(NB) Tiếp nội dung phần 1, Giáo trình Đại số tuyến tính: Phần 2 gồm có 2 chương, cung cấp cho người học những kiến thức như: Không gian vectơ; Ánh xạ tuyến tính. Mời các bạn cùng tham khảo!
Chương KHÔNG GIAN VECTƠ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Định nghóa Cho tập hợp V ≠ ∅ có hai phép toán; phép toán mà ta gọi phép cộng phép toán mà ta gọi phép nhân với số thực, +:V×V → V ( u, v ) u + v × : \×V → V ( k, u ) k ⋅ u ≡ ku Tập V với hai phép toán gọi không gian vectơ \ phép toán V thỏa tính chất sau, với u, v, w ∈ V , h, k ∈ \ , i) u + v = v + u , (tính giao hoán) ii) ( u + v ) + w = u + ( v + w ) , tính kết hợp) iii) tồn phần tử V, ký hiệu , cho u + = u ( gọi phần tử trung hòa phép cộng, đọc vectơ không), iv) ứng với u ∈ V , tồn phần tử V, ký hiệu −u , cho u + ( −u ) = (phần tử −u gọi phần tử đối hay vectơ đối u), v) h ( ku ) = ( hk ) u , vi) h ( u + v ) = hu + hv , vii) ( h + k ) u = hu + ku , viii) ⋅ u = u Không gian vectơ V ký hiệu đầy đủ laø ( V, +, ⋅) ⎧⎪⎛ a b ⎞ ⎫⎪ Ví dụ i) Tập ma trận vuông caáp 2, V = M2 ( \ ) = ⎨⎜ ⎟ a, b, c, d ∈ \ ⎬ ⎪⎩⎝ c d ⎠ ⎭⎪ với hai phép toán, cộng hai ma trận nhân số thực với ma trận, không gian vectơ ii) Tập \ = {( x, y, z) : x, y, z ∈ \} với hai phép toán, ( x1 , x2 , x3 ) + ( y1 , y2 , y3 ) = ( x1 + y1, x2 + y2 , x3 + y3 ) , k ( x1 , x2 , x3 ) = ( kx1 , kx2 , kx3 ) , thỏa điều kiện để trở thành không gian vectơ 39 Tổng quát : Tập \ n = {( x , x , , x ) n } x i ∈ \, i = 1, 2, , n , với hai phép toán ( x1 , x2 , , xn ) + ( y1, y2 , , y n ) = ( x1 + y1, x2 + y , , xn + yn ) , k ( x1 , x2 , , xn ) = ( kx1 , kx2 , , kxn ) , không gian vectơ 1.2 Định nghóa Cho ( V, +, ⋅) không gian vectơ u1 , u , , u n ∈ V Với dãy số k1 , k , , k n ∈ \ , ta goïi k1u1 + k 2u + + k n u n tổ hợp tuyến tính vectơ u1 , u , , u n Ví dụ i) Cho V = M2 ( \ ) Với ⎛1 0⎞ ⎛ 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎛ 0⎞ u1 = ⎜ ⎟ , u2 = ⎜ ⎟ , u3 = ⎜ ⎟ , u4 = ⎜ ⎟∈V, ⎝1 0⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ 0⎠ ⎝1 1⎠ vaø k1 , k , k , k ∈ \ , ta có tổ hợp tuyến tính u1 , u , u , u laø ⎛ k + k3 k1u1 + k 2u + k 3u + k u = ⎜ ⎜k + k ⎝ k2 + k3 ⎞ ⎟∈V k + k ⎟⎠ ii) Với V = \ , u1 = (1,1, ) , u = ( 0,1,1) , u = (1, 0,1) , ta có tổ hợp tuyến tính u1 , u , u laø k1u1 + k 2u + k 3u = ( k1 + k , k1 + k , k + k ) , với k1 , k , k ∈ \ 1.3 Định nghóa Cho V không gian vectơ, W ⊂ V, W ≠ ∅ Nếu với u, v ∈ W , k ∈ \ , ta có u + v, ku ∈ W , ta nói W không gian vectơ hay vắn tắt không gian V , ký hiệu W ≤ V Ví dụ i) Với V = \ W1 = ( x, ) , ( y, ) ∈ W1 , k ∈ \ , {( x, 0) : x ∈ \} , ta coù W1 ⊂ V , W1 ≠ ∅ với ( x, 0) + ( y, 0) = ( x + y, 0) ∈ W1 , k ( x, ) = ( kx, ) ∈ W1 Do W1 ≤ V Với W2 = ( n, 2n ) ∈ W2 , {( m, 2m ) : m ∈ \} , ta coù W2 ⊂ V , W2 ≠ ∅ với k ∈\, ( m, ( ) 2m ) + ( n, 2n ) = m + n, ( m + n ) ∈ W2 , 40 ( m, 2m ) , k ( m, 2m ) = ( km, 2km ) ∈ W2 Vậy W2 không gian vectơ V ii) Xét không gian vectơ ma trận vuông cấp 2, V = M2 ( \ ) , W tập hợp ma trận chéo cấp 2, ⎧⎪⎛ a ⎞ ⎫⎪ W = ⎨⎜ ⎟ a, b ∈ \ ⎬ ⊂ V ⎩⎪⎝ b ⎠ ⎭⎪ Do W ≠ ∅ , tổng hai ma trận chéo ma trận chéo tích ma trận chéo với số thực ma trận chéo Nói khác đi, tổng hai phần tử W phần tử W , tích phần tử thuộc W với số phần tử W nên tập hợp tất ma trận chéo cấp không gian vectơ không gian ma trận vuông cấp hai iii) Xét V = \ W = không rỗng V {( m + n, m − n, n ) với } m, n ∈ \ Ta có W taäp k ∈\, u = ( m2 + n2 , m2 − n2 , n2 ) ∈ W , ta coù u1 + u = (( m u1 = ( m1 + n1 , m1 − n1 , n1 ) , ) + m2 ) + ( n1 + n2 ) , ( m1 + m2 ) − ( n1 + n2 ) , n1 + n2 ∈ W , ku1 = ( km1 + kn1 , km1 − kn1 , kn1 ) ∈ W Do W ≤ V = \ 1.4 Định lý Cho V không gian vectơ hệ vectơ S = {u1 , u , , u n } ⊂ V Tập W tổ hợp tuyến tính u1 , u , , u n không gian vectơ V , W = {k1u1 + k 2u + + k n u n : k1 , k , , k n ∈ \} ≤ V Ta nói W không gian vectơ sinh S , hay S sinh W , ký hiệu W = S = u1 , u , , u n Ví dụ Với V W cho ví dụ 3, phần iii), ta có W= neân W = {( m + n, m − n, n ) m, n ∈ \} = {( m, m, 0) + ( n, −n, n ) m, n ∈ \} = {m (1,1, ) + n (1, −1,1) m, n ∈ \} (1,1, 0) , (1, −1,1) vaø không gian vectơ V Xuất phát từ nhận xét tập nghiệm W hệ phương trình tuyến tính theo n ẩn số tập không rỗng \ n tổng hai nghiệm hệ phương trình tuyến tính tích nghiệm hệ phương trình tuyến tính với số nghiệm hệ phương trình đó, ta 41 Tập hợp tất nghiệm hệ phương trình tuyến tính theo n ẩn số không gian vectơ \ n Hơn nữa, phương pháp Gauss, ta tìm tập sinh không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính Ví dụ Cho hệ phương trình ⎧ x1 ⎪ ⎪ 3x1 ⎨ ⎪4x1 ⎪ 3x ⎩ + 2x + 5x2 + 5x2 + 8x2 + + − 4x 6x 2x + 24x3 − 3x = 3x = 4x4 = − 19x4 = − + Giải hệ phương trình trên, ta nhận nghiệm ( 8m − 7n, −6m + 5n, m, n ) ; m, n ∈ \ Vaäy tập nghiệm hệ W= {( 8m − 7n, −6m + 5n, m, n ) } ( 8, −6,1, 0) , ( −7, 5, 0,1) m, n ∈ \ = ≤ \4 Đặc biệt, S = V , ta noùi S sinh V Khi đó, vectơ V tổ hợp tuyến tính phần tử S , nghóa ứng với vectơ v ∈ V , ta tìm k1 , k , , k n ∈ \ cho v = k1 v1 + k v2 + + k n v n Ví dụ Xét V = \ S = {e1 , e2 , e3} ⊂ \ , với e1 = (1,1, ) , e2 = (1, 0,1) , e3 = ( 0,1,1) a) Với v = ( 2, 4, ) ∈ \ vaø k1 , k , k ∈ \ , ta coù v = k1e1 + k 2e2 + k 3e3 ⇔ ( 2, 4, 6) = k1 (1,1, ) + k (1, 0,1) + k ( 0,1,1) ⎧ k1 ⎪ ⇔ ⎨ k1 ⎪ ⎩ + k2 k2 = + k3 + k3 = (3.1) = Chú ý rằng, hệ (3.1) có nghiệm, nghóa tồn k1 , k , k ∈ \ cho v = k1e1 + k 2e2 + k 3e3 , v tổ hợp tuyến tính phần tử S Nếu hệ (3.1) vô nghiệm, nghóa không tồn k1 , k , k cho v = k1e1 + k 2e2 + k 3e3 , v không tổ hợp tuyến tính phần tử S 42 Do hệ (3.1) có nghiệm ⎧ k1 = ⎪ ⎨k = ⎪k = ⎩ nghóa v = 0e1 + 2e2 + 4e3 nên v tổ hợp tuyến tính phần tử S b) Nếu vectơ sinh \ Ngược lại, tuyến tính S S hay không, ta xét vectơ v ∈ \ tổ hợp tuyến tính vectơ S S tồn vectơ v ∈ \ cho v không tổ hợp không sinh \ Do đó, để kiểm tra xem S có sinh \ bất kyø v = ( a, b, c ) ∈ \ Do v tổ hợp tuyến tính vectơ S ⇔ tồn k1 , k , k ∈ \ cho v = k1e1 + k 2e2 + k 3e3 ⎧ k1 ⎪ ⇔ ⎨ k1 ⎪ ⎩ + k2 k2 = a + k3 + k3 = b , có nghiệm = c Hệ phương trình nêu hệ Cramer nên luôn có nghiệm bất chấp tham số a, b, c Do vectơ v ∈ \ tổ hợp tuyến tính phần tử S Vậy S sinh \ 1.5 Định nghóa Cho V không gian vectơ hệ vectơ S = {e1 , e2 , , en } ⊂ V Ta noùi S độc lập tuyến tính với k1 , k , , k n ∈ \ , neáu k1e1 + k 2e2 + + k n en = k1 = k = = k n = Khi S không độc lập tuyến tính, ta nói S phụ thuộc tuyến tính, nghóa tồn k1 , k , , k n ∈ \ không đồng thời (có k i ≠ ) cho k1e1 + k 2e2 + + k n en = Ví dụ Cho V = \ vaø S = {e1 , e2 , e3} ⊂ \ với e1 = (1,1, 0) , e2 = (1, 0,1) , e3 = ( 0,1,1) Với k1 , k , k ∈ \ bất kỳ, ta coù ⎧ k1 ⎪ k1e1 + k 2e2 + k 3e3 = ⇔ ⎨k1 ⎪ ⎩ + k2 k2 = + k3 + k3 = (3.2) = Ta nhận hệ phương trình tuyến tính theo ẩn k1 , k , k Nếu hệ phương trình có nghiệm tầm thường k1 = k = k = , S độc lập tuyến tính Ngược lại, hệ có nghiệm tầm thường, 43 nghóa có k1 , k , k không đồng thời cho k1e1 + k 2e2 + k 3e3 = , S phụ thuộc tuyến tính Trong ví dụ này, hệ (3.2) có nghiệm tầm thường k1 = k = k = Vaäy S độc lập tuyến tính Ví dụ Cho V = \ vaø S = {u1 , u , u 3} ⊂ \ với u1 = (1, −2,1) , u = ( 2,1, −1) , u = ( 7, −4,1) Với k1 , k , k ∈ \ bất kỳ, ta có ⎧ k1 ⎪ k1u1 + k 2u + k 3u = ⇔ ⎨−2k1 ⎪ k ⎩ + 2k + 7k = k2 − 4k = + − k2 + k3 (3.3) = Hệ (3.3) có nghiệm không tầm thường nên ta kết luận S phụ thuộc tuyến tính Cụ thể, giải hệ (3) phương pháp Gauss, ta nhận nghiệm tổng quát hệ ( −3m, −2m, m ) , m ∈ \ Với m = −1 , ta nghiệm không tầm thường ⎧ k1 = ⎪ ⎨k = ⎪ ⎩ k = −1 Điều có nghóa laø 3u1 + 2u − u = S phụ thuộc tuyến tính CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU CỦA MỘT KHÔNG GIAN VECTƠ 2.1 Định nghóa Cho V không gian vectơ S = {e1 , e2 , , en } ⊂ V Ta nói S sở V i) S = V , nghóa S sinh V, ii) S độc lập tuyến tính Khi đó, ta nói V không gian vectơ hữu hạn chiều Người ta chứng minh sở khác V phải có n vectơ giá trị n gọi số chiều V , ký hiệu dim V = n Khi đó, ứng với vectơ v ∈ V , tồn k1 , k , , k n ∈ \ cho v = k1 v1 + k v2 + + k n v n Bấy giờ, k1 , k , , k n gọi tọa độ v sở S , ký hiệu ⎛ k1 ⎞ ⎜ ⎟ k ⎡⎣ v ⎤⎦ = ⎜⎜ ⎟⎟ S # ⎜ ⎟ ⎜k ⎟ ⎝ n⎠ 44 Ví dụ GG G G i) Cho V = \ Ta có S = i, j , với i = (1, ) , j = ( 0,1) sở V G G với vectơ v = ( a, b ) ∈ \ , ta có v = + b j ta { } ⎛a⎞ ⎡⎣ v ⎤⎦ = ⎜ ⎟ S ⎝ b⎠ S gọi sở tắc \ Tọa độ thứ tự sở tắc thành phần thứ tự Hệ vectơ S′ = {e1′ , e′2 } ⊂ \ , với e1′ = (1,1) , e′2 = ( −1,1) , sở \ với vectơ v = ( a, b ) ∈ \ , ta coù ⎧⎪k v = k1e1 + k 2e2 ⇔ ⎨ ⎪⎩k1 ⎧⎪ k1 = ⇔⎨ = b ⎪⎩ k = − k2 = a + k2 a+b b−a Do đó, ⎡⎣ v ⎤⎦ S′ Tổng quát Xét \ n = ⎛ a+b ⎞ =⎜ ⎟ ⎜ b−a ⎟ ⎝ ⎠ {( x , x , , x n ) } x i ∈ \, ∀i = 1, n Ta coù B = {e1 , e2 , , en } , với ⎧e1 = (1, 0, , ) ⎪ ⎪e2 = ( 0,1, , ) ⎨ ⎪ ⎪e = 0, 0, ,1 ) ⎩ n ( sở \ n , gọi sở tắc Khi đó, với vectơ v = ( x1 , x2 , , x n ) ∈ \ n , v = x1e1 + x 2e2 + + x n en ta suy ⎡⎣ v ⎤⎦ B ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜x ⎟ =⎜ 2⎟ # ⎜ ⎟ ⎜x ⎟ ⎝ n⎠ Ví dụ 10 Xét V = \ vaø B = {e1 , e2 , e3} sở tắc \ , e1 = (1, 0, ) , e2 = ( 0,1, ) , e3 = ( 0, 0,1) 45 Với v = (1, 2, 3) ∈ \ , ta coù ⎛1 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 2⎟ ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠ ⎣⎡ v ⎦⎤B Laáy B′ = {f1 , f2 , f3} , với f1 = (1,1, 0) , f2 = (1, 0,1) , f3 = ( 0,1,1) , sở khác \ Ta coù ⎣⎡ v ⎦⎤B′ ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ x ⎟ ⇔ v = x1f1 + x f + x 3f ⇔ ⎜x ⎟ ⎝ 3⎠ ⎧ x1 ⎪ ⎨ x1 ⎪ ⎩ + x2 x2 = + x3 + x3 ⎧ x1 = ⎪ = ⇔ ⎨ x2 = ⎪x = = ⎩ Vaäy ⎡⎣ v ⎤⎦ B′ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ = ⎜1 ⎟ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ 2.2 Định lý Cho B = {e1 , e2 , , en } , B′ = {f1 , f2 , , f n } hai sở không gian vectơ V Khi đó, với v ∈ V ta coù ⎡⎣ v ⎤⎦ = A ⎡⎣ v ⎤⎦ , B B′ ( A = ⎡⎣ f1 ⎤⎦ B ) ⎡⎣ f ⎤⎦ " ⎡⎣ f n ⎤⎦ B B Ma trận A gọi ma trận đổi sở từ B qua B′ , ký hiệu PB →B′ Ví dụ 11 Với hai sở B B′ ví dụ 10, ta ma trận đổi sở từ B qua B′ laø ( PB →B′ = ⎣⎡ f1 ⎦⎤ B ⎣⎡ f2 ⎦⎤B ⎡⎣ f3 ⎤⎦ B ) ⎛1 0⎞ ⎜ ⎟ = ⎜1 1⎟ ⎜0 1⎟ ⎝ ⎠ tọa độ v = (1, 2, 3) ∈ \ hai sở liên hệ với qua đẳng thức ⎣⎡ v ⎦⎤B = PB →B′ ⎣⎡ v ⎦⎤B′ ⎛1 ⎞ ⎛ 1 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⇔ ⎜ 2⎟ = ⎜ 1 ⎟ ⎜1⎟ ⎜ 3⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ Từ định lý 2.2, ta suy với hai sở B B′ cho trước không gian vectơ, ta biết ma trận đổi sở từ sở qua sở tọa độ vectơ sở ta suy tọa độ sở lại, ⎡⎣ v ⎤⎦ = PB →B′ ⎡⎣ v ⎤⎦ , B B′ ⎡⎣ v ⎤⎦ = PB′→B ⎡⎣ v ⎤⎦ B′ B 46 Hơn nữa, ta có tính chất sau 2.3 Tính chất Với ba sở B , B′ B′′ không gian vectơ V , ta coù ( i) PB′ →B = PB →B′ ) −1 , ii) PB →B′′ = PB →B′ PB′→B′′ Ví dụ 12 Tìm ma trận đổi sở từ B qua B′ cho ví dụ 11 Cách Dùng tính chất 2.3, với PB →B′ ⎛1 0⎞ ⎜ ⎟ = ⎜1 1⎟ ⎜0 1⎟ ⎝ ⎠ ta suy PB′ →B = ( PB →B′ ) −1 ⎛ ⎜ = ⎜ 12 ⎜ ⎜− ⎝ − 12 ⎞ ⎛ 1 −1 ⎞ ⎟ 1⎜ ⎟ ⎟ = ⎜ −1 ⎟ ⎟ 2⎜ ⎟ ⎟ ⎝ −1 1 ⎠ ⎠ − 12 Cách Dùng định nghóa ma trận đổi sở : (P B →B′ ) −1 ( = ⎡⎣ e1 ⎤⎦ B′ ⎡⎣e2 ⎤⎦ B′ ⎡⎣ e3 ⎤⎦ B′ ) ⎛ ⎜ = ⎜ 12 ⎜ ⎜− ⎝ 2 − 12 − 12 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ Khi đó, với v = ( 4, −2, ) , tọa độ v sở B ⎡⎣ v ⎤⎦ B ⎛4⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ −2 ⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠ vaø tọa độ v sở B′ laø ⎡⎣ v ⎤⎦ = PB′→B ⎡⎣ v ⎤⎦ B′ B ⎛ ⎜ = ⎜ 12 ⎜ ⎜ ⎝− 2 − 12 − 12 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ −2 ⎟ = ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎠ ⎝ −3 ⎠ ⎠⎝ Ví dụ 13 Ngoài sở B qua B′ cho ví dụ 11, xét sở { } B′′ = g1 = (1, 0, ) , g = (1,1, ) , g = (1,1,1) Tìm ma trận đổi sở PB′ →B′′ Dùng tính chất 2.3, với 47 PB →B′ ⎛1 0⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ 1 ⎟ vaø PB →B′′ = ⎜ 1 ⎟ , ⎜0 1⎟ ⎜ 0 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ta −1 PB′ →B′′ = PB′ →B PB →B′′ = ( PB →B′ ) PB →B′′ ⎛ 1 −1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞ 1⎜ ⎟⎜ ⎟ 1⎜ ⎟ = ⎜ −1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ = ⎜ 1 ⎟ 2⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎝ −1 1 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ ⎠ HẠNG CỦA MỘT HỆ VECTƠ 3.1 Định nghóa Cho V không gian vectơ S = {v1 , v , , } hệ vectơ V Khi đó, số chiều không gian sinh S gọi hạng hệ vectơ S , ký hiệu rank S Đặt W = S ≤ V Nếu S độc lập tuyến tính S trở thành sở cho W dim W = n = rank S Nếu S không độc lập tuyến tính, nghóa tồn k1 , k , , k n ∈ \ không đồng thời cho k1v1 + k v2 + + k n = Không tính tổng quát, giả sử k1 ≠ Bấy v1 ∈ v , , nên bỏ bớt vectơ v1 khỏi S, ta nhận hệ S′ gồm n − vectơ sinh W Nếu hệ S′ độc lập tuyến tính trở thành sở W dim W = rank S = n − , Vì vậy, hạng hệ S số vectơ độc lập tuyến tính tối đại S , nghóa rank S = r S có r vectơ độc lập tuyến tính hệ S có nhiều r vectơ phụ thuộc tuyến tính Nhận xét với S hệ vectơ không gian vectơ V , ta thay đổi vectơ S cách - đổi chỗ (hoán vị) hai vectơ, - nhân vectơ S với số khác 0, - thay vectơ S vectơ cộng số nhân với vectơ khác S, ta nhận hệ vectơ S′ với S = S′ Từ đó, ta có giải thuật tìm hạng hệ vectơ sau 3.2 Giải thuật tìm hạng hệ vectơ Cho V không gian vectơ với sở B hệ vectơ S = {v1 , v , , } ⊂ V Đăt W = S Ta có giải thuật tìm hạng hệ vectơ S 48 Bài 23: Khơng khai triển, tính định thức: a b c bc b c a ca c a b ab 1 1 Bài 24: Không khai triển định thức chứng minh rằng: x y z 1 x y z z y x z2 z y2 x2 z y x y2 x2 Bài 25: Chứng minh rằng: a a2 b) b b (b a)(c a)(c b) c c2 a bc a) b ca (b a)(c a)(c b) c ab 1 c) a b c (a b c)(b a)(c a )(c b) a b3 c Bài 26: Hãy tính định thức sau cho biết ma trận tương ứng khả nghịch: a) a a2 a2 a a a2 x 2 x 3x b) x 3x 4 x 3x 5 x 10 x 17 80 1 x x c) x 1 x x x 1 a b c a b b 2c 2a d) b c a b c c 2a 2b c a b c a a 2b 2c a 1 e) b 1 c 1 d 1 0 a b f) c a c b b c a c b a g) a a a a a b b a b c b c a b c d Bài 27: Áp dụng ma trận nghịch đảo Hãy giải phương trình ma trận sau: 1 2 3 5 X a) 3 4 5 9 3 3 b) 4 X 10 1 10 Bài 28: Xét xem hệ phương trình tuyến tính sau có hệ Cramer không giải chúng: 2 x1 x2 x3 4; a) 3 x1 x2 x3 11; 3 x x x 11 x1 x2 3x3 x4 6; 2 x1 x2 x3 3x4 4; b) 3x1 x2 x3 x4 4; 2 x1 3x2 x3 x4 8 Bài 29: Giải hệ phương trình sau: x1 x2 x3 6; a) 2 x1 x2 x3 16; 5 x x x 16 x1 x2 x3 1; 7 x1 x2 3x3 15; b) 5 x1 x2 x3 15; c) x1 x2 x3 4; x x x 10 x 11x x 36 3 3 x1 x2 x3 5; d) 2 x1 x2 x3 1; 2 x x x 11 x1 x2 x3 x4 2; x1 x2 3x3 x4 2; e) 2 x1 3x2 x3 x4 2; x1 x2 x3 x4 81 x1 x2 x3 x4 5; x1 x2 3x3 x4 3; g) 4 x1 x2 x3 3x4 7; 3 x1 x2 3x3 x4 2 x1 x2 x3 x4 5; x1 x2 3x3 x4 1; f) 3 x1 x2 x3 x4 8; 2 x1 x2 x3 3x4 2 x1 x2 3x3 x4 4; 3x1 3x2 3x3 x4 6; h) 3x1 x2 x3 x4 6; 3x1 x2 3x3 x4 Bài 30: Giải biện luận hệ pt sau: mx1 x2 x3 1; a) x1 mx2 x3 m; x1 x2 mx3 m ax1 x2 x3 4; b) x1 bx2 x3 3; x x x 3 x1 x2 x3 x4 3; 2 x1 3x2 x3 x4 5; d) x1 x2 x3 20 x4 11; 4 x1 x2 x3 x4 x1 ax2 a x3 a ; c) x1 bx2 b x3 b3 ; x1 cx2 c x3 c mx1 x2 x3 x4 x1 mx2 x3 x4 e) x1 x2 mx3 x4 x x x mx 1; m; m2 ; f) m3 x1 x2 x3 1; ax1 bx2 cx3 d ; 2 2 a x1 b x2 c x3 d Bài 31: Dùng thuật toán Gauss Gauss-Jordan để giải hệ pt sau: x1 x2 3x3 x4 2; a) 2 x1 x2 x3 x4 1; 5 x 12 x x x 7; x1 x2 x2 x3 x4 5; b) x1 x2 x3 x4 x2 x4 10 82 Bài 32: Cho hệ phương trình: 5 x1 x2 x3 x4 3; 4 x1 x2 3x3 x4 1; 8 x1 x2 x3 x4 9; 7 x1 3x2 x3 17 x4 Xác định giá trị tham số cho: a) Hệ phương trình có vơ số nghiệm b) Hệ phương trình vơ nghiệm c) Hệ phương trình có nghiệm Bài 33: 1; x1 x2 x3 Cho hệ phương trình x1 x2 kx3 3; x kx +3 x 2 Xác định giá trị tham số k cho: a) Hệ phương trình có vơ số nghiệm b) Hệ phương trình vơ nghiệm c) Hệ phương trình có nghiệm Bài 34: kx1 x2 x3 =1; Cho hệ phương trình x1 kx2 x3 1; x x + kx =1 Xác định giá trị tham số k cho: a) Hệ phương trình có vơ số nghiệm b) Hệ phương trình vơ nghiệm c) Hệ phương trình có nghiệm 83 Bài 35: Tìm tam thức bậc hai f(x) biết: f(1) = -1; f(-1) = 9; f(2) = -3 Bài 36: Tìm đa thức bậc ba g(x) biết: g(-1) = 0; g(1) = 4; g(2) = 3; g(3) = 16 Bài 37: y +z m mx Cho hệ phương trình 2 x (1 m) y (1 m) z m x y mz 1 Tìm giá trị m để hệ có nghiệm Bài 38: ax y z 2 Cho hệ phương trình ax y z , a, b tham số 3x y z b a) Xác định a, b để hệ hệ Cramer, giải tìm nghiệm hệ b) Tìm a, b để hệ vơ nghiệm c) Tìm a, b để hệ có vơ số nghiệm Bài 39: Tìm điều kiện để hệ phương trình sau có nghiệm: ax y z a x by z b x y cz c 84 KHÔNG GIAN VECTƠ -o0o Bài 1: Trong không gian vectơ ℝ4 , cho hệ vectơ sau: {u1 (1,2, 1, 2); u2 (2,3,0,1); u3 (1,2,1,3); u4 (1,3, 1, 2)} (a) Tìm điều kiện tham số a để vectơ x (7,14, 1, a) tổ hợp tuyến tính hệ cho (b) Tìm sở số chiều không gian sinh hệ vectơ {ui }, i 1, ,4 Bài 2: Cho V K - không gian vectơ Chứng minh rằng: (a) Nếu vectơ x, y, z V độc lập tuyến tính x y, y z, z x độc lập tuyến tính (b) Nếu vectơ x, y, z V độc lập tuyến tính x y, y z, z x có độc lập tuyến tính hay khơng? (c ) Xét tính độc lập tuyến tính vectơ ℝ3 : x (1,0, 2); y (2,1, 4); z (3,1, 6) Bài 3: Trong ℝ4 , cho tập F {x ( x1 , x2 , x3 , x4 ) / x1 x2 x3 0; x1 x3} (a) Chứng tỏ F không gian (b) Tìm sở số chiều F Bài 4: Trong R , cho tập F {x ( x1 , x2 , x3 , x4 ) / x1 x2 x3 x4 0; x1 x2} (a) Chứng tỏ F không gian ℝ4 (b) Tìm sở số chiều F Bài 5: Trong không gian 𝑀2 (ℝ) ma trạn vuông cấp 2, cho tập 4 F { X M ( ) / AX 0} ,trong đó, A 1 (a) Chứng tỏ F không gian 𝑀2 (ℝ) (b) Tìm sở số chiều F Bài 6: Trong ℝ4 , cho hai tập 85 U {x ( x1 , x2 , x3 , x4 ) / x1 x2 x3 x4 0}; V { y ( y1 , y2 , y3 , y4 ) / y1 y2 y3 y4 0} (a) Chứng tỏ U, V khơng gian ℝ4 (b) Tìm sở số chiều U V Chứng tỏ U V Bài 7: Trong ℝ4 , cho hai hệ vectơ: W {(1,1,1,1);(1,1, 1, 1);(1, 1,1, 1);(1, 1, 1,1)}; U {(1,1,0,1);(2,1,3,1);(1,1,0,0);(0,1, 1, 1)} (a) Chứng tỏ W, U sở ℝ4 (b) Tìm tọa độ vectơ x (1,2,1,2) sở W Bài 8: Tìm sở số chiều khơng gian nghiệm hệ phương trình sau: x y z 3t 3 x y z 4t 4 x y z 3t 3 x y 24 z 19t Bài 9: Tìm sở số chiều khơng gian nghiệm hệ phương trình sau: 2 x y z t x y 2z 2 y z t x y t x y z t Bài 10: Gọi W1 W2 không gian nghiệm hệ phương trình sau ℝ: x x x1 x3 x4 x1 x2 x4 x2 x3 Tìm sở số chiều cho không gian W1 ,W2 ,W1 W2 ,W1 W2 Bài 11: Trong ℝ - không gian vectơ P2 [ x] , cho tập M {x2 x 1;2 x 1;3} 86 (a) Chứng minh M sở P2 [ x] (b) Tìm tọa độ vectơ u x x sở Bài 12: Trong ℝ3 , cho sở: U {u1 (1,1,1); u2 (1,1,0); u3 (1,0,0)}; V {v1 (2,1, 1); v2 (3,2,5); v3 (1, 1,1) (a) Tìm tọa độ vectơ x (2, 4,6) sở U (b) Tìm ma trận chuyển từ sở U sang sở V Bài 13: Trong không gian ℝ4 , cho không gian sau: W1 {(a, b, c, d ) / b 2c d 0};W2 {(a, b, c, d ) / a d , b 2c} Tìm sở số chiều W1 ,W2 ,W1 W2 ;W1 W2 Từ đó, chứng minh W1 W2 Bài 14: Trong không gian ℝ4 , cho không gian sau: W1 {(a, b, c, d ) / a 2b c d 0};W2 {(a, b, c, d ) / 2a 2b c d 0} (a) Chứng minh W1 ,W2 không gian (b) Tìm sở số chiều W1 ,W2 ,W1 W2 Bài 15: Trong không gian vectơ ℝ5 , xét hệ gồm vectơ u1 (1,1, 2,1,4); u2 (0,1, 1,2,3); u3 (1, 1,0, 3,0) (a) Tìm sở số chiều không gian sinh vectơ u1 , u2 , u3 (b) Tìm giá trị m để vectơ x (1, m,1, m 3, 5) W Khi đó, tìm tọa độ vectơ x sở {u1 , u2 , u3} Bài 16: Trong không gian ℝ3 , cho W không gian sinh hệ vectơ sau: W {u1 (1,2, 1); u2 (3,1, 2); u3 (4,1,1); u4 (2,4, 2)} (a) Tìm sỏ số chiều W (b) Chứng tỏ không gian sinh hai vectơ u1 u với không gian sinh hai vectơ u3 u 87 Bài 17: Trong M ( ) , cho hai không gian con: a b a c d F {A / a, b }; G { a b 2a c d (a) Xác định tập F G (b) Tìm sở số chiều F G 2c / c, d } $ c 5d Bài 18: Trong không gian ℝ4 , cho vectơ: u1 (1,1,0,0); u2 (1,1,1,1); u3 (0, 1,0,1); u4 (1,2, 1, 2) Gọi E không gian sinh hệ {u1 , u2 , u3 , u4 } (a) Tìm sở số chiều E (b) Tìm điều kiện cần đủ để vectơ x ( x1 , x2 , x3 , x4 ) E Bài 19: Trong không gian M ( ) , cho tập b a F {A / a, b } b a b (a) Chứng tỏ F không gian M ( ) (b) Tìm sở số chiều F Bài 20: Trong không gian vectơ ℝ𝑛 , cho tập V có dạng: V {x ( x1 , , xn ) n / x1 x2 (a) Chứng minh V không gian (b) Tìm sở số chiều V n Bài 21: Cho hệ phương trình tuyến tính a x y 2t 2 x y z 5t b c x y 5t 3x y 3z 9t d 2 x y z 2t e Xét W {(a, b, c, d , e) / hệ phương trình (*) có nghiệm } 88 xn 0} (*) Tìm sở số chiều W Bài 22: (a) Cho hệ vectơ 1 , 2 , , m độc lập tuyến tính Chứng minh hệ vectơ 1 1; 2 1 ; ; m 1 m độc lập tuyến tính (b) Trong khơng gian ma trận vng cấp hai M ( ) , cho vectơ sau: 1 3 1 u ; u1 2 2 Hỏi u có phải tổ hợp tuyến tính 0 1 1 1 ; u2 ; u3 0 0 0 1 u1; u2 ; u3 không? Bài 23: Trong không gian P1[ x] , xét sở B {6 3x;10 x}; B {2;3 x} (a) Tìm ma trận chuyển từ sở B sang sở B' (b) Tìm tọa độ p 4 x sở B, từ suy tọa độ p sở B’ Bài 24: Trong khơng gian ℝ3 với tích vơ hướng tắc, cho khơng gian F {(a, b, c) / a b c 0} (a) Tìm sở số chiều F (b) Với giá trị m x (2, 2, m) trực giao với không gian F? Bài 25: Trong không gian vectơ Euclide ℝ4 , cho không gian vectơ W {(a, b, c, d ) R / a b c 0; a b d 0} (a) Tìm sở W (b) Tìm tất vectơ trực giao với W Bài 26: 3 Trong không gian M ( ) , cho ma trận A 1 Ta gọi tập W { X M ( ) / AX 0} (a) Chứng minh W không gian M ( ) (b) Tìm sở số chiều W 89 Bài 27: Trong không gian vectơ ℝ3 , cho hai hệ vectơ: U {(1,1,1);(1,1, 2);(1, 2,3)}; V {(2,1, 1);(3, 2, 5);(1, 1, m)} (a) Xác định m để V sở (b) Tìm tọa độ vectơ u (1,0,0) sở U (c) Tìm ma trận chuyển từ sở U sang sở V Bài 28: Cho hệ phương tŕnh tuyến tính x y 2z t 2 x y z t x y z mt (a) Tìm tập nghiệm hệ phương trình (b) Gọi W không gian nghiệm hệ cho Với giá trị m W có số chiều lớn 1? Bài 29: Trong không gian P3[ x] đa thức có bậc nhỏ 3, xét hai sở sau: U {1; x; x ; x3};V {1;( x 1);( x 1)2 ;( x 1)3} (a) Tìm ma trận chuyển từ sở U sang sở V (b) Tìm tọa độ vectơ f ( x) x3 x sở V Bài 30: {(0,1,0, 2),(1,1,0,1),(1, 2,0,1),( 1,0, 2,1)} Gọi {(1,0, 2, 1),(0,3,0, 2),(0,1,3,1),(0, 1,0,1)} hai sở ℝ4 (a) Tìm ma trận chuyển từ sở sang sở (b) Tìm tọa độ (2,0, 4,0) sở Bài 31: Trong khơng gian P3[ x] đa thức có bậc nhỏ hay (a) Chứng minh hai hệ vectơ U {u1 1; u2 x; u3 x ; u4 x 3} V {v1 1; v2 ( x 2); v3 ( x 2) ; v4 ( x 2)3} 90 hai sở P3[ x] (b) Hãy tìm ma trận chuyển từ sở U sang sở V Bài 32: Trong khơng gian vectơ Euclide ℝ4 với tích vơ hướng thơng thường, cho vectơ: 1 7 x (1,1,1,1); y (2, 2, 2, 2); z ( , , , ) 2 2 (a) Chứng tỏ hệ {x, y, z} hệ trực giao (b) Hãy bổ sung vào hệ cho thêm vectơ để có sở trực giao ℝ4 Bài 33: Trong không gian vectơ Euclide ℝ4 với tích vơ hướng thơng thường, cho vectơ x (0,1,1,1); y (3, 2,1,1); z (3,3, 4,1) (a) Chứng tỏ hệ {x, y, z} hệ trực giao (b) Hãy bổ sung vào hệ cho thêm vectơ để có sở trực giao ℝ4 Bài 34: Trong không gian Euclide ℝ3 , cho hai không gian con: U {x / x1 x2 x3 0; x1 x2 x3 0};V {x (a) Tìm sở số chiều U ;V ;U V (b) Hỏi U V có trực giao khơng? Vì sao? Bài 35: Trong không gian Euclide , cho tập con: W {x / x1 x2 x3 0} (a) Chứng tỏ W khơng gian (b) Tìm sở trực giao sở trực chuẩn W 91 / x2 x3 0} ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH -o0o Bài 1: Cho 𝑓: ℝ3 → ℝ3 ánh xạ tuyến tính cho f (1,1,2) (1,2,3), f (2,1,1) (0,1,1), f (2,2,3) (0, 1,0) Hãy xác định cơng thức f , nghĩa tìm f ( x1 , x2 , x3 ) Bài 2: Tìm ánh xạ tuyến tính : [t ] [t ] cho (1) t , (1 t ) 1 2t , (2 t ) 2t Bài 3: Tìm ánh xạ tuyến tính : M ( ) M ( ) cho ( X i ) Yi , 1 1 2 11 X1 , X , X , X 5 9 13 17 25 3 1 1 1 1 Y1 , Y , Y , Y 2 4 2 3 3 3 Bài 4: Tìm ánh xạ tuyến tính 𝑓: ℝ3 → ℝ3 cho Imf sinh (1, 2,3) (4,5,6) Bài 5: Cho ánh xạ tuyến tính 𝑓: ℝ3 → ℝ2 xác định f ( x, y, z ) ( x y, y z ) a Tìm sở chiều tập ảnh f b Tìm sở chiều hạt nhân f Bài 6: Cho ánh xạ tuyến tính 𝑓: ℝ3 → ℝ3 xác định f ( x, y, z ) ( x y z, y z, x y z ) a Tìm sở chiều tập ảnh f b Tìm sở chiều hạt nhân f 92 Bài 7: Cho ánh xạ tuyến tính 𝑓: ℝ4 → ℝ3 xác định f ( x, y, z, t ) ( x y z t , x z t , x y 3z 3t ) a Tìm sở chiều tập ảnh f b Tìm sở chiều hạt nhân f Bài 8: Cho ánh xạ tuyến tính 𝜑: ℝ5 → ℝ3 xác định ( x, y, z, s, t ) ( x y z 3s 4t , x y z 5s 5t , x y 5z s 2t ) a Tìm sở chiều tập ảnh b Tìm sở chiều hạt nhân Bài 9: Cho ánh xạ tuyến tính 𝜑: ℝ3 [𝑡 ] → ℝ3 [𝑡 ] xác định ( f (t )) f (t ) a Tìm sở chiều tập ảnh b Tìm sở chiều hạt nhân Bài 10: Cho ánh xạ tuyến tính : M ( ) M ( ) xác định ( X ) XA AX , 1 A 3 a Tìm sở chiều hạt nhân b Tìm sở chiều tập ảnh Bài 11: Xác định ánh xạ tuyến tính đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu a f : xác định f ( x, y) ( x y, x y) b f : xác định f ( x, y ) (2 x y,3x y) Bài 12: Cho tốn tử tuyến tính f ℝ3 xác định sau: 93 f ( x1 , x2 , x3 ) ((a 1) x1 x2 x3 ; x1 (a 1) x2 x3 ; x1 x2 (a 1) x3 ) Với a số thực a) Tìm a cho rank( f ) = 3, rank(f )