Giáo trình Đại số tuyến tính và hình học tuyến tính ĐHSP Hà Nội

Giáo trình Đại số tuyến tính và Hình học tuyến tính ĐHSP Dành Cho sinh viên ngành Sư phạm hệ Đại học. Giáo trình Đại số tuyến tính và Hình học tuyến tính ĐHSP Dành Cho sinh viên ngành Sư phạm hệ Đại học. Giáo trình Đại số tuyến tính và Hình học tuyến tính ĐHSP Dành Cho sinh viên ngành Sư phạm hệ Đại học.

ĐỖ ĐỨC THÁI (CHỦ BIÊN) PHẠM VIỆT ĐỨC VÀ PHẠM HOÀNG HÀ GIÁO TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VÀ HÌNH HỌC TUYẾN TÍNH NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI - 2011 Mục lục I Đại số tuyến tính Các kiến thức mở đầu 11 1.1 Tập hợp - Quan hệ - Ánh xạ 11 1.2 Tập hợp đếm tập hợp có lực lượng continum 16 1.3 Số phức 17 1.4 Các cấu trúc đại số 24 1.4.1 Nhóm 24 1.4.2 Vành-Trường 24 Không gian véctơ 27 2.1 Không gian véctơ 27 2.2 Tổ hợp tuyến tính-Hệ véctơ độc lập tuyến tính hệ véctơ phụ thuộc tuyến tính 32 2.3 Hạng hệ hữu hạn véctơ 35 2.4 Cơ sở, số chiều không gian véctơ 38 2.5 Không gian véctơ không gian véctơ thương 43 Ma trận ánh xạ tuyến tính 53 3.1 Ma trận phép toán ma trận 53 3.2 Ánh xạ tuyến tính ma trận ánh xạ tuyến tính 62 3.3 Hạt nhân, ảnh đồng cấu Đơn cấu, toàn cấu đẳng cấu 66 3.4 Tự đồng cấu tự đẳng cấu 71 3.5 Không gian véctơ đối ngẫu 75 Định thức hệ PT tuyến tính 4.1 Phép dấu phép 79 4.2 Định thức ma trận 84 4.3 Hệ phương trình tuyến tính 92 4.4 Hệ phương trình tuyến tính 102 Cấu trúc tự đồng cấu 111 5.1 Không gian riêng tự đồng cấu tuyến tính 111 5.2 Tự đồng cấu chéo hoá 118 5.3 Tự đồng cấu luỹ linh 121 5.4 Ma trận chuẩn Jordan tự đồng cấu 127 5.5 Định lý Cayley-Hamilton, đa thức cực tiểu 138 Không gian véctơ Euclid II 79 141 6.1 Tích vô hướng không gian véctơ Euclid 141 6.2 Ánh xạ tuyến tính trực giao 145 6.3 Vài nét không gian unita 150 6.4 Dạng toàn phương 152 Hình học tuyến tính 167 Hình học affine 169 7.1 Định nghĩa không gian affine 169 7.2 Ánh xạ affine 176 7.3 Ba định lí hình học phẳng 187 7.4 Tọa độ Descartes Hình học affine 192 7.5 Bài tập cho Chương 195 Hình học Euclid 209 8.1 Không gian Euclid 209 8.2 Cấu trúc đẳng cự 213 8.3 Hình học Euclid mặt phẳng 223 8.4 Hình học Euclid không gian 238 8.5 Tích véctơ tính toán diện tích 242 8.6 Bài tập cho Chương 246 Hình học xạ ảnh 267 9.1 Các khái niệm mở đầu 267 9.2 Không gian xạ ảnh 269 9.3 Liên hệ affine xạ ảnh 270 9.4 Đối ngẫu xạ ảnh 275 9.5 Phép biến đổi xạ ảnh 277 9.6 Tỷ số kép 281 9.7 Bài tập cho Chương 285 10 Cônic siêu mặt bậc hai 299 10.1 Siêu mặt bậc hai cônic affine 299 10.2 Phân loại tính chất cônic affine 305 10.3 Siêu mặt bậc hai cônic xạ ảnh 315 10.4 Bài tập cho Chương 10 327 Lời nói đầu Giáo trình Đại số tuyến tính Hình học tuyến tính biên soạn dựa chương trình đào tạo cử nhân theo hình thức tín khoa Toán trường Đại học Sư phạm làm tài liệu tham khảo cho sinh viên trường Đại học khoa học tự nhiên trường Đại học kỹ thuật Giáo trình gồm có hai phần Phần I trình bày Đại số tuyến tính bao gồm chương Chương trình bày kiến thức mở đầu Tập hợp, Quan hệ, Ánh xạ, Số phức, Các cấu trúc đại số Các chương trình bày kiến thức cốt lõi Đại số tuyến tính như: Không gian véctơ, Ma trận ánh xạ tuyến tính, Định thức hệ phương trình tuyến tính, Cấu trúc tự đồng cấu, Không gian véctơ Euclid Phần II giới thiệu Hình học tuyến tính bao gồm chương trình bày kiến thức cốt lõi Hình học affine, Hình học Euclid, Hình học xạ ảnh, Cônic siêu mặt bậc hai Trong Phần I, không gian véctơ trường K không đòi hỏi phải có chiều hữu hạn Điều giúp ích nhiều cho việc học Giải tích, đặc biệt Giải tích hàm Ngoài ra, tư tưởng Lý thuyết phạm trù quán xuyến suốt Phần I nhằm tránh cho việc xây dựng Đại số tuyến tính phụ thuộc vào sở không gian véctơ góp phần để bạn đọc thấy nguồn gốc sâu xa kỹ thuật tinh vi Lý thuyết biểu diễn hay Hình học đại số sau Phần II cung cấp cho bạn đọc sở toán học đại Hình học sơ cấp phát triển sâu sắc chúng Hình học cao cấp Hình học tuyến tính trình bày hình học nhóm biến đổi, đặc biệt hình học nhóm cổ điển Điều cần thiết việc đào tạo sinh viên Toán Trường Đại học Sư phạm, người trở thành giáo viên dạy chương trình hình học nhà trường phổ thông Giáo trình nhằm phục vụ bạn sinh viên năm đầu đại học, người vừa rời ghế nhà trường phổ thông bắt đầu làm quen với Toán học cao cấp Vì thế, biên soạn Giáo trình trọng đến yếu tố sư phạm nhằm giúp bạn đọc nắm thực chất môn học Một số định lý khó chương trình, chẳng hạn định lý cấu trúc tự đồng cấu ma trận chuẩn Jordan tự đồng cấu, chứng minh cách đơn giản Cuối mục có nhiều tập để bạn đọc tự kiểm tra kiến thức rèn luyện kỹ giải toán Đặc biệt, hệ thống tập chương Phần II phần tách rời lý thuyết Chúng thực chất kiến thức cần thiết chưa trình bày khuôn khổ có hạn thời lượng dạy lớp Chúng muốn trao đổi với bạn đồng nghiệp thêm vài quan điểm biên soạn giáo trình Trước hết, kiến thức Đại số tuyến tính Hình học tuyến tính nói trở thành kinh điển (thực tế nhiều năm kết nghiên cứu lĩnh vực công bố tạp chí toán học có uy tín) trình bày nhiều sách hay Vì thế, vấn đề đặt với phải lựa chọn kiến thức xếp cho phù hợp với Khung chương trình đào tạo theo tín Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm khả tiếp thu em sinh viên Mặt khác, cho để đại học hội nhập với quốc tế yếu tố quan trọng sinh viên phải tiếp cận học theo giáo trình chuẩn trường đại học danh tiếng giới Sau cân nhắc, chọn sách "Linear Algebra" tác giả W H Greub [10] "Geometry" tác giả M Audin [7] để dựa vào Đặc biệt, Phần II biên soạn, lựa chọn trích dịch từ Chương 1-6 sách tác giả M Audin [7] Chúng xin chân thành cảm ơn Giáo sư Michèle Audin cho phép sử dụng sách, trao đổi nhiều ý kiến bổ ích ý tưởng Giáo sư biên soạn sách Chúng mong bạn đồng nghiệp, đặc biệt bạn sinh viên đọc toàn chương có liên quan hai sách [7], [10] Còn có nhiều điều hay mà không đưa vào Giáo trình Cuốn sách công sức tập thể giảng viên nghiên cứu sinh Bộ môn Hình học, Khoa Toán-Tin Đại học Sư phạm Hà Nội suốt nhiều năm giảng dạy môn học Đại số tuyến tính Hình học tuyến tính Chúng xin chân thành cám ơn TS Phạm Nguyễn Thu Trang, TS Nguyễn Thị Tuyết Mai TS Trần Huệ Minh giúp đỡ nhiều trình chuẩn bị thảo sách Cuốn sách tránh khỏi thiếu sót Chúng mong nhận lượng thứ ý kiến đóng góp bạn đọc Hà nội, mùa thu năm 2011 Các tác giả Phần I Đại số tuyến tính Phần II: Hình học tuyến tính 327 thành t, x thành c, d thành Do bảo toàn tỷ số kép nên biến e thành y Như e, m y thẳng hàng Vì điểm m, (điểm nằm bc zt,) nằm ef Đó điều ta muốn chứng minh (xem tập IX.14 IX.16,17) 10.4 Bài tập cho Chương 10 Bài tập dạng toàn phương X.1 Chứng minh ϕ(x, y) = n yi i=1 ∂q (x1 , , xn ) ∂xi ϕ(x, y) = (d2 q)0 (x, y) X.2 Giả sử Q(E) tập hợp dạng toàn phương không gian véctơ E chiều n Chứng minh Q(E) không gian véctơ chiều n(n + 1)/2 X.3 Giả sử f g hai dạng tuyến tính không gian véctơ E chiều n Chứng minh với n ≥ dạng toàn phương q(x) = f (x)g(x) suy biến X.4 Giả sử (e1 , , en ) sở E giả sử ϕ dạng song tuyến tính đối xứng mà ma trận sở A Ma trận ϕ : E → E ∗ ta trang bị E ∗ sở đối ngẫu (e1 , , en )? Chứng minh ϕ không suy biến ma trận A khả nghịch X.5 (Chéo hóa ma trận đối xứng thực) Giả sử A ma trận vuông n × n đối xứng thực Chứng minh tồn sở trực chuẩn mà sở ma trận có dạng chéo Để tránh nhầm lẫn ta quy ước chéo hóa ma trận A tức tìm ma trận khả nghịch P cho P −1 AP ma trận chéo X.6 (Một trường hợp khác trực giao hóa đồng thời) Giả sử q q hai dạng toàn phương không gian véctơ E chiều n Giả sử tự đồng cấu hợp thành ϕ−1 ◦ ϕ E có n giá trị riêng phân biệt Chứng minh tồn sở E trực giao đồng thời q q X.7 Chứng minh hạng dạng toàn phương q hạng ánh xạ tuyến tính ϕ Tìm hạng dạng toàn phương sau: 328 CHƯƠNG 10 CÔNIC VÀ SIÊU MẶT BẬC HAI +) x21 , x21 − x22 , x21 + x22 , 2x1 x2 không gian véc tơ n chiều (n ≥ 2) +) ri=1 λi x2i không gian véc tơ n chiều (n ≥ r) X.8 Viết dạng cực sau rút gọn R dạng toàn phương sau: +) x2 + y + 2(z + t2 ) + xz + zt + tx định nghĩa R4 +) xy + yz + zx định nghĩa R3 Cônic siêu mặt bậc hai affine Euclid X.9 (Paraboloid hyperbolic) Hỏi siêu mặt R3 có phương trình z = xy có tâm hay không? Hãy vẽ chứng minh hợp họ đường thẳng (người ta gọi mặt kẻ ) X.10 Dựng R3 siêu mặt bậc hai affine có vô hạn tâm Cũng câu hỏi với siêu mặt bậc hai tâm X.11 (Siêu mặt bậc hai affine không gian ba chiều) Ta giả sử phần toàn phương q siêu mặt bậc hai affine dạng toàn phương không suy biến Giả sử Ω tâm siêu mặt Hãy bổ sung bảng sau cách nêu xem điểm biểu diễn điều q = Ω ∈ C ký số q Ω∈C ký số q (3,0) (2,1) (1,2) (0,3) (3, 0) (2, 1) (1, 2) (0, 3) Điền vào chỗ trống bảng sau để hoàn thành việc phân loại siêu mặt bậc hai affine thực không gian ba chiều hạng q Ω, vị trí tâm Ω đường thẳng D ⊂ C D Ω D⊂C Ω mặt phẳng P ⊂ C P Ω P ⊂C Ω Phần II: Hình học tuyến tính 329 X.12 Chứng minh siêu mặt bậc hai thực riêng chiều đồng phôi với mặt cầu, hình trụ hợp rời hai mặt phẳng X.13 Phân loại cônic mặt phẳng affine phức cho ta điều gì? X.14 Xét mặt phẳng Euclid Mô tả tập hợp định nghĩa sở trực chuẩn x2 − 2xy + y + λ(x + y) = 0, x2 + xy + y = 1, xy + λ(x + y) + = 0, y = λx2 − 2x, x2 + xy − 2y + λx + = X.15 Cho trước hyperbola Hãy viết phương trình mục tiêu có gốc tâm trục tiệm cận X.16 Trong mặt phẳng affine Euclid trang bị mục tiêu trực chuẩn có gốc O, viết hay không phương trình parabola biết - đỉnh O, trục trục x tham số 2? - tiêu điểm F = (4, 3), đường chuẩn D : y = −1? Nếu xác định đỉnh tham số X.17 Trong mặt phẳng affine thực, cho trước cônic riêng C Hãy rõ điểm mặt phẳng mà từ ta kẻ hai (tương ứng, một, không) tiếp tuyến tới C X.18 Ta nói ảnh ellipse qua ánh xạ affine? Về ảnh đường tròn? X.19 Cho trước đường tròn mặt phẳng không gian Euclid ba chiều Ta chiếu không gian lên mặt phẳng Hỏi ảnh đường tròn gì? X.20 Chứng minh đường thẳng nối tâm ellipse với trung điểm dây cung M M qua điểm chung tiếp tuyến với ellipse M M X.21 (Đường kính liên hợp ellipse) Trong mặt phẳng Euclid trang bị mục tiêu trực chuẩn gốc O, ta xét dạng toàn phương q(x, y) = x2 y + a2 b với < b < a Nếu (u, v) sở trực chuẩn q ta nói u v đường kính liên hợp ellipse C có phương trình q = Ta −−→ −−→ giả sử OM OM đường kính liên hợp C Ta gọi P giao điểm tiếp tuyến với C M M Chứng minh 330 CHƯƠNG 10 CÔNIC VÀ SIÊU MẶT BẬC HAI - tứ giác OM P M hình bình hành có diện tích (hằng) ab (định lý thứ Apollonius) - đại lượng OM + OM a2 + b2 (định lý thứ hai Apollonius) X.22 Hãy tham số hóa nhánh hyperbola có phương trình x2 y − =1 a2 b dựa vào hàm hyperbolic X.23 Chứng minh parabola chứa trong hai nửa phẳng xác định tiếp tuyến X.24 Cho trước hai parabola mặt phẳng affine Euclid Chứng minh chúng đồng dạng thuận với Cho trước hai cônic riêng C C mặt phẳng affine Euclid Với điều kiện chúng đồng dạng với ? X.25 Cho trước cônic riêng C mặt phẳng affine Euclid Nhóm đẳng cự bảo toàn C gì? X.26 Cho M điểm parabola P có đỉnh S Pháp tuyến4 với P M cắt trục N, tiếp tuyến cắt trục T Gọi m hình chiếu vuông góc M lên trục Chứng minh mN không phụ thuộc vào M Giá trị bao nhiêu? Chứng minh S trung điểm mT Trung điểm N T gì? X.27 Cho P parabola Xét hai dây cung song song M N M N Chứng minh đường thẳng nối trung điểm chúng song song với trục P X.28 Trong mặt phẳng Euclid với mục tiêu trực chuẩn, cho parabola xác định phương trình y = x2 Hãy dựng trục x = y = thước kẻ compas (luật dựng biết, điểm parabola giả sử dựng được) X.29 Chứng minh tất cônic riêng biểu diễn (trong mục tiêu trực chuẩn đó) phương trình có dạng y = 2px + qx2 Đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến qua M Phần II: Hình học tuyến tính 331 với q thực p > X.30 Viết phương trình cônic có tiêu điểm F hệ tọa độ cực mà gốc F X.31 Trong mặt phẳng affine Euclid, cho trước điểm F, đường thẳng D không qua F số dương thực e Hãy mô tả tập hợp {M : M F ≤ ed(M, D)}? X.32 Trong mặt phẳng affine Euclid, cho trước hai điểm F F Cho a = F F Tập hợp điểm M thỏa mãn M F + M F = 2a gì? thỏa mãn M F − M F = 2a gì? X.33 Trong mặt phẳng affine Euclid, cho trước hai điểm F F số thực dương a Hãy mô tả tập hợp {M : M F + M F ≤ 2a}, {M : M F − M F ≤ 2a}? X.34 Cho trước đường tròn C tâm F điểm F nằm đường tròn Hãy tìm quỹ tích tâm đường tròn tiếp xúc tới C qua F Cũng câu hỏi với F nằm C X.35 Trong mặt phẳng affine Euclid, xét đường tròn C tâm O đường kính AA Ta ánh xạ điểm M C \ {A, A } với điểm M thu cách sau : - Ta chiếu M lên trung trực AA , thu điểm K, - M giao điểm đường thẳng OM AK (xem hình vẽ) Chứng minh M nằm parabola có tiêu điểm O có đường chuẩn tiếp tuyến tới C A Nghiên cứu toán ngược 332 CHƯƠNG 10 CÔNIC VÀ SIÊU MẶT BẬC HAI X.36 Giả sử C hyperbola có tâm sai e, F tiêu điểm D đường chuẩn tương ứng Giả sử ∆ đường thẳng song song với tiệm cận C Giả sử N điểm ∆ n hình chiếu D Chứng minh N tiến tới vô tận ∆, tỷ số N F/N n tiến tới e Giả sử M điểm C Đường thẳng vuông góc với M F F cắt D P Chứng minh M P không song song với tiệm cận X.37 (Chuyển động hành tinh) Theo định luật Kepler, hành tinh chuyển động quỹ đạo phẳng mô tả hệ tọa độ cực phương trình ρ = f (θ), f thỏa mãn phương trình vi phân d2 1 + = số f dθ f (hằng số phụ thuộc vào khối lượng số vũ trụ, khác không) Hãy xác định chất quỹ đạo X.38 Cho ba đường thẳng vị trí tổng quát (chúng không đồng quy, hai đường chúng không song song với nhau) mặt phẳng affine Euclid Giả sử P parabola tiếp xúc với ba đường thẳng Chứng minh ba hình chiếu tiêu điểm F P lên ba đường thẳng nằm tiếp tuyến đỉnh Từ suy F nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác xác định ba đường thẳng Ta nói tiếp tuyến đỉnh? đường chuẩn? Quỹ tích tiêu điểm parabola tiếp xúc với ba đường thẳng gì? X.39 Cho bốn đường thẳng vị trí tổng quát mặt phẳng affine Euclid Chứng minh tồn parabola tiếp xúc với bốn đường thẳng X.40 (Các thiết diện cônic) Hãy nghiên cứu giao mặt phẳng affine với nón tròn xoay có phương trình x2 + y = z Có mặt cầu nội tiếp nón tiếp xúc với mặt phẳng? Các tiếp điểm mặt cầu với mặt phẳng biểu diễn nào? Các tập cônic siêu mặt bậc hai xạ ảnh X.41 Các siêu mặt bậc hai xạ ảnh không gian xạ ảnh tạo thành không gian xạ ảnh Hỏi siêu mặt bậc hai affine không gian affine có tạo thành không gian affine không? có tạo thành không gian xạ ảnh không? Phần II: Hình học tuyến tính 333 X.42 Cho ABC tam giác có cạnh BC, CA, AB tiếp xúc tới cônic không suy biến ba điểm (theo thứ tự) U, V, W Chứng minh AU, BV, CW đồng quy A = V W ∩ BC, B = W U ∩ CA, C = U V ∩ AB A , B , C thẳng hàng X.43 Cho D đường thẳng không gian affine giao với siêu mặt bậc hai (duy nhất) điểm đơn Chứng minh bao đầy xạ ảnh giao với siêu mặt vô tận Trong mặt phẳng affine, chứng minh cát tuyến đường song song với tiệm cận cônic hyperbola đường thẳng song song với trục cônic parabola X.44 Chứng minh giao siêu mặt bậc hai affine C với siêu phẳng vô siêu mặt bậc hai có phương trình phần toàn phương phương trình C Hãy biểu diễn lại phương trình tiệm cận hyperbola X.45 (Định lý không điểm Hilbert) Giả sử K = C Chứng minh ánh xạ ứng siêu mặt bậc hai xạ ảnh với ảnh đơn ánh5 từ P Q(E) vào tập tập P(E) Để chứng minh định lý ta xét trường hợp P(E) đường thẳng sử dụng giao siêu mặt với đường thẳng trường hợp tổng quát Điều xảy K = R? X.46 Chứng minh siêu mặt bậc hai riêng khác rỗng không gian xạ ảnh thực ba chiều đồng phôi với mặt cầu S chiều tích Đề-các U × U hai đường tròn X.47 (Các đường thẳng chứa siêu mặt bậc hai) Cho C siêu mặt bậc hai riêng không gian xạ ảnh phức ba chiều Chứng minh siêu mặt C hợp họ đường thẳng Ta nói siêu mặt bậc hai thực? Chứng minh C đồng phôi với P1 (C) × P1 (C) Chứng minh siêu mặt bậc hai phức (affine xạ ảnh) chứa đường thẳng (affine xạ ảnh!) X.48 Cho trước ba đường thẳng không gian ba chiều Chứng minh tồn siêu mặt bậc hai chứa chúng X.49 (Chùm cônic) Ta xét chùm cônic định nghĩa bảy cặp côníc hình sau Đó trường hợp đặc biệt định lý không điểm Hilbert, định lý không điểm Hilbert tiếng Đức Nullstellensatz, định lý khẳng định tính chất tương tự phương trình tổng quát 334 CHƯƠNG 10 CÔNIC VÀ SIÊU MẶT BẬC HAI Trong hình vẽ này, có hai cặp định nghĩa chùm Đó hai cặp nào? Với năm chùm khác lại, vẽ (ít một) cônic riêng tất cônic suy biến (xem thêm tập X.57, X.58 X.59) X.50 (Các phương trình bậc bốn) Ta muốn chứng minh giải thích việc giải phương trình bậc bốn x4 + ax3 + bx2 + cx + d = quay trở lại việc giải phương trình bậc ba số phương trình bậc hai Điều cho phép giải phương trình bậc bốn thức ta biết cách làm điều với phương trình bậc hai bậc ba Thật vậy, đặt y = x2 Hãy nghiệm phương trình hoành độ giao điểm hai cônic phẳng Từ xét chùm sinh hai cônic dẫn tới kết luận X.51 Cho C cônic suy biến tạo hai đường thẳng cắt mặt phẳng Giả sử m điểm mặt phẳng Ta nói không gian trực giao m cônic C? X.52 Cho C cônic suy biến bao gồm hai đường thẳng D D mặt phẳng Định lý Pascal cho ta điều ta chọn a, c, e D, b, d, f D ? X.53 (Định lý Lamé) Cho F chùm cônic A điểm mặt phẳng Chứng minh đường đối cực A cônic F đồng quy X.54 Cho C cônic mặt phẳng affine D1 , D2 , D3 ba phương đường thẳng Giả sử M0 điểm C, M1 giao điểm Trường hợp C đường tròn mặt phẳng Euclid xét tập VIII.45 Phần II: Hình học tuyến tính 335 lại đường thẳng có phương D1 qua M1 với C, M2 giao điểm lại đường thẳng có phương D2 qua M1 với C, Ta định nghĩa điểm Mi với i ≥ Chứng minh M6 = M0 X.55 Cho năm điểm a, b, c, d, e mặt phẳng Ta giả sử tồn cônic riêng C qua năm điểm Hãy dựng (chỉ với thước kẻ) điểm f C tiếp tuyến với C f X.56 Cho trước bốn điểm A, B, C, D mặt phẳng P, ba điểm thẳng hàng Cho trước vô hướng ρ Hãy mô tả tập hợp {M ∈ P : [M A, M B, M C, M D] = ρ} X.57 Trong chùm đường tròn có đường thẳng (đó trục đẳng phương chùm này) Trong chùm cônic có cônic Điều có mâu thuẫn không? X.58 Hai tam giác ABC DEF có cạnh tiếp xúc với cônic C Chứng minh sáu điểm A, B, C, D, E, F nằm cônic C Các tập lý thuyết X.59 Xét trường Q số hữu tỷ Chứng minh Q-không gian véctơ chiều có vô hạn dạng toàn phương không tương đương X.60 (Trên Fq ) Cho Fq trường hữu hạn đặc trưng khác Hỏi Fq có phần tử bình phương phần tử Fq ? Suy từ với a, b ∈ F∗q tồn hai phần tử x, y Fq thỏa mãn ax2 + by = Bây giả sử E không gian véctơ chiều n Fq Giả sử Q dạng toàn phương không suy biến E Cho a ∈ F∗q phần tử bình phương phần tử F∗q Chứng minh Q tương đương với x21 + + x2n−1 + x2n x21 + + x2n−1 + ax2n Cho trước dạng toàn phương, làm để xác định thuộc loại hai loại trên? 336 CHƯƠNG 10 CÔNIC VÀ SIÊU MẶT BẬC HAI X.61 (Căn bậc hai ma trận thực đối xứng xác định dương) Cho A ma trận đối xứng thực Ta giả sử dạng song tuyến tính liên kết, nghĩa dạng ϕ định nghĩa ϕ(x, y) =t xAy xác định dương (1) Chứng minh giá trị riêng λ1 , , λn A số thực dương thực (2) Cho P đa thức thỏa mãn P (λi ) = λi ≤ i ≤ n Chứng minh S = P (A) ma trận đối xứng xác định dương thỏa mãn S = A X.62 (Phân tích cực GL(n; R)) Chứng minh ma trận M thực khả nghịch viết thành tích M = ΩS Ω ∈ O(n) ma trận trực giao S ma trận đối xứng xác định dương Chứng minh phân tích X.63 (Phân tích Cartan) Chứng minh ma trận thực khả nghịch viết thành tích M = Ω1 DΩ2 , D ma trận chéo có giá trị riêng dương thực Ω1 , Ω2 ma trận trực giao X.64 Cho Q dạng toàn phương không gian véctơ E Cho F không gian véctơ E Ta giả sử F chứa véctơ không đẳng hướng Q Hãy xác định giao siêu mặt bậc hai xạ ảnh định nghĩa Q với P(F ) Điều xảy tất véctơ F đẳng hướng Q? Cho D đường thẳng xạ ảnh Ta nói giao D với siêu mặt bậc hai định nghĩa Q? X.65 Trong R3 , ta xét dạng toàn phương q(x, y, z) = x2 + y − z nhóm đẳng cự Oq nó, nghĩa nhóm Oq = {f ∈ GL(3, R) : q ◦ f = q} Phần II: Hình học tuyến tính 337 Hãy xác định tất quỹ đạo tác động lên P2 (R) (như nhóm GL(3, R)) X.66 (Siêu mặt bậc hai đối ngẫu xạ ảnh) Nếu C đường cong mặt phẳng xạ ảnh P(E) ta định nghĩa C ⊂ E v ∈ C p(v) ∈ C (1) Chứng minh C nón Ta nói đường thẳng xạ ảnh d P(E) tiếp xúc tới C m d = P(F ) với mặt phẳng véctơ F E tiếp xúc với C dọc theo đường thẳng véctơ m E Chứng minh C cônic tiếp tuyến m tới C định nghĩa trùng với tiếp tuyến định nghĩa §10.3 (2) Tập hợp đường thẳng xạ ảnh tiếp xúc tới C tạo thành đường cong C ∗ P(E ∗ ) Chứng minh C cônic riêng C ∗ cônic Tổng quát hơn, C siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh P(E) chiều n chứng minh họ siêu phẳng xạ ảnh tiếp xúc tới C siêu mặt bậc hai không gian xạ ảnh P(E ∗ ) (3) Ta trở lại trường hợp mặt phẳng Các tính chất giao C ∗ với đường thẳng P(E ∗ ) thể P(E)? Chứng minh định lý Brianchon: lục giác có tất cạnh tiếp xúc tới cônic riêng đường chéo đồng quy (xem hình vẽ) (4) Cho năm đường thẳng tổng quát mặt phẳng xạ ảnh Hỏi có cônic tiếp xúc tới năm đường thẳng này? Cho trước bốn đường thẳng tổng quát mặt phẳng affine Hỏi có Nghĩa C chứa v chứa đường thẳng sinh v 338 CHƯƠNG 10 CÔNIC VÀ SIÊU MẶT BẬC HAI parabola tiếp xúc tới bốn đường thẳng này? X.67 Xét mặt phẳng Euclid trang bị sở trực chuẩn Cho trước hai số thực α β (ta giả sử < α < β) xét cônic Cλ có phương trình x2 y2 + = α−λ β−λ Hãy vẽ hình cônic Cλ với λ < α; với α < λ < β với β < λ Chứng minh tất cônic Cλ có tiêu điểm Các cônic Cλ gọi đồng tiêu Ta làm đầy mặt phẳng thành mặt phẳng xạ ảnh xét họ cônic đối ngẫu Cλ (như tập X.66) Chứng minh chùm (tuyến tính) cônic Tổng quát hơn, ta xét không gian affine Euclid chiều n siêu mặt bậc hai Cλ có phương trình x2n x21 + ··· + = 1, α1 − λ αn − λ αi số thực cố định thỏa mãn < α1 < < αn Chứng minh họ đối ngẫu chùm siêu mặt bậc hai Tương tự trường hợp cônic, ta nói họ đồng tiêu Chứng minh điểm tổng quát không gian chứa n siêu mặt bậc hai họ siêu mặt trực giao với (đây định lý Jacobi) Chứng minh đường thẳng tổng quát tiếp xúc với n − siêu mặt họ siêu phẳng tiếp xúc với siêu mặt tiếp điểm trực giao với (đây định lý Chasles) X.68 (Các hình lập phương thực) Ta xét R2 đường cong C có phương trình y = P (x), P đa thức bậc ba mà ta giả sử nghiệm bội Hãy vẽ C Hỏi có thành phần liên thông? Chứng minh thành phần không bị chặn đồng phôi với đường thẳng tồn thành phần thứ hai đồng phôi với đường tròn Bây ta xét đường cong C có phương trình y z = P (x, z), P đa thức bậc ba theo hai biến nhận cách hóa đa thức P Chứng minh C nhận cách Phần II: Hình học tuyến tính 339 thêm điểm vào C Hỏi C có thành phần liên thông? Chúng đồng phôi với gì? Chứng minh phần bù P2 (R) thành phần C chứa điểm vô tận liên thông Nếu C có thành phần liên thông thứ hai ta nói phần bù thành phần P2 (R)? X.69 Một dạng song tuyến tính ϕ gọi thay phiên thỏa mãn ϕ(x, x) = với x Chứng minh tính chất tương đương với tính phản đối xứng ϕ, nghĩa với kiện ϕ(x, y) = −ϕ(y, x) với x y (ta giả sử trường có đặc số khác 2) Cho ϕ dạng song tuyến tính thay phiên không suy biến Chứng minh tồn sở (e1 , , en , f1 , , fn ) E cho với i, j ta có ϕ(ei , ej ) = δi,j ϕ(ei , ej ) = ϕ(fi , fj ) = Ta nói chiều E? Cho F không gian véctơ đẳng hướng8 E Ta nói chiều F ? Cho A ma trận phản đối xứng Chứng minh hạng của A số chẵn Nghĩa thỏa mãn ϕ(x, y) = với x y F 340 CHƯƠNG 10 CÔNIC VÀ SIÊU MẶT BẬC HAI Tài liệu tham khảo [1] Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Khu Quốc Anh, Nguyễn Anh Kiệt, Tạ Mân, Nguyễn Doãn Tuấn, Giáo trình Đại số tuyến tính Hình học giải tích, NXB ĐHQGHN - 1997 [2] Văn Như Cương, Tạ Mân, Hình học Afin Hình học Ơclít, NXB ĐHQGHN - 1998 [3] Văn Như Cương, Hình học xạ ảnh, NXB ĐHSP - 2006 [4] Lê Tuấn Hoa, Đại số tuyến tính qua ví dụ tập, NXB ĐHQGHN - 2005 [5] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số tuyến tính, NXB ĐHQGHN - 2004 [6] Ngô Việt Trung, Giáo trình Đại số tuyến tính, NXB ĐHQGHN 2001 [7] M Audin, Geometry, Springer - 2002 [8] M Berger, Geometry 1, Springer - 1987 [9] M Berger, Geometry 2, Springer - 1987 [10] W H Greub, Linear Algebra, Springer - 1977 341 [...]... tập gồm hữu hạn chỉ số) là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại họ hệ số {xi }i∈I không đồng thời bằng 0 sao cho ni=1 xi αi = 0 ii) Hệ con của hệ véctơ độc lập tuyến tính là một hệ véctơ độc lập tuyến Phần I: Đại số tuyến tính 33 tính iii) Hệ véctơ chứa hệ phụ thuộc tuyến tính thì phụ thuộc tuyến tính iv) Hệ véctơ {αi } (1 ≤ i ≤ n) phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi: - Nếu n = 1 thì α1 = 0,... véctơ có tính chất phân phối đối với phép cộng vô hướng, phân phối đối với phép cộng véctơ, và có tính chất kết hợp Ví dụ a) Tập hợp các véctơ "tự do" trong không gian với phép toán cộng các véctơ và nhân một số thực với một véctơ đã học trong chương trình toán phổ thông trung học tạo thành một không gian véctơ thực b) Tập hợp C các số phức với phép cộng hai số phức và phép nhân một số thực với một số phức... khác, trường C là một trường đóng đại số 1.3.2 Các dạng biểu diễn của số phức Xét z = (a, b) ∈ C 1 Dạng biểu diễn đại số của số phức z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0) · (0, 1) = a + b · i, trong đó a gọi là phần thực của z, ký hiệu là a = Rez, b gọi là phần ảo của z, ký hiệu là a = Imz Phần I: Đại số tuyến tính 19 2 Dạng biểu diễn hình học của số phức Các số phức có thể biểu diễn bởi các... thị tuyến tính được theo (2), các véctơ của (2) biểu thị tuyến tính được theo (3) thì các véctơ của (1) biểu thị tuyến tính được theo (3) Hệ véctơ {αi } (1 ≤ i ≤ n) gọi là độc lập tuyến tính nếu kéo theo xi = 0 (1 ≤ i ≤ n) n i=1 xi α i = 0 Hệ véctơ {αi } (1 ≤ i ≤ n) gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu nó không độc lập tuyến tính 2.2.2 Mệnh đề i) Hệ hữu hạn véctơ {αi }i∈I (I là tập gồm hữu hạn chỉ số) là... −−→ −−→ Nếu OM là véctơ biểu thị số phức α thì véctơ OM biểu thị số phức −−→ α ¯ là véctơ đối xứng với OM qua trục Ox Phần I: Đại số tuyến tính 21 y ✻ ✟ ✟✟ ✟ ❍❍ ❍❍ 0 ❍ ❍❍ ❍ ❍❍ ❍ ✟✟ ✟ ✟ ✟ ✟✟ M α = a + bi ✲ a x α ¯ = a − bi M’ Nhận xét: Số phức liên hợp của α ¯ lại là α, và số phức liên hợp của một số thực là chính nó Từ định nghĩa của số phức liên hợp ta suy ra các tính chất sau: i) | α ¯ |=| α... của hệ phải biểu thị tuyến tính qua các véctơ còn lại của hệ v) Nếu hệ {αi } (1 ≤ i ≤ n) là độc lập tuyến tính thì hệ {α1 , · · · , αn , β} là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi véctơ β biểu thị tuyến tính theo hệ {αi } (1 ≤ i ≤ n) Ngoài ra cách biểu thị đó là duy nhất Chứng minh i) Suy ra trực tiếp từ định nghĩa ii) Giả sử hệ hữu hạn véctơ {αi }i∈I (1) là độc lập tuyến tính và {αj }j∈J , J ⊂ I (2)... phụ thuộc tuyến tính nếu chúng đồng phẳng, hệ bốn véctơ bất kỳ đều phụ thuộc tuyến tính 3) Hệ hai véctơ α1 = (1, 2, −3), α2 = (−2, −4, 6) trong không gian véctơ R3 là phụ thuộc tuyến tính vì α2 = −2 · α1 4) Trong không gian véctơ thực C các số phức hai véctơ {1, i} lập thành một hệ độc lập tuyến tính vì a · 1 + b · i = 0 khi và chỉ khi a = b = 0 Ngoài ra trong không gian đó, bất kỳ hai số thực nào... khi a = b = 0 Ngoài ra trong không gian đó, bất kỳ hai số thực nào đều phụ thuộc tuyến tính vì nếu a, b là hai số thực bất kỳ luôn tồn tại một số thực k sao cho a = k · b Phần I: Đại số tuyến tính 35 BÀI TẬP II.6 Xét xem trong không gian C[a, b] các hàm số thực liên tục trên đoạn [a, b], hệ véctơ nào sau đây độc lập tuyến tính: a) (t − 1)2 , (t − 2)2 , (t − 3)2 b) 1, et , e−t c) sin x, sin 2x, · ·... Hạng của một hệ hữu hạn véctơ Hệ con độc lập tuyến tính tối đại của một hệ véctơ 2.3.1 Định nghĩa Cho hệ véctơ {αi }, i ∈ I trong K-không gian véctơ V Hệ con {αj }, j ∈ J ⊂ I gọi là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ đã cho nếu nó là hệ độc lập tuyến tính và nếu thêm bất cứ véctơ αk nào với k ∈ I \ J vào hệ con đó thì ta đều được một hệ phụ thuộc tuyến tính 36 CHƯƠNG 2 KHÔNG GIAN VÉCTƠ 2.3.2 Mệnh... }, j ∈ J không phải là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ {αi }, i ∈ I thì tồn tại véctơ αi0 , i0 ∈ I \ J không biểu thị tuyến tính qua hệ {αj }, j ∈ J Dễ thấy hệ {αj }, j ∈ J0 = J ∪ {i0 } là độc lập tuyến tính Nếu hệ này chưa phải là hệ con độc lập tuyến tính tối đại thì ta lại làm tương tự như trên Do số phần tử của hệ véctơ ban đầu hữu hạn nên sau một số hữu hạn bước ta xây dựng được hệ phải