Qua M, N lần lượt vẽ các dây CD và EF song song với nhau C và E cùng nằm trên một nửa đường tròn đường kính AB.. a Chứng minh tứ giác CDEF là hình chữ nhật.[r]
Trần Lê Quyền (Tổng hợp trình bày LATEX) Tốn - Đường tròn Nhận đánh máy LATEX tài liệu, giảng, tiểu luận, luận văn theo yêu cầu Liên hệ: \ Thầy Quyền - Quận 6, TP HCM - 0122 667 8435 \ Page: Casiotuduy - https://www.facebook.com/casiotuduy \ Mua trà giảm béo Học Viện Quân Y - 0979 118 113 (free ship) Tháng 12 năm 2017 Chương Đường tròn 2.1 Sự xác định đường tròn Tập hợp điểm cách điểm O cho trước khoảng cách không đổi r gọi đường trịn tâm O bán kính r, kí hiệu (O; r) Các tính chất: 1) A ∈ (O; r) ⇔ OA = r 2) Nếu ∆ABC vuông A ba điểm A, B, C thuộc đường trịn đường kính BC 3) Xét đường trịn (O), ( A ∈ (O) ⇒ ∆ABC vuông tai A BC đường kính 4) Xét đường trịn (O), ( A, B, C ∈ (O) ⇒ BC đường kính ∠A = 90◦ Bài Cho ∆ABC có ba góc nhọn, đường cao AH, BK (H ∈ BC, K ∈ CA) cắt I Chứng minh a) C, K, I, H thuộc đường tròn; b) A, K, H, B thuộc đường tròn GV Trần Lê Quyền Bài Cho ∆ABC có đường cao AH , gọi M, N, P, Q theo thứ tự trung điểm AB, AC, HC, HB Chứng minh M, N, P, Q thuộc đường tròn Bài Cho tứ giác ABCD có ∠C + ∠D = 90◦ Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BD, DC CA Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q nằm đường trịn Bài Cho hình thoi ABCD có ∠A = 60◦ Gọi E, F, G, H trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh điểm E, F, G, H, B, D nằm đường tròn Bài Cho hình thoi ABCD Đường trung trực cạnh AB cắt BD E cắt AC F Chứng minh E, F tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ABD Bài Gọi M, N, P trung điểm ba cạnh AB, AC, BC tam giác ABC Chứng minh B, M, N, C thuộc đường trịn Bài Cho hình thang ABCD (AB k CD, AB < CD) có ∠C = ∠D = 60◦ , CD = 2AD Chứng minh điểm A, B, C, D thuộc đường trịn Bài Cho hình thoi ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo M, N, R S hình chiếu O AB, BC, CD DA Chứng minh điểm M, N, R S thuộc đường tròn Bài Cho đường tròn (O; r) đường kính M N , (O) lấy tùy ý điểm A, B, C Chứng minh tam giác AM N, BM N, CM N tam giác vng Bài 10 Cho đường trịn (O) đường kính AB Vẽ đường trịn (I) đường kính OA Bán kính OC đường trịn (O) cắt đường trịn (I) D Vẽ CH ⊥ AB Chứng minh tứ giác ACDH hình thang cân Bài 11 Cho ∆ABC có ba góc nhọn, đường trịn (O) đường kính BC cắt AB, AC D E, BE cắt CD H a) Chứng minh tam giác BDC vuông; b) Chứng minh AH ⊥ BC ; c) Chứng minh D, A, E, H thuộc đường trịn, xác định tâm I vẽ đường trịn đó; d) Chứng minh OE ⊥ EI Bài 12 Cho ∆ABC nội tiếp đường trịn (O) có BC đường kính Kéo dài BA đoạn AD = AB Chứng minh ∆ABC cân Bài 13 Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O; r) có AD đường kính Gọi H trực tâm ∆ABC https://www.facebook.com/casiotuduy GV Trần Lê Quyền a) Chứng minh BH k CD; b) Tứ giác DBHC hình bình hành; c) Vẻ OI ⊥ BC I chứng minh H, I, K thẳng hàng; √ d) Giả sử BC = R 3, tính BH theo r Bài 14 Cho ∆ABC nội tiếp đường trịn (O; r) có ∠A = 90◦ a) Chứng minh BC đường kính; b) Cho AB = cm, AC = cm, tính R Bài 15 Cho đường trịn (O) đường kính AB đường trịn (I) đường kính AO, C điểm (O), AC cắt (I) D Chứng minh a) ∆ABC , ∆ADO tam giác vuông; b) D trung điểm AD; c) OD k BC, ID k OC Bài 16 Cho ∆ABC cân, nội tiếp đường tròn (O), chứng minh OA ⊥ BC Bài 17 Cho đường tròn (O; r) đường kính AB điểm C (O), phân giác ∠CAB cắt (O) M, BM cắt AC N a) Chứng minh ∆ABN cân; b) Cho R = 2, cm, AC = cm, tính BC ; c) Tính diện tích tam giác ABC, ABN Bài 18 Cho ∆ABC cân A, vẽ đường trịn (I) đường kính LK cắt AB, BC L K , AK cắt CL H a) Chứng minh K trung điểm BC ; b) Chứng minh BH ⊥ AC Bài 19 Cho ∆ABC vng A có AH đường cao, đường trịn (I) đường kính BH cắt AB D, đường trịn (K) đường kính HC cắt AC E Chứng minh a) ADHE hình chữ nhật; b) AD.AB = AE.AC https://www.facebook.com/casiotuduy GV Trần Lê Quyền 2.2 Đường kính dây cung đường trịn Dây cung đường tròn đoạn thẳng nối hai điểm thuộc đường trịn Đường kính dây cung qua tâm đường trịn Các tính chất: 1) Xét đường tròn (O), ( OH phần đường kính OH ⊥ AB H 2) Xét đường trịn (O), ( OH phần đường kính H trung điểm AB ⇒ H trung điểm AB ⇒ OH ⊥ AB H Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) đường kính BC , vẽ đường trịn (I) đường kính AO cắt AB, AC D, E Chứng minh a) ∆ADO vuông; b) D trung điểm AB ; c) DE k BC Bài Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O), ∠A = 90◦ a) Xác định vị trí tâm O cạnh BC ; b) Gọi D, E trung điểm AB, AC Tứ giác ADOE hình gì? Bài Cho (O) đường kính BC , qua trung điểm H BO vẽ dây M N ⊥ OB Tứ giác BN OM hình gì? Bài Cho đường trịn (O; R) đường kính AB Gọi M điểm nằm A B Qua M vẽ dây CD vng góc với AB Lấy điểm E đối xứng với A qua M a) Tứ giác ACED hình gì? Vì sao? b) Giả sử R = 6, cm, M A = cm Tính CD https://www.facebook.com/casiotuduy GV Trần Lê Quyền c) Gọi H K hình chiếu M CA CB Chứng minh M H.M K = M C3 2R Bài Cho đường tròn (O; R) hai dây AB, CD vng góc với I Giả sử IA = cm, IB = cm Tính khoảng cách từ tâm O đến dây Bài Cho đường trịn (O; R) Vẽ hai bán kính OA, OB Trên bán kính OA, OB lấy điểm M, N cho OM = ON Vẽ dây CD qua M, N (M C N ) a) Chứng minh CM = DN b) Giả sử ∠AOB = 90◦ Tính OM theo R cho CM = M N = N D Bài Cho đường trịn (O; R) đường kính AB Gọi M, N trung điểm OA, OB Qua M, N vẽ dây CD EF song song với (C E nằm nửa đường trịn đường kính AB ) a) Chứng minh tứ giác CDEF hình chữ nhật b) Giả sử CD EF tạo với AB góc ∠30◦ Tính diện tích hình chữ nhật CDF E Bài Cho (O; r) đường kính AB M trung điểm AO Vẽ dây CD ⊥ OA M a) Chứng minh tứ giác OCAD hình thoi; b) Gọi S trung điểm BC , chứng minh D, S, O thẳng hàng; c) Tính góc cạnh ∆ABC theo r; d) Chứng minh CO ⊥ DB Bài Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn đường trịn (O) có AD đường kính Gọi H trực tâm ∆ABC a) Chứng minh BH k CD, CH k CD; b) Vẽ OI ⊥ BC (I ∈ BC), chứng minh H, I, D thẳng hàng Bài 10 Cho ∆ABC vuông A, nội tiếp đường trịn (O; r) a) Xác định vị trí tâm O cạnh BC ; b) Vẽ đường tròn (I) đường kính AO cắt AB, AC, BC D, E, H Chứng minh AH đường cao ED đường trung bình ∆ABC ; c) Tính cạnh góc ∆ABC theo r https://www.facebook.com/casiotuduy GV Trần Lê Quyền Bài 11 Cho đường trịn (O; R) đường kính AB đường trịn (I; r) đường kính AO, C điểm đường tròn (O), AC cắt (I) D a) Chứng minh ∆ABC vuông, ∆ADO vuông; b) Chứng minh D trung điểm AC ; c) Chứng minh ID k OC ; d) ID cắt (I) F, AF cắt (O) K Chứng minh K, O, C thẳng hàng ba đường thẳng AO, CF, KD đồng qui Bài 12 Cho đường trịn (O; r) có hai bán kính OA, OB vng góc nhau, M trung điểm AB a) Chứng minh OM ⊥ AB ; b) Tính OM, AB theo r; c) Cho AB di động cho OM ⊥ AB Chứng minh M chạy đường tròn cố định Bài 13 Cho đường trịn (O; r) đường kính BC vng góc với dây AD H a) Chứng minh ∆ABD, ACD cân; b) Cho r = cm, AC = cm, tính AB, AD Bài 14 Cho đường trịn (O) dây CD Từ O kẻ tia vuông góc với CD M , cắt (O) H Tính bán kính R (O) biết: CD = 16 cm, M H = cm Bài 15 Cho đường trịn (O; 12 cm) có đường kính CD Vẽ dây M N qua trung điểm I OC cho ∠N ID = 30◦ Tính M N Bài 16 Từ điểm A đường tròn (O; r) vẽ hai dây cung AB, AC vng góc a) Chứng minh B, O, C thẳng hàng; b) Vẽ OM ⊥ AB, QN ⊥ AC (M ∈ AB, N ∈ AC); chứng minh M N k BC tính M N theo r Bài 17 Cho đường tròn (O; r) hai dây cung AB, CD cho AB, CD kéo dài cắt S nằm đường tròn Gọi I, J trung điểm AB, CD Chứng minh a) OI ⊥ AB, OJ ⊥ CD; b) SI = SJ Bài 18 Cho ∆ABC vuông A (AB < AC), AH đường cao, AM đường trung tuyến Đường tròn (T ) đường kính M C cắt tia AM E https://www.facebook.com/casiotuduy GV Trần Lê Quyền a) Chứng minh M I k AB I trung điểm AC ; b) Chứng minh A, M, H, I thuộc đường tròn; c) Chứng minh A, E, H, C thuộc đường tròn; d) Gọi K giao điểm AH CE , chứng minh K, M, I thẳng hàng ∆KAC cân 2.3 Dấu hiệu tiếp tuyến - Tính chất hai tiếp tuyến cắt Tiếp tuyến đường trịn (O) đường thẳng có điểm chung với (O) Điểm chung gọi tiếp điểm Các tính chất: 1) Xét (O), ( a tiếp tuyến (O) H tiếp điểm ⇒ a ⊥ OH H 2) Xét (O), ( a ⊥ OH H H tiếp điểm ⇒ a tiếp tuyến (O) 3) Nếu AB, AC hai tiếp tuyến (O) ta có AB = AC OA tia phân giác ∠BOC AO tia phân giác ∠BAC Tiếp tuyến chung hai đường trịn: • Tiếp tuyến chung hai đường tròn đường thẳng tiếp xúc với hai đường trịn • Tiếp tuyến chung ngồi tiếp tuyến chung khơng cắt đoạn nối tâm • Tiếp tuyến chung tiếp tuyến chung cắt đoạn nối tâm Bài Từ điểm M ngồi đường trịn (O) vẽ tiếp tuyến M A Trên đường tròn, lấy điểm B cho M A = M B , chứng minh M B tiếp tuyến đường tròn (O) Bài Từ điểm A ngồi đường trịn (O) vẽ tiếp tuyến AB ; đường cao BH ∆ABO cắt (O) C Chứng minh AC tiếp tuyến (O) Bài Từ điểm A ngồi đường trịn (O) vẽ tiếp tuyến AM, AN Đường thẳng vng góc với AM A cắt tia ON S Chứng minh SO = SA https://www.facebook.com/casiotuduy GV Trần Lê Quyền Bài Từ điểm A ngồi đường trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) Gọi BD đường kính (O) a) Chứng minh OA ⊥ BC, OA k DC ; b) Trung trực BD cắt AC tại S Chứng minh ∆ASO cân Bài Cho đường trịn (O; r) đường kính AB với Ax, By hai tiếp tuyến (O), tiếp tuyến điểm M đường tròn (O) cắt Ax, By C, D a) Chứng minh CD = CA + DB ∆COD vuông, b) Chứng minh AC.BD = r2 ; c) Cho ∠M AB = 60◦ , chứng tỏ ∆BM D tính SBM D theo r Bài Trên tiếp tuyến M đường tròn (O; r) lấy điểm A cho M A = r Trên (O), lấy N cho AN = r (N 6= M ) Chứng minh a) ∆AM O vuông cân AN tiếp tuyến (O); b) AM N O hình vng Bài Trên tiếp tuyến A đường tròn (O; r) lấy hai điểm B, C (B 6= C) cho AB = AC = r a) Chứng minh ∆ABO, BCO vuông cân; b) Tính OB, OC theo r, suy B, C di động đường tròn cố định A thay đổi (O) Bài Cho đường tròn (O; r) dây cung M N không qua tâm O, vẽ OH ⊥ M N H Tiếp tuyến M đường tròn cắt tia OH A a) Chứng minh AN tiếp tuyến (O); b) Vẽ đường kính N E , chứng minh M E k OA Bài Cho điểm A ngồi đường trịn (O; r) với OA = 2r Vẽ tiếp tuyến AB đến (O), B tiếp điểm a) Tính góc ∆AOB tính độ dài AB theo r; b) Đường thẳng chứa đường cao BH ∆ABO cắt (O) C Chứng minh AC tiếp tuyến (O); c) Chứng minh ∆ABC đều, tính SABC theo r; d) Trung trực đường kính CD cắt BD E , tính AE theo r √ Bài 10 Trên tiếp tuyến A đường tròn (O; r) lấy điểm I cho AI = r https://www.facebook.com/casiotuduy GV Trần Lê Quyền a) Tính số đo góc ∆AOI theo r; b) Kéo dài đường cao AH ∆AOI cắt (O) B Chứng minh IA = IB IB tiếp tuyến (O); c) Chứng minh ∆AIB tính SOAIB theo r Bài 11 Trên đường trịn (O) đường kính BC lấy điểm A a) Chứng minh ∆ABC vuông; b) Tiếp tuyến A đường tròn (O) cắt BC kéo dài I , chứng minh IA2 = IB.IC ; c) Cho AB = r, tính AC, IA, IB, IC theo r Bài 12 Cho ∆ABC cân A, đường cao AD BE cắt H Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ∆AHE a) Chứng minh ED = 12 BC HB.HE = HA.HD; b) Chứng minh BH.BE = 2BD2 ; c) Chứng minh DE tiếp tuyến (O) d) Tính DE biết DH = cm, HA = cm Bài 13 Cho điểm A ngồi đường trịn (O; r) với OA = 2r, từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) a) Chứng minh ∆ABC đều, tính cạnh theo r; b) Từ O vẽ đường thẳng vng góc với OB , cắt AC K Chứng minh ∆KAO cân; c) AO cắt (O) I , chứng minh KI tiếp tuyến (O), tính KI theo r; d) Tia đối tia OA cắt (O) D, chứng minh ABDC hình thoi √ Bài 14 Cho điểm A ngồi đường tròn (O) với OA = r Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) (B, C ∈ (O)) a) Chứng minh tứ giác ABOC hình vuông; b) OA cắt BC H cắt cung BI I Tính OH, IB, IH theo r Bài 15 Cho AB, AC hai tiếp tuyến vẽ từ A đường tròn (O; r) Cho M di động cung nhỏ BC , từ M kẻ tiếp tuyến với (O) cắt AB, AC D, E a) Chứng minh OA đường trung trực BC ; b) Chứng minh ∆ADE có chu vi khơng đổi M di động https://www.facebook.com/casiotuduy GV Trần Lê Quyền Bài 16 Từ M bên ngồi đường trịn (O; r) vẽ hai tiếp tuyến M A, M B đến (O) (A, B ∈ (O)), BC đường kính a) Chứng minh OM ⊥ AB, OM k AC ; b) Trung trực BC cắt đường thẳng AC D; chứng minh M D = r tứ giác M DAO hình thang cân; c) Khi M di động cho ∆M AB ln D di động đường nào? Bài 17 Cho ∆M AB vuông M nội tiếp đường trịn (O) có ∠A = 60◦ a) Chứng minh ba điểm O, A, B thẳng hàng, tính M A, M B theo r; b) Tiếp tuyến M cắt AB I cắt trung trực AB K Chứng minh IK = IA.IB ?; c) Tính độ dài cạnh ∆OIK theo r chứng minh IM = 3.M K ; d) BM cắt OK C , chứng minh ∆CKM đều, AC ⊥ OM M B = 3M C Bài 18 Cho đường trịn (O) đường kính AB điểm C (O), tiếp tuyến A (O) cắt BC D, gọi M trung điểm AD a) Chứng minh M C tiếp tuyến (O); b) OM cắt AC I Khi C di động, chúng tỏ I di động đường tròn cố định; c) Cho BC = r, tính SCAD , SOACM theo r 2.4 Vị trí tương đối hai đường trịn Tính chất đường nối tâm: • Đường nối tâm hai đường trịn trục đối xứng hình gồm hai đường trịn • Nếu hai đường trịn cắt thi hai giao điểm đối xứng với qua đường nối tâm • Nếu hai đường trịn tiếp xúc tiếp điểm nằm đường nối tâm Vị trí tương đối hai đường tròn: Cho hai đường tròn (O; R) (O0 ; r) (R > r), đặt OO0 = d Ta có trường hợp sau: Vị trí tương đối hai đường tròn Số điểm Liên hệ R, r, d chung https://www.facebook.com/casiotuduy 10 GV Trần Lê Quyền Hai Hai Hai Hai đường tròn đường tròn đường tròn đường tròn (O ) chứa cắt tiếp xúc tiếp xúc 1 0 (O) R−r