Xét tính tăng giảm của dãy số - Giáo viên Việt Nam

3) Sử dụng các tổng đại số của phần quy nạp, các biến đổi rút gọn và đại lượng của cung góc lượng giác.. Tìm 6 số hạng đầu của dãy các đôi thỏ trong tháng thứ n, theo quy luật: “Một đôi [r]

CHỦ ĐỀ 8: DÃY SỐ

Dạng toán 1: XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG Định nghĩa dãy số

Một hàm số u xác định tập hợp số nguyên dương N gọi dãy số vơ hạn hay dãy số *

Kí hiệu dãy số u u n    u gọi n u số hạng tổng quát dãy số đó.n

Dãy số  u viết dạng khai triển: n u u1, , , , un

Ba cách cho dãy số

- Cho dãy số công thức số hạng tổng quát u n

- Cho dãy số hệ thứ truy hồi hay quy nạp u 1 un1 theo u ; n u u 1, un2 theo u un, n1,

- Diễn đạt lời cách xác định số hạng dãy số. Xác định số hạng dãy số

- Nếu dãy số cho công thức số hạng tổng qt để tính số hạng u ta cần thay k n k vào u n

- Nếu dãy số cho hệ thức truy hồi ta tính liên tiếp u u1, , số hạng u cần tính.k

- Nếu dãy số cho cách diễn đạt lời dựa vào cách mơ tả để tính u tính dần đến k u k

Xác định số hạng tổng quát dãy truy hồi

- Dạng un1un  , d số tính dần đến số hạng đầu.d

- Dạng un1q u n, q số tính dần đến số hạng đầu.

- Dạng un1un  f n  đặt dãy phụ xn un1un

hoặc viết liên tiếp un unun1  un1un2  u2 u1u1

hoặc cộng n đẳng thức từ n1,2, đến n để tính. - Dạng un1aun  với b a0, đặt dãy phụ un vnc

thì vn1a v n ac b c  , ta chọn số c cho  ac b c  0 vn1 avn trở

dạng thứ nhất. Chú ý:

1) Bài tốn u cầu chứng minh cơng thức số hạng tổng quát ta dùng phương pháp quy nạp để chứng minh.

2) Nếu dãy cho cách diễn đạt lời xác lập đại lượng quan hệ số hạng liên tiếp nhau.

3) Sử dụng tổng đại số phần quy nạp, biến đổi rút gọn đại lượng cung góc lượng giác. Bài tốn Tìm số hạng đầu dãy:

a)

2

2

n

n u

n  

b)

2

sin cos

4

n

n n

v    

Giải

a) Thế n

1 1,

u   n

,

2 u  n

thì

3

u 

n

29

,

4

u  n

47

5 u 

b) Thế n

2

2 1

sin cos

4 2

v       

2 n

2

4 1

sin cos

2 2

v       

3 n

2

3

sin cos

4

v     

4 n

2

8

sin cos

3

5 n

2

5 10

sin cos

4

v     

Bài tốn Tìm số hạng đầu dãy số sau:

a)

1

u 

2

n n

u

u  

 , với n

b) u11,u2   un un12un2 với n3

Giải

a) Ta có

1

u 

2 n

, 2 12

2

2

1

n n

u u

u  u

   

 

3

2

2 2 50 1682

; ;

1 29 3341

u u u

u u u

     

  

b) Ta có u11,u2   n3; un un12un2

Do u3 u22u1    2 4, u4 u32u2    4

5 8

u u  u   

Bài tốn Tìm số hạng đầu dãy đôi thỏ tháng thứ n, theo quy luật: “Một đôi thỏ gồm thỏ đực thỏ tháng đẻ đôi thỏ gồm thỏ đực thỏ cái; đơi thỏ con, trịn hai tháng tuổi, lại tháng đẻ đôi thỏ con, trình sinh nở tiếp diễn”

Giải Gọi F dãy đôi thỏ tháng thứ n.n

Tháng có F1 

Tháng 2, đôi thỏ chưa đẻ nên có F2 

Tháng 3, đơi thỏ bắt đầu đẻ nên có F3    1

Tháng 4, đôi thỏ tiếp tục đẻ nên có F4   

Tháng 5, đôi thỏ tiếp tục đẻ đôi thỏ bắt đầu đẻ nên có F5     1

Tháng 6, đôi thỏ tiếp tục đẻ hai đôi thỏ đẻ nên có F6      1

Bài toán Xác định số hạng tổng quát dãy số:

a)  

1 1

;

1.2 n 1.2 2.3

u u

n n

    



b)

1 1

1 ; 1

2 n

v v

n

    

         

    

Giải

a)  

1 1

1.2 2.3

n

u

n n

   



1 1 1 1

1 2 1 1

n

n n n n

     

          

  

     

b)

1 1 1

1

2 3

n

n v

n n n



    

        

    

Bài toán Xác định số hạng tổng quát dãy số:

a) u15,un un13,n2 b) v1 4,vn 5vn1,n2

Giải a) Với n2 :un un1 nên:3

   

1 3 2.3 3 2.3

n n n n n

u u    u    u    u   

   

3 3.3 1 3

n

u  u n n n

b) Với n2,vn 5vn1 nên:

  2 

1 2 3

5 5 5

n n n n n n

v  v   v   v   v   v  

1 1

1

5 n v 4.5n n

  

Bài toán Xác định số hạng tổng quát dãy:

a) u12,un1 unn n; 1 b) v1 5,vn1.vn 1,n1

Giải a) Với n1:un1un  nên:n

     

1 2

 

       

n n n

u u n u n n

un3 n 3 n 2 n 1

       

u1 1 n 2 n 1

      

 

   

2 n 1 n

          

 1 2

1

2

n n n  n

  

b) Với

1 1

1: , 5,

5

n n

n v v v v

v v



      

4 5

3

1 1 1

, 5, ,

5

v v v

v v v

     

Tổng quát, ta có

5 1

n

n k

v

n k

 

 

  



Bài toán Cho dãy số  u xác định bởi: n u1 un 2un1 với n2 Chứng minh với

1

n ta có 2n 3

n

u   

Giải Ta chứng minh quy nạp: un 2n 3,n



   (1)

Khi n1, ta có u1 21 

   Do (1) n1. Giả sử (1) n k k, N u*, k



   

Ta chứng minh (1) n k 1

Thật vậy, từ công thức xác định dãy số  u giả thiết quy nạp ta có:n

   1

1 2 3

k k

k k

u   u          : đpcm. Vậy (1) với n N *.

Bài toán Cho dãy số  n u

xác định bởi:

1

1

2; ,

2

n n

u

u  u    n

Chứng minh:

1

1

2

2

n

n n

u





 

với n

(*)

Giải Ta chứng minh quy nạp:

Khi n

, ta có

0

1

2 1

2

2

u     

Do (*) n

Giả sử (*)

1 *

1

2

, ,

2

k

k k

n k k N u   Ta chứng minh (*) n k 1

1

1

1

2

1

1 2 2.2

2 2

k

k k

k k

k k k

u u



 



 

  

   

: đpcm Vậy (*) với n N *.

Bài toán Xác định số hạng tổng quát dãy số:

1 2, n 2

u  u      ( n dấu căn)

Giải

Ta có

2

cos 2cos 2cos

4 u

       

và

2

1 cos 2 2

4

cos

8 2



      

2

2 2cos 2cos

8

u  

    

Ta chứng minh quy nạp: un 2cos2n







Bài toán 10 Xác định số hạng tổng quát dãy số:

1 2, 5, n n ,n

u  u  u   u   u n

Giải

 

2

          

n n n n n n n

u u u u u u u

Đặt xn un un1 xn15xn

Do xn 5xn1 5 5 xn25 2xn2 5 52 xn35 3xn3 

 

2 2

2

5 n x 5n u u 3.5n

   

Ta có un un un1  un1un2  u2u1u1

2

3.5n 3.5n 3.5

    

  1

2 3.5

2 5

1

n n

n    

        



Bài toán 11 Xác định số hạng tổng quát dãy số Fibônaxi:

1 1, 1, n n n 1,

F  F  F F F n

Giải

Xét số a b cho a b 1,ab  , a, b nghiệm phương trình1

2 1 0

x   x

nên

1

,

2 a b 

Do Fn2 FnFn1  abFn a b F  n1

 

2 1

n n n n

F aF b F aF

    Đặt vn Fn1aFn vn1bvn.

Từ tính

n

v

suy ra:

1 5

2

5

n n

n

F        

    

 

Bài toán 12 Từ hình vng A B C D có cạnh 6cm, dựng hình vng 1 1 2 2, 3 3, , n n n n,

A B C D A B C D A B C D theo cách sau: Với n2,3,4, lấy điểm A B C n, ,n n D n tương ứng cạnh A Bn1 n1,B Cn1 n1,C Dn1 n1 D An1 n1 cho A An1 n 1cm A B C D n n n n

hình vng Lập dãy số  u với n u độ dài cạnh hình vng n A B C D hệ thức truy hồi.n n n n

Với n nguyên dương, xét hai hình vng A B C D cạnh n n n n u n A B C Dn1 n1 n1 n1 cạnh un1

Ta có: un1 A Bn1 n1

  2 2

1

n n n n

A B B B 

 

 12 12  12 1

n n n

A B u

     

Vậy u16,un1 un22un2,n

Bài toán 13 Cho dãy số  u xác định bởi:n

2

1

9

3, ,

6

n n

u

u  u    n

a) Tính u u u 2, ,4

b) Chứng minh  u dãy số không đổi.n

Giải

a)

2

1

1

9 18

3, ,

6 6

 

 u  u 

u u u

Vậy u2 u4 u6 

b) Ta chứng minh quy nạp: un 3,n1

Khi n1 u1 : đúng3

Giả sử

2 1

9 18

3

6

k k

u

u  u     

: đpcm Vậy dãy số khơng đổi

Bài tốn 14 Cho dãy số  u xác định bởi:n

1

u 

1

n n

u   u  , với n1 Chứng minh  u dãy số khơng đổi.n

Giải Ta có: u1 4,u2 2 12 4,  u3 2 12 4 

Ta chứng minh quy nạp: un 4,n1 (1)

Giả sử (1) n k , k nguyên dương: uk 

Ta chứng minh (1) n k 1

Thật vậy: uk12 3uk 8 3.4 4  : đpcm

Vậy un  với n nguyên dương.4

Dạng toán 2: TÍNH CHẤT TĂNG GIẢM - Dãy số  u gọi dãy số tăng với n ta có n un un1.

- Dãy số  u gọi dãy số giảm với n ta có n un un1.

Phương pháp xét tính tăng, giảm dãy số un

- Tính un1.

- So sánh với

n

u

cách lập hiệu số

1

n n

u  u

, so với số tỉ số

1

n n

u u



so với số 1. Chú ý:

3) Sử dụng phương pháp quy nạp. Bài toán Xét tính tăng, giảm dãy số:

a)

3 3 5 7

n

u n  n  n

b)

5

2

n

n u

n  

 Giải

a) Ta có: un n33n2 5n nên7

 3  2   3

1

n

u   n  n  n  n  n

Lập hiệu un1un 3n23n 3 3n n     1 0, n

1 ,

n n

u  u n

    Vậy dãy số tăng.

b) Ta có

5

2

 



n

n u

n nên

 

 

1

5 1

2

n

n n

u

n n



  

 

  

Lập hiệu   

5 17

0,

2 3

n n

n n

u u n

n n n n



 

       

   

1 ,

n n

u  u n

   

Vậy dãy số tăng

Bài toán Xét tính tăng, giảm dãy số: a)  1

n n

n u

n  

 b)

1 9, n n sin ,

u  u  u   n n

Giải

a) Ta có

1

, ,

6

u   u  u  

Vì u1u u2,  nên số khơng tăng, khơng giảm.u3

b) Ta có un1un  2 sinnun1un sinn   (vì sin2 0, n n  ).1, n

Vậy dãy số giảm

Bài tốn Xét tính tăng, giảm dãy số:

a)

1

n n

n x  

b)  

2 !

n n

y n 

 Giải

a) Ta có:

1

n n

n x  

nên 1

2

n n

n x   

Lập tỉ số  

1

1

2 2

: 1,

3 3 3

n

n n

n

x n n n n

n

x n n





   

     

 

Vì xn  với n xn1xn,  Vậy dãy số giảm.n

b) Ta có:  

1 !

n n

y n 

 nên  

1

1

2 !



  

n n

y

n

Lập tỉ số    

1

1 : 2 1, 1

2 ! !



     

  

n n

n n

y

n

y n n n

Vì xn  với n  yn1 yn,  Vậy dãy số giảm.n

Bài tốn Xét tính tăng, giảm dãy số:

a)

1

n

a  n  n

b)

n

n b

n  

 1 1

1

n

n n

a n n

n n n n

 

    

   

1

1

,

2 1

n n

a a n

n n n n



     

     Vậy dãy số giảm

b) Ta có

2

n

n

b n

n n



  

Do

1

n

b n

n

   



Lập hiệu số:  

2

1 0,

1



 

        



 

n n

b b n n n

n n

1 ,

n n

b b n

    Vậy dãy số giảm.

Bài tốn Xét tính tăng, giảm dãy số  u xác định bởi:n

1 1, n n 10,

u  u   u  n

Giải Ta chứng minh quy nạp: un1u nn, 1 (1)

Khi n1 u2 3.1 10 13  u1

Do (1) n1

Giả sử (1) n k , k nguyên dương Ta chứng minh (1) n k 1.Thật vậy:

1 10 10

k k k k k k

u  u  u    u  u  u  : đpcm. Vậy dãy số tăng

Bài tốn Xét tính tăng, giảm dãy số:

3

n

u     , n dấu căn.

Giải Ta chứng minh quy nạp:un1 un, n (1)

Khi n1 thìu2 u1  3  3:

Do (1) n1 Giả sử (1) n k , k nguyên dương:

1 3 3

n k k k k k

u  u  u   u  u   u

2

k k

u  u 

  Do (1) n k 1

Vậy (1) với n ngun dương, dãy số tăng Bài tốn Xét tính tăng, giảm dãy số:

a)

2

n n

u     n

  b)

1 1

1

3 3

n n

u         

    

Giải

a) Ta có:

n

u 

nên

1

1

2

3

n n

u n



    

 

Lập tỉ số

1

1 . 1 : .

3

n n

n n

u

n n

u



     

   

   

 

2 4 4

1,

3 4

  

     

   

n n n

n

n n n n

Do un1un,  Vậy dãy số giảm.n

1

1 1

1 1

3 3

n n n

u             

      Do 1 1

1 1, ,

3 n n n n n u

n u u n

u



 

      

Vậy dãy số giảm Bài tốn Xét tính tăng, giảm dãy số:

a) 1 n n u n     

  b)

1 1

1

n

v

n n n

   

 

Giải

a) Ta có n u  1 1 n n u n      

  nên

 

1

1 2

1

2

2

: 1 n n n n n

u n n n n n

u n n n n

                            

1 1

1

1                        n n n

n n n

n

Do  n 1,un1un: dãy số tăng

b) Ta có:

1 1 1

2 3 3 3

n

v

n n n n n n

            

Do đó:

1 1

3 3

n n

v v

n n n n

         

   

1

0

3 3 3 3

n

n n n n n n



    

     

Nên vn1vn,  Vậy dãy số tăng.n

Bài toán Cho dãy số  

1 : 1,

2

n n n

u u  u 

1 

1 ,

4

n n

u  u  n

Chứng minh dãy tăng Giải

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương: un11un2 un11un

 

1

1

1 ,

4

n n n n

u  u u  u n

     

Dấu = xảy

1

n n

u  u

Do đó: 1  1

4

n n

u  u 

  2  2

1 4

4

n n n n n

u u u u u

          n u   (loại) Vậy

1, n n

n u  u

  

nên dãy số tăng

Bài tốn 10 Tìm a để dãy

2 2 n an u n  

 là:

a) dãy số giảm b) dãy số tăng

Giải

Ta có    

1

2

2 3

2 2 2

n n

a a a a

u u

n  n

 

    

 

Do  

1 2

2 1

2 2 1 3

n n

a

u u

n n



 

  

  

    

 

Vì    

2 2

2

1

2 3 0,

2

2

n n n

n n

         



 

Do đó:

a) Dãy

n

u

giảm

2

0

2

a

a 

   

b) Dãy

n

u tăng

2

0

2

a

a 

   

Dạng tốn 3: TÍNH CHẤT BỊ CHẶN

- Dãy số  u gọi dãy số bị chặn tồn số M cho: n  n N u*, n M .

- Dãy số  u gọi dãy số bị chặn tồn số m cho:n  n N u*, n  m

- Dãy số  u gọi dãy số bị chặn vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới; nghĩa tồn n

số M số m cho: n N m u*,  n M .

Phương pháp xét tính bị chặn dãy số u n

- Dãy bị chặn có số M: un M,n

- Dãy bị chặn có số m: un m n,

- Dãy bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới. Chú ý:

1) Đánh giá u với số 0, số 1,… dùng bất đẳng thức bản.n

2) Biến đổi, tính gọn, nhân chia lượng liên hiệp, chia tách trước. 3) Sử dụng phương pháp quy nạp.

Bài toán Chứng minh dãy: a)

2 4

n

u n  n

bị chặn b)

1

n

n v

n  

 bị chặn Giải

a) Ta có un n2 4nn22    4 n22   4, n

Vậy dãy số bị chặn

b) Ta có n  

1

n  n nên

1 1,

n

n

v n

n 

  

 Vậy dãy số bị chặn

Bài toán Chứng minh dãy số bị chặn:

a)

3

3

6

2

n

n n

u

n n

 



 b)

6sin

n

v  n cos n

Giải

a)

 

3

2 1

1:

2

n

n n

n u

n n

 

   

 : bị chặn

Vì

 

3

6 12 14 14 1

6

2

n

n n n n

u

n n n n

   

   

  : bị chặn

Vậy dãy số bị chặn

b) Ta có 6sin  n6, 7  cos n2  với n7 Do đó: 13 vn 13, Vậy dãy số bị chặn.n

a) un n2 5n không bị chặn trên.1

b) vn   không bị chặn dưới.n3

Giải Ta có phương pháp phản chứng

a) Giả sử dãy u bị chặn nên tồn số M cho n un M,n

2 5 1 ,

n n M n

    

5n M, n n M, n

      : vô lý Vậy dãy số không bị chặn trên. b) Giả sử dãy v bị chặn nên tồn số m cho n vn m n,

3 , ,

n m n n m n

       

3 ,

n m n

    : vô lý

Vậy dãy số không bị chặn Bài toán Chứng minh dãy số bị chặn:

a)   

1 1

1.3 3.5 2

n

u

n n

   

  b) 4  13

n

n

n v

n   

 Giải

a)

1 1 1 1 1

2 3 2

n

u

n n

     

          

 

     

1

1

2 2

n

n n

 

   

 

 

Do 0un   nên dãy số bị chặn.1, n

b) Ta có  1 n -1 nên n   1 n  1 n   n

c) Do

1

0 1,

4

       

 n  n

n n

v v n

n n Vậy dãy số bị chặn

Bài toán Cho dãy  

2 :

4

n n

a a

n n



 

Xét dãy  bn :b1 a b1, n1bnan1,n 1

a) Tính b theo n.n b) Chứng minh dãy  b bị chặn trên.n

Giải a) Theo đề ta có: b1a b1,  b1 a2  a1 a2

3 3, , n n

b b a  a a a b  a a  a

a có

2 1

4 3

k

a

k k k k

  

    nên:

1

n n

b  a a  a

1 1 1 1 1 1

2 n n n n

   

              

  

   

1 1

2 n n

   

 

Vậy

5 1

6

n

b

n n

  

 

b) Ta có

5 1

6

n

b

n n

   

Bài toán Chứng minh dãy bị chặn:

2

1

1

,

2

n n

u u  u   

Giải Ta chứng minh quy nạp: 0un 1 (1)

Khi n

1 u 

:

Giả sử (1) n k , k nguyên dương: 0uk 1

Ta chứng minh (1) n k 1:

2

1

1

k k

u u    

2

1

1 1

2

k k

u

u       nên

1

0uk 1

Vậy (1) với n nguyên dương, dãy số bị chặn

Dạng tốn 4: TỐN TỔNG HỢP - Dãy số  u tăng với n ta có n un un1

- Dãy số  u giảm với n ta có n un un1

- Dãy số  u bị chặn vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới; tồn số M số m cho:n

*,

n

n N m u M

    .

- Xác định dãy nhờ các dãy phụ, đẳng thức, tổng, biến đổi gọn, dùng quy nạp,… - Dùng tính chất tuần hồn un k  để tính tổng…un

Bài tốn Xét tính đơn điệu bị chặn dãy:

2

2

1

2

n

n u

n  

 Giải

Ta có:

10 2, 1,

15 u   u  u  

Do u1u u2,  nên dãy số khơng tăng, khơng giảm.u3

Ta có:  

1

2 2

n

u

n  



Vì

1

1,

2

n

n

    

 nên

2 un

  

Vậy dãy số bị chặn

Bài tốn Xét tính đơn điệu bị chặn dãy:

2

2

n n

n v 

Giải Ta có vn  với n nguyên dương0

 2  2 2  2

1

1 1

1 1

:

2 2

n

n n n n

n

n v n n n

v

v n



  

  

   

Xét

 2

1

2

1 1

1 1

2 2

n n

n

v n

n n n n

v n n

              



Xét

1 1 2

2

n n

v

n n

v

     



Do u1u2  u3 u3 u4 u5 

Vậy dãy số không tăng, không giảm

0 ,

8

n

u u n

    

Bài toán Chứng minh dãy số  n u

với

2

3

n

n u

n  

 dãy số giảm bị chặn Giải

Ta có  

2

3 3

n

u

n  

 nên  

2

3 3

n

u

n

   

Do

5 1

0

3

n n

u u

n n

       

  , với

1 n

Vậy  u dãy số giảm.n

Vì u dãy số giảm nên bị chặn n M u1

Và  

5

1:

3

  

 n

n nên

2

,

3

n

u   n

: bị chặn Vậy dãy  u bị chặn.n

Bài toán Chứng minh dãy 2

1 1

1

n

u

n

   

tăng bị chặn Giải

Ta có: 2  2  2

1 1 1

1 1

n n

u u

n n n

       

 

Nên un1un,  : dãy tăngn

Vì dãy số tăng nên bị chặn m u 

Ta có: 2  

1 1 1

1

2 1.2 2.3

n

u

n n n

         



1 1 1

1

1 2 n n

     

          

     

1

2 2, n

n

    

: bị chặn Vậy dãy số bị chặn

Bài toán Cho số a

Chứng minh dãy un  a a  a (n dấu căn) dãy tăng bị chặn

Giải Ta chứng minh quy nạp:un1 un, n (1)

Khi n1: u2  a a  a u : đúng.1

Giả sử uk1 uk  a uk1  a uk

1

k k k k

a u  a u u  u 

      : đpcm

Vậy dãy số u tăng Ta có n un 0 từ (1) nên a u n un

2 0

n n n n

a u u u u a

      

1 1

2 n

a a

u

   

  

Vậy dãy bị chặn

Bài toán Chứng minh dãy

1 1

1

n

u n

n

    

dãy giảm bị chặn. Giải

Ta có:

1 1

1

n

u n

n n

       

Do đó:  

1

2 2

1

n n

u u n n n n

n n

         

 

2

0

2 n n n

  

   : dãy giảm

Vì dãy số giảm nên bị chặn u1  1

Ta có:  

1

2

1 k k

k  k  k    , áp dụng:

     

2 2 2

n

u       n  n  n

 

2 n n 2 n n

           

Do dãy số bị chặn Vậy dãy số bị chặn Bài toán Cho số a 0,1 Chứng minh dãy u :n

2

1

1

, ,

2 n 2 n

a a

u  u   u  n

, tăng bị chặn

Giải Vì 0 a nên un  0, n

Ta chứng minh quy nạp:un1u nn, 1 (1)

Khi n

:

2

2

1

2

a a a

u    u

: Giả sử (1) n k , k nguyên dương:

Ta chứng minh (1) n k 1 Thật vậy: uk1 uk uk21uk2

2

1

1

2 k 2 k k k

a a

u  u u  u 

     

: đpcm Ta chứng minh quy nạp:un 1,n1 (2)

Khi n

: 2

a u  

:

Giả sử (2) n k , k nguyên dương: Ta chứng minh (2) n k 1

Thật vậy:

2

1 1

2 2 2

k k

a a

u    u     

: đpcm Vậy dãy số tăng bị chặn

Bài toán Cho dãy số

 sn

với sn sin 4 n 16 

 

a) Chứng minh sn sn3 với n1

b) Hãy tính tổng 15 số hạng dãy số cho Giải a) Với n số nguyên dương tùy ý, ta có:

   

3 sin 6 sin 12 6

n

s    n    n  

   

sin sin

6 n

n   n  s

 

      

 

b) Từ kết ta có:

1 10 11 12 13 14 15

s   s s s  s s s   s s s s s s s s

Mà

7 11

sin 1, sin , sin

2 6

Nên: 15 15  3

1

5

2 S    s s s  s  s s     

 

Bài toán Cho dãy số

n

u

xác định bởi:

2

1

3

1, u 1,

2

n n n

u  u    u   n

Tính tổng 18 số hạng

Giải Ta có u1 1,u2 2,u3 0,u4 1,u5 2,

Ta chứng minh quy nạp:un3 u nn, 1 (1)

Khi n1thì u4   : đúng.1 u1

Giả sử (1) n k , k nguyên dương: Ta chứng minh (1) n k 1

Thật vậy:

2

4 3

3 5

u u

2 2

k k k k k k

u    u       u   u 

: đpcm Tổng 18 số hạng

     

18 16 17 18

S  u u u  u u u   u u u

 3  

6 u u u 18

      

Bài toán 10 Cho dãy  u xác định:n

1 2000; 2001; n 2 n n 3, 1,2,3

u  u  u   u  u  n

a) Tìm un b) Tính tổng n số hạng S n

Giải a) Ta có un2 2un1un 3

Do u32u2 u1 3;u42u3u2 3; ;un 2un1un2 3

Cộng vế n2 đẳng thức được:

 

1

n n

u u  u  u n

 

1 2

n n

u u   n u  u n

Do u3u2 3.3 5; u4 u3 3.4 5; ; un un13.n5

Cộng vế n2 đẳng thức trên:

   

2 3

n

u u    n  n

Nên

  

3 3

5 2011 2002

2

n

n n n n

u     n   

b) Ta có

2

1

3 7

.1 2002; 2 2002; ;

2 2

u    u   

2

3

.n n 2002

2

n

u   

Do    

2 2

3

1 2002

2

n

S    n    n  n

Vậy Sn n n 3n 1 2002.n

Bài toán 11 Cho dãy Fibonaxi  un :u1u2 1;un1 unun1

Chứng minh:

a) un2   1 u1 u2   u2n b) u1u3u5  u2n1u2n Giải

a) Ta có u1u u2; 1u2 u u3; u3 u4; ;un un1un2

Mà u1 nên 1 u1 u2   un un2

b) Ta có:

1  2; 2 3 4; 4  6; ; 2n2 2n1 2n

u u u u u u u u u u u

Cộng vế có: u1u3u5  u2n1u2n

Bài toán 12 Dãy  a thành lập theo quy tắc sau:n

1 1

1

1

1, , , n n

n

a a a a a

a  a 

    

Chứng minh 2n 1 an  3n2,n 1

Giải

Với k 

ta có

2

1

1

1

k k

k

a a

a





  

Để ý ak    nên 1, k ak21 2 ak2 ak213

Từ ta có: an21 2 an2 an213; an22  2 an21an223 ;

2 2 2

2 3; 2

a  a a  a  a a 

Suy ra: 2n 1 an2 3n  2, n

Vậy 2n 1 an  3n   (đpcm).2, n

BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài toán Viết số hạng đầu dãy số sau:

a)  1 tan sin

n n

n n

u     

b)

3

1 2, n n

u  u   u  n

HD-ĐS a) Thế n1;2;3;4;5;6;7;8;9 có kết b) Dãy truy hồi nên tính u u2; ; ; ;3 u u 8

Bài toán Xác định số hạng tổng quát dãy số:

a) u12,un un17,n2 b) v1 3,vn 5vn1,n2

HD-ĐS a) Kết un 7n5 b) Kết vn 3.5n



 Bài toán Xác định số hạng tổng quát dãy:

a) 1

1

2,

3

n n

u  u   u 

b) u12,u2 3,un1 3un 2un1,n

HD-ĐS

a) xét dãy phụ

1

n n

v u 

b) xét dãy phụ vn unun1

Bài toán Cho dãy  u xác định bởi: n u11,un1 3un10,n1

Chứng minh un 2.3n 5,n

HD-ĐS Chứng minh quy nạp

Bài toán Chứng minh dãy:

a) un n2 4n không bị chặn trên.7

b) vn   1 n n không bị chặn

a) Dùng phương pháp phản chứng b) Dùng phương pháp phản chứng

Bài toán Chứng minh dãy tăng bị chặn trên: a)

7

5

n

n u

n  

 b)

1 1

3 3

n n

v    

  

HD-ĐS a) Kết un 

b) Kết

n

v 

Bài toán Chứng minh dãy giảm bị chặn dưới: a)

1

5

n

n u

n  

 b)

1

n n

v

n 



HD-ĐS a) Kết quảun 

b) Kết vn 0

Bài toán Cho dãy số un  1 2nn1

Tính tổng: T  1 2.213.22 4.23  2018.22017

HD-ĐS

 

1

n

n n

u  u  n