CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc MÔ TẢ SÁNG KIẾN Mã số :………………… ………………………………… 1.Tên sáng kiến: BIỆN PHÁP GIÚP HỌC SINH VẬN DỤNG TỐT HƠN QUY TẮC ĐẾM VÀO BÀI TOÁN XÁC SUẤT Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giải pháp dùng cho giáo viên dạy lớp11, 12 tham khảo học sinh lớp 11 luyện tập, học sinh lớp 12 ôn tập chuẩn bị cho kì thi THPT quốc gia Mơ tả chất sáng kiến : 3.1.Tình trạng giải pháp biết: Trong thực tiển kì thi THPT quốc gia năm gần thường cho toán có liên quan đến kiến thức xác xuất; chẳng hạn đề thi THPT quốc gia năm 2015 toán tính xác suất có mặt câu 6b), năm 2016 câu VI.2; Đặc biệt theo lộ trình Bộ GD&ĐT nội dung kiến thức đề thi THPT quốc gia năm 2018 có bao gồm chương trình lớp 11,12 cụ thể đề thi tham khảo Bộ GD & ĐT cơng bố ngày 24/1/2018 có câu 23, câu 49 ( mã đề 001); Nhưng chương trình học THPT đơn vị kiến thức phân bố thời lượng tương đối Ngồi kiến thức sách giáo khoa đưa tình tốn bản, đồng thời theo chương trình học sinh lớp 11(đặc biệt chương trình bản) giải số dạng tốn định.Vì học sinh gặp nhiều hạn chế kiến thức kĩ giải tốn thi mang tính vận dụng mức cao hơn; Đối với học sinh giỏi, việc nghiên cứu nâng cao khả vận dụng kiến thức nói để giải tốn thi nhằm đạt kết tốt kì thi THPT quốc gia cần thiết; Thực trạng học sinh chưa hệ thống kiến thức phân loại dạng tập phép đếm vận dụng kiến thức vào toán xác suất, nên thường gặp khó khăn định hướng lời giải khơng an tâm kết giải xong toán loại 3.2 Nội dung giải pháp đề nghị cơng nhận sáng kiến: 3.2.1 Mục đích giải pháp: - Phân loại dạng tập phép đếm định hướng lời giải; - Giúp học sinh củng cố phần kiến thức quy tắc đếm đại số tổ hợp rèn luyện kĩ giải tốn thi mang tính vận dụng mức cao hơn; - Gắn kết nội dung kiến thức “đại số tổ hợp ” với nội dung “ xác suất ” để học sinh có cách nhận thức tổng quát việc định hướng lời giải tốn thi có liên quan đến nội dung này; - Giúp học sinh giỏi nâng cao khả nghiên cứu vận dụng kiến thức nói để giải toán thi nhằm đạt kết tốt kì thi THPT quốc gia 3.2.2.Nội dung giải pháp: - Kết hợp kiến thức học kiến thức bổ trợ để giải toán thi ; - Tiết kiệm thời gian quy trình suy luận để giải toán; - Xây dựng cách giải toán theo Angorit toán học 3.2.3 Phạm vi nghiên cứu: A Giới thiệu số phương pháp đếm: - Phương pháp đếm trực tiếp; - Phương pháp đếm vị trí; - Phương pháp đếm loại trừ; - Phương pháp chọn trước đối tượng xếp sau; - Phương pháp tạo vách ngăn B Các dạng toán : - Dạng 1: Toán đếm số; - Dạng 2: Toán xếp đồ vật; - Dạng 3:Toán chọn số phương án thỏa số điều kiện cho trước 3.3 Khả áp dụng giải pháp: Giải pháp dùng cho giáo viên dạy lớp 11, 12 tham khảo học sinh lớp 11 luyện tập, học sinh lớp 12 ôn tập chuẩn bị cho kì thi THPT quốc gia 3.3.1.Đối với học sinh lớp 11 Có thể nghiên cứu dạng tốn nêu mục B (từng ví dụ theo dạng tốn có phân tích, giải nhận xét phương pháp giải sau có tập tương tự để rèn luyện – nêu cụ thể nguyên đề tài) DẠNG 1: BÀI TỐN ĐẾM SỐ Trong dạng ,đề tài có trình bày cụ thể cách giải phân thành hai loại: + Bài tốn mà tập số cho có chứa số ; + Bài toán mà tập số cho khơng chứa số Khi xét ví dụ minh họa có phân tích nên chọn phương pháp (trong phương pháp nêu mục A) để sử dụng có hiệu quả, đồng thời giới thiệu cách giải nhờ phương pháp khác để người đọc so sánh rút kinh nghiệm Ví dụ 1: ( dạng tốn đếm số mà tập số cho có chứa số ) Mục tiêu : củng cố phương pháp vận dụng quy tắc nhân chỉnh hợp Cho tập hợp A={0;1;2;3;7;8;9}.Có thể lập số tự nhiên: a) có chữ số; b) có chữ số khác nhau; c) lẻ có chữ số khác nhau; d) chẵn có chữ số khác Nhận xét: ví dụ này: câu a, b, c sử dụng phương pháp đếm trực tiếp, có giới thiệu phương pháp đếm loại trừ câu c tình gặp sai lầm trình bày lời giải câu d Ví dụ 2: ( dạng toán đếm số mà tập số cho có chứa số ) Mục tiêu:củng cố phương pháp vận dụng quy tắc nhân chỉnh hợp Cho tập hợp A={0;1;2;3;4;5;6;7}.Có thể lập số tự nhiên: a) có chữ số khác ln có mặt chữ số 2; b) lẻ có chữ số khác ln có mặt chữ số 2; c) chẵn có chữ số khác ln có mặt chữ số Nhận xét: ví dụ này: câu a, b sử dụng phương pháp đếm trực tiếp; Đối với câu c sử dụng phương pháp đếm loại trừ ngồi có giới thiệu phương pháp lấy phần bù; Đặc biệt việc xác định trước vị trí số giúp khơng bỏ sót trường hợp Ví dụ 3: ( dạng toán đếm số mà tập số cho có chứa số ) Mục tiêu : củng cố phương pháp vận dụng quy tắc nhân kiến thức hoán vị,chỉnh hợp,tổ hợp Cho tập hợp A={0;1;2;3;4;5;6;7;8;9}.Có thể lập số tự nhiên có chữ số khác cho ln có chữ số chẵn số tạo thành Nhận xét: ví dụ này:đã sử dụng phương pháp chọn trước đối tượng xếp sau BÀI TẬP TƯƠNG TỰ (Nhằm hổ trợ khâu luyện tập) Bài 1: Từ chữ số 0,1,2,3,4,5,6.Có thể lập số tự nhiên gồm chữ số khác cho: a) Số chẵn; b) Số chia hết cho 5; c) Số ln có mặt chữ số Bài 2: Từ chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7.Có thể lập số tự nhiên gồm chữ số khác cho chữ số lẻ đứng liền Ví dụ 4: ( dạng tốn đếm số mà tập số cho không chứa số ) Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt chọn từ chữ số 1;2;3;4;5;6;7.Xác định số phần tử S Chọn ngẫu nhiên số từ S, tính xác suất để số chọn số chẵn Phân tích: + Đây câu 9.a-đề thi Đại học khối A A1 năm 2013 + Chỉ cần biết công thức tính xác suất , kết hợp với phương pháp đếm giải trọn vẹn câu 9.a Nhận xét: Cơ sở toán đề thi vừa nêu xuất phát từ quy tắc đếm ; Nếu sử dụng máy tính CASIO để chọn kết tốn (theo hình thức trắc nghiệm ) thực theo quy trình sau: cho kết / x / / nPr / / / n Pr / 3 (trong đó: “ / ” thể kết thúc lệnh ; “ x” :phím nhân; “ nPr”: phím lệnh tính chỉnh hợp ; Khi hình hiển thị kèm theo kết 3x 6P P3 ) Hoặc nói câu 4b) đề thi Đại học khối A A ,B năm 2014 yêu cầu tính xác suất sở xác định số phần tử không gian mẫu biến cố tính nhờ quy tắc đếm mà tập số cho không chứa số ( ví dụ 11) Ví dụ 5: ( dạng tốn đếm số mà tập số cho khơng chứa số ) Mục tiêu:củng cố phương pháp vận dụng quy tắc nhân chỉnh hợp Cho tập hợp A={1;2;3;4;5;6;7} Có thể lập số tự nhiên lẻ có chữ số cho: a) Chữ số số chẵn; b) Chữ số ln có mặt lần Nhận xét: + Câu a ta sử dung phương pháp đếm trực tiếp + Câu b tiến hành theo phương pháp đếm loại trừ đếm vị trí giải được, nhiên phương pháp đếm vị trí giải nhanh Ví dụ 6: ( dạng tốn đếm số mà tập số cho không chứa số ) Mục tiêu: củng cố phương pháp vận dụng quy tắc nhân chỉnh hợp đồng thời tiếp cận phương pháp chọn trước đối tượng xếp sau Cho tập hợp A={1;2;3;4;5;6;7;8;9} Có thể lập số tự nhiên có chữ số cho ln có mặt : a) hai chữ số ; b) hai chữ số đồng thời hai chữ số đứng kề ; c) hai chữ số đồng thời hai chữ số không đứng kề Nhận xét: + Câu a c sử dụng phương pháp chọn trước đối tượng xếp sau; riêng câu a sử dụng phương pháp đếm vị trí; + Câu c sử dụng phương pháp đếm loại trừ nhanh ( trường hợp số không đứng cạnh nhiều ) BÀI TẬP TƯƠNG TỰ (Nhằm hổ trợ khâu luyện tập) Bài 1: ( trích đề thi Học kì I-lớp 11 năm 2015-2016 trường chúng tôi) Gọi X tập hợp số tự nhiên có chữ số đơi khác lập từ chữ số:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.Chọn ngẫu nhiên số từ tập X, tính xác suất để số chọn số chẵn Bài 2: Cho tập hợp A={1;2;3;4;5;6;7;8;9} Có thể lập số tự nhiên chẵn có chữ số khác cho: a) Ln có mặt chữ số ; b) Ln có mặt chữ số Bài 3: Cho tập hợp A={1;2;3;4;5;6;7} Có thể lập số tự nhiên có chữ số khác cho: a) Bắt đầu 456 ; b) Không bắt đầu 456 Bài 4:( trích đề thi Học kì I-lớp 11 năm 2016-2017 trường chúng tơi) Một hộp chứa viên bi xanh, viên bi đỏ, viên bi vàng khác Chọn ngẫu nhiên bi từ hộp Xác suất viên bi lấy có viên bi màu xanh là: A 37 B 14 44 C D 41 44 55 55 Bài 5:( trích đề thi Học kì I-lớp 11 năm 2017-2018 trường chúng tôi) Chọn ngẫu nhiên số có chữ số từ số tự nhiên đến 99 Xác suất để chọn số lẻ đồng thời chia hết cho : A 18 B 18 C 11 90 D DẠNG 2: BÀI TOÁN SẮP XẾP ĐỒ VẬT Trong dạng ,đề tài trình bày cụ thể cách giải đồng thời xét ví dụ minh họa có phân tích nên chọn phương pháp ( phương pháp nêu mục A) để sử dụng có hiệu quả, đồng thời giới thiệu cách giải nhờ phương pháp khác để người đọc so sánh rút kinh nghiệm VÍ DỤ 7: Có viên bi xanh giống viên bi đỏ khác Sắp xếp viên bi vào dãy có vng Hỏi có cách xếp cho: a) Các viên bi nằm tùy ý ; b) Các viên màu nằm nhóm ; c) Các viên bi khác màu nằm xen kẻ Mục tiêu: củng cố phương pháp vận dụng quy tắc nhân kết hợp với hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp * Giải a) Xếp viên bi nằm tùy ý: + Có C74 cách lấy ô vuông để xếp viên bi xanh giống vào ; + Có 3! Cách xếp viên bi đỏ vào ô vng lại ; + Do số cách xếp : C74 3! = 210 b) Các viên màu nằm nhóm: + Có cách chọn viên bi xanh giống để xếp thành nhóm ; + Có 3! cách xếp viên bi đỏ lại ; +Xem nhóm đối tượng ta có 2! cách xếp nhóm đó; + Do có: 3! 2! = 12 cách c) Các viên bi khác màu nằm xen kẻ nhau: + Có cách chọn xen kẻ để xếp viên bi xanh giống vào ; + Có 3! cách xếp viên bi đỏ khác vào vị trí lại ; + Do có: 3! = cách Nhận xét: Trong lời giải sử dụng phương pháp chọn trước đối tượng xếp sau.Ví dụ sau tương tự VÍ DỤ 8: Có cách xếp cầu khác vào hộp cho hộp có cầu VÍ DỤ 9: Có cách xếp học sinh nam học sinh nữ vào dãy ghế dài cho học sinh nam khơng ngồi cạnh Nhận xét:Ta sử dụng phương pháp tạo vách ngăn sau: + Xếp học sinh nữ vào vị trí ta có 6! cách ; + học sinh nữ tạo vách ngăn, ta xếp học sinh nam vào có A 72 cách ; + Do có : 6! A 72 = 30240 cách VÍ DỤ 10: (Trích câu 49- mã đề 001- đề thi tham khảoTHPT quốc gia năm 2018) Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm học sinh lớp 12A, học sinh lớp 12B học sinh lớp 12C thành hàng ngang Xác suất để 10 học sinh khơng có học sinh lớp đứng cạnh là: A 11 B 630 126 C 105 D 42 Nhận xét: Ta chia thành trường hơp, trường hợp giống có 5!.5! cách; trường hợp 3,4,5,6 giống có 5!.12! 3! cách Do n(A) = 2.5!.5! 4.5!.12!.3! = 63260 Mà n() = 10! Vậy : P ( A) n( A) 63360 11 n ( ) 10! 630 Kết hợp quy tắc đếm MTCT ta giải nhanh câu sau: P( A) n( A) 2.5!.5! 4.5!.12!.3! 11 , chọn A n ( ) 10! 630 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ (Nhằm hổ trợ khâu luyện tập) Bài 1:Cần xếp sách toán, sách lí, sách hóa vào kệ dài Biết sách đôi khác nhau, hỏi có cách xếp cho sách tốn lí khơng đứng cạnh Bài 2: a) Có tem thư khác bì thư khác Hỏi có cách dán tem thư vào bì thư cho bì thư dán tem thư b) Có tem thư khác bì thư khác Chọn tem thư để dán vào bì thư cho bì thư dán tem thư Hỏi có cách 3.3.2.Đối với học sinh lớp 12 học sinh ôn thi THPT quốc gia Ngồi nghiên cứu dạng tốn nêu có đủ điều kiện nghiên cứu dạng tốn mục B qua ví dụ sau ( ví dụ có phân tích, giải nhận xét phương pháp giải sau có tập tương tự để rèn luyện – nêu cụ thể nguyên đề tài) DẠNG 3: BÀI TOÁN CHỌN SỐ PHƯƠNG ÁN ĐỂ THỎA MỘT SỐ ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Trong dạng có trình bày số toán phương pháp giải: + Bài toán chọn tùy ý: Nếu cần chọn k phần tử từ n phần tử khác ( �k �n ) ta có tổ hợp chập k n k cách chọn ( Cn n! ) k!(n k)! + Bài tốn chọn nhất, chọn nhiều nhất: Có thể giải cách chia trường hợp đếm loại trừ (lấy phần bù) + Bài toán chọn có mặt đủ loại: Có thể giải cách chia trường hợp đếm loại trừ (lấy phần bù) + Bài tốn xếp, đem tặng, phân cơng thực nhiệm vụ khác nhau: Cách giải: - Chọn đủ số lượng ; - Đem xếp Trong ví dụ sau minh họa thêm phần hướng dẫn lời giải(đã trình bày đề tài) để tiện so sánh ,đối chiếu VÍ DỤ 11:Một nhóm học sinh gồm nam nữ Có cách chọn ra: a) học sinh tùy ý; b) học sinh có nam nữ; c) học sinh có nam nữ; Nhận xét:Câu a kết quả: Có C11 = 55 cách chọn Câu b ta sử dụng phương pháp loại trừ phương pháp chia trường hợp (tuy nhiên phải đến trường hợp là: C41.C74 C42.C73 C43.C72 C44.C71 441) Câu c ta sử dụng phương pháp loại trừ phương pháp chia trường hợp (tuy nhiên phải đến trường hợp là: C71.C43 C42.C72 C41.C73 126) VÍ DỤ 12: (Trích câu 6b- đề thi THPT quốc gia năm 2015) Trong đợt ứng phó dịch MERS-CoV, Sở y tế thành phố chọn ngẫu nhiên đội phòng chống dịch động số đội Trung tâm y tế dự phòng thành phố 20 đội Trung tâm y tế sở để kiểm tra cơng tác chuẩn bị Tính xác suất để có đội trung tâm y tế sở chọn Nhận xét: - Đây toán xác suất, nhiên muốn giải cần phải vận dụng kiến thức tổ hợp, sau kết hợp với quy tắc đếm tìm số phần tử không gian mẫu số phần tử biến cố; - Bước lại sử dụng định nghĩa xác suất để đến kết - Đây toán thể rõ dạng toán thứ 3:chọn số phương án thỏa điều kiện cho trước; Lời giải chi tiết trình bày đề tài , tóm tắt sau: 2300 +Số phần tử không gian mẫu : n() C25 +Biến cố A:”có đội trung tâm y tế sở chọn” có số C51 C20 950 1140 2090 phần tử là: n( A) C20 +Xác suất cần tìm: P ( A) n( A) 1140 209 n() 2300 230 * Nếu sử dụng máy tính CASIO để chọn kết tốn (theo hình thức trắc nghiệm ) thực theo quy trình sau: 20 / nCr / / x / / nCr / / / 20 / nCr / / cho kết 209 25 / nC r / 230 (trong đó: “ / ” thể kết thúc lệnh ; “ x” : phím nhân ; “ nCr” :phím 20 C2 x 5C1+20 C lệnh tính tổ hợp; Khi hình hiển thị: 25 C 209 ) 230 VÍ DỤ 13:Một đội niên tình nguyện có 15 sinh viên gồm 12 nam nữ.Hỏi có cách phân cơng đội tình nguyện giúp đở xã miền núi cho xã có nam nữ (ĐH khối B – 2005) * Giải : kèm theo kết + Có C12 cách chọn 12 sinh viên nam có C31 cách chọn sinh viên nữ để lập thành nhóm phân cơng xã thứ nhất;Tức có C12 C31 cách; +Tương tự : phân công nam nam lại nữ nữ lại xã thứ hai có C84 C21 cách; phân công nam nữ lại xã thứ ba có C44 C11 cách; + Theo quy tắc nhân ta có: ( C12 C31 ).( C84 C21 ).( C44 C11 ) =207900 cách Nhận xét: Đây việc vận dụng linh hoạt quy tắc nhân tổ hợp VÍ DỤ 14:Giáo viên chủ nhiệm lớp 11A có sách tốn sách văn khác nhau.Lấy từ đủ hai loại để tặng cho học sinh em Hỏi có cách tặng Nhận xét: sử dụng phương pháp chọn trước đối tượng xếp sau +Chọn đối tượng: - Có C10 cách lấy sách ; - Có C65 cách lấy sách văn ; - Do số sách tốn số lượng cần lấy nên số cách lấy sách đủ hai loại C10 - C65 = 246 +Sắp xếp: - Có 5! Cách tặng sách chọn cho học sinh ; - Do có 5! 246 = 29520 cách tặng VÍ DỤ 15: (Trích câu 23- đề thi tham khảoTHPT quốc gia năm 2018) Một hộp chứa 11 cầu gồm cầu xanh cầu đỏ Chọn ngẫu nhiên đồng thời cầu từ hộp Xác suất để cầu chọn màu : A 22 B 11 C 11 D 11 Nhận xét: Kết hợp quy tắc đếm MTCT ta giải nhanh câu sau: P ( A) n( A) C52 C62 , Chọn C n ( ) C112 11 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ (Nhằm hổ trợ khâu luyện tập) Bài 1: Một đội học sinh trực nhật gồm nữ nam; Giáo viên phụ trách cần chọn học sinh để trực cổng trường Có cách chọn nếu: a) Chọn tùy ý ; b) Chọn có nữ ; c) Chọn có nữ Bài 2:Cho đa giác lồi có n đỉnh ( n �4) a) Tính số lượng đường chéo đa giác ; b) Biết ba đường chéo khơng qua đỉnh khơng đồng quy,hãy xác định số giao điểm ( đỉnh đa giác ) đường chéo 3.4 Hiệu quả, lợi ích thu dự kiến thu áp dụng giải pháp: - Rèn luyện việc vận dụng kiến thức quy tắc đếm đại số tổ hợp, giúp cho học sinh giỏi có thêm kĩ mới, đa dạng thêm phương pháp nghiên cứu học tập đặc biệt học sinh trung bình – yếu có tự tin làm kiểm tra, thi, không tâm lí “ lo ngại ” gặp tốn có liên quan đến quy tắc đếm xác suất - Rèn luyện cho học sinh việc định hướng chọn lượng kiến thức phù hợp toàn lời giải - Các giải pháp nói khả thi giáo viên dạy lớp 11, 12 học sinh lớp 11 luyện tập, học sinh lớp 12 ơn tập chuẩn bị cho kì THPT quốc gia áp dụng hình thức trắc nghiệm mơn tốn - Chất lượng khảo sát học sinh lớp 11 qua kiểm tra nội dung năm gần tăng rõ rệt Phỏng vấn trực tiếp học sinh dự thi Đại học- Cao đẳng thi THPT quốc gia năm qua biết em có tâm lí tự tin với phạm vi kiến thức gặp đề thi 3.5 Những người tham gia tổ chức áp dụng sáng kiến lần đầu: Giáo viên dạy Toán tổ 3.6 Những thông tin cần bảo mật: 3.7.Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: - Đối tượng: Giáo viên dạy lớp 11,12 học sinh lớp 11,12; học sinh ôn tập chuẩn bị cho kì thi THPT quốc gia - Cơ sở vật chất giáo dục phục vụ cho giảng dạy học tập 3.8.Tài liệu kèm theo: 05 tập văn mô tả sáng kiến ., ngày 01 tháng năm 2018 Người viết 10 ... quốc gia năm 2018) Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm học sinh lớp 12A, học sinh lớp 12B học sinh lớp 12C thành hàng ngang Xác suất để 10 học sinh khơng có học sinh lớp đứng cạnh là: A 11 B 630 126... vào hộp cho hộp có cầu VÍ DỤ 9: Có cách xếp học sinh nam học sinh nữ vào dãy ghế dài cho học sinh nam khơng ngồi cạnh Nhận xét:Ta sử dụng phương pháp tạo vách ngăn sau: + Xếp học sinh nữ vào. .. đến quy tắc đếm xác suất - Rèn luyện cho học sinh việc định hướng chọn lượng kiến thức phù hợp tồn lời giải - Các giải pháp nói khả thi giáo viên dạy lớp 11, 12 học sinh lớp 11 luyện tập, học sinh