tom tat cong thuc luong giac 2

Phương trình lượng giác cơ bản :.[r]

1 Phương trình lượng giác cơ bản :

 Cos u = Cos v  u =  v + k2 k  Z

 Sin u = Sin v  





















2

2

k v u

k v u

k  Z

 tan u = tan v  u = v + k k  Z

 Cot u = Cot v  u = v + k k  Z

Các phương trình lượng giác đặc biệt:

Cos u = 0  u =

2

 + k

Cos u = 1  u = k2

Cos u = 1  u =  + k2

Sin u = 0  u = k

Sin u = 1  u =

2

 + k2

Sin u = 1  u = 

2

 + k2

Chú ý : Sin u = b ; b> 1 => phương trình vô nghiệm

Cosu = b ; b> 1 => phương trình vô nghiệm

2 Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác : a 0

 a.Cos2u + b Cos u + c = 0 Đặt : t = Cos u ; đk: 1 t  1

 a.Sin2u + b Sin u + c = 0 Đặt : t = Sin u ; đk: 1 t  1

 a.tan2u + b.tan u + c = 0 Đặt : t = tan u

3 Phương trình bậc nhất theo Sin và Cos

Dạng : a Sin u + b Cos u = c ( a,b,c khác không )

 Điều kiện để pt có nghiệm :

2

2 b a

c



 1  a 2 + b 2  c 2

Giải: Chia hai vế pt cho a 2 b2 ta có :

2

2

b

a

a



Sin u +

2

2 b a

b



Cos u =

2

2 b a

c

 ( *)

Đặt :

2

2 b

a

a



= Cos ;

2 2

b a

b



= Sin ;

2 2

b a

c



= Sin 

Pt (*) trở thành : Cos.Sin u + Sin.Cos u = Sin 

 Sin(u +  ) = Sin 

Đặc biệt : b = c b = c

Pt : a.Sin u + b.(Cos u  1) = 0 Pt : a.Sin u + b.(Cos u + 1) = 0

 2a.Sin

2

u

Cos

2

u

 2b.sin2

2

u

= 0  2a.Sin

2

u

Cos 2

u

+ 2b.Cos2

2

u

= 0

 2 Sin

2

u

[a.Cos

2

u

b.Sin 2

u

]= 0  2 cos

2

u

[a.sin 2

u

+b.cos 2

u

]= 0



u

Sin 0

2

u a

tan

2 b























u cos 0 2

tan

4 Pt dạng: a Sin 2 x + b.Sinx.Cosx + c.Cos 2 x = 0 (*) ( a,b,c  0 )

Cách 1:

Nếu : a= 0 pt trở thành: Cosx( b.Sin x + c.Cosx) = 0 ( giải được )

Nếu a  0 => Cos x= 0 không phải là nghiệm của pt , chia hai vế

pt cho Cos2x  0 Ta có : a.tan2x + b.tanx + c = 0

Chú ý : Pt : a Sin 2 x + b.Sinx.Cosx + c.Cos 2 x = d

chuyển về dạng (*) bằng cách thay d = d( Sin2x + Cos2x )

=> a Sin 2 x + b.Sinx.Cosx + c.Cos 2 x = d ( Sin2x + Cos2x )

<=> (ad).sin2x +b.sinx.cosx +(cd).cos2x =0

Nếu: ad= 0 pt trở thành:Cosx[ b.Sin x + (cd).Cosx]= 0

( giải được ) cosx =0 hoăc tanx =(dc)/a

Nếu ad  0 => Cos x= 0 không phải là nghiệm của pt , chia hai

vế pt cho Cos2x  0 Ta có : (ad).tan2x + b.tanx + cd = 0

5 Phương trình đối xứng :

a.(Sin x + Cosx ) + b.Sin x.Cosx + c = 0 Đặt: t = Sin x + Cosx = 2 Sin(x+

4

 ) ; đk t 2

Sin x.Cosx =

2 1

2

t

; sin2x= t2 1

Pt trở thành : a.t + b

2 1 2



t

+ c = 0

6 Phương trình phản đối xứng :

a.(Sin x  Cosx ) + b.Sin x.Cosx + c = 0 Đặt: t = Sin x  Cosx = 2 Sin(x

4

 ) ; đk t 2

Sin x.Cosx =

2

1t2

; sin2x = 1t2

Pt trở thành : a.t + b

2

1t2

+ c = 0

Chú ý :  Sin2x = 2.Sin x.Cos x

 Cosx Sin x = 2 Cos(x +

4

 ) =  2 Sin( x

4

 )

 Cosx + Sin x = 2 Cos(x 

4

 ) = 2 Sin(x +

4

 )

7 Phương trình lượng giác đặc biệt:

 Dạng tổng bình phương : A2 + k.B2 = 0 , k > 0 









 0

0

B A

Dạng phương pháp đối lập :



























B A

A













M B

M A

 Dạng phương pháp phản chứng :

































1

1 B A B A

A











 1

1

B B

A A

8 Mối liên hệ hình học và lượng giác Định lý h/s Sin:

2R =

SinA

a

=

SinB

b

=

SinC

c

=

2

2

2

2Cos A Cos B Cos C

p

Định lý h/s Cos

a2 = b2 + c2  2b.c.Cos A

b2 = a2 + c2  2a.c.Cos B

c2 = b2 + a2  2b.a.Cos C

Cos A =

c b

a c b

2

2 2 2





Suy ra: CotA =

c b a

a c b R

2

) ( 2 2 2

; CotB =

c b a

b c a R

2

) ( 2 2 2

;

Diện tíùch tam giác :* S =

2

1 a.ha = 2

1 b.hb= 2

1 c.hc => ha=2S/a

* S = 2

1 a.b.SinC=

2

1 b.c.SinA=

2

1 a.c.SinB => SinA =

bc S

* S=

R

c b a

4

= p.r = p(pa)(pb)(pc)

* Định lý đường trung tuyến :

ma = 2

1 (b2 + c2) 

4

1

a2 ; mb =

2

1 (a2 + c2) 

4

1

b2

mc2 = 2

1 (b2 + a2) 

4 1

c2