos x ÷ f ( x) = ũ (2 cos x +1)dx = ũỗ 2ỗ + dx = ũ( cos x + 2)dx ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ố ứ ốỗ ứ sin x + x + C sin x f (0) = Û C = Þ f ( x) = + x + Lại có = ò cos xdx + ị 2dx = Þ π π 0 +16 + 16 (Sở Hà Tĩnh - 2020) Cho hàm số π ∫ f ( x ) dx bằng π π æ ö sin x + x + 4÷ d x = sin xd(2 x) + ị xdx + ị 4dx ÷ ÷ ø 4ị 0 ũ f ( x)dx =ũỗỗỗố - cos xπ π2 = + ( x + x) = 0 Câu 14 π f ( x) có f ( 0) = f ' ( x ) = sin x, ∀x ∈ ¡ Tích phân π2 −6 A 18 3π − 16 64 C Lời giải π −3 B 32 3π − D 112 Chọn C 1 + cos x   − cos x  sin x =  ÷ = ( − cos x + cos x ) = 1 − cos x + ÷ 4    Ta = có: ( cos x − cos x + 3) Suy Vì f ( x ) = ∫ f ' ( x ) dx = f ( 0) = π Do đó ∫ nên C = hay 1 ( cos x − cos x + 3) dx = sin x − sin x + x + C ∫ 32 f ( x) = 1 sin x − sin x + x 32 π π  2   f ( x ) dx = ∫  sin x − sin x + x ÷dx =  − cos x + cos x + x ÷ 32  16   128 0  1 3π   1  3π − 16 = − − + + ÷= ÷−  − 64  128 64   128  Dạng Tích phân hàm số hữu tỷ P ( x) dx Q ( x) a b Tính I =∫  Nếu bậc tử ? với P ( x) Q ( x) đa thức không chứa PP P ( x) ≥ Q ( x )  → chia đa thức bậc mẫu PP P ( x) < Q ( x)  Nếu bậc tử bậc mẫu mà mẫu số phân tích thành tích số → đồng thức để đưa thành tổng phân số Một số trường hợp đồng thức thường gặp: + ( ax + m ) ( bx + n ) =  a b  −  ÷ an − bm  ax + m bx + n  ( 1) ( A + B ) x − ( Ab + Ba ) ⇒  A + B = m mx + n A B = + =  x − a) ( x − b) x − a x − b ( x − a) ( x − b)  Ab + Ba = − n + ( A Bx + C = + ( x − m ) ( ax + bx + c ) x − m ( ax + bx + c ) với ∆ = b2 − 4ac < + A B C D = + + + 2 x − a ( x − a) x − b ( x − b) x − a ) ( x − b) ( + P ( x) < Q ( x)  Nếu bậc tử bậc mẫu mà mẫu khơng phân tích thành tích số, ta xét số trường hợp thường gặp sau: dx PP → x = a.tan t I1 = ∫ , ( n ∈ N *)  2 n ( x +a ) + dx dx , ( ∆ < 0) = ∫ ax + bx + c  b   ∆  a  x + ÷ +  − ÷ 2a   4a    I2 = ∫ + I3 = p ( 2ax + b ) dx  b p  dx +q − ÷.∫ 2 ∫ 2a ax + bx 2a  ax +3c 44 4+ 43c  44 2+ bx 44 I2 A giải A bằng cách đặt t = mẫu số Câu 15 b ∆ = − tan t 2a 4a px + q dx ax + bx + c với ∆ = b − 4ac < Ta phân tích: I3 = ∫ + Ta đặt  →x+ dx ∫ ( x + 1) ( x + 1) = a ln + b ln + c ln (THPT Quỳnh Lưu Nghệ An 2019) Biết trị a + b + c bằng A −3 B C Lời giải Ta có: Khi đó giá D 2 dx   1 = − d x ∫1 ( x + 1) ( x + 1) ∫1  x + x + ÷ = 2∫ x + dx − ∫ x + dx 1 2 2 = ln x + − ln x + = ln ( x + 1) − ln ( x + 1) 1 1 = ln − ln − ( ln − ln ) = ln − ln + ln a + b + c = + ( −2 ) + = Do đó: a = 1, b = −2, c = Vậy Câu 16 3x + 5x − I=∫ dx = a ln + b, ( a, b ∈ ¡ ) x−2 −1 (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Biết Khi đó giá trị a + 4b bằng A 50 B 60 C 59 D 40 Lời giải Chọn C I= Ta có = 21.ln 3x + x − 21   3 0 dx = ∫−1 x − ∫−1  3x + 11 + x − ÷ dx =  x + 11x + 21.ln x − ÷ −1 19 19 + a = 21, b = Suy Vậy a + 4b = 59 x2 − −1 dx = + n ln ∫ x +1 m Biết , với m, n số nguyên Tính m + n A S = B S = C S = −5 Lời giải Chọn A Câu 17 ∫ D S = −1 1 dx x2 − ( x − 1) −1 dx = ∫ ( x − 1)dx − ∫ = − ln | x + 1|10 = − ln 0 x +1 x +1 2 ⇒ m = 2, n = −1 ⇒ m + n = 1 Câu 18 (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Tích phân số nguyên Tính giá trị biểu thức a + b I =∫ ( x − 1) x2 + dx = a − ln b đó a , b Ta có C −1 Lời giải B A I =∫ ( x − 1) 1 D 1 2x  1  dx = ∫  − d ( x + 1) = x − ln ( x + 1) = − ln ÷dx = ∫ dx − ∫ 2 x +1 x +1  x +1 0 0 a = ⇒ ⇒ a+b =3 b = Câu 19 x2 + x + b ∫3 x + dx = a + ln (Chun Trần Phú Hải Phịng 2019) Biết Tính S = a - 2b A S = B S = −2 C S = Lời giải với a , b số nguyên D S = 10 5  x2  x2 + x + 1   a = d x = x + d x = ∫3 x + ∫3  x + ÷  + ln x + ÷ = + ln ⇒ b =  ⇒ S = a − 2b = Câu 20  ∫  x + x  10 a + ln ÷dx = x +1 b b (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Cho P = a + b? A P = B P = C P = Lời giải 2 vi a, b Ô Tớnh D P = x     x +1−1  ∫1  x + x + ÷ dx = ∫1  x + x + ÷ dx = ∫1  x + − x + ÷ dx Ta có  x3  10 10 10 a =  + x − ln x + ÷ = + ln − ln = + ln = + ln 3 b b  1 Suy a = 2; b = Vậy a + b = Câu 21 ∫x (Chuyên Sơn La 2019) Cho nguyên Giá trị a + b + c bằng A B x+3 dx = a ln + b ln + c ln + 3x + , với a, b, c số C D Lời giải 3 3 x+3 x +3 ∫1 x + 3x + dx = ∫1 ( x + 1) ( x + ) dx = ∫1 x + 1dx − ∫1 x + 2dx = ( ln x + − ln x + ) = ln + ln − ln Suy a = , b = , c = −1 Nên a + b + c = + − = Câu 22 ∫x (Sở Phú Thọ 2019) Cho a − 3b + c Giá trị bằng A 12 B 5x − dx = a ln + b ln + c ln − 3x + C Lời giải , với a, b, c số hữu tỉ D 64 Chọn D Ta có: I =∫ 3 ( x − ) + ( x − 1) 5x − 5x −   dx = ∫ dx = ∫ dx = ∫  + ÷dx x − 3x + x − 1) ( x − ) x −1 x −  ( x − 1) ( x − ) ( 3 Câu 23 4 = 3ln + ln − 3ln = 3ln − ln + 0.ln = ( 3ln x − + ln x − ) Suy a =  a −3b + c = 26 = 64 b = −1 ⇒ c =  x + x +1 b d x = a + ln ∫3 x + 2 với a , b số nguyên Tính S = a - 2b B S = −2 C S = D S = 10 Lời giải Biết A S = Chọn A 5  x2  x2 + x + 1   a = d x = x + d x = ∫3 x + ∫3  x + ÷  + ln x + ÷ = + ln ⇒ b =  ⇒ S = a − 2b = Câu 24 Biết rằng A 14 ∫x π a dx = + x +1 b B 15 ( a , b ∈ ¢ , a < 10 ) Khi đó a + b có giá trị bằng C 13 Lời giải D 12 1 I =∫ dx = ∫ dx x + x +1 1 0  x+ ÷ + 2  Xét  −π π  3 t ∈ , ÷ x+ = tan t dx = + tan t ) dt (  2  Khi đó 2 Đặt , với π Với x = , ta có t= π t= Với x = , ta có π π + tan t ) ( 2 π I=∫ dt = ∫ dt= t = a = 3 3 π π π ⇒ a + b = 12  + tan t ) ( b = 6  Khi đó Từ đó suy 3x + x − ∫−1 x − dx = a ln + b (THPT Nguyễn Trãi - Dà Nẵng - 2018) Giả sử rằng Khi đó, giá π Câu 25 trị a + 2b A 30 Ta có: B 60 C 50 Lời giải D 40 x + = t ⇒ xdx = dt ⇔ xdx = dt Đặt Khi đó 25 25 1 I = ∫ ln t.dt = ( t.ln t − t ) = ( 25 ln 25 − 25 ) − ( ln − )  = 25ln − ln − 9 2 Suy T = a + b + c = 25 − − = e Câu 95 I =∫ Cho đúng? ln x x ( ln x + ) A 2ab = −1 dx có kết quả dạng I = ln a + b với a > , b ∈ ¡ Khẳng định sau B 2ab = C Lời giải −b + ln =− 2a D −b + ln = 2a dx = dt x Đặt ln x + = t ⇔ ln x = t − Đổi cận: x = t = ; x = e t = ⇒  a = ⇒ 3 t−2   =  ln t +  b = − I = ∫ dt = ∫  − ÷dt  ÷ = ln − t t t t    2 3 2 Khi đó Vậy 2ab = −1 e Câu 96 ln x + ∫ x ( ln x + ) a c dx = ln − b d (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Cho với a , b , c số a c ; nguyên dương, biết b d phân số tối giản Tính giá trị a + b + c + d ? A 18 B 15 C 16 D 17 Lời giải dx x Đặt Đổi cận: x = ⇒ t = 0; x = e ⇒ t = Khi đó: 1 e −3  2ln x + 2t +   + + ln t + ÷ = ln − ÷dt =  I =∫ dx = ∫ dt = ∫  2  t+2÷ t +2 0  ( t + 2) x ( ln x + ) ( t + 2)  t = ln x ⇒ dt = Vậy a + b + c + d = + + + = 16 e Câu 97 ∫ ( 3x − 1) ln x + 3x − dx = a.e3 + b + c.ln ( e + 1) + x ln x (THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Cho 2 với a, b, c số nguyên ln e = Tính P = a + b + c A P = B P = 14 C P = 10 Lời giải Ta có e I =∫ ( 3x D P = e e e − 1) ln x + x − 3x ( + x ln x ) − ( + ln x ) ( + ln x ) dx = e3 − − A dx = ∫ d x = ∫ x dx − ∫ + x ln x + x ln x + x ln x 1 e Tính A=∫ ( + ln x ) dx + x ln x Đặt t = + x ln x ⇒ dt = ( + ln x ) dx 1+ e x = ⇒ t = dt 1+ e A= ∫ = ln t = ln(e + 1)  t Đổi cận:  x = e ⇒ t = e + Khi đó a =   → b = −1 ⇒ P = a + b + c = c = −1 I = e3 − − ln(e + 1)  Vậy Câu 98 Biết I =∫ dx = ( ln a − ln b + ln c ) −x e + 3e + c với a , b , c số nguyên dương ln x Tính P = 2a − b + c A P = −3 ln B P = −1 C P = Lời giải D P = ln dx e x dx = e x + 3e − x + ∫0 e x + 4e x + I =∫ Ta có x x Đặt: t = e ⇒ dt = e dx Đổi cận: x = ⇒ t = , x = ln ⇒ t = I =∫ 2 1 2 1  t +1 dt = ∫  − = ( ln − ln + ln ) ÷dt = ln t + 4t +  t +1 t +  t +31 Khi đó Suy a = , b = , c = Vậy P = 2a − b + c = Câu 99 (Chuyên Hạ Long - 2018) Biết 2 dương Tính P = a + b + ab A 10 B ∫x x +1 dx = ln ( ln a + b ) + x ln x với a , b số nguyên C 12 Lời giải D x +1 x +1 ∫1 x + x ln x dx = ∫1 x ( x + ln x ) dx Ta có  1 ⇒ dt = 1 + ÷dx = x + dx  x x Đặt t = x + ln x Khi x = ⇒ t = ; x = ⇒ t = + ln + ln dt + ln I= ∫ = ln t = ln ( ln + ) t Khi đó Suy Vậy P = Câu 100 (Chuyên Thái Bình 2018) Cho P = a + 2b − c A P = B P = −1 ∫ (x + x ) ex x + e− x a =  b = dx = a.e + b ln ( e + c ) C P = Lời giải với a , b , c ∈ ¢ Tính D P = −2 Ta có: I =∫ (x + x ) ex x + e− x dx = ∫ ( x + 1) e x xe x dx xe x + x dt = ( + x ) e dx Đặt t = xe + ⇒ Đổi cận: x = ⇒ t = ; x = ⇒ t = e + x I= Khi đó: e +1 ∫ t −1 dt = t e +1  1 ∫ 1 − t ÷ dt = ( t − ln t ) e +1 = e − ln ( e + 1) Suy ra: a = , b = −1 , c = Vậy: P = a + 2b − c = −2 Câu 101 (Chuyên KHTN - 2020) Cho hàm số y = f ( x) biết f ( 0) = x2 f ′ ( x ) = xe với x ∈ ¡ ∫ xf ( x ) dx Khi đó e +1 A bằng e −1 B e −1 C Lời giải e +1 D Chọn B x2 e d ( x ) = e x + C ∫ 2 Ta có 1 1 f ( 0) = ⇔ + C = ⇔ C = ⇒ f ( x ) = ex 2 2 Mà f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ x.e x dx = ⇒ ∫ xf ( x ) dx = 1 2 1 e −1 xe x dx = ∫ e x d ( x ) = e x = ∫ 20 40 4 e Câu 102 ln x +1 ò x ( ln x +1) dx = a ln - (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - 2020) Biết rằng b với a, b, c số nguyên dương c phân số tối giản Tính S = a + b + c A S = B S = C S = 10 D S = Lời giải Chọn D dx = dt Đặt ln x +1 = t Ta có: x Đổi cận: x = ⇒ t = ; x = e ⇒ t = 2 ( t - 1) +1 æ ổ 1 ữ ữ ỗ ln t + ữ dt = ỗ ũ x ( ln x +1) dx = ò t dt = ũỗỗỗốt - t ữ = ln ữ ữ ỗ ố ứ ứ t 1 Ta có: e ln x +1 Suy ra: a = ; b = ; c = Khi đó: S = a + b + c = Dạng Tích phân phần ( a; b ) Nếu u, v có đạo hàm liên tục Vi phân Nguyên hàm b b I = ∫ u.dv = u.v a − ∫ v.du a b a b c u = → du = dx  dv = dx  → v = Chọn  Nhận dạng: tích hai hàm khác loại nhân (ví dụ: mũ nhân lượng giác,…) Thứ tự ưu tiên chọn u là: "log – đa – lượng – mũ" dv phần lại u = log x = ln x a log a x ln a Nghĩa có ln hay chọn u = ln hay dv = cịn lại Nếu khơng có ln; log chọn u = đa thức dv = cũn li, CH í: ắắđ tớch phõn tng phần luân hồi Nghĩa sau đặt u, dv để tính tích phân phần tiếp tục tính xuất lại tích phân ban đầu Giả sử tích phân tính ban đầu I lập lại, ta không giải tiếp mà xem phương trình bậc ẩn Câu 103 (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Xét A ∫ e u du ∫ xe x2 dx , đặt u = x u e du ∫0 C Lời giải B ∫ eu du ∫ xe x2 dx bằng u e du ∫0 D Chọn D Đặt u = x ⇒ du = xdx ⇔ xdx = du Khi x = ⇒ u = , x = ⇒ u = Do đó u ∫0 xe dx = ∫0 e du x2 e Câu 104 (Mã 104 2018) Cho ∫ ( + x ln x ) dx = ae + be + c đúng? A a + b = c B a − b = c với a, b, c số hữu tỉ Mệnh đề sau C a − b = −c Lời giải D a + b = −c Chọn B Ta có e e e 1 ∫ ( + x ln x ) dx = ∫ 2dx + ∫ x ln xdx = x e e + I = 2e − + I I = ∫ x ln xdx 1 với  du = x dx ⇒ u = ln x v = x   Đặt dv = xdx e e e x e e2 x2 x x2 e2 + ⇒I= ln x − ∫ dx = ln x − 12 = − ( e − 1) = 2 e e2 + 1 ⇒ ∫ ( + x ln x ) dx = 2e − + = e + 2e − 4 1  a =  ⇒ b =  c = − ⇒ a−b = c  Câu 105 ∫ x ln ( x + 1) dx = a ln − (THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Biết phân số tối giản) Tính P = 13a + 10b + 84c A 193 B 191 C 190 Lời giải Chọn B 2x  du = x + dx u = ln ( x + 1) ⇒  v = x +  dv = xdx  2 Đặt:  b c b * a , b , c ∈ ¥ c (với D 189 1  x2 +  ∫0 x ln ( x + 1) dx =  ÷ ln ( x + 1) − ∫0 xdx = ln − Khi đó: ⇒ a = 1, b = 1, c = Vậy P = 13a + 10b + 84c = 191 a Câu 106 I = ∫ sin 2016 x.cos ( 2018 x ) dx (Nguyễn Trãi - Thái Bình - 2020) Cho a số thực dương Tính bằng: cos 2017 a.sin 2017a sin 2017 a.cos 2017 a I= I= 2016 2017 A B 2017 2017 sin a.cos 2017 a cos a.cos 2017a I= I= 2016 2017 C D Lời giải Chọn B a Ta có I = ∫ sin a = ∫ sin a 2016 x.cos ( 2017 x + x ) dx = ∫ sin 2016 x cos ( 2017 x ) cos x − sin ( 2017 x ) sin x  dx a 2016 x cos ( 2017 x ) cos xdx − ∫ sin 2017 x sin ( 2017 x ) dx a Xét J = ∫ sin 2016 x cos ( 2017 x ) cos xdx du = −2017 sin ( 2017 x ) dx u = cos ( 2017 x )  ⇒  2016 sin 2017 x du = sin x.cos xdx v = 2017  Đặt a Khi đó I = cos ( 2017 x ) Suy a J = cos ( 2017 x ) sin 2017 x + ∫ sin 2017 x.sin ( 2017 x ) dx 2017 0 a a a sin 2017 x + ∫ sin 2017 x.sin ( 2017 x ) dx − ∫ sin 2017 x.sin ( 2017 x ) dx 2017 0 = cos ( 2017 x ) a 1 sin 2017 x = sin 2017 a.cos ( 2017 a ) 2017 2017 (Chuyên Lương Văn Tỵ - Ninh Bình - 2020) Cho hàm số Câu 107 f ( x) f ( ) = −1 có f ′ ( x ) = x ( + 12 x + e − x ) , ∀x ∈ ¡ Khi đó ∫ f ( x ) dx bằng −1 C − 3e −1 B 3e A 3e −1 D −3e Lời giải Chọn B Ta có: f ′ ( x ) = x ( + 12 x + e − x ) , ∀x ∈ ¡ nên f ( x) nguyên hàm ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ x ( + 12 x + e ) dx = ∫ ( x + 12 x ) dx + ∫ xe −x ( x + 12 x ) dx = 3x Mà ∫ 2 −x f ′( x) dx + x3 + C u = x du = dx ⇒  −x xe dx dv = e dx v = −e − x Xét ∫ : Đặt  −x ∫ xe −x dx = − xe − x + ∫ e − x dx = − xe − x − e − x + C = − ( x + 1) e − x + C Suy Mà f ( x ) = x + x − ( x + 1) e − x + C , ∀x ∈ ¡ f ( ) = −1 ⇒ C = nên f ( x ) = x + x − ( x + 1) e − x , ∀x ∈ ¡ Ta có ∫ 1 0 f ( x ) dx = ∫ ( x + x − ( x + 1) e − x ) dx = ( x + x ) − ∫ ( x + 1) e − x dx = − ∫ ( x + 1) e − x dx 0 Xét ∫ ( x + 1) e −x dx : Đặt u = x + du = dx ⇒  −x −x dv = e dx v = −e −x −x −x −1 −x −1 −1 −1 ∫ ( x + 1) e dx = − ( x + 1) e + ∫ e dx = −2e + − e = −2e + − e + = − 3e 0 Vậy ∫ f ( x ) dx = 3e −1 Câu 108 I = ∫ x ln ( x + ) dx = a ln + b ln + c (Chuyên Bắc Ninh - 2020) Biết số thực Tính giá trị biểu thức T = a + b + c A T = B T = 11 C T = Lời giải Chọn C Cách đó a , b , c D T = 10 2x  du = x + dx u = ln ( x + )   v = x +9  dv = xdx Đặt  , ta có  Do đó 4 4 x2 + x2 + 2x x2 + I= ln ( x + ) − ∫ dx = ln ( x + ) − ∫ xdx 2 x +9 0 0 4  x2  x2 + = ln ( x + ) −  ÷ = 25 ln 25 − ln −  0 = 25ln − ln − = a ln + b ln + c  a = 25  b = −9 ⇒ a + b + c =  c = −8 Suy  Cách Ta có I = ∫ x ln ( x + ) dx t = x + ⇒ dt = xdx ⇒ xdx = dt Đặt Đổi cận: x = ⇒ t = , x = ⇒ t = 25 25 I = ∫ x ln ( x + ) dx = ∫ ln tdt 29 Suy  du = dt u = ln t t    v = t Đặt dv = dt , ta có  25 25 1  25 ⇒ I = ∫ t ln tdt =  t.ln t − ∫ t dt ÷ = 29 2 t  = 25  1 25  t.ln t − ∫ dt ÷ = t.ln t 25 −t 25 9 2  ( ) 25 ln 25 − ln − = 25ln − ln − = a ln + b ln + c 2  a = 25  b = −9 ⇒ a + b + c =  c = −8 Suy  Câu 109 (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2020) Xét hàm số f (ln(5620)) bằng A 5622 Lờigiải ChọnA B 5620 Từ f ( x ) = e x + ∫ xf ( x )dx (1) x Lấy đạo hàm hai vế, suyra f '( x) = e C 5618 f ( x ) = e x + ∫ xf ( x )dx D 5621 Giá trị Khi đó, f ( x ) = ∫ f '( x )dx = ∫ e x dx = e x + C Từ (1) (2) suyra: (2) 1 1 0 0 C = ∫ xf ( x) dx ⇔ C = ∫ x(e x + C) dx ⇔ C = ∫ xe x dx + ∫ Cx dx Cx C ⇔ C = 1+ ⇔ C = 1+ ⇔ C = 2 x ln(5620) + = 5620 + = 5622 Vậy f ( x ) = e + ⇒ f (ln(5620)) = e Câu 110 Tích phân ∫ ( x − 2) e −5 − 3e A 2x dx bằng − 3e B − 3e2 C Lời giải + 3e2 D  du = dx u = x −  ⇒  2x 2x v = e d v = e d x   Đặt Suy 1 1 2x 2x ∫0 ( x − ) e dx = ( x − ) e − ∫0 e dx 2x 1 1 1 5 − 3e = − e2 + − e2 x = − e + − e + = − e + = 4 4 4 ∫ ( x +1) e dx = a + b.e x Câu 111 , tích a.b bằng D 20 (THPT Cẩm Giàng 2019) Biết rằng tích phân A −15 B −1 C Lời giải Chọn C Điều kiện: a , b ∈ ¢ u = x + du = 2dx ⇒  x x v = e Đặt dv = e dx ⇒ ∫ ( x +1) e dx = ( x +1) e x x 1 − ∫ e x dx = ( x − 1) e x = 1+ e = a + b.e a = ⇒ b = Vậy tích a.b = Câu 112 ln x b dx = + a ln 2 x c với a số I =∫ (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Cho tích phân b thực, b c số dương, đồng thời c phân số tối giản Tính giá trị biểu thức P = 2a + 3b + c A P = B P = D P = C P = −6 Lời giải dx  du =  u = ln x  − ln x    − ln x −1  ln x ⇒ ⇒ I = + dx =  + ÷ = −  dx  ∫ − 1 x x x x 1 2 dv =    v= x2  x  Đặt ⇒ b = 1, c = 2, a = −1 ⇒ P = 2a + 3b + c = π Câu 113 (THPT Lê Xoay Vĩnh Phúc 2019) Cho tích phân π A C I = − ( x − 1) cos2 x − ∫ cos2 xdx I = − ( x − 1) cos2 x Đặt u = ( x − 1)  dv = sin xdx π π B I = − ( x − 1) cos2 x π + ∫ cos2 xdx 20 I = − ( x − 1) cos2 x D Lời giải π Tìm đẳng thức đúng? π π − ∫ cos2 xdx 0 π + ∫ cos2 xdx  du = dx   v = − cos x  , ta có  Do đó: I = ∫ ( x − 1) sin xdx = − I = ∫ ( x − 1) sin xdx ( x − 1) cos x π + π cos xdx ∫o (Chuyên KHTN 2019) Biết rằng tồn số nguyên a, b, c cho Câu 114 ∫ ( x + ) ln xdx = a + b ln + c ln A 19 Đặt Khi Giá trị a + b + c bằng B −19 C Lời giải  ln x = u ⇒ dx = du x  ( x + ) dx = dv ⇒ x + x = v  đó ∫ ( x + ) ln xdx = ln x ( x D −5 + 2x 3 ) − 2∫ ( x + 1) dx = 24 ln − 12 ln − 72 = −7 − 12 ln + 24 ln Vậy a = −7; b = −12; c = 24 ⇒ a + b + c = ln ( + x ) ∫1 x dx = a ln + b ln Câu 115 (HSG Bắc Ninh 2019) Cho , với a, b số hữu tỉ Tính P = a + 4b A P = B P = C P = D P =- Lời giải 2 ln ( + x ) −1 −1  −1 ′ d x = ln + x d x = ln + x − dx ( ) ( )  ÷ ∫1 x ∫1 ∫ x 1 x +1 x  x  2 = −1 1 ln + ln + ∫ dx − ∫ dx = −1 ln + ln − ln ( + x ) + ln x 1 x x +1 1 −1 −3 −3 ln + ln − ln + ln = ln + 3ln ⇒ a = 3, b = 2 Vậy a + 4b =- = 21000 I= A C I= dx Câu 116 Tính tích phân I =− ln x ∫ ( x + 1) , ta 1000 ln 2 + 1001ln 1000 1+ + 21000 B I =− 1000 ln 2 − 1001ln 1000 1+ + 21000 D Lời giải I= 1000 ln 21000 + ln + 21000 + 21000 1000 ln 21000 − ln + 21000 + 21000 Chọn A dx  u = ln x du =    x dv = dx ⇒   v = − x + ( )   x +1 Đặt 21000 21000 ln x ⇒I =− x +1 =− + ∫ 1 dx ln 21000 = − 1000 + x +1 x +1 21000 ∫ 21000  1000 ln x 1 + ln  − ÷dx = − 1000 +1 x =1  x x +1 1000 1000 ln 2 1000 ln 21001 ln 21000 + ln − ln = − + ln − + 1001ln 1000 1000 1000 1000 1000 +1 +1 2 +1 +1 = + + 21000 Câu 117 Biết ∫ x ln ( x + 1) dx = a.lnb * , với a, b ∈ ¥ , b số nguyên tố Tính 6a + 7b B 6a + 7b = 25 C 6a + 7b = 42 D 6a + 7b = 39 Lời giải A 6a + 7b = 33 Xét I = ∫ x ln ( x + 1) dx  dx u = ln ( x + 1)  du = ⇔ x +1   dv = xdx v = x −  Đặt 2  x2  x2 −1 I = ( x − 1) ln ( x + 1) | − ∫ dx = 3ln − ∫ ( x − 1) dx = 3ln −  − x ÷ = 3ln  0 x +1 Ta có Vậy a = 3, b = ⇒ 6a + 7b = 39 2 a Câu 118 (Chuyên Hưng Yên 2019) Biết rằng khẳng định đúng? a ∈ ( 18; 21) a ∈ ( 1; ) A B ∫ ln xdx = + 2a, ( a > 1) C Lời giải a ∈ ( 11;14 ) Khẳng định D a ∈ ( 6;9 ) ⇒ du = Đặt u = ln x dv = dx ⇒ v = x dx x a a ∫ ln xdx = a.ln a − ∫ dx = a ln a − a + = + 2a Ta có ⇒ a ln a = 3a ⇔ ln a = ⇔ a = e3 a ∈ ( 18; 21) Vậy ∫ ( x − 2)e dx = a + be x Câu 119 (KTNL GV Bắc Giang 2019) Cho tích phân bằng A B −3 C Chọn A Đặt , với a; b∈ ¢ Tổng a + b D −1 1 u = x − du = dx x x ⇒ ⇒ ∫ ( x − 2)e dx = ( x − 2)e − ∫ e x dx= − e + − e x = − 2e = a + be  x x 0 dv = e dx v = e 0 với a; b ∈ ¢ ⇒ a = 3, b = −2 ⇒ a + b = Câu 120 (KTNL GV Thuận Thành Bắc Ninh -2019) Tính tích phân 2 A I = e B I = −e C I = e I = ∫ xe x dx D I = 3e − 2e Lời giải Chọn A u = x du = dx ⇒  x x v = e Đặt dv = e dx I = ∫ xe x dx = xe x 2 − ∫ e x dx = 2e − e − e x 1 = 2e − e − ( e − e ) = e Câu 121 (THPT Yên Phong Số Bắc Ninh 2019) Bit rng m, n, p Ô Tính m + n + p A B ∫ x ln x dx = m ln + n ln + p C Lời giải Chọn C  d u = dx  u = ln x x ⇒  dv = xdx v = x  Đặt 3 3 x2 x2 x2 x ln x d x = ln x − x d x = ln x − ∫ 2 ∫2 ⇒ 2 Suy m + n + p = = ln − ln − D − đó Câu 122 ∫ x ln ( + x ) dx = a.ln b (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Biết nguyên tố Tính 3a + 4b A 42 B 21 C 12 Lời giải * , với a, b ∈ ¥ , b số D 32  dx du = u = ln ( + x ) ⇒  1+ x I = ∫ x ln ( + x ) dx   dv = xdx v = x −1 Xét Đặt  2  x2  x2 − I = ( x − 1) ln ( x + 1) − ∫ dx = 3ln − ∫ ( x − 1) dx = 3ln −  − x ÷ = 3ln x +1  0 0 Ta có: Vậy a = , b = ⇒ 3a + 4b = 21 2 2 Câu 123 ln x b dx = + a ln 2 x c với a số thực, b I =∫ (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Cho tích phân b c số nguyên dương, đồng thời c phân số tối giản Tính giá trị biểu thức P = 2a + 3b + c A P = B P = −6 C P = D P = Lời giải  du = dx u = ln x    x ⇒  dv = x dx v = −  x Đặt 2 −1 1  −1  I =  ln x ÷ + ∫ dx = ln − = − ln ⇒ b = 1, c = 2, a = − x1 2  x 1 x Khi đó Ta có  −1  P =  ÷+ 3.1 + =  2 π Câu 124 Biết x dx = π − ln b cos x a I =∫ A 11 B Khi đó, giá trị a + b bằng C 13 Lời giải D u = x  du = dx  ⇒  dv = cos x dx v = tan x Đặt  π π I = x tan x − ∫ tan xdx = = π + ln cos x π = π π π sin xdx π d(cos x) 3−∫ = +∫ cos x cos x 0 π π + ln − ln1 = − ln ⇒ a = 3; b = Vậy a + b = 11 3  F ( x ) + x + ln ( x − 1)  I = ∫ dx ln x − x dx = F ( x ) , F ( ) = ln − x ∫   bằng Câu 125 Cho Khi đó A 3ln − B 3ln − C 3ln − D 3ln − ( ) Lời giải  ′ 2x − u = ln ( x − x ) u = ⇒ x −x  v′ =  v = x  Đặt Suy F ( x ) = ∫ ln ( x − x ) dx = x ln ( x − x ) − ∫ F ( ) = ln − ⇒ C = suy 2x − dx =x ln ( x − x ) − x − ln x − + C x −1 F ( x ) = x ln ( x − x ) − x − ln x − 3  F ( x ) + x + ln ( x − 1)  I = ∫ d x = ln x − x dx  ∫ = F ( 3) − F ( ) = 3ln − x  2 Khi đó: ( ) π Câu 126 x dx = π − ln b cos x a I=∫ (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Biết nguyên dương Tính giá trị biểu thức T = a + b A T = B T = 13 C T = Lời giải π Xét , với a, b số D T = 11 π x dx = ∫ x dx 2 cos x cos x 0 I =∫ u = x du = dx  ⇔  v = tan x dv = cos x dx Đặt π π π π π I = x.tan x − ∫ tan xdx = x.tan x + ∫ d ( cos x ) =  x tan x + ln ( cos x )  = π − ln cos x 0 0 a = ⇒ T = a + b = 11  b = Suy  Câu 127 (Thpt Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Cho ∫ ln ( + x ) x a + 2( b + c) số nguyên Giá trị là: A B C Lời giải Áp dụng phương pháp tích phân phần:  du = dx u = ln ( + x )  2x +1   ⇒  dv = dx chän v = − − = − ( x + 1) x   x x Đặt: ln ( + x ) − ( x + 1) ⇒∫ dx = ×ln ( + x ) + ∫ dx x x x 1 2 dx = a ln + b ln + c ln 2 , với a , b , c D   =  − ln + 3ln ÷+ ln x   −5 = ln + 3ln + ln 2 ⇒ a = −5 , b = , c = Vậy a + 2( b + c) = ∫ ( x − 2)e dx = a + be x Câu 128 (KTNL GV Bắc Giang 2019) Cho tích phân bằng A B −3 , với a; b ∈ ¢ Tổng a + b D −1 C Lời giải Chọn#A Đặt 1 u = x − du = dx x x x x ⇒ ⇒ ( x − 2) e d x = ( x − 2) e − e d x= − e + − e = 3− 2e =a + be   ∫0 ∫0 x x 0 dv = e dx v = e với a; b∈ ¢ ⇒ a = 3, b = −2 ⇒ a + b = π Câu 129 ln ( sin x + cos x ) dx = a ln + b ln 2π+ c cos x ∫ (Sở Phú Thọ 2019) Cho tỉ Giá trị abc bằng 15 A B với a , b , c số hữu C Lời giải 17 D Chọn A cos x − 2sin x  u = ln ( sin x + cos x ) ⇒ du = sin x + cos x dx  dv = dx ⇒ v = tan x + cos x Đặt  π ln ( sin x + cos x ) ⇒∫ dx = ( tan x + ) ln ( sin x + cos x ) cos x π π cos x − 2sin x dx cos x −∫ π 3  = 3ln  − ln − ∫ ( − tan x ) dx = 3ln − ln ÷ ÷ − ( x + ln cos x )   π π 5π = 3ln − ln − − ln = 3ln − ln − b=− c=− 2 ⇒a =3, 2, Vậy abc = 18 12 Câu 130  x + 1x a dc  + x − e dx = e ÷ ∫1  x b (Chun Thái Bình 2019) Biết 12 a c , dương phân số b d tối giản Tính bc − ad A 12 B C 24 Lời giải đó a, b, c, d số nguyên D 64 I= Ta có: 12 12 12 12   x + 1x   x − ∫1   x ÷ + 1 e dx = ∫ 12 x+  x+  x  − ÷e x dx + ∫ e x dx x   12 u = x du = dx   → x + 1  x    x+ dv = − e dx  ÷  v = e x x2   Đặt:  12 I= 12 Khi đó: 12 + 12 = 12e ∫ − 12 12 12 12 1 x+ x+  x+  x  − ÷e x dx + ∫ e x dx = x.e x x   1 12 + 12 e 12 = 143 e 12 12 −∫e 12 x+ x 12 dx + ∫ e x+ x dx 12 145 12 Vậy: a = 143; b = 12; c = 145; d = 12 Dó đó: bc − ad = 12.145 − 143.12 = 24 ... 20 20 t 20 19  20 20 = 20 19 .20 20  + + 20 20t 20 19 + C ÷+ C = 20 19t  20 20 20 19  Từ đó Mà f ( x ) = 20 19 ( x − 1) 20 20 f ( 1) = ⇔ 20 19 ( − 1) Suy f ( x ) = 20 19 ( x − 1) 1 0 + 20 20 ( x − 1) 20 20... 1) 20 20 20 20 20 19 + 20 20 ( − 1) + 20 20 ( x − 1) +C 20 19 + C = ⇔ C = 20 19 ∫ f ( x ) dx = ∫ ? ?20 19 ( x − 1) 20 20 + 20 20 ( x − 1) xdx 20 19 Vậy  20 19  = −− + 1÷ = − 20 21  20 21  Câu 41 (Đề Tham... = ∫ 20 19 .20 20.x ( x − 1) Ta có Đặt t = x − ⇒ dt = dx x = t + 20 18 + C ( α ≠ −1) dx = 20 19 .20 20 ∫ x ( x − 1) 20 18 dx f ( x ) = 20 19 .20 20∫ ( t + 1) t 20 18 dt = 20 19 .20 20 ∫ ( t 20 19 + t 20 18