giáo trình đại số tuyến tính

MU . C LU . C Mu . c lu . c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 L`o . i n´oi d¯ˆa ` u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chu . o . ng 0: Kiˆe ´ n th´u . c chuˆa ’ n bi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 §1. Tˆa . p ho . . p 7 §2. Quan hˆe . v`a ´ Anh xa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 §3. Lu . . c lu . o . . ng cu ’ a tˆa . p ho . . p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 §4. Nh´om, V`anh v`a Tru . `o . ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 §5. Tru . `o . ng sˆo ´ thu . . c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 §6. Tru . `o . ng sˆo ´ ph´u . c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 §7. D - a th´u . c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 B`ai tˆa . p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Chu . o . ng I: Khˆong gian v´ecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 §1. Kh´ai niˆe . m khˆong gian v´ecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 §2. D - ˆo . c lˆa . p tuyˆe ´ n t´ınh v`a phu . thuˆo . c tuyˆe ´ n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 §3. Co . so . ’ v`a sˆo ´ chiˆe ` u cu ’ a khˆong gian v´ecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 §4. Khˆong gian con - Ha . ng cu ’ a mˆo . t hˆe . v´ecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 §5. Tˆo ’ ng v`a tˆo ’ ng tru . . c tiˆe ´ p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 §6. Khˆong gian thu . o . ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 B`ai tˆa . p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Chu . o . ng II: Ma trˆa . n v`a ´ Anh xa . tuyˆe ´ n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 §1. Ma trˆa . n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 §2. ´ Anh xa . tuyˆe ´ n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 §3. Ha . t nhˆan v`a a ’ nh cu ’ a d¯ˆo ` ng cˆa ´ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 §4. Khˆong gian v´ecto . d¯ˆo ´ i ngˆa ˜ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 B`ai tˆa . p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 1 Chu . o . ng III: D - i . nh th´u . c v`a hˆe . phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 §1. C´ac ph´ep thˆe ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 §2. D - i . nh th´u . c cu ’ a ma trˆa . n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 §3. ´ Anh xa . d¯a tuyˆe ´ n t´ınh thay phiˆen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 §4. D - i . nh th´u . c cu ’ a tu . . d¯ˆo ` ng cˆa ´ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 §5. C´ac t´ınh chˆa ´ t sˆau ho . n cu ’ a d¯i . nh th´u . c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 §6. D - i . nh th´u . c v`a ha . ng cu ’ a ma trˆa . n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 §7. Hˆe . phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ n t´ınh - Quy t˘a ´ c Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 §8. Hˆe . phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ n t´ınh - Phu . o . ng ph´ap khu . ’ Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 139 §9. Cˆa ´ u tr´uc nghiˆe . m cu ’ a hˆe . phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 B`ai tˆa . p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Chu . o . ng IV: Cˆa ´ u tr´uc cu ’ a tu . . d¯ˆo ` ng cˆa ´ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 §1. V´ecto . riˆeng v`a gi´a tri . riˆeng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 §2. Khˆong gian con ˆo ’ n d¯i . nh cu ’ a c´ac tu . . d¯ˆo ` ng cˆa ´ u thu . . c v`a ph´u . c . . . . . . . . . . . 161 §3. Tu . . d¯ˆo ` ng cˆa ´ u ch´eo ho´a d¯u . o . . c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 §4. Tu . . d¯ˆo ` ng cˆa ´ u lu˜y linh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 §5. Ma trˆa . n chuˆa ’ n Jordan cu ’ a tu . . d¯ˆo ` ng cˆa ´ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 B`ai tˆa . p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Chu . o . ng V: Khˆong gian v´ecto . Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 §1. Khˆong gian v´ecto . Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 §2. ´ Anh xa . tru . . c giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 §3. Ph´ep biˆe ´ n d¯ˆo ’ i liˆen ho . . p v`a ph´ep biˆe ´ n d¯ˆo ’ i d¯ˆo ´ i x´u . ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 §4. V`ai n´et vˆe ` khˆong gian Unita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 B`ai tˆa . p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 Chu . o . ng VI: Da . ng song tuyˆe ´ n t´ınh v`a da . ng to`an phu . o . ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 §1. Kh´ai niˆe . m da . ng song tuyˆe ´ n t´ınh v`a da . ng to`an phu . o . ng . . . . . . . . . . . . . . . 234 §2. D - u . a da . ng to`an phu . o . ng vˆe ` da . ng ch´ınh t˘a ´ c 237 2 §3. Ha . ng v`a ha . ch cu ’ a da . ng to`an phu . o . ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 §4. Chı ’ sˆo ´ qu´an t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 §5. Da . ng to`an phu . o . ng x´ac d¯i . nh dˆa ´ u 252 B`ai tˆa . p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Chu . o . ng VII: D - a . i sˆo ´ d¯a tuyˆe ´ n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 §1. T´ıch tenxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 §2. C´ac t´ınh chˆa ´ t co . ba ’ n cu ’ a t´ıch tenxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 §3. D - a . i sˆo ´ tenxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 §4. D - a . i sˆo ´ d¯ˆo ´ i x´u . ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 §5. D - a . i sˆo ´ ngo`ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 B`ai tˆa . p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 T`ai liˆe . u tham kha ’ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 3 L ` O . I N ´ OI D - ˆ A ` U Theo d`ong li . ch su . ’ , mˆon D - a . i sˆo ´ tuyˆe ´ n t´ınh kho . ’ i d¯ˆa ` u v´o . i viˆe . c gia ’ i v`a biˆe . n luˆa . n c´ac hˆe . phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ n t´ınh. Vˆe ` sau, d¯ˆe ’ c´o thˆe ’ hiˆe ’ u thˆa ´ u d¯´ao cˆa ´ u tr´uc cu ’ a tˆa . p nghiˆe . m v`a d¯iˆe ` u kiˆe . n d¯ˆe ’ mˆo . t hˆe . phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ n t´ınh c´o nghiˆe . m, ngu . `o . i ta xˆay du . . ng nh˜u . ng kh´ai niˆe . m tr`u . u tu . o . . ng ho . n nhu . khˆong gian v´ecto . v`a ´anh xa . tuyˆe ´ n t´ınh. Ngu . `o . i ta c˜ung c´o nhu cˆa ` u kha ’ o s´at c´ac khˆong gian v´o . i nhiˆe ` u thuˆo . c t´ınh h`ınh ho . c ho . n, trong d¯´o c´o thˆe ’ d¯o d¯ˆo . d`ai cu ’ a v´ecto . v`a g´oc gi˜u . a hai v´ecto . . Xa ho . n, hu . ´o . ng nghiˆen c´u . u n`ay dˆa ˜ n t´o . i b`ai to´an phˆan loa . i c´ac da . ng to`an phu . o . ng, v`a tˆo ’ ng qu´at ho . n phˆan loa . i c´ac tenxo . , du . ´o . i t´ac d¯ˆo . ng cu ’ a mˆo . t nh´om cˆa ´ u tr´uc n`ao d¯´o. Ng`ay nay, D - a . i sˆo ´ tuyˆe ´ n t´ınh d¯u . o . . c ´u . ng du . ng v`ao h`ang loa . t l˜ınh vu . . c kh´ac nhau, t`u . Gia ’ i t´ıch t´o . i H`ınh ho . c vi phˆan v`a L´y thuyˆe ´ t biˆe ’ u diˆe ˜ n nh´om, t`u . Co . ho . c, Vˆa . t l´y t´o . i K˜y thuˆa . t V`ı thˆe ´ , n´o d¯˜a tro . ’ th`anh mˆo . t mˆon ho . c co . so . ’ cho viˆe . c d¯`ao ta . o c´ac gi´ao viˆen trung ho . c, c´ac chuyˆen gia bˆa . c d¯a . i ho . c v`a trˆen d¯a . i ho . c thuˆo . c c´ac chuyˆen ng`anh khoa ho . c co . ba ’ n v`a cˆong nghˆe . trong tˆa ´ t ca ’ c´ac tru . `o . ng d¯a . i ho . c. D - ˜a c´o h`ang tr˘am cuˆo ´ n s´ach vˆe ` D - a . i sˆo ´ tuyˆe ´ n t´ınh d¯u . o . . c xuˆa ´ t ba ’ n trˆen to`an thˆe ´ gi´o . i. Ch´ung tˆoi nhˆa . n thˆa ´ y c´o hai khuynh hu . ´o . ng chu ’ yˆe ´ u trong viˆe . c tr`ınh b`ay mˆon ho . c n`ay. Khuynh hu . ´o . ng th´u . nhˆa ´ t b˘a ´ t d¯ˆa ` u v´o . i c´ac kh´ai niˆe . m ma trˆa . n, d¯i . nh th´u . c v`a hˆe . phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ n t´ınh, rˆo ` i d¯i t´o . i c´ac kh´ai niˆe . m tr`u . u tu . o . . ng ho . n nhu . khˆong gian v´ecto . v`a ´anh xa . tuyˆe ´ n t´ınh. Khuynh hu . ´o . ng n`ay dˆe ˜ tiˆe ´ p thu. Nhu . ng n´o khˆong cho ph´ep tr`ınh b`ay l´y thuyˆe ´ t vˆe ` d¯i . nh th´u . c v`a hˆe . phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ n t´ınh b˘a ` ng mˆo . t ngˆon ng˜u . cˆo d¯o . ng v`a d¯e . p d¯˜e. Khuynh hu . ´o . ng th´u . hai tr`ınh b`ay c´ac kh´ai niˆe . m khˆong gian v´ecto . v`a ´anh xa . tuyˆe ´ n t´ınh tru . ´o . c, rˆo ` i ´ap du . ng v`ao kha ’ o s´at d¯i . nh th´u . c v`a hˆe . phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ n t´ınh. U . u d¯iˆe ’ m cu ’ a phu . o . ng ph´ap n`ay l`a d¯ˆe ` cao ve ’ d¯e . p trong t´ınh nhˆa ´ t qu´an vˆe ` cˆa ´ u tr´uc cu ’ a c´ac d¯ˆo ´ i tu . o . . ng d¯u . o . . c kha ’ o s´at. Nhu . o . . c d¯iˆe ’ m cu ’ a n´o l`a khi x´et t´ınh d¯ˆo . c lˆa . p 4 tuyˆe ´ n t´ınh v`a phu . thuˆo . c tuyˆe ´ n t´ınh, thˆa . t ra ngu . `o . i ta d¯˜a pha ’ i d¯ˆo ´ i m˘a . t v´o . i viˆe . c gia ’ i hˆe . phu . o . ng tr`ınh tuyˆe ´ n t´ınh. C´ach tr`ınh b`ay n`ao c˜ung c´o c´ai l´y cu ’ a n´o. Theo kinh nghiˆe . m cu ’ a ch´ung tˆoi th`ı nˆen cho . n c´ach tr`ınh b`ay th´u . hai cho c´ac sinh viˆen c´o kha ’ n˘ang tu . duy tr`u . u tu . o . . ng tˆo ´ t ho . n v`a c´o mu . c d¯´ıch hu . ´o . ng t´o . i mˆo . t m˘a . t b˘a ` ng kiˆe ´ n th´u . c cao ho . n vˆe ` to´an. Cuˆo ´ n s´ach n`ay d¯u . o . . c ch´ung tˆoi biˆen soa . n nh˘a ` m mu . c d¯´ıch l`am gi´ao tr`ınh v`a s´ach tham kha ’ o cho sinh viˆen, sinh viˆen cao ho . c v`a nghiˆen c´u . u sinh c´ac ng`anh khoa ho . c tu . . nhiˆen v`a cˆong nghˆe . cu ’ a c´ac tru . `o . ng d¯a . i ho . c khoa ho . c tu . . nhiˆen, d¯a . i ho . c su . pha . m v`a d¯a . i ho . c k˜y thuˆa . t. Cuˆo ´ n s´ach d¯u . o . . c viˆe ´ t trˆen co . so . ’ c´ac b`ai gia ’ ng vˆe ` D - a . i sˆo ´ tuyˆe ´ n t´ınh cu ’ a tˆoi trong nhiˆe ` u n˘am cho sinh viˆen mˆo . t sˆo ´ khoa cu ’ a tru . `o . ng D - a . i ho . c Tˆo ’ ng ho . . p (nay l`a D - a . i ho . c khoa ho . c Tu . . nhiˆen) H`a Nˆo . i v`a cu ’ a mˆo . t sˆo ´ tru . `o . ng d¯a . i ho . c su . pha . m. D - ˘a . c biˆe . t, tˆoi d¯˜a gia ’ ng gi´ao tr`ınh n`ay trong 3 n˘am ho . c 1997-1998, 1998-1999, 1999-2000 cho sinh viˆen c´ac ng`anh To´an, Co . , L´y, Ho´a, Sinh, D - i . a chˆa ´ t, Kh´ı tu . o . . ng thuy ’ v˘an cu ’ a Chu . o . ng tr`ınh d¯`ao ta . o Cu . ’ nhˆan khoa ho . c t`ai n˘ang, D - a . i ho . c khoa ho . c Tu . . nhiˆen H`a Nˆo . i. Ch´ung tˆoi cho . n khuynh hu . ´o . ng th´u . hai trong hai khuynh hu . ´o . ng tr`ınh b`ay d¯˜a n´oi o . ’ trˆen. Tˆa ´ t nhiˆen, v´o . i d¯ˆoi ch´ut thay d¯ˆo ’ i, cuˆo ´ n s´ach n`ay c´o thˆe ’ d`ung d¯ˆe ’ gia ’ ng D - a . i sˆo ´ tuyˆe ´ n t´ınh theo khuynh hu . ´o . ng tr`ınh b`ay th´u . nhˆa ´ t. Tu . tu . o . ’ ng cˆa ´ u tr´uc d¯u . o . . c ch´ung tˆoi nhˆa ´ n ma . nh nhu . mˆo . t ma . ch ch´ınh cu ’ a cuˆo ´ n s´ach. Mˆo ˜ i d¯ˆo ´ i tu . o . . ng d¯ˆe ` u d¯u . o . . c nghiˆen c´u . u trong mˆo ´ i tu . o . ng quan v´o . i nh´om c´ac ph´ep biˆe ´ n d¯ˆo ’ i ba ’ o to`an cˆa ´ u tr´uc cu ’ a d¯ˆo ´ i tu . o . . ng d¯´o: Kha ’ o s´at khˆong gian v´ecto . g˘a ´ n liˆe ` n v´o . i nh´om tuyˆe ´ n t´ınh tˆo ’ ng qu´at GL(n, K), khˆong gian v´ecto . Euclid v`a khˆong gian v´ecto . Euclid d¯i . nh hu . ´o . ng g˘a ´ n liˆe ` n v´o . i nh´om tru . . c giao O(n) v`a nh´om tru . . c giao d¯˘a . c biˆe . t SO(n), khˆong gian Unita g˘a ´ n liˆe ` n v´o . i nh´om unita U(n) Kˆe ´ t qua ’ phˆan loa . i c´ac da . ng to`an phu . o . ng phu . thuˆo . c c˘an ba ’ n v`ao viˆe . c qu´a tr`ınh phˆan loa . i d¯u . o . . c tiˆe ´ n h`anh du . ´o . i t´ac d¯ˆo . ng cu ’ a nh´om n`ao (tuyˆe ´ n t´ınh tˆo ’ ng qu´at, tru . . c giao ). Theo kinh nghiˆe . m, ch´ung tˆoi khˆong thˆe ’ gia ’ ng hˆe ´ t nˆo . i dung cu ’ a cuˆo ´ n s´ach n`ay trong mˆo . t gi´ao tr`ınh tiˆeu chuˆa ’ n vˆe ` D - a . i sˆo ´ tuyˆe ´ n t´ınh cho sinh viˆen c´ac tru . `o . ng d¯a . i 5 ho . c, ngay ca ’ d¯ˆo ´ i v´o . i sinh viˆen chuyˆen ng`anh to´an. C´ac chu ’ d¯ˆe ` vˆe ` da . ng chuˆa ’ n t˘a ´ c Jordan cu ’ a tu . . d¯ˆo ` ng cˆa ´ u, da . ng ch´ınh t˘a ´ c cu ’ a tu . . d¯ˆo ` ng cˆa ´ u tru . . c giao, viˆe . c d¯u . a d¯ˆo ` ng th`o . i hai da . ng to`an phu . o . ng vˆe ` da . ng ch´ınh t˘a ´ c, d¯a . i sˆo ´ tenxo . , d¯a . i sˆo ´ d¯ˆo ´ i x´u . ng v`a d¯a . i sˆo ´ ngo`ai nˆen d`ung d¯ˆe ’ gia ’ ng chi tiˆe ´ t cho c´ac sinh viˆen cao ho . c v`a nghiˆen c´u . u sinh c´ac ng`anh To´an, Co . ho . c v`a Vˆa . t l´y. Ch´ung tˆoi cˆo ´ g˘a ´ ng b`ınh luˆa . n ´y ngh˜ıa cu ’ a c´ac kh´ai niˆe . m v`a u . u khuyˆe ´ t d¯iˆe ’ m cu ’ a c´ac phu . o . ng ph´ap d¯u . o . . c tr`ınh b`ay. Cuˆo ´ i mˆo ˜ i chu . o . ng d¯ˆe ` u c´o phˆa ` n b`ai tˆa . p, d¯u . o . . c tuyˆe ’ n cho . n chu ’ yˆe ´ u t`u . cuˆo ´ n s´ach nˆo ’ i tiˆe ´ ng “B`ai tˆa . p D - a . i sˆo ´ tuyˆe ´ n t´ınh” cu ’ a I. V. Proskuryakov. D - ˆe ’ n˘a ´ m v˜u . ng kiˆe ´ n th´u . c, d¯ˆo . c gia ’ nˆen d¯o . c rˆa ´ t k˜y phˆa ` n l´y thuyˆe ´ t tru . ´o . c khi l`am c`ang nhiˆe ` u c`ang tˆo ´ t c´ac b`ai tˆa . p cuˆo ´ i mˆo ˜ i chu . o . ng. Viˆe . c su . ’ du . ng cuˆo ´ n s´ach n`ay s˜e d¯˘a . c biˆe . t thuˆa . n lo . . i nˆe ´ u ngu . `o . i d¯o . c coi n´o l`a phˆa ` n mˆo . t cu ’ a mˆo . t bˆo . s´ach m`a phˆa ` n hai cu ’ a n´o l`a cuˆo ´ n D - a . i sˆo ´ d¯a . i cu . o . ng cu ’ a c`ung t´ac gia ’ , do Nh`a xuˆa ´ t ba ’ n Gi´ao du . c H`a Nˆo . i ˆa ´ n h`anh n˘am 1998 v`a t´ai ba ’ n n˘am 1999. T´ac gia ’ chˆan th`anh ca ’ m o . n Ban d¯iˆe ` u h`anh Chu . o . ng tr`ınh d¯`ao ta . o Cu . ’ nhˆan khoa ho . c t`ai n˘ang, D - a . i ho . c Khoa ho . c tu . . nhiˆen H`a Nˆo . i, d¯˘a . c biˆe . t l`a Gi´ao su . D - `am Trung D - ˆo ` n v`a Gi´ao su . Nguyˆe ˜ n Duy Tiˆe ´ n, d¯˜a ta . o mo . i d¯iˆe ` u kiˆe . n thuˆa . n lo . . i d¯ˆe ’ t´ac gia ’ gia ’ ng da . y cho sinh viˆen cu ’ a Chu . o . ng tr`ınh trong ba n˘am qua v`a viˆe ´ t cuˆo ´ n s´ach n`ay trˆen co . so . ’ nh˜u . ng b`ai gia ’ ng d¯´o. T´ac gia ’ mong nhˆa . n d¯u . o . . c su . . chı ’ gi´ao cu ’ a c´ac d¯ˆo . c gia ’ v`a d¯ˆo ` ng nghiˆe . p vˆe ` nh˜u . ng thiˆe ´ u s´ot kh´o tr´anh kho ’ i cu ’ a cuˆo ´ n s´ach. H`a Nˆo . i, 12/1999 6 Chu . o . ng 0 KI ˆ E ´ N TH ´ U . C CHU ˆ A ’ N BI . Nhiˆe . m vu . cu ’ a chu . o . ng n`ay l`a tr`ınh b`ay du . ´o . i da . ng gia ’ n lu . o . . c nhˆa ´ t mˆo . t sˆo ´ kiˆe ´ n th´u . c chuˆa ’ n bi . cho phˆa ` n c`on la . i cu ’ a cuˆo ´ n s´ach: Tˆa . p ho . . p, quan hˆe . , ´anh xa . , nh´om, v`anh, tru . `o . ng, d¯a th´u . c Tru . `o . ng sˆo ´ thu . . c s˜e d¯u . o . . c xˆay du . . ng ch˘a . t ch˜e o . ’ §5. Nhu . ng v`ı c´ac t´ınh chˆa ´ t cu ’ a n´o rˆa ´ t quen thuˆo . c v´o . i nh˜u . ng ai d¯˜a ho . c qua chu . o . ng tr`ınh trung ho . c phˆo ’ thˆong, cho nˆen ch´ung ta vˆa ˜ n n´oi t´o . i tru . `o . ng n`ay trong c´ac v´ı du . o . ’ c´ac tiˆe ´ t §1 - §4. 1 Tˆa . p ho . . p Trong tiˆe ´ t n`ay, ch´ung ta tr`ınh b`ay vˆe ` tˆa . p ho . . p theo quan d¯iˆe ’ m cu ’ a “L´y thuyˆe ´ t tˆa . p ho . . p ngˆay tho . ”. Cu . thˆe ’ , tˆa . p ho . . p l`a mˆo . t kh´ai niˆe . m “nguyˆen thuy ’ ”, khˆong d¯u . o . . c d¯i . nh ngh˜ıa, m`a d¯u . o . . c hiˆe ’ u mˆo . t c´ach tru . . c gi´ac nhu . sau: Mˆo . t tˆa . p ho . . p l`a mˆo . t su . . quˆa ` n tu . c´ac d¯ˆo ´ i tu . o . . ng c´o c`ung mˆo . t thuˆo . c t´ınh n`ao d¯´o; nh˜u . ng d¯ˆo ´ i tu . o . . ng n`ay d¯u . o . . c go . i l`a c´ac phˆa ` n tu . ’ cu ’ a tˆa . p ho . . p d¯´o. (Tˆa ´ t nhiˆen, mˆo ta ’ n´oi trˆen khˆong pha ’ i l`a mˆo . t d¯i . nh ngh˜ıa cu ’ a tˆa . p ho . . p, n´o chı ’ diˆe ˜ n d¯a . t kh´ai niˆe . m tˆa . p ho . . p qua mˆo . t kh´ai niˆe . m c´o ve ’ gˆa ` n g˜ui ho . n l`a “quˆa ` n tu . ”. Tuy vˆa . y, ba ’ n thˆan kh´ai niˆe . m quˆa ` n tu . la . i chu . a d¯u . o . . c d¯i . nh ngh˜ıa.) Ngu . `o . i ta c˜ung thu . `o . ng go . i t˘a ´ t tˆa . p ho . . p l`a “tˆa . p”. D - ˆe ’ c´o mˆo . t sˆo ´ v´ı du . , ch´ung ta c´o thˆe ’ x´et tˆa . p ho . . p c´ac sinh viˆen cu ’ a mˆo . t tru . `o . ng d¯a . i ho . c, tˆa . p ho . . p c´ac xe ta ’ i cu ’ a mˆo . t cˆong ty, tˆa . p ho . . p c´ac sˆo ´ nguyˆen tˆo ´ C´ac tˆa . p ho . . p thu . `o . ng d¯u . o . . c k´y hiˆe . u bo . ’ i c´ac ch˜u . in hoa: A, B, C, , X, Y, Z C´ac phˆa ` n tu . ’ cu ’ a mˆo . t tˆa . p ho . . p thu . `o . ng d¯u . o . . c k´y hi . ˆeu bo . ’ i c´ac ch˜u . in thu . `o . ng: a, b, c, , x, y, z D - ˆe ’ n´oi x l`a mˆo . t phˆa ` n tu . ’ cu ’ a tˆa . p ho . . p X, ta viˆe ´ t x ∈ X v`a d¯o . c l`a 7 “x thuˆo . c X”. Tr´ai la . i, d¯ˆe ’ n´oi y khˆong l`a phˆa ` n tu . ’ cu ’ a X, ta viˆe ´ t y ∈ X, v`a d¯o . c l`a “y khˆong thuˆo . c X”. D - ˆe ’ x´ac d¯i . nh mˆo . t tˆa . p ho . . p, ngu . `o . i ta c´o thˆe ’ liˆe . t kˆe tˆa ´ t ca ’ c´ac phˆa ` n tu . ’ cu ’ a n´o. Ch˘a ’ ng ha . n, A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Ngu . `o . i ta c˜ung c´o thˆe ’ x´ac d¯i . nh mˆo . t tˆa . p ho . . p bo . ’ i mˆo . t t´ınh chˆa ´ t d¯˘a . c tru . ng P(x) n`ao d¯´o cu ’ a c´ac phˆa ` n tu . ’ cu ’ a n´o. Tˆa . p ho . . p X c´ac phˆa ` n tu . ’ x c´o t´ınh chˆa ´ t P(x) d¯u . o . . c k´y hiˆe . u l`a X = {x| P(x)}, ho˘a . c l`a X = {x : P(x)}. V´ı du . : N = {x| x l`a sˆo ´ tu . . nhiˆen}, Z = {x| x l`a sˆo ´ nguyˆen }, Q = {x| x l`a sˆo ´ h˜u . u ty ’ }, R = {x| x l`a sˆo ´ thu . . c}. Nˆe ´ u mo . i phˆa ` n tu . ’ cu ’ a tˆa . p ho . . p A c˜ung l`a mˆo . t phˆa ` n tu . ’ cu ’ a tˆa . p ho . . p X th`ı ta n´oi A l`a mˆo . t tˆa . p ho . . p con cu ’ a X, v`a viˆe ´ t A ⊂ X. Tˆa . p con A gˆo ` m c´ac phˆa ` n tu . ’ x cu ’ a X c´o t´ınh chˆa ´ t P( x) d¯u . o . . c k´y hiˆe . u l`a A = {x ∈ X| P(x)}. Hai tˆa . p ho . . p X v`a Y d¯u . o . . c go . i l`a b˘a ` ng nhau nˆe ´ u mˆo ˜ i phˆa ` n tu . ’ cu ’ a tˆa . p ho . . p n`ay c˜ung l`a mˆo . t phˆa ` n tu . ’ cu ’ a tˆa . p ho . . p kia v`a ngu . o . . c la . i, t´u . c l`a X ⊂ Y v`a Y ⊂ X. Khi d¯´o ta viˆe ´ t X = Y . Tˆa . p ho . . p khˆong ch´u . a mˆo . t phˆa ` n tu . ’ n`ao ca ’ d¯u . o . . c k´y hiˆe . u bo . ’ i ∅, v`a d¯u . o . . c go . i l`a tˆa . p rˆo ˜ ng. Ta quy u . ´o . c r˘a ` ng ∅ l`a tˆa . p con cu ’ a mo . i tˆa . p ho . . p. Tˆa . p ho . . p rˆo ˜ ng rˆa ´ t tiˆe . n lo . . i, n´o d¯´ong vai tr`o nhu . sˆo ´ khˆong trong khi l`am to´an v´o . i c´ac tˆa . p ho . . p. 8 C´ac ph´ep to´an ho . . p, giao v`a hiˆe . u cu ’ a hai tˆa . p ho . . p d¯u . o . . c d¯i . nh ngh˜ıa nhu . sau. Cho c´ac tˆa . p ho . . p A v`a B. Ho . . p cu ’ a A v`a B d¯u . o . . c k´y hiˆe . u bo . ’ i A ∪ B v`a d¯u . o . . c d¯i . nh ngh˜ıa nhu . sau A ∪ B = {x| x ∈ A ho˘a . c x ∈ B}. Giao cu ’ a A v`a B d¯u . o . . c k´y hiˆe . u bo . ’ i A ∩ B v`a d¯u . o . . c d¯i . nh ngh˜ıa nhu . sau A ∩ B = {x| x ∈ A v`a x ∈ B}. Hiˆe . u cu ’ a A v`a B d¯u . o . . c k´y hiˆe . u bo . ’ i A \ B v`a d¯u . o . . c d¯i . nh ngh˜ıa nhu . sau A \ B = {x| x ∈ A v`a x ∈ B}. Nˆe ´ u B ⊂ A th`ı A\B d¯u . o . . c go . i l`a phˆa ` n b`u cu ’ a B trong A, v`a d¯u . o . . c k´y hiˆe . u l`a C A (B). C´ac ph´ep to´an ho . . p, giao v`a hiˆe . u c´o c´ac t´ınh chˆa ´ t so . cˆa ´ p sau d¯ˆay: Kˆe ´ t ho . . p: (A ∪ B) ∪C = A ∪(B ∪ C), (A ∩ B) ∩C = A ∩ (B ∩ C). Giao ho´an: A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A. Phˆan phˆo ´ i: A ∩ (B ∪C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Cˆong th´u . c De Morgan: X \ (A ∪B) = (X \A) ∩(X \ B), X \(A ∩ B) = (X \A) ∪ (X \B). Gia ’ su . ’ A i l`a mˆo . t tˆa . p ho . . p v´o . i mˆo ˜ i i thuˆo . c mˆo . t tˆa . p chı ’ sˆo ´ I (c´o thˆe ’ h˜u . u ha . n hay vˆo ha . n). Khi d¯´o, ho . . p v`a giao cu ’ a ho . tˆa . p ho . . p {A i } i∈I d¯u . o . . c d¯i . nh ngh˜ıa nhu . sau:  i∈I A i = {x| x ∈ A i v´o . i mˆo . t i n`ao d¯´o trong I},  i∈I A i = {x| x ∈ A i v´o . i mo . i i ∈ I}. Ta c´o da . ng tˆo ’ ng qu´at cu ’ a cˆong th´u . c De Morgan: X \(  i∈I A i ) =  i∈I (X \A i ), X \(  i∈I A i ) =  i∈I (X \A i ). 9 Viˆe . c su . ’ du . ng qu´a rˆo . ng r˜ai kh´ai niˆe . m tˆa . p ho . . p d¯˜a dˆa ˜ n t´o . i mˆo . t sˆo ´ nghi . ch l´y. Mˆo . t trong sˆo ´ d¯´o l`a nghi . ch l´y Cantor sau d¯ˆay. Ta n´oi tˆa . p ho . . p X l`a b`ınh thu . `o . ng nˆe ´ u X ∈ X. X´et tˆa . p ho . . p X = {X| X l`a tˆa . p b`ınh thu . `o . ng}. Nˆe ´ u X ∈ X th`ı theo d¯i . nh ngh˜ıa cu ’ a X, n´o l`a mˆo . t tˆa . p b`ınh thu . `o . ng. Do d¯´o, theo d¯i . nh ngh˜ıa tˆa . p b`ınh thu . `o . ng, X ∈ X. Tr´ai la . i, nˆe ´ u X ∈ X, th`ı X l`a mˆo . t tˆa . p khˆong b`ınh thu . `o . ng, v`a do d¯´o X ∈ X. Ca ’ hai tru . `o . ng ho . . p d¯ˆe ` u dˆa ˜ n t´o . i mˆau thuˆa ˜ n. D - ˆe ’ tr´anh nh˜u . ng nghi . ch l´y loa . i nhu . vˆa . y, ngu . `o . i ta s˜e khˆong d`ung kh´ai niˆe . m tˆa . p ho . . p d¯ˆe ’ chı ’ “nh˜u . ng thu . . c thˆe ’ qu´a l´o . n”. Ta s˜e n´oi “l´o . p tˆa ´ t ca ’ c´ac tˆa . p ho . . p”, ch´u . khˆong n´oi “tˆa . p ho . . p tˆa ´ t ca ’ c´ac tˆa . p ho . . p”. Theo quan niˆe . m n`ay X chı ’ l`a mˆo . t l´o . p ch´u . khˆong l`a mˆo . t tˆa . p ho . . p. V`ı thˆe ´ , ta tr´anh d¯u . o . . c nghi . ch l´y n´oi trˆen. Phˆa ` n c`on la . i cu ’ a tiˆe ´ t n`ay d¯u . o . . c d`anh cho viˆe . c tr`ınh b`ay so . lu . o . . c vˆe ` lu . o . . ng t`u . phˆo ’ biˆe ´ n v`a lu . o . . ng t`u . tˆo ` n ta . i. Ta thu . `o . ng cˆa ` n pha ’ i ph´at biˆe ’ u nh˜u . ng mˆe . nh d¯ˆe ` c´o da . ng: “Mo . i phˆa ` n tu . ’ x cu ’ a tˆa . p ho . . p X d¯ˆe ` u c´o t´ınh chˆa ´ t P(x)”. Ngu . `o . i ta quy u . ´o . c k´y hiˆe . u mˆe . nh d¯ˆe ` d¯´o nhu . sau: ∀x ∈ X, P(x). D˜ay k´y hiˆe . u trˆen d¯u . o . . c d¯o . c l`a “V´o . i mo . i x thuˆo . c X, P(x)”. K´y hiˆe . u ∀ d¯u . o . . c go . i l`a lu . o . . ng t`u . phˆo ’ biˆe ´ n. Tu . o . ng tu . . , ta c˜ung hay g˘a . p c´ac mˆe . nh d¯ˆe ` c´o da . ng: “Tˆo ` n ta . i mˆo . t phˆa ` n tu . ’ x cu ’ a X c´o t´ınh chˆa ´ t P(x)”. Mˆe . nh d¯ˆe ` n`ay d¯u . o . . c quy u . ´o . c k´y hiˆe . u nhu . sau: ∃x ∈ X, P(x). D˜ay k´y hiˆe . u d¯´o d¯u . o . . c d¯o . c l`a “Tˆo ` n ta . i mˆo . t x thuˆo . c X, P(x)”. K´y hiˆe . u ∃ d¯u . o . . c go . i l`a lu . o . . ng t`u . tˆo ` n ta . i. Mˆe . nh d¯ˆe ` “Tˆo ` n ta . i duy nhˆa ´ t mˆo . t phˆa ` n tu . ’ x cu ’ a X c´o t´ınh chˆa ´ t P(x)” d¯u . o . . c viˆe ´ t nhu . sau: ∃!x ∈ X, P(x). 10