Đang tải... (xem toàn văn)
(NB)Giáo trình Đại số tuyến tính: Phần 1 gồm có 2 chương, cung cấp cho người học những kiến thức như: Ma trận - Định thức; Hệ phương trình tuyến tính. Mời các bạn cùng tham khảo!
TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHAN THIẾT KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN GIÁO TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH LƯU HÀNH NỘI BỘ MỤC LỤC Chương 1: Ma trận - Định thức 01 Ma Trận - 01 Định thức - 16 Ma trận nghịch đảo 20 Hạng ma trận 25 Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính - 29 Khái niệm chung 29 Hệ Cramer 30 Hệ phương trình tuyến tính tổng qt 32 Hệ phương trình tuyến tính - 35 Chương 3: Không gian vectơ 39 Các khái niệm - 39 Cơ sở số chiều không gian vec-tơ 44 Hạng hệ vec-tơ 48 Chương 4: Ánh xạ tuyến tính 57 Các khái niệm - 57 Ảnh nhân ánh xạ tuyến tính - 59 Ma trận ánh xạ tuyến tính - 60 Vec-tơ riêng trị riêng 64 Chéo hóa ma trận 67 Bài tập ôn 74 Chương MA TRẬN - ĐỊNH THỨC MA TRẬN 1.1 Định nghóa ma trận Một bảng số hình chữ nhật gồm m dòng n cột ⎛ a11 ⎜ ⎜a A = ⎜ 21 ⎜ ⎜a ⎝ m1 a12 a 22 a m2 a1n ⎞ ⎟ a 2n ⎟ ⎟ ⎟ a mn ⎟⎠ ( ) hay A = ⎡⎣a ij ⎤⎦ , m× n a ij số hạng nằm dòng thứ i , cột thứ j ma trận A gọi ma trận cấp m × n , ký hiệu A = a ij m×n Tập hợp tất ma trận cấp m × n ký hiệu Mm×n Với A ∈ Mm×n , số hạng nằm dòng thứ i , cột thứ j , i = 1, m , j = 1, n , A ký hiệu ⎡⎣ A ⎤⎦ ij ⎛ 3⎞ Ví dụ Với A = ⎜ ⎟ ∈ M2×3 , ⎝ ⎠ [ A ]11 = 1; [ A ]12 = 2; [ A ]13 = 3; [ A ]21 = 4; [ A ]22 = 5; [ A ]23 = Chú ý việc xử lý bảng công cụ quen thuộc đời sống Chẳng hạn, để ghi số lượng bán mặt hàng ngày, ta dùng số Số lượng bán n mặt hàng ngày biểu diễn n số mà ta gọi vectơ n – chiều, hay ma trận cấp × n Số lượng bán n mặt hàng m ngày biểu diễn m vectơ n – chiều, hay ma trận cấp m × n Trong xử lý ảnh, ảnh đen trắng biểu diễn ma trận bít , Trong thống kê ứng dụng, khảo sát biến phụ thuộc theo k biến độc lập, người ta thu thập n số liệu, số liệu gồm k + số giá trị k biến độc lập giá trị biến phụ thuộc tương ứng Một số liệu tạo thành ma trận cấp n × ( k + 1) , Giống khái niệm khác toán học, ma trận biểu diễn nhiều đối tượng khác toán ứng dụng cụ thể Về mặt toán học, ta xét biểu diễn quan trọng ma trận việc khảo sát hệ phương trình tuyến tính, hệ thống gồm nhiều phương trình bậc theo nhiều ẩn số Xét hệ phương trình ⎧ x − y + z = ⎪ ⎨ − x + 2y + z = ⎪−2x + 3y + z = ⎩ (1.1) x, y, z ẩn số cần tìm Vai trò ký hiệu ẩn x, y, z ý nghóa định Chẳng hạn, hệ phương trình viết lại thành ⎧ x1 ⎪ ⎨ − x1 ⎪−2x ⎩ − x2 + x3 + 2x2 + x3 + 3x + x3 = (1.2) = = với ẩn laø x1 , x , x , Nói khác đi, hệ phương trình tuyến tính hoàn toàn xác định số hạng kèm theo ẩn mà ta gọi hệ số số hạng vế phải mà ta gọi hệ số tự Cụ thể, hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình theo n ẩn số hoàn toàn xác định ma trận cấp m × n hệ số ma trận cấp m × hệ số tự Chẳng hạn, hệ phương trình (1.1) hay (1.2) hoàn toàn xác định ma trận ⎛ −1 ⎞ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 ⎟ vaø B = ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜7⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Ngoài ra, ta gom chung hai ma trận lại ma trận, gọi ma trận hệ số mở rộng ⎛ −1 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 ⎟ hay A B = ⎜ −1 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( ) 1.2 Ma trận Hai ma trận A B gọi chúng có cấp số hạng tương ứng chúng đôi một, nghóa ⎡⎣ A ⎤⎦ = ⎡⎣ B⎤⎦ với ij i, j Ví dụ Cho hai ma trận A, B ∈ M2×3 , ⎛p q 4⎞ ⎛1 ⎞ A=⎜ ⎟, B = ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝s 2⎠ Ta coù A = B p = , q = vaø s = ij 1.3 Các ma trận đặc biệt i) Ma trận không : ma trận mà số hạng số Ma trận không cấp m × n ký hiệu m×n hay vắn tắt ⎛ 0 0⎞ Ví dụ 02×3 = ⎜ ⎟ ma trận không cấp × ⎝ 0 0⎠ ii) Ma trận vuông : ma trận có số dòng số cột Ma trận vuông cấp n × n gọi tắt ma trận vuông cấp n Tập hợp tất ma trận vuông cấp n ký hiệu Mn Với ma trận vuông A ∈ Mn , số hạng ⎡⎣ A ⎤⎦ , 11 ⎡⎣ A ⎤⎦ , , ⎡⎣ A ⎤⎦ gọi nằm đường chéo (chính) A Các số hạng 22 nn ⎡⎣ A ⎤⎦ , ⎡⎣ A ⎤⎦ , , ⎡⎣ A ⎤⎦ gọi nằm đường chéo phụ A n1 n −1,2 1n Ví dụ Ma trận ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜0 ⎟ ⎜ −5 ⎟ ⎝ ⎠ laø ma trận vuông cấp Các số hạng nằm đường chéo : ⎣⎡ A ⎦⎤ = , ⎡⎣ A ⎤⎦ = , ⎡⎣ A ⎤⎦ = −5 11 22 33 Các số hạng nằm đường chéo phụ : ⎣⎡ A ⎦⎤ = , ⎡⎣ A ⎤⎦ = , ⎡⎣ A ⎤⎦ = 31 22 13 iii) Ma trận chéo cấp n : ma trận vuông cấp n mà số hạng không nằm đường chéo số Ví dụ Ma trận ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ −7 ⎟ ⎜ 0 0⎟ ⎝ ⎠ laø ma trận chéo cấp iv) Ma trận đơn vị cấp n : ma trận chéo cấp n , ký hiệu In , mà số hạng nằm đường chéo Để biểu diễn ma trận đơn vị, người ta dùng ký hieäu Kronecker : ⎧1 δij = ⎨ ⎩0 khi i= j i≠ j đó, ma trận đơn vị cấp n viết dạng ⎛1 ⎜ In = ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝0 ⎞ ⎟ ⎟ = δij ⎟ ⎟ ⎟⎠ ( ) i, j =1,n Ví dụ Ma trận đơn vị cấp cấp ⎛ 0⎞ ⎛1 0⎞ ⎜ ⎟ I2 = ⎜ ⎟ ; I3 = ⎜ ⎟ ⎝0 1⎠ ⎜0 1⎟ ⎝ ⎠ v) Ma traän tam giác (dưới) : ma trận vuông mà phần tử phía (ở phía trên) đường chéo Ví dụ Ma trận ⎛ b11 ⎜ ⎜ B=⎜ ⎜ ⎜ ⎝ b12 b22 b1n ⎞ ⎟ b2n ⎟ ⎟ ⎟ bnn ⎟⎠ laø ma trận tam giác ma trận ⎛ c11 ⎜ ⎜c C = ⎜ 21 ⎜ ⎜c ⎝ n1 c22 cn2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ cnn ⎟⎠ ma trận tam giác vi) Ma trận có dòng gọi ma trận dòng, ma trận có cột gọi ma trận cột Các ma trận dòng ma trận cột xem vectơ gọi vectơ dòng vectơ cột Khi đó, ma trận xem tạo nhiều vectơ dòng hay tạo nhiều vectơ cột Với ma trận A ∈ Mm×n , dòng thứ i A gồm phần tử ⎡⎣ A ⎤⎦ , ⎡⎣ A ⎤⎦ , , ⎡⎣ A ⎤⎦ ký hiệu ⎡⎣ A ⎤⎦ ; cột i1 i2 in i j thứ j gồm phần tử ⎡⎣ A ⎤⎦ , ⎡⎣ A ⎤⎦ , , ⎡⎣ A ⎤⎦ , ký hiệu ⎡⎣ A ⎤⎦ 1j 2j mj Ví dụ i) Ma trận A = ( −1) ma trận dòng ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ii) Ma traän B = ⎜ ⎟ ma trận cột ⎜ −1 ⎟ ⎝ ⎠ iii) Ma traän ⎛1 1⎞ ⎜ ⎟ C = ⎜ −1 ⎟ ∈ M3×4 ⎜ −1 −1 ⎟ ⎝ ⎠ tạo vectơ dòng ⎡⎣C ⎤⎦ = (1 1) ; ⎡⎣C ⎤⎦ = ( −1 ) ; ⎣⎡C ⎦⎤ = ( −1 −1) , hay tạo vectơ cột ⎛1⎞ ⎛2⎞ ⎛ 0⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎡⎣C⎤⎦ = ⎜ ⎟ ; ⎡⎣C⎤⎦ = ⎜ −1 ⎟ ; ⎡⎣C⎤⎦ = ⎜ ⎟ ; ⎡⎣C⎤⎦ = ⎜ ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜1⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1.3 Các phép toán ma trận 1.3.1 Phép cộng hai ma trận nhân số với ma trận Với hai ma trận A, B ∈ Mm×n với số thực h ∈ , ta định nghóa : Ma trận tổng A B , ký hiệu A + B , ma trận cấp m × n xác định ⎡⎣ A + B ⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ + ⎡⎣ B⎤⎦ với i, j ij ij ij Ma trận tích số h với A , ký hiệu hA , ma trận cấp m × n xác định ⎡⎣ hA ⎤⎦ = h ⎡⎣ A ⎤⎦ với i, j ij ij ⎛ 3⎞ ⎛ −1 ⎞ Ví dụ Với A = ⎜ ⎟, B = ⎜ ⎟ ⎝ −1 −1 ⎠ ⎝ 6⎠ ⎛2 4⎞ ⎛2 ⎞ ⎛ −4 −4 ⎞ A+B=⎜ ⎟ , 2A = ⎜ ⎟ vaø −4B = ⎜ ⎟ ⎝3 5⎠ ⎝ 10 12 ⎠ ⎝ −4 ⎠ ∗ Chuù ý : Hai ma trận cộng với chúng có cấp ma trận tổng có cấp cấp hai ma trận cho Ma trận −1 A , ký hiệu − A , ( ) gọi ma trận đối ma trận A Từ đó, ta định nghóa phép trừ ma trận A − B ≡ A + ( −B ) = A + ( −1) B Tính chất Với ma trận A, B, C ∈ Mm×n h, k ∈ (i) A + B = B + A (tính giao hoán), (ii) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (tính kết hợp), (iii) A + = A ( : ma trận không cấp m × n ), (iv) A + ( − A ) = , , ta coù (v) h ( kA ) = ( hk ) A , (vi) h ( A + B ) = hA + hB , (vii) ( h + k ) A = hA + kA , (viii) 1.A = A Các tính chất kiểm chứng cách dễ dàng coi tập Tập hợp M m×n với hai phép cộng hai ma trận phép nhân ma trận với số thỏa tính chất nêu nên sau ta nói có cấu trúc không gian vectơ (xem chương 3) 1.3.2 Phép nhân hai ma trận Cho hai ma trận A ∈ Mm×n , B ∈ Mn×p Ta định nghóa ma trận tích hai ma trận A, B ma trận cấp m × p , ký hiệu AB , xác định ⎡⎣ AB⎤⎦ = ik n ∑ ⎡⎣ A ⎤⎦ ij j =1 ⎡⎣B⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ ⎡⎣ B⎤⎦ + ⎡⎣ A ⎤⎦ ⎡⎣ B⎤⎦ + + ⎡⎣ A ⎤⎦ ⎡⎣ B⎤⎦ jk i1 1k i2 2k in nk với i = 1, m , k = 1, p Trong công thức tính số hạng ⎡⎣ AB ⎤⎦ ma trận tích AB , số hạng ik ⎡⎣ A ⎤⎦ , , ⎡⎣ A ⎤⎦ tạo thành dòng thứ i , ⎡⎣ A ⎤⎦ , ma trận A số haïng i2 in i k ⎡⎣ A ⎤⎦ , i1 ⎡⎣ B ⎤⎦ , 1k ⎡⎣ B ⎤⎦ , , ⎡⎣ B ⎤⎦ tạo thành cột thứ k , ⎡⎣ B ⎤⎦ , ma trận B Khi đó, số hạng ⎡⎣ AB ⎤⎦ 2k nk ik k tích vô hướng hai vectơ ⎡⎣ A ⎤⎦ ⎡⎣B ⎤⎦ i Ví dụ 10 Cho ⎛ 2⎞ ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 ⎟ ∈ M3×2 , B = ⎜ ⎟ ∈ M2×2 − ⎝ ⎠ ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠ Các số hạng ma trận AB ∈ M3×2 ⎡⎣ AB⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣ B⎤⎦ = ⋅ + ⋅ ( −2) = − , 11 ⎡⎣ AB⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣B⎤⎦ = ⋅ + ⋅ = , 12 1 ⎡⎣ AB⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣B⎤⎦ = − ⋅ + ⋅ ( −2 ) = − , 21 2 ⎡⎣ AB⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣B⎤⎦ = − ⋅ + ⋅ = − , 22 ⎡⎣ AB⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣B⎤⎦ = ⋅ + ⋅ ( −2 ) = − , 31 ⎡⎣ AB⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣ B⎤⎦ = ⋅ + ⋅ = , 32 ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ AB = ⎜ −4 −2 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ Chú ý với phép nhân ma trận vậy, ta biểu diễn hệ phương trình tuyến tính phương trình ma trận Chẳng hạn, trở lại với hệ phương trình tuyến tính ⎧ x1 ⎪ ⎨ − x1 ⎪−2x ⎩ − x2 + 2x2 + 3x + x3 = + x3 = + x3 (1.3) = với ma trận hệ số ma trận hệ số tự do, ⎛ 2⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 ⎟ vaø B = ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜7⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ Gọi X = ⎜ x2 ⎟ ma trận ẩn số Phương trình (1.3) viết lại thành ⎜x ⎟ ⎝ 3⎠ A⋅X = B (1.4) Tính chất (i) Tính kết hợp : Với ma trận A ∈ Mm×n , B ∈ Mn×p C ∈ Mp×q , ta có A ( BC ) = ( AB ) C (ii) Tính phân bố : Với ma trận A, B ∈ Mm×n C ∈ Mn×p , ta có ( A + B) C = AC + BC , với ma trận C ∈ Mm×n A, B ∈ Mn×p , ta coù C ( A + B ) = CA + CB (iii) Với ma trận A ∈ Mm×n , B ∈ Mn×p h ∈ , ta có h ( AB ) = ( hA ) B = A ( hB ) * Chú ý i) Để nhân ma trận A với ma trận B , ta cần điều kiện số cột ma trận A phải số dòng ma trận B : Số dòng ma trận tích AB số dòng ma trận A Số cột ma trận tích AB số cột ma trận B Do đó, với hai ma trận A, B cho trước, không thiết tích AB tồn tích AB tồn tại, tích BA không thiết tồn ii) Tích hai ma trận nói chung tính giao hoán, nghóa tổng quát ta có AB ≠ BA Ví dụ 11 Với hai ma trận ⎛0 1⎞ ⎛ 0⎞ A=⎜ ⎟, B = ⎜ ⎟, ⎝ 0⎠ ⎝1 0⎠ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ta coù AB = ⎜ ⎟ ≠ BA = ⎜ ⎟ ⎝ 0⎠ ⎝0 1⎠ Trong trường hợp hai ma trận tích AB BA tồn thỏa đẳng thức AB = BA , ta nói hai ma trận A B giao hoán với Chẳng hạn, ma trận đơn vị In giao hoán với ma trận vuông A cấp n In A = AIn = A Tổng quát, B ma trận cấp m × n , ta coù Im B = BIn = B , Im , In ma trận đơn vị cấp m n Ví duï 12 Cho ⎛ 3⎞ A=⎜ ⎟ ⎝ 6⎠ Ta coù ⎛ 0⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ I2 A = ⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 6⎠ ⎝ 6⎠ ⎛1 0⎞ ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 3⎞ AI3 = ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ 6⎠ ⎜ 0 ⎟ ⎝ 6⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 6⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠ coù r ( A ) = , det A = A có định thức ⎛1 ⎜ ⎜0 ii) Xét ma trận B = ⎜ ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝ 2 ≠ 0 2⎞ ⎟ 4⎟ 0 1⎟ ⎟ 0 0 0⎟ 0 0 ⎟⎠ Ta thấy tất định thức cấp cấp B có định thức cấp khác 0, = ≠ 0, 0 vaäy r ( A ) = 4.2 Tính chất i) Hạng ma trận không thay đổi qua phép biến đổi sơ cấp, nghóa B ma trận nhận từ A sau hữu hạn phép biến đổi sơ cấp rank ( A ) = rank ( B ) ii) Hạng ma trận không thay đổi qua phép chuyển vị, nghóa ( ) rank ( A ) = rank A T iii) Nếu A ma trận bậc thang theo dòng hạng A số dòng khác không ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ Ví dụ 33 Cho ma traän A = ⎜ −1 ⎟ Tính rank ( A ) ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠ Ta có định thức cấp Do đó, rank ( A ) = −1 ≠ , coøn định thức cấp A Chú ý Trong ví dụ trên, ta dùng định nghóa để tìm rank ( A ) Tuy nhiên, phương pháp sử dụng thực tế đòi hỏi phải tính nhiều định thức Do đó, người ta thường sử dụng tính chất iii) để tìm rank ( A ) , 24 nghóa dùng phép biến đổi sơ cấp để đưa ma trận A dạng ma trận bậc thang theo dòng B Khi đó, rank ( A ) số dòng khác không B ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ Ví dụ 34 Cho ma traän A = ⎜ −1 ⎟ Tính rank ( A ) ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠ Thực phép biến đổi sơ cấp ma trận A , ta ⎛ −1 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ( ) : = ( ) + (1 ) → =B ⎜ −1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜ ⎟ ( 3):= ( 3) − 3(1) ⎜ −3 ⎟ ⎜ 0 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Ma trận B ma trận bậc thang theo dòng có dòng khác không nên rank ( A ) = rank ( B ) = Bài tập ⎛ −2 ⎞ ⎛ Cho A = ⎜ ⎟ vaø B = ⎜ ⎝ −6 ⎠ ⎝ −7 ⎛ −1 ⎞ ⎛ −2 Cho A = ⎜ ⎟, B = ⎜ ⎝ −4 ⎠ ⎝ −1 2⎞ ⎟ Tìm 2A − 3B 8⎠ ⎛ −2 ⎞ −3 ⎞ ⎟ C = ⎜ ⎟ Tìm 3A + 4B − 2C 5⎠ ⎝ −1 −1 ⎠ ⎛ 5⎞ ⎛1 3⎞ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Cho A = ⎜ −1 ⎟ , B = ⎜ ⎟ vaø C = ⎜ ⎟ Tìm 5A − 3B + 2C ⎜ 2⎟ ⎜ −3 − ⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ −1 ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ Cho A = ⎜ ⎟ B = ⎜ ⎟ Tìm AB , BA ⎝ 0⎠ ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 6⎞ ⎛ −3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Cho A = ⎜ −4 ⎟ vaø B = ⎜ ⎟ Tìm AB , BA ⎜1 2⎟ ⎜ −5 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 5⎞ ⎛ −4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Cho A = ⎜ −5 ⎟ vaø B = ⎜ −1 ⎟ Tìm AB , BA ⎜ 5⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ −1 ⎞ ⎛ 0⎞ T T Cho hai ma traän A = ⎜ ⎟, B = ⎜ ⎟ Tính 3A ± 2B , A A vaø AA ⎝ −4 ⎠ ⎝ −3 2 ⎠ ⎛ −2 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ Cho A = ⎜ ⎟ , B = ⎜ ⎟ vaø C = ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 1⎠ ⎜ −1 ⎟ ⎝ ⎠ 25 a Có thể thành lập tích cặp ma trận ma trận b Tính AB , ABC c Tính ( AB ) , Cn với n ∈ d Tìm ma trận chuyển vị A ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ Cho A = ⎜ 0 ⎟ Tính A vaø A ⎜ 0 0⎟ ⎝ ⎠ 10 Cho ma traän ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ −8 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ Tìm ma trận X cho 3A + 2X = I3 11 Xác định k cho k k = 2k 12 Tính định thức cấp sau a) b) sin x cos x − cos x sin x 13 Tính định thức cấp sau 1 a) −1 −1 − −2 −1 e) i) 1 b) 1 1 −3 −2 2 f) −2 1 −3 −1 −3 1 c) −2 −3 −2 −4 d) −1 3 g) −2 −1 h) j) −4 14 Tính định thức cấp sau a a) b c d 0 x 1 b) x 1 1 x 1 1 x 1 c) 1 1 1 1 26 1 0 d) 1 0 1 0 1 15 Tính định thức cấp sau x a b c y 0 d e z f g h k u l 0 0 v 16 Tìm ma trận nghịch đảo ma trận A , có, ⎛ 7⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a) A = ⎜ 2 ⎟ b) A = ⎜ −1 ⎟ c) A = ⎜ 2 ⎟ ⎜ −7 ⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎜1 3⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ −1 ⎞ ⎛ −3 ⎞ ⎛ 2 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ e) A = ⎜ −1 ⎟ f) A = ⎜ −2 ⎟ g) A = ⎜ −1 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ −1 ⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ i) A = ⎜ ⎟ j) A = ⎜ ⎟ ⎜0 1⎟ ⎜ 6⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 17 Tìm ma trận X cho XA = B , với ⎛ −3 ⎞ ⎜ ⎟ A=⎜ 1 ⎟ ⎜ −3 −4 ⎟ ⎝ ⎠ vaø ⎛ −3 ⎞ ⎜ ⎟ d) A = ⎜ ⎟ ⎜0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ −1 −1 ⎞ ⎜ ⎟ h) A = ⎜ −1 −1 ⎟ ⎜2 0⎟ ⎝ ⎠ ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ B = ⎜ −8 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ 18 Giải phương trình ma trận sau ⎛1 2⎞ ⎛ 5⎞ a) ⎜ ⎟X = ⎜ ⎟ ⎝3 4⎠ ⎝ 9⎠ ⎛ −1 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 14 16 ⎞ c) ⎜ ⎟X⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ −2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 10 ⎠ ⎛ 13 −8 −12 ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ ⎜ e) X ⎜ 12 −7 −12 ⎟ = ⎜ ⎜ −4 − ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ 19 Tìm hạng ma traän ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ a) ⎜ −1 ⎟ ⎜ −3 −2 ⎟ ⎝ ⎠ 3⎞ ⎟ 6⎟ ⎟⎠ sau ⎛ −2 ⎞ ⎛ − ⎞ b) X ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ −4 ⎠ ⎝ −5 ⎠ ⎛ −3 ⎞ ⎛ −3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ d) ⎜ −4 ⎟ X = ⎜ 10 ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜ 10 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ −2 ⎞ ⎛7 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ f) ⎜ −4 ⎟ X = ⎜ ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜1 5⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 ⎜ −1 −1 b) ⎜ ⎜5 ⎜⎜ ⎝ 10 27 1⎞ ⎟ 0⎟ 1⎟ ⎟ ⎟⎠ ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ −1 −2 −3 ⎟ ⎜ c) ⎜ −1 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ −3 −8 ⎠ ⎛3 ⎜ d) ⎜ ⎜1 ⎜⎜ ⎝ 12 20 Bieän −1 −1 −1 − −6 −2 −2 luaän theo m ⎛ 1 −3 ⎞ ⎜ ⎟ a) ⎜ m ⎟ ⎜1 m ⎟ ⎝ ⎠ ⎛3 1 ⎜ m 10 c) ⎜ ⎜ 17 ⎜⎜ ⎝2 4⎞ ⎟ 1⎟ 3⎟ ⎟ ⎟⎠ ⎛ −1 −1 ⎞ ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ −1 ⎟ ⎜ e) ⎜ −1 −2 −7 ⎟ −9 ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ −10 ⎠ ⎝ −1 −1 ⎠ hạng ma trận sau ⎛0 ⎜ f) ⎜ ⎜3 ⎜⎜ ⎝4 −3 −5 ⎞ ⎟ −2 − ⎟ −5 12 ⎟ ⎟ 5 ⎟⎠ ⎛ m 5m −m ⎞ ⎜ ⎟ m 10m ⎟ b) ⎜ 2m ⎜ − m −2m −3m ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ −1 2 ⎟ d) ⎜ ⎜ 1 2⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ −2 −1 m − ⎠ 28 Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHÁI NIỆM CHUNG 1.1 Định nghóa Hệ phương trình tuyến tính hệ thống gồm m phương trình bậc theo n ẩn số có dạng tổng quát sau ⎧ a11 x1 + a12 x2 + ⎪ ⎪ a 21 x1 + a 22 x + ⎨ ⎪ ⎪a x + a x + ⎩ m1 m2 a1n x n + a 2n x n + + a mn xn x1 , x2 , … , xn ẩn cần tìm, a i j ∈ = = b1 b2 = bm (gọi hệ số) bi ∈ (1.1) (gọi hệ số tự do), i = 1, m , j = 1, n Đặt ⎛ a11 ⎜ ⎜a A = ⎜ 21 ⎜ ⎜a ⎝ m1 a12 ⎛ x1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ a1n ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a 2n ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ b2 ⎟ ⎟, X = ⎜ ⎟, B = ⎜ ⎟, ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜x ⎟ ⎜b ⎟ a mn ⎟⎠ ⎝ n⎠ ⎝ m⎠ a 22 a m2 ⎛ a11 ⎜ ⎜a A = A B = ⎜ 21 ⎜ ⎜a ⎝ m1 ( ) a12 a 22 a m2 a1n b1 ⎞ ⎟ a 2n b2 ⎟ ⎟, ⎟ a mn bm ⎟⎠ ta gọi A ma trận hệ số, A ma trận bổ sung (ma trận hệ số mở rộng), X ma trận ẩn B ma trận hệ số tự Khi đó, hệ phương trình tuyến tính (1.1) viết lại dạng phương trình ma trận AX = B 1.2 Định nghóa i) Ta gọi n thứ tự ( c1 , c2 ,… , cn ) ∈ n nghiệm hệ (1.1) ta thay x1 = c1 , x = c2 , , x n = cn vào (1.1) tất đẳng thức (1.1) thỏa ii) Hai hệ phương trình tuyến tính gọi tương đương chúng có chung tất nghiệm : nghiệm hệ nghiệm hệ ngược lại Chú ý Nếu ta đổi thứ tự hai phương trình, nhân hai vế phương trình với số khác 0, hay thay phương trình phương trình cộng với số nhân với phương trình khác, ta nhận hệ phương trình tương 29 đương với hệ ban đầu Do cách xét ma trận hệ số mở rộng, phép biến đổi sơ cấp dòng ma trận cho ta ma trận hệ số mở rộng hệ phương trình tuyến tính tương đương với hệ ban đầu HỆ CRAMER 2.1 Định nghóa Hệ Cramer hệ phương trình tuyến tính có số phương trình số ẩn số định thức ma trận hệ số khác Ví dụ Hệ phương trình ⎧ − x1 ⎪ ⎨ 3x1 ⎪−2x ⎩ + 2x2 + − = −2 x2 + x3 x2 = = hệ có số phương trình số ẩn định thức ma trận hệ số −1 1 = −5 ≠ −2 − nên hệ Cramer Viết hệ Cramer dạng ma trận AX = B Vì ma trận hệ số A có định thức khác nên khả nghịch hệ Cramer luôn có nghiệm giải phương pháp sau 2.2 Các phương pháp giải hệ Cramer AX = B i) Phương pháp Dùng ma trận nghịch đảo A −1 để giải phương trình ma traän, AX = B ⇔ X = A −1B ii) Phương pháp Phương pháp Gauss : dùng phép biến đổi sơ cấp dòng biến ma trận bổ sung A = A B thành ma trận A ′ = A ′ B′ , ( ( ) ( ) ( ) ) Các phép biến đổi sơ cấp A = A B ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → A ′ = A ′ B′ , cho A ′ ma trận tam giác (có phần tử đường chéo khác 0) Ma trận A ′ ma trận bổ sung hệ phương trình tuyến tính tương đương với hệ ban đầu hệ dễ dàng giải cách giải phương trình từ lên iii) Phương pháp Dùng định thức (công thức Cramer) Xét A i , i = 1, n ma trận nhận từ A cách thay cột thứ i cột hệ số tự Khi đó, hệ Cramer có nghiệm x i = 30 det A i det A , i = 1, n Ví dụ Xét hệ phương trình tuyến tính ⎧ x1 ⎪ ⎨ 2x1 ⎪−7x ⎩ + 3x + 7x = x2 + 2x3 = + + x2 + 4x = i) Dùng ma trận nghịch đảo A −1 : Ma trận hệ số ⎛ 7⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 2⎟ ⎜ −7 ⎟ ⎝ ⎠ có định thức A ≠ nên khả nghịch, A −1 ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 22 −53 −12 ⎟ ⎜ 22 ⎟⎠ ⎝ nghiệm hệ xác định ⎛ x1 ⎞ ⎛ −2 ⎧ x1 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ X = A −1B ⇔ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 22 −53 −12 ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ 10 ⎟ ⇔ ⎨ x2 ⎪ ⎜ x ⎟ ⎜ 22 ⎟⎠ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎩ x3 = −1 = 10 = −4 ii) Duøng phép biến đổi sơ cấp dòng Biến đổi ⎛1 ⎛ 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎞ 22 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (3): = (3) + (2) (2):= (2) − 2(1) → − − − ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯ → − − − A = ⎜ 2 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 12 12 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (3):= (3) + 7(1) ⎜0 −4⎟ ⎜ −7 ⎟ ⎜ 22 53 ⎟ 5⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ta nhaän hệ phương trình tương đương ⎧ x1 ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎩⎪ + 3x + −5x 7x − 12x3 x3 = = −2 = − 45 ⎧ x1 ⎪ ⇔ ⎨x2 ⎪x ⎩ = −1 = 10 = −4 iii) Dùng định thức 7 det A = 2 = −1 , det A1 = = , −7 1 1 det A = 2 = −10 , det A = = −7 −7 1 31 Nghiệm hệ x1 = det A det A1 det A = −4 = −1 ; x = = 10 ; x = det A det A det A HEÄ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT Đối với hệ phương trình tuyến tính tổng quát số phương trình khác số ẩn hay số phương trình số ẩn mà định thức ma trận hệ số người ta giải phương pháp Gauss Phương pháp Gauss phương pháp dùng phép biến đổi sơ cấp dòng để chuyển ma trận hệ số mở rộng A = A B thành ma trận A ′ = A ′ B′ cho A ′ ma trận bậc thang theo dòng ( ) ( ) Bấy ma trận A ′ ma trận hệ số mở rộng hệ phương trình tuyến tính tương đương với hệ ban đầu ta có khả sau Khả Ma trận A ′ có dòng với hệ số tự tương ứng khác 0, nghóa ma trận A ′ có dòng dạng 0 b , b ≠ Dòng tương ( ) ứng với phương trình 0x1 + 0x + + 0x n = b Phương trình vô nghiệm nên hệ vô nghiệm Khả Mọi dòng A ′ có hệ số tự tương ứng Mỗi dòng tương ứng với phương trình theo n ẩn, nhận giá trị ẩn làm nghiệm nên ta bỏ mà không làm nghiệm hệ Khi đó, bậc thang A′ , ta chọn ẩn (với hệ số tương ứng khác 0) mà ta gọi ẩn sở, ẩn lại trở thành ẩn tự Cho ẩn tự giá trị tùy ý chuyển vế phải, ta hệ Cramer theo ẩn sở (chính xác hơn, ma trận hệ số ẩn sở ma trận tam giác với phần tử đường chéo khác 0) ta dễ dàng giải hệ này, nghóa tính giá trị ẩn sở theo ẩn tự Chú ý hệ ẩn tự hệ có nghiệm, hệ có ẩn tự hệ có vô số nghiệm Từ đó, ta kết sau 3.1 Định lý Kronecker – Capelli Cho hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình theo n ẩn số, AX = B Với A = A B , ta có ( ) (i) Nếu rank A < rank A hệ vô nghiệm (ii) Nếu rank A = rank A = n hệ có nghiệm (iii) Nếu rank A = rank A < n hệ có vô số nghiệm Ví dụ Giải hệ phương trình tuyến tính sau 32 ⎧ x1 ⎪ ⎨4x1 ⎪2x ⎩ − 3x + 2x3 − x4 = x2 + 3x − 2x = + + 7x − x3 = −1 Thực phép biến đổi sơ cấp dòng ma trận hệ số mở rộng hệ ⎛ −3 −1 ⎞ ⎛ −3 −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ) : = ( ) − (1 ) ( → − − A = ⎜ −2 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 13 ⎜ ⎟ ( ) : = ( ) − (1 ) ⎜ − −1 ⎟ ⎜ 13 −5 −5 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ −3 ⎜0 ⎝ ( 3):= ( 3) − ( 2) → ⎜ 13 −5 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜ −1 ⎞ ⎟ −7 ⎟ , ⎟⎠ ta nhận hệ phương trình tương đương, dòng (0 0 02 ) cho ta phương trình 0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = Phương trình vô nghiệm, nên hệ cho vô nghiệm Ví dụ Giải hệ phương trình tuyến tính ⎧ x1 ⎪ ⎪2x1 ⎪ ⎨ x1 ⎪3x ⎪ ⎪2x ⎩ + x2 + 4x + 3x2 + 7x2 + 8x − x3 − 3x3 − 4x + 2x + 5x4 + 5x4 + 9x + 2x = = −1 = −3 = −14 = −22 Biến đổi ma trận hệ số mở rộng ⎛1 ⎜ ⎜2 A = ⎜1 ⎜ ⎜3 ⎜2 ⎝ −1 5 −3 −4 −2 ⎛1 ⎜ ( ): = ( 3) − ( ) ⎜0 ( ) := ( ) − ( ) ⎜ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ( ): = ( ) − 3( ) ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝ ⎛1 ⎞ ⎟ ⎜ ( 2):= ( 2) − 2(1) ⎜ −1 ⎟ ( ) : = ( ) − (1 ) →⎜ −3 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ( ) : = ( ) − (1 ) ⎜ ⎟ ( ) : = ( ) − (1 ) ⎜ −14 ⎟ ⎜0 −22 ⎟⎠ ⎝ 2 −1 1 −1 −1 −5 2 −1 −3 −4 −2 ⎛1 ⎞ ⎟ ⎜ −11 ⎟ ⎜ −1 ( ) := ( ) + ( ) ⎜ ⎟ → ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ( ) : = ( ) + ( 3) ⎜ 0 ⎟ −7 ⎟ ⎜0 0 ⎟ ⎜0 0 ⎠ ⎝ 33 ⎞ ⎟ −11 ⎟ −8 ⎟ ⎟ −29 ⎟ −33 ⎟⎠ 2 3 ⎞ ⎟ −11 ⎟ ⎟ ⎟ −4 ⎟ −4 ⎟⎠ ⎛1 ⎜ ⎜0 ( ): = ( ) − ( ) ⎜ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝ −1 0 0 ⎞ ⎟ −11 ⎟ ⎟, ⎟ −4 ⎟ ⎟⎠ 2 ta nhận hệ phương trình tương đương, với phương trình cuối có dạng 0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = Phương trình thỏa với giá trị x1 , x2 , x3 , x nên bỏ mà không làm thay đổi tập nghiệm hệ ta nhận ma trận bổ sung hệ phương trình tương đương ⎛1 ⎜ A′ = ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝ ⎞ ⎟ −11 ⎟ ⎟ ⎟ −4 ⎟⎠ 2 −1 1 0 Với ma trận này, ta hệ phương trình ⎧ x1 ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ x2 + 2x − x3 x3 + 2x4 x4 + = = −11 + 2x4 = 3x = −4 Giải phương trình hệ từ lên, ta nhận nghiệm ( 29 ; − 2; 17 ; − ) Ví dụ Giải hệ phương trình tuyến tính sau : ⎧ 3x1 ⎪ ⎪ x1 ⎨ ⎪ x1 ⎪12x ⎩ − − + x2 x2 x2 − 2x − x3 − 2x3 + 3x + x3 + 2x4 = = − 6x4 = −9 − 2x4 = −10 + 4x Bieán ñoåi ⎛ −1 −1 ⎜ −1 −2 A=⎜ ⎜ 1 −6 ⎜ ⎜ 12 −2 −2 ⎝ ⎛ −1 −2 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ( 2):= (1) ⎜ −1 −1 ⎯⎯⎯⎯⎯ → ⎜ 1 −6 −9 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 12 −2 −2 −10 ⎟⎠ ⎝ 34 ⎞ ⎟ ⎟ −9 ⎟ ⎟ −10 ⎟⎠ ⎛ −1 − −10 −10 ⎜ ⎜ 10 25 −50 ⎝ ⎛ −1 −2 ⎞ ( 3) : = ( ) − ( ) ⎟ ⎜ −14 ⎟ ( ):= ( ) − 5( 2) ⎜ −10 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜0 0 −14 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜0 0 −70 ⎟⎠ ⎝ ( 2):= ( 2) − 3(1) ⎜ ( 3):= ( 3) − (1) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎜ : = − 12 ( ) ( ) ( ) ⎜0 ⎞ ⎟ −14 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎠ Bỏ hai dòng cuối, ta ma trận bổ sung hệ phương trình tương đương ⎛ −1 −2 ⎜⎜ ⎝ −10 ⎞ ⎟ −14 ⎟⎠ Choïn x1 , x làm ẩn sở, x , x4 trở thành ẩn tự Cho x = m , x = n ; m, n ∈ Ta ⎧⎪ x1 ⎨ ⎪⎩ − ⎧⎪ x1 ⇔⎨ ⎪⎩ x2 x2 2x2 = + 2m − 4n = −14 − 5m + 10n = −2 − 12 m + n = −7 − 52 m + 5n Hệ phương trình tuyến tính có vô số nghiệm với nghiệm tổng quát (− ) m + n − ; − 52 m + 5n − ; m ; n , m, n ∈ Sau ta xét trường hợp đặc biệt hệ phương trình tuyến tính tổng quát Đó hệ phương trình tuyến tính HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT 4.1 Định nghóa Hệ phương trình tuyến tính gọi tất hệ số tự 0, nghóa hệ có daïng ⎧ a11 x1 + a12 x + … ⎪ ⎪ a 21 x1 + a 22 x + … ⎨ ⎪ ⎪a x + a x + … m2 ⎩ m1 + + a1n x n a 2n xn + a mn x n = = = 4.2 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm gồm toàn số Do đó, hệ phương trình nhất, ta có hai khả : • Hệ có nghiệm (nghiệm gồm toàn số 0) mà ta gọi nghiệm tầm thường • Hệ có nghiệm không tầm thường Khi hệ có vô số nghiệm Để giải hệ phương trình tuyến tính phương pháp Gauss, ta cần thực phép biến đổi ma trận hệ số (cột tự luôn ngầm hiểu gồm toàn số 0) 35 Ví dụ Giải hệ phương trình tuyến tính ⎧ x1 ⎪ ⎪ 3x1 ⎨ ⎪4x1 ⎪ 3x ⎩ + 2x 4x + + 5x2 6x + + 5x2 − 2x + 8x2 + 24x3 − 3x = 4x4 = 3x = − 19x4 = − + Biến đổi sơ cấp dòng ma trận hệ số ⎛1 ⎜ A=⎜ ⎜4 ⎜⎜ ⎝3 ⎛1 −3 ⎞ −3 ⎞ ( ) : = ( ) − (1 ) ⎜ ⎟ ⎟ −4 ⎟ ⎟ ( 3):= ( 3) − (1) ⎜ −1 −6 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → ( ):= ( ) − 3(1) ⎜ −3 −18 15 ⎟ −2 ⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ 24 −19 ⎟⎠ ⎝ 12 −10 ⎠ ⎛ −3 ⎞ ( ) : = ( ) − 3( ) ⎜ ⎟ ⎛ −3 ⎞ −5 ⎟ ) := ( ) + ( ) ( ⎜ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ → ⎜ ⎟ ( 2):=− ( 2) ⎜0 0 ⎟ ⎝ −5 ⎠ ⎜⎜ ⎝0 0 ⎟ ⎟⎠ Choïn x1 , x làm ẩn sở, x , x4 trở thành ẩn tự ta hệ phương trình tương đương ⎧⎪ x1 ⎨ ⎪⎩ + 2x2 = − 4x x2 = − 6x3 + 3x4 + 5x4 Cho x = a , x = b tùy ý, ta ⎧⎪ x1 ⎨ ⎪⎩ x2 = 8a − 7b = −6a + 5b Vậy hệ phương trình tuyến tính cho có vô số nghiệm nghiệm tổng quát hệ cho laø ( 8a − 7b ; − 6a + 5b ; a ; b ) với a, b ∈ Bài tập Giải hệ phương trình tuyến tính sau công thức Cramer ⎧ x1 ⎪ a) ⎨2x1 ⎪x ⎩ ⎧ x1 ⎪ ⎪x c) ⎨ ⎪2x1 ⎪x ⎩ − + x2 x2 + 2x2 + x2 + x3 − 2x + 3x3 + x3 + 2x + 3x x2 + 3x + = −2 ⎧ − x1 ⎪ b) ⎨ 3x1 ⎪−2x ⎩ = = + x4 = = + 5x − 4x4 + 9x4 = + 2x3 + 7x = 36 + 2x2 + − x2 x2 = + x3 = = Giải hệ phương trình tuyến tính sau phương pháp Gauss ⎧ x1 ⎪ a) ⎨4x1 ⎪2x ⎩ ⎧ x1 ⎪ ⎪x c) ⎨ ⎪3x1 ⎪2x ⎩ ⎧ 3x1 ⎪ ⎪ x e) ⎨ ⎪ x1 ⎪12x ⎩ ⎧ x1 ⎪ ⎪2x g) ⎨ ⎪ x1 ⎪3x ⎩ − 3x + x2 + 7x + 2x + 3x − x4 − 2x − x3 + 2x − 3x + + 5x − 13x + x3 + 22x4 − 2x4 + 3x + 4x − 7x + 3x − − + x2 x2 x2 − 2x − 4x + 3x2 + 7x2 − x2 − x3 − 2x3 + 3x + x3 + 3x + 5x + 2x3 − 2x3 = = 5x + 2x4 + 4x − 6x4 − 2x4 ⎧ x1 ⎪ ⎪x b) ⎨ ⎪− x1 ⎪2x ⎩ = 12 = 34 = x3 + x3 − + 2x − 2x − − x2 x4 − x3 + 2x + 7x = = = −7 = ⎧ x1 + 2x2 + 3x − 2x = ⎪ = −1 ⎪2x − x2 − 2x − 3x = d) ⎨ = ⎪3x1 + 2x − x3 + 2x4 = ⎪2x − 3x + 2x + x = −8 = 4 ⎩ = ⎧ x1 ⎪ = ⎪2x f) ⎨ = −9 ⎪ x1 ⎪3x = −10 ⎩ = = −22 = x2 − ⎧ x1 ⎪ ⎪2x h) ⎨ ⎪5x1 ⎪4x ⎩ x2 + + x2 x3 = = x2 x3 + 2x3 = − 6x + 5x = 4x3 + 3x4 − − + + 5x2 + − + x2 + 3x2 + 9x + 2x3 8x3 + 10x3 − + x4 x4 + 5x4 = = = = Giải hệ phương trình tuyến tính sau ⎧ x1 ⎪ ⎪x a) ⎨ ⎪2x1 ⎪3x ⎩ + ⎧ x1 ⎪ ⎪ 3x c) ⎨ ⎪4x1 ⎪ 3x ⎩ + 2x + 8x2 + 24x3 ⎧ x1 ⎪ ⎪x e) ⎨ ⎪2x1 ⎪x ⎩ + 3x2 + 3x3 − + x2 x2 x2 + 2x2 + 5x2 + 5x2 + 4x + 5x2 + 5x2 − 2x3 − 4x3 − 5x − 7x3 + + − 4x 6x 2x + 5x3 + 4x + 7x3 − + − 6x4 2x4 8x4 − 14x4 − − + = ⎧2x1 ⎪ = ⎪ 3x b) ⎨ = ⎪4x1 ⎪x = ⎩ 3x = ⎧ x1 ⎪ = ⎪2x d) ⎨ = ⎪3x1 ⎪x = ⎩ 4x4 3x − 19x4 + 2x + + 3x4 + + + x4 + 6x 4x5 = 7x5 = 5x5 = + 10x5 = 37 + 3x x3 + 5x4 = − 3x3 + 6x = − x2 + 2x − 2x2 + 4x − + + − − x2 − 7x4 − 7x4 3x + 2x = 5x + 4x = x2 + 17x + 3x3 = + 4x = = = Giải biện luận hệ phương trình tuyến tính sau ⎧mx ⎪⎪ a) ⎨ x1 ⎪ ⎪⎩ x1 + x2 + mx2 + x3 + x3 + x2 + mx 2x = = m = m2 ⎧ x1 ⎪ ⎪2x1 ⎪ b) ⎨3x1 ⎪ ⎪5x1 ⎪6x ⎩ + ⎧ x1 ⎪ c) ⎨2x1 ⎪4x ⎩ + 2x2 + x3 = + 4x + x3 = 5x + + 7x + + + 12x x3 x3 8x4 + + 13x + 3x3 + 3x 5x + + 2x3 + 14x + 8x2 3x + + 16x4 = = 16 = 23 = m = 46 = m Cho hệ phương trình ⎧ x1 ⎪ ⎨2x1 ⎪x ⎩ + x2 + 3x2 + kx − x3 + kx + 3x3 = = = Xác định trị số k cho : a) Hệ có nghiệm b) Hệ nghiệm c) Hệ có vô số nghiệm Cho hệ phương trình ⎧kx1 ⎪ ⎨ x1 ⎪x ⎩ x2 + x3 = + kx2 + x3 = + + x2 + kx = Xác định trị số k cho : a) Hệ có nghiệm b) Hệ nghiệm c) Hệ có vô số nghiệm 38 ... +1 b 11 = ( ? ?1) 1+ = ? ?1 , b12 = ( ? ?1) ? ?1 −2 1+ = ? ?1 , b13 = ( ? ?1) ? ?1 −2 = 1, b 21 = ( ? ?1) +1 2+ 2+ ? ?1 1 ? ?1 = , b22 = ( ? ?1) = , b23 = ( ? ?1) = ? ?1 , −2 −2 b 31 = ( ? ?1) +1 ? ?1 = −3 , b32 = ( ? ?1) 3+ 1. .. + ( ? ?1) a1j det A1 j (2 .1) ⎛a Chẳng hạn, n = , nghóa A = ⎜ 11 ⎜a ⎝ 21 +1 det A = ( ? ?1) a1n det A1n 1+ a 11 det ( a 22 ) + ( ? ?1) a12 ⎞ ⎟ , ta coù a 22 ⎟⎠ a12 det ( a 21 ) = a11a 22 − a 21a12 ⎛a... A ? ?1 = A A = In Suy A ? ?1 A = AA ? ?1 = In , tức A ? ?1 khả nghịch A ma trận nghịch đảo ( ) A ? ?1 Do A ? ?1 ? ?1 = A Ta coù ( A1A ) ( A 2−1A1? ?1 ) Suy ( A1 A ) ? ?1 ? ?1 ( ) = A1 A A 2? ?1 A1? ?1 = A1In A1−1