Giáo trình Đại số tuyến tính: Phần 2 - TS. Nguyễn Duy Thuận (chủ biên)

Giáo trình Đại số tuyến tính: Phần 2 gồm 3 chương, trình bày những nội dung sau: Ma trận và mối liên hệ giữa ma trận với không gian vectơ; dạng song tuyến tính và dạng toàn phương, một phần của lý thuyết dạng trong đại số tuyến tính nhưng lại có ảnh hưởng sâu sắc đến hình học, phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng; một số bài toán của quy hoạch tuyến tính. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chương V MA TRẬN MỞ ĐẦU Ta biết ma trận góp phần vào việc nghiên cứu lý thuyết hệ phương trình tuyến tính Bây ta tiếp tục tìm hiểu ma trận sâu nữa; đặc biệt nghiên cứu mối liên hệ ma trận ánh xạ tuyến tính Ta thấy rằng, ma trận ánh xạ tuyến tính liên hệ mật thiết với Khi cố định hai sở hai không gian vectơ ánh xạ tuyến tính hai khơng gian cho ma trận ngược lại, ma trận xác định ánh xạ tuyến tính Nhờ có ma trận mà ta xác định giá trị riêng vectơ riêng ánh xạ tuyến tính; xác định khơng gian bất biến ứng với giá trị riêng Ma trận xác định dạng ánh xạ tuyến tính đặc biệt dùng đến chương Vi phép biến đổi đối xứng, biến đổi trực giao Trái lại, nhờ vectơ riêng giá trị riêng ánh xạ tuyến tính mà đưa ma trận trở dạng đơn giản; ma trận chéo Nội dưng chương là: - Các phép toán ma trận; - Ma trận nghịch đảo ma trận vuông; - Giá trị riêng, vectơ riêng; - Chéo hoá ma trận Bạn đọc cần nắm vững vấn đề chúng áp dụng vào chương sau nhiều lĩnh vực khoa học khác Để học tốt chương bạn đọc cần nắm vững kiến thức không gian vectơ ánh xạ tuyến tính Trong sách ta kí hiệu tập hợp ma trận kiểu (m,n) với thành phần trường K Mat(m.n)(K) 183 §1 MA TRẬN CỦA MỘT ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 1.1 Định nghĩa Giả sử V W hai K-không gian vectơ với sở (ε) = { ε 1, , ε 2, , ε n}, (ξ) = { ξ 1, ξ 2, , ξ m} f: V → W ánh xạ tuyến tính mà gọi ma trận ánh xạ tuyến tính f hai sở (ε) (ξ) Có thể viết gọn đẳng thức (1) sau: Chú ý: Vì (ξ) sở W nên thành phần an xác định nhất; ma trận A xác định Ví dụ Giả sử Iv = V → V đồng cấu đồng không gian vectơ V, (ε) = { ε 1, , ε 2, , ε n} sở V Khi đó: Do ma trận IV sở (ε) là: 184 I gọi ma trận đơn vị Ma trận vuông I = (aij) gọi ma trận đơn vị Ví dụ Nếu V, W hai K-không gian vectơ với dimV = n, dimW = m đồng cấu có ma trận sở V W ma trận O kiểu (m,n) đây: O gọi ma trận không, tức ma trận mà thành phần Ví dụ Giả sử R2 R3 chọn sở tắc: f: R2 → R3 xác định f(a1, a2) = (a1, 3a2, a2 - 5a1) Khi đó: Do ma trận f hai sở Ví dụ Giả sử P3, P2 không gian gồm đa thức đa thức thuộc R[x] có bậc tương ứng khơng vượt q 3, khơng vượt d: P3 → P2 phép lấy đạo hàm, (ε) = {1, x, x2, x3}, (ξ) = {1, x, x2} sở P3 P2 Thế thì: d(1) = = 0.1 +0x + 0x2 d(x) = = 1.1 + 0x + 0x2 185 d(x2) = 2x = 0.1 + 2x + 0x2 d(x3) = 3x2 = 0.1 + 0x + 3x2 Do ma trận d hai sở Trên ta thấy cố định hai sở (ε) (ξ) V W, ánh xạ tuyến tính f V → W xác định ma trận Ngược lại ta thấy, ma trận xác định ánh xạ tuyến tính 1.2 Liên hệ HomK(V, W) với Mat(m.n)(K) Mệnh đề Giả sử V, W hai K-không gian vectơ (ε) = { ε 1, , ε 2, , ε n}, (ξ) = { ξ 1, ξ 2, , ξ m} sở cơm ích V W Khi đó: 1) Mỗi ma trận kiểu (m, n) xác định ánh xạ tuyến tính f: V → W 2) Có song ánh Φ: HomK(V, W) → Mat(m, n)(K) Chứng minh 1) Giả sử Đặt a1j ξ + a2j ξ + ,+ amj ξ m}, với j ∈ {1, 2, , n } theo định lí 1.2, Ch.III, có ánh xạ tuyến tính f xác định Hơn nữa, ma trận f A 2) Cố định hai sở V W Với f∈HomK(V, W), f xác 186 định ma trận A Xác định ánh xạ Φ: HomK(V, W) → Mat(m, n)(K) Φ(f) = A Với A∈Mat(m, n)(K), có ánh xạ tuyến tính f mà A ma trận nó; tức Φ(f) = A Do Φ tồn ánh Vì f xác định A nên Φ đơn ánh Vậy Φ song ánh  187 §2 CÁC PHÉP TỐN TRÊN CÁC TẬP MA TRẬN Ta biết tập hợp HomK(V, W) có phép cộng hai ánh xạ tuyến tính phép nhân ánh xạ tuyến tính với số Hơn nữa, cố định hai sở V W, ta có song ánh Φ: HomK(V, W) → Mat(m,n)(K) Bây ta muốn định nghĩa phép toán ma trận cho "phù hợp" với phép toán ánh xạ tuyến tính; chẳng hạn ma trận tổng hai ánh xạ phải tổng hai ma trận ánh xạ 2.1 Phép cộng Mệnh đề định nghĩa Giả sử A = (aij)(m,n) B = (bij)(m,n) ma trận hai ánh xạ tuyến tính f, g ∈ HomK(V, W) hai sở (ε) (ξ) chọn V W Thêm ma trận ánh xạ tuyến tính f + g hai sở C = (aij + bij)(m,n) Ma trận C gọi tổng hai ma trận A B, kí hiệu A + B Chứng minh Theo giả thiết Vậy ma trận f + g hai sở cho (aij + bij)(m,n) Quy tắc cộng ma trận Muôn cộng hai ma trận ta việc cộng thành phần tương ứng (cùng dòng, cột) chúng: 188 2.2 Phép nhân ma trận với số Mệnh đề định nghĩa Giả sửa = (aij)(m,n) ma trận ánh xạ tuyến tính f ∈ HomK(V, W) hai sở (ε) (ξ) chọn V W k ∈ K Thế ma trận ánh xạ tuyến tính kf hai sở ma trận C = (kaij)(m,n) Ma trận C gọi tích ma trận A với số k, kí hiệu kA Chứng minh Xin dành cho bạn đọc € Quy tắc nhân ma trận với số Muốn nhân ma trận A với số k ta việc nhân số k với thành phần A 189 2.3 Phép trừ Định nghĩa Ma trận (-1) A gọi đối ma trận A Kí hiệu –A Với hai ma trận A B, tổng A + (-B) gọi hiệu A B Kí kiệu A - B Như vậy, với A = (aij)(m,n) B - (bij)(m,n) ta có: - B = (- bij)(m,n), A - B = (aij-bij)(m,n) 2.4 Không gian vectơ Mat(m,n)(K) Bạn đọc dễ dàng chứng minh rằng, HomK(V, W), tập hợp Mat(m,n)(K) K-không gian vectơ Mệnh đề Phép cộng ma trận phép nhân ma trận với số thuộc trường K có tính chất sau: 1) A + B = B + A; 2) (A + B) + C = A + (B + C); 3) A + = A; 4) A + (-A) = 0; 5) k(A + B) = kA + kB; 6) (k + 1)A = kA + lA; 7) (k1)A = k(1a); 8) 1.A = A, (1 đơn vị trường K), với A, B, C ∈ Mat(m,n)(K), k, l ∈ K Nói gọn, với phép cộng hai ma trận phép nhân ma trận với số, Mat(n.n)(K) K-không gian vectơ € 190 mãn điều kiện 2X + A = B Giải Áp dụng mệnh đề 2.4, cộng - A vào hai vế đẳng thức 2X + A - B, ta có : 2.5 Tích hai ma trận Mệnh đề Giả sử không gian U, V, W chọn sở cô định, A = (aij)(m,n) ma trận ánh xạ tuyến tính f: V → W, B = (bjk)(n,p) ma trận ánh xạ tuyến tính g: U → V Thế ma trận ánh xạ tuyến tính fg ma trận Ma trận C gọi tích hai ma trận A B, kí hiệu AB Chứng minh Giả sử (ε) = { ε 1, , ε 2, , ε p} sở U, (ξ) = { ξ 1, ξ 2, , ξ n} sở V, (ξ) = { ξ 2, , ξ m} sở W Theo định nghĩa ma trận ánh xạ tuyến tính, ta có: 191 Quy tắc nhân hai ma trận Muốn tìm thành phần cik ma trận tích AB ta phải lấy thành phần aij dòng thứ i ma trận A nhân với thành phần bjk cột thứ k ma trận B cộng lại Có thể mô tả sơ đồ sau: Chú ý: 1) Theo định nghĩa, tích AB xác định số cột ma trận A số dòng ma trận B 2) Phép nhân ma trận khơng có tính giao hốn 192 Nghiệm tổng qt hệ (0, 0, c3); nghiệm (0, 0, 1) Không gian riêng tương ứng sinh vectơ (0, 0, 1) + Với k2 = − giải hệ phương trình: Nghiệm tổng quát hệ (c1, -(1 + (1, -(1 + ),0) )c1, 0), hệ nghiệm Không gian riêng tương ứng sinh vectơ (1, -(1 + + với k3 = ),0) giải hệ phương trình: Nghiệm tổng quát hệ (c1, ( -1), 0), hệ nghiệm (1, - 1, 0) Không gian riêng tương ứng sinh vectơ (1, - 1, 0) • Các giá trị riêng fg: K1 = 0, k2 = 1, k3 = - , k4 = 372 + với k = 0, giải hệ phương trình: Nghiệm tổng quát hệ (c1, -c1, 0, 0); hệ nghiệm (1, -1, 0, 0) Không gian riêng tương ứng sinh vectơ (1, -1, 0, 0) + Với k2 = 1, giải hệ phương trình: Nghiệm tổng quát hệ (0, 0, 0, c); hệ nghiệm (0, 0, 0, 1) Không gian riêng tương ứng sinh vectơ (0, 0, 0, 1) + Với k3 = - , giải hệ phương trình: Nghiệm tổng quát hệ (c1, -(1+ )c1, (2+ )c1, 0); hệ nghiệm (1, -(1+ ), (2 + ), 0) Không gian riêng tương ứng sinh vectơ (1, -(1+ ), (2+ ), 0) + Với k4 = giải hệ phương trình: 373 Nghiệm tổng quát hệ (c1, ( -1)c1, (2- )c1 , 0); hệ nghiệm (1, -1 , 2- , 0) Không gian riêng tương ứng sinh vectơ (1, -1 , 2- , 0) f) Ma trận BA chéo hố có giá trị riêng phân biệt Trong sở gồm vectơ {(0, 0, 1), (1, -1 ma trận gf ma trận chéo , 0), (1, -1+ , 0)} Gọi T ma trận chuyển từ sở tắc sang sở ta có C = T-1BAT Ma trận AB chéo hoá Trong sở gồm vectơ {(1, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1), (1, -1- , 2+ , 0), (1, -1, 2- , 0)} ma trận fg ma trận chéo Chương VI DẠNG SONG TUYẾN TÍNH VÀ DẠNG TOÀN PHƯƠNG Trên R3 ta xét sở tắc e = { 1, 2, 3} với = (1, 0, 0), = (0, 1, 0), = (0, 0, 1) Khi ma trận dạng song tuyến tính ϕ 374 R3 đố với sở e = { 1, 2, 3} Chính A = (ϕ ( i, j)) Theo định nghĩa Ma trận chuyển từ sở tắc e={ T= 1, 2, 3} sang sở (ξ) ma trận dạng song tuyến tính ϕ R3 sở (ξ) 375 giá trị riêng λ = - 1, λ = , ứng với λ = - có vectơ riêng ứng với λ = có vectơ riêng P= , đặt ta có ma trận: 376 Chương VII QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Gọi x1, x2 theo thứ tự số đơn vị loại hàng I, II cần sản xuất theo kế hoạch ngày Khi doanh thu ngày 7xl + 5x2 Do trữ lượng nguyên liệu có hạn lượng hàng sản xuất không vượt nhu cầu thị trường nên ta có: Và tất nhiên x1, x2 ≥ Từ ta lập mơ hình toán học cho toán thực tế Tập phương án X ≠ ∅ x* ∈ X Với phương án x = (x1, x2, x3) bất kì, cách cộng vế với vế bất phương trình hệ ràng buộc cưỡng ta có 7xl + x2 ≥ V x1 ≥ nên f(x) = 84x1 + x3 ≥ 7x1 + x3 ≥ = f (x*) với phương án x Từ suy điều phải chứng minh a) (4, 1); b) Tập phương án rỗng x1 phương án cực biên không suy biến, x2 phương án cực biên suy biến, x3 phương án cực biên Có tất phương án cực biên Bài tốn khơng suy biến phương án cực biên không suy biến Chú ý rằng, ràng buộc thứ hai xác định nửa mặt phẳng chứa gốc toạ độ, bờ ln qua điểm (x1, x2 ) = (0, 2), có hệ số góc (t) Xét trường hợp cho (-t) tăng dần từ - ∞ đến + ∞ (-π/2< φ 2/3; b) t < -1; c) -1 < t < 2/3; d) t = -1 10 a) Cách Biểu diễn hình học tập phương án, vẽ đường mức chứng tỏ khơng có vị trí giới hạn 377 Cách Tìm điều kiện t cho x = (t, t) phương án Khi f(x(t)) = 2t cho qua giới hạn ta điều phải chứng minh b) Xác định t cho x(t) = (0, t, 0, t) phương án Khi đó, tính f(x(t)) cho qua giới hạn ta điều phải chứng minh ∆j ≤ Với i nên phương án tối ưu 12 a) (71/10, 0, 0, 13/10, 0, 2/5) phương án tối ưu b) (1, 1, 1/2, 0) phương án tối ưu c) Hàm mục tiêu không bị chặn d) ( 0, 6, 2, 3, 0, ) phương án tối ưu e) ( 0, 0, 3, 4, 0) phương án tối ưu g) Tập phương án rỗng h) ( 1, 0, 6, 3) phương án tối ưu i) Hàm mục tiêu không bị chặn k) Tập phương án rỗng 378 BẢNG THUẬT NGỮ Trang A Ánh xạ 123 Ánh xạ tuyến tính 124 Ảnh ánh xạ tuyến tính 129 Ảnh vectơ 125 Ảnh ngược 129 Ẩn sở 153 Ẩn phi sở 153 B Bài toán chuẩn 37 Bài toán cực tiểu hoá 330 Bài toán dạng tắc 331 Bài tốn dạng chuẩn tắc 331 Bài tốn khơng suy biến suy biến 338 Bài tốn q hoạch tuyến tính 325 Bài tốn quy hoạch tuyến tính tổng qt 329 Bài tốn quy hoạch tốn học (tối ưu hố) 325 Bảng đơn hình 355 Bước lặp 353 C Chuẩn vectơ 263 Chuyển trí 20 Công thức đổi toạ độ 96 Cột xoay 357 379 Cơ sở không gian vectơ 85 Cơ sở tắc 86 Cơ sở ma trận 337 Cơ sở phương án cực biên 337 Cơ sở trực chuẩn 263 D Dạng chéo ma trận 213 Dạng tắc dạng tồn phương 185 Dạng cực dạng tồn phương 282 Dạng song tuyến tính 274 Dạng song tuyến tính đối xứng 274 Dạng tồn phương 283 Dạng toàn phương xác định 265 Dạng toàn phương xác định dương (âm) 265 Dấu phép Dòng xoay 22 341 Đ Đa thức đặc trưng 233 Đại số ma trận vuông Matn(K) 214 Đẳng cấu 136 Định thức 27 Định thức 35 Định thức bù 35 Đồng cấu 133 Đơn cấu 136 380 G Giao không gian 84 Giá trị riêng 229 Giá trị tối ưu 314 H Hàm mục tiêu 313 Hàm mục tiêu không bị chặn 314 Hạng hệ vectơ 104 Hạng ma trận 104 Hạt nhân ánh xạ tuyến tính 139 Hệ nghiệm hệ phương trình tuyến tính 180 Hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình tuyến tính 60 178 Hệ sinh không gian vectơ 84 Hệ vectơ độc lập tuyến tính 88 Hệ vectơ liên kết Hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính 324 88 Hiện tượng xoay vịng 336 Hình chiếu vectơ lên không gian 284 K Khai triển định thức theo dòng 36 Khai triển định thức theo r dịng 42 Khơng gian 81 Khơng gian bù trực giao 283 Không gian bất biến 230 Không gian vectơ ơclit 277 Không gian sinh hệ vectơ 84 381 Không gian vectơ 76 M Ma trận 25 Ma trận toạ độ 106 Ma trận chuyển (từ sở sang sở khác) 100 Ma trận chuyển vị 126 Ma trận ánh xạ tuyến tính 198 Ma trận dạng song tuyến tính 260 Ma trận đối xứng 264 Ma trận đặc trưng 233 Ma trận đồng dạng 227 Ma trận đơn vị 214 Ma trận nghịch đảo 261 Ma trận ràng buộc 316 Ma trận tam giác 47 Ma trận tam giác 48 Ma trận trực giao Ma trận vuông 285 27 N Nghịch 22 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính 160 Nghiệm đa thức đặc trưng 233 Nghiệm riêng hệ phương trình tuyến tính 167 Nghiệm tổng quát 167 382 P Phần bù đại số 35 Phần tử trục 341 Phép biến đổi sơ cấp 114 Phép biến đổi đối xứng 287 Phép biến đổi trực giao 285 Phép cộng hai ánh xạ tuyến tính 146 Phép cộng hai ma trận 204 Phép nhân ánh xạ tuyến tính với số 147 Phép nhân ma trận với số 204 Phép 21 Phép chẵn, phép lẻ 22 Phép xoay 341 Phương án 313 Phương án cực biên 321 Phương án cực biên không suy biến suy biến 322 Phương án đơn hình 321 Phương án tìm theo hướng 333 Phương án tối ưu 314 R Ràng buộc cưỡng 313 Ràng buộc tự nhiên 313 S Số chiều khơng gian vectơ 96 383 T Tích hai ánh xạ tuyến tính 149 Tích hai ma trận 205 Tích vơ hướng 277 Toạ độ vectơ Tồn cấu Tổ hợp tuyến tính 99 136 87 Tổng hai ánh xạ tuyến tính 146 Tổng hai ma trận 202 Tổng không gian 83 Ư Ước lượng 330 V Vectơ Vectơ định chuẩn 78 278 Vectơ đối 78 Vectơ không 78 Vectơ riêng 229 Vectơ trực giao 278 384 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đặng văn Uyên Quy hoạch tuyến tính NXBGD.1996 Hoàng Tuỵ Lý thuyết quy hoạch Nhà xuất Khoa học Hà Nội 1968 Phí Mạnh Ban Quy hoạch tuyến tính NXBGD 1998 Ngơ Thúc Lanh Đại số tuyến tính Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp Nguyễn Duy Thuận Toán Cao cấp A1 Phần Đại số tuyến tính NXBGD 2001 Nguyễn Đức Nghĩa Tối ưu hố (Quy hoạch tuyến tính rời rạc) NXBGD.1996 Trần Văn Hạo Đại số cao cấp Tập I Đại số tuyến tính NXBGD 1977 Jonathan S Golan Foundation of Linear Algebra Kluwer Academic Pubhshers 1996 J.M.Arnaudiès- H.Fraysse Cours de Mathématiqué-J Algèbre DUNOD Paris.1996 385 Chịu trách nhiệm xuất bản: Giám đốc ĐINH NGỌC BAO Tổng biên tập Lê A Biên tập nội dung: NGUYÊN TIÊN TRUNG Trình bày bìa: PHẠM VIỆT QUANG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH In 600 cuốn, khổ 17 x 24 cm Cơng ty In Văn hố phẩm Hà Nội Giấy phép xuất số 90 -II31/XB-QLXB, ký ngày 29/8/2003 In xong nộp lưu chiểu tháng 11 năm 2003 ... Giải Tính định thức lai Tìm phần bù đại số A11 = 11, A 12 = - 3, A13 = - 6, A21 = -1 5, A 22 = 5, A23 = 8, A31 = - 3, A 32 = 1, A33 = 20 4 • Thiết lập ma trận nghịch đảo 2) Tìm ma trận nghịch đảo phép... ↵ 22 2 Màn hình xuất hiện: Out[]={ {2, 1 ,2} , {-1 ,0,1}, {-1 ,2, 0}} c) Tìm đồng thời giá trị riêng vectơ riêng {vals, vecs}=Eigensystem[B] ↵ Màn hình xuất hiện: Out[]={ {-9 ,9,9},{ {2, 1 ,2} , {-1 ,0,1}, {-1 ,2, 0}}}... - = Do vectơ riêng sở, chẳng hạn, với c = 1, α = (2, 1, 2) sở • Với k2 = 9, giải hệ 22 1 ta nghiệm tổng quát: (c1, - 2c 1-2 c3, c3) Hạng ma trận hệ phương trình nên không gian riêng tương ứng W2