Giáo trình Đại số tuyến tính và hình học tuyến tính ĐHSP Hà Nội

Giáo trình Đại số tuyến tính và Hình học tuyến tính ĐHSP Dành Cho sinh viên ngành Sư phạm hệ Đại học. Giáo trình Đại số tuyến tính và Hình học tuyến tính ĐHSP Dành Cho sinh viên ngành Sư phạm hệ Đại học. Giáo trình Đại số tuyến tính và Hình học tuyến tính ĐHSP Dành Cho sinh viên ngành Sư phạm hệ Đại học.

PHẠM VIỆT ĐỨC VÀ PHẠM HOÀNG HÀ

GIÁO TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

VÀ HÌNH HỌC TUYẾN TÍNH

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HÀ NỘI - 2011

I Đại số tuyến tính 9

1.1 Tập hợp - Quan hệ - Ánh xạ 11

1.2 Tập hợp đếm được và tập hợp có lực lượng continum 16

1.3 Số phức 17

1.4 Các cấu trúc đại số cơ bản 24

1.4.1 Nhóm 24

1.4.2 Vành-Trường 24

2 Không gian véctơ 27 2.1 Không gian véctơ 27

2.2 Tổ hợp tuyến tính-Hệ véctơ độc lập tuyến tính và hệ véctơ phụ thuộc tuyến tính 32

2.3 Hạng của một hệ hữu hạn véctơ 35

2.4 Cơ sở, số chiều của không gian véctơ 38

2.5 Không gian véctơ con và không gian véctơ thương 43

3

3.2 Ánh xạ tuyến tính và ma trận của ánh xạ tuyến tính 62

3.3 Hạt nhân, ảnh của một đồng cấu Đơn cấu, toàn cấu và đẳng cấu 66

3.4 Tự đồng cấu và tự đẳng cấu 71

3.5 Không gian véctơ đối ngẫu 75

4 Định thức và hệ PT tuyến tính 79 4.1 Phép thế và dấu của phép thế 79

4.2 Định thức của ma trận 84

4.3 Hệ phương trình tuyến tính 92

4.4 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 102

5 Cấu trúc của một tự đồng cấu 111 5.1 Không gian con riêng của một tự đồng cấu tuyến tính 111

5.2 Tự đồng cấu chéo hoá được 118

5.3 Tự đồng cấu luỹ linh 121

5.4 Ma trận chuẩn Jordan của tự đồng cấu 127

5.5 Định lý Cayley-Hamilton, đa thức cực tiểu 138

6 Không gian véctơ Euclid 141 6.1 Tích vô hướng và không gian véctơ Euclid 141

6.2 Ánh xạ tuyến tính trực giao 145

6.3 Vài nét về không gian unita 150

6.4 Dạng toàn phương 152

4

7.2 Ánh xạ affine 176

7.3 Ba định lí của hình học phẳng 187

7.4 Tọa độ Descartes trong Hình học affine 192

7.5 Bài tập cho Chương 7 195

8 Hình học Euclid 209 8.1 Không gian Euclid 209

8.2 Cấu trúc của các đẳng cự 213

8.3 Hình học Euclid trên mặt phẳng 223

8.4 Hình học Euclid trong không gian 238

8.5 Tích véctơ và tính toán diện tích 242

8.6 Bài tập cho Chương 8 246

9 Hình học xạ ảnh 267 9.1 Các khái niệm mở đầu 267

9.2 Không gian xạ ảnh con 269

9.3 Liên hệ affine và xạ ảnh 270

9.4 Đối ngẫu xạ ảnh 275

9.5 Phép biến đổi xạ ảnh 277

9.6 Tỷ số kép 281

9.7 Bài tập cho Chương 9 285

10 Cônic và siêu mặt bậc hai 299 10.1 Siêu mặt bậc hai và cônic affine 299

10.2 Phân loại và các tính chất của cônic affine 305

10.3 Siêu mặt bậc hai và cônic xạ ảnh 315

10.4 Bài tập cho Chương 10 327

5

Giáo trình Đại số tuyến tính và Hình học tuyến tính được biên soạndựa trên chương trình đào tạo cử nhân theo hình thức tín chỉ ở các khoaToán của các trường Đại học Sư phạm và làm tài liệu tham khảo cho sinhviên các trường Đại học khoa học tự nhiên cũng như các trường Đại học

kỹ thuật

Giáo trình gồm có hai phần

Phần I trình bày về Đại số tuyến tính bao gồm 6 chương Chương 1 trìnhbày những kiến thức mở đầu về Tập hợp, Quan hệ, Ánh xạ, Số phức, Cáccấu trúc đại số cơ bản Các chương tiếp theo trình bày những kiến thứccốt lõi của Đại số tuyến tính như: Không gian véctơ, Ma trận và ánh xạtuyến tính, Định thức và hệ phương trình tuyến tính, Cấu trúc của một

tự đồng cấu, Không gian véctơ Euclid

Phần II giới thiệu về Hình học tuyến tính bao gồm 4 chương lần lượttrình bày những kiến thức cốt lõi về Hình học affine, Hình học Euclid,Hình học xạ ảnh, Cônic và siêu mặt bậc hai

Trong Phần I, các không gian véctơ trên trường K không đòi hỏi phải

có chiều hữu hạn Điều đó sẽ giúp ích nhiều cho việc học Giải tích, đặcbiệt là Giải tích hàm Ngoài ra, tư tưởng của Lý thuyết phạm trù đượcquán xuyến trong suốt Phần I nhằm tránh cho việc xây dựng Đại số tuyếntính quá phụ thuộc vào cơ sở của không gian véctơ và cũng góp phần đểbạn đọc thấy được nguồn gốc sâu xa của những kỹ thuật tinh vi trong Lýthuyết biểu diễn hay Hình học đại số sau này

Phần II cung cấp cho bạn đọc cơ sở toán học hiện đại của Hình học

sơ cấp cũng như sự phát triển sâu sắc của chúng trong Hình học cao cấp.Hình học tuyến tính được trình bày như là hình học của các nhóm biếnđổi, đặc biệt là hình học của các nhóm cổ điển Điều này là hết sức cầnthiết trong việc đào tạo sinh viên Toán của các Trường Đại học Sư phạm,những người sẽ trở thành giáo viên dạy chương trình hình học trong cácnhà trường phổ thông

Giáo trình nhằm phục vụ các bạn sinh viên những năm đầu đại học,những người vừa rời ghế nhà trường phổ thông và bắt đầu làm quen vớiToán học cao cấp Vì thế, khi biên soạn Giáo trình này chúng tôi hết sứcchú trọng đến yếu tố sư phạm nhằm giúp bạn đọc nắm được thực chấtcủa môn học Một số định lý khó trong chương trình, chẳng hạn các định

6

nhiều bài tập để bạn đọc tự kiểm tra kiến thức và rèn luyện kỹ năng giảitoán Đặc biệt, hệ thống bài tập ở từng chương trong Phần II là một phầnkhông thể tách rời của lý thuyết Chúng thực chất là những kiến thức cầnthiết nhưng chưa được trình bày do khuôn khổ có hạn của thời lượng giờdạy trên lớp.

Chúng tôi cũng muốn trao đổi với các bạn đồng nghiệp thêm một vàiquan điểm khi biên soạn cuốn giáo trình này Trước hết, những kiến thức

về Đại số tuyến tính và Hình học tuyến tính có thể nói đã trở thành kinhđiển (thực tế là trong nhiều năm nay đã không còn những kết quả nghiêncứu mới về lĩnh vực đó được công bố trên những tạp chí toán học có uytín) và đã được trình bày trong rất nhiều cuốn sách hay Vì thế, vấn đềđặt ra với chúng tôi là phải lựa chọn kiến thức và sắp xếp làm sao chophù hợp với Khung chương trình đào tạo theo tín chỉ của Khoa Toán cácTrường Đại học Sư phạm và khả năng tiếp thu của các em sinh viên Mặtkhác, chúng tôi cho rằng để đại học của chúng ta hội nhập với quốc tế thìmột trong những yếu tố quan trọng nhất là sinh viên của chúng ta phảiđược tiếp cận và học theo những giáo trình chuẩn của những trường đạihọc danh tiếng của thế giới Sau khi cân nhắc, chúng tôi đã chọn các cuốnsách "Linear Algebra" của tác giả W H Greub [10] và "Geometry" củatác giả M Audin [7] để dựa vào đó Đặc biệt, Phần II đã được chúng tôibiên soạn, lựa chọn và trích dịch từ những Chương 1-6 trong cuốn sáchtrên của tác giả M Audin [7] Chúng tôi xin chân thành cảm ơn Giáo

sư Michèle Audin đã cho phép chúng tôi sử dụng cuốn sách, cũng như đãtrao đổi nhiều ý kiến bổ ích về những ý tưởng chính của Giáo sư khi biênsoạn cuốn sách đó Chúng tôi rất mong các bạn đồng nghiệp, đặc biệt làcác bạn sinh viên hãy đọc toàn bộ các chương có liên quan trong hai cuốnsách [7], [10] Còn có rất nhiều điều hay mà chúng tôi không đưa đượcvào Giáo trình này

Cuốn sách này cũng là công sức của tập thể giảng viên và nghiên cứusinh của Bộ môn Hình học, Khoa Toán-Tin Đại học Sư phạm Hà Nộitrong suốt nhiều năm giảng dạy môn học Đại số tuyến tính và Hình họctuyến tính

Chúng tôi cũng xin chân thành cám ơn TS Phạm Nguyễn Thu Trang,

TS Nguyễn Thị Tuyết Mai và TS Trần Huệ Minh đã giúp đỡ chúng tôirất nhiều trong quá trình chuẩn bị bản thảo của cuốn sách này

7

Hà nội, mùa thu năm 2011.

Các tác giả

8

Đại số tuyến tính

9

Các kiến thức mở đầu

1.1 Tập hợp - Quan hệ - Ánh xạ

Tất cả những vật được xác định theo một quy tắc nào đó được gọi làmột tập hợp Mỗi vật của một tập hợp được gọi là một phần tử của tậphợp

Người ta dùng ký hiệu X = {x, y, z, · · · } để nói rằng tập X gồm cácphần tử x, y, z, · · · Để chỉ ra x là một phần tử của X, ta dùng ký hiệu

x ∈ X ( đọc là x thuộc X.) Nếu x không thuộc X ta dùng ký hiệu x /∈ X.Một tập hợp có thể không có một phần tử nào, ta gọi đó là tập rỗng, kýhiệu là ∅

1.1.1 Mệnh đề Tập rỗng là duy nhất

Hai tập hợp X và Y được coi là bằng nhau, ký hiệu là X = Y, nếuchúng có những phần tử như nhau Hai tập hợp không bằng nhau đượccoi là khác nhau, ký hiệu X 6= Y

1.1.2 Định nghĩa Một tập hợp X gọi là một tập con của tập hợp Ynếu mọi phần tử của X cũng là phần tử của Y Ta dùng ký hiệu X ⊂ Yhoặc Y ⊃ X Nếu X là một tập con của Y và X 6= Y thì ta gọi X làmột tập con thực sự của Y, ký hiệu X ( Y hoặc Y ) X

1.1.3 Mệnh đề 1) X = X,

2) Nếu X = Y thì Y = X,

11

X ∪ Y = {x|x ∈ X hoặc x ∈ Y }Nhận xét.

X ∩ Y = {x|x ∈ X và x ∈ Y }Nhận xét

X \ Y = {x|x ∈ X và x /∈ Y }

Nhận xét X \ Y = ∅ ⇔ X ⊂ Y

1.1.8 Định nghĩa Cho X, Y là hai tập hợp khác rỗng Một ánh xạ

f : X → Y là một quy tắc cho ứng một phần tử x ∈ X với một phần tử

1.1.11 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh Cho ánh xạ f : X → Y

- f được gọi là đơn ánh (hay còn gọi là ánh xạ đơn) nếu ∀x1, x2 ∈

- f được gọi là toàn ánh (hay còn gọi là ánh xạ lên) nếu ∀y ∈ Y thì

∃x ∈ X sao cho y = f (x)

- f được gọi là song ánh nếu f vừa là đơn ánh, vừa là toàn ánh.Tức là

∀y ∈ Y, ∃!x ∈ X : y = f (x)

1.1.12 Hợp thành của hai ánh xạ Cho hai ánh xạ f : X → Y, g :

Y → Z Hợp thành của hai ánh xạ f và g là ánh xạ g ◦ f : X → Z chobởi (g ◦ f )(x) = g(f (x)), x ∈ X

Nhận xét

1) h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f

2) Cho f, g : X → X Nói chung ta có: f ◦ g 6= g ◦ f

3) Nếu f, g là hai đơn ánh thì g ◦ f cũng là một đơn ánh

4) Nếu f, g là hai toàn ánh thì g ◦ f cũng là một toàn ánh

5) Nếu f, g là hai song ánh thì g ◦ f cũng là một song ánh

1.1.13 Ánh xạ ngược Cho f : X → Y là song ánh Thế thì ∀y ∈ Y,tồn tại duy nhất x ∈ X : y = f (x) Xét f−1 : Y → X, y 7→ f−1(y) = x,ánh xạ f−1 được gọi là ánh xạ ngược của ánh xạ f

Nhận xét

Chú ý f−1(B) 6= (f−1)(B) vì chưa chắc tồn tại f−1.

Tập thứ tự bộ phận

1.1.14 Định nghĩa Cho tập hợp A 6= ∅, R ⊂ X × X Nếu (a, b) ∈ Rthì ta nói a có quan hệ R với b và viết aRb Quan hệ R được gọi là mộtquan hệ tương đương trên X nếu R thỏa mãn các điều kiện sau:

1 ∀a ∈ X, aRa (tính phản xạ)

2 ∀a, b ∈ X, aRb ⇒ bRa (tính đối xứng)

3 ∀a, b, c ∈ X, aRb, bRc ⇒ aRc (tính bắc cầu)

Mỗi lớp tương đương được xem như một phần tử Tập hợp các phần

tử như vậy được gọi là tập thương của X theo quan hệ tương đương R

Ký hiệu X/R

1.1.15 Định nghĩa Tập thứ tự bộ phận E là tập khác rỗng cùng vớiquan hệ thứ tự ≤ trên E, tức là quan hệ trên E thỏa mãn:

1) a ≤ a với mọi a ∈ E

2) Nếu a ≤ b, b ≤ c thì a ≤ c

3) Nếu a ≤ b và b ≤ a thì a = b

Ta viết a < b nếu a ≤ b và a 6= b

Tập con A của một tập thứ tự bộ phận E hiển nhiên là tập thứ tự

bộ phận với quan hệ thứ tự của E

1.1.16 Định nghĩa Tập con F của tập thứ tự bộ phận E gọi là sắpthứ tự hay thứ tự tuyến tính nếu đối với hai phần tử tùy ý x, y của F ta

có hoặc x ≤ y hoặc y ≤ x

1.1.17 Định nghĩa Giả sử F là tập con của tập thứ tự bộ phận E.Phần tử x ∈ E gọi là phần tử chặn trên của F nếu f ≤ x với f ∈ F.Phần tử chặn trên x của tập con F gọi là cận trên nếu x ≤ g với mọichặn trên g của F

Tập các cận trên của F ký hiệu là sup F Chú ý rằng sup F có cùnglắm là một phần tử

Tương tự, ta có thể nói về phần tử chặn dưới và cận dưới của F Tậpcác cận dưới của F ký hiệu là inf F

1.1.18 Định nghĩa Phần tử x của E gọi là cực đại (tương ứng cựctiểu) nếu từ x ≤ y (tương ứng y ≤ x), suy ra x = y (tương ứng y = x.)

Ví dụ

Giả sử X là tập tùy ý Ký hiệu ℘(X) là tập tất cả các tập con của

X Dễ thấy rằng ℘(X) là tập thứ tự bộ phận với quan hệ thứ tự theobao hàm:

A, B ∈ ℘(X) : A ≤ B ⇔ A ⊆ B

Hiển nhiên ∅ và X là phần tử cực tiểu và cực đại của ℘(X)

1.1.19 Định nghĩa Giả sử E là tập thứ tự bộ phận với quan hệ thứ tự

≤ Ta nói E là tập thứ tự tốt nếu mọi tập con khác rỗng của E có phần

là tập đếm được

ii) Nếu Λ là tập đếm được và Xα cũng là tập đếm được với mọi α ∈ Λthì S

α∈ΛXα cũng là tập đếm được

Chứng minh Để chứng minh i) ta chỉ cần chứng tỏ N2 là đếm được.Thật vậy, ta có thể định nghĩa một song ánh từ N vào N2 Bằng cáchđánh số các phần tử (j, k) ∈ N2 sao cho j + k = n với n = 2, 3, 4, · · · theocách như sau:

(1, 1), (2, 1), (1, 2), (3, 1), (2, 2), (1, 3), (4, 1), (3, 2), (2, 3), (1, 4), · · ·Bây giờ ta chứng minh ii) Thật vậy, với mỗi α ∈ Λ tồn tại song ánh

fα : N → Xα Ta xác định song ánh f : N × Λ →S

α∈ΛXα bằng cách đặt

f (n, α) = fα(n) Khẳng định ii) được suy ra từ khẳng định i)

1.2.3 Hệ quả Tập các số nguyên Z và tập các số hữu tỉ Q là các tậpđếm được

1.2.4 Định nghĩa Một tập X được gọi là có lực lượng continum nếutồn tại song ánh f : X → R Ta ký hiệu là card(X) = card(R)

Ví dụ: Với mọi −∞ ≤ a < b ≤ +∞ thì các tập [a, b], (a, b), [a, b), (a, b]

Ta nói rằng C là một trường được gọi là trường số phức.

Nói cách khác, trường C là một trường đóng đại số

1.3.2 Các dạng biểu diễn của số phức

Xét z = (a, b) ∈ C

1 Dạng biểu diễn đại số của số phức

z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0) · (0, 1) = a + b · i,trong đó

a gọi là phần thực của z, ký hiệu là a = Rez,

b gọi là phần ảo của z, ký hiệu là a = Imz

2 Dạng biểu diễn hình học của số phức.

Các số phức có thể biểu diễn bởi các điểm trong mặt phẳng Muốnvậy ta lấy một hệ toạ độ Descartes vuông góc trong mặt phẳng, số phức

α = a + ib sẽ được biểu diễn bởi điểm M có toạ độ Descartes (a, b) Tacòn gọi cách biểu diễn như trên là dạng biểu diễn véctơ của số phức

Hai số phức α1 = x1+ iy1 và α2 = x2+ iy2 được gọi là bằng nhau khi

và chỉ khi phần thực của chúng bằng nhau và phần ảo của chúng bằngnhau, tức là: x1+ iy1 = x2+ iy2 khi và chỉ khi x1 = x2, y1 = y2

3 Dạng lượng giác của số phức

Ta có thể biểu diễn số phức α = a + ib bởi véctơ−−→

OM có toạ độ (a,b).Véctơ −−→

OM hoàn toàn được xác định bởi góc ϕ giữa −−→

y

ϕ0

Ta gọi (3) là dạng lượng giác của số phức.

Khi viết các số phức dưới dạng lượng giác, ta có thể tìm được ý nghĩahình học của phép nhân các số phức

Thật vậy, giả sử α1 = r1(cos ϕ1+ i sin ϕ1) và α2 = r2(cos ϕ2+ i sin ϕ2)

Ta có: α1· α2 = r1· r2[(cos ϕ1cos ϕ2− sin ϕ1 · sin ϕ2)

+ i(cos ϕ1sin ϕ2+ sin ϕ1· cos ϕ2)]

= r1· r2[cos(ϕ1+ ϕ2) + i sin(ϕ1+ ϕ2)]

Vậy tích của hai số phức là một số phức có modun bằng tích của haimodun, còn argumen bằng tổng của hai argumen của hai số phức, cụ thể

| α1· α2 |=| α1 | · | α2 | (4)arg(α1· α2) = argα1+ argα2 (sai khác 2kπ) (5)

Từ đó bằng phương pháp quy nạp theo n ta chứng minh được côngthức Moivre:

(r(cos ϕ + i sin ϕ))n= rn(cos(nϕ) + i sin(nϕ)) (6)

ii) arg ¯α = - arg α

iii) Tổng của hai số phức liên hợp là một số thực

α + ¯α = (a + ib) + (a − ib) = 2a

iv) Tích của hai số phức liên hợp là một số thực

1.3.4 Căn bậc n của số phức.

Giả sử α = a + ib là một số phức tuỳ ý Ta hãy tìm tất cả các số phức

ω thoả mãn phương trình:

ωn= α, n > 2,nghiệm của phương trình này ta gọi là căn bậc n của số phức α

Giả sử α = r(cos ϕ + i sin ϕ), α 6= 0 Hãy tìm các số phức

ω = s(cos θ + i sin θ)sao cho ωn= α

Theo công thức Moivre ta có:

n +

2kπn

+ i sin ϕ

n +

2kπn

1.4 Các cấu trúc đại số cơ bản

G được gọi là nhóm Abel nếu a ◦ b = b ◦ a, ∀a, b ∈ G

Tiếp theo ta nêu khái niệm nhóm con

Cho (G, ◦) là một nhóm và ∅ 6= H ⊂ G Tập con H được gọi là nhómcon của G nếu

Đồng cấu f được gọi là toàn cấu nếu f là toàn ánh

Đồng cấu f được gọi là đẳng cấu nếu f là song ánh

1.4.2 Vành-Trường.

1.4.3 Định nghĩa Cho R 6= ∅ Giả sử trên R có hai phép toán hai ngôi

là "+" và "." Bộ ba (R, +, ) gọi là một vành nếu:

1) (G, +) là một nhóm giao hoán

2) ∀a, b, c ∈ R : a · (b · c) = (a · b) · c

3) ∀a, b, c ∈ R : (a + b) · c = a · c + b · c và a · (b + c) = a · b + a · c1.4.4 Định nghĩa Giả sử (R, +, ) là một vành Vành R được gọi làvành giao hoán có đơn vị nếu

1.4.6 Định nghĩa Cho F 6= ∅ Giả sử trên F có hai phép toán hai ngôi

là "+" và "." Bộ ba (F, +, ) được gọi là một trường nếu:

I.6 Cho các ánh xạ f : R\{0} → R, g : R → R bởi công thức f (x) = x+1

x

và g(x) = x

1 + x2 Hãy tìm Imf, Img và Im(g ◦ f )

I.7 Cho các ánh xạ f : X → Y, g : Y → Z Gọi h = g ◦ f là hàm hợp.Chứng minh rằng

a) Nếu h là toàn ánh thì g là toàn ánh

b) Nếu h là đơn ánh thì f là đơn ánh

c) Hãy chỉ ra các ví dụ chứng tỏ rằng các kết luận ngược lại của a)

Không gian véctơ

2.1 Không gian véctơ

2.1.1 Định nghĩa Cho một tập hợp V 6= ∅ mà các phần tử được kýhiệu là ~x, ~y, ~α, ~β, · · · và trường K mà các phần tử ký hiệu là x, y, a, b, · · ·Giả sử trên V có 2 phép toán:

+) Phép toán trong ký hiệu + : V × V −→V

(~α, ~β) 7−→ ~α + ~β+) Phép toán ngoài ký hiệu · : K × V −→ V

(x, ~α) 7−→ x · ~αKhi đó V cùng với hai phép toán xác định như trên được gọi là khônggian véctơ trên trường K hay K-không gian véctơ hoặc đơn giản là khônggian véctơ nếu các tiên đề sau được thỏa mãn với mọi ~α, ~β, ~γ ∈ V và mọi

x, y ∈ K:

1) (~α + ~β) + ~γ = ~α + (~β + ~γ)

2) ∃~0 ∈ V : ~0 + ~α = ~α + ~0 = ~α; ~0 được gọi là véctơ không

3) ∀~α, ∃~α0 ∈ V : ~α0+ ~α = ~α + ~α0 = ~0; ~α0 được gọi là véctơ đối củavéctơ ~α, ký hiệu là −~α

Các phần tử của V được gọi là các véctơ, các phần tử của K được gọi

là các vô hướng

Phép toán "+" gọi là phép cộng véctơ, phép toán "·" gọi là phép nhân

vô hướng với véctơ

Khi K = R, V được gọi là không gian véctơ thực Khi K = C, V đượcgọi là không gian véctơ phức

Nhận xét Các tiên đề 1, 2, 3, 4 chứng tỏ V là một nhóm giao hoán đốivới phép cộng véctơ Các tiên đề 5, 6, 7 theo thứ tự nói lên rằng phépnhân vô hướng với véctơ có tính chất phân phối đối với phép cộng vôhướng, phân phối đối với phép cộng véctơ, và có tính chất kết hợp

Ví dụ

a) Tập hợp các véctơ "tự do" trong không gian với phép toán cộng cácvéctơ và nhân một số thực với một véctơ đã học trong chương trình toánphổ thông trung học tạo thành một không gian véctơ thực

b) Tập hợp C các số phức với phép cộng hai số phức và phép nhân một

số thực với một số phức tạo thành một không gian véctơ thực Ở đây,mỗi số phức là một véctơ, mỗi số thực vừa đóng vai trò của một véctơ,vừa đóng vai trò của một vô hướng Tương tự, tập hợp R các số thựccũng là một không gian véctơ thực (với phép cộng và phép nhân hai sốthực)

c) Giả sử V1, V2 là hai không gian véctơ trên K Xét tập hợp

V1× V2 = {(~v1, ~v2), ~v1 ∈ V1, ~v2 ∈ V2}với hai phép toán

(~v1, ~v2) + (~u1, ~u2) = (~v1+ ~u1, ~v2+ ~u2),

k · (~v1, ~v2) = (k · ~v1, k · ~v2),với mọi k ∈ K, ~v1, ~u1 ∈ V1, ~v2, ~u2 ∈ V2

Khi đó V1× V2 (cùng với hai phép toán định nghĩa như trên) là mộtkhông gian véctơ trên trường K, và được gọi là tích trực tiếp của haiK-không gian véctơ V1 và V2

d) Tập hợp C[a, b] tất cả các hàm số thực liên tục trên đoạn [a,b] với haiphép toán

+ : (f + g)(x) = f (x) + g(x), ∀f, g ∈ C[a, b]

· : (a · f )(x) = a · f (x), ∀a ∈ R, ∀f ∈ C[a, b]

là một không gian véctơ trên trường số thực.

e) Giả sử K là một trường Ký hiệu Kn= K × · · · × K (n lần K) là tíchDescartes của n trường K, tức là

Kn= {(x1, · · · , xn) | xi ∈ K, i = 1, · · · , n}

Khi đó, Kn cùng với hai phép toán:

(x1, · · · , xn) + (y1, · · · , yn) = (x1+ y1, · · · , xn+ yn)

k · (x1, · · · , xn) = (k · x1, · · · , k · xn), k ∈ K,

là một K-không gian véctơ

Khi n = 1, bản thân K cũng là một K-không gian véctơ

2.1.2 Mệnh đề Giả sử V là một K-không gian véctơ Khi đó ta có:a) Trong không gian véctơ V chỉ tồn tại một véctơ ~0 duy nhất

b) Với mỗi véctơ ~α ∈ V chỉ có một véctơ đối −~α

c) Với mọi cặp véctơ ~α, ~β ∈ V , tồn tại duy nhất một véctơ ~γ ∈ V sao cho

~

α + ~γ = ~β, hay nói cách khác phương trình ~α + ~x = ~β bao giờ cũng cónghiệm duy nhất trong V Nghiệm ~γ duy nhất của phương trình ~α+~x = ~βđược gọi là hiệu của ~β đối với ~α và ký hiệu là ~γ = ~β − ~α

d) Phép nhân vô hướng với véctơ có tính chất phân phối đối với phép trừvéctơ và phép trừ các vô hướng, tức là

a · (~β − ~α) = a · ~β − a · ~α, ∀a ∈ K, ∀~α, ~β ∈ V(a − b) · ~α = a · ~α − b · ~α, ∀a, b ∈ K, ∀~α ∈ V

e) Với a ∈ K, ~α ∈ V thì a · ~α = ~0 khi và chỉ khi hoặc a = 0 ∈ K hoặc

Giả sử có a · ~α = ~0, trong đó a 6= 0 Nhân hai vế của đẳng thức đó với

a−1ta có: a−1·a·~α = a−1·~0 = ~0 Mặt khác a−1·a·~α = (a−1·a)·~α = 1·~α = ~αnên ~α = ~0

f) ~α + (−1) · ~α = 1 · ~α + (−1) · ~α = [1 + (−1)] · ~α = 0 · ~α = ~0

Nhận xét Do tính chất kết hợp và giao hoán của phép cộng véctơ nên ta

có thể định nghĩa được tổng của n véctơ ~α1, ~α2, · · · , ~αn∈ V (n > 2)

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) và k · (a, b) = (ka, 0).

Chứng tỏ rằng V không là không gian véctơ Từ đó suy ra tiên đề 8 làkhông thể bỏ được

II.3 Cho E là một không gian véctơ thực Xét tập

E × E = {(x, y) | x, y ∈ E} Hãy chỉ ra rằng tâp E × E là một khônggian véctơ phức với các phép toán sau:

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1+ x2, y1+ y2) và

(a + ib)(x, y) = (ax − by, ay + bx) với mọi a, b ∈ R

II.4 Cho a < b là hai số thực Xét xem trong các tập hợp sau tập hợpnào là một không gian véctơ trên R với phép cộng và phép nhân (vớimột số) thông thường

h) Tập các hàm thực đơn điệu tăng trên [a, b]

II.5 Kí hiệu R+ là tập các số thực dương Chứng tỏ rằng tập hợp nàylập thành không gian véctơ thực với hai phép toán được định nghĩa nhưsau:

Với x, y ∈ R+ và k ∈ R thì

a) Phép cộng x + y := xy ( phép nhân thông thường)

b) Phép nhân k · x := xk

Hệ véctơ {~αi} (1 ≤ i ≤ n) gọi là độc lập tuyến tính nếuPn

i=1xiα~i = ~0kéo theo xi = 0 (1 ≤ i ≤ n)

Hệ véctơ {~αi} (1 ≤ i ≤ n) gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu nó khôngđộc lập tuyến tính

2.2.2 Mệnh đề i) Hệ hữu hạn véctơ {~αi}i∈I (I là tập gồm hữu hạn chỉsố) là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại họ hệ số {xi}i∈I khôngđồng thời bằng 0 sao cho Pn

i=1xiα~i = ~0

ii) Hệ con của hệ véctơ độc lập tuyến tính là một hệ véctơ độc lập tuyến

Chứng minh i) Suy ra trực tiếp từ định nghĩa.

ii) Giả sử hệ hữu hạn véctơ {~αi}i∈I (1) là độc lập tuyến tính và {~αj}j∈J, J ⊂

I (2) là hệ con của nó Do P

j∈Jxjα~j = ~0 có thể viết lại là P

j∈Jxj~αj+P

i∈I\J0~αi = ~0 nên nếu hệ (1) độc lập tuyến tính thì xj = 0, ∀j ∈ J Vậy

hệ (2) là độc lập tuyến tính

iii) Suy ra trực tiếp từ tính chất ii)

iv) Nếu n = 1 thì {~α1} phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có x 6= 0 đểx~α1 = ~0 Do đó ~α1 = ~0 Khi n > 1, nếu {~αi} (1 ≤ i ≤ n) phụ thuộc tuyếntính thì tồn tại họ {xi} (1 ≤ i ≤ n) không đồng thời bằng 0 (chẳng hạn

Vì vậy hệ {~αi} (1 ≤ i ≤ n) là phụ thuộc tuyến tính

v) Theo tính chất iv) nếu ~β biểu thị tuyến tính theo hệ {~αi} (1 ≤ i ≤ n)thì hệ {~α1, · · · , ~αn, ~β} phụ thuộc tuyến tính

Ngược lại, nếu hệ {~α1, · · · , ~αn, ~β} phụ thuộc tuyến tính thì có họ hệ số

x1, · · · , xn, y không đồng thời bằng 0 để

x1· ~α1+ x2· ~α2+ · · · + xn· ~αn+ y · ~β = ~0

· ~α1+



−x2y



· ~α2+ · · · +



−xny

Chú ý Người ta có thể mở rộng định nghĩa khái niệm tổ hợp tuyến tính,độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính cho hệ tuỳ ý (có thể vô hạn)các véctơ Cho hệ {~αi}, i ∈ I (I có thể có vô hạn phần tử) Một tổ hợptuyến tính của hệ đó là P

i∈Ixi~αi, trong đó họ hệ số {xi}, i ∈ I phảithỏa mãn điều kiện "triệt tiêu hầu khắp", tức là {i ∈ I : xi 6= 0} là tậphữu hạn Khi đó các tính chất trên vẫn đúng

Ví dụ

1) Trong R-không gian véctơ R[x] các đa thức một biến với hệ số thực,

hệ các đa thức (1, x2, x3, · · · , xn, · · · ) là độc lập tuyến tính Thực vậy,giả sử P∞

R3 là phụ thuộc tuyến tính vì ~α2 = −2 · ~α1

4) Trong không gian véctơ thực C các số phức hai véctơ {1, i} lập thànhmột hệ độc lập tuyến tính vì a · 1 + b · i = 0 khi và chỉ khi a = b = 0.Ngoài ra trong không gian đó, bất kỳ hai số thực nào đều phụ thuộctuyến tính vì nếu a, b là hai số thực bất kỳ luôn tồn tại một số thực ksao cho a = k · b

2.3 Hạng của một hệ hữu hạn véctơ

Hệ con độc lập tuyến tính tối đại của một hệ véctơ

2.3.1 Định nghĩa Cho hệ véctơ {~αi}, i ∈ I trong K-không gian véctơ

V Hệ con {~αj}, j ∈ J ⊂ I gọi là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của

hệ đã cho nếu nó là hệ độc lập tuyến tính và nếu thêm bất cứ véctơ ~αknào với k ∈ I \ J vào hệ con đó thì ta đều được một hệ phụ thuộc tuyếntính

2.3.2 Mệnh đề a) Nếu hệ con {~α1, ~α2, · · · , ~αn} của hệ {~αi}, i ∈ I làmột hệ con độc lập tuyến tính tối đại thì mọi véctơ ~αi, i ∈ I đều biểu thịtuyến tính một cách duy nhất qua hệ con đó.

b) Cho hệ hữu hạn véctơ {~αi}, i ∈ I Giả sử {~αj}, j ∈ J (J ⊂ I và J

có thể là tập rỗng) là hệ con độc lập tuyến tính của hệ {~αi}, i ∈ I Thếthì ta có thể xây dựng được một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ{~αi}, i ∈ I sao cho hệ đó chứa hệ con {~αj}, j ∈ J đã cho

Chứng minh a) Suy trực tiếp từ Mệnh đề 2.2.2(v)

b) Thật vậy, nếu {~αj}, j ∈ J không phải là hệ con độc lập tuyến tính tốiđại của hệ {~αi}, i ∈ I thì tồn tại véctơ ~αi0, i0 ∈ I \ J không biểu thị tuyếntính qua hệ {~αj}, j ∈ J Dễ thấy hệ {~αj}, j ∈ J0 = J ∪ {i0} là độc lậptuyến tính Nếu hệ này chưa phải là hệ con độc lập tuyến tính tối đại thì

ta lại làm tương tự như trên Do số phần tử của hệ véctơ ban đầu hữuhạn nên sau một số hữu hạn bước ta xây dựng được hệ phải tìm

Hạng của một hệ hữu hạn véctơ

2.3.3 Bổ đề Trong không gian véctơ V cho hai hệ véctơ:

Do (1) độc lập tuyến tính nên ~α1 6= ~0 Từ đó suy ra các vô hướng xi

không đồng thời bằng không Giả sử x1 6= 0 Thế thì

Thay ~β1 trong (2) bởi ~α1, ta được hệ {~α1, ~β2, · · · , ~βs} (4) Theo giả thiết

và từ công thức (3) ta suy ra mọi véctơ của hệ (1) đều biểu thị tuyếntính được theo hệ (4) Do đó

~

α2 = y1· ~α1+ y2· ~β2+ · · · + ys· ~βs

Do (1) độc lập tuyến tính nên trong số các hệ số y2, · · · , ys phải cómột hệ số khác không Giả sử y2 6= 0 Khi đó:

bổ đề trên ta có r ≤ s Đổi vai trò của hệ α và β cho nhau ta có s ≤ r.Vậy s = r

Ví dụ Trong R-không gian véctơ R[x] xét hệ

b) (0; 1; 2; 3); (1; 2; 3; 4); (2; 3; 4; 5); (3; 4; 5; 6); (4; 5; 6; 7).

II.12 Trong C[a, b] tìm hạng của hệ véctơ sau đây:

a) t2− 2t, t2− 3t, t2− 4t, t2− 5t

b) sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, sin 3x, cos 3x

II.13 Trong R-không gian véctơ R3 cho hệ gồm bốn véctơ

{(0; −2; 5); (1; 2; −3); (−1; 1; −2); (2; 5; k)}, k ∈ R

Tuỳ theo k hãy tính hạng của hệ véctơ trên

II.14 Cho hệ véctơ α1, α2, · · · , αn bất kì trong K−không gian véctơ V.Gọi β1, β2, · · · , βm là các tổ hợp tuyến tính của các véctơ α1, α2, · · · , αn.Chứng minh rằng hạng của hệ véctơ β1, β2, · · · , βm không vượt quá hạngcủa hệ véctơ α1, α2, · · · , αn

II.15 Giả sử α1, α2, · · · , αn và β1, β2, · · · , βm là hai hệ véctơ trong không gian véctơ V Chứng minh rằng hạng của hệ véctơ

R-α1, α2, · · · , αn, β1, β2, · · · , βmkhông vượt quá tổng các hạng của các hệ véctơ

α1, α2, · · · , αn và β1, β2, · · · , βm

2.4 Cơ sở, số chiều của không gian véctơ

2.4.1 Định nghĩa Giả sử V là một K-không gian véctơ

1) Một hệ véctơ trong V gọi là một hệ sinh của V nếu mọi véctơ của Vđều biểu thị tuyến tính theo hệ đó

2) Nếu V có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thì V được gọi là K-khônggian véctơ hữu hạn sinh

3) Một hệ véctơ trong V gọi là một cơ sở của V nếu mọi véctơ của Vđều biểu thị tuyến tính duy nhất qua hệ đó

2.4.2 Định lí Giả sử {~αi} (1 ≤ i ≤ n) là một hệ hữu hạn véctơ trongK-không gian véctơ V Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:

1) {~αi} là cơ sở của V

2) {~αi} là hệ sinh độc lập tuyến tính của V

3) {~αi} là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của V

Chứng minh 1) ⇒ 2) Ta chỉ cần chứng minh hệ {~αi} là độc lập tuyếntính Vì mọi véctơ của V đều biểu thị tuyến tính một cách duy nhất qua

hệ {~αi} nên từ x1~α1 + · · · + xn~αn = ~0 và 0~α1+ · · · + 0~αn = ~0 kéo theo

x1 = · · · = xn= 0 Vậy hệ {~αi} (1 ≤ i ≤ n) độc lập tuyến tính

2) ⇒ 3) Hiển nhiên khi xem V như là một hệ véctơ trong V

3) ⇒ 1) Do tính chất a) của Mệnh đề 2.3.2

Số chiều của không gian véctơ

2.4.3 Định lí Nếu V là không gian véctơ hữu hạn sinh thì V có cơ sởhữu hạn Ngoài ra, số phần tử của các cơ sở trong V đều như nhau vàđược gọi là số chiều của không gian véctơ V

Khi V là một K-không gian véctơ có số chiều n ta viết dim V = nhay dimKV = n

Chứng minh Giả sử {~αi}, i ∈ I(I hữu hạn) là một hệ sinh của V Giả sử{~α1, · · · , ~αn} là một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của {~αi}, i ∈ I Dễthấy {~α1, · · · , ~αn} cũng là một hệ sinh của V Hệ đó lại độc lập tuyếntính nên nó là cơ sở của V Do đó mọi hệ m véctơ với m > n đều phụthuộc tuyến tính Như vậy, nếu {~βj}, j ∈ J là một cơ sở khác của V thì

số phần tử của {~βj} phải nhỏ hơn hoặc bằng n Đổi vai trò của hai cơ sởcho nhau ta sẽ thấy số các phần tử của mọi hệ cơ sở của V bằng nhau

và bằng n

2.4.4 Mệnh đề a) Nếu V là không gian véctơ n chiều thì mọi hệ độclập tuyến tính trong V đều có thể bổ sung để trở thành một cơ sở của V b) Nếu V là không gian véctơ n chiều thì mọi hệ n véctơ độc lập tuyếntính đều là cơ sở

Chứng minh a) Giả sử {~α1, · · · , ~αm} là một hệ độc lập tuyến tính trong

V Nếu hệ này không độc lập tuyến tính tối đại thì ta có thể bổ sung cácvéctơ ~αm+1, ~αm+2, · · · để hệ thu được vẫn độc lập tuyến tính Quá trìnhnày phải dừng lại sau một số hữu hạn bước vì dim V < ∞ Từ đó ta thuđược hệ {~α1, · · · , ~αn} độc lập tuyến tính tối đại trong V , tức là một cơ

{~α1· · · , ~αn+1} biểu thị tuyến tính qua cơ sở {~β1, · · · , ~βn} nào đó của

V nên theo Bổ đề 2.3.3 ta có n + 1 < n Điều này là vô lý Vậy theo Định

lý 2.4.2, {~α1, · · · , ~αn} là cơ sở của V

Nhận xét Đối với không gian véctơ không hữu hạn sinh, người ta chứngminh được những khẳng định quan trọng sau:

1 Mỗi K-không gian véctơ V đều có ít nhất một cơ sở

2 Hai cơ sở bất kỳ của V đều có cùng lực lượng

Tuy nhiên, cần lưu ý rằng một hệ véctơ độc lập tuyến tính có cùng lựclượng với cơ sở thì không nhất thiết là một cơ sở

Ví dụ Hệ {1, x, x2, · · · } là một cơ sở của K-không gian véctơ K[x]

Hệ {x, x2, x3, · · · } độc lập tuyến tính và có cùng lực lượng với cơ sở{1, x, x2, · · · }, nhưng không phải là một cơ sở của K[x] vì đa thức 1không biểu thị tuyến tính được qua hệ đó

Toạ độ của một véctơ đối với một cơ sở

2.4.5 Định nghĩa Giả sử α = {~α1, · · · , ~αn} là cơ sở của K-không gianvéctơ V có chiều n Khi đó mỗi véctơ ~x ∈ V viết được một cách duy nhấtdưới dạng:

Bộ (x1, x2, · · · , xn) = (xi) gọi là toạ độ của véctơ ~x đối với (hay

"trong" hay "theo") cơ sở α và xi gọi là toạ độ thứ i của ~x đối với cơ sởđó

Dễ thấy, nếu ~x, ~y theo thứ tự có toạ độ (xi), (yi) trong cơ sở α thì

~

x + ~y có toạ độ (xi+ yi) và k~x, k ∈ K có toạ độ (kxi) trong cơ sở đó.Bây giờ ta sẽ xét xem toạ độ của một véctơ trong những cơ sở khácnhau có liên hệ với nhau như thế nào

Giả sử β = {~β1, · · · , ~βn} cũng là một cơ sở của V Giả sử ta có khaitriển