Thông tin tài liệu
Mục lục I PHẦN MỞ ĐẦU 1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 2.1 Đối tượng nghiên cứu 2.2 Phạm vi nghiên cứu MỤC TIÊU VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 3.1 Mục tiêu nghiên cứu: 3.2 Nhiệm vụ nghiên cứu GIẢ THUYẾT KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI .2 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU THỜI GIAN NGHIÊN CỨU DỰ BÁO NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI .3 II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CƠ SỞ KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI 1.1 Cơ sở lý thuyết đề tài CÁC SÁNG KIẾN VÀ GIẢI PHÁP Đà SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2.1 Cung cấp quy tắc phân hoạch 2.2 Phép thử Bernoulli 17 III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 24 KẾT LUẬN CHUNG .24 KIẾN NGHỊ 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO 25 I PHẦN MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Đất nước ta đường đổi cần có người phát triển toàn diện, động sáng tạo Muốn phải nghiệp giáo dục đào tạo, đòi hỏi nghiệp giáo dục đào tạo phải đổi để đáp ứng nhu cầu xã hội Đổi nghiệp giáo dục đào tạo phụ thuộc vào nhiều yếu tố, yếu tố quan trọng đổi phương pháp dạy học, bao gồm phương pháp dạy học mơn Tốn Mục tiêu Giáo dục phổ thơng rõ “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh.” Từ năm học 2016-2017, kỳ thi trung học phổ thông quốc gia, đề thi mơn Tốn thay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan Chính điều tạo chuyển biến lớn dạy học nhà trường Để đạt điểm số cao kỳ thi này, học sinh không cần nắm vững kiến thức bản, làm thục dạng tốn quan trọng mà cần có khả logic cao để tiếp cận vấn đề cách nhanh nhất, chọn cách giải nhanh đến đáp án Đây thực thách thức lớn Trong năm gần đây, thân nhận thấy nhu cầu học tập tìm hiểu học sinh xác suất thống kê nói chung tổ hợp xác suất học sinh trung học phổ thông nói riêng Xuất phát từ nhu cầu người giáo viên tơi muốn tìm hiểu cung cấp thêm cho học sinh THPT mới, khác để tăng thêm cơng cụ giải tốn Với mong muốn tơi bắt đầu tìm tịi học hỏi Mặt khác, với chương trình mang tính chất mở cho phép nhà trường thêm nội dung, chương trình cần đảm bảo tính cốt lõi nội dung, đảm bảo kiến thức yêu cầu Từ đó, mục đích bổ sung thêm cho học sinh lớp 11 nói riêng học sinh THPT nói chung, mạnh dạn chọn đề tài “Bổ sung quy tắc phân hoạch thử Bernoulli vào giải số toán xác suất THPT” ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 2.1 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài chủ yếu tập trung vào kiến thức tổ hợp xác suất Đặc biệt số quy tắc qua giải số toán Và học sinh lớp 11C3, 11C4, 11C5,11A1 2.2 Phạm vi nghiên cứu Để thực đề tài này, nghiên cứu dựa tài liệu tổ hợp xác suất đặc biệt quy tắc phân hoạch phép thử Bernoulli Các dạng toán liên quan đến quy tắc thuộc vào nội dung kiến thức trung học phổ thơng nói chung kiến thức “Chương II: Tổ hợp- Xác suất”, Đại số Giải tích 11 nói riêng MỤC TIÊU VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 3.1 Mục tiêu nghiên cứu: Mục tiêu nghiên cứu đề tài giúp học sinh lớp 11 nói riêng học sinh trung học phổ thơng nói chung tiếp cận thêm số phương pháp khác để giải số toán đặc biệt giúp cho việc giải số toán tổ hợp xác suất hay khó cách dễ dàng xác 3.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu khó khăn mà học sinh gặp phải giải toán liên quan đến tổ hợp xác suất Rồi từ đúc rút kinh nghiệm từ thực tiễn dạy học đưa giải pháp Ghi chép tổng hợp kết thực nghiệm thu từ việc áp dụng đề tài vào giảng dạy GIẢ THUYẾT KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI Trong thực tiễn dạy học chủ đề Tổ hợp xác suất ta bắt gặp nhiều toán phức tạp cần phải tư khéo léo giảm dài dịng qua tăng độ xác làm tốn dạng Ở chủ đề lý thuyết khơng nhiều ngược lại dạng tập “hóc búa” dễ gặp sai lầm lại khơng Bản thân giáo viên dạy mơn tốn, dạy chủ đề gặp nhiều khó khăn Có trường hợp học sinh làm sai, để lỗi sai khơng đơn giản, vấn đề tư trứng nước, phải đặt vào vị em để nhận Bởi đặc thù chủ đề dạng tốn tổ hợp xác suất nên tơi tìm tòi, hỏi hỏi muốn cung cấp cho học sinh thêm “Ba quy tắc phân hoạch phép thử Bernoulli” để học sinh có thêm cơng cụ giúp giải số dạng toán chủ đề mà với công cụ sách giáo khoa thục thách thức PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Với mục tiêu đề xây dựng phương pháp sau: Cung cấp kiến thức cách đầy đủ tỉ mỉ để học sinh nắm kiến thức Sau cho học sinh ôn luyện dạng tập để củng cố kiến thức Khi học sinh nắm kiến thức làm lượng tập chương tơi cho học sinh kiểm tra số dạng tập hướng đến Để nắm bắt với cơng cụ sách giáo khoa học sinh giải toán nào? (tất nhiên toán toán thuộc chương trình em, sử dụng kiến thức em học giải được) Sử dụng kết kiểm tra để nghiên cứu Sau tơi cung cấp cho em kiến thức “3 quy tắc phân hoạch phép thử Bernoulli” cho học sinh khảo sát lại tốn trước Quan sát đánh giá - Nghiên cứu lý luận - Nghiên cứu thực tiễn - Thực nghiệm sư phạm - Thống kê toán học THỜI GIAN NGHIÊN CỨU - Học kì I năm học 2020- 2021 DỰ BÁO NHỮNG ĐĨNG GĨP CỦA ĐỀ TÀI Trong q trình giảng dạy, thân áp dụng đề tài bước đầu thu kết khách quan, sau cung cấp thêm “3 quy tắc phân hoạch phép thử Bernoulli” học sinh giải nhanh xác số dạng tập mà trước cịn gặp khó khăn sai, dài dịng, hướng suy luận, Cũng qua kích thích tinh thần học tập học sinh học chủ đề Đề tài sử dụng để làm tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh việc bồi dưỡng học sinh giỏi đặc biệt bạn yêu thích chủ đề “Tổ hợp - Xác suất” II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CƠ SỞ KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI 1.1 Cơ sở lý thuyết đề tài Kiến thức tổ hợp xác suất + Quy tắc đếm: Quy tắc cộng: Một công việc hoàn thành hai hành động Nếu hành động có m cách thực hiện, hành động có n cách thực khơng trùng với cách hành động thứ cơng việc có m n cách thực Quy tắc nhân: Một cơng việc hồn thành hai hành động liên tiếp Nếu có m cách thực hành động thứ ứng với cách có n n cách hồn thành cơng việc cách thực hành động thứ hai có m � + Số hoán vị n phần tử: Pn n(n 1) 2.1 n! k + Số chỉnh hợp chập k n phần C tử:k An nn(!n 1) (n k 1) n k !( n k )! + Số tổ hợp chập k n phần tử: k + Tính chất số Cn : k nk Cn Cn (0 �k �n) k 1 k k C C C (1 �k n) n n n + Tính chất xác suất: P ( A) P ( A) B ) P ( A) � P( B ) A, B hai biến cố độc lập khi: P( A � CÁC SÁNG KIẾN VÀ GIẢI PHÁP Đà SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2.1 Cung cấp quy tắc phân hoạch 2.1.1 Quy tắc a) Cung cấp công thức Xét tốn phân hoạch: Cho tập hợp A có n phần tử phân biệt Phân hoạch n! tử ( n1 n2 nk n ) tập hợp A k nhóm, nhóm thứ i có ni phần Khi số cách phân hoạch là: n1 !n2 ! nk ! Quy tắc phát biểu dạng khác sau: Số cách phân phối n cầu phân biệt vào k hộp phân biệt A1 , A2 , , Ak cho hộp thứ i có ni n! (0 �ni , n1 n2 nk n) là: n1 !n2 ! nk ! b) Chứng minh quy tắc Xét toán phân hoạch: Cho tập hợp A có n phần tử phân biệt Phân hoạch tập hợp A k nhóm, nhóm thứ i có ni phần tử ( n1 n2 nk n ) n Đầu tiên ta chọn n1 phần tử nhóm 1, ta có Cn cách chọn Sau chọn nhóm cịn lại Cnn2 n1 là: n n1 phần tử, dẫn tới số cách chọn nhóm Cứ số cách chọn nhóm thứ k là: Cnnk n1 n2 K nk 1 Cnnkk Do dễ có số cách phân phối n cầu phân biệt vào k hộp phân biệt là: Cnn1 � Cnn2 n1 L Cnnk n1n2 K nk 1 n! n n1 ! L n n1 n2 K nk 1 ! n! � n!� nk !� 0! n1 !� n2 !K nk ! n n1 ! n2 !� n n1 n2 ! Vậy ta chứng minh quy tắc c) Bài toán minh họa Bài toán 1: Một tổ trực nhật gồm 10 bạn học sinh Hỏi có cách phân cơng trực nhật cho có bạn làm lớp, bạn làm hành lang, bạn làm bồn hoa Đây toán nên khảo sát theo cách giải thông thường đa số học sinh làm Bài làm: Cách làm bản: Chọn người trực nhật lớp có: C10 cách chọn Với cách chọn bạn trực nhật lớp ta có: C5 cách chọn bạn trực nhật hành lang có C2 cách chọn bạn trực nhật bồn hoa C � C � C 2520 cách phân cơng 10 Vậy có tất Với cách suy luận theo quy tắc phân hoạch 1: Số cách phân cơng cách phân hoạch 10 phần tử thành nhóm: Nhóm có n1 phần tử Nhóm có n2 phần tử Nhóm có n3 phần tử 10! 2520 5! �� 3! 2! Vậy có tất cả: cách phân cơng Ở tốn chưa thấy khó khăn số sai lầm học sinh giải toán, thấy rõ áp dụng cơng thức học sinh có lẽ cần 30 giây để “chốt” đáp án 2520 Đồng thời tốn giúp học sinh hình thành khả lựa chọn thiết lập cách thức, quy trình giải vấn đề Để làm rõ tính ứng dụng cơng thức, ta đến với toán thứ hai: Bài toán 2: Có hành khách lên đồn tàu toa, tính xác suất cho trong8 toa có toa có người, toa toa người toa trống Ở toán học sinh sử dụng phương pháp lập luận, quy nạp va suy diễn để nhìn cách thức khác việc giải đề đặt nhiên nhiều học sinh mắc sai lầm, kể học sinh giỏi Sai lầm em thường gặp cách xếp người vào toa qn hốn vị nó, có bạn lại thừa Trước hết xin đưa lời giải sai chủ yếu em học sinh: Lời giải 1: Ở lời giải học sinh nhầm lẫn chỉnh hợp tổ hợp Khi lại toa cần chọn người vào toa cần chọn người người toán giải (dùng tổ hợp) em nghĩ có thêm đổi vị trí toa nên em sử dụng chỉnh hợp dẫn đến lời giải sai lời giải lướt qua mà chưa biết trước đáp án xác dễ mà giáo viên cho lời giải Lời giải 2: Ở lời giải học sinh mắc lỗi sai Một lỗi đầu lỗi cuối Tôi xin lỗi sai học sinh đầu bài: Khi em học sinh chọn người xếp vào toa: C8 C8 sau chọn người xếp vào toa: C6 C7 Nếu làm cách xếp người tính lần (giả sử ban đầu ta chọn hai người A, B xếp vào toa 1, hai người C, D xếp vào toa Một lần khác, ta chọn toa xếp hai người C, D, chọn toa xếp hai người A, B Ta nhận thấy cách xếp mà em đếm lần) Lỗi sai cuối bài: Chọn người xếp vào toa Ở ta hình dung chọn 4 A C 6 sau xếp phải dùng sử dụng tổ hợp sau phải nhân thêm hốn vị Lỗi sai đầu lỗi sai dễ gặp học sinh chọn cách xếp Để làm theo tư xếp với cá nhân tơi nhận định phải người nắm rõ định nghĩa mức độ tư cực cao tránh sai sót đoạn đầu Thú thực giáo viên biết đáp án toán mà phải đọc đọc lại nhiều lần tìm lỗi sai học sinh Ta đến với lời giải tiếp theo: Lời giải 3: Ở lời giải học sinh chọn cách để xếp hợp lý Và tơi đồng tình với cách xếp Chỉ vội vàng chút nên em nhầm lẫn chút chỗ chọn người toa xếp Khi chọn người toa có cách xếp chọn người toa em học sinh nhìn nhận có thêm hốn vị (Nếu người toa cách toa cách thực tế em chọn người toa có xếp rồi) Cịn sau tơi xin đưa lời giải học sinh Vẫn cách xếp hoàn toàn tương tự bạn học sinh khác Nhưng em cẩn thận chia toa cách rõ ràng tránh sai sót Tơi đánh giá cao lời giải này: Lời giải 4: Tất nhiên tốn dễ sai sót em không hiểu cách cặn kẽ Với thực tế khảo sát lớp chọn trường tơi thu kết đáng e ngại Số học sinh làm xác tốn ít, chiếm khoảng 21% (chỉ học sinh tổng số 33 học sinh) Từ tơi áp dụng cách tư quy tắc vào để giải tốn Tơi cung cấp, chứng minh, lấy ví dụ họa cho em Khi dựa vào quy tắc số lượng học sinh giải được, giải toán tăng lên vượt bậc Với quy tắc tơi xin trình lời giải cho toán: Đầu tiên ta phân hoạch toa trước Ta có toa ta phân hoạch thành nhóm: Nhóm 1: Toa chứa người có toa (2 phần tử) Nhóm 2: Toa chứa người có toa (4 phần tử) Nhóm 3: Toa trống có toa (2 phần tử) 8! 4! 2! cách phân hoạch (cách xếp toa) Từ ta có tất 2!�� Hoàn toàn tương tự: Ta xếp người vào toa có nghĩa phân hoạch người thành nhóm số lượng phần tử (người) nhóm sau : Nhóm 1: phần tử (2 người) Nhóm 2: phần tử (2 người) Nhóm 3: phần tử (1 người) Nhóm 4: phần tử (1 người) Nhóm 5: phần tử (1 người) Nhóm 6: phần tử (1 người) Nhóm 7: phần tử (0 người) cách đặt cầu giống Vậy toán xếp n cầu giống vào k hộp khác có I k ,n Cnnk 1 Cnkk11 (cách xếp) Ở quy tắc này, chứng minh quy tắc tổng quát sử dụng dòng lý luận dựa định nghĩa Thì hẳn nghĩ tốn tổng qt mà tốn phụ nào? Nếu tơi cho em học sinh tự tìm tịi chứng minh quy tắc dựa vào kiến thức mà em học hẳn có bạn làm Nhưng hay quy tắc toán cụ thể dựa tổng qt khó học sinh tìm tịi có phương án tối ưu cho giải Tơi có đưa toán để khảo sát học sinh lớp chọn trường Ba toán đưa yêu cầu học sinh phải xác định tình có vấn đề; thu thập, xếp, giải thích đánh giá độ tin cậy thơng tin, sau lựa chọn thiết lập cách thức, quy trình giải vấn đề, cuối học sinh thực trình bày giải pháp giải toán đưa Bài tốn 1: Có cách xếp cầu giống vào hộp khác nhau? Bài tốn 2: Có 10 số tự nhiên có tổng 31? Bài tốn 3: Cho phương trình x1 x2 x3 20 Phương trình cho có nghiệm tự nhiên thỏa mãn x1 �2, x2 �4 ? Ở tập số 1, chủ yếu học sinh học sinh sử dụng cách phân chia trường hợp liệt kê thành tổng số tự nhiên Với phương pháp để giải tốn số nhỏ (ít trường hợp) khả quan Tất nhiên học sinh gặp phải khơng sai lầm tính tốn Và sau xin đưa số sai lầm học sinh giải toán Lời giải 1: 12 Em sử dụng phương pháp giả sử số cầu hộp 1,2,3 x, y , z không sai em sử dụng thêm điều kiện x �y �z lời giải mắc phải sai lầm nghiêm trọng, bới từ suy kết cho trường hợp khác Điều dẫn đến lỗi sai toàn Lời giải 2: Học sinh thực chia trường hợp chuẩn xác Những trường hợp em lại tính số cách xếp sai Ví dụ trường hợp hộp hộp e lại có 3! Cách xếp Em quên hộp mà trao đổi cầu cho kết khơng thay đổi bới cầu giống Một số lời giải đúng: 13 Ở tập số 2, học sinh dường khơng nhìn nhận hướng tối ưu để giải vấn đề Có len lỏi số hướng kết đạt khơng có Do vậy, tơi mong muốn cung cấp cho em học sinh cách tỉ mỉ rõ ràng quy tắc để sau gặp dạng toán liên quan chia kẹo, xếp bóng vào hộp, tìm nghiệm phương trình,… em hiểu rõ chất để giải Còn trường hợp tốn trắc nghiệm học sinh cần nhớ cơng thức để áp dụng Những tốn hay biến thể khó em nắm rõ tốn giải dễ dàng Ví dụ tốn “Nếu tự luận chứng minh lại cơng thức quy tắc áp dụng với n 31, k 10 hồn tồn giải toán.” Sử dụng quy tắc bổ đề c) Áp dụng giải tốn Tìm số k số không âm r1, r2 , , rk cho r1 r2 rk n Ví dụ: Có cách phân tích số thành tổng số tự nhiên Giải: - Làm trực tiếp 3 0, tức có bốn cách phân tích Theo quy tắc ta có n 3, k có C3 21 cách phân tích Với số (n, k ) ta lại có tốn Khi n,k lớn tốn phức tạp không nắm quy tắc 14 d) Bài tập tự luyện Bài Cho phương trình x1 x2 x3 x4 20 , xi �N a) Số nghiệm phương trình bao nhiêu? b) Số nghiệm phương trình bao nhiêu? Với điều kiện x1 �1 , x2 �2 , x3 �3 , x4 �4 c) Số nghiệm phương trình bao nhiêu? Với điều kiện x1 , x2 , x3 , x4 chẵn d) Số nghiệm phương trình bao nhiêu? Với điều kiện x1 �5 e) Bất phương trình x x2 x3 �20 có nghiệm khơng âm? Hướng dẫn: Đặt x4 hiệu 20 ( x1 x2 x3 ) Bài Tung n xúc xắc giống hệt Ký hiệu ri số xúc xắc xuất i chấm, i 1,2, ,6 Mỗi kết ứng với ( r1 , r2 , , r6 ) Hỏi có số vậy? Bài Có số tự nhiên a1a2 a3a4 a5 cho a1 �a2 �a3 �a4 �a5 + Dạng tốn hồn tồn sử dụng để đưa vào trắc nghiệm cách linh hoạt - Đối với học sinh trung bình yếu: Bài 1: Có cách phân tích thành tổng số tự nhiên: A - B C D Đối với học sinh giỏi: Bài 2: Có cách phân tích số 16 thành tổng số tự nhiên: A 1820 2.1.3 Quy tắc B 969 C 4845 D 3876 a) Cung cấp công thức Xét tốn phân hoạch: Có cách xếp n cầu giống vào k hộp khác cho hộp chứa cầu Tức tìm số bộk số nguyên dương (r1 , r2 , , rk ) cho r1 r2 rk n Số cách phân hoạch là: Cn1 b) Chứng minh công thức Nếu ta đặt k hộp sát bên có tất k vách ngăn chung Và để thỏa mãn điều kiện hộp có cầu nên ta hình dung theo cách khác Bây đặt k vách ngăn vào cầu Bởi có n cầu nên có n vị trí cầu Do có tất Cnk11 cách xếp (cách phân chia) 15 Từ giải toán: Số cách viết số tự nhiên n thành tổng n1 số nguyên dương Thật vậy, ta phân tích n thành tổng k số hạng k 1,2,K , n Khi số số cách tất là: n �Cnk11 2n1 k 1 Hoàn toàn tương tự quy tắc quy tắc có lợi ích rõ ràng Ứng với quy tắc có tốn đơn giản phức tạp tùy thuộc vào độ lớn n k Tơi lấy hai ví dụ minh họa cho qua tắc Bài tốn 1: Cho phương trình x1 x2 x3 Phương trình có tất nghiệm nguyên dương? Với tốn tơi xin trình bày lại lời giải học sinh lớp tôi: Ta thấy 2 Trường hợp có C3 cách hốn đổi thứ tự số Do trường hợp phương trình có nghiệm x1 , x2 , x3 Trường hợp có 3! cách hoán đổi thứ tự x ,x ,x số Do trường hợp phương trình có nghiệm Trường hợp có cách hốn đổi thứ tự x ,x ,x số Do trường hợp phương trình có nghiệm x ,x ,x Vậy phương trình cho có tất 10 nghiệm Sử dụng quy tắc 3: Bài toán ứng với n 6, k ta có đáp án toán là: C5 10 nghiệm Với tốn đa số học sinh nắm kiến thức sách giáo khoa giải Nhưng tơi tăng số lên: Bài tốn 2: Có 15 số nguyên dương có tổng 46? Ở tốn khơng có học sinh làm Do tơi thấy việc cung cấp công thức cho học sinh việc cần thiết Đặc biệt học sinh giỏi, tơi tin có ích việc ơn tập thỏa mãn ham học ham tìm hiểu em Từ tăng thêm hứng thú khám phá cho em Với quy tắc toán ứng với n 46, k 15 ta có đáp án 15 tốn là: C45 số c) Một số tập tự luyện Bài Có cách phân tích số 10 thành tổng số nguyên dương? 16 Bài Có cách chia 20 viên kẹo cho 10 em bé cho em bé nhận viên Bài Tìm số nghiệm nguyên dương phương trình: x1 x2 x3 x4 x5 30 Hướng dẫn: Đặt x1 x6 Bài Có cách phân tích số 20 thành tổng số ngun dương? Những tốn linh hoạt chuyển sang toán trắc nghiệm phù hợp với đối tượng học sinh 2.2 Phép thử Bernoulli 2.2.1 Định nghĩa Dãy n phép thử gọi dãy n phép thử Bernoulli biến cố A , P( A) p nếu: (i ) n phép thử độc lập, tức kết chúng không ảnh hưởng đến (ii ) Trong phép thử biến cố A xuất với xác suất P( A) p Ta quy ước, phép thử, A xuất gọi thành cơng ngược lại A xuất thất bại Khi xác suất thành công cho phép thử p Và số lần xuất A n phép thử số lần thành công thực n phép thử Ví dụ xét phép thử tung đồng tiền, gọi A biến cố “xuất mặt sấp” Bây tung đồng tiền 10 lần Khi ta có 10 phép thử Bernoulli biến cố p A 2.2.2 Định lý Bernoulli Khi thực dãy n phép thử Bernoulli biến cố A A xuất lần, lần, … , n lần Ta tìm xác suất để A xuất k lần (0 �k �n) Ta kí hiệu xác suất pn (k ; p) Bài toán nhà toán học Bernoulli, người Thụy Sĩ từ kỉ XVII Định lý: Xét n phép thử Bernoulli biến cố A xác suất xuất biến cố A phép thử p Khi xác suất để A xuất k lần n phép thử là: pn ( k ; p ) Cnk p k (1 p )nk ,(0 �k �n) Chứng minh: Gọi kết thực n phép thử Bernoulli a1 , a2 , , an , với : kết phép thử Bernoulli lần i , đó: 17 A xảy A không xảy � P(ai 1) P( A) p P(ai 0) p i 1, n Biến cố A xuất k lần tương đương với xảy kết với k số i k Số cách chọn k vị trí cho n vị trí: Cn k Xác suất để k vị trí nhận giá trị 1: p nk Xác suất để (n k ) vị trí cịn lại nhận giá trị : (1 p) k k nk Như vậy, P ( Ak ) Cn p (1 p ) Tôi thực khảo sát lớp 11A1 hai toán sau: Bài toán 1: Tung xúc xắc cân đối đồng chất lần Tính xác suất để mặt chấm suất hiên lần Bài tốn 2: Trong kì thi bắn súng hai xạ thủ thi đấu Xác suất bắn trúng bia lần bắn hai xạ thủ 0,7 0,8 Mỗi xạ thủ bắn viên Tính xác suất để thi khơng hịa Với tốn số 1, khơng phải tốn khó, học sinh cần nắm cách xác quy tắc đếm dễ dàng đưa lời giải Tuy nhiên, qua khảo sát kết thu lại khơng mong đợi: Có đến 30% học sinh làm sai tốn Tơi xin dẫn dắt số lời giải sai sau: Lời giải 1: Lời giải học sinh tư theo hướng thơng thường Để tính xác suất trước hết em xác định không gian mẫu sau tính số phần tử biến cố Đây toán đơn giản nên tư theo phương pháp cho kết xác Nhưng vội vàng nên e nhầm lần tính số khả xảy trường hợp xúc xắc không xuất mặt chấm (em lại cho có khả năng) 18 Cũng em hiểu nhầm câu hỏi tốn Và tơi xin đưa vài lời giải sai suy luận thiếu cẩn thận nữa: Lời giải 2;3: Chủ yếu lỗi sai em suy nghĩ sai lệch xúc xắc thứ (giả sử xúc xắc 1,2 xuất mặt chấm) Để xuất mặt chấm lần có xúc xắc xuất mặt chấm xúc xắc lại ko xuất mặt chấm có khả xảy lời giải Nếu em cung cấp thêm phép thử Bernoulli tốn giải cách ngắn gọn sau: p Tung xúc xắc xác suất để xuất mặt chấm là: Áp dụng định lý Bernoulli: Xác suất để mặt chấm xuất lần tung � � �1 �� � p3 � 2; � C3 � �� � 6 � 72 � � � �� xúc xắc lần là: Để thấy rõ lợi ích phép thử Bernoulli vào giải tốn nghiên cứu toán 2: Ở tốn có nhiều em có lời giải mình, việc kể trường hợp tính trực tiếp, sử dụng nguyên lý bù trừ, chủ yếu em cho kết sai p 0, 6492, p 0, 7104 Lời giải 1: 19 Lỗi sai: Ở trường hợp 3: p 0,3 � 0,7 0,7 � 0,3 Xác suất để xạ thủ thứ bắn trúng viên là: , tương p 0,2 � 0,8 0,8 � 0,2 từ xạ thủ thứ hai P (A ) 0,3 � 0,7 � 2 � 0,2 �0,8 �2 Bởi xạ thủ bắn phát phát thứ trật phát thứ trúng phát thứ trúng phát thứ trật Vì xạ thủ phải nhân thêm Lời giải 2: 20 Ở trường hợp 4, người không trúng, người trúng viên thì: P4 0,2 � 0,2 � (0,7 � 0,3 0,3 � 0,7) Trường hợp vậy, Người không trúng người trúng viên thì: P5 0,2 � 0, � (0,7 � 0,7) 21 Lời giải toán dựa phép thử Bernoulli: Gọi Ai biến cố người thứ bắn trúng i viên đạn Bi biến cố người thứ hai bắn trúng i viên đạn ( i 0,1,2 ) Khi biến cố Ai Bi độc lập, đồng thời Ai Bi biến cố hai bắn trúng i viên đạn Dựa vào định lý Bernoulli ta có: P Ai C2i � 0,8 � 0,2 i i i P B C � 0,7 � 0,3 i , i i Từ tính độc lập biến cố, ta có P( Ai Bi ) P( Ai ).P ( Bi ) = C2i (0,8)i (0,2) 2i C2i (0,7)i (0,3) 2i i i 2 i = (C2 ) (0,56) (0,06) Do xác suất để thi có kết hịa là: 2 i 0 i 0 �P( Ai Bi ) �(C2i )2 (0,56)i (0,06)2i 4 5, Đáp số 0,5484 0,4516 Với phương pháp học sinh không cần phải chia nhiều trường hợp để tránh sai sót khơng đáng có Chỉ cần sai lỗi nhỏ trường hợp dẫn đến kết sai Đặc biệt với cách thức thi chủ yếu trắc nghiệm 2.2.3 Một số ví dụ Bài 1: Tung xúc xắc cân đối đồng chất n lần Tính xác xuất để mặt m �n chấm xuất m lần Giải: Gọi A biến cố xuất mặt chấm p(A) Xác suất A xuất lần tung xúc xắc là: Ta có n phép thử Bernoulli biến cố A Theo định lý Bernoulli, xác suất để A xuất m lần là: m m nm nm � �5 � � � m �1 � � � m � pn � m; � Cn � � � 1 � C n � � � � � 6� �6 � � � = �6 � �6 � Bài 2: Phải gieo tối thiểu xúc xắc để xác suất xuất mặt chấm không nhỏ 0,95 Giải: Giả sử gieo n xúc xắc Gọi A biến cố xuất mặt chấm Ta có n p( A) phép thử Bernoulli biến cố A, Xác suất xuất mặt chấm là: 22 n 0 � 1� �1 ��5 � Pn � 0; � Cn0 � �� � ( )n � 6� �6 ��6 � Ta cần tìm n cho: n n �5 � �5 � ۣ � � 0,05 ۣ ۳ n log 0,05 1 � � �6 � �6 ��0,95 ۳ n 16,43 Vậy phải gieo tối thiểu 17 xúc xắc Bài 3: An Bình chơi bóng bàn, xác suất thắng ván An 0,4 Hỏi phải chơi tối thiểu ván xác suất thắng ván An lớn 0,95 Giải: Giả sử cần chơi n ván Gọi A biến cố An thắng ta có n phép thử p A 0,4 Bernoulli biến cố A Xác suất An thắng ván là: Pn (0;0,4) Cn (0,4)0 (1 0,4) n 0 (0,6) n Ta cần tìm n cho: (0,6) n 0,95 � (0,6) n 0,05 � n log 0,6 0,05 � n 5,86 Vậy cần chơi tối thiểu ván 2.2.4 Bài tập tự luyện Bài 1: Một xạ thủ bắn trúng đích với xác suất 0,8 Người phải bắn tối thiểu viên đạn để xác suất trúng đích viên không bé 0,9 Bài 2: Đề thi vào đại học mơn hóa có 50 câu trắc nghiệm Mỗi câu có phương án trả lời có phương án Trả lời câu 0,2 điểm, trả lời sai không bị trừ điểm Một học sinh trả lời phần thi cách chọn ngẫu nhiên đáp án a) Tính xác suất học sinh trả lời câu hỏi b) Tính xác suất học sinh trả lời câu hỏi Bài 3: Ở thành phố, tỉ lệ người bị bệnh tim mạch 0,1, bệnh tai mũi họng 0,2 hai bệnh 0,08 Chọn ngẫu nhiên người thành phố Tìm xác suất có khơng q người số họ bị bệnh Bài 4: Một trò chơi gieo xúc xắc sau: Một ván chơi gieo xúc xắc người chơi chơi ván Người chơi thắng thắng ván Biết ván chơi thắng xuất mặt lục Tính xác suất để người chơi thắng Bài 5: Hai đấu thủ ngang sức ngang tài chơi đấu cờ với Hỏi khả thắng ván có cao thắng ván hay khơng Bài 6: Một trị chơi gieo xúc xắc sau: ván chơi gieo xúc xắc người chơi chơi ván Người chơi thắng thắng ván Biết 23 ván thắng xuất mặt lục Tính xác suất để người chơi thắng Bài 7: Gieo đồng thời đồng xu cân đối đồng chất lần Tính xác suất để có lần đồng xu xuất mặt sấp Bài 8: Gieo đồng thời n đồng xu cân đối, đồng chất m lần Tính xác suất đẻ có k �min m; n k lần n đồng xu xuất mặt sấp Bài 9: Hai xạ thủ A, B cố xác suát bắn trúng mục tiêu 0,6 0,5 Cả hai xạ thủ thi bắn phát Tính xác suất để có thắng thua 24 III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ KẾT LUẬN CHUNG Sáng kiến kinh nghiệm thu số kết sau đây: Một là, thống kê số dạng toán liên quan đến quy tắc phân hoạch phép thử Bernoulli Hai là, số sai lầm học sinh dẫn đến thất bại giải dạng toán Ba là, xây dựng cung cấp cho học sinh công thức quy tắc phân hoạch phép thử Bernoulli để phục vụ giải toán Bốn là, triển khai áp dụng kiến thức Năm là, hình thành phát triển lực toán học cho học sinh tiến trình: nhận biết kiến thức, kĩ tốn học; kết nối toán học với đời song thực tiễn; áp dụng kiến thức, kĩ toán học để giải vấn đề cụ thể học tập Như khẳng định mục đích nghiên cứu thực hiện, nhiệm vụ nghiên cứu hoàn thành giả thuyết khoa học chấp nhận dược Trong q trình giảng dạy mơn tốn trường, qua việc cung cấp cho học sinh kiến thức mới, học sinh giải dễ dàng tốn gặp khó khăn trước đó, đồng thời học sinh phát triển khả sử dụng hợp lí ngơn ngữ tốn học kêt hợp với ngơn ngữ thông thường để biểu đạt cách suy nghĩ, lập luận, chứng khẳng định tốn học thể tự tin trình bày, diễn đạt, thảo luận, giải thích nội dung tốn học tình khơng q phức tạp Đặc biệt học sinh giỏi hứng thú với việc làm mà giáo viên áp dụng đề tài KIẾN NGHỊ + Thơng qua số ví dụ đề tài thấy phần vai trị việc cung cấp cho em “3 quy tắc phân hoạch phép thử Bernoulli” giải số liên quan đến chủ đề tổ hợp xác suất Có phương pháp tối ưu để giải số tốn + Là giáo viên tơi xác định cho phải ln tạo cho học sinh niềm vui hứng thú say mê q trình học tập; ln cải thiện phương pháp dạy học, phát triển tư duy, vận dụng kiến thức phục vụ tốt cho dạy + Chủ đề tổ hợp- xác suất có nhiều tốn hay khó Với mong muốn hỗ trợ em cách tốt nhất, mong nhận góp ý chân thành đồng nghiệp để viết tơi hồn thiện Đề tài kinh nghiệm nhỏ, kết nghiên cứu cá nhân, thông qua số tài liệu tham khảo nên không tránh khỏi hạn chế, khuyết điểm Vậy mong hội đồng xét duyệt góp ý để kinh nghiệm giảng dạy tơi ngày phong phú hữu hiệu Tôi xin chân thành cảm ơn! 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Đại số giải tích 11- Trần Văn Hạo (tổng chủ biên)NXB Giáo dục Xác suất nâng cao- Nguyễn Văn Quảng- NXB Đại học quốc gia Hà Nội Tạp chí tư liệu tốn học 26 ... mục đích bổ sung thêm cho học sinh lớp 11 nói riêng học sinh THPT nói chung, tơi mạnh dạn chọn đề tài ? ?Bổ sung quy tắc phân hoạch thử Bernoulli vào giải số toán xác suất THPT? ?? ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM... biệt quy tắc phân hoạch phép thử Bernoulli Các dạng toán liên quan đến quy tắc thuộc vào nội dung kiến thức trung học phổ thông nói chung kiến thức “Chương II: Tổ hợp- Xác suất? ??, Đại số Giải. .. trò việc cung cấp cho em ? ?3 quy tắc phân hoạch phép thử Bernoulli? ?? giải số liên quan đến chủ đề tổ hợp xác suất Có phương pháp tối ưu để giải số toán + Là giáo viên tơi xác định cho phải ln tạo
Ngày đăng: 30/11/2021, 14:37
Xem thêm:
