Bài tập trắc nghiệm tích phân mức vận dụng cao đầy đủtrích từ các đề thi thử, đề tham khảo ,.... Phân dạng cụ thể theo từng bài ,chia theo từng mức độ ( nhận biết,thông hiểu, vận dụng) và có lời giải đáp án rõ ràng. Phù hợp với học sinh tự học và giáo viên làm tài liệu giảng dạy. Đặc biệt: font TimesNew Roman chuẩn, các công thức toán đều có định dạng mathtype .
Chuyên đề 26 TÍCH PHÂN - PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI – XUẤT SẮC MỨC 8-9-10 ĐIỂM Dạng Tích phân Hàm ẩn Dạng 1.1 Giải phương pháp đổi biến b Thơng thường tốn xuất Câu ∫ f u ( x ) dx a ta đặt (Chun Biên Hịa - Hà Nam - 2020) Cho hàm số ∫ f ( x ) dx = −5 f ( x) u ( x) = t liên tục ¡ thỏa mãn Tích phân A 15 ∫ f ( − 3x ) + 9 dx B 27 D 21 C 75 Lời giải Chọn D Ta có 2 2 0 0 ∫ f ( − 3x ) + 9 dx = ∫ f ( − 3x ) dx + ∫ 9dx = ∫ f ( − 3x ) dx + 18 Xét ∫ f ( − 3x ) dx , đặt t = − x ⇒ dt = −3dx ⇒ dx = − ∫ dt f ( − x ) dx = − Đổi cận x = ⇒ t = ; x = ⇒ t = −5 Suy 1 1 f − x + d x = f ( t )d t + 18 = f ( x)dx + 18 = 21 ) ∫0 ( −∫5 −∫5 Khi f ( x) (Chuyên Lam Sơn - 2020) Cho hàm số Câu 10 10 P = ∫ f ( x ) dx Tính B P = −6 Ta có: ∫ 10 10 Xét Đổi cận: Lúc đó: P=∫ Đặt liên tục đoạn C P = Lời giải f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = P = ∫ f ( x ) dx [ 0;10] Chọn C −5 1 f (t )dt = ∫ f (t )dt ∫ 31 −5 ∫ f ( x ) dx = 7, ∫ f ( x ) dx = A P = t = x ⇒ dt = 2dx ⇒ dx = dt 1 f ( x ) d x = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) d x = 20 20 D P = 12 thỏa mãn Câu (Chuyên Bắc Ninh - 2020) Cho A 15 B 13 I = ∫ f ( x ) dx = 26 Khi C 54 Lời giải J = ∫ x f ( x + 1) + 1 dx D 52 Chọn A + Ta có: 2 0 J = ∫ x f ( x + 1) + 1 dx = ∫ xdx + ∫ xf ( x + 1) dx + Xét A = ∫ xdx A = ∫ xdx = 2 x =2 B = ∫ xf ( x + 1) dx + Xét Đặt t = x + ⇒ dt = xdx Đổi cận: x t 2 B = ∫ xf ( x + 1) dx = Ta có: 5 1 f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = 26 = 13 ∫ 21 21 Vậy J = A + B = 15 Câu (Chuyên Lào Cai - 2020) Cho hàm số y = f ( x) liên tục ¡ thỏa mãn π ∫ f ( sin x ) cos xdx = A I = ∫ f ( x ) dx = x Tích phân I = ∫ f ( x) dx B I = C I = Lời giải D I = 10 Chọn C Đặt t = x ⇒ dt = Suy ∫ f x ( x ) dx = x ∫ dx Khi x = ⇒ t = 1; x = ⇒ t = 3 f (t )dt = ⇒ ∫ f (t )dt = π π π t = sin x; x ∈ − ; ⇒ dt = cos dx x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = 2 Đặt Khi Suy 3 0 ∫ f ( x)dx =∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = + = Câu (THPT Cẩm Giàng 2019) Cho biết A P = 15 B P = 37 ∫ f ( x ) dx = 15 −1 Tính giá trị C P = 27 Lời giải P = ∫ f ( − x ) + dx D P = 19 ⇒ dx = − dt Đặt t = − x ⇒ dt = −3dx Đổi cận: x = t = ; x = t = −1 2 −1 0 P = ∫ f ( − x ) + dx = ∫ f ( − x ) dx + ∫ 7dx = Ta có: = 15 + 14 = 19 ∫ dt f ( t) + x = ∫ f ( t ) dt + 14 −3 −1 Câu (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho ∫ f ( x ) dx = 2018 Tính tích phân I = ∫ f ( x ) + f ( − x ) dx B I = 2018 A I = Ta có 2 0 C I = 4036 Lời giải D I = 1009 I = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( − x ) dx = H + K Tính K = ∫ f ( x ) dx Đặt t = x ⇒ dt = 2dx ; đổi cận: x = ⇒ t = 2; x = ⇒ t = Nên K = ∫ f ( t ) dt = 1009 20 Tính H = ∫ f ( − x ) dx , Đặt t = − x ⇒ dt = −2dx ; đổi cận: x = ⇒ t = 4; x = ⇒ t = Nên Suy I = K + H = 2018 Câu y = f ( x) Cho hàm số chẵn, liên tục [ −6;6] Biết −∫1 H= f ( t ) dt = 1009 ∫0 f ( x ) dx = ; ∫ f ( −2 x ) dx = ∫ f ( x ) dx I= Giá trị A I = −1 B I = C I = 14 Lời giải D I = 11 Ta có y = f ( x) f ( −2 x ) = f ( x ) hàm số chẵn, suy Khi đó: ∫ Xét tích phân: Đặt I1 = ∫ f ( x ) dx t = x ⇒ dt = 2dx ⇔ 6 dt = dx Đổi cận: x = ⇒ t = ; x = ⇒ t = 6 1 I1 = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt = ⇒ ∫ f ( t ) dt = ⇒ ∫ f ( x ) dx =6 22 ⇒ 2 f ( −2 x ) dx = ∫ f ( x ) dx = f ( x ) dx = ∫ I= Vậy −1 ∫ −1 f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = + = 14 (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương -2019) Cho hàm số Câu π liên tục ¡ π ∫ f ( x ) dx = 2018 f ( x) , tính A I = 1008 I = ∫ xf ( x ) dx B I = 2019 C I = 2017 Lời giải D I = 1009 π Xét I = ∫ xf ( x ) dx t = x ⇒ dt = xdx ⇒ xdx = dt Đặt Đổi cận: x = ⇒ t = 0; x = π ⇒ t = π Khi I= π2 ∫ f ( t ) dt = π2 ∫ f ( x ) dx = 1009 Câu (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Cho A B x =t Đặt Suy Vậy ⇒ ∫ ∫ f x x ∫ ∫ ( x ) dx x D f ( t ) 2dt = ∫ f ( t ) dt = 2.2 = Câu 10 Khi C Lời giải ( x ) dx = x f dx = 2dt x Khi x = t = ; x = t = dx = dt ⇒ ( x ) dx = f ∫ f ( x ) dx = (Sở Hà Nội 2019) Cho A ∫ f ( x + 1) xdx = B Khi C I = ∫ f ( x ) dx D −1 Lời giải Đặt x + = t ⇒ 2xdx = dt ⇒ xdx = dt Đổi cận x = 1⇒ t = 2; x = ⇒ t = Suy ra: = ∫ f ( x + 1) dx = 5 f ( t ) dt ⇒ ∫ f ( t ) dt = ⇒ I = ∫ f ( x ) dx = ∫2 2 Câu 11 [ 1;3] thỏa mãn điều kiện Cho f , g hai hàm số liên tục ∫ 2 f ( x ) − g ( x ) dx=6 A Ta có: f ( − x ) dx ∫ Tính B +2 C Lời giải 3 1 3 1 ∫ 2 f ( x ) − g ( x ) dx=6 ⇔ 2∫ f ( x ) dx-∫ g ( x ) dx=6 Đặt 1 u = ∫ f ( x ) dx; v = ∫ g ( x ) dx đồng thời ∫ g ( x − 1) dx D ∫ f ( x ) + 3g ( x ) dx=10 ⇔ ∫ f ( x ) dx+3∫ g ( x ) dx=10 3 ∫ f ( x ) + 3g ( x ) dx=10 3 ∫ f ( x ) dx=4 1 ⇒ 3 u + 3v = 10 u = g x dx=2 ⇔ ∫ ( ) v = 1 Ta hệ phương trình: 2u − v = ∫ f ( − x ) dx + Tính Đặt t = − x ⇒ dt = −dx; x = ⇒ t = 3; x = ⇒ t = ∫ 1 3 1 f ( − x ) dx = ∫ f ( t ) ( −dt ) = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = ∫ g ( x − 1) dx + Tính Đặt z = x − ⇒ dz = 2dx; x = ⇒ z = 1; x = ⇒ z = 3 1 ∫1 g ( x − 1) dx = ∫1 g ( z ) dz = ∫1 g ( x ) dx = Vậy ∫ f ( − x ) dx ∫ g ( x − 1) dx = +2 Câu 12 Cho hàm số A I = 16 f ( x) liên tục ¡ thỏa B I = 18 ∫ f ( x ) dx = 2 ∫ C I = Lời giải f ( 3x + 1) dx = A = ∫ f ( x ) dx = B = ∫ f ( 3x + 1) dx = 0 , đặt t = 3x + ⇒ dt = 3dx x = ⇒ t =1 Đổi cận : x = ⇒ t = 7 7 B = ∫ f ( t ) dt = ⇒ ∫ f ( t ) dt = 18 ⇒ ∫ f ( x ) dx =18 31 1 Ta có: I = ∫ f ( x ) dx Tính D I = 20 Vậy 7 0 I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 20 (THPT Quỳnh Lưu Nghệ An 2019) Cho Câu 13 ∫ f ( x ) dx = f ( x) f ( x ) = f ( 10 − x ) liên tục ¡ thỏa mãn Tính A 80 I = ∫ xf ( x ) dx B 60 C 40 Lời giải D 20 Đặt t = 10 − x Khi dt = −dx Đổi cận: x = ⇒ t = x =7⇒t =3 7 3 I = − ∫ ( 10 − t ) f ( 10 − t ) dt = ∫ ( 10 − t ) f ( 10 − t ) dt = ∫ ( 10 − x ) f ( 10 − x ) dx Khi 7 7 3 3 = ∫ ( 10 − x ) f ( x ) dx = 10 ∫ f ( x ) dx − ∫ xf ( x ) dx = 10 ∫ f ( x ) dx − I Suy I = 10 ∫ f ( x ) dx = 10.4 = 40 Do I = 20 π (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Cho Câu 14 ∫ f ( x ) dx = Tính I = ∫ f ( sin x ) cos xdx A I = B I = C I = Lời giải D I = Đặt t = sin 3x ⇒ dt = 3cos x.dx x = ⇒ t = π x = ⇒ t =1 Đổi cận: π I = ∫ f ( sin x ) cos 3xdx = 1 f ( t ) dt = = ∫ 30 Câu 15 (Chuyên Quốc Học Huế -2019) Cho tích phân I = ∫ f ( x ) dx = 32 Tính tích phân J = ∫ f ( x ) dx A J = 32 Đặt B J = 64 t = x ⇒ dt = 2dx ⇒ C J = Lời giải dt = dx Đổi cận: x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = 4 1 J = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt = I = 16 20 0 D J = 16 Câu 16 (Việt Đức Hà Nội 2019) Biết f ( x) hàm liên tục ¡ ∫ f ( x ) dx = Khi giá trị ∫ f ( x − ) dx A C 27 Lời giải B 24 D I = ∫ f ( x − ) dx Xét Đặt t = 3x − ⇒ dt = 3dx 9 x = ⇒ t = 1 I = f t d t = f ( x ) dx = = ( ) ∫ ∫ 30 Đổi cận: x = ⇒ t = Vậy Câu 17 (Đề Thi Công Bằng KHTN 2019) Cho hàm số f ( x) thỏa mãn ∫ f (2 x)dx = 2 ∫ f ( x)dx A B Đặt t = x ⇒ dt = 2dx ⇒ x=0⇒t =0 x =1⇒ t = Ta có 0 = ∫ f (2 x)dx = ∫ Theo tính chất tích phân C Lời giải D dt 2, dx = 2 f (t )dt = ∫ f (t ) dt ⇒ ∫ f (t ) dt = 20 2 0 ∫ f (x)dx = ∫ f (t)dt = ∫ f ( x)dx = Vậy 2017 Câu 18 Cho hàm A I= f ( x) thỏa mãn 2017 ∫ f ( x ) dx = B I = I = ∫ f ( 2017 x ) dx Tính tích phân C I = 2017 Lời giải D I = dt 2017 Đặt t = 2017 x ⇒ dt = 2017dx Đổi cận: x = ⇒ t = ; x = ⇒ t = 2017 ⇒ dx = 2017 I= Vậy ∫ 1 f ( t) dt = 2017 2017 2017 ∫ f ( t ) dt = 2017 Câu 19 Cho tích phân ∫ f ( x ) dx = a Hãy tính tích phân ( ) I = ∫ xf x + dx theo a Tích phân A I = 4a I= B a I= C Lời giải a D I = 2a Đặt t = x + ⇒ dt = xdx Đổi cận 2 dt 1 a I = ∫ xf x + dx = ∫ f ( t ) = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = 21 21 Câu 20 ( ) (Thpt Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Cho hàm số π ∫ tan x f ( cos x ) dx = 2 A f ( ln x ) e2 ∫ x ln x e ∫ dx = Tính B π * f ( 2x) x Đặt cos x = t ⇒ sin xdx = −dt Đổi cận 2 I1 = − ∫ 21 Khi e * I2 = ∫ e ⇒∫ f ( t) dt t f ( ln x ) t f ( t) t Đặt ln x = t Đổi cận ⇒ t f ( t) f ( t) d t ⇒ ∫1 t dt = ∫1 t Khi I =∫ * Tính Đổi cận ln x dx = dt x x I2 = π dt = e f ( ln x ) ln x dx = ∫ dx x ln x e ln x x f ( 2x) dx x e e2 4 ⇒ dx = dt Đặt 2x = t x t liên tục ¡ thỏa mãn dx D π x f ( x) C Lời giải f ( cos x ) I1 = ∫ tan x f ( cos x ) dx = ∫ sin2xdx cos x 4 I =∫ f ( t) t Khi dt = ∫ f ( t) t dt + ∫ f ( t) t dt = + = x + x2 ; x ≥ y = f ( x) = 5 − x ; x < Tính (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hàm số Câu 21 π 0 I = ∫ f ( sin x ) cos xdx + 3∫ f ( − x ) dx A I= 71 B I = 31 C I = 32 Lời giải D I= 32 π Xét tích phân Đổi cận x t I1 = ∫ f ( sin x ) cos xdx π 1 Ta có I1 = ∫ Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx x2 f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = ∫ ( − x ) dx = x − ÷ = 0 0 1 Xét tích phân Đổi cận x t Ta có I2 = ∫ Vậy I = ∫ f ( − x ) dx Đặt t = − x ⇒ dt = − dx ⇒ d x = −dt 1 3 3 1 1 x3 1 10 22 f ( − x ) dx = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = ∫ ( x + 3) dx = + 3x ÷ = 18 − ÷ = 21 21 21 2 3 1 π 0 I = ∫ f ( sin x ) cos xdx + 3∫ f ( − x ) dx = + 22 = 31 (THPT Câu 22 π ∫ sin xf A ( Yên Khánh 3cos x + 3cos x + - Ninh Bình- 2019) Cho I = ∫ f ( x ) dx = Giá trị ) dx B − 4 C Lời giải D −2 π x = ⇒ u = 2 u = 3cos x + ⇒ u = 3cos x + ⇒ − udu = sin xdx Đặt Đổi cận x = ⇒ u = π Do ∫ sin xf ( 3cos x + 3cos x + ) dx = 2 −2uf ( u ) 2 d u = f u d u = f ( x ) dx = ( ) ∫2 3u ∫ ∫ 31 31 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Biết Câu 23 ∫ f ( x − 3) dx − A ∫ f ( x ) dx = 20 Tính ln ∫ f (e )e 2x 2x dx I= ∫ f ( x ) dx = 15 I= B I = 15 C Lời giải D I = 25 Chọn A Đặt t = x − ⇒ dt = 4dx ∫ f ( x − 3) dx = 5 1 1 25 f t dt = f t dt + f ( t ) dt ÷ = ( + 20 ) = ( ) ∫ ( ) ∫ ∫ 41 41 4 2x 2x Đặt u = e ⇒ du = 2e dx ln 2x 2x ∫0 f ( e ) e dx = ∫1 f ( u ) du = Vậy Câu 24 I= 25 15 − = 4 (Chuyên Thái Bình 2019) Cho f ( x ) hàm số liên tục ¡ thỏa mãn I = ∫ f ( x )dx f ( x ) + f (2 − x ) = x.e x , ∀x ∈ ¡ Tính tích phân 2e − e −1 I= I= A B C I = e − D I = e − Lời giải Đặt x = − t ⇒ dx = − dt 2 0 ⇒ I = ∫ f ( − t ) ( − dt ) = ∫ f ( − t ) ( dt ) = ∫ f ( − x ) dx 2 2 1 ⇒ I = ∫ f ( x ) + f ( − x ) dx = ∫ xe dx = ∫ e x d ( x ) = e x 20 0 Vậy Câu 25 I= x2 e4 − = e4 − (Chuyên Vĩnh Phúc Năm 2019) Cho hàm số ∀x ∈ ¡ Biết A I = ∫ f ( x ) dx = f ( x) f ( 2x) = f ( x) liên tục ¡ thỏa mãn , I = ∫ f ( x ) dx Tính tích phân B I = C I = Lời giải D I = u = x ⇒ du = dx dv = sin xdx Choïn v = − cos x I = − x cos x I= π π − π ∫π cos xdx = − π + − − π π + sin x 4π = − π + − 4 π − =π − − =π 16 Suy Vậy a + b + c = 11 Câu (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho f ( x) a Giá trị tích phân a ∫ A f ( x ) dx Ta có ∫ 1+ e dx = kx −a f ( x) ∫ 1+ e kx −a f ( x) ∫ 1+ e Xét tích phân Đặt t = − x ⇔ x = −t kx [ −a; a ] k > B hàm số chẵn đoạn dx kx −a a f ( x) a ∫ 1+ e f ( x) f ( x ) dx ∫ −a a dx + ∫ a ∫ f ( x ) dx f ( x) + e kx C − a Lời giải a D ∫ f ( x ) dx dx dx −a ⇒ dt = −dx ⇔ −dt = dx Đổi cận: x = −a ⇒ t = a x =0⇒t =0 Khi đó, 0 a f ( x) f ( −t ) f ( t) d x = − d t = ( ) ∫− a + ekx ∫a + ek ( −t ) ∫0 + e − kt dt a =∫ e kt f ( t ) + e kt a dx = ∫ e kx f ( x ) + e kx dx a kx a a a e kx + 1) f ( x ) f ( x) e f ( x) f ( x) ( ∫ + ekx dx = ∫0 + ekx dx + ∫0 + ekx dx = ∫0 + ekx dx = ∫0 f ( x ) dx −a a Do đó, (Việt Đức Hà Nội 2019) Cho Câu f ( x) , f ( −x) liên tục ¡ thỏa mãn π I = ∫ f ( x ) dx = f ( x) + f ( −x) = m Khi giá trị m x + Biết −2 A m = B m = 20 C m = D m = 10 Lời giải f x + f − x = ( ) ( ) f ( x) , f ( −x ) x + nên ta có: Hàm số liên tục ¡ thỏa mãn 2 ∫ ( f ( x ) + f ( − x ) ) dx = ∫ x −2 −2 dx + ( 1) Đặt 2 −2 −2 −2 ∫ ( f ( x ) + f ( − x ) ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( − x ) dx K= − x = t ⇒ dx = − dt ; f ( − x ) = f ( t ) Đặt Do , x = −2 ⇒ t = 2; x = ⇒ t = −2 −2 2 −2 −2 −2 ∫ f ( − x ) dx = ∫ f ( t ) ( −dt ) = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx 2 2 −2 −2 −2 −2 −2 ⇒ K = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( − x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx J= Đặt ∫x dx π π α ∈ − ; ÷ + ; x = tan α , 2 , −2 Ta có: dx = d ( tan α ) = Với π ∫π − Do 2dα = ( + tan α ) dα cos α π π x = 2⇒α = ; Với x = −2 ⇒ α = − J= ( 2) ( + tan α ) tan α + dα = π ∫π − dα = α 2 π = π − π ( 3) π π K = J ⇒ ∫ f ( x ) dx = ⇒ ∫ f ( x ) dx = ( 1) , ( ) ( 3) , ta có 20 −2 −2 Từ π π π I = ∫ f ( x ) dx = = ⇒ m = 20 m nên m 20 −2 Mà theo giả thiết, 2 ∫x dx + công thức: Chú ý: Có thể tính nhanh −2 dx x = arctan + C ∫ Từ đó: x + ∫x dx x = arctan + C +a a a dx x 1 π π π ⇒∫ = arctan = ( arctan1 − arctan ( −1) ) = − − ÷ = x +4 2 −2 2 −2 Câu (THPT Hàm Rồng Thanh Hóa -2019) Cho hàm số f ( x) + f ( −x) = A I= π 20 f ( x) f ( −x) , liên tục ¡ thõa mãn I = ∫ f ( x ) dx + x Tính −2 π −π I= I= 10 20 B C Lời giải D I= −π 10 f ( − x ) dx Tính ∫−2 Đặt t = − x ⇒ dt = −dx Đổi cận x −2 t −2 −2 ⇒ ∫ f ( − x ) dx = − ∫ 2 −2 −2 f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx −2 1 = dx ⇒ ∫ ( f ( x ) + f ( − x ) ) dx ∫ − + x2 4+ x −2 2 dx ⇔ ∫ f ( x ) dx = ∫−2 + x2 −2 1 π π π x 2 = arctan ÷ = + ÷ = d x ⇔ ∫ f ( x ) dx = ∫−2 −2 10 4 20 + x2 −2 f ( x) + f ( −x) = (Hà Nội - 2018) Cho hàm số Câu ∫ f ( − x ) dx = −2 ∫ f ( −2 x ) dx = A I = −10 y = f ( x) hàm lẻ liên tục [ −4; 4] biết Tính B I = −6 I = ∫ f ( x ) dx C I = Lời giải D I = 10 ∫ f ( − x ) dx = Xét tích phân −2 Đặt − x = t ⇒ dx = −dt Đổi cận: x = −2 t = ; x = t = 2 0 ⇒ ∫ f ( t ) dt = ⇒ ∫ f ( x ) dx = Do hàm số Do y = f ( x) ∫ −2 2 f ( − x ) dx = − ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt hàm số lẻ nên 2 1 f ( −2 x ) = − f ( x ) ∫ f ( −2 x ) dx = −∫ f ( x ) dx ⇒ ∫ f ( x ) dx = −4 Xét ∫ f ( x ) dx Đặt 2x = t ⇒ dx = dt Đổi cận: x = t = ; x = t = 4 2 ⇒ ∫ f ( t ) dt = −8 ⇒ ∫ f ( x ) dx = −8 Do Câu 4 0 ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt = −4 22 I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = − = −6 (Hồng Quang - Hải Dương - 2018) Cho hàm số ln f ( x) liên tục đoạn [ − ln 2;ln 2] f ( x ) dx = a ln + b ln f ( x ) + f ( −x ) = x ∫ ( a; b Ô ) Tớnh P = a + b e + Biết − ln mãn P= A B P = −2 C P = −1 D P = Lời giải ln I= Gọi ∫ f ( x ) dx − ln thỏa Đặt t = − x ⇒ dt = −dx Đổi cận: Với x = − ln ⇒ t = ln ; Với x = ln ⇒ t = − ln I =− − ln f ( −t ) dt = ∫ Ta ∫ f ( − t ) dt = − ln ln ln Khi ta có: 2I ln ∫ = f ( x ) dx + − ln ln ∫ f ( − x ) dx − ln ln ln f ( − x ) dx == ∫ − ln ∫ − ln f ( x ) + f ( − x ) dx = ln dx e + − ln ∫ x ln dx x x Xét − ln e + Đặt u = e ⇒ du = e dx u= ; x = ln ⇒ u = Đổi cận: Với x = − ln ⇒ ∫ x ln ln ex 1 = d x = du d x ∫ x x ∫ x ∫ e e + u u + ( ) e + − ln − ln Ta − ln ln ( ) ln 2 1 − ÷du = ( ln u − ln u + ) u u +1 = ln − ln 1 a= b =0⇒ a+b= 2, Vậy ta có ∫ = y = f ( x) (Chuyên ĐH Vinh - 2018) Cho Câu ∫ Giá trị B A f ( x) dx x +1 C f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx = 21 hàm số chẵn liên tục ¡ Biết ∫3 −2 D Lời giải ∫ Do f ( x ) dx = 1 f ( x ) dx = ⇒ ∫ f ( x ) dx =1 ∫1 2 ∫ f ( x ) dx = 2 ⇒ ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx = f ( x) f ( x) f ( x) d x + d x = ∫ 3x + ∫0 3x + dx ∫ 3x + −2 −2 0 Mặt khác ⇒ f ( − x ) = f ( x ) ∀x ∈ ¡ I= y = f ( x) hàm số chẵn, liên tục ¡ f ( x) dx x + Đặt t = − x ⇒ dx = −dt f ( x) f ( −t ) ⇒I =∫ x dx = − ∫ − t dt = + + −2 0 f ( x) ⇒∫ x dx = +1 −2 2 ∫ f ( x ) dx = ∫3 −2 Xét ∫ f ( −t ) dt = 3t f ( t ) ∫0 3t + dt = +1 3t ∫ 3x f ( x ) 3x + 3x f ( x ) f ( x) d x + d x + d x = x ∫0 3x + dx = ∫−2 3x + ∫0 3x + ∫0 + f ( x) f ( x) 2 ∫ dx (3 x + 1) f ( x ) 3x + dx = Câu (SGD&ĐT BRVT - 2018) Hàm số I= f ( x) ∫2 x −2 +1 f ( x) hàm số chẵn liên tục ¡ Tính dx A I = 10 I= 10 C I = 20 Lời giải Đặt t = − x ⇒ dt = −dx Đổi cận: x = −2 ⇒ t = , x = ⇒ t = −2 2 f ( t) 2t 2x I = ∫ −t dt = ∫ t f ( t ) dt = ∫ x f ( x ) dx −2 + −2 + −2 + ∫ f ( x ) dx = 10 B f ( x) 2 D I = 2x ⇒ 2I = ∫ x dx + ∫ x f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + 10 +1 +1 −2 −2 −2 −2 −2 Mặt khác f ( x) hàm số chẵn nên f ( −x) = f ( x) J= Xét ∫ f ( x ) dx −2 , đặt t = − x ⇒ dt = −dx 2 0 ⇒ J = ∫ f ( −t ) dt = ∫ f ( − x ) dx = ∫ f ( x ) dx = 10 Câu 10 (Yên Phong - 2018) Cho hàm số ∫ f ( x ) dx = −1 f ( x) ∫ + 2018 Kết B x y = f ( x) f ( x) Xét tích phân ∫ + 2018 x dx −1 hàm số chẵn, liên tục đoạn [ −1;1] dx −1 A ⇒ I = 20 ⇒ I = 10 - C Lời giải D Đặt x = −t ; dx = −dt ; x = −1 ⇒ t = ; x = ⇒ t = −1 f ( t) 2018t f ( t ) dt = f ( x) f ( −t ) ∫−1 ∫−1 + 2018t dt dx − dt 1+ −t ∫ + 2018x ∫ 2018t −1 = 1 + 2018 = = x 1 f ( x) 2018 f ( x ) ∫−1 + 2018x dx −∫1 + 2018x dx −∫1 f ( x ) dx Vậy + = = −1 1 Do Câu 11 f ( x) ∫ + 2018 −1 x dx 2018x f ( x ) ∫−1 + 2018x dx 1 = = (Toán Học Và Tuổi Trẻ 2018) Cho f ( x) hàm liên tục đoạn [ 0; a ] thỏa mãn a f ( x ) f ( a − x ) = dx ba b = , ∫ c f ( x ) > 0, ∀x ∈ [ 0; a ] + f ( x ) b , c hai số nguyên dương c phân số tối giản Khi b + c có giá trị thuộc khoảng đây? A ( 11; 22 ) B ( 0;9 ) Cách Đặt t = a − x ⇒ dt = −dx Đổi cận x = ⇒ t = a; x = a ⇒ t = ( 7; 21) C Lời giải D ( 2017; 2020 ) a a a f ( x ) dx dx −dt dx dx =∫ =∫ =∫ =∫ 1+ f ( x) a 1+ f ( a − t ) 1+ f ( a − x) 1+ 1+ f ( x) 0 f ( x) a I =∫ Lúc a f ( x ) dx a dx +∫ = ∫ 1dx = a + f x + f x ( ) ( ) 0 a Suy Do 2I = I + I = ∫ a ⇒ b = 1; c = ⇒ b + c = I= Câu 12 x 2020 2a d x = ∫ x b Tính tổng S = a + b (Chuyên Sơn La - 2020) Tích phân −2 e + A S = B S = 2021 C S = 2020 D S = 4042 Lời giải Chọn D x 2020 ∫−2 e x + dx I= Xét Đặt x = −t ⇒ dx = −dt Đổi cận x = −2 ⇒ t = 2; x = ⇒ t = −2 I= −2 ∫ ( −t ) 2020 2 t 2020 t 2020 et x 2020 e x ( −dt ) = ∫ dt = ∫ t dt = ∫ x dx e −t + e +1 e +1 −2 −2 −2 + et Ta 2 22021 − ( −2 ) x 2020 x 2020 e x x 2021 2020 I = I + I = ∫ x dx + ∫ x dx = ∫ x dx = = e +1 e +1 2021 −2 2021 −2 −2 −2 2 Suy Do Câu 13 2021 22022 = 2021 2021 Suy a = b = 2021 Vậy S = a + b = 4042 I= f ( x) (Đại Học Hà Tĩnh - 2020) Cho hàm số f ( x) + f ( −x) = x e + Biết A P = −2 B liên tục đoạn [ − ln 2; ln 2] thỏa mãn ln ∫ f ( x ) dx = a ln + b ln 3, ( a, b Ô ) ln P= Tính P = a + b C P = −1 Lời giải D P = Chọn B ln Từ giả thiết suy ln Ta có ∫ − ln ∫ − ln f ( x ) + f ( − x ) dx = f ( x ) + f ( − x ) dx = ln ln ln ∫ − ln ln dx e + − ln f ( x ) dx − ∫ x ln ∫ f ( −x) d ( −x) = − ln ln ∫ f ( x ) dx − ln ln 1 1 dx = ∫ x d ( ex ) = ∫ x − x d ( ex ) x e +1 e e + 1 − ln − ln ( e + 1) e − ln ∫ x Mặt khác ln ln 1 ln x = ∫ x d( e ) − ∫ x d ( e x + 1) = x − ln − ln ( e x + 1) − ln e − ln e + ln − ln ln Suy 2021 ∫ f ( x ) dx = ln ⇒ a = 12 , b = ⇒ a + b = 12 − ln = ln + ln − ln + ln = ln 2 Câu 14 (Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa 2019) Cho tích phân A 2019 f ( x) ∫ + 2019 x f ( x) hàm số chẵn ∫ f ( x ) dx = Giá trị dx −1 B D C Lời giải Chọn B f ( x) I= ∫ + 2019 x dx −1 Đặt t = − x → −dt = dx Cận 1 f ( −t ) f ( t) 2019t f ( t ) dt = dt = dt t −t t ∫ ∫ + 2019 + 2019 + 2019 −1 −1 2019t 1 f ( t ) ( + 2019t ) 2019t f ( t ) f ( t) ⇒ 2I = ∫ dt + ∫ dt = ∫ dt + 2019t + 2019 t + 2019t −1 −1 −1 −1 I = −∫ ⇒ 2I = ∫ −1 f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt = 2.2 ⇒ I = Dạng 2.2 Tích phân hàm chứa dấu trị tuyệt đối b Tính tích phân: f ( x) Bước Xét dấu I = ∫ f ( x ) dx a đoạn ? [ a; b] Giả sử đoạn [ a; b] phương trình f ( x) = có nghiệm xo ∈ [ a; b ] có bảng xét dấu sau: xo a b + − f ( x) x Bước Dựa vào công thức phân đoạn dấu b xo b a a xo [ a; xo ] , [ xo ; b] I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ − f ( x ) dx = A + B ta được: Sử dụng phương pháp tính tích phân học tính A, B ⇒ I a Câu 15 Cho a số thực dương, tính tích phân a2 + I= A Chọn A a2 + I= B I= ∫ x dx −1 theo a −2a + I= C Lời giải D I= 3a − Vì a > nên a −1 I = − ∫ x dx + ∫ x dx = a2 + a2 + = 2 m Câu 16 ∫1 2mx − dx = m > (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho số thực thỏa mãn Khẳng định sau đúng? m ∈ ( 4;6 ) m ∈ ( 2; ) m ∈ ( 3;5 ) m ∈ ( 1;3) A B C D Lời giải m > ⇒ 2m > ⇒ 1, x ∈ [ 1; m ] ⇒ 2mx − > 2m Do Do với m ∫ Vậy m 2mx − dx = ∫ ( 2mx − 1) dx = ( mx − x ) m = m − m − m + = m − 2m + 1 m = m − 2m + = ⇔ m = ± Do m > m = Từ theo ta có Câu 17 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Khẳng định sau đúng? ∫ A −1 C ∫ −2 x dx = ∫ −1 x dx 2018 B ∫ −1 x − x + dx = ∫ 2018 −1 π π − ∫ e x ( x + 1) dx = ∫ e x ( x + 1) dx −2 (x D Lời giải − x + 1) dx π − cos xdx = ∫ 2π sin xdx − Chọn B 1 1 x − x + = x − x + + = x − ÷ + > 0, ∀x ∈ R 2 4 Ta có: Do đó: ∫ 2018 −1 x − x + dx = ∫ 2018 −1 (x − x + 1) dx Câu 18 ∫ x−2 dx = a + b ln + c ln x +1 với a, b, c số (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho tích phân nguyên Tính P = abc A P = −36 B P = C P = −18 Lời giải Chọn A Ta có ∫ D P = 18 x−2 x−2 x−2 dx = − ∫ dx + ∫ dx x +1 x +1 x +1 2 = − ∫ 1 − ÷dx + ∫ − ÷dx x +1 x +1 1 2 = − ( x − 3ln x + ) + ( x − 3ln x + ) = − ( − 3ln 3) + − 3ln + − 3ln − + 3ln = − ln + 3ln Vậy a = 2, b = −6, c = ⇒ P = abc = −36 Câu 19 ∫x 2 − m dx = (Chuyên Hạ Long 2019) Có số tự nhiên m để A Vô số B C Duy ∫( x − 2m ) dx D Lời giải ∫x 2 − 2m dx = ∫( x − 2m ) dx ( *) x = −m x − 2m = ⇔ x = m Ta có: ( *) ln TH1 Nếu m = x − 2m > ( 1) ⇔ ( *) x − 2m < ( ) với x ∈ [ 0;2] TH2 Nếu m ≠ thi +) m > −m < m ≤ ⇔ ( 1) 2 ≤ −m < m (vô nghiệm) m ≥ −m ≤ ⇔ ⇔ ⇔m≥ m ≥ ( ) m ≥ +) m < m < −m ≤ ⇔ ( 1) 2 ≤ m < −m (vô nghiệm) m ≤ m ≤ ⇔ ⇔ ⇔m≤− ( ) −m ≥ m ≤ − Suy ( ) m ∈ −∞ ; − ∪ ; + ∞ ∪ { 0} giá trị cần tìm I= Câu 20 ∫2 x − − x dx −1 (Chu Văn An -Thái Nguyên - 2018) Tính tích phân A ln B ln C 2ln D ln Lời giải I= ∫2 x − − x dx −1 ⇒I = ∫ x −x ta có − = ⇒ x = x − 2− x dx = −1 ∫ −1 x − 2− x dx + ∫ x − 2− x dx = x + 2− x x + 2− x = + ÷ ÷ = ln −1 ln ln x −x ∫ ( − ) dx + −1 ∫( x − − x ) dx Câu 21 f ( x) (KTNL Gia Bình 2019) Cho hàm số liên tục ¡ có ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx = ; 0 I= Tính ∫ f ( x − ) dx −1 A I = I= B I = C Lời giải D I = Chọn D I= ∫ f ( x − ) dx = ∫ f ( − x ) dx + ∫ f ( x − 1) dx = I −1 + I2 −1 3 1 I1 = ∫ f ( − x ) dx = − ∫ f ( − x ) d ( − x ) = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = 20 20 −1 −1 Xét 1 1 I = ∫ f ( x − 1) dx = ∫ f ( x − 1) d ( x − 1) 1 = f t d t = ( ) 1 ∫ ∫ f ( x ) dx = Xét 20 20 I = I1 + I = Vậy Câu 22 (Chuyên KHTN 2019) Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ có ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x − 1)dx Tính −1 A 11 B ∫ Ta có f ( x − 1) dx = −1 ∫ −1 C Lời giải f ( x − 1) dx + ∫ f ( x − 1)dx = ∫ f (1 − x)dx + ∫ f (4 x − 1)dx −1 I= = I + J ∫ f (1 − x)dx −1 +) Xét Đặt t = − x ⇒ dt = −4dx; Với x = −1 ⇒ t = 5; x = ⇒ t = 5 1 I = ∫ f (1 − x)dx = ∫ f (t )( − dt ) = ∫ f (t )dt = ∫ f ( x)dx =1 40 40 −1 D ∫ f ( x)dx = J = ∫ f (4 x − 1)dx +) Xét Đặt t = x − ⇒ dt = 4dx; Với x = ⇒ t = 3; x = 1 ⇒ t = 3 1 J = ∫ f (4 x − 1)dx = ∫ f (t )( dt ) = ∫ f (t )dt = ∫ f ( x)dx = 40 40 Vậy ∫ f ( x − 1)dx = −1 f ( x) Cho hàm số Câu 23 liên tục ¡ ∫ f ( x ) dx = thỏa ∫ f ( x ) dx = 14 ∫ f ( x + ) dx −2 A 30 B 32 C 34 Lời giải D 36 ∫ f ( x ) dx = + Xét Đặt u = x ⇒ du = 2dx ; x = ⇒ u = ; x = ⇒ u = Nên 2 f ( x ) dx = ∫ f ( u ) du ⇒ ∫ f ( u ) du = 20 2=∫ ∫ f ( x ) dx = 14 + Xét Đặt v = x ⇒ dv = 6dx ; x = ⇒ v = ; x = ⇒ v = 12 Nên 14 = ∫ f ( x ) dx = + Xét 12 12 f ( v ) dv ⇒ ∫ f ( v ) dv = 84 ∫0 2 −2 −2 ∫ f ( x + ) dx = ∫ f ( x + ) dx + ∫ f ( x + ) dx I1 = ∫ f ( x + ) dx Tính t =5 x +2 Đặt Khi −2 < x < , t = −5 x + ⇒ dt = −5dx ; x = −2 ⇒ t = 12 ; x = ⇒ t = −2 12 2 1 −1 = f t d t − f t d t I1 = f t d t ( ) ( ) ( ) = ( 84 − ) = 16 ∫ ∫ 50 12∫ I = ∫ f ( x + ) dx Tính t =5 x +2 Đặt Khi < x < , t = x + ⇒ dt = 5dx ; x = ⇒ t = 12 ; x = ⇒ t = Tính 12 12 1 = f t d t − f t d t ( ) I = ∫ f ( t ) dt ∫ ( ) = ( 84 − ) = 16 ∫0 50 52 Vậy ∫ f ( x + ) dx = 32 −2 Câu 24 (Phong - 2018) Cho hàm số f ( x) liên tục ( 0;3) ∫ f ( x ) dx = 2; ∫ f ( x ) dx = tích phân A ∫ f ( x − ) dx = ? −1 B D C Lời giải ∫ −1 Ta có f ( x − ) dx = I= Tính ∫ −1 f ( − x ) dx + ∫ f ( x − 1) dx = I + J 2 ∫ f ( − x ) dx −1 Đặt t = − x ⇒ dt = −2dx Đổi cận x = −1 ⇒ t = 3; x = ⇒t =0 1 1 ⇒ I = − ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = = 23 20 20 J = ∫ f ( x − 1) dx Tính Đặt t = x − ⇒ dt = 2dx Đổi cận ⇒J= x= ⇒ t = 0; x = ⇒ t = 1 f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = = ∫ 20 Vậy ∫ f ( x − ) dx = I + J = + = −1 Câu 25 Cho hàm số f ( x) liên tục ¡ có 11 A B ∫ f ( x )dx = C Lời giải Chọn C ∫ Ta có: f ( x − 1)dx = −1 A= Tính: ∫ −1 ∫ f (−4 x + 1)dx −1 f (−4 x + 1)dx + ∫ f (4 x − 1)dx t = −4 x + ⇒ − dt = dx Đặt ∫ f ( x) dx = Tính ∫ f ( x − 1)dx −1 D Giá trị ⇒ A=− 1 f (t )dt = ∫ f (t )dt = ∫ 45 40 B = ∫ f (4 x − 1) dx Tính: t = x − ⇒ dt = dx Đặt ⇒B= f (t )dt = ∫0 Vậy Câu 26 ∫ f ( x − 1)dx = A + B = −1 Cho hàm số y = f ( x) xác định R thỏa mãn 2x x + x + với số f ′( x) + f ′( −x) = f ( ) = m f ( −3) = n T = f ( −2 ) − f ( 3) thực x Giả sử , Tính giá trị biểu thức A T = m + n B T = n − m C T = m − n Lời giải D T = −m − n Chọn B Với số thực x , thay x − x vào biểu thức f ′( −x) + f ′( x) = −x ( −x) + ( −x) +1 hay f ′( x) + f ′( −x) = f ′ ( x ) + f ′ ( −x ) = 2x x + x + (1), ta 2x x + x + (2) x f ′( x) = x + x + với Nhân hai vế (2) với sau trừ theo vế cho (1), rút gọn suy số thực x I= ∫ f ′ ( x ) dx = 2 ∫ x x dx + x2 + Đặt u = − x , ta du = −dx Đổi cận: Khi x = −3 ⇒ u = x = ⇒ u = −2 Ta Xét I= −3 −2 ∫ 3 3 −u u x 2 − d u = d u = d x = ( ) ∫−2 u + u + −∫2 x + x + −∫2 f ′ ( x ) dx ( −u ) + ( − u ) + I= Mà −3 ∫ f ′ ( x ) dx = f ( ) − f ( −3) −3 Từ (3) (4), ta I= (3) ∫ f ′ ( x ) dx = f ( 3) − f ( −2 ) −2 f ( ) − f ( −3) = f ( 3) − f ( −2 ) f ( −2 ) − f ( 3) = f ( −3) − f ( ) = n − m (4) suy Dạng 2.3 Tích phân nhiều hàm Câu 27 2 x f ( x) = a x − x Cho số thực a hàm số a 2a − + A B ( Chọn A ) x ≤ x > f ( x ) dx Tính tích phân ∫ bằng: a + C Lời giải −1 2a − D 1 −1 −1 −1 f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ Ta thấy, ∫ Câu 28 ( ) x x3 1 a + a − ÷ = −1 + a ÷ = − −1 6 0 ( ) = x xdx + ∫ a x − x dx e x + m x ≥ f ( x) = 2 x + x x < (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho hàm số R liên tục ∫ f ( x ) dx=ae + b 3+c , −1 ( a, b, c ∈ Q ) Tổng a + b + 3c C −19 Lời giải B −10 A 15 D −17 ) ( lim f ( x ) = lim+ ( e x + m ) = m + lim− f ( x ) = lim− x + x = f ( 0) = m + x→0 x →0 Ta có , x→0 Vì hàm số cho liên tục R nên liên tục x = x → 0+ Suy lim f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( ) x → 0+ Khi hay m + = ⇔ m = −1 x →0 −1 = ( + x2 ) + x2 x + ( ex − x) = e + − c=− −1 −1 + x dx + ∫ ( e − 1) dx = ∫ + x d ( + x ) + ∫ ( e x − 1) dx ∫ f ( x ) dx= ∫ x −1 22 22 Suy a = , b = , Vậy tổng a + b + 3c = −19 ò max { e , e }dx x Câu 29 (THPT Yên Phong Bắc Ninh 2019) Tính tích phân ( A e − Ta có: ) e− e B I = ò max { e , e x 1- x }dx = ị e 1- x Do 1 1 =- e + e + e - e = e 2 ( 0 1 1 e − ÷ D e C e − e Lời giải 3 Suy ra: e x ³ e1- x Û x ³ 1- x Û x ³ 1- x ìï 1- x ïï e £ x £ max { e x , e1- x } = ïí ïï x £ x £ ïï e ïỵ 1 dx + ò e dx =- e1- x x +ex 1 3 e ) π Câu 30 ìï x + x ³ ï I = 2ò f ( sin x) cos xdx + 3ò f ( - x )dx y = f ( x) = í ïïỵ - x x