Cac cong thuc luong giac co ban

Dạng 6 : Biến đổi tương đương dưa về dạng cơ bản Giải các phương trình lượng giác sau :. 1.[r]

Chương I: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1 Cung liên kết

a) Cung đối: cos x cos ; sinx  x  sin ; x b) Cung bù: cos  x  cos ; sinx   x sin ; x

c) Cung phụ: cos sin ; sin cos ; tan( ) cot ; cot tan

2 x x 2 x x 2 x x 2 x x

   

     

       

     

     

d) Cung  : cos x  cos ; sinx  x  sin ; x e) Cung

2



: cos sin ; sin cos ;

2 x x 2 x x

 

   

   

   

   

2 Công thức lượng giác

a) Công thức cộng: b) Công thức nhân đôi

 

cos cos cos sin sin

sin( ) sin cos cos sin

tan tan

tan( )

1 tan tan cot a cot 1

cot( )

cot a cot

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b b a b b               2 2 sin 2 2sin cos

cos2 cos sin

2cos 1 2sin

2 tan tan 2

1 tan

a a a

a a a

a a a a a         

c) Công thức nhân ba d) Công thức hạ bậc

3

3

sin 3 3sin 4sin

cos3 4cos 3cos

a a a

a a a

 

 

2

3

1 cos 2 1 cos 2

sin ; cos

2 2

3sin sin3 3cos cos3

sin ; cos

4 4

a a

a a

a a a a

a a

 

 

 

 

e) Cơng thức tích thành tổng f) Cơng thức tổng thành tích

 

 

 

1

cos cos cos( ) cos( )

2 1

sin sin cos( ) cos( )

2 1

sin cos sin( ) sin( )

2

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

   



   

   

cos cos 2cos cos

2 2

cos cos 2sin sin

2 2

sin sin 2sin cos

2 2

sin sin 2cos sin

2 2

a b a b

a b

a b a b

a b

a b a b

a b

a b a b

a b                

3 Hằng đẳng thức thường dùng

 

2 4 6

2

2

2

1 3

sin cos 1 sin cos 1 sin 2a sin cos 1 sin 2

2 4

1 1

1 tan 1+cot sin 2 sin cos

cos sin

a a a a a a a

a a a a a

a a

       

     

4 Phương trình lượng giác

1

2

sin ( ) ( ) arcsin 2 ; sin sin

2

1

( ) arcsin 2

VN m

x k

f x m f x m k x

x k

m

f x m k

1

2

cos ( ) ( ) arccos 2 ; cos cos

2 1

( ) arccos 2

VN m

x k

f x m f x m k x

x k

m

f x m k

 

 

 



 

  



      

  

 

  

 

tan ( )f x m f x( ) arctan m k ; tanxtan  x   k

cot ( )f x m f x( ) arccot m k ; cotx cot  x   k

5 Phương trình thường gặp a Phương trình bậc

2 2

2 2

2

2

.sin ( ) .cos ( ) 0 sin ( ) cos ( )

.cos ( ) .sin ( ) 0 ( ) sin ( )

cos ( ) cos ( ) 0 cos2 ( ) 2cos ( ) 1

cos ( ) sin ( ) 0 cos ( ) 2sin ( )

.t

a f x b f x c Thay f x f x

a f x b f x c Thay f x f x

a f x b f x c Thay f x f x

a f x b f x c Thay f x f x

a

     

     

     

     

cos

1

an ( ) cot ( ) 0 cot ( )

tan ( )

f x b f x c Thay f x

f x

    

b Phương trình dạng asin ( )f x bcos ( )f x c  Điều kiện có nghiệm: a2b2 c2

 Chia vế cho a2 b2 , dùng công thức cộng chuyển dạng theo sin cos c Phương trình đẳng cấp

 Dạng a.sin2x b .sin cosx x c .cos2 x d

 Xét cosx = có thỏa mãn phương trình hay khơng

 Xét cosx 0, chia vế cho cos2x để phương trình bậc theo tanx  Có thể thay xét cosx, ta thay việc xét sinx

 Dạng a.sin3x b .sin2xcosx c .sin cosx x d .cos3x0  Xét cosx = có thỏa mãn phương trình hay khơng

 Xét cosx 0, chia vế cho cos3x để phương trình bậc theo tanx  Có thể thay xét cosx, ta thay việc xét sinx

d Phương trình đối xứng loại 1: a(sinxcos )x b.sin cosx x c  Đặt t = sinx cosx, điều kiện t  2

 Thay vào phương trình ta phương trình bậc theo t e Phương trình đối xứng loại : atann xcot )nx b(tanxcotx 0

 Đặt t = tanx - cotx t R ; Đặt t = tanx + cotx t 2  Chuyển phương trình theo ẩn t

f Các phương pháp giải phương trình lượng giác tổng quát

 Phương pháp biến đổi tương đương đưa dạng  Phương pháp biến đổi phương trình cho dạng tích  Phương pháp đặt ẩn phụ

 Phương pháp đối lập

 Phương pháp tổng bình phương B BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Dạng : Phương trình lượng giác bản. Bài : Giải phương trình lượng giác sau :

1 cos sin 2 0

3

x  x

 

  

 

  2 cos x 3 cos x 3 1

 

   

   

   

    3 tan tanx x1

4 sin2x sin tan2x 2x 3

  5 5cos2xsin2x 4 3 3sin cos 1

cos

x x

x

7 cos 24 x sin 3x sin 24 x

  8 tan 1 tan

4

x  x

 

  

 

  9

3 1

sin cos cos sin

4

x x  x x

10 sin4x cos4x cos 4x

  11 cos7x - sin5x = ( cos5x - sin7x) 12 sin + cos = 13 sin 52 x cos 32 x 1

  14 cos cos2 cos4 2

16

x x x 15 sinsinx 1

16

2

cos sin

1 sin 1 cos

x x

x  x

  17

1 1 2

cosx sin 2x sin 4x 18

3

4sin 2x6sin x3 Bài : Cho phương trình tancosx cotsinx

1 Tìm điều kiện xác định phương trình.

2 Tìm tất nghiệm thuộc đoạn 3 ;  phương trình. Bài : Cho phương trình sin6x + cos6x = m.

1 Xác định m để phương trình có nghiệm.

2. Xác định m để phương trình có nghiệm khoảng 0;

Bài 4: Giải biện luận phương trình 2m 1 cos2 x2 sinm 2x3m 2 0 Dạng : Phương trình bậc nhất, bậc hai. Bài : Giải phương trình lượng giác sau :

1 2cos2 5sin 4 0

3 3

x  x 

   

    

   

    2

5

cos2 4cos 0

2

x x 

3 sin4 x cos4x cos 2x

  4 cos4 sin4 sin 2 1

2

x x x

5 2 cos 32 x 2 2 cos3 x 1 0 6 cos4 sin4 2sin 1

2 2

x x

x

  

7 4 sin cos6  cos 2 0 2

x x    x 

  8 2 tanx3cotx4

9 cos4 sin2 1 4

x x 10

2

6

cos sin

4cot 2

sin cos

x x

x

x x

 



11 2tan cot 2sin 2 1

sin 2

x x x

x

   12 sin8 cos8 17cos 22

16

x x  x

13 4cosx cos 4x 1 2cos 2x 14 4sin5xcosx 4cos sin5x x cos 42 x 1

  

15 cos 4x cos 32 x cos2x 1

   16 sin 3xcos 2x 1 2sin cos 2x x Bài : Cho phương trình sin 3x m cos 2x (m1)sinx m 0

1 Giải phương trình m = 2.

2. Xác định m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng 0;2

Dạng : Phương trình bậc theo sinx, cosx. Bài : Giải phương trình lượng giác sau :

1 3sinx cosx 2 0 2 3sinx 1 4sin3x 3 cos3x

  

3 sin4 cos4 1

4

x x 

  4  

4

2 cos xsin x  3 sin 4x2 5 2sin 2x 2 sin 4x0 6 3sin 2x2cos 2x3

7 3cos 2 3sin 9

2

9 sin cosx x sin2x cos 2x

  10 tanx 3cotx4 sin x 3 cosx

11 2sin 3x 3 cos7xsin 7x0 12 cos5x sin3x 3 cos3 x sin 5x 13 2sinx cosx 1 cos x sin2 x 14 1 cos xsin 3x cos3x sin 2x sinx 15 3sinx 1 4sin3x 3 cos3x

   16 3sin cos 2cos 2

3

x x x  

 

Bài : Cho phương trình 3 sinm x2m 1 cos x3m1 1 Giải phương trình m = 1.

2 Xác định m để phương trình có nghiệm.

Bài : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số

1 cos sin 1

sin 2cos 4

x x

y

x x

 



  2

cos3 sin3 1

cos3 2

x x

y

x

 





3 1 3sin 2cos

2 sin cos

x x

y

x x

 



  4

2

sin cos cos

sin cos 1

x x x

y

x x  



Dạng : Phương trình đẳng cấp Bài : Giải phương trình lượng giác sau :

1 2sin2x sin cosx x 3cos2x 0

   2 2sin 2x 3cos2 x5sin cosx x 2 0 3 sin2 xsin 2x 2cos2x0,5 4 sin 2x 2sin2x 2cos 2x

 

5 2sin2x + 3sinx.cosx - 3cos2x = 1 6 4 3 3

2 2

os x sin sin x

c  x 

7 3sin2x4sin 2x8 cos  2x0 8 2cos3x 3cosx 8sin3x 0

  

9 3 cos3 5sin3 7sin 8 cos 0

3

x x x x 10 6sin 2cos3 5sin cos

2cos 2

x x

x x

x

 

11 sin2 2 sin

4

x  x

 

 

 

  12 3 cosx sinxcos3x3 sin sin 2x x

13 3sin2x 2sin 2x cos2x 0

   14 12 sin3x 4 2 sinx

 

Bài : Cho phương trình msin2x m 3 sin 2 xm 2 cos x0 1. Xác định m để phương trình có nghiệm.

2. Xác định m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng 0, 4

      .

Dạng : Phương trình đối xứng loại 1 Bài : Giải phương trình lượng giác sau :

1 2 sin xcosx sin 2x 1 0 2 sin cosx x6 sin x cosx 1

3 sin 2 2 sin 1

4

x x  

  4 tanx 2 sinx 1

5 sin3x cos3x 1

  6 1 sin x 1 cos x 2

7 2sin tan cot

4

 

  

 

x  x x

p

11 sin3xcos3x2 sin xcosx  3sin 2x0 12 sinx cosx3  1 sin cosx x

13 sin cos 2 tan cot 1 1 0

sin cos

x x x x

x x

       14 1 sin 2 x sinxcosx cos2x Bài : Cho phương trình cos3x sin3x m

  Xác định m để phương trình có nghiệm. Dạng : Phương trình đối xứng loại 2

Bài : Giải phương trình lượng giác sau :

1 3 tan xcotx  2 tan 2xcot2x 2 0 2 tan7x cot7x tanx cotx

  

3 tanx tan2x tan3x cotx cot2x cot3x 6

      4 9 tan xcotx4 48 tan 2xcot2x 96 5 3 tan x cotxtan2xcot2x6 6 3 tan cot 4 8 tan cot2  21

   

x x x x

Bài : Cho phương trình tan2xcot2x2m2 tan  xcotx m m2 Xác định m để phương trình có nghiệm.

Dạng : Biến đổi tương đương dưa dạng bản Giải phương trình lượng giác sau :

1 sin3 cos sin cos3 3 8

x x x x 2 cos2xcos 22 xcos 32 xcos 42 x2 3 sin3xcos3x2 ins 5xcos5x 4 sin8 cos8 2 sin 10 cos10  5cos2

4

x x x x  x

5 sin cot 5 1 cot

x x

x  6 6 tanx5cot 3xtan 2x

Dạng : Biến đổi biến đổi tích 0

1/ cos2x- cos8x+ cos4x=1 2/sinx+2cosx+cos2x-2sinxcosx=0 3/sin2x-cos2x=3sinx+cosx-2 4/sin3 x+2cosx-2+sin2 x=0

5/ 3sinx+2cosx=2+3tanx 6/

2 sin2x+ 2cos

2x+ 6cosx=0

7/ 2sin2x-cos2x=7sinx+2cosx-4 8/ sin 33 x sin 55 x

9/ 2cos2x-8cosx+7=

cosx 10/ cos

8x+sin8x=2(cos10x+sin10x)+5

4cos2x

11/ 1+ sinx+ cos3x= cosx+ sin2x+ cos2x 12/ 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0 13/ sin2 x(tanx+1)=3sinx(cosx-sinx)+3 14/ 2sin3x-

sinx=2cos3x+

1

cosx

15/cos3x+cos2x+2sinx-2=0 16/cos2x-2cos3x+sinx=0

17/ tanx–sin2x-cos2x+2(2cosx-

cosx)=0 18/sin2x=1+ 2cosx+cos2x

Dạng : Biến đổi biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích Bài : Giải phương trình lượng giác sau :

1 sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos 2x + cos3x sin2x + sin22x = sin23x + sin24x 3. sin2x + sin22x + sin23x + sin24x = 2 4 cos2 cos 22 cos 32

2

5 sin5x.cos6x+ sinx = sin7x.cos4x 6.sin sin 1

3 x 3 x 2

 

   

  

   

   

1

sin cos

4 x 12 x

 

   

  

   

    cosx cos4x - cos5x=0

9 sin6x.sin2x = sin5x.sin3x 10 + sinx.sin3x = cos 2x

Bài : Giải phương trình lượng giác sau :

1/ sin2 x+sin23x=cos22x+cos24x 2/ cos2x+cos22x+cos23x+cos24x=3/2

3/sin2x+ sin23x-3 cos22x=0 4/ cos3x+ sin7x=2sin2(

4

x



 )-2cos29

x

5/ sin24x+ sin23x= cos22x+ cos2x 6/sin24x-cos26x=sin(10,5 10x)

7/ cos4x-5sin4x=1 8/4sin3x-1=3- 3cos3x

9/ sin22x+ sin24x= sin26x 10/ sin2x= cos22x+ cos23x

11/ 4sin3xcos3x+4cos3x sin3x+3 3 cos4x=3 12/ 2cos22x+ cos2x=4 sin22xcos2x

Dạng : Đặt ẩn phụ Giải phương trình lượng giác sau :

1 tan 2x 2 tanxsin 2x0 2 cosx 2 cos2x cosx 2 cos2x 3

    

3 3sin cos 5 3

3sin cos 3

x x

x x

  

  4

2

cos x2 cos x2 Dạng : Phương pháp đối lập

Giải phương trình lượng giác sau : 1 sin3x cos4x 1

  2 sin2010xcos2010x1

3cos2x 1 sin 72 x

  4 sin3 cos4x x1

5 sin3x cos3x 2 sin 22 x

   6 cos2 cos5x x1

Dạng 10 : Phương pháp tổng bình phương Giải phương trình lượng giác sau :

1 cos 2x cos6x4 3sin x 4sin3x1 0 2 3sin 2x 2sin2x 4cosx 6 0

   

2sin 2xcos2x2 sinx 4 0 4 cos2x 3sin2x 4sin2x 2sinx 4 3cosx

    

Bài 2

cos x sin 2x 1 sin x

Bài cos3x 4sin3x 3cos sinx 2x sinx 0

   

Bài Giải phương trình: sin 2x2 tanx3

3

sin sin 2x xsin 3x6 cos x

Bài cot 1 cos sin2 1sin 2

1 tan

x

x x x

x

   



Bài sin 3xcos3x2cosx0

Bài sinx 4sin3x cosx 0

  

Bài 7tan sinx 2x 2sin2x 3(cos 2x sin cos )x x

  

Bài cos 3x 4cos 2x3cosx 0

Bài (2 cosx1)(2sinxcos ) sin 2x  x sinx

Bài 10 cosxcos 2xcos3xcos 4x0

Bài 11 sin2 x sin 32 x cos 22 x cos 42 x

  

Bài 12 sin3xcos3x cos3xsin 3x sin 43 x

 

Bài 13 4sin3x 3cos3x 3sinx sin2 xcosx 0

   

Bài 14 Giải phương trình:

2

(2sinx1)(3cos 4x2sinx 4) 4cos x3

Bài 15 sin6x cos6x 2(sin8x cos )8x

  

Bài 16 cos cos cos cos8 16

x x x x

Bài 17 8cos3 cos3

x  x

 

 

 

 

Bài 18 Giải phương trình:

2

(2sinx1)(2sin 2x1) 4cos  x

Bài 19 Giải phương trình: cos 2x cos8xcos 6x1

Bài 20 Giải phương trình:

sin 4x 4sinx4cosx cos 4x1

Bài 21 Giải phương trình: 3sinx2cosx 2 3tanx

Bài 22 Giải phương trình:

2cos xcos 2xsinx0

Bài 23 Giải phương trình:

2(tanx sin ) 3(cotx  x cos ) 0x  

Bài 24 Giải phương trình:

4 cosx cos 2x cos 4x1

Bài 25 Giải phương trình: sin sin sin

3 cos cos cos3

x x x

x x x

 



 

Bài 26 Giải phương trình:

sin sin 2cos cos sin

x x   x x x

 

Bài 27 Giải phương trình:

2

1 sin sin cos sin os

2

x x x

x x c  

     

 

Bài 28 Giải phương trình:

2 cos 2x sin 2x2(sinxcos )x

Bài 29 Giải phương trình: cos cos cos3

x x x

Bài 30 Giải phương trình: sin3 sin

x  x

 

 

 

 

Bài 31 Giải phương trình:

1 sin xcosxsin 2xcos 2x0

Bài 32 Giải phương trình:

2 3

tanxtan xtan x cotx cot x cot x   6

Bài 33 Giải phương trình: 1 sin 3 xsinxcos 2x

Bài 34 Giải phương trình:

4

sin cos cot cot

8

x x x    x

   

Bài 35 Giải phương trình:

2

cos 2x2(sinxcos )x  3sin 2x 0

Bài 36 Giải phương trình:

4(sin 3x cos ) 5(sinx  x1)

Bài 37 Giải phương trình: sinx 4sin3x cosx 0

  

Bài 38 Giải phương trình:

3

cos10x 1 cos8x6cos3 cosx xcosx8cos cos 3x x

Bài 39 Giải phương trình: sin4 cos4

4

x x  

Bài 40 Giải phương trình:

3

cos cos3 sin sin

x x x x

Bài 41 Giải phương trình:

3 3

(sinxsin 2xsin )x sin xsin 2xsin 3x

Bài 42 Giải phương trình:8sin cos sin

x

x x

A02:T×m no thc (0;2 ) cđa PT:

5 

 



  



cosx sin3x

sinx cos2x

1 2sin2x

B02: GPT: sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x.2    D02: T×m no thc [0;14] cđa PT:

cos3 4cos2 3cosx x x 4 0. A03: Giải phơng trình:

cot x 1 cos 2x sin x2 sin 2x.

1 tan x

   

 B03: Giải phơng trình:

cot x tan x sin 2x 2 . sin 2x



D03: Giải phơng trình

sin2 x tan x cos2 2 x 0. 2 2 4



 

  

B04: Giải phơng tr×nh

5 sin x 2 3 sin x tan x.   2 D04: Gi¶i phơng trình

2cos x 2sin x cos x sin 2x sin x.     A-05: GPT: cos23x.cos2x-cos2x = 0

A-06: GPT:  

6

2 sin cos sin cos 2sin

x x x x

x

 

 

B-06: GPT: cot sin tan tan 4

2

x x x  x 

 

D-06: GPT: cos3x+cos2x-cosx-1=0

2

A07: GPT: (1 sin ) cos (1 cos ) sin sin 2

B07: GPT: 2sin sin7 sin

D07: GPT: sin cos 3cos 2

x x x x x

x x x

x x

x

    

  

 

  

 

 

A08: GPT

1

4sin

3

sin sin

2

x

x x

 

  



 

 

   

 

 

B08: GPT

3 3 2 2

sin x 3 cos xsin cosx x 3 sin xcos x

D08: GPT

2sin (1 cos ) sin 2x  x  x 1 cos x A09: GPT

(1 2sin ) cos

3 (1 2sin )(1 s inx)

x x

x 



 

B09: GPT

3

sinx cos sin 2 x x 3 os3c x2( os4c xsin ).x

D09: GPT

3 os5c x 2sin cos 2x x s inx 0.

A10: GPT

(1 sinx os2 )sin

1

4 cos

1 t anx 2

c x x

x 

 

    

  



B10: GPT

(sin 2x c os2 )cosx x2cos 2x sinx 0.

D10: GPT