Qua quá trình nghiên cứu giải quyết lớp các bài toán về diện tích tam giác chúng tôi phát hiện có một ứng dụng hữu ích của một công thức diện tích tam giác trong mặt phẳng tọa độ. Nhằm g[r]
(1)Chuyên đề:
ỨNG DỤNG MỘT CƠNG THỨC DIỆN TÍCH TAM GIÁC TRONG GIẢI TỐN
I LỜI MỞ ĐẦU:
Trong trình làm tốn hình học giải tích, ta gặp lớp toán
về diện tích tam giác Có nhiều cơng thức cách giải tốn diện tích tam giác song khơng có cơng thức tối ưu cho tất tốn
Qua q trình nghiên cứu giải lớp tốn diện tích tam giác chúng tơi phát có ứng dụng hữu ích cơng thức diện tích tam giác mặt phẳng tọa độ Nhằm giúp học sinh có thêm hướng giải khác số tốn liên quan đến diện tích tam giác mặt phẳng tọa độ, xin giới thiệu đến trang mathvn.com, q bạn u mơn tốn chun đề:
“ỨNG DỤNG MỘT CƠNG THỨC DIỆN TÍCH TAM GIÁC TRONG GIẢI TOÁN”.
Xin chân thành cảm ơn Vĩnh Linh, tháng năm 2013 Người thực
Trần Đình Anh
(2)II ĐẶT VẤN ĐỀ: 2.1 Bài toán mở đầu:
Bài Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A( 1; 0), B( 2; 1) C( 3; 5) Hãy tính diện tích tam giác ABC.
Thơng thường học sinh chọn giải theo hướng sau: + ) Hướng 1(Đã học chương II Hình học 10):
Vận dụng công thức Hê - rơng: Ta có
(1;1)
AB
(2;5)
AC
(1; 4)
BC
AB = c = 2; AC = b = 29; BC = a = 17; Gọi p = (a + b + c)/2
Khi ta có diện tích tam giác ABC
(
)(
)(
)
( 2
29
17)( 2
29
17)( 2
17
29)( 29
17)
2)
2.2.2.2
ABC
S
p p a p b p c
Lời bình: Hướng giải phức tạp dài Đòi hỏi học sinh phải cẩn thận vất vả để có kết tối ưu
+) Hướng ( Đã học chương III Hình học 10): Dùng phương trình đường thẳng để áp dụng cơng thức khoảng cách nhằm tính độ dài đường cao suy diện tích cần tìm
Ta có:
BC
(1; 4)
suy phương trình cạnh BC là:
2
1
x y
Hay 4x - y - =
Khi chiều cao AH tam giác ABC khoảng cách từ A đến cạnh BC
AH =
4.1 1.0 ( ; )
17 17
d A BC
BC =
4
2
1
2
17
Khi diện tích tam giác ABC là: S =
1 3
17
2AH BC 2 17 2
Lời bình:
(3)Bài Trong hệ trục Oxy, cho M(0; 3) N(1; 2) Hãy tìm trục hồnh điểm P cho diện tích tam giác MNP 2013.
Thơng thường học sinh với kiến thức học thường giải theo hướng sau:
+) Viết phương trình đường thẳng MN, tính độ dài đoạn MN +) Gọi P( m; 0) thuộc Ox điểm thỏa mãn
+) Khi tính h khoảng cách từ P đến MN áp dụng cơng thức S = ah/2 để tìm m
Lời bình: Trong hai tốn cách giải phức tạp đòi hỏi học sinh cần có linh hoạt tư tốt Quá trình tính tốn phức tạp dài dịng
Bây ta đến với công thức diện tích tam giác mà xây dựng bằng kiến thức học sinh học hết Chương II Hình học 10.
2.2 Cách xây dựng công thức.
Trong hệ trục Oxy, cho tam giác ABC Gọi A(x yA; A), B(x yB; B) C(x yC; C) Khi ta có
1
1
sin
2
2
ABC b
S
bh
bc
A
2 2
2 2
2 2
1
1
1
os
( osA)
2
2
1
.
(
.
osA)
2
1
(
.
)
( )
2
ABCS
bc
c
A
b c
bc c
AC AB
AC AB c
AC AB
AC AB
a
Với(
;
)
(
;
);
(
;
)
(
;
);
B A B A AB AB
C A C A AC AC
AB x
x y
y
x
y
AC x
x y
y
x
y
Thay vào ( a ) ta có:
2 2
2 2 2
1
(
.
)
2
1
(
)(
) (
.
.
)
2
ABCAC AC AB AB AB AC AB AC
S
AC AB
AC AB
x
y
x
y
x x
y
y
(4)
1
2
x y
AB ACy x
AB AC
Do ta có cơng thức
2.3 Áp dụng giải toán toán mở đầu.
Bài Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A( 1; 0), B( 2; 1) C( 3; 5) Hãy tính diện tích tam giác ABC.
Giải:
Ta có
AB
(1;1)
AC
(2;5)
Khi áp dụng cơng thức * cho ta Diện tích tam giác ABC
1
3
2
2
ABC AB AC AB AC
S
x y
y x
Lời bình:
Cách giải tỏ đơn giản, hiệu Không cần phải tính tốn nhiều
mà cần áp dụng công thức
Bài Trong hệ trục Oxy, cho M(0; 3) N(1; 4) Hãy tìm trục hồnh điểm P cho diện tích tam giác MNP 2013.
Giải:
Ta gọi P (m; 0), ( m - 3) thuộc Ox điểm cần tìm Khi ta có:
MN
(1;1)
MP m
( ; 3)
Áp dụng công thức * cho ta
1
1
3
2
2
MNP MN MP MN MP
S
x y
y x
m
Theo ta có
1
(*)
2
ABC AB AC AB AC
(5)
3 4026
1
3
2013
3
4026
3
4026
2
4023
4029
m
m
m
m
m
m
Suy P(4023; 0) P( - 4029; 0) hai điểm cần tìm.
Lời bình:
Như thấy rõ ưu cơng thức * tính tốn ngắn khơng rườm rà phức tạp Đặc biệt tư toán đơn giản cần áp dụng công thức Hơn công thức xây dựng kiến thức Chương II.
Hình học 10 nên qua công thức lượng tập dành cho học sinh đa dạng và
phong phú thêm
III MỘT SỐ VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH Bài tốn 1:
Trong hệ trục Oxy, cho tam giác ABC, với A (3; m), B( m+1; - 4) Xác định m để diện tích tam giác OAB đạt giá trị nhỏ
(6)Ta có
OA
(3; )
m
OB m
(
1; 4)
Khi
2
1
1
3( 4)
(
1)
2
2
1
1
1
47
(
12)
((
)
)
2
2
2
4
OAB OA OB OA OB
S
x y
y x
m m
m
m
m
Vậy diện tích tam giác OAB đạt giá trị nhỏ m = -1/2 Cách khác:
+ viết phương trình cạnh AB theo tham số m + Tính khoảng cách từ O đến AB theo m +Áp dụng cơng thức diện tích s =1/2 ah + Biến đổi để có hàm theo m + Xét hàm để có giá trị m
Lời bình: Cách khác nhìn chung dài, tính tốn phức tạp qua nhiều bước có
được biểu thức diện tích tam giác cách giải tỏ đơn giản, ngắn không tiêu tốn nhiều sức
Bài toán 2:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A 2;1
( )
Trên trục Ox, lấy điểm B có hồnh độ xB ³ 0, trục Oy, lấy điểm C có tung độ yC ³ cho tam giác ABCvng A Tìm điểm B, C cho diện tích tam giác ABC lớn
Giải:
Gọi B (b; 0) C ( 0; c)
b
³
0;c
³
0
Khi ta cóAB b
(
2; 1)
AC
( 2;
c
1)
Vì tam giác ABC vng A nên ta có
AB AC
.
0
c
2
b
5 0
c
5 2
b
Vì
b
³
0;c
³
0
Nên
5
0
2
b
Mặt khác ta có
1
1
(
2)(
1) 2
2
2
ABC AB AC AB AC
(7)
2
4
10 (0
5
)
2
b
b
b
diện tích tam giác ABC lớn b = Suy B( 0;0) C( 0; 5)
Cách khác: Gọi toạ độ B, C
Tìm điều kiện B, C thoả mãn tam giác vng Tính khoảng cách A tới BC
Để diện tích max khoảng cách A tới BC max
Đến tìm giá trị lớn biểu thức kết hợp điều kiện
Lời bình:
Ý tưởng đơn giản khơng rườm rà
Bài tốn 3:
Cho hàm số
2 1
x y
x
Xác định m để đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị hàm số hai điểm A, B phân biệt cho diện tích tam giác OAB ( O gốc tọa độ) ( trích đề TS khối B - 2010)
Giải:
Phương trình hồnh độ giao điểm:
2
2
1
2
2
(4
)
1
0
1
x
x m
x
m x
m
x
m
2
8 0
với m suy đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị hàm số hai điểm phân biệt A, B với mGọi A(
x y
1;
1); B(x y
2;
2);
1 2
1
1
2
2
OAB OA OB OA OB
S
x y
y x
x y
x y
1
(
)
2
m x
x
theo ta có diện tích tam giác OAB nên
2
1 2
1
3
(
)
(
)
4
12
2
m x
x
m
x
x
x x
(8)
2
2
4
8
48 0
2
12
m
m
m
m
m
Cách khác: +) Tính khoảng cách từ O đến AB +) Tính độ dài đoạn AB
+) Áp dụng cơng thức diện tích lập mối quan hệ Lời bình
Như cơng thức giúp ta giải toán toán
(9)IV.CÁC BÀI TỐN ÁP DỤNG Bài tốn 1:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, biết điểm A(2;-1); B(-1;2) tọa độ trọng tâm G nằm đường thẳng d: x + y - = Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC 27/2
Bài toán 2:
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vng góc Oxy, cho ΔABC có
(
)
A 2; ,- B 0;2
( )
điểm C thuộc đường thẳng: 3x y 0,- + = diện tích ΔABC (đơn vị diện tích) Hãy tìm tọa độ điểm C
Bài toán 3:
Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(1;0); B(-2;4); C(-1;4); D(3;5) đường thẳng d: 3x - y - 5= Tìm M d cho hai tam giác MAB MCD có diện tích
Bài tốn 4:
Trong mặt phẳng tọa độ vng góc Oxy, cho A 2; , B 3; 2
(
-) (
-)
Trọng tâm G ΔABC nằm đường thẳng d : 3x y 8- - =0, diện tích ΔABC3
2 Tìm tọa độ
điểm C
Bài toán 5:
Cho tam giác ABC có diện tích biết A (1; 0), B (0; 2) trung điểm I
đoạn AC nằm đường thẳng d : y = x Tìm tọa độ điểm C
Bài toán 6:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A
(
- 1;4)
đỉnh B, C thuộc đường thẳng D: x y 4- - =0 Xác định toạ độ điểm B C, biết diện tích tam giác ABC 18Bài toán 7: (ĐH khối D - Năm 2007 )
Cho hàm số
2 x y
x
(10)V LỜI KẾT
Như cơng thức diện tích giúp ta giải đơn giản nhẹ
nhành cho lớp toán diện tích tam giác hệ trục tọa độ Oxy Chúng củng xem hướng tiếp cận giúp cho học sinh giải toán diện tích tam giác
Tuy nhiên chúng tơi nói khơng có cơng thức tối ưu cho tất toán diện tích tam giác Do áp dụng địi hỏi người học cần có lựa chọn cách thật linh hoạt
Trong trình viết cố gắng song tránh khỏi thiếu sót mong đóng góp ý kiến từ phía thầy để đề tài hoàn thiện tiến tới với học sinh giúp em có thêm hướng giải toán liên quan