SKKN: Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán Hình học cơ bản lớp 9

Sau khi áp dụng đề tài nhìn chung học sinh nắm vững kiến thức cơ bản, các em đã hứng thú hơn trong học tập, nhìn nhận bài toán một cách rộng hơn, yêu thích bộ môn hơn và đặc biệt nhiều em đã có phương pháp tự học tốt, biết cách phát triển bài toán và tự tin hơn khi học Hình học. 3. Giải pháp, biện pháp: 3.1 Mục tiêu của giải pháp, biện pháp: Đề tài: “Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán Hình học cơ bản lớp 9” nhằm mục đích giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn bản chất của bài toán, tạo cho các em phong cách học tập chủ động và sáng tạo. Từ việc suy luận và phát triển bài toán sẽ có nhiều bài toán hay được hình thành, góp phần làm cho kho tàng toán học ngày càng phong phú. 3.2 Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp: Việc suy luận và phát triển một bài toán Hình học có thể theo nhiều hướng khác nhau. Tuy nhiên, trong phạm vi đề tài này tôi chỉ nghiên cứu việc khai thác thêm các kết quả có thể có được của bài toán và đề xuất các bài toán mới nhằm rèn luyện khả năng sáng tạo cho học sinh, giúp học sinh phát triển tư duy, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo trong giải toán, đồng thời giáo dục lòng say mê học Toán cho học sinh. Đề tài này không đề cập nhiều đến việc hình thành kĩ năng giải toán cho học sinh mà quan tâm đến hướng khai thác, suy luận để phát triển bài toán. Bắt đầu từ bài toán cơ bản và quen thuộc sau: a) Bài toán 1: ( Bài tập 11 trang 104 SGK Toán 9 tập 1) Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường kính AB. Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD. Chứng minh rằng: CH = DK. Gợi ý: Kẻ OM vuông góc với CD. Giải: GT Đường tròn (O) đường kính AB; dây CD; CD AB = ; AH CD (H CD); BK CD (K CD) KL CH = DK Hướng dẫn chứng minh: Kẻ OM CD (M CD) Hướng dẫn học sinh phân tích theo sơ đồ sau: CH = DK MH – MC = MK – MD MH = MK ; MC = MD Ta có: MH = MK vì AHKB là hình thang, hình thang này có O AB, OA = OB, OMAHBK Ta cũng

MỤC LỤC

I PHẦN MỞ ĐẦU

2.4 Các nguyên nhân, các yếu tố tác động

2.5 Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đặt ra.

556773 Giải pháp, biện pháp

3.1 Mục tiêu của giải pháp, biện pháp

3.2 Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp 3.3 Điều kiện để thực hiện giải pháp, biện pháp

3.4 Mối quan hệ giữa các giải pháp, biện pháp

8826264 Kết quả thu được qua khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề nghiên

Tri thức nhân loại nói chung và kiến thức toán học nói riêng là vô tận Đểchiếm lĩnh, nắm bắt kiến thức toán học một cách hiệu quả, tích cực thì cần phải cóphương pháp nghiên cứu, học tập đúng đắn, phù hợp Một trong những phươngpháp tích cực đó là khám phá, tìm tòi từ kết quả của các bài toán đã có Trong quátrình dạy học Toán nói chung, người giáo viên phải biết lựa chọn phương phápthích hợp để kích thích tính tích cực, tư duy sáng tạo ở học sinh Trong thực tế hiệnnay, mỗi khi học xong bài học, giáo viên đưa ra các bài tập trong sách giáo khoa vàcho học sinh giải các bài tập đó, nếu chỉ dừng lại các bài tập đơn lẻ sẽ gây cho họcsinh sự nhàm chán trong học Toán đặc biệt là môn Hình học Nếu áp dụng cáchhọc này sẽ không kích thích được tính tò mò, tư duy sáng tạo cho học sinh Qua

nhiều năm giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 9, bản thân tôi nhậnthấy việc suy luận, mở rộng và phát triển các bài toán từ một bài toán cơ bản trongsách giáo khoa sẽ kích thích cho học sinh tính sáng tạo và phát triển tư duy, họcsinh sẽ kết nối các kiến thức lại với nhau Với cách học và cách dạy như thế sẽluôn tạo cho học sinh tình huống có vấn đề, bắt buộc học sinh phải tìm tòi, suynghĩ để giải quyết các vấn đề đặt ra.

Với những lý do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Suy luận và phát triển cácbài toán mới từ một bài toán cơ bản Hình học lớp 9” với mong muốn góp phầnnâng cao chất lượng bộ môn Toán nói chung và môn Hình học nói riêng ở trườngTHCS, giúp học sinh lớp 9 biết suy luận và phát triển được các bài toán từ cơ bảnđến nâng cao, đồng thời tôi cũng mong muốn được chia sẻ một vài kinh nghiệmgiảng dạy của mình để đồng nghiệp tham khảo, rất mong được sự đóng góp chânthành để đề tài được phát huy hiệu quả.

2 Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài:

Đề tài: “Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hìnhhọc lớp 9” giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn bản chất của bài toán, tạo cho các emphong cách học tập chủ động và sáng tạo Từ việc suy luận và phát triển bài toán sẽcó nhiều bài toán hay được hình thành, góp phần làm cho kho tàng toán học ngàycàng phong phú.

Giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản, chủ động trong học tập để các emluôn có thể tự học và tự sáng tạo, tạo cho mình một thói quen là sau khi đã tìmđược lời giải bài toán Hình học, dù là đơn giản hay phức tạp, từ bài toán đã có cầntiếp tục suy luận, đặc biệt hóa một số điều kiện hay thay đổi một số điều kiện tronggiả thiết và áp dụng kiến thức vốn có của mình để phát triển các bài toán mới.Từng bước giúp các em học sinh chủ động sang tạo trong việc tiếp thu kiến thức,làm chủ tình huống, từ đó càng yêu thích môn Hình học hơn.

Phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh, tạo động lực thúc đẩy giúpcác em học sinh có được sự tự tin trong học tập, hình thành phẩm chất sáng tạo khigiải toán và niềm đam mê bộ môn.

Góp phần nâng cao chất lượng giáo dục và hiệu quả giảng dạy,chất lượngbồi dưỡng học sinh giỏi và phụ đạo học sinh yếu kém; phát huy được tính tíchcực, chủ động và sáng tạo của giáo viên cũng như của học sinh trong quá trình dạy- học môn Hình học cấp THCS.

3 Đối tượng nghiên cứu:

Một số suy luận từ bài toán Hình học đã giải, phát triển thêm các bài toánmới, từng bước hình thành cho học sinh sự tự tin và niềm đam mê bộ môn.

4 Giới hạn phạm vi nghiên cứu:

Đề tài này được nghiên cứu trong khuôn khổ suy luận và phát triển các bàitoán mới từ một bài toán Hình học cơ bản lớp 9.

Đối tượng khảo sát: học sinh lớp 9A3, 9A4 trường THCS Lê Đình Chinh, xãQuảng Điền, huyện Krông Ana, tỉnh ĐăkLăk.

Thời gian: Năm học 2015 - 2016

5 Phương pháp nghiên cứu:

- Nghiên cứu lí thuyết.

- Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kết quả học tập của học sinh.- Đưa ra tập thể tổ chuyên môn thảo luận

- Thực nghiệm giảng dạy cho học sinh lớp 9A3, 9A4 trường THCS Lê Đình Chinh,xã Quảng Điền, huyện Krông Ana

- Điều tra, đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi thực nghiệm giảng dạy.

II PHẦN NỘI DUNG1 Cơ sở lí luận:

Qua nhiều năm giảng dạy môn Toán cấp THCS tôi nhận thấy đa số học sinhsợ học môn Hình học, nhiều em chưa có phương pháp học phù hợp với đặc thù bộmôn, những em khá, giỏi cũng ít hứng thú với môn Hình học Có rất nhiều nguyênnhân, trong đó có thể xem xét một số nguyên nhân cơ bản sau:

- Đặc thù của môn Hình học là mọi suy luận đều có căn cứ, để có kĩ năngnày học sinh không chỉ phải nắm vững kiến thức cơ bản mà còn phải có kĩ năngtrình bày suy luận một cách logic, kĩ năng này đối với học sinh là tương đối khó.Đứng trước một bài toán Hình học các em thường không biết bắt đầu từ đâu, trìnhbày chứng minh như thế nào

- Trong quá trình dạy học, giáo viên đôi khi còn xem nhẹ hoặc chưa chútrọng việc nâng cao, mở rộng, phát triển các bài toán đơn giản ở sách giáo khoahoặc chưa thực sự đầu tư vào lĩnh vực này Vì thế, chưa tạo được hứng thú cho họcsinh qua việc phát triển vấn đề từ bài toán cơ bản.

Để giải quyết vấn đề trên, trong quá trình giảng dạy giáo viên cần chú trọngcác bài toán ở sách giáo khoa, biết phát triển các bài toán đơn giản đã gặp để tăngvốn kinh nghiệm vừa phát triển năng lực tư duy toán học vừa có điều kiện để tăngkhả năng nhìn nhận vấn đề mới từ cái đơn giản đã có, từ đó hình thành phẩm chấtsáng tạo khi giải toán sau này Việc phát triển một bài toán phù hợp với từng đốitượng học sinh là rất cần thiết và quan trọng, nó vừa đảm bảo tính vừa sức và làgiải pháp có hiệu quả cao trong việc giải toán vì nó không tạo cho học sinh sự nhụtchí mà là động lực thúc đẩy giúp cho học sinh có sự tự tin trong quá trình học tập,bên cạnh đó còn phát huy được khả năng sáng tạo, phát triển khả năng tự học, hìnhthành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập, kích thích tò mò ham tìm hiểu và đemlại niềm vui cho các em, từ đó các em yêu thích và đam mê bộ môn hơn.

2 Thực trạng:

2.1 Thuận lợi, khó khăn: Thuận lợi:

Điều kiện kinh tế của địa phương ngày càng phát triển, nhiều cha mẹ họcsinh đã có sự đầu tư, quan tâm nhiều đến việc học của học sinh Môn Toán là mộttrong những môn học ngày càng được học sinh và cha mẹ học sinh quan tâm nhiềuhơn

Nội dung ở sách giáo khoa Toán 9 được biên soạn khá công phu, hệ thốngkiến thức trình bày khoa học, phù hợp với đối tượng học sinh Đặc biệt hệ thốngbài tập trong sách giáo khoa phong phú và hết sức cơ bản, được chọn lọc kĩ, cónhiều bài tập được viết dưới dạng mở chứa nhiều vấn đề để suy luận, khai thác vàphát triển, tạo điều kiện thuận lợi để học sinh và giáo viên khai thác, tìm tòi thêmcác bài toán mới nhằm phát huy sự sáng tạo trong giảng dạy và học tập.

Khó khăn:

Một số gia đình học sinh hoàn cảnh còn khó khăn, chưa thực sự quan tâmđến việc học của con em mình dẫn đến ảnh hưởng không nhỏ đến việc đầu tư thờigian, vật chất, tinh thần cho con em học tập

Đa số học sinh chưa hứng thú khi học Hình học, bởi vì các bài toán trongphân môn Hình học rất đa dạng và khá trừu tượng, mỗi bài toán có thể có nhiềucách giải khác nhau, để chứng minh được bài toán Hình học thì học sinh phải vậndụng các định lí, các tiên đề đã được học một cách linh hoạt Thế nhưng, tất cảkiển thức cơ bản đã học hầu như các em đã bị quên ngay từ ở lớp dưới

2.2 Thành công, hạn chế: Thành công:

Chất lượng đại trà môn Toán tương đối tốt, tăng từng năm, có nhiều học sinh

tham gia thi học sinh giỏi văn hóa, thi giải toán qua mạng internet đạt kết quả cao

Công nghệ thông tin ngày một thịnh hành, thuận lợi cho học sinh tìm tòi,nghiên cứu và mở rộng kiến thức.

- Học sinh còn yếu về kỹ năng phân tích đa chiều một bài toán, chưa biếtkhai thác và tổng quát hóa bài toán đã cho

2.3 Mặt mạnh, mặt yếu: Mặt mạnh:

Công nghệ thông tin ngày một phát triển, có nhiều phần mềm trình chiếuphục vụ cho tiết dạy khiến tiết dạy sinh động hơn sẽ kích thích trí tò mò và tănghứng thú học tập cho học sinh.

Nhiều cuộc thi Toán học được tổ chức hàng năm như: cuộc thi học sinh giỏivăn hoá môn Toán, giải toán trên máy tính cầm tay CasiO, giải toán trên mạngInternet, là những sân chơi bổ ích góp phần rất lớn trong việc thu hút và lôi cuốnhọc sinh đến với Toán học

Mặt yếu:

Nhiều học sinh bị mất kiến thức ngay từ lớp dưới, chưa nắm được kiến thức cơ bảncủa hình học nên rất khó khăn trong việc phân tích tìm lời giải, khả năng tư

duy, kỹ năng vẽ hình và trình bày bài giải chưa tốt

Học sinh còn thụ động khi tiếp thu kiến thức, khả năng tư duy toán học ởhọc sinh còn mờ nhạt, nhiều em học không đi đôi với hành, làm cho bản thân ítđược củng cố, khắc sâu kiến thức, ít được rèn luyện kĩ năng để làm nền tảng tiếpthu kiến thức mới, do đó năng lực cá nhân không được phát huy hết.

2.4 Các nguyên nhân, các yếu tố tác động:

- Học sinh còn yếu về khả năng phân tích bài toán để tìm lời giải.

- Học sinh không nhớ những kiến thức Hình học đã được lĩnh hội ở các lớpdưới nên khả năng vận dụng kiến thức vào giải một bài toán còn hạn chế.

- Sự hứng thú, tính tích cực của học sinh với môn Hình học chưa cao.

- Đa số học sinh chưa có thói quen khai thác bài toán đã giải, chưa có tínhsáng tạo trong giải toán, khả năng vận dụng kiến thức còn chưa linh hoạt.

- Do thời lượng luyện tập giờ chính khóa còn ít, vì vậy học sinh chưa có thờigian để ôn tập, giải bài tập nhiều

2.5 Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đã đặt ra:

Hình học là một môn học khó đối với học sinh, đặc biệt là học sinh trungbình, yếu, kém Đa số học sinh sợ học môn Hình học, khả năng tư duy, phân tíchtổng hợp của học sinh còn hạn chế, nhiều học sinh không xác định được bài toán,không vẽ được hình hoặc vẽ hình không chính xác nên rất khó khăn trong quá trìnhchứng minh Với đặc thù của phân môn Hình học là mọi suy luận đều phải có căncứ, đòi hỏi học sinh phải có kĩ năng trình bày suy luận một cách logic Kĩ năng nàyđối với học sinh thì tương đối khó, vì mức độ ghi nhớ các kiến thức Hình học từnhững lớp dưới của nhiều học sinh còn hạn chế Do đó khi gặp một bài toán Hìnhhọc học sinh thường không biết bắt đầu từ đâu, trình bày chứng minh như thế nào.Chính vì thế mà việc giúp HS nắm vững kiến thức, hiểu một vấn đề theo nhiềukhía cạnh khác nhau, vận dụng linh hoạt các kiến thức vào làm bài tập, tạo niềmsay mê, hứng thú học Toán nói chung và Hình học nói riêng cho các em học sinh làrất quan trọng đối với người giáo viên

Để giúp học sinh học tập tốt môn Hình học, hãy bắt đầu bằng những bài tập trong sách giáo khoa và đừng quên khai thác bài toán sau khi giải Với đề tài nghiêncứu: “Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán cơ bản Hình học lớp 9” sẽ đáp ứng được phần nào yêu cầu này, bên cạnh đó còn góp phần nâng cao kiến

thức, tư duy toán học, khả năng phân tích và suy luận cho học sinh, đồng thời khơi dậy cho các em sự tự tin trong học tập và niềm đam mê bộ môn.

Mỗi bài toán đưa ra trong đề tài đều có phân tích cụ thể, định hướng chứngminh, chỉ ra được kiến thức cần vận dụng để chứng minh bài toán, sau khi trìnhbày lời giải đều có những nhận xét từ các kết quả có được của bài toán và đề xuấtcác bài toán mới Qua đó, củng cố, khắc sâu, mở rộng và nâng cao kiến thức chohọc sinh, giúp học sinh phát triển tư duy, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạotrong giải Toán, đồng thời giúp học sinh tự tin hơn, thích thú hơn với phân mônHình học

Đề tài này được lồng ghép vào các tiết luyện tập, ôn tập chương, các tiết ôntập học kì , các tiết phụ đạo học sinh yếu kém và bồi dưỡng học sinh giỏi.

Sau khi áp dụng đề tài nhìn chung học sinh nắm vững kiến thức cơ bản, cácem đã hứng thú hơn trong học tập, nhìn nhận bài toán một cách rộng hơn, yêu thíchbộ môn hơn và đặc biệt nhiều em đã có phương pháp tự học tốt, biết cách pháttriển bài toán và tự tin hơn khi học Hình học.

3 Giải pháp, biện pháp:

3.1 Mục tiêu của giải pháp, biện pháp:

Đề tài: “Suy luận và phát triển các bài toán mới từ một bài toán Hình học cơbản lớp 9” nhằm mục đích giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn bản chất của bài toán,tạo cho các em phong cách học tập chủ động và sáng tạo Từ việc suy luận và pháttriển bài toán sẽ có nhiều bài toán hay được hình thành, góp phần làm cho kho tàngtoán học ngày càng phong phú.

3.2 Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp:

Việc suy luận và phát triển một bài toán Hình học có thể theo nhiều hướng khác nhau Tuy nhiên, trong phạm vi đề tài này tôi chỉ nghiên cứu việc khai thácthêm các kết quả có thể có được của bài toán và đề xuất các bài toán mới nhằm rènluyện khả năng sáng tạo cho học sinh, giúp học sinh phát triển tư duy, phát huytính tích cực, chủ động, sáng tạo trong giải toán, đồng thời giáo dục lòng say mêhọc Toán cho học sinh Đề tài này không đề cập nhiều đến việc hình thành kĩ nănggiải toán cho học sinh mà quan tâm đến hướng khai thác, suy luận để phát triển bàitoán Bắt đầu từ bài toán cơ bản và quen thuộc sau:

a) Bài toán 1: ( Bài tập 11 trang 104 - SGK Toán 9 tập 1)

Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường kính AB Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD Chứng minh rằng: CH = DK Gợi ý: Kẻ OM vuông góc với CD.

Giải:

GT Đường tròn (O) đường kính AB; dây CD; CD AB= ;

AH CD (H CD); BK CD (K CD)KL CH = DK

Hướng dẫn chứng minh: Kẻ OM CD (M CD)

Hướng dẫn học sinh phân tích theo sơ đồ sau: CH = DK

MH – MC = MK – MD

Vì nên HK.OM = AB.MM’ (1)

Mặt khác, ta có OM là đường trung bình của hình thang AHBK nên

(2)Từ (1 ) và (2) ta có:

Vẽ thêm CC’ AB, DD’ AB (C’, D’ AB), ta có: MM’ là đường trung bình của hình thang CDD’C’

Qua nhận xét 1.1, ta có bài toán khó hơn bài toán 1 như sau:

Bài toán 1.1: Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường kính

AB Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD Chứng minh rằng:

* Nhận xét 1.2:

Từ bài toán 1, nếu giả thiết dây CD không cắtđường kính AB được thay thế bằng giả thiết dây CD cắt đường kính AB thì kết luận CH =DK vẫn đúng

Thật vậy, để chứng minh CH = DK ta chứng minh CD và HK có chung trung điểm.

Qua O vẽ đường thẳng song song với BK và AH, cắt CD và AK lần lượt tại I và F.

Từ nhận xét 1.2 ta có bài toán 1.2 như sau:

Bài toán 1.2: Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD cắt AB tại G Gọi H và

K lần lượt là hình chiếu của A và B trên CD Chứng minh: CH = DK.

* Nhận xét 1.3:

Từ bài toán 1, nếu sử dụng phương pháp phản chứng ta sẽ chứng minh được H và K ở bên ngoài đường tròn (O) Thật vậy, giả sử chân đường vuông góc hạ từ A đến đường thẳng CD là H’, H’ là điểm nằm giữa 2 điểm C và D.Xét ta có:

Mà (theo giả sử)

Tổng các góc trong của lớn hơn Điều này vô lí.

Vậy H’ phải nằm ngoài đường tròn (O) H nằm ngoài đường tròn (O)Chứng minh tương tự đối với điểm K

Từ nhận xét 1.3 ta có bài toán 1.3 như sau:

Bài toán 1.3: Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường kính

AB Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD Chứng minh rằng: H và K ở bên ngoài (O)

* Nhận xét 1.4: Ở bài toán 1, để chứng minh CH = DK ta chứng minh hai đoạn

thẳng CD và HK có chung trung điểm bằng cách vận dụng định lí : "Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy” và định lí : "Đường thẳngđi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai” Với ý tưởng này, ta xây dựng một bài toán mà cách giải hoàn toàn tương tự như cách giải của bài toán 1:

Bài toán 1.4: Cho đường tròn O đường kính AB, dây CD không cắt đường kính.

Qua C và D kẻ các đường vuông góc với CD lần lượt cắt AB tại H và K Chứngminh rằng AH = BK.

Giải:

GT Đường tròn (O) đường kính AB; dây CD; CD AB = ;

CH CD (H AB); DK CD (K AB)KL AH = BK

Hướng dẫn chứng minh: Hướng dẫn học sinh phân tích theo sơ đồ sau:

AH = BK

OA - OH = OB – OK OA = OB; OH = OKTa có OA = OB (Bán kính)

Để chứng minh OH = OK ta kẻ OI CD(I CD) IC = ID (Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây) Tiếp tục vận dụng định lí : "Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai” để có OH = OK.

b) Bài toán 2: ( Bài tập 30 trang 116 - SGK toán 9 tập 1)

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB

(Ax, By và của đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D Chứng minh rằng: a)

Mz By= KL a)

b) CD = AC + BD

c) AC.BD không đổi khi M di động trên nửa đường tròn

Ở câu c) ta có AC.BD = CM.MD (theo chứng minh trên)

Do đó để chứng minh AC.BD không đổi khi M di động trên nửa đường tròn ta cần chứng minh CM.MD không đổi khi M di động trên nửa đường tròn