CAC TIM CONG THUC TONG QUAT CUA DAY SO CHO BOI CONG THUC TRUY HOI

Sử dụng máy tính casio để tìm các số hạng trong một dãy số được cho bởi công thức truy hồi: Theo dự án mới của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo, từ năm học 2016 – 2017 kỳ thi THPT Quốc gia, bộ môn[r]

CÁC TÌM CƠNG THỨC TỔNG QT CỦA DÃY SỐ CHO BỞI CƠNG THỨC TRUY HỒI Dạng 1: Tìm số hạng tổng quát dãy số (dạng đa thức) biết số hạng u Ví dụ 1.1: Cho dãy số  n  có dạng khai triển sau: 1;  1;  1;1;5;11;19; 29; 41;55; Hãy tìm cơng thức số hạng tổng qt tìm số tiếp theo? Bài giải: Nhận xét: Với 10 số hạng đầu này, để tìm quy luật biểu diễn khó Với cách cho ta thường làm phương pháp sau: Đặt: uk uk 1  uk  2uk uk 1  uk 3uk  2uk 1   2uk …… Ta lập bảng giá trị uk ,  uk ,  uk đến hàng có giá trị khơng đổi dừng lại, sau kết luận un đa thức bậc 1, 2, 3,… ta tìm đa thức Lời giải: Bảng giá trị ban đầu: uk uk  2u k -1 -2 -1 2 11 19 29 10 41 12 55 14 2 Ta thấy hàng  uk không đổi nên dãy số dãy giá trị đa thức bậc hai: un an  bn  c  a 0  (1) n số thứ tự số hạng dãy Tìm a, b, c sau: Cho n 1; 2;3 thay vào công thức (1) ta hệ phương trình sau:  a  b  c 1   4a  2b  c   9a  3b  c   a 1  b  c 5  u n  5n   n Số hạng u11 71 u Ví dụ 1.2: Cho dãy số  n  có dạng khai triển sau:  5;  3;11; 43;99;185;307; 471; Hãy tìm công thức số hạng tổng quát số hạng Bài giải: Bảng giá trị ban đầu -5 uk -3 uk 11 14 12  2u k 32 18  uk 43 99 56 86 24 185 30 307 122 36 471 164 42 Ta thấy hàng  uk không đổi nên dãy số dãy giá trị đa thức bậc ba: un an3  bn  cn  d  a 0  (2) n số thứ tự số hạng dãy Tìm a, b, c, d sau: Cho n 1; 2;3; thay vào công thức (2) ta hệ phương trình sau: a  b  c  d  8a  4b  2c  d     27 a  b  c  d  11  64a  16b  4c  d 43 a  b  c  d  7 a  3b  c 2    26 a  b  c  16  63a  15b  3c 48 a 1 b 0   c  d   un n3  5n  Hai số hạng là: u9 683 ; u10 949 Lời bình: Cơng thức tìm khơng hiển nhiên số hạng cho thỏa mãn, chẳng hạn dãy số sau: un n  5n   P  n   n  1  n    n  3 (Của ví dụ 1.1) un n  5n   P  n   n  1  n    n  3  n   (của ví dụ 1.2) P  n Với đa thức Vậy cách tìm tìm dạng mà dãy số cho thỏa mãn mà khơng tìm tất dạng mà dãy số cho thỏa mãn Bài tập tương tự: Với dãy số sau đây, tìm cơng thức số hạng tổng qt dãy số 1) 8;14; 20; 26;32; (Đs: un 6n  ) 2) 1;  2;  2;1;7;16; 28; 43;61; 3) 1;6;17;34;57;86;121; 15 un  n  n7 2 (Đs: ) (Đs: un 3n  4n  ) 6) 2;1;5;14; 28; 47;71;100;134;173; 217; un  n  (Đs: un  n  (Đs: un  n  (Đs: 7) 2; 2;8; 26;62;122; 212;338; (Đs: un n  3n  2n  ) 4) 2;3;7;14; 24;37; 5) 3;5;10;18; 29; DẠNG 2: Dạng sở: Cho dãy Với q, d số thực  un  n4 ) n4 ) 17 n 8 ) u1 a  u qun  d , n 1 biết  n1 GIẢI:  u a   un 1 d , n 1 Trường hợp 1: Nếu q 0  u1 a , un d , n  * , n 2  u a   un 1 un  d , n 1 Trường hợp 2: Nếu q 1   un  cấp số cộng với số hạng đầu u1 a công sai d  un a   n  1 d  u a   un 1 qun , n 1 Trường hợp 3: Nếu d 0   un  cấp số nhân với số hạng đầu u1 a công bội q  un a.q n  d un vn  v  q (1)  Trường hợp 4: Nếu q 0, q 1, d 0 Đặt dãy  n  cho Thay ct(1) vào công thức truy hồi ta có:  d d  q   d 1 q 1 q    1 qvn , n 1 1     q cấp số nhân với số hạng đầu v1 u1  d d a  1 q  q công bội  d  n   a   q , n 1 1 q    d d  n d  un vn   a  q  1 q  1 q  1 q Ví dụ 2.1: Tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy  un  biết: 1) u1   un 1 un  3, n 1 (Đs: un 3n  ) 2) u1 1  un 1 2un  3, n 1 n (Đs: un 4.2  ) Giải: u1   u u  3, n 1 1)  n1 n Vì un 1 un  , n 1   un  cấp số cộng với số hạng đầu u1  công sai d 3  un u1   n  1 d    n  1 3n  u1 1  un 1 2un  3, n 1 2) Nhận xét: Dãy số có dạng với q 1, d 3 v un vn  d vn  1 q (1) Đặt dãy  n  cho: Thay (1) vào công thức truy hồi ta 1  2   3   1 2vn    cấp số nhân với số hạng đầu v1 u1  1  4 công bội q 2  4.2n  2n 1  un vn  2n 1  u1   u u  3, n 1 Nhận xét: Câu 1:  n 1 n Cịn có cách sau: Cách 2: u1  Ta có: u2 u1  u3 u2  …… un un   Cộng vế với vế hệ thức ta được: u1  u2  u3   un   u1  u2  u3   u n  3(n  1)  un    n  1  un 3n  Cách 3: Dựa vào công thức truy hồi ta tính dạng khai triển dãy  un  là:  1; 2;;5;8;11;14;17; uk uk -1  un an  b,  a 0  11 14 17 (1) a  b    Thay n 1 n 2 thay vào (1) ta được: 2a  b 2  un 3n  a 3  b  Bài tập tương tự: Tìm cơng thức số hạng tổng qt dãy u1 1  u u  7, n 1 1)  n 1 n u1 3  un 1 2un , n 1 2) u1   u 2un  1, n 1 3)  n 1  u1   u 2u  , n 1 n n 1 4)  u1 1   un 1 2un  , n 1 5)  un  biết: (Đs: un 7n  ) n (Đs: un 2 ) (Đs: un  ) un= 2n +3 (Đs: (Đs: ) 2n +1 un= ) Lời bình: Dạng gọi dạng sở vì: - Với trường hợp 1, 2, 3, dãy số trở thành dãy đặc biệt là: dãy số hằng, cấp số cộng cấp số nhân Các dãy số ta tìm cơng thức số hạng tổng quát - Trên sở dãy này, để giải trường hợp 4: phương pháp đặt dãy   liên hệ với dãy số  un  biểu thức để đưa v v dãy số  n  mà  n  dãy số cấp cộng cấp số nhân u v - Vấn đề đặt là: Mối liên hệ  n   n  biểu thức đưa v dãy số  n  thành dãy số cấp số cộng cấp số nhân trường số hợp Qua q trình tìm tịi, tơi tìm số dạng sau: u1 a  u qun  cn  d , n 1 LOẠI 2.1:  n 1 với q, c, d  R q, c 0 GIẢI:  u a   un 1 un  cn  d Trường hợp 1: Nếu q 1 Cách 1: u1 a Ta có: u2 u1  c.1  d u3 u2  c.2  d u4 u3  c.3  d ………… un un   c  n  1  d Cộng vế với vế hệ thức trên, ta được: un a  c.1  c.2  c.3   c  n  1   n  1 d a  cn  n  1   n  1 d Cách 2: Dùng công thức DẠNG (Viết dãy số theo dạng khai triền)  Trường hợp 2: Nếu q 1 Đặt dãy 1    c  n  1  1 cho: un vn  cn  q , thay vào công thức truy hồi ta  cn  q     cn  d 1 q 1 q   c qvn  d  1 q Từ ta có dãy có DẠNG   c  v1 u1   q   v qv  d  c qv  d ', n n  n 1  q n 1 Khi dãy   lại với Ví dụ 2.2: Tìm cơng thức số hạng tổng qt dãy  un  biết: u1 5  u u  3n  2, n 1 1)  n 1 n (Đs: u1 11  u 10un   9n, n 1 2)  n 1 n (Đs: un 10  n ) 3) u1 1  un 1 3un  6n  un  3n  7n  14 ) n (Đs: un 3n 1  ) Bài giải: u1 5  u u  3n  2, n 1 1)  n 1 n Cách 1: Ta có: u1 5 u2 u1  3.1  u3 u2  3.2  u4 u3  3.3  u5 u4  3.4  ………… un un    n  1  Cộng vế với vế ta được:  un 5  3.1  3.2  3.3    n  1   n  1 5   n  1 n   n  1  3n  7n 14 Cách 2: Ta có dạng khai triển dãy số  un  là: 5;6;10;17; 27; 40;56;75; uk 10 17 27 40 56 75 uk  2u k 10 13 16 19  un an  bn  c (*) Thay n 1, n 2, n 3 vào (*) ta được:  a  a  b  c 5    4a  2b  c 6  b  9a  3b  c 10   c 7   3n  n  14  un  n  n   2 u1 11  u 10un   9n, n 1 2)  n 1 v Đặt dãy  n  cho: un vn  n, n 1 Thay vào công thức truy hồi ta được: 1  n  10   n    9n  1 10vn    cấp số nhân với số hạng đầu v1 u1  10 công bội q 10  10.10n  10n  un 10n  n 3) u1 1  un 1 3un  6n    cho: un vn  3n , thay vào công thức truy hồi dãy  un  ta được: 1   n  1 3   3n   6n  Đặt dãy  1 3vn  v1 u1       v 3vn  2, n 1 xác định bởi:  n 1 y v Đặt dãy  n  cho  yn  1, n 1 , thay vào công thức truy hồi dãy  n  ta yn 1  3  yn 1   yn 1 3 yn   yn  cấp số nhân với số hạng đầu y1 v1     công bội q 3 yn  3.3n   3n   3n  n Vây: un    3n Bài tập tương tự: Tìm cơng thức số hạng tổng qt dãy u1 99  u u  2n  1, n 1 1)  n 1 n (Đs: un 100  n ) u1 1  u u  n3 , n 1 2)  n 1 n 3)  n  n  1  un 1      n  1     (Đs: ) u1 1  un 1 un  2n , n 1 LOẠI 2.2: Cho dãy  un  biết:  un  (Đs: 3  un 1  12  22  32    n  1  1  n  1 n3 2n  1 u1 a  u qun  rc n , n 1 xác định bởi:  n 1 với q 0 GIẢI:  u1 a   un 1 un  rc n ,  q   Trường hợp 1: Nếu n 1 ta làm phương pháp sau: Ta có: u1 a u2 u1  rc1 u3 u2  rc u4 u3  rc3 ……………… un un   rc n  Cộng vế với vế ta được: un a  (c  c  c   c n ) r a  c c n  r   c  u1 a   n un 1 qun  rc , n 1 Trường hợp 2: Nếu c q rc n un vn  v c  q , thay vào công thức truy hồi ta Đặt dãy  n  cho:  rc n 1 rc n  n 1  q     rc c q c q   1 qvn    cấp số nhân với số hạng đầu q v1 u1  rc rc a  c q c  q công bội  rc  n    a  q c q  rc n  rc  n  rc n  un vn   a  q  c q  c q c q  u1 a   n un qvn  rq , n 1 Trường hợp 3: Nếu c q n v u Đặt dãy số  n  cho: un q , thay vào công thức truy hồi dãy  n  ta q n 1vn 1 q q n  rq n   1 vn      r q cấp số cộng với số hạng đầu v1  u1 a r  d q q cơng sai q ¿ u 1=1 Ví dụ 2.3: Cho dãy ( un ) biết un+ 1=un + ¿{ ¿ Xác định số hạng tổng quát dãy () n với n ∈ N ❑ ( un ) ) Bài giải: Cách 1: Ta có: 1 un 2     2 (Đs: n u1 1 u2 u1  1 u3 u2     2 1 u4 u3     2 …………  1 un un      2 n Cộng vế với vế ta được: n 1 1   n 1 1  1 un 1            2   2  2 1  1    2 n Cách 2: n Đặt dãy số được:  1 1     2  1 vn n 1   1 n   1 un vn    vn     2  cho: thay vào công thức truy hồi ta n  1  1 vn        2  2 n  dãy   xác định bởi:  v1 2, n 1 n 1 1 un 2    2     2  2 Vậy:  1 v1 u1    1  2  2  v v  n 1 v n Ví dụ 2.4: Viết cơng thức số hạng tổng quát dãy số 1) u1 8  n un 1 2un  , n 1 u1 1  u 5un  3n , n 1 2)  n 1  un  với: n n (Đs: un 5.2  ) (Đs: un  n n 5 )   u1 101  u 7un  n 1 , n 1 3)  n 1 n n (Đs: un n.7  94.7 ) u1 1  u 2un  6.2n , n 1 4)  n 1 n n (Đs: un 3n.2  5.2 ) u1 0  un 1 un  2n.3n , n 1   5)  3n 1 un   n.3n (Đs: ) Bài giải: u1 8  u 2un  3n , n 1 1)  n 1 n u Đặt un vn  , n 1 thay vào công thức truy hội dãy  n  ta được: 1  3n 1 2  3n  3n    1 2vn    cấp số nhân với số hạng đầu v1 u1  5 công bội q 2  5.2 n   un 5.2n   3n u1 1  u 5un  3n , n 1 2)  n 1 3n un vn  thay vào công thức truy hồi ta Đặt  3n 1 3n 5   2   1 5vn 1      n   cấp số nhân với số hạng đầu n 1  un  5n   3n  3n  5n  2     v1 u1   2 công bội q 5 u1 101  u 7un  n 1 , n 1 3)  n 1 n Đặt un 7 thay vào công thức truy hồi ta n 1 1 7.7 n  n 1  1 vn 1    cấp số cộng với số hạng đầu v1  u1 101  7 công sai d 1 101 94    n  n  7 n n  un n.7  94.7 u1 1  u 2un  6.2n , n 1 4)  n 1 n Đặt un 2 , n 1 thay vào công thức truy hồi ta 2n 1 1 2.2n  6.2n  1 vn     cấp số cộng với số hạng đầu v1  u1  2 công sai d 3     n  1 3n  2 5   un  3n   2n 3n.2n  5.2 n  2  5) u1 0  n un 1 un  2n.3 , n 1 n u Đặt un 3 , n 1 thay vào biểu thức truy hồi dãy  n  ta 3n 1 1 3n  2n.3n  1   n 3 u1  v1  0  v  v  n, n 1 n 3  dãy   xác định  n 1 v Đặt  yn  n thay vào công thức truy hồi dãy  n  ta yn 1  n    yn  n   n 3  yn 1  yn   y1 v1     yn 1  yn  1,    yn  n 1 xác định  yn tn  thay vào công thức truy hồi dãy  yn  ta Đặt 1 3 tn 1    tn    3 2  tn 1  tn 3 1 t1  y1     q   tn  2 công bội cấp số nhân với số hạng đầu …………………  un   3n 1  n.3n LOẠI 2.3: Cho dãy số  un  u1 a  cun  un 1  q  du , n n 1 xác định bởi:  GIẢI: Đặt dãy số 1  thay vào công thức truy hồi dãy  un  ta đươc c q d c 1 qvn  d q d  1   c c  v1  a    :  v  q v  d ,  n 1 c n c n 1 quay DẠNG    cho: un   LOẠI 2.4: Cho dãy số  un  u1 a  b  cun  u  , n 1 n   p  ru n xác định bởi:  GIẢI: u Đặt un vn   , n 1 thay vào công thức truy hồi dãy  n  ta b  c     1    p  r     b  c  cvn   p   rvn    1  p  r           p  c    b    c  r   1   p  r   rvn   trở loại 2.3, ta chọn      r  c    b 0 Để dãy  nghiệm phương trình Ví dụ 2.5: Tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy  un  sau, biết: u1` 1  un  un 1 1  u , n n 1 1)  (Đs: u1 2  un  un 1   u , n n 1 2)  (Đs:  u1   un 1   un 3)  u1 1   4un  un 1 1  6u , n n 1 4)  (Đs: (Đs: Bài giải: un  un  un  un  n) 3.2 n 1) n n 1 ) n2 6  2) u1` 1  un  u  , n    un n 1  1) thay vào công thức truy hồi dãy  un  ta được: Đặt v  n 1  1   1   1 vn  1 v1  1 v u1 Dãy  n  cấp số cộng có số hạng đầu , công sai d 1 un   v1   n  1 d 1  n  n  un  n u1 2  un  un 1   u , n n 1 2)  un  thay vào công thức truy hồi dãy  un  ta được: Đặt v  n 1  1   1 2vn   1 2vn  v Đặt  yn  thay vào dãy  n  ta được: yn 1  2  yn  1   yn 1 2 yn   yn  cấp số nhân với số hạng đầu y1 v1   1  u1 công bội q 2  yn  2n  3.2n  2   yn  3.2n   1  un  n  3.2  1  u1   un 1   un 3)    Đặt dãy số 1    u cho: un vn   thay vào dãy  n  ta được:      2     1     Chọn  nghiệm phương trình:   2  0   1 v 1  n  un vn   Đặt dãy số  yn  cho:  yn thay vào dãy   ta được: y  n yn 1  yn 1   yn 1 yn   yn 1  yn    yn  cấp số cộng có số hạng đầu  yn    n  1   1  n    1  yn n 1  un vn  1  n  n  n 1 u1 1   4un  un 1 1  6u , n n 1 4)  y1  1   v1 u1  công sai d    cho un vn   , thay vào công thức truy hồi ta      1         6  5  1   6     1       Đặt dãy nghiệm phương trình 6  5  0 => chọn  v1   vn 1  un vn   6vn     Khi dãy số Đặt dãy số  yn  xác định  yn thay vào công thức truy hồi dãy   ta được: cho yn  yn 1  yn 1   yn 1 yn   yn 1 2 yn   y1 2  yn  xác định  yn1 2 yn  6, n 1 x y Đặt dãy số  n  cho yn xn  thay vào công thức truy hồi dãy  n  ta xn 1  2  xn     xn 1 2 xn   xn  cấp số nhân với x1  y1  8 công bội q 2  xn 8.2n  2 n 2  yn 2n 2    n 2 6 1  un  n   6 Bài tập tương tự: Tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy  un  sau, biết: u1   2un   un 1  3u  , n n 1 1)  u1 0  un  un 1  2u 1 , n n 1 2)  2.3 Sử dụng máy tính casio để tìm số hạng dãy số cho công thức truy hồi: Theo dự án Bộ Giáo Dục Đào Tạo, từ năm học 2016 – 2017 kỳ thi THPT Quốc gia, mơn Tốn thi phương pháp trắc nghiệm Vậy, với toán dãy số mà dãy số cho cơng thức truy hồi phải giải nào? Có phải tìm cơng thức số hạng tổng quát hay không? Sau tơi xin giới thiệu quy trình bấm máy tính casio để tìm giá trị uk dãy số cho biểu thức truy hồi Ví dụ 3.1: Cho dãy số  un  xác định u1 1  un 1 un  3, n 1 Tính u8 ? Bài giải: + Gán giá trị u1 1 vào biến A: SHIFT STO A + Dùng biến D làm biến đếm, công thức truy hồi bắt đầu tính từ u2 , nên ta gán cho biến đếm D giá trị khởi đầu 1: SHIFT STO D + Biểu thức lặp: Khi biến đếm D tăng lên đơn vị u2 u1   A  ta lại gán giá trị u2 vào biến A, biều thức lặp lại Nên ta có biểu thức lặp sau: D D  1: A  A  + Sau bấm phím CACL liên tiếp dấu “=” giá trị D D  8 tính u8 Tóm lại quy trình bấm máy sau: SHIFT STO A SHIFT STO D D D  1: A  A  CACL = = = ……= Cho đến hình có D D  8 bấm tiếp dấu “=” ta A u8 22 Chú ý: Các ký hiệu “=” “:” biểu thức lặp D D  1: A  A  phím màu đỏ bàn phím máy tính casio, nên ta phải bấm tổ hợp phím ALPHA dấu “=”, dấu “:” màu đỏ Còn dấu “=” sau gọi phím CACL = = = ……= dấu “=” màu đen phím máy tính casio Ví dụ 3.2: Cho dãy số  un  u1 2  u2  u u  2u , n 1 n xác định bởi:  n 2 n Tính u7 ? Bài giải: Vì cơng thức truy hồi tính theo số hạng đứng trước nó, nên ta cần dùng đến biến A B cho số hạng phải dùng tới lần lặp Quy trình bấm máy sau: SHIFT STO A -1 SHIFT STO B SHIFT STO D D D  1: A B  A : D D  1: B  A  B CACL = = = ….= Cho đến D D  7 bấm tiếp dấu “=” ta u7 23 Lời bình: Với quy trình học sinh khơng phải dùng nháp tính bước từ cơng thức truy hồi khơng phải tìm cơng thức số hạng tổng quát đồng thời có lợi tốn u cầu tìm uk với k lớn (VD: u40 , u45 ) Bài tập áp dụng: u1 2   un  un 1  , n 1 un   Bài 1: Cho dãy số xác định bởi: Số hạng u4 dãy số là: A B C D u Bài 2: Cho dãy số hữu hạn  n  có dạng khai triển là: 1;  1;  1; 1; 5; 11; 19; 29; 41; 55; Khi cơng thức tổng qt dãy số là: A un n  3n  B un n  3n  C un n  5n  D un n  2n Bài 3: Cho dãy số quát un là:  un  u1 1  n  1 u  u  n  n 1   , n 1  2  xác định Công thức số hạng tổng ... thức truy hồi dãy   ta được: cho yn  yn 1  yn 1   yn 1 yn   yn 1 2 yn   y1 2  yn  xác định  yn1 2 yn  6, n 1 x y Đặt dãy số  n  cho yn xn  thay vào công thức truy hồi... dãy số cho công thức truy hồi: Theo dự án Bộ Giáo Dục Đào Tạo, từ năm học 2016 – 2017 kỳ thi THPT Quốc gia, mơn Tốn thi phương pháp trắc nghiệm Vậy, với tốn dãy số mà dãy số cho cơng thức truy. .. n  cho: un q , thay vào công thức truy hồi dãy  n  ta q n 1vn 1 q q n  rq n   1 vn      r q cấp số cộng với số hạng đầu v1  u1 a r  d q q công sai q ¿ u 1=1 Ví dụ 2.3: Cho