giáo trình đại số tuyến tính

Khˆong gian con - Ha.ng cu’a mˆo.t hˆe.. phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh.. phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh.. phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh.. Ch´ung tˆoi nhˆa.n thˆa´y c´o hai khuynh hu.´o.ng

MU C LU C

Mu.c lu.c 1

L`o.i n´oi d¯ˆ` u 4a Chu.o.ng 0: Kiˆe´n th´u.c chuˆa’n bi 7

§1 Tˆa.p ho p 7

§2 Quan hˆe v`a ´Anh xa 11

§3 Lu c lu.o ng cu’a tˆa.p ho p 15

§4 Nh´om, V`anh v`a Tru.`o.ng 18

§5 Tru.`o.ng sˆo´ thu c 26

§6 Tru.`o.ng sˆo´ ph´u.c 29

§7 D- a th´u.c 35

B`ai tˆa.p 40

Chu.o.ng I: Khˆong gian v´ecto 45

§1 Kh´ai niˆe.m khˆong gian v´ecto 45

§2 D- ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh v`a phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh 50

§3 Co so.’ v`a sˆo´ chiˆe`u cu’a khˆong gian v´ecto 56

§4 Khˆong gian con - Ha.ng cu’a mˆo.t hˆe v´ecto 63

§5 Tˆo’ng v`a tˆo’ng tru c tiˆe´p 66

§6 Khˆong gian thu.o.ng 69

B`ai tˆa.p 72

Chu.o.ng II: Ma trˆa.n v`a ´Anh xa tuyˆe´n t´ınh 77

§1 Ma trˆa.n 77

§2 ´Anh xa tuyˆe´n t´ınh 83

§3 Ha.t nhˆan v`a a’nh cu’a d¯ˆo`ng cˆa´u 94

§4 Khˆong gian v´ecto d¯ˆo´i ngˆa˜u 99

B`ai tˆa.p 105

Chu.o.ng III: D- i.nh th´u.c v`a hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh 113

§1 C´ac ph´ep thˆe´ 113

§2 D- i.nh th´u.c cu’a ma trˆa.n 116

§3 ´Anh xa d¯a tuyˆe´n t´ınh thay phiˆen 121

§4 D- i.nh th´u.c cu’a tu d¯ˆo`ng cˆa´u 125

§5 C´ac t´ınh chˆa´t sˆau ho.n cu’a d¯i.nh th´u.c 128

§6 D- i.nh th´u.c v`a ha.ng cu’a ma trˆa.n 135

§7 Hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh - Quy t˘a´c Cramer 136

§8 Hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh - Phu.o.ng ph´ap khu.’ Gauss 139

§9 Cˆa´u tr´uc nghiˆe.m cu’a hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh 144

B`ai tˆa.p 146

Chu.o.ng IV: Cˆa´u tr´uc cu’a tu. d¯ˆ`ng cˆo a´u 155

§1 V´ecto riˆeng v`a gi´a tri riˆeng 155

§2 Khˆong gian con ˆo’n d¯i.nh cu’a c´ac tu d¯ˆo`ng cˆa´u thu c v`a ph´u.c 161

§3 Tu d¯ˆo`ng cˆa´u ch´eo ho´a d¯u.o c 164

§4 Tu d¯ˆo`ng cˆa´u lu˜y linh 168

§5 Ma trˆa.n chuˆa’n Jordan cu’a tu d¯ˆo`ng cˆa´u 172

B`ai tˆa.p 179

Chu.o.ng V: Khˆong gian v´ecto Euclid 188

§1 Khˆong gian v´ecto Euclid 188

§2 ´Anh xa tru c giao 201

§3 Ph´ep biˆe´n d¯ˆo’i liˆen ho p v`a ph´ep biˆe´n d¯ˆo’i d¯ˆo´i x´u.ng 214

§4 V`ai n´et vˆe` khˆong gian Unita 222

B`ai tˆa.p 225

Chu.o.ng VI: Da.ng song tuyˆe´n t´ınh v`a da.ng to`an phu.o.ng 234

§1 Kh´ai niˆe.m da.ng song tuyˆe´n t´ınh v`a da.ng to`an phu.o.ng 234

§2 D- u.a da.ng to`an phu.o.ng vˆe` da.ng ch´ınh t˘a´c 237

§3 Ha.ng v`a ha.ch cu’a da.ng to`an phu.o.ng 244

§4 Chı’ sˆo´ qu´an t´ınh 247

§5 Da.ng to`an phu.o.ng x´ac d¯i.nh dˆa´u 252

B`ai tˆa.p 254

Chu.o.ng VII: D- a.i sˆo´ d¯a tuyˆe´n t´ınh 262

§1 T´ıch tenxo 263

§2 C´ac t´ınh chˆa´t co ba’n cu’a t´ıch tenxo 267

§3 D- a.i sˆo´ tenxo 270

§4 D- a.i sˆo´ d¯ˆo´i x´u.ng 275

§5 D- a.i sˆo´ ngo`ai 281

B`ai tˆa.p 290

T`ai liˆe.u tham kha’o 292

L ` O . I N ´ OI D - ˆ A ` U

Theo d`ong li.ch su’ , mˆ. on D - a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh kho.’i d¯ˆa`u v´o.i viˆe.c gia’i v`a biˆe.n luˆa.n

c´ac hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh Vˆe` sau, d¯ˆe’ c´o thˆe’ hiˆe’u thˆa´u d¯´ao cˆa´u tr´uc cu’a tˆa.pnghiˆe.m v`a d¯iˆe` u kiˆe.n d¯ˆe’ mˆo.t hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh c´o nghiˆe.m, ngu.`o.i ta xˆay

du. ng nh˜u.ng kh´ai niˆe.m tr`u.u tu.o ng ho.n nhu khˆong gian v´ecto v`a ´anh xa tuyˆe´n t´ınh.Ngu.`o.i ta c˜ung c´o nhu cˆ` u kha’o s´a at c´ac khˆong gian v´o.i nhiˆ` u thuˆe o.c t´ınh h`ınh ho.cho.n, trong d¯´o c´o thˆe’ d¯o d¯ˆo d`ai cu’a v´ecto v`a g´oc gi˜u.a hai v´ecto Xa ho.n, hu.´o.ngnghiˆen c´u.u n`ay dˆa˜n t´o.i b`ai to´an phˆan loa.i c´ac da.ng to`an phu.o.ng, v`a tˆo’ng qu´at ho.nphˆan loa.i c´ac tenxo., du.´o.i t´ac d¯ˆo.ng cu’a mˆo.t nh´om cˆa´u tr´uc n`ao d¯´o

Ng`ay nay, D- a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh d¯u.o c ´u.ng du.ng v`ao h`ang loa.t l˜ınh vu c kh´ac nhau,t`u Gia’i t´ıch t´o.i H`ınh ho.c vi phˆan v`a L´y thuyˆe´t biˆe’u diˆe˜n nh´om, t`u Co ho.c, Vˆa.t l´yt´o.i K˜y thuˆa.t V`ı thˆe´, n´o d¯˜a tro’ th`. anh mˆo.t mˆon ho.c co so.’ cho viˆe.c d¯`ao ta.o c´acgi´ao viˆen trung ho.c, c´ac chuyˆen gia bˆa.c d¯a.i ho.c v`a trˆen d¯a.i ho.c thuˆo.c c´ac chuyˆenng`anh khoa ho.c co ba’n v`a cˆong nghˆe trong tˆa´t ca’ c´ac tru.`o.ng d¯a.i ho.c

D

- ˜a c´o h`ang tr˘am cuˆo´n s´ach vˆe` D- a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh d¯u.o c xuˆa´t ba’n trˆen to`an thˆe´gi´o.i Ch´ung tˆoi nhˆa.n thˆa´y c´o hai khuynh hu.´o.ng chu’ yˆe´u trong viˆe.c tr`ınh b`ay mˆonho.c n`ay

Khuynh hu.´o.ng th´u nhˆa´t b˘a´t d¯ˆa` u v´o.i c´ac kh´ai niˆe.m ma trˆa.n, d¯i.nh th´u.c v`a hˆe.phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh, rˆ`i d¯i t´o o.i c´ac kh´ai niˆe.m tr`u.u tu.o ng ho.n nhu khˆong gianv´ecto v`a ´anh xa tuyˆe´n t´ınh Khuynh hu.´o.ng n`ay dˆe˜ tiˆe´p thu Nhu.ng n´o khˆong cho

ph´ep tr`ınh b`ay l´y thuyˆe´t vˆ` d¯i.nh th´u.c v`a hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh b˘a`ng mˆo.tengˆon ng˜u cˆo d¯o.ng v`a d¯e.p d¯˜e

Khuynh hu.´o.ng th´u hai tr`ınh b`ay c´ac kh´ai niˆe.m khˆong gian v´ecto v`a ´anh xa.tuyˆe´n t´ınh tru.´o.c, rˆ`i ´o ap du.ng v`ao kha’o s´at d¯i.nh th´u.c v`a hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´nt´ınh U.u d¯iˆe’m cu’a phu.o.ng ph´ap n`ay l`a d ¯ˆ ` cao ve’ d¯e.p trong t´ınh nhˆa´t qu´an vˆe e ` cˆ a´u tr´ uc cu’a c´ac d¯ˆo´i tu.o. ng d¯u.o c kha’o s´at Nhu.o c d¯iˆe’m cu’a n´o l`a khi x´et t´ınh d¯ˆo.c lˆa.p

tuyˆe´n t´ınh v`a phu thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh, thˆa.t ra ngu.`o.i ta d¯˜a pha’i d¯ˆo´i m˘a.t v´o.i viˆe.c gia’i

hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh

C´ach tr`ınh b`ay n`ao c˜ung c´o c´ai l´y cu’a n´o Theo kinh nghiˆe.m cu’a ch´ung tˆoi th`ı

nˆen cho.n c´ach tr`ınh b`ay th´u hai cho c´ac sinh viˆen c´o kha’ n˘ang tu duy tr`u.u tu.o ng

tˆo´t ho.n v`a c´o mu.c d¯´ıch hu.´o.ng t´o.i mˆo.t m˘a.t b˘a`ng kiˆe´n th´u.c cao ho.n vˆe` to´an.Cuˆo´n s´ach n`ay d¯u.o. c ch´ung tˆoi biˆen soa.n nh˘a`m mu.c d¯´ıch l`am gi´ao tr`ınh v`a s´ach tham kha’o cho sinh viˆen, sinh viˆen cao ho.c v`a nghiˆen c´u.u sinh c´ac ng`anh khoa ho.c

tu. nhiˆen v`a cˆong nghˆe cu’a c´ac tru.`o.ng d¯a.i ho.c khoa ho.c tu nhiˆen, d¯a.i ho.c su pha.mv`a d¯a.i ho.c k˜y thuˆa.t Cuˆo´n s´ach d¯u.o c viˆe´t trˆen co so.’ c´ac b`ai gia’ng vˆe` D- a.i sˆo´ tuyˆe´nt´ınh cu’a tˆoi trong nhiˆ` u n˘e am cho sinh viˆen mˆo.t sˆo´ khoa cu’a tru.`o.ng D- a.i ho.c Tˆo’ng

ho. p (nay l`a D- a.i ho.c khoa ho.c Tu nhiˆen) H`a Nˆo.i v`a cu’a mˆo.t sˆo´ tru.`o.ng d¯a.i ho.c su.pha.m D- ˘a.c biˆe.t, tˆoi d¯˜a gia’ng gi´ao tr`ınh n`ay trong 3 n˘am ho.c 1997-1998, 1998-1999,1999-2000 cho sinh viˆen c´ac ng`anh To´an, Co., L´y, Ho´a, Sinh, D- i.a chˆa´t, Kh´ı tu.o ngthuy’ v˘an cu’a Chu.o.ng tr`ınh d¯`ao ta.o Cu’ nhˆ. an khoa ho.c t`ai n˘ang, D- a.i ho.c khoaho.c Tu nhiˆ. en H`a Nˆo.i

Ch´ung tˆoi cho.n khuynh hu.´o.ng th´u hai trong hai khuynh hu.´o.ng tr`ınh b`ay d¯˜an´oi o.’ trˆen Tˆa´t nhiˆen, v´o.i d¯ˆoi ch´ut thay d¯ˆo’i, cuˆo´n s´ach n`ay c´o thˆe’ d`ung d¯ˆe’ gia’ng

D- a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh theo khuynh hu.´o.ng tr`ınh b`ay th´u nhˆa´t

Tu tu.o ’ ng cˆ a´u tr´ uc d¯u.o. c ch´ung tˆoi nhˆa´n ma.nh nhu mˆo.t ma.ch ch´ınh cu’a cuˆo´ns´ach Mˆo˜i d¯ˆo´i tu.o ng d¯ˆe` u d¯u.o. c nghiˆen c´u.u trong mˆo´i tu.o.ng quan v´o.i nh´om c´acph´ep biˆe´n d¯ˆo’i ba’o to`an cˆa´u tr´uc cu’a d¯ˆo´i tu.o. ng d¯´o: Kha’o s´at khˆong gian v´ecto g˘a´nliˆ` n v´e o.i nh´om tuyˆe´n t´ınh tˆo’ng qu´at GL(n, K), khˆong gian v´ecto Euclid v`a khˆonggian v´ecto Euclid d¯i.nh hu.´o.ng g˘a´n liˆe` n v´o.i nh´om tru. c giao O(n) v`a nh´om tru. c giaod¯˘a.c biˆe.t SO(n), khˆong gian Unita g˘a´n liˆe` n v´o.i nh´om unita U (n) Kˆe´t qua’ phˆanloa.i c´ac da.ng to`an phu.o.ng phu thuˆo.c c˘an ba’n v`ao viˆe.c qu´a tr`ınh phˆan loa.i d¯u.o ctiˆe´n h`anh du.´o.i t´ac d¯ˆo.ng cu’a nh´om n`ao (tuyˆe´n t´ınh tˆo’ng qu´at, tru c giao )..

Theo kinh nghiˆe.m, ch´ung tˆoi khˆong thˆe’ gia’ng hˆe´t nˆo.i dung cu’a cuˆo´n s´ach n`aytrong mˆo.t gi´ao tr`ınh tiˆeu chuˆa’n vˆe` D- a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh cho sinh viˆen c´ac tru.`o.ng d¯a.i

ho.c, ngay ca’ d¯ˆo´i v´o.i sinh viˆen chuyˆen ng`anh to´an C´ac chu’ d¯ˆe` vˆe` da.ng chuˆa’n t˘a´c Jordan cu’a tu d ¯ˆ `ng cˆ o a´u, da ng ch´ınh t˘ a ´c cu’a tu d ¯ˆ `ng cˆ o a´u tru c giao, viˆ e.c d¯u a d¯ˆo`ng th` o.i hai da ng to` an phu.o.ng vˆ ` da.ng ch´ınh t˘a´c, d¯a.i sˆo´ tenxo., d¯a.i sˆo´ d¯ˆo´i x´u.ng v`a d¯a.i e

sˆ o´ ngo` ai nˆen d`ung d¯ˆe’ gia’ng chi tiˆe´t cho c´ac sinh viˆ en cao ho c v` a nghiˆ en c´ u.u sinh

c´ac ng`anh To´an, Co ho.c v`a Vˆa.t l´y

Ch´ung tˆoi cˆo´ g˘a´ng b`ınh luˆa.n ´y ngh˜ıa cu’a c´ac kh´ai niˆe.m v`a u.u khuyˆe´t d¯iˆe’mcu’a c´ac phu.o.ng ph´ap d¯u.o. c tr`ınh b`ay Cuˆo´i mˆo˜i chu.o.ng d¯ˆe` u c´o phˆ` n b`a ai tˆa.p,d¯u.o. c tuyˆe’n cho.n chu’ yˆe´u t`u cuˆo´n s´ach nˆo’i tiˆe´ng “B`ai tˆa.p D- a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh” cu’a

I V Proskuryakov D- ˆe’ n˘a´m v˜u.ng kiˆe´n th´u.c, d¯ˆo.c gia’ nˆen d¯o.c rˆa´t k˜y phˆa`n l´y thuyˆe´ttru.´o.c khi l`am c`ang nhiˆ` u c`e ang tˆo´t c´ac b`ai tˆa.p cuˆo´i mˆo˜i chu.o.ng

Viˆe.c su’ du.ng cuˆo´n s´ach n`ay s˜e d¯˘a.c biˆe.t thuˆa.n lo i nˆe´u ngu.`o.i d¯o.c coi n´o l`a phˆa. ` n

mˆo.t cu’a mˆo.t bˆo s´ach m`a phˆa` n hai cu’a n´o l`a cuˆo´n D - a.i sˆo´ d¯a.i cu.o.ng cu’a c`ung t´ac

gia’, do Nh`a xuˆa´t ba’n Gi´ao du.c H`a Nˆo.i ˆa´n h`anh n˘am 1998 v`a t´ai ba’n n˘am 1999.T´ac gia’ chˆan th`anh ca’m o.n Ban d¯iˆ` u h`e anh Chu.o.ng tr`ınh d¯`ao ta.o Cu’ nhˆ. an khoaho.c t`ai n˘ang, D- a.i ho.c Khoa ho.c tu nhiˆen H`a Nˆo.i, d¯˘a.c biˆe.t l`a Gi´ao su D- `am Trung

D- ˆo`n v`a Gi´ao su Nguyˆ˜n Duy Tiˆe´n, d¯˜a ta.o mo.i d¯iˆee ` u kiˆe.n thuˆa.n lo i d¯ˆe’ t´ac gia’ gia’ngda.y cho sinh viˆen cu’a Chu.o.ng tr`ınh trong ba n˘am qua v`a viˆe´t cuˆo´n s´ach n`ay trˆen

co so.’ nh˜u.ng b`ai gia’ng d¯´o

T´ac gia’ mong nhˆa.n d¯u.o c su chı’ gi´ao cu’a c´ac d¯ˆo.c gia’ v`a d¯ˆo`ng nghiˆe.p vˆe` nh˜u.ngthiˆe´u s´ot kh´o tr´anh kho’i cu’a cuˆo´n s´ach

H`a Nˆo.i, 12/1999

Chu.o.ng 0

KIˆ E ´N TH ´ U . C CHU ˆ A ’ N BI.

Nhiˆe.m vu cu’a chu.o.ng n`ay l`a tr`ınh b`ay du.´o.i da.ng gia’n lu.o c nhˆa´t mˆo.t sˆo´ kiˆe´nth´u.c chuˆa’n bi cho phˆa` n c`on la.i cu’a cuˆo´n s´ach: Tˆa.p ho p, quan hˆ. e., ´anh xa., nh´om,v`anh, tru.`o.ng, d¯a th´u.c Tru.`o.ng sˆo´ thu. c s˜e d¯u.o. c xˆay du. ng ch˘a.t ch˜e o.§5 Nhu.ng

v`ı c´ac t´ınh chˆa´t cu’a n´o rˆa´t quen thuˆo.c v´o.i nh˜u.ng ai d¯˜a ho.c qua chu.o.ng tr`ınh trungho.c phˆo’ thˆong, cho nˆen ch´ung ta vˆa˜n n´oi t´o.i tru.`o.ng n`ay trong c´ac v´ı du o.’ c´ac tiˆe´t

tu ’ cu’a tˆa.p ho p d¯´. o (Tˆa´t nhiˆen, mˆo ta’ n´oi trˆen khˆong pha’i l`a mˆo.t d¯i.nh ngh˜ıa cu’a

tˆa.p ho p, n´. o chı’ diˆe˜n d¯a.t kh´ai niˆe.m tˆa.p ho p qua mˆo.t kh´ai niˆe.m c´o ve’ gˆa`n g˜ui ho.nl`a “quˆ` n tu.” Tuy vˆa.y, ba’n thˆan kh´ai niˆe.m quˆaa ` n tu la.i chu.a d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa.)Ngu.`o.i ta c˜ung thu.`o.ng go.i t˘a´t tˆa.p ho p l`. a “tˆa.p”

D

- ˆe’ c´o mˆo.t sˆo´ v´ı du., ch´ung ta c´o thˆe’ x´et tˆa.p ho p c´ac sinh viˆen cu’a mˆo.t tru.`o.ngd¯a.i ho.c, tˆa.p ho p c´. ac xe ta’i cu’a mˆo.t cˆong ty, tˆa.p ho p c´. ac sˆo´ nguyˆen tˆo´

C´ac tˆa.p ho p thu. .`o.ng d¯u.o c k´y hiˆe.u bo.’i c´ac ch˜u in hoa: A, B, C, , X, Y, Z

C´ac phˆ` n tu.a ’ cu’a mˆo.t tˆa.p ho p thu. `o.ng d¯u.o c k´y hi.ˆeu bo.’i c´ac ch˜u in thu.`o.ng:

a, b, c, , x, y, z D - ˆe’ n´oi x l`a mˆo.t phˆa`n tu.’ cu’a tˆa.p ho p X, ta viˆe´t x ∈ X v`a d¯o.c l`a

“x thuˆ o.c X” Tr´ai la.i, d¯ˆe’ n´oi y khˆong l`a phˆa` n tu.’ cu’a X, ta viˆe´t y 6∈ X, v`a d¯o.c l`a

“y khˆong thuˆo.c X”.

D

- ˆe’ x´ac d¯i.nh mˆo.t tˆa.p ho p, ngu.`o.i ta c´o thˆe’ liˆe.t kˆe tˆa´t ca’ c´ac phˆa`n tu.’ cu’a n´o.Ch˘a’ng ha.n,

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Ngu.`o.i ta c˜ung c´o thˆe’ x´ac d¯i.nh mˆo.t tˆa.p ho p bo. ’ i mˆ. o.t t´ınh chˆa´t d¯˘a.c tru.ng P(x) n`ao

d¯´o cu’a c´ac phˆ` n tu.a ’ cu’a n´o Tˆa.p ho p X c´. ac phˆ` n tu.a ’ x c´o t´ınh chˆa´t P(x) d¯u.o c k´y

hiˆe.u l`a

X = {x| P(x)},

ho˘a.c l`a

X = {x : P(x)}.

V´ı du.:

N = {x| x l`a sˆo´ tu nhiˆen},

Z = {x| x l`a sˆo´ nguyˆen },

Q = {x| x l`a sˆo´ h˜u.u ty’},

R = {x| x l`a sˆo´ thu c}.

Nˆe´u mo.i phˆa` n tu.’ cu’a tˆa.p ho p A c˜. ung l`a mˆo.t phˆa` n tu.’ cu’a tˆa.p ho p X th`ı ta n´. oi

A l`a mˆo.t tˆa.p ho p con cu’a X, v` . a viˆe´t A ⊂ X Tˆa.p con A gˆo`m c´ac phˆa`n tu.’ x cu’a X

c´o t´ınh chˆa´t P(x) d¯u.o c k´y hiˆe.u l`a

A = {x ∈ X| P(x)}.

Hai tˆa.p ho p X v`. a Y d¯u.o. c go.i l`a b˘ a `ng nhau nˆe´u mˆo˜i phˆa` n tu.’ cu’a tˆa.p ho p n`. ayc˜ung l`a mˆo.t phˆa` n tu.’ cu’a tˆa.p ho p kia v`. a ngu.o. c la.i, t´u.c l`a X ⊂ Y v`a Y ⊂ X Khi

d¯´o ta viˆe´t X = Y

Tˆa.p ho p khˆ. ong ch´u.a mˆo.t phˆa` n tu.’ n`ao ca’ d¯u.o. c k´y hiˆe.u bo’ i. ∅, v`a d¯u.o c go.i l`a

tˆ a p rˆ o ˜ng Ta quy u.´o.c r˘a`ng ∅ l`a tˆa.p con cu’a mo.i tˆa.p ho p Tˆa.p ho p rˆo˜ng rˆa´t tiˆe.n

lo. i, n´o d¯´ong vai tr`o nhu sˆ o´ khˆ ong trong khi l`am to´an v´o.i c´ac tˆa.p ho p..

C´ac ph´ep to´an ho. p, giao v`a hiˆe.u cu’a hai tˆa.p ho p d¯u. o c d¯i.nh ngh˜ıa nhu sau.Cho c´ac tˆa.p ho p A v`. a B.

Ho p cu’a A v` a B d¯u.o. c k´y hiˆe.u bo’ i A. ∪ B v`a d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa nhu sau

Nˆe´u B ⊂ A th`ı A\B d¯u.o c go.i l`a phˆa`n b`u cu’a B trong A, v`a d¯u.o c k´y hiˆe.u l`a C A (B).

C´ac ph´ep to´an ho. p, giao v`a hiˆe.u c´o c´ac t´ınh chˆa´t so cˆa´p sau d¯ˆay:

Gia’ su.’ A i l`a mˆo.t tˆa.p ho p v´. o.i mˆo˜i i thuˆo.c mˆo.t tˆa.p chı’ sˆo´ I (c´o thˆe’ h˜u.u ha.n hay

vˆo ha.n) Khi d¯´o, ho p v`. a giao cu’a ho tˆa.p ho p {A. i } i ∈I d¯u.o. c d¯i.nh ngh˜ıa nhu sau:

A i = {x| x ∈ A i v´o.i mo.i i ∈ I}.

Ta c´o da.ng tˆo’ng qu´at cu’a cˆong th´u.c De Morgan:

Viˆe.c su’ du.ng qu´a rˆo.ng r˜ai kh´ai niˆe.m tˆa.p ho p d¯˜a dˆa˜n t´o.i mˆo.t sˆo´ nghi.ch l´y Mˆo.t.trong sˆo´ d¯´o l`a nghi.ch l´y Cantor sau d¯ˆay.

Ta n´oi tˆa.p ho p X l`. a b`ınh thu.` o.ng nˆ e´u X 6∈ X X´et tˆa.p ho p

X = {X| X l`a tˆa.p b`ınh thu.`o.ng}.

Nˆe´u X ∈ X th`ı theo d¯i.nh ngh˜ıa cu’a X , n´o l`a mˆo.t tˆa.p b`ınh thu.`o.ng Do d¯´o, theo

d¯i.nh ngh˜ıa tˆa.p b`ınh thu.`o.ng, X 6∈ X Tr´ai la.i, nˆe´u X 6∈ X , th`ı X l`a mˆo.t tˆa.p khˆong

b`ınh thu.`o.ng, v`a do d¯´oX ∈ X Ca’ hai tru.`o.ng ho p d¯ˆe`u dˆa˜n t´o.i mˆau thuˆa˜n.

D

- ˆe’ tr´anh nh˜u.ng nghi.ch l´y loa.i nhu vˆa.y, ngu.`o.i ta s˜e khˆong d`ung kh´ai niˆe.m tˆa.p

ho. p d¯ˆe’ chı’ “nh˜u.ng thu. c thˆe’ qu´a l´o.n” Ta s˜e n´oi “l´ o.p tˆ a´t ca’ c´ ac tˆ a p ho p”, ch´ . u.khˆong n´oi “tˆ a p ho p tˆ . a´t ca’ c´ ac tˆ a p ho p” Theo quan niˆ . e.m n`ay X chı’ l`a mˆo.t l´o.p ch´u.khˆong l`a mˆo.t tˆa.p ho p V`ı thˆ. e´, ta tr´anh d¯u.o. c nghi.ch l´y n´oi trˆen.

Phˆ` n c`a on la.i cu’a tiˆe´t n`ay d¯u.o c d`anh cho viˆe.c tr`ınh b`ay so lu.o c vˆe` lu.o ng t`u phˆo’biˆe´n v`a lu.o. ng t`u tˆ`n ta.i.o

Ta thu.`o.ng cˆ` n pha’i ph´a at biˆe’u nh˜u.ng mˆe.nh d¯ˆe` c´o da.ng: “Mo.i phˆa ` n tu ’ x cu’a tˆ a p

ho p X d ¯ˆ ` u c´ e o t´ınh chˆ a´t P(x)” Ngu.`o.i ta quy u.´o.c k´y hiˆe.u mˆe.nh d¯ˆe` d¯´o nhu sau:

∀x ∈ X, P(x).

D˜ay k´y hiˆe.u trˆen d¯u.o c d¯o.c l`a “V´o.i mo.i x thuˆo.c X, P(x)”.

K´y hiˆe.u ∀ d¯u o c go.i l`a lu.o ng t`u phˆo’ biˆe´n.

Tu.o.ng tu. , ta c˜ung hay g˘a.p c´ac mˆe.nh d¯ˆe` c´o da.ng: “Tˆo `n ta.i mˆo.t phˆa ` n tu ’ x cu’a

X c´ o t´ınh chˆ a´t P(x)” Mˆe.nh d¯ˆe` n`ay d¯u.o c quy u.´o.c k´y hiˆe.u nhu sau:

∃x ∈ X, P(x).

D˜ay k´y hiˆe.u d¯´o d¯u.o c d¯o.c l`a “Tˆo`n ta.i mˆo.t x thuˆo.c X, P(x)”.

K´y hiˆe.u ∃ d¯u o c go.i l`a lu.o ng t`u tˆo`n ta.i.

Mˆe.nh d¯ˆe` “Tˆ `n ta.i duy nhˆa´t mˆo.t phˆa o ` n tu ’ x cu’a X c´ o t´ınh chˆ a´t P(x)” d¯u.o c viˆe´t

nhu sau:

∃!x ∈ X, P(x).

Lu.o. ng t`u phˆo’ biˆe´n v`a lu.o. ng t`u tˆ`n ta.i c´o mˆo´i quan hˆe quan tro.ng sau d¯ˆay.o

Go.i P l`a phu’ d¯i.nh cu’a mˆe.nh d¯ˆe` P Ta c´o

∀x ∈ X, P(x) ≡ ∃x ∈ X, P(x),

∃x ∈ X, P(x) ≡ ∀x ∈ X, P(x).

Ch´ung tˆoi d¯ˆ` nghi d¯ˆo.c gia’ tu ch´u.ng minh nh˜u.ng kh˘a’ng d¯i.nh trˆen xem nhu mˆo.t b`aie

tˆa.p

T´ıch tru. c tiˆe´p (hay t´ıch Descartes) cu’a hai tˆa.p ho p X v`. a Y l`a tˆa.p ho p sau d¯ˆ. ay:

X × Y = {(x, y)| x ∈ X, y ∈ Y }.

Tru.`o.ng ho. p d¯˘a.c biˆe.t, khi X = Y , ta c´o t´ıch tru c tiˆ. e´p X × X cu’a tˆa.p X v´o.i ch´ınh

n´o

D

- i.nh ngh˜ıa 2.1 Mˆo˜i tˆa.p con R cu’a tˆa.p ho p t´ıch X × X d¯u.o c go.i l`a mˆo.t quan hˆe.

hai ngˆ oi trˆ en X Nˆ e´u (x, y) ∈ R th`ı ta n´oi x c´o quan hˆe R v´o.i y, v`a viˆe´t xRy.

Ngu.o. c la.i, nˆe´u (x, y) 6∈ R th`ı ta n´oi x khˆong c´o quan hˆe R v´o.i y, v`a viˆe´t xRy.

Ch˘a’ng ha.n, nˆe´u R = {(x, y) ∈ Z × Z| x chia hˆe´t cho y}, th`ı 6R2, nhu ng 5R3.

D

- i.nh ngh˜ıa 2.2 Quan hˆe hai ngˆoi R trˆen X d¯u.o c go.i l`a mˆo.t quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng

nˆe´u n´o c´o ba t´ınh chˆa´t sau d¯ˆay:

(a) Pha’n xa.: xRx, ∀x ∈ X.

(b) D- ˆo´i x´u.ng: Nˆe´u x Ry, th`ı yRx, ∀x, y ∈ X.

(c) B˘a´c cˆa` u: Nˆe´u x Ry, yRz, th`ı xRz, ∀x, y, z ∈ X.

C´ac quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng thu.`o.ng d¯u.o c k´y hiˆe.u bo.’i dˆa´u ∼.

Gia’ su.’ ∼ l`a mˆo.t quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng trˆen X L´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng theo quan hˆe.

∼ cu’a mˆo.t phˆa`n tu.’ x ∈ X d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa nhu sau:

[x] = {y ∈ X| x ∼ y} ⊂ X.

Bˆ o’ d ¯ˆ` 2.3 Gia’ su.e ’ ∼ l`a mˆo.t quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng Khi d¯´o, v´o.i mo.i x, y ∈ X, c´ac l´ o.p [x] v` a [y] ho˘ a c tr` ung nhau, ho˘ a c r` o.i nhau (t´ u.c l` a [x] ∩ [y] = ∅).

Ch´ u.ng minh: Gia’ su.’ [x] ∩ [y] 6= ∅ Ta s˜e ch´u.ng minh r˘a`ng [x] = [y] Lˆa´y mˆo.t

phˆ` n tu.a ’ z ∈ [x] ∩ [y] Ta c´o x ∼ z v`a y ∼ z.

Do t´ınh d¯ˆo´i x´u.ng cu’a quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng, x ∼ z k´eo theo z ∼ x Gia’ su.’

t ∈ [x], t´u.c l`a x ∼ t Do t´ınh b˘a´c cˆa`u, z ∼ x v`a x ∼ t k´eo theo z ∼ t Tiˆe´p theo,

y ∼ z v`a z ∼ t k´eo theo y ∼ t Ngh˜ıa l`a t ∈ [y] Nhu vˆa.y, [x] ⊂ [y] Do vai tr`o

nhu nhau cu’a c´ac l´o.p [x] v` a [y], ta c˜ung c´o bao h`am th´u.c ngu.o. c la.i, [y] ⊂ [x] Vˆa.y

Theo bˆo’ d¯ˆ` n`e ay, nˆe´u y ∈ [x] th`ı y ∈ [x] ∩ [y] 6= ∅, do d¯´o [x] = [y] V`ı thˆe´, ta

c´o thˆe’ d`ung t`u l´ o.p tu.o.ng d ¯u.o.ng d¯ˆe’ chı’ l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng cu’a bˆa´t k`y phˆ` n tu.a ’ n`aotrong l´o.p d¯´o Mˆo˜i phˆa` n tu.’ cu’a mˆo.t l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng d¯u.o c go.i l`a mˆo.t d¯a.i biˆe’u cu’a

l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng n`ay

Dˆe˜ d`ang thˆa´y r˘a`ng X l`a ho p r`o.i ra.c cu’a c´ac l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng theo quan hˆe ∼.

(N´oi c´ach kh´ac, X l`a ho. p cu’a c´ac l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng theo quan hˆe ∼, v`a c´ac l´o.p n`ayr`o.i nhau.) Ngu.`o.i ta c˜ung n´oi X d¯u.o. c phˆan hoa.ch bo’ i c´. ac l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng

D

- i.nh ngh˜ıa 2.4 Tˆa.p ho p c´ac l´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng cu’a X theo quan hˆe ∼ d¯u.o c go.i

l`a tˆ a p thu o.ng cu’a X theo ∼ v`a d¯u.o c k´y hiˆe.u l`a X/∼.

V´ı du 2.5 Gia’ su’ n l`. a mˆo.t sˆo´ nguyˆen du.o.ng bˆa´t k`y Ta x´et trˆen tˆa.p X = Z quan

hˆe sau d¯ˆay:

∼ = {(x, y) ∈ Z × Z| x − y chia hˆe´t cho n}.

R˜o r`ang d¯´o l`a mˆo.t quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng Ho.n n˜u.a x ∼ y nˆe´u v`a chı’ nˆe´u x v`a y c´o

c`ung phˆ` n du trong ph´ep chia cho n V`ı thˆe´, Z/a ∼ l`a mˆo.t tˆa.p c´o d¯´ung n phˆa`n tu.’ :

Z/ ∼ = {[0], [1], , [n − 1]}.

N´o d¯u.o. c go.i l`a tˆ a p c´ ac sˆ o´ nguyˆ en modulo n, v`a thu.`o.ng d¯u.o. c k´y hiˆe.u l`a Z/n.

D- i.nh ngh˜ıa 2.6 Gia’ su.’ ≤ l`a mˆo.t quan hˆe hai ngˆoi trˆen X N´o d¯u.o c go.i l`a mˆo.t

quan hˆ e th´u tu nˆe´u n´o c´o ba t´ınh chˆa´t sau d¯ˆay:

(a) Pha’n xa.: x ≤ x, ∀x ∈ X.

(b) Pha’n d¯ˆo´i x´u.ng: Nˆe´u x ≤ y v`a y ≤ x th`ı x = y, ∀x, y ∈ X.

(c) B˘a´c cˆa` u: Nˆe´u x ≤ y, y ≤ z, th`ı x ≤ z, ∀x, y, z ∈ X.

Tˆa.p X d¯u o c trang bi mˆo.t quan hˆe th´u tu d¯u.o c go.i l`a mˆo.t tˆa.p d¯u.o c s˘a´p Nˆe´u

x ≤ y, ta n´oi x d¯´u.ng tru.´o.c y, hay x nho’ ho.n ho˘a.c b˘a`ng y.

Ta n´oi X d¯u.o. c s˘a´p to`an phˆa ` n (hay tuyˆe´n t´ınh) bo ’ i quan hˆe ≤ nˆe´u v´o.i mo.i

x, y ∈ X, th`ı x ≤ y ho˘a.c y ≤ x Khi d¯´o ≤ d¯u.o c go.i l`a mˆo.t quan hˆe th´u tu to`an

phˆ` n (hay tuyˆe´n t´ınh) trˆen X.a

Ch˘a’ng ha.n, tru.`o.ng sˆo´ h˜u.u ty’ Q l`a mˆo.t tˆa.p d¯u.o c s˘a´p to`an phˆa`n d¯ˆo´i v´o.i quan

hˆe th´u tu ≤ thˆong thu.`o.ng Mˆo.t v´ı du kh´ac: nˆe´u X l`a tˆa.p ho p tˆa´t ca’ c´ac tˆa.p con

cu’a mˆo.t tˆa.p A n`ao d¯´o, th`ı X d¯u.o c s˘a´p theo quan hˆe bao h`am D- ˆay khˆong pha’i l`a

mˆo.t th´u tu to`an phˆa`n nˆe´u tˆa.p A ch´u.a nhiˆe`u ho.n mˆo.t phˆa`n tu.’.

Bˆay gi`o ta chuyˆe’n qua x´et c´ac ´anh xa

Ngu.`o.i ta thu.`o.ng mˆo ta’ c´ac ´anh xa mˆo.t c´ach tru c gi´. ac nhu sau.

Gia’ su.’ X v` a Y l`a c´ac tˆa.p ho p Mˆ. o.t ´anh xa f t`u X v`ao Y l`a mˆo.t quy t˘a´c d¯˘a.t

tu.o.ng ´u.ng mˆo˜i phˆa` n tu.’ x ∈ X v´o.i mˆo.t phˆa`n tu.’ x´ac d¯i.nh y = f(x) ∈ Y ´Anh xa.

d¯´o d¯u.o. c k´y hiˆe.u bo’ i f : X. → Y

Tˆa´t nhiˆen mˆo ta’ n´oi trˆen khˆong pha’i l`a mˆo.t d¯i.nh ngh˜ıa ch˘a.t ch˜e, v`ı ta khˆongbiˆe´t thˆe´ n`ao l`a mˆo.t quy t˘a´c N´oi c´ach kh´ac, trong d¯i.nh ngh˜ıa n´oi trˆen quy t˘a´c chı’l`a mˆo.t tˆen go.i kh´ac cu’a ´anh xa

Ta c´o thˆe’ kh˘a´c phu.c d¯iˆe` u d¯´o b˘a`ng c´ach d¯u.a ra mˆo.t d¯i.nh ngh˜ıa ch´ınh x´ac nhu.ngho.i cˆ`ng kˆeo ` nh vˆe` ´anh xa nhu sau

Mˆo˜i tˆa.p con R cu’a t´ıch tru c tiˆe´p X × Y d¯u.o c go.i l`a mˆo.t quan hˆe gi˜u.a X v`a Y

Quan hˆe R d¯u o c go.i l`a mˆo.t ´anh xa t`u X v`ao Y nˆe´u n´o c´o t´ınh chˆa´t sau: v´o.i mo.i

x ∈ X c´o mˆo.t v`a chı’ mˆo.t y ∈ Y d¯ˆe’ cho (x, y) ∈ R Ta k´y hiˆe.u phˆa`n tu.’ duy nhˆa´t

d¯´o l`a y = f (x) Khi d¯´o

R = {(x, f(x))| x ∈ X}.

´

Anh xa n`ay thu.`o.ng d¯u.o c k´y hiˆe.u l`a f : X → Y v`a quan hˆe R d¯u.o c go.i l`a d¯ˆo` thi.

cu’a ´anh xa f.

C´ac tˆa.p X v`a Y d¯u o c go.i lˆa`n lu.o t l`a tˆa.p nguˆo`n v`a tˆa.p d¯´ıch cu’a ´anh xa f Tˆa.p

ho. p f (X) = {f (x)| x ∈ X} d¯u o c go.i l`a tˆa.p gi´a tri cu’a f.

Gia’ su.’ A l`a mˆo.t tˆa.p con cu’a X Khi d¯´o, f(A) = {f(x)| x ∈ A} d¯u.o c go.i l`a a’nh

cu’a A bo ’ i f Nˆe´u B l`a mˆo.t tˆa.p con cu’a Y , th`ı f −1 (B) = {x ∈ X| f(x) ∈ B} d¯u.o c go.i l`a nghi.ch a’nh cu’a B bo ’ i f Tru.`. o.ng ho. p d¯˘a.c biˆe.t, tˆa.p B = {y} chı’ gˆo`m mˆo.td¯iˆe’m y ∈ Y , ta viˆe´t d¯o.n gia’n f −1 (y) thay cho f −1({y}).

D- i.nh ngh˜ıa 2.7 (a) ´Anh xa f : X → Y d¯u.o c go.i l`a mˆo.t d¯o.n ´anh nˆe´u v´o.i mo.i

x 6= x 0 , (x, x 0 ∈ X) th`ı f(x) 6= f(x 0).

(b) ´Anh xa f : X → Y d¯u o c go.i l`a mˆo.t to`an ´anh nˆe´u v´o.i mo.i y ∈ Y tˆo`n ta.i (´ıt

nhˆa´t) mˆo.t phˆa` n tu.’ x ∈ X sao cho f(x) = y.

(c) ´Anh xa f : X → Y d¯u o c go.i l`a mˆo.t song ´anh (hay mˆo.t tu.o.ng ´u.ng mˆo.t-mˆo.t)

nˆe´u n´o v`u.a l`a mˆo.t d¯o.n ´anh v`u.a l`a mˆo.t to`an ´anh

Gia’ su.’ f : X → Y l`a mˆo.t song ´anh Khi d¯´o, v´o.i mˆo˜i y ∈ Y tˆo`n ta.i duy nhˆa´t phˆa`n

tu.’ x ∈ X sao cho f(x) = y Ta k´y hiˆe.u phˆa`n tu.’ x d¯´o nhu sau: x = f −1 (y) Nhu.

thˆe´, tu.o.ng ´u.ng y 7→ x = f −1 (y) x´ac d¯i.nh mˆo.t ´anh xa., d¯u.o c k´y hiˆe.u l`a f −1 : Y → X

v`a d¯u.o. c go.i l`a ´anh xa ngu.o c cu’a f Hiˆe’n nhiˆen, f −1 c˜ung l`a mˆo.t song ´anh, ho.nn˜u.a (f −1)−1 = f

Cho c´ac ´anh xa f : X → Y v`a g : Y → Z Khi d¯´o ´anh xa h : X → Z d¯u.o c x´acd¯i.nh bo’ i.

h(x) = g(f (x)), ∀x ∈ X,

d¯u.o. c go.i l`a ´ anh xa t´ıch (hay ´ anh xa ho p) cu’a f v` . a g, v`a d¯u.o. c k´y hiˆe.u l`a h = gf

ho˘a.c h = g ◦ f.

Ch´ung tˆoi d¯ˆ` nghi d¯ˆo.c gia’ tu ch´u.ng minh hai mˆe.nh d¯ˆee ` sau d¯ˆay

Mˆ e.nh d¯ˆe` 2.8 Ho. p th` anh cu’a hai d ¯o.n ´ anh la i l` a mˆ o t d ¯o.n ´ anh Ho p th` anh cu’a hai to` an ´ anh la i l` a mˆ o t to` an ´ anh Ho p th` anh cu’a hai song ´ anh la i l` a mˆ o t song ´ anh Go.i id X : X → X l`a ´anh xa d¯ˆo`ng nhˆa´t trˆen X, d¯u.o c x´ac d¯i.nh nhu sau

id X (x) = x, ∀x ∈ X.

Mˆ e.nh d¯ˆe ` 2.9 (i) Gia’ su ’ f : X → Y v`a g : Y → Z l`a c´ac ´anh xa Khi d¯´o, nˆe´u

gf l` a mˆ o t d ¯o.n ´ anh th`ı f c˜ ung vˆ a y; nˆ e´u gf l` a mˆ o t to` an ´ anh th`ı g c˜ ung vˆ a y. (ii) ´ Anh xa f : X → Y l` a mˆ o t song ´ anh nˆ e´u v` a chı’ nˆ e´u tˆ `n ta.i mˆo.t ´anh xa o

g : Y → X sao cho gf = id X , f g = id Y

3 Lu c lu o ng cu’a tˆa.p ho p

D

- ˆo´i v´o.i c´ac tˆa.p ho p h˜u.u ha.n, khi cˆa`n x´et xem tˆa.p n`ao c´o nhiˆe` u phˆ` n tu.a ’ ho.n, ngu.`o.i

ta d¯ˆe´m sˆo´ phˆ` n tu.a ’ cu’a ch´ung Nhu.ng d¯ˆo.ng t´ac d¯o.n gia’n ˆa´y khˆong thu c hiˆe.n d¯u.o cd¯ˆo´i v´o.i c´ac tˆa.p c´o vˆo ha.n phˆa` n tu.’ D- ˆe’ so s´anh “sˆo´ lu.o ng phˆa`n tu.’” cu’a c´ac tˆa.p vˆoha.n, ngu.`o.i ta tro.’ la.i v´o.i c´ach l`am cu’a ngu.`o.i nguyˆen thuy’ khi chu.a biˆe´t d¯ˆe´m Cu.thˆe’ l`a, nˆe´u muˆo´n xem sˆo´ r`ıu tay c´o d¯u’ cho mˆo˜i ngu.`o.i mˆo.t chiˆe´c hay khˆong ngu.`o.i

ta ph´at cho mˆo˜i ngu.`o.i mˆo.t chiˆe´c r`ıu, t´u.c l`a lˆa.p mˆo.t tu.o.ng ´u.ng gi˜u.a tˆa.p ho p ngu.`o.iv`a tˆa.p ho p r`ıu..

D

- i.nh ngh˜ıa 3.1 Ta n´oi tˆa.p ho p X c`ung lu c lu.o ng v´o.i tˆa.p ho p Y nˆe´u tˆo`n ta.i mˆo.t

song ´anh t`u X v` ao Y

R˜o r`ang quan hˆe c`ung lu c lu. o ng l`a mˆo.t quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng

Gia’ su.’ tˆa.p A c´o n phˆa` n tu.’ D- iˆe` u n`ay c´o ngh˜ıa l`a c´o mˆo.t tu.o.ng ´u.ng mˆo.t-mˆo.tgi˜u.a c´ac phˆ` n tu.a ’ cu’a A v´o.i c´ac sˆo´ tu. nhiˆen 1, 2, 3, , n N´oi c´ach kh´ac, A c´ o n phˆ` na

tu.’ nˆe´u v`a chı’ nˆe´u n´o c`ung lu. c lu.o ng v´o.i tˆa.p ho p {1, 2, 3, , n}.

Sau d¯ˆay ch´ung ta s˜e kha’o s´at l´o.p c´ac tˆa.p ho p vˆ. o ha.n c´o “´ıt phˆa` n tu.’ nhˆa´t”, d¯´ol`a c´ac tˆa.p d¯ˆe´m d¯u.o c

D

- i.nh ngh˜ıa 3.2 Tˆa.p X d¯u.o c go.i l`a d¯ˆe´m d¯u.o c nˆe´u n´o c`ung lu c lu.o ng v´o.i tˆa.p ho p

N c´ac sˆo´ tu. nhiˆen

Ch˘a’ng ha.n, Z l`a mˆo.t tˆa.p d¯ˆe´m d¯u.o c Thˆa.t vˆa.y, ´anh xa f : N → Z x´ac d¯i.nh bo.’i

cˆong th´u.c

f (2n − 1) = −n + 1,

f (2n) = n (n = 1, 2, 3, )

l`a mˆo.t song ´anh

Tu.o.ng tu. , tˆa.p ho p c´. ac sˆo´ tu. nhiˆen ch˘a˜n v`a tˆa.p ho p c´ac sˆo´ tu nhiˆen le’ d¯ˆe`u l`ac´ac tˆa.p d¯ˆe´m d¯u.o c

C´ac v´ı du trˆen cho thˆa´y mˆo.t tˆa.p vˆo ha.n c´o thˆe’ c´o c`ung lu c lu. o ng v´o.i mˆo.t tˆa.pcon thˆa.t su cu’a n´. o Ta c´o

Mˆ e.nh d¯ˆe` 3.3 Mˆ o ˜i tˆa.p con vˆo ha.n cu’a mˆo.t tˆa.p d¯ˆe´m d¯u.o c c˜ung l`a mˆo.t tˆa.p d¯ˆe´m d

¯u.o c.

Ch´ u.ng minh: Gia’ su.’ A = {a1, a2, a3, } l`a mˆo.t tˆa.p d¯ˆe´m d¯u.o c, v`a B l`a mˆo.t tˆa.p

con vˆo ha.n cu’a A Go.i i1 l`a sˆo´ tu. nhiˆen nho’ nhˆa´t sao cho a i1 ∈ B, i2 l`a sˆo´ tu. nhiˆennho’ nhˆa´t sao cho a i2 ∈ B \ {a i1} Mˆo.t c´ach quy na.p, i n l`a sˆo´ tu. nhiˆen nho’ nhˆa´t sao

Mˆ e.nh d¯ˆe` 3.4 T´ıch tru. c tiˆ e´p cu’a hai tˆ a p d ¯ˆ e´m d ¯u.o c c˜ ung l` a mˆ o t tˆ a p d ¯ˆ e´m d ¯u.o c.

Ch´ u.ng minh: Khˆong gia’m tˆo’ng qu´at, ta chı’ cˆ` n ch´a u.ng minh N×N l`a d¯ˆe´m d¯u.o c.

Ta xˆe´p tˆa´t ca’ c´ac phˆ` n tu.a ’ (a, b) cu’a N × N th`anh mˆo.t d˜ay vˆo ha.n b˘a`ng c´ach

sau Tru.´o.c hˆe´t ta xˆe´p c˘a.p (a, b) v´o i a + b = 2 Gia’ su.’ d¯˜a xˆe´p xong c´ac c˘a.p (a, b)

v´o.i a + b = n − 1, ta xˆe´p tiˆe´p c´ac c˘a.p (a, b) v´o.i a + b = n, trong d¯´o c˘a.p (a, b) d¯u.o c

xˆe´p tru.´o.c c˘a.p (a 0 , b 0) nˆe´u a + b = a 0 + b 0 = n v` a a < a 0

Hˆe qua’ 3.5 Tˆa.p ho p Q c´ . ac sˆ o´ h˜ u.u ty’ l` a mˆ o t tˆ a p d ¯ˆ e´m d ¯u.o. c.

Ch´ u.ng minh: Ta s˜e ch´u.ng minh tˆa.p ho p Q. + c´ac sˆo´ h˜u.u ty’ du.o.ng l`a d¯ˆe´m d¯u.o. c

Do d¯´o Q = Q− ∪ {0} ∪ Q+ c`ung lu. c lu.o ng v´o.i Z = N− ∪ {0} ∪ N, trong d¯´o Q − l`a

tˆa.p ho p c´. ac sˆo´ h˜u.u ty’ ˆam v`a N− l`a tˆa.p ho p c´. ac sˆo´ nguyˆen ˆam V`ı thˆe´ Q l`a d¯ˆe´md¯u.o. c.

Mˆo˜i sˆo´ h˜u.u ty’ du.o.ng d¯u.o. c biˆe’u thi duy nhˆa´t du.´o.i da.ng mˆo.t phˆan sˆo´ p

q, trongd¯´o p, q ∈ N v`a c˘a.p p, q nguyˆen tˆo´ c`ung nhau Tu.o.ng ´u.ng p

q 7→ (p, q) l`a mˆo.t song

´

anh t`u Q+lˆen mˆo.t tˆa.p con cu’a t´ıch tru c tiˆ. e´p N× N Do d¯´o, theo hai mˆe.nh d¯ˆe` trˆen

Ch´ung ta th`u.a nhˆa.n kˆe´t qua’ sau d¯ˆay, v`ı muˆo´n ch´u.ng minh n´o ta cˆa`n mˆo.t hiˆe’ubiˆe´t sˆau s˘a´c ho.n vˆe` c´ac sˆo´ thu. c.

Mˆ e.nh d¯ˆe` 3.6 Tˆ a p ho p R c´ . ac sˆ o´ thu c l` a mˆ o t tˆ a p khˆ ong d ¯ˆ e´m d ¯u.o c.

Ngu.`o.i ta n´oi tˆa.p ho p c´. ac sˆo´ thu. c c´o lu. c lu.o ng continum.

C´ac kh´ai niˆe.m nh´om, v`anh v`a tru.`o.ng d¯u.o c gi´o.i thiˆe.u trong tiˆe´t n`ay chı’ d`u.ng o.’m´u.c d¯u’ d`ung cho c´ac diˆ˜n d¯a.t trong phˆa`n sau cu’a cuˆo´n s´ach.e

Gia’ su.’ G l`a mˆo.t tˆa.p ho p Mˆ. o˜i ´anh xa

◦ : G × G → G

d¯u.o. c go.i l`a mˆo.t ph´ep to´an hai ngˆoi (hay mˆo.t luˆa.t ho p th` . anh) trˆ en G A’ nh cu’a c˘a.pphˆ` n tu.a ’ (x, y) ∈ G × G bo.’i ´anh xa ◦ s˜e d¯u.o c k´y hiˆe.u l`a x ◦ y, v`a d¯u.o c go.i l`a t´ıch hay ho p th` anh cu’a x v` a y.

D- i.nh ngh˜ıa 4.1 Mˆo.t nh´om l`a mˆo.t tˆa.p ho p kh´ac rˆo˜ng G d¯u.o c trang bi mˆo.t ph´ep

to´an hai ngˆoi ◦ thoa’ m˜an ba d¯iˆe`u kiˆe.n sau d¯ˆay:

(G1) Ph´ep to´an c´o t´ınh kˆe´t ho. p:

Phˆ` n tu.a ’ trung lˆa.p cu’a mˆo.t nh´om l`a duy nhˆa´t Thˆa.t vˆa.y, nˆe´u e v`a e 0 d¯ˆ` u l`e a c´acphˆ` n tu.a ’ trung lˆa.p cu’a nh´om G th`ı

e = e ◦ e 0 = e 0 .

V´o.i mo.i x ∈ G, phˆa` n tu.’ nghi.ch d¯a’o x 0 n´oi o.’ mu.c (G3) l`a duy nhˆa´t Thˆa.t vˆa.y,

nˆe´u x 01 v`a x 02 l`a c´ac phˆ` n tu.a ’ nghi.ch d¯a’o cu’a x th`ı

Nˆe´u ph´ep to´an◦ c´o t´ınh giao ho´an, t´u.c l`a

x ◦ y = y ◦ x, ∀x, y ∈ G, th`ı G d¯u.o. c go.i l`a mˆo.t nh´om giao ho´an (hay abel).

Theo th´oi quen, luˆa.t ho p th`. anh ◦ trong mˆo.t nh´om abel thu.`o.ng d¯u.o c k´y hiˆe.u

theo lˆo´i cˆo.ng “+” Ho p th`. anh cu’a c˘a.p phˆa` n tu.’ (x, y) d¯u.o. c k´y hiˆe.u l`a x +y v`a d¯u.o c

go.i l`a tˆo’ng cu’a x v`a y Phˆa` n tu.’ trung lˆa.p cu’a nh´om d¯u.o c go.i l`a phˆa`n tu.’ khˆong, k´y

hiˆe.u 0 Nghi.ch d¯a’o cu’a x (x´ac d¯i.nh bo’ i d¯iˆe. ` u kiˆe.n (G3)) d¯u.o c go.i l`a phˆa ` n tu ’ d¯ˆ o´i cu’a x, k´y hiˆe.u (−x).

Tru.`o.ng ho. p tˆo’ng qu´at, ph´ep to´an◦ trong nh´om thu.`o.ng d¯u.o c k´y hiˆe.u theo lˆo´i

nhˆan “· ” Ho p th`anh cu’a c˘a.p phˆa`n tu.’ (x, y) d¯u.o c k´y hiˆe.u l`a x · y, hay d¯o.n gia’n

xy, v`a d¯u.o. c go.i l`a t´ıch cu’a x v` a y Phˆ` n tu.a ’ trung lˆa.p cu’a nh´om d¯u.o c go.i l`a phˆa`n

tu ’ d¯o.n vi Phˆa` n tu.’ nghi.ch d¯a’o cu’a x d¯u.o c k´y hiˆe.u l`a x −1

V´ı du :

(a) C´ac tˆa.p ho p sˆ. o´ Z, Q, R lˆa.p th`anh nh´om abel d¯ˆo´i v´o.i ph´ep cˆo.ng.

(b) C´ac tˆa.p Z∗ = {±1}, Q ∗ = Q\ {0}, R ∗ = R\ {0} l`am th`anh nh´om abel d¯ˆo´i

v´o.i ph´ep nhˆan

(c) Ta d¯i.nh ngh˜ıa ph´ep cˆo.ng trong Z/n nhu sau:

[x] + [y] = [x + y].

Dˆ˜ kiˆe’m tra r˘a`ng ph´ep to´an n`ay khˆong phu thuˆo.c d¯a.i biˆe’u cu’a c´ac l´o.p tu.o.nge

d¯u.o.ng [x] v` a [y] Ho.n n˜ u.a, Z/n c`ung v´o.i ph´ep cˆo.ng n´oi trˆen lˆa.p th`anh mˆo.tnh´om abel

(d) Mˆo˜i song ´anh t`u tˆa.p ho p {1, 2, , n} v`. ao ch´ınh n´o d¯u.o. c go.i l`a mˆo.t ph´ep thˆe´(hay ph´ep ho´an vi.) trˆen n phˆa` n tu.’ Tˆa.p ho p S. n tˆa´t ca’ c´ac ph´ep thˆe´ trˆen n

phˆ` n tu.a ’ l`am th`anh mˆo.t nh´om d¯ˆo´i v´o.i ph´ep ho p th`anh c´ac ´anh xa

(α · β)(i) = α(β(i)), ∀α, β ∈ S n , 0 ≤ i ≤ n.

S n d¯u.o. c go.i l`a nh´ om d ¯ˆ o´i x´ u.ng trˆ en n phˆ ` n tu a ’ D- ˆay l`a mˆo.t nh´om khˆong abel

khi n > 2 (Xem chi tiˆe´t o.’ Chu.o.ng III.)

(e) Trong Chu.o.ng II ch´ung ta s˜e kha’o s´at mˆo.t l´o.p nh´om khˆong abel rˆa´t quantro.ng d¯ˆo´i v´o.i mˆon D- a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh, d¯´o l`a nh´om GL(V ) c´ac biˆe´n d¯ˆo’i tuyˆe´n

t´ınh khˆong suy biˆe´n trˆen khˆong gian v´ecto V

D- i.nh ngh˜ıa 4.2 Gia’ su.’ G v`a G 0 l`a c´ac nh´om (v´o.i ph´ep to´an viˆe´t theo lˆo´i nhˆan).

N´o c˜ung chuyˆe’n phˆ` n tu.a ’ nghi.ch d¯a’o cu’a x th`anh phˆa` n tu.’ nghi.ch d¯a’o cu’a ϕ(x):

ϕ(x −1 ) = ϕ(x) −1 , ∀x ∈ G.

D - i.nh ngh˜ıa 4.3 (a) Mˆo.t d¯ˆo`ng cˆa´u nh´om d¯ˆo`ng th`o.i l`a mˆo.t d¯o.n ´anh d¯u.o c go.i l`a

mˆo.t d¯o n cˆa´u nh´om.

(b) Mˆo.t d¯ˆo`ng cˆa´u nh´om d¯ˆ`ng th`o o.i l`a mˆo.t to`an ´anh d¯u.o c go.i l`a mˆo.t to`an cˆa´u

(a) ´Anh xa m˜u exp : R → R+, exp(x) = e x l`a mˆo.t d¯˘a’ng cˆa´u t`u nh´om cˆo.ng c´ac

sˆo´ thu. c R v`ao nh´om nhˆan c´ac sˆo´ thu. c du.o.ng R+

Bˆay gi`o ta chuyˆe’n sang kha’o s´at c´ac v`anh v`a tru.`o.ng

D

- i.nh ngh˜ıa 4.4 Mˆo.t v`anh l`a mˆo.t tˆa.p ho p R 6= ∅ d¯u.o c trang bi hai ph´ep to´an hai

ngˆoi, gˆ`m ph´ep cˆo o.ng

(R1) R l`a mˆo.t nh´om abel d¯ˆo´i v´o.i ph´ep cˆo.ng.

(R2) Ph´ep nhˆan c´o t´ınh chˆa´t kˆe´t ho. p:

(xy)z = x(yz), ∀x, y, z ∈ R.

(R3) Ph´ep nhˆan phˆan phˆo´i vˆ` hai ph´ıa d¯ˆe o´i v´o.i ph´ep cˆo.ng:

(x + y)z = xz + yz, z(x + y) = zx + zy, ∀x, y, z ∈ R.

V`anh R d¯u.o. c go.i l`a giao ho´ an nˆe´u ph´ep nhˆan cu’a n´o c´o t´ınh giao ho´an:

(a) C´ac tˆa.p ho p sˆ. o´ Z, Q l`a c´ac v`anh giao ho´an v`a c´o d¯o.n vi d¯ˆo´i v´o.i c´ac ph´ep to´an

cˆo.ng v`a nhˆan thˆong thu.`o.ng Tˆa.p ho p sˆo´ tu nhiˆen N khˆong l`a mˆo.t v`anh, v`ı

n´o khˆong l`a mˆo.t nh´om d¯ˆo´i v´o.i ph´ep cˆo.ng

(b) Ta d¯i.nh ngh˜ıa ph´ep nhˆan trˆen nh´om cˆo.ng Z/n c´ac sˆo´ nguyˆen modulo n nhu.

sau:

[x][y] = [xy], ∀x, y ∈ Z/n.

Ph´ep nhˆan n`ay khˆong phu thuˆo.c d¯a.i biˆe’u cu’a c´ac l´o.p [x] v`a [y] N´o biˆe´n nh´om

cˆo.ng Z/n th`anh mˆo.t v`anh giao ho´an v`a c´o d¯o.n vi., d¯u.o c go.i l`a v`anh c´ac sˆo´nguyˆen modulo n.

(c) Trong Chu.o.ng II ta s˜e x´et mˆo.t l´o.p v`anh d¯˘a.c biˆe.t quan tro.ng d¯ˆo´i v´o.i mˆon D- a.i

sˆo´ tuyˆe´n t´ınh, d¯´o l`a v`anh M (n × n, K) c´ac ma trˆa.n vuˆong cˆa´p n v´o.i c´ac phˆa`n

tu.’ trong tru.`o.ng K.

- i.nh ngh˜ıa 4.5 Gia’ su.’ R v`a R 0 l`a c´ac v`anh ´Anh xa ϕ : R → R 0 d¯u.o. c go.i l`a mˆo.td¯ˆ`ng cˆo a´u v`anh nˆe´u

ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y), ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y), ∀x, y ∈ R.

C´ac kh´ai niˆe.m d¯o.n cˆa´u v`anh, to`an cˆa´u v`anh, d¯˘a’ng cˆa´u v`anh d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıatu.o.ng tu. nhu d¯ˆo´i v´o.i tru.`o.ng ho p nh´om

Ch˘a’ng ha.n, ph´ep nh´ung Z ⊂ Q l`a mˆo.t d¯o n cˆa´u v`anh Ph´ep chiˆe´u pr : Z → Z/n

l`a mˆo.t to`an cˆa´u v`anh

Phˆ` n tu.a ’ x trong mˆo.t v`anh c´o d¯o.n vi R d¯u.o c go.i l`a kha’ nghi.ch nˆe´u tˆo`n ta.i phˆa`n

tu.’ x 0 ∈ R sao cho

xx 0 = x 0 x = 1.

Dˆ˜ ch´e u.ng minh r˘a`ng phˆa` n tu.’ x 0 c´o t´ınh chˆa´t nhu vˆa.y nˆe´u tˆo`n ta.i th`ı duy nhˆa´t N´od¯u.o. c k´y hiˆe.u l`a x −1

D

- i.nh ngh˜ıa 4.6 Mˆo.t v`anh giao ho´an, c´o d¯o.n vi 1 6= 0 sao cho mo.i phˆa`n tu.’ kh´ac 0

trong n´o d¯ˆ` u kha’ nghi.ch d¯u.o c go.i l`a mˆo.t tru.`o.ng.e

V`anh Q l`a mˆo.t tru.`o.ng V`anh sˆo´ nguyˆen Z khˆong l`a mˆo.t tru.`o.ng, v`ı c´ac sˆo´ kh´ac

±1 d¯ˆe`u khˆong kha’ nghi.ch trong Z.

D- i.nh ngh˜ıa 4.7 Gia’ su.’ ≤ l`a mˆo.t quan hˆe th´u tu trˆen tru.`o.ng K Khi d¯´o K d¯u.o c

go.i l`a mˆo.t tru `o.ng d¯u.o c s˘a´p d¯ˆo´i v´o.i th´u tu ≤ nˆe´u c´ac d¯iˆe`u kiˆe.n sau d¯ˆay d¯u.o c thoa’

m˜an:

(a) Nˆe´u x ≤ y th`ı x + z ≤ y + z, v´o.i mo.i z ∈ K;

(b) Nˆe´u x ≤ y v`a 0 ≤ z th`ı xz ≤ yz.

Tru.`o.ng sˆo´ h˜u.u ty’ Q l`a mˆo.t tru.`o.ng d¯u.o c s˘a´p d¯ˆo´i v´o.i th´u tu thˆong thu.`o.ng.Du.´o.i d¯ˆay ta s˜e x´et xem khi n`ao th`ı v`anh Z/n l`a mˆo.t tru.`o.ng

- i.nh ngh˜ıa 4.8 Nˆe´u v`anh R ch´u.a c´ac phˆa`n tu.’ a 6= 0, b 6= 0 sao cho ab = 0 th`ı ta

n´oi R c´ o u.´ o.c cu’a khˆ ong.

Tr´ai la.i, nˆe´u t`u d¯˘a’ng th´u.c ab = 0 (v´o.i a, b ∈ R) suy ra ho˘a.c a = 0 ho˘a.c b = 0,

th`ı v`anh R d¯u.o. c go.i l`a khˆ ong c´ o u.´ o.c cu’a khˆ ong.

V`anh Z/6 c´o u.´o.c cu’a khˆong, bo.’ i v`ı [2]6= 0, [3] 6= 0 v`a

[2][3] = [6] = [0] = 0.

N´oi chung, nˆe´u n l`a mˆo.t ho p sˆ. o´ th`ı Z/n c´o u.´o.c cu’a khˆong Thˆa.t vˆa.y, v`ı n l`a

mˆo.t ho p sˆ. o´ cho nˆen n = rs trong d¯´ o 0 < r, s < n Khi d¯´ o, [r] 6= 0, [s] 6= 0 v`a [r][s] = [n] = [0] = 0.

Mˆ e.nh d¯ˆe` 4.9 Mˆ o ˜i tru.`o.ng d¯ˆe ` u l` a mˆ o t v` anh khˆ ong c´ o u.´ o.c cu’a khˆ ong.

Ch´ u.ng minh: Gia’ su ’ K l`a mˆo.t tru.`o.ng, a v`a b l`a c´ac phˆa`n tu.’ thuˆo.c K v´o.i ab = 0.

Nˆe´u a 6= 0 th`ı a kha’ nghi.ch Ta c´o

b = 1b = (a −1 a)b = a −1 (ab) = a −1 0 = 0.

Mˆ e.nh d¯ˆe` 4.10 Z/n l` a mˆ o t tru `o.ng nˆe´u v`a chı’ nˆe´u n l`a mˆo.t sˆo´ nguyˆen tˆo´.

Ch´ u.ng minh: Nˆe´u n l`a mˆo.t ho p sˆ. o´ th`ı Z/n c´o u.´o.c cu’a khˆong, do d¯´o khˆong l`a

mˆo.t tru.`o.ng

Gia’ su.’ n = p l`a mˆo.t sˆo´ nguyˆen tˆo´ Mˆo˜i phˆa` n tu.’ kh´ac khˆong trong Z/p d¯ˆ` u c´e o

da.ng [q] trong d¯´o d¯a.i biˆe’u q thoa’ m˜an d¯iˆe ` u kiˆe.n 0 < q < p Khi d¯´o p v`a q nguyˆen

tˆo´ c`ung nhau, v`ı thˆe´ c´o c´ac sˆo´ nguyˆen k v` a ` sao cho kp + `q = 1 Hay l`a

[`][q] = [1] − [kp] = [1]

trong Z/p D- iˆe` u n`ay c´o ngh˜ıa l`a [q] kha’ ngi.ch, v`a [q] −1 = [`] 2

Tru.`o.ng Z/p thu.`o.ng d¯u.o. c k´y hiˆe.u l`a Fp.

Trong v`anh Z/n c´o hiˆe.n tu.o ng sau d¯ˆay:

¯˘ a c sˆ o´ cu’a v` anh R Ngu.o. c la.i, nˆe´u khˆong c´o sˆo´ nguyˆen du.o.ng n n`ao nhu thˆe´ th`ı

ta n´oi R c´ o d ¯˘ a c sˆ o´ b˘a`ng 0 D- ˘a.c sˆo´ cu’a R d¯u.o c k´y hiˆe.u l`a Char(R).

V´ı du : Char(Z) = Char(Q) = 0,

Char(Z/n) = n, v´o.i mo.i sˆo´ nguyˆen du.o.ng n.

Mˆ e.nh d¯ˆe` 4.12 Nˆe´u K l` a mˆ o t tru .`o.ng th`ı Char(K) ho˘a.c b˘a`ng 0 ho˘a.c l`a mˆo.t sˆo´

nguyˆ en tˆ o´.

Ch´ u.ng minh: D- ˘a.t m · 1 = 1 + 1 + · · · + 1| {z }

m

∈ K Gia’ su.’ n = Char(K) l`a mˆo.t ho p

sˆo´ v´o.i phˆan t´ıch n = rs (0 < r, s < n) Dˆ ˜ thˆa´y r˘a`ng ne · 1 = (r · 1)(s · 1) = 0 V`ı

tru.`o.ng K khˆong c´o u.´o.c cu’a khˆong, nˆen ho˘a.c (r · 1) = 0 ho˘a.c (s · 1) = 0 D- iˆe` u n`ay

mˆau thuˆa˜n v´o.i d¯i.nh ngh˜ıa cu’a d¯˘a.c sˆo´, v`ı r v`a s l`a c´ac sˆo´ tu nhiˆen nho’ ho.n n 2

5 Tru.` o.ng sˆ o´ thu c

Tˆa´t ca’ c´ac ho.c tr`o tˆo´t nghiˆe.p trung ho.c phˆo’ thˆong d¯ˆe` u d¯˜a t´ınh to´an thuˆ` n thu.c v´o.iac´ac sˆo´ thu. c Thˆe´ nhu.ng, nˆe´u ho’i ho “Sˆo´ thu c l`. a g`ı?” th`ı ch˘a´c ch˘a´n ho s˜e khˆong tra’l`o.i d¯u.o. c Thˆa.t ra, d¯´o l`a mˆo.t vˆa´n d¯ˆe` rˆa´t kh´o

Trong tiˆe´t n`ay, ch´ung ta s˜e xˆay du. ng tru.`o.ng sˆo´ thu c R nhu l`a mˆo.t “bˆo’ sung”

cu’a tru.`o.ng sˆo´ h˜u.u ty’ Q, nh˘a`m gia’i quyˆe´t t`ınh tra.ng kh´o xu.’ m`a Pythagore d¯˜a g˘a.pt`u ho.n 2000 n˘am tru.´o.c, d¯´o l`a: Nˆe´u chı’ d`ung c´ac sˆo´ h˜u.u ty’ th`ı d¯u.`o.ng ch´eo cu’a

mˆo.t h`ınh vuˆong d¯o.n vi s˜e khˆong c´o d¯ˆo d`ai N´oi c´ach kh´ac, khˆong tˆo`n ta.i sˆo´ h˜u.u

ty’ a thoa’ m˜an hˆe th´u.c a2 = 2 Thˆa.t vˆa.y, gia’ su’ a c´. o da.ng phˆan sˆo´ tˆo´i gia’n p q, v´o.i

p, q ∈ Z, q 6= 0, khi d¯´o ( p

q)2 = 2 Hay l`a p2 = 2q2 T`u d¯´o suy ra p l`a mˆo.t sˆo´ ch˘a˜n

Ta d¯˘a.t p = 2p1 trong d¯´o p1 ∈ Z D - ˘a’ng th´u.c trˆen tro.’ th`anh 2p2

1 = q2 Do d¯´o q c˜ungl`a mˆo.t sˆo´ ch˘a˜n D- iˆe` u n`ay mˆau thuˆa˜n v´o.i gia’ thiˆe´t n´oi r˘a`ng p

q l`a mˆo.t phˆan sˆo´ tˆo´igia’n

D

- i.nh ngh˜ıa sau d¯ˆay d¯u.o c go i ´y t`u mˆo.t nhˆa.n x´et tru c gi´ac l`a: mˆo˜i l´at c˘a´t v`ao

“d¯u.`o.ng th˘a’ng sˆo´ thu. c” d¯ˆ` u “cha.m” pha’i mˆo.t sˆo´ thu c duy nhˆa´t.e

(c) α khˆong c´o phˆ` n tu.a ’ l´o.n nhˆa´t

Ch˘a’ng ha.n, tˆa.p ho p sau d¯ˆ. ay (d¯u.o. c k´y hiˆe.u bo’ i. √

2) l`a mˆo.t l´at c˘a´t trong Q:

D- ˆe’ ´y r˘a`ng r = min(Q \ r ∗).

D- i.nh ngh˜ıa 5.2 Gia’ su.’ α l`a mˆo.t l´at c˘a´t Nˆe´u c´o sˆo´ nho’ nhˆa´t trong tˆa.p ho p Q \ α

th`ı α d¯u.o. c go.i l`a mˆo.t l´at c˘a´t h˜u.u ty’ Tr´ai la.i, nˆe´u khˆong c´o sˆo´ nho’ nhˆa´t trong tˆa.p

ho. p Q \ α th`ı α d¯u.o c go.i l`a mˆo.t l´at c˘a´t vˆo ty’

Tˆa´t nhiˆen, mo.i l´at c˘a´t h˜u.u ty’ d¯ˆe` u c´o da.ng r ∗ v´o.i mˆo.t sˆo´ h˜u.u ty’ r n`ao d¯´o.

Tˆa.p ho p c´. ac l´at c˘a´t d¯u.o c s˘a´p th´u tu theo quan hˆe ≤ sau d¯ˆay.

- i.nh ngh˜ıa 5.3 Gia’ su.’ α, β l`a c´ac l´at c˘a´t Ta n´oi α < β (hay β > α) nˆe´u β\α 6= ∅.

Ta n´oi α ≤ β (hay β ≥ α) nˆe´u α < β ho˘a.c α = β Mˆo.t l´at c˘a´t d¯u.o c go.i l`a du.o.ng hay ˆ am tu`y theo n´o l´o.n ho.n hay nho’ ho.n l´at c˘a´t 0∗

Ph´ep cˆo.ng c´ac l´at c˘a´t d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa nhu sau

D

- i.nh ngh˜ıa 5.4 Gia’ su.’ α, β l`a c´ac l´at c˘a´t Khi d¯´o l´at c˘a´t sau d¯ˆay d¯u.o c go.i l`a tˆo’ng

cu’a α v` a β, k´y hiˆe.u l`a α + β:

α + β = {r + s| r ∈ α, s ∈ β}.

Dˆ˜ d`ang kiˆe’m tra la.i r˘a`ng tˆa.p ho p α + β trong d¯i.nh ngh˜ıa n´oi trˆen l`a mˆo.t l´at c˘a´te

trong Q.

V´o.i mˆo˜i l´at c˘a´t α tˆo `n ta.i duy nhˆa´t mˆo.t l´at c˘a´t, d¯u.o c k´y hiˆe.u l`a −α, sao cho

α + ( −α) = (−α) + α = 0 ∗ L´at c˘a´t n`ay d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa nhu sau:

−α = {−r| r ∈ (Q \ α), r khˆong l`a sˆo´ nho’ nhˆa´t trong Q \ α}.

Ch´ung ta g˘a.p mˆo.t sˆo´ kh´o kh˘an vˆe` k˜y thuˆa.t khi d¯i.nh ngh˜ıa t´ıch hai l´at c˘a´t D- ˆe’tr´anh nh˜u.ng kh´o kh˘an d¯´o, ch´ung ta d¯u.a ra kh´ai niˆe.m gi´a tri tuyˆe.t d¯ˆo´i

D- i.nh ngh˜ıa 5.5 Gi´a tri tuyˆe.t d¯ˆo´i (c`on go.i t˘a´t l`a tri tuyˆe.t d¯ˆo´i) cu’a l´at c˘a´t α l`a l´at

Tˆa´t nhiˆen |α| ≥ 0 v´o.i mo.i α, ho.n n˜u.a |α| = 0 khi v`a chı’ khi α = 0.

Gia’ su.’ α v` a β l`a c´ac l´at c˘a´t v´o.i α ≥ 0 ∗ , β ≥ 0 ∗ Khi d¯´o tˆa.p ho p sau d¯ˆ. ay l`a mˆo.tl´at c˘a´t, d¯u.o c go.i l`a t´ıch cu’a α v`a β, v`a d¯u.o c k´y hiˆe.u l`a αβ:

αβ = Q − ∪ {rs| r ∈ α, r ≥ 0, s ∈ β, s ≥ 0}.

Bˆay gi`o t´ıch cu’a hai l´at c˘a´t bˆa´t k`y d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa nhu sau:

- i.nh ngh˜ıa 5.6 Gia’ su.’ α, β l`a c´ac l´at c˘a´t Khi d¯´o l´at c˘a´t sau d¯ˆay d¯u.o c go.i l`a t´ıch

cu’a α v` a β, k´y hiˆe.u l`a αβ:

αβ =







|α||β| nˆe´u α ≥ 0 ∗ , β ≥ 0 ∗ ho˘a.c α < 0 ∗ , β < 0 ∗ ,

−(|α||β|) nˆe´u α < 0 ∗ , β ≥ 0 ∗ ho˘a.c α ≥ 0 ∗ , β < 0 ∗

D - i.nh ngh˜ıa 5.7 Ta k´y hiˆe.u bo.’i R tˆa.p ho p tˆa´t ca’ c´ac l´at c˘a´t trong Q.

D

- i.nh l´y sau d¯ˆay d¯u.o c ch´u.ng minh khˆong mˆa´y kh´o kh˘an, nhu.ng d¯`oi ho’i mˆo.t laod¯ˆo.ng tı’ mı’

D- i.nh l´y 5.8 Tˆa.p ho p R d¯u.o c trang bi hai ph´ep to´an cˆo.ng v`a nhˆan n´oi trˆen l`a

mˆ o t tru `o.ng c´o d¯˘a.c sˆo´ b˘a`ng 0 Tru.`o.ng n`ay d¯u.o c s˘a´p d¯ˆo´i v´o.i th´u tu ≤ ´Anh xa.

Q→ R, r 7→ r ∗ l` a mˆ o

t d ¯o.n cˆ a´u tru.` o.ng ba’o to` an th´ u tu.

Trˆen co so.’ d¯i.nh l´y n`ay, mˆo˜i l´at c˘a´t trong Q d¯u.o c go.i l`a mˆo.t sˆo´ thu. c Mˆo˜i l´atc˘a´t h˜u.u ty’ r ∗ d¯u.o. c d¯ˆ`ng nhˆo a´t v´o.i sˆo´ h˜u.u ty’ r Mˆo˜i l´at c˘a´t vˆo ty’ d¯u.o c go.i l`a mˆo.t

sˆ o´ vˆ o ty’.

So v´o.i tru.`o.ng sˆo´ h˜u.u ty’ Q th`ı tru.`o.ng sˆo´ thu. c R u.u viˆe.t ho.n o.’ t´ınh d¯u’ D- ˆe’ diˆe˜n

d¯a.t t´ınh d¯u’ cu’a R ta cˆa ` n d¯i.nh ngh˜ıa l´at c˘a´t trong R Ba.n d¯o.c h˜ay so s´anh d¯i.nh

ngh˜ıa sau d¯ˆay v´o.i D- i.nh ngh˜ıa 5.1 vˆe` l´at c˘a´t trong Q.

D

- i.nh ngh˜ıa 5.9 Tˆa.p ho p α c´ac sˆo´ thu c d¯u.o c go.i l`a mˆo.t l´at c˘a´t (trong R) nˆe´u:

(a) α 6= ∅, α 6= R,

(b) Nˆe´u r ∈ α, v`a s ∈ R, s < r, th`ı s ∈ α,

(c) α khˆong c´o phˆ` n tu.a ’ l´o.n nhˆa´t

Theo d¯i.nh ngh˜ıa, l´at c˘a´t α trong Q l`a h˜u u ty’ hay vˆo ty’ tu`y theo tˆa.p ho p Q \ α

c´o phˆ` n tu.a ’ nho’ nhˆa´t hay khˆong N´oi mˆo.t c´ach tru c gi´. ac, c´ac l´at c˘a´t vˆo ty’ khˆong

“cha.m” pha’i phˆa` n tu.’ n`ao cu’a Q Mˆo.t trong nh˜u.ng biˆe’u hiˆe.n cu’a t´ınh d¯u’ cu’atru.`o.ng sˆo´ thu. c l`a mo.i l´at c˘a´t trong R d¯ˆe` u “cha.m” pha’i mˆo.t sˆo´ thu c n`ao d¯´o Cu.thˆe’, ta c´o

- i.nh l´y 5.10 (T´ınh d¯u’ cu’a tru.`o.ng sˆo´ thu c) V´o.i mo.i l´at c˘a´t α trong R, phˆa`n b`u

cu’a n´ o R \ α luˆon luˆon c´o phˆa`n tu.’ nho’ nhˆa´t.

Ch´ u.ng minh: D- ˘a.t ¯α := α ∩ Q Khi d¯´o ¯α l`a mˆo.t l´at c˘a´t trong Q N´oi c´ach kh´ac,

¯

α l`a mˆo.t sˆo´ thu c Dˆ. e˜ d`ang ch´u.ng minh r˘a`ng v´o.i mo.i s ∈ α v`a mo.i t ∈ R \ α, ta

c´o s < ¯ α ≤ t Kˆe´t ho p d¯iˆe`u d¯´o v´o.i su kiˆe.n α khˆong c´o phˆa`n tu.’ l´o.n nhˆa´t, ta suy ra

¯

Ch´ung ta tro.’ la.i v´o.i b`ai to´an d¯o d¯ˆo d`ai cu’a d¯u.`o.ng ch´eo cu’a h`ınh vuˆong d¯o.n vi

Sˆo´ (l´at c´at) vˆo ty’

√

2 :={r ∈ Q| r2 < 2 }

ch´ınh l`a sˆo´ thu. c thoa’ m˜an phu.o.ng tr`ınh X2 = 2

Mˆo.t c´ach tˆo’ng qu´at, c´o thˆe’ ch´u.ng minh d¯u.o c r˘a`ng nˆe´u d¯˜a cho.n mˆo.t d¯o.n vi d¯ˆo.d`ai th`ı mˆo˜i d¯oa.n th˘a’ng d¯ˆe` u c´o d¯ˆo d`ai l`a mˆo.t sˆo´ thu c n`. ao d¯´o Ngu.o. c la.i, mˆo˜i sˆo´thu. c d¯ˆ` u l`e a d¯ˆo d`ai cu’a mˆo.t d¯oa.n th˘a’ng c´o hu.´o.ng n`ao d¯´o

6 Tru.` o.ng sˆ o´ ph´ u.c

Mo.’ d¯ˆ` u tiˆe´t tru.´a o.c, ch´ung ta d¯˜a ch´u.ng minh r˘a`ng phu.o.ng tr`ınh X2− 2 = 0 khˆong

c´o nghiˆe.m h˜u.u ty’ D- ´o ch´ınh l`a d¯iˆe’m kho.’i d¯ˆa` u cho viˆe.c xˆay du ng tru.`o.ng sˆo´ thu c

R nhu l`a mˆo.t “bˆo’ sung” cu’a tru.`o.ng sˆo´ h˜u.u ty’ Q, nh˘a`m t`ım nghiˆe.m cho phu.o.ng

tr`ınh d¯´o

C´o mˆo.t t`ınh tra.ng tu.o.ng tu l`a phu.o.ng tr`ınh X2+ 1 = 0 khˆong c´o nghiˆe.m thu c,.

bo.’ i v`ı b`ınh phu.o.ng cu’a mo.i sˆo´ thu c d¯ˆe` u khˆong ˆam D- ˆe’ tho´at ra kho’i t`ınh tra.ngn`ay, ta cˆ` n “mo.a ’ rˆo.ng” tru.`o.ng sˆo´ thu c R b˘a`ng c´ach xˆay du ng thˆem “c´ac sˆo´ m´o.i”.

Ta go.i i l`a mˆo.t k´y hiˆe.u h`ınh th´u.c (t´u.c mˆo.t “sˆo´ m´o.i”) l`a nghiˆe.m cu’a phu.o.ngtr`ınh n´oi trˆen, t´u.c l`a

i2 =−1.

Ta muˆo´n thu. c hiˆe.n d¯u.o c mo.i ph´ep to´an cˆo.ng, tr`u., nhˆan v`a chia (cho c´ac sˆo´ kh´ac 0)sau khi d¯˜a gh´ep thˆem i v`ao tru.`o.ng sˆo´ thu. c R D- iˆe` u n`ay dˆa˜n ta t´o.i viˆe.c chˆa´p nhˆa.n

c´ac “sˆo´ m´o.i” da.ng a + bi, trong d¯´o a, b ∈ R Tˆa.p ho p c´. ac sˆo´ nhu vˆa.y kh´ep k´ın d¯ˆo´iv´o.i bˆo´n ph´ep to´an n´oi trˆen Thˆa.t vˆa.y, su’ du.ng hˆe th´u.c i. 2 =−1 ta c´o:

(a + bi) ± (c + di) = (a + c) ± (b + d)i,

(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i,

(v´o.i c + di 6= 0, t´u.c l`a c 6= 0 ho˘a.c d 6= 0).

Tuy nhiˆen, vˆa˜n c`on mˆo.t cˆau ho’i: “Vˆa.y i l`a c´ai g`ı ?”.

D

- ˆe’ tr´anh t`ınh tra.ng kh´o su.’ n`ay ta h˜ay d¯ˆo`ng nhˆa´t a + bi v´o.i c˘a.p sˆo´ thu c (a, b).

Nh˜u.ng phˆan t´ıch o.’ trˆen dˆa˜n ta t´o.i d¯i.nh ngh˜ıa sau d¯ˆay

D

- i.nh ngh˜ıa 6.1 Mˆo.t c˘a.p c´o th´u tu hai sˆo´ thu c (a, b) d¯u.o c go.i l`a mˆo.t sˆo´ ph´u.c.

Tˆa.p ho p tˆ. a´t ca’ c´ac sˆo´ ph´u.c d¯u.o. c k´y hiˆe.u bo’ i C:.

C ={(a, b)|a, b ∈ R}.

Ta d¯i.nh ngh˜ıa c´ac ph´ep to´an cˆo.ng v`a nhˆan c´ac sˆo´ ph´u.c nhu sau:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc).

Mˆe.nh d¯ˆe` sau d¯ˆay d¯u.o. c kiˆe’m tra mˆo.t c´ach dˆe˜ d`ang

Mˆ e.nh d¯ˆe` 6.2 Tˆ a p c´ ac sˆ o´ ph´ u.c C c` ung v´ o.i hai ph´ ep to´ an cˆ o ng v` a nhˆ an d ¯i.nh ngh˜ıa

o ’ trˆen lˆ a p nˆ en mˆ o t tru `o.ng c´o d¯˘a.c sˆo´ b˘a`ng khˆong 2

Phˆ` n tu.a ’ trung lˆa.p d¯ˆo´i v´o.i ph´ep cˆo.ng l`a 0 = (0, 0) D- o.n vi cu’a ph´ep nhˆan l`a

1 = (1, 0) Nghi.ch d¯a’o cu’a sˆo´ ph´u c (a, b) 6= 0 l`a

(a, b) −1 = ( a

a2+ b2, −b

a2+ b2).

Nhˆ a.n x´et: Theo d¯i.nh ngh˜ıa, hai sˆo´ ph´u.c (a, b) v`a (c, d) b˘a`ng nhau nˆe´u v`a chı’ nˆe´u

a = c, b = d.

Ta c´o

(a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0), (a, 0)(b, 0) = (ab, 0).

N´oi c´ach kh´ac, ´anh xa

ι : R → C,

a 7→ (a, 0)

l`a mˆo.t d¯o.n cˆa´u v`anh V`ı thˆe´, ta c´o thˆe’ d¯ˆo`ng nhˆa´t sˆo´ thu c a ∈ R v´o.i sˆo´ ph´u.c c´o

da.ng (a, 0) Khi d¯´o tˆa.p ho p c´. ac sˆo´ thu. c R d¯u.o c d¯ˆo`ng nhˆa´t v´o.i tˆa.p ho p c´ac sˆo´ ph´u.c

da.ng {(a, 0)|a ∈ R} Ngu.`o.i ta n´oi tru.`o.ng sˆo´ thu c R l`a mˆo.t tru.`o.ng con cu’a tru.`o.ng

sˆo´ ph´u.c C.

D

- ˘a.t i = (0, 1) ∈ C Ta c´o i2 = (0, 1)(0, 1) = ( −1, 0) ≡ −1 Nhu thˆe´, ta d¯˜a c´o

“vˆa.t liˆe.u” d¯ˆe’ xˆay du ng “sˆ. o´ m´o.i” i Ta go.i i l`a d¯o n vi a’o.

Mˆo˜i sˆo´ ph´u.c z = (a, b) c´o thˆe’ viˆe´t du.´o.i da.ng

z = (a, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = a + bi.

trong d¯´o a, b ∈ R D - ´o l`a da.ng d¯a.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´u.c Ta go.i a l`a phˆa`n thu c cu’a z, k´y

hiˆe.u a = Rez, c`on b l`a phˆa ` n a’o cu’a z, k´y hiˆe.u Imz.

Sˆo´ ph´u.c z m` a Imz = 0 ch´ınh l`a mˆo.t sˆo´ thu c Sˆ. o´ ph´u.c z c´ o Rez = 0 d¯u.o. c go.il`a mˆo.t sˆo´ thuˆa ` n a’o.

Bˆay gi`o ta x´et biˆ e’u diˆ e ˜n h`ınh ho.c cu’a c´ac sˆo´ ph´u.c.

Trˆen m˘a.t ph˘a’ng x´et mˆo.t hˆe tru.c toa d¯ˆo Descartes vuˆong g´oc Oxy Sˆo´ ph´u.c

z = a + bi d¯u.o. c biˆe’u diˆ˜n trˆen m˘a.t ph˘a’ng bo.’i d¯iˆe’m M c´o toa d¯ˆo (a, b), ho˘a.c bo.’iev´ec to ~ OM d¯i t`u d¯iˆe’m gˆo´c toa d¯ˆo O t´o i d¯iˆe’m M Cˆo.ng c´ac sˆo´ ph´u.c ch´ınh l`a cˆo.ng

c´ac v´ecto tu.o.ng ´u.ng v´o.i ch´ung

6

-O

ϕ

x y

ZZ ~

¯

z

M˘a.t ph˘a’ng toa d¯ˆo d¯u.o c go.i l`a m˘a.t ph˘a’ng ph´u.c C´ac sˆo´ thu c d¯u.o c biˆe’u diˆe˜n

trˆen tru.c Ox, d¯u o c go.i l`a tru.c thu c C´ac sˆo´ thuˆa`n a’o d¯u.o c biˆe’u diˆe˜n trˆen tru.c Oy,

d¯u.o. c go.i l`a tru c a’o.

Ph´ep d¯ˆo´i x´u.ng qua tru.c thu c d¯u. o c go.i l`a ph´ep liˆen ho p ph´u.c Cu thˆe’ ho.n, tac´o

D

- i.nh ngh˜ıa 6.3 Sˆo´ ph´u.c ¯z = a − bi d¯u.o c go.i l`a liˆen ho p cu’a sˆo´ ph´u.c z = a + bi,

trong d¯´o a, b l`a c´ac sˆo´ thu. c.

Ta dˆe˜ d`ang kiˆe’m tra la.i r˘a`ng

z + t = z + ¯¯ t,

zt = z¯¯t.

Phˆ` n cuˆa o´i cu’a tiˆe´t n`ay d¯u.o. c d`anh cho viˆe.c kha’o s´at da.ng lu o ng gi´ac cu’a sˆo´

ph´u.c Da.ng lu.o ng gi´ac d¯˘a.c biˆe.t thuˆa.n tiˆe.n cho viˆe.c nˆang lˆen lu˜y th`u.a v`a khai c˘anc´ac sˆo´ ph´u.c

Gia’ su.’ z = a + bi 6= 0 (t´u.c l`a a2+ b2 6= 0) Ta c´o

z = √

a2+ b2(√ a

a2+ b2 + √ b

a2+ b2i).

Khi d¯´o z = r(cos ϕ + i sin ϕ).

D- i.nh ngh˜ıa 6.4 Sˆo´ thu c khˆong ˆam r = √ a2+ b2 d¯u.o. c go.i l`a mˆ od ¯un cu’a sˆo´ ph´u.c

z = a + bi, k´y hiˆe.u r = |z|; c`on g´oc ϕ d¯u o c go.i l`a argument cu’a z, k´y hiˆe.u ϕ = arg z.

Argument cu’a sˆo´ ph´u.c z = 0 khˆong d¯u.o. c d¯i.nh ngh˜ıa.

Gia’ su.’ z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ), t = |t|(cos ψ + i sin ψ) Khi d¯´o

zt = |z||t|[(cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ) + i(sin ϕ cos ψ + cos ϕ sin ψ)]

= |z||t|(cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)).

N´oi c´ach kh´ac

|zt| = |z||t|, arg(zt) = arg(z) + arg(t),

trong d¯´o d¯iˆ` u kiˆe.n d¯ˆe’ c´o d¯˘a’ng th´u.c cuˆo´i l`a arg(z) v`a arg(t) d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa.eN´oi riˆeng, ta c´o

z n= (|z|(cos ϕ + i sin ϕ)) n=|z| n (cos nϕ + i sin nϕ).

D- ˘a.c biˆe.t, v´o.i |z| = 1, ta c´o Cˆong th´u.c Moivre:

(cos ϕ + i sin ϕ)) n = cos nϕ + i sin nϕ.

Tiˆe´p theo, ta x´et b`ai to´an khai c˘ an bˆ a c n cu’a sˆo´ ph´u.c z, t´u.c l`a t`ım tˆa´t ca’ c´ac

sˆo´ ph´u.c u sao cho u n = z.

Nˆe´u z = 0 th`ı u = 0 l`a l`o.i gia’i duy nhˆa´t

Nˆe´u z 6= 0, ta d¯˘a.t z = |z|(cos ϕ+i sin ϕ) v`a t`ım u du.´o.i da.ng u = |u|(cos θ+i sin θ).

Ta c´o

u n = z ⇐⇒ |u| n (cos nθ + i sin nθ) = |z|(cos ϕ + i sin ϕ)

Nhu vˆa.y, c´o d¯´ung n c˘an bˆa.c n cu’a mˆo˜i sˆo´ ph´u c z 6= 0, ´u.ng v´o.i c´ac gi´a tri k =

1, 2, , n − 1 C´ac c˘an n`ay lˆa.p nˆen n d¯ı’nh cu’a mˆo.t d¯a gi´ac d¯ˆe`u n ca.nh v´o.i tˆam ta.i

gˆo´c toa d¯ˆo

N´oi riˆeng, c´o d¯´ung n c˘an bˆa.c n cu’a d¯o.n vi 1, d¯´o l`a

Tˆa´t ca’ c´ac c˘an bˆa.c n cu’a mˆo˜i sˆo´ ph´u c z d¯ˆe` u nhˆa.n d¯u.o c b˘a`ng c´ach nhˆan mˆo.tc˘an nhu thˆe´ v´o.i tˆa´t ca’ c´ac c˘an bˆa.c n cu’a d¯o.n vi

Viˆe.c kha’o s´at c´ac c˘an ph´u.c d¯˜a cho thˆa´y tru.`o.ng sˆo´ ph´u.c “phong ph´u” ho.n rˆa´tnhiˆ` u so v´e o.i tru.`o.ng sˆo´ thu. c Tro’ la.i x´et phu.o.ng tr`ınh X. 2+ 1 = 0, ta d¯˜a biˆe´t r˘a`ngn´o c´o d¯´ung hai nghiˆe.m ph´u.c (±i), l`a c´ac c˘an bˆa.c hai cu’a (−1) Trong tiˆe´t sau ta

s˜e thˆa´y tru.`o.ng sˆo´ ph´u.c cung cˆa´p “d¯u’ nghiˆe.m” cho tˆa´t ca’ c´ac d¯a th´u.c hˆe sˆo´ ph´u.c

7 D - a th´ u.c

Ch´ung ta tr`ınh b`ay o.’ d¯ˆay mˆo.t c´ach hiˆe’u tru c gi´. ac nhˆa´t vˆ` d¯a th´e u.c

Gia’ su.’ K l`a mˆo.t tru.`o.ng Biˆe’u th´u.c h`ınh th´u.c

f (X) = a n X n + a n −1 X n −1+· · · + a1X + a0,

trong d¯´o a0, a1, , a n ∈ K, d¯u.o c go.i l`a mˆo.t d¯a th´u.c cu’a ˆa’n X (hay biˆe´n X) v´o.i hˆe.

sˆo´ trong K.

Nˆe´u a n 6= 0 th`ı ta n´oi f(X) c´o bˆa.c n, v`a viˆe´t deg f(X) = n; c`on a n d¯u.o. c go.i l`a

hˆe sˆo´ bˆa.c cao nhˆa´t cu’a f(X) Nˆe´u a0 = a1 =· · · = a n = 0 th`ı f (X) d¯u.o. c go.i l`a d¯ath´u.c 0, v`a d¯u.o. c coi l`a c´o bˆa.c b˘a`ng −∞.

Tˆa.p ho p c´. ac d¯a th´u.c ˆa’n X v´o.i hˆe sˆo´ trong K d¯u.o c k´y hiˆe.u l`a K[X] Ta trang

bi cho tˆa.p ho p n`. ay hai ph´ep to´an cˆo.ng v`a nhˆan nhu sau:

Ch´ u.ng minh: Nhˆa.n x´et r˘a`ng d¯ˆo´i v´o.i c´ac d¯a th´u.c f(X) v`a g(X) ta c´o

deg(f (X)g(X)) = deg f (X) + deg g(X).

T´ınh chˆa´t n`ay dˆa˜n t´o.i su kiˆe.n K[X] khˆong c´o u.´o.c cu’a khˆong.

C´ac kh˘a’ng d¯i.nh c`on la.i cu’a mˆe.nh d¯ˆe` d¯ˆe` u dˆe˜ kiˆe’m tra 2

Ta th`u.a nhˆa.n d¯i.nh l´y sau d¯ˆay

D

- i.nh l´y 7.2 (Ph´ep chia Euclid v´o.i du.) Gia’ su.’ f(X) v`a g(X) 6= 0 l`a c´ac d¯a th´u.c

cu’a v` anh K[X] Khi d ¯´ o tˆ `n ta.i duy nhˆa´t c´ac d¯a th´u.c q(X) v`a r(X) trong K[X] sao o cho

f (X) = g(X)q(X) + r(X), trong d ¯´ o deg r(X) < deg g(X).

C´ac d¯a th´u.c q(X) v` a r(X) d¯u.o. c go.i tu.o.ng ´u.ng l`a thu.o.ng v`a phˆa ` n du trong

ph´ep chia f (X) cho g(X) Nˆ e´u r(X) = 0, t´u.c l`a f (X) = g(X)q(X), ta n´ oi f (X) chia hˆ e´t cho g(X) trong K[X], ho˘ a.c g(X) l`a mˆo.t u .´o.c cu’a f(X) trong K[X].

Phˆ` n tu.a ’ c ∈ K d¯u.o c go.i l`a mˆo.t nghiˆe.m cu’a d¯a th´u.c f(X) = a n X n+· · ·+a1X +a0

nˆe´u

f (c) = a n c n+· · · + a1c + a0 = 0 ∈ K.

Ta c´o d¯i.nh l´y sau d¯ˆay liˆen hˆe gi˜u.a nghiˆe.m v`a t´ınh chia hˆe´t cu’a d¯a th´u.c

D

- i.nh l´y 7.3 (B´ezout) D - a th´u.c f(X) ∈ K[X] nhˆa.n c ∈ K l`a mˆo.t nghiˆe.m nˆe´u v`a

chı’ nˆ e´u tˆ `n ta.i mˆo.t d¯a th´u.c q(X) ∈ K[X] sao cho o

f (X) = (X − c)q(X).

Ch´ u.ng minh: Nˆe´u f (X) = (X − c)q(X) th`ı f(c) = (c − c)q(c) = 0 ∈ K Do d¯´o c

l`a mˆo.t nghiˆe.m cu’a f(X).

Ngu.o. c la.i, gia’ su’ c l`. a mˆo.t nghiˆe.m cu’a f(X) Ta chia f(X) cho d¯a th´u.c kh´ackhˆong (X − c):

f (X) = (X − c)q(X) + r(X),

trong d¯´o q(X), r(X) ∈ K[X] v`a deg r(X) < deg(X − c) = 1 Nhu thˆe´, deg r(X)

ho˘a.c b˘a`ng 0 ho˘a.c b˘a`ng −∞ Trong ca’ hai tru `o.ng ho p r(X) d¯ˆe`u l`a d¯a th´u.c h˘a`ng, r(X) = r ∈ K Ta c´o

0 = f (c) = (c − c)q(c) + r = r.

D- i.nh ngh˜ıa 7.4 Phˆa`n tu.’ c ∈ K d¯u.o c go.i l`a mˆo.t nghiˆe.m bˆo.i k cu’a d¯a th´u.c f(X)

nˆe´u f (X) chia hˆ e´t cho (X − c) k, nhu.ng khˆong chia hˆe´t cho (X − c) k+1 trong K[X].

V´ı du : D- a th´u.c f(X) = X(X − 1)2 c´o c´ac nghiˆe.m X = 0 v´o i bˆo.i 0 v`a X = 1 v´o.i

bˆo.i 2

- i.nh ngh˜ıa 7.5 D- a th´u.c f(X) ∈ K[X] d¯u.o c go.i l`a bˆa´t kha’ quy trˆen K nˆe´u n´o

c´o bˆa.c du.o.ng v`a nˆe´u n´o khˆong th`u.a nhˆa.n mˆo.t phˆan t´ıch n`ao c´o da.ng f(X) = g(X)h(X), trong d¯´o c´ac d¯a th´u.c g(X), h(X) ∈ K[X] d¯ˆe`u c´o bˆa.c nho’ ho.n deg f(X).

Mˆo.t d¯a th´u.c d¯u.o c go.i l`a kha’ quy trˆen K nˆe´u n´o khˆong bˆa´t kha’ quy trˆen K.

N´oi c´ach kh´ac, d¯a th´u.c f (X) ∈ K[X] l`a bˆa´t kha’ quy trˆen K nˆe´u n´o c´o bˆa.c

du.o.ng v`a chı’ chia hˆe´t cho c´ac d¯a th´u.c bˆa.c du.o.ng c´o da.ng kf(X) ∈ K[X], trong

d¯´o k ∈ K \ {0}.

V´ı du :

(1) Mo.i d¯a th´u.c bˆa.c nhˆa´t d¯ˆe`u bˆa´t kha’ quy

(2) D- a th´u.c bˆa.c hai bˆa´t kha’ quy trˆen K nˆe´u v`a chı’ nˆe´u n´o vˆo nghiˆe.m trong K.

(3) D- a th´u.c bˆa.c l´o.n ho.n 1 c´o nghiˆe.m trong K th`ı khˆong bˆa´t kha’ quy trˆen K

(4) D- a th´u.c X2− 2 bˆa´t kha’ quy trˆen Q nhu.ng kha’ quy trˆen R.

(5) D- a th´u.c X2+ 1 bˆa´t kha’ quy trˆen R, nhu.ng kha’ quy trˆ en C.

Ch´ung ta th`u.a nhˆa.n d¯i.nh l´y sau d¯ˆay, n´oi vˆe` t´ınh d¯´ ong d ¯a i sˆ o´ cu’a tru.`o.ng sˆo´ph´u.c

D

- i.nh l´y 7.6 (D- i.nh l´y co ba’n cu’a D- a.i sˆo´ ho.c)

Mo i d ¯a th´ u.c bˆ a c du o.ng v´o.i hˆe sˆo´ ph´u.c d¯ˆe`u c´o nghiˆe.m ph´u.c.

N´oi c´ach kh´ac, mˆo.t d¯a th´u.c hˆe sˆo´ ph´u.c l`a bˆa´t kha’ quy trˆen C khi v`a chı’ khi n´o

l`a mˆo.t d¯a th´u.c bˆa.c nhˆa´t

Nhu vˆa.y, nˆe´u f(X) ∈ C[X] c´o bˆa.c n th`ı n´o th`u.a nhˆa.n phˆan t´ıch

f (X) = a n (X − z1)· · · (X − z n)trong d¯´o a n 6= 0 l`a hˆe sˆo´ bˆa.c cao nhˆa´t cu’a f(X), v`a z1, , z nl`a c´ac sˆo´ ph´u.c n`ao d¯´o

Cho t´o.i nay, mo.i ch´u.ng minh d¯˜a biˆe´t cu’a d¯i.nh l´y n`ay d¯ˆe`u mang ba’n s˘a´c Tˆopˆo,H`ınh ho.c ho˘a.c Gia’i t´ıch Chu.a c´o mˆo.t ch´u.ng minh thuˆa`n tu´y d¯a.i sˆo´ n`ao cho d¯i.nhl´y n`ay.

Nh˘a´c la.i r˘a`ng tam th´u.c bˆa.c hai hˆe sˆo´ thu c aX2+ bX + c khˆong c´o nghiˆe.m thu c.

nˆe´u v`a chı’ nˆe´u biˆe.t th´u.c cu’a n´o ∆ = b2− 4ac < 0.

Mˆo.t ´u.ng du.ng cu’a d¯i.nh l´y co ba’n cu’a d¯a.i sˆo´ ho.c l`a kh˘a’ng d¯i.nh sau d¯ˆay

D- i.nh l´y 7.7 Mˆo.t d¯a th´u.c hˆe sˆo´ thu c l`a bˆa´t kha’ quy trˆen R nˆe´u v`a chı’ nˆe´u n´o ho˘a.c

l` a mˆ o t d ¯a th´ u.c bˆ a c nhˆ a´t ho˘ a c l` a mˆ o t d ¯a th´ u.c bˆ a c hai v´ o.i biˆ e.t th´u c ˆam Ho.n n˜u.a,

mo i d ¯a th´ u.c f (X) ∈ R[X] d¯ˆe`u th`u.a nhˆa.n phˆan t´ıch

am d¯ˆ` u bˆe a´t kha’ quy trˆen R Kh˘a’ng d¯i.nh ngu.o c la.i d¯u.o c bao h`am trong phˆan t´ıch

cˆ` n t`ım cho mo.i d¯a th´u.c f(X) n´oi trong d¯i.nh l´y.a

Go.i x1, , x r l`a tˆa´t ca’ c´ac nghiˆe.m thu c cu’a f (X) v´. o.i bˆo.i tu.o.ng ´u.ng b˘a`ng

k1, , k r Ta c´o

f (X) = a n (X − x1)k1· · · (X − x r)k r P (X),

trong d¯´o P (X) l`a mˆo.t d¯a th´u.c hˆe sˆo´ thu c nhu.ng khˆong c´o nghiˆe.m thu c Gia’ su.’ z1

l`a mˆo.t nghiˆe.m ph´u.c cu’a P (X), khi d¯´o ¯z1 c˜ung l`a mˆo.t nghiˆe.m cu’a P (X) Thˆa.t vˆa.y,

Q(X) thay cho P (X) Bo ’ i v`ı deg Q(X) < deg P (X), cho nˆen ta nhˆa.n d¯u.o c phˆan

t´ıch cu’a f (X) nhu n´ oi trong d¯i.nh l´y b˘a`ng c´ach quy na.p theo deg P (X) 2

B` ai tˆ a.p

1 Ch´u.ng minh c´ac t´ınh chˆa´t kˆe´t ho. p, giao ho´an, phˆan phˆo´i cu’a c´ac ph´ep to´an

ho. p v`a giao trˆen tˆa.p ho p Ch´. u.ng minh cˆong th´u.c d¯ˆo´i ngˆa˜u De Morgan chohiˆe.u cu’a ho p v`. a giao cu’a mˆo.t ho tu`y ´y c´ac tˆa.p ho p..

H˜ay t`ım c´ac v´ı du d¯ˆe’ ch´u.ng to’ r˘a`ng khˆong c´o dˆa´u b˘a`ng o.’ c´ac mu.c (b) v`a (c).

5 Cho ´anh xa f : X → Y v`a c´ac tˆa.p con A, B ⊂ Y Ch´u.ng minh r˘a`ng