ỨNG DỤNG MỘT CÔNG THỨC DIỆN TÍCH TAM GIÁC TRONG GIẢI TOÁN

Chun đề: ỨNG DỤNG MỘT CƠNG THỨC DIỆN TÍCH TAM GIÁC TRONG GIẢI TOÁN I LỜI MỞ ĐẦU: Trong trình làm tốn hình học giải tích, ta gặp lớp tốn diện tích tam giác Có nhiều cơng thức cách giải tốn diện tích tam giác song khơng có công thức tối ưu cho tất tốn Qua q trình nghiên cứu giải lớp tốn diện tích tam giác chúng tơi phát có ứng dụng hữu ích cơng thức diện tích tam giác mặt phẳng tọa độ Nhằm giúp học sinh có thêm hướng giải khác số toán liên quan đến diện tích tam giác mặt phẳng tọa độ, xin giới thiệu đến trang mathvn.com, quý bạn u mơn tốn chun đề: “ỨNG DỤNG MỘT CƠNG THỨC DIỆN TÍCH TAM GIÁC TRONG GIẢI TỐN” Xin chân thành cảm ơn Vĩnh Linh, tháng năm 2013 Người thực Trần Đình Anh (Giáo viên Tốn THPT Vĩnh Linh) (Đt: 0905270818) II ĐẶT VẤN ĐỀ: 2.1 Bài toán mở đầu: Bài Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A( 1; 0), B( 2; 1) C( 3; 5) Hãy tính diện tích tam giác ABC Thơng thường học sinh chọn giải theo hướng sau: + ) Hướng 1(Đã học chương II Hình học 10): Vận dụng cơng thức Hê - rơng: Ta có uuu r uuur uuur AB (1;1) AC (2;5) BC (1; 4) AB = c = ; AC = b = 29 ; BC = a = 17 ; Gọi p = (a + b + c)/2 Khi ta có diện tích tam giác ABC S ABC  p( p  a)( p  b)( p  c) (  29  17)(  29  17)(  17  29)( 29  17)  2) 2.2.2.2   Lời bình: Hướng giải phức tạp dài Đòi hỏi học sinh phải cẩn thận vất vả để có kết tối ưu +) Hướng ( Đã học chương III Hình học 10): Dùng phương trình đường thẳng để áp dụng cơng thức khoảng cách nhằm tính độ dài đường cao suy diện tích cần tìm Ta có: uuur BC (1; 4) suy phương trình cạnh BC là: x  y 1  Hay 4x - y - = Khi chiều cao AH tam giác ABC khoảng cách từ A đến cạnh BC 4.1  1.0   AH = d ( A; BC )  17 17 BC = 42  12  17 Khi diện tích tam giác ABC là: S = 1 3 AH BC  17  2 17 Lời bình: Trong cách giải địi hỏi cần có lượng kiến thức hình học giải tích nhiều phải giải theo hướng gián tiếp làm cho hs thấy khó Hs cần thành thạo kiến thức làm tốt toán Bài Trong hệ trục Oxy, cho M(0; 3) N(1; 2) Hãy tìm trục hồnh điểm P cho diện tích tam giác MNP 2013 Thơng thường học sinh với kiến thức học thường giải theo hướng sau: +) Viết phương trình đường thẳng MN, tính độ dài đoạn MN +) Gọi P( m; 0) thuộc Ox điểm thỏa mãn +) Khi tính h khoảng cách từ P đến MN áp dụng công thức S = ah/2 để tìm m Lời bình: Trong hai tốn cách giải phức tạp địi hỏi học sinh cần có linh hoạt tư tốt Q trình tính tốn phức tạp dài dòng Bây ta đến với cơng thức diện tích tam giác mà xây dựng kiến thức học sinh học hết Chương II Hình học 10 2.2 Cách xây dựng công thức Trong hệ trục Oxy, cho tam giác ABC Gọi A( xA ; y A ), B( xB ; yB ) C( xC ; yC ) Khi ta có S ABC  1 bhb  bc sin A 2 1 bc  cos A  b c  (bc.cosA) 2  AC AB  ( AC AB.cosA) 2 r2 uuur uuu r uuur uuu  AC AB  ( AC AB ) (a) S ABC  Với uuu r uu r ; y uuu r ); AB ( xB  x A ; yB  y A )  ( xuAB AB uuur uur ; y uuur ); AC ( xC  x A ; yC  y A )  ( xuAC AC Thay vào ( a ) ta có: S ABC r uuur uuu r uuur uuu  AC AB  ( AC AB) 2 2 uur  y uuur )( x uuur  yuuur )  ( xuuur xuuur  y uuur y uuur )  ( x uAC AC AB AB AB AC AB AC uuur uuur uuur uuur  x AB y AC  y AB x AC Do ta có cơng thức SABC uuur uuur uuur uuur  x AB y AC  y AB xAC (*) 2.3 Áp dụng giải toán toán mở đầu Bài Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A( 1; 0), B( 2; 1) C( 3; 5) Hãy tính diện tích tam giác ABC Giải: Ta có uuu r AB (1;1) uuur AC (2;5) Khi áp dụng cơng thức * cho ta Diện tích tam giác ABC SABC uuur uuur uuur uuur  x AB y AC  y AB x AC  2 Lời bình: Cách giải tỏ đơn giản, hiệu Khơng cần phải tính tốn nhiều mà cần áp dụng công thức Bài Trong hệ trục Oxy, cho M(0; 3) N(1; 4) Hãy tìm trục hồnh điểm P cho diện tích tam giác MNP 2013 Giải: Ta gọi P (m; 0), ( m �- 3) thuộc Ox điểm cần tìm Khi ta có: uuuu r MN (1;1) uuur MP (m; 3) Áp dụng công thức * cho ta SMNP uuuur uuuur uuuur uuuur  xMN yMP  yMN xMP  m  2 Theo ta có m   4026 � m   2013 � m   4026 � � m   4026 � m  4023 � �� m  4029 � Suy P(4023; 0) P( - 4029; 0) hai điểm cần tìm Lời bình: Như thấy rõ ưu cơng thức * tính tốn ngắn khơng rườm rà phức tạp Đặc biệt tư toán đơn giản cần áp dụng công thức Hơn công thức xây dựng kiến thức Chương II Hình học 10 nên qua cơng thức lượng tập dành cho học sinh đa dạng phong phú thêm III MỘT SỐ VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH Bài tốn 1: Trong hệ trục Oxy, cho tam giác ABC, với A (3; m), B( m+1; - 4) Xác định m để diện tích tam giác OAB đạt giá trị nhỏ Giải: Ta có uuu r OA(3; m) uuu r OB (m  1; 4) Khi uuur uuur uuu r xuuur  xOA yOB  yOA 3(4)  m(m  1) OB 2 1 47  (m  m  12)  ((m  )  ) 2 S OAB  Vậy diện tích tam giác OAB đạt giá trị nhỏ m = -1/2 Cách khác: + viết phương trình cạnh AB theo tham số m + Tính khoảng cách từ O đến AB theo m +Áp dụng cơng thức diện tích s =1/2 ah + Biến đổi để có hàm theo m + Xét hàm để có giá trị m Lời bình: Cách khác nhìn chung dài, tính tốn phức tạp qua nhiều bước có biểu thức diện tích tam giác cách giải tỏ đơn giản, ngắn không tiêu tốn nhiều sức Bài toán 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A ( 2;1) Trên trục Ox, lấy điểm B có hồnh độ xB �0, trục Oy, lấy điểm C có tung độ yC �0 cho tam giác ABC vng A Tìm điểm B, C cho diện tích tam giác ABC lớn Giải: Gọi B (b; 0) C ( 0; c) b �0;c �0 Khi ta có uuu r AB(b  2; 1) uuur AC ( 2; c  1) Vì tam giác ABC vng A nên ta có uuu r uuur AB AC  � c  2b   � c   2b Vì b �0;c �0 Nên �b � Mặt khác ta có SABC  uuur uuur uuur uuur x AB y AC  y AB x AC  (b  2)(c  1)  2  b  4b  10 (0 �b � ) diện tích tam giác ABC lớn b = Suy B( 0;0) C( 0; 5) Cách khác: Gọi toạ độ B, C Tìm điều kiện B, C thoả mãn tam giác vng Tính khoảng cách A tới BC Để diện tích max khoảng cách A tới BC max Đến tìm giá trị lớn biểu thức kết hợp điều kiện Lời bình: Ý tưởng đơn giản khơng rườm rà Bài tốn 3: 2x  Cho hàm số y  x 1 Xác định m để đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị hàm số hai điểm A, B phân biệt cho diện tích tam giác OAB ( O gốc tọa độ) ( trích đề TS khối B - 2010) Giải: Phương trình hồnh độ giao điểm: 2x 1  2 x  m � x  (4  m) x   m  x 1   m   với m suy đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị hàm số hai điểm phân biệt A, B với m Gọi A( x1 ; y1 ); B( x2 ; y2 ); S OAB   uuur uuur uuu r xuuur  xOA yOB  yOA x1 y2  x2 y1 OB 2 m( x1  x2 ) theo ta có diện tích tam giác OAB nên m( x1  x2 ) � m � ( x  x )  x1.x2 � � � 12 � m2  m  8m  48  � � � m  �2 m  12 � 3 Cách khác: +) Tính khoảng cách từ O đến AB +) Tính độ dài đoạn AB +) Áp dụng cơng thức diện tích lập mối quan hệ Lời bình Như cơng thức giúp ta giải toán toán giải tích mà khơng cần q nhiều điều yếu tố trung gian Tất nhiên hướng giải hướng giải khác tốn Song thiết nghĩ có thêm ý tưởng để thiết lập mối quan hệ yếu tố IV.CÁC BÀI TỐN ÁP DỤNG Bài tốn 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, biết điểm A(2;-1); B(-1;2) tọa độ trọng tâm G nằm đường thẳng d: x + y - = Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC 27/2 Bài toán 2: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vng góc Oxy, cho ΔABC có A ( 2;- 4) , B ( 0;2) điểm C thuộc đường thẳng: 3x - y + = 0, diện tích ΔABC (đơn vị diện tích) Hãy tìm tọa độ điểm C Bài tốn 3: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(1;0); B(-2;4); C(-1;4); D(3;5) đường thẳng d: 3x - y - 5= Tìm M d cho hai tam giác MAB MCD có diện tích Bài tốn 4: Trong mặt phẳng tọa độ vng góc Oxy, cho A ( 2;- 3) , B ( 3;- 2) Trọng tâm G ΔABC nằm đường thẳng d : 3x - y - = 0, diện tích ΔABC Tìm tọa độ điểm C Bài tốn 5: Cho tam giác ABC có diện tích biết A (1; 0), B (0; 2) trung điểm I đoạn AC nằm đường thẳng d : y = x Tìm tọa độ điểm C Bài toán 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A ( - 1;4) đỉnh B, C thuộc đường thẳng D : x - y - = Xác định toạ độ điểm B C, biết diện tích tam giác ABC 18 Bài toán 7: (ĐH khối D - Năm 2007) Cho hàm số y  2x x 1 Tìm M thuộc đồ thị hàm số Biết tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M cắt hai trục Ox, Oy A, B tam giác OAB có diện tích 1/4 V LỜI KẾT Như cơng thức diện tích giúp ta giải đơn giản nhẹ nhành cho lớp tốn diện tích tam giác hệ trục tọa độ Oxy Chúng củng xem hướng tiếp cận giúp cho học sinh giải tốn diện tích tam giác Tuy nhiên chúng tơi nói khơng có cơng thức tối ưu cho tất toán diện tích tam giác Do áp dụng địi hỏi người học cần có lựa chọn cách thật linh hoạt Trong q trình viết chúng tơi cố gắng song tránh khỏi thiếu sót mong đóng góp ý kiến từ phía thầy để đề tài hồn thiện tiến tới với học sinh giúp em có thêm hướng giải tốn liên quan Một lần xin chân thành cảm ơn  ... số điểm M cắt hai trục Ox, Oy A, B tam giác OAB có diện tích 1/4 V LỜI KẾT Như công thức diện tích giúp ta giải đơn giản nhẹ nhành cho lớp toán diện tích tam giác hệ trục tọa độ Oxy Chúng củng... học sinh giải toán diện tích tam giác Tuy nhiên chúng tơi nói khơng có cơng thức tối ưu cho tất tốn diện tích tam giác Do áp dụng địi hỏi người học cần có lựa chọn cách thật linh hoạt Trong q... thức SABC uuur uuur uuur uuur  x AB y AC  y AB xAC (*) 2.3 Áp dụng giải toán toán mở đầu Bài Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A( 1; 0), B( 2; 1) C( 3; 5) Hãy tính diện tích tam