HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

Giaovienvietnam.com Chủ đề 4: HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC I.KIẾN THỨC VÀ KĨ NĂNG CƠ BẢN: A.Kiến thức bản: 1.Góc hai mặt phẳng: a) Định nghĩa: Góc mặt phẳng góc đường thẳng vng góc với mặt phẳng * Nhận xét: Nếu mặt phẳng song song trùng nhauthì ta nói góc mặt phẳng 0o b)Cách xác định góc mặt phẳng cắt nhau: Cho (P) ∩ (Q) = c, lấy I thuộc c Trong (P) qua I kẻ a ⊥ c.Trong (Q) qua I kẻ b ⊥ c Khi góc (P), (Q) = góc (a, b) c)Diện tích hình chiếu đa giác: S’ = S cos ϕ Với S diện tích đa giác nằm (P), S’ diện tích hình chiếu vng góc đa giác (Q), ϕ = góc ((P), (Q)) 2.Hai mặt phẳng vng góc: a) Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi vng góc với góc chúng 90o + Hai mặt phẳng (P), (Q) vng góc với nhau, kí hiệu : (P) ⊥ (Q) hay (Q) ⊥ (P) b)Tính chất : * Điều kiện cần đủ để mặt phẳng vng góc với mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng Tóm tắt : (P) ⊥ (Q) ⇔ ∃a ⊂ ( P) : a ⊥ (Q) * Nếu mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến vng góc với mặt phẳng Tóm tắt : (P) ⊥ (Q), (P) ∩ (Q) = c, a ⊂ ( P), a ⊥ c ⇒ a ⊥ (Q) * Nếu mặt phẳng (P) (Q) vng góc với A điểm nằm (P) đường thẳng a qua điểm A vng góc với (Q) nằm (P) Tóm tắt : (P) ⊥ (Q), A ∈ ( P), A, a ⊥ (Q) ⇒ a ⊂ ( P) * Nếu mặt phẳng cắt cùn vng góc với mặt phẳng giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng Tóm tắt: (P) ∩ (Q), ( P) ⊥ ( R), (Q) ⊥ ( R) ⇒ a ⊥ ( R) * Qua đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P) có mặt phẳng (Q) vng góc với mặt phẳng (P) Tóm tắt: a ⊥ ( P) ⇒ ∃!(Q) ⊃ a, (Q) ⊥ ( P) 3.Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương: Giaovienvietnam.com a)Hình lăng trụ đứng: * Định nghĩa: Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với đáy * Nhận xét: Các mặt bên hình lăng trụ đứng hình chữ nhật vng góc với mặt đáy b)Hình lăng trụ đều: * Định nghĩa: Hình lăng tru hình lăng trụ đứng có đáy đa giác * Nhận xét: Các mặt bên hình lăng trụ hình chữ nhật vng góc với mặt đáy c)Hình hộp đứng: * Định nghĩa: Hình hộp đứng hình lăng trụ đứng có đáy hình bình hành * Nhận xét: Trong hình hộp đứng mặt bên hình chữ nhật d)Hình hộp chữ nhật: * Định nghĩa: Hình hộp chữ nhật hình hộp đứng có đáy hình chữ nhật * Nhận xét: Tất mặt hình hộp chữ nhật hình chữ nhật e)Hình lập phương : * Định nghĩa: Hình lập phương hình hộp chữ nhật có tất cạnh 4.Hình chóp hình chóp cụt đều: a)Hình chóp đều: * Định nghĩa: Một hình chóp gọi hình chóp đáy đa giác cạnh bên * Nhận xét: + Đường vng góc với mặt đáy kẻ từ đỉnh gọi đường cao hình chóp + Một hình chóp hình chóp ⇔ đáy đa giác chân đường cao hình chóp trùng với tâm đáy + Một hình chóp hình chóp ⇔ đáy đa giác cạnh bên tạo voéi mặt đáy góc b)Hình chóp cụt: * Định nghĩa: Khi cắt hình chóp mặt phẳng song song với đáy để hình chóp cụt hình chóp cụt gọi hình chóp cụt * Nhận xét: + Hai đáy hình chóp cụt đa giác đồng dạng với + Đoạn nối tâm đáy gọi đường cao hình chóp cụt + Trong hình chóp cụt mặt bên hình thang cân B.Kĩ bản: Chứng minh mặt phẳng vng góc Phương pháp: Chứng minh mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng Xác định tính góc mặt phẳng Phương pháp: Dựa vào cách xác định góc mặt phẳng II.CÁC VÍ DỤ: Giaovienvietnam.com 1/ Loại tốn tự luận: Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABC có SA ⊥ (ABC) Trong tam giác ABC vẽ đường cao AE CF cắt O Gọi H trực tâm tam giác SBC S CMR: a) S, H, E thẳng hàng b) (SBC) ⊥ (SAE), (SBC) ⊥ (CFH) c) OH ⊥ (SBC) Giải: ⇒ a) + SA ⊥ (ABC), AE ⊥ BC SE ⊥ BC H (Theo định lí đường vng góc) Mà H trực tâm tam giác SBC nên A S, H, E thẳng hàng F O b) * Ta có : BC ⊥ AE, BC ⊥ SE E c) ⇒ BC ⊥ (SAE) Mà BC ⊂ (SBC) nên (SBC) ⊥ (SAE) B * Vì SA ⊥ (ABC) → SA ⊥ CF AB ⊥ CF ⇒ CF ⊥ ( SAB) ⇒ CF ⊥ SB Mặt khác H trực tâm tam giác SBC ⇒ CH ⊥ SB Từ suy SB ⊥ (CFH), mà SB ⊂ ( SBC ) ⇒ ( SBC ) ⊥ (CFH ) d) Theo chứng minh ta có: + BC ⊥ (SAE), OH ⊂ ( SAE ) ⇒ BC ⊥ OH + SB ⊥ (CFH), OH ⊂ (CFH ) ⇒ SB ⊥ OH Mà BC SB cắt B mặt phẳng (SBC) → OH ⊥ (SBC) Ví dụ 2: Cho hình vng ABCD Gọi S điểm khơng gian cho SAB tam giác mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng (ABCD) a)CMR: (SAB) ⊥ (SAD), (SAB) ⊥ (SBC) b)Tính góc mặt phẳng (SAD) (SBC) c)Gọi H I lần lượt trung điểm AB BC Chứng minh S (SHC) ⊥ (SDI) t Giải: a)* Gọi H trung điểm AB - Vì SAB tam giác ⇒ SH ⊥ AB Do (SAB) ⊥ (ABCD), B I (SAB) ∩ (ABCD) = AB ⇒ SH ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ AD (1) - Vì ABCD hình vng ⇒ AB ⊥ AD (2) H ⇒ - Từ (1) (2) AD ⊥ (SAB) Mà AD ⊂ (SAD) Vậy (SAD) ⊥ (SAB) * Lập luận tương tự ta có (SBC) ⊥ (SAB) b)* Xác định góc mặt phẳng (SAD) A D (SBC): C C Giaovienvietnam.com - Ta có AD ⊂ (SAD), BC ⊂ (SBC), AD // BC ⇒ (SAD) ∩ (SBC) = St // AD - Vì (SAD) ⊥ (SAB), (SBC) ⊥ (SAB) ⇒ St ⊥ (SAB) ⇒ St ⊥ SA, St ⊥ SB Vậy góc mặt phẳng (SAD) (SBC) góc ASB * Tính góc ASB: Vì tam giác SAB nên góc ÁB = 60o Vậy góc mặt phẳng (SAD) (SBC) 60o c)Vì ABCD hình vng, H, I trung điểm AB BC nên HC ⊥ DI Mặt khác SH ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ DI Vậy DI ⊥ (sHC), mà DI ⊂ ( SDI ) ⇒ ( SDI ) ⊥ ( SHC ) Ví dụ 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật tâm O, AB = a, BC = 2a SO ⊥ (ABCD), Đặt SO = h Gọi M, N trung điểm AB CD a) Tính góc mặt phẳng (SMN) với mặt phẳng (SAB) (SCD) Tìm hệ thức liên hệ h a để (SMN) ⊥ (SAB), (SMN) ⊥ SCD) b) Tính góc mặt phẳng (SAB) (SCD) Tính h theo a để mặt phẳng t vng góc S Giải: a)* Ta có SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ AB Từ giả thiết ⇒ MN ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SMN ) , mà AB ⊂ (SAB) nên (SAB) ⊥ (SMN) Vậy góc (SMN) (SAB) 90o * Lập luận tương tự ta có (SCD) ⊥ (SMN) B ⇒ góc (SMN) (SCD) 90o * Căn vào kết ta thấy với h M tuỳ ý ta ln có mặt phẳng (SMN) vng N góc với mặt phẳng (SAB) (SCD) O b)* Xác định góc mặt phẳng (SAB) A D (SCD): - AB ⊂ ( SAB), CD ⊂ ( SCD ), AB // CD ⇒ ( SAB) ∩ ( SCD ) = St // AB // CD - Vì (SAB) ⊥ ( SMN ), ( SCD) ⊥ ( SMN ) ⇒ St ⊥ ( SMN ) ⇒ St ⊥ SM , St ⊥ SN Do SM ⊂ ( SAB), SN ⊂ ( SCD) ⇒ góc mặt phẳng (SAB) (SCD) góc đường thẳng SM SN Giả sử góc MSN = ϕ đặt α = góc (SM,SN) ⇒ cos α = cos ϕ *Tính góc α : - Ta có SM2 = SN2 = h2 + a2, MN = 2a - Xét tam giác SMN: MN2 = SM2 + SN2 – SM.SN.cos ϕ h2 − a2 h2 − a2 α = ⇒ cos (1) h2 + a2 h2 + a2 Vậy góc mặt phẳng (SAB) (SCD) α mà cos α thoả mãn (1) ⇔ 4a2= 2(h2 + a2) – 2(h2+ a2).cos ϕ ⇒ cos ϕ = C Giaovienvietnam.com *(SAB) ⊥ (SCD) ⇔ α = 90o ⇔ cos α = ⇔ h = a Ví dụ 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a B’ Tính góc mặt phẳng (A’BC) (A’DC) Giải: * Xác định góc mặt phẳng (A’BC) (A’DC): Vì ABCD.A’B’C’D’ hình lập A’ phương nên ∆A' BC = ∆A' DC (c.c.c ) BD ⊥ ( AA' C' C) → BD ⊥ A' C (1) - Trong mặt phẳng (A’DC) B kẻ DH ⊥ A’C (2) - Từ (1) (2) ⇒ A' C ⊥ ( BDH ) → A' C ⊥ BH Vì (A’BC) ∩ ( A' DC ) = A' C nên góc mặt phẳng (A’BC) (A’DC) góc A đường thẳng BH DH C’ D’ H C D Do gọi α góc mặt phẳng (A’BC) (A’DC), ϕ góc BHD α = ϕ (nếu ϕ ≤ 90 ) α = 180 − ϕ (nếu ϕ 〉 90 ) * Tính α : ∆A' DC có Xét A’D ⊥ DC , A' D = a , DC = a, A' C = a ⇒ DH A' C = A' D.DC ⇒ DH = a  - Vì ∆A' BC = ∆A' DC ⇒ BH = DH - Xét ∆BDH : BD2 = BH2 + DH2 - 2BH.DH.cos ϕ ⇔ 2a = 2a 2a 2a + −2 cos ϕ ⇒ coss ϕ =- ⇒ ϕ = 120 ⇒ α = 60 3 Vậy góc giữ mặt phẳng (A’BC) (A’DC) 600 2/ Loại tốn trắc nghiệm: Ví dụ 5: Mệnh đề sau đúng: (A) Góc mặt phẳng ln góc nhọn (B) Góc (P) (Q) h góc giũa (P) (R) (Q) // (R) (Q) ≡ (R) (C) Góc (P) (Q) h góc giũa (P) (R) th ì (Q) // (R) (D) Cả mệnh đề Đáp án: (B) HD: Dựa vào định nghĩa góc mặt phẳng Ví dụ 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Mệnh đề sau đúng? (A) Góc mặt phằng (A’BD) mặt phẳng chứa mặt hình lập phương Giaovienvietnam.com (B) Góc mặt phẳng (A’BD) mặt phẳng chứa mặt hình lập phương phụ thuộc vào kích thước hình lập phương (C) Góc mặt phẳng (A’BD) mặt phẳng chứa mặt hình lập phương α mà tan α = (D) Cả mệnh đề sai Đáp án: (A) HD: Giả sử O = AC ∩ BD hình lập phương có cạnh a đặt α = góc A’OA ⇒ α góc mặt phẳng (A’BD) mặt phẳng (ABCD) Dễ dàng chứng minh góc mặt phẳng (A’BD) với mặt phẳng chứa mặt hình lập phương α tan α = Ví dụ 7: Cho a, b, c đường thẳng Mệnh đề sau đúng? (A) { a ⊥ b, a ⊂ ( P), b ⊂ (Q)} ⇒ ( P) ⊥ (Q) (B) { a ⊥ b, a ⊂ ( P), b ⊂ (Q), (Q) ⊥ a} ⇒ ( P) ⊥ (Q) (C) { a ⊥ b, ∀(Q) ⊃ b} ⇒ (Q) ⊥ a (D) { } // b, c ⊥ a, c ⊥ b, c ⊂ ( P) ⇒ ( P) ⊥ mp(a,b) Đáp án: (B) HD: Theo điều kiện cần đủ để mặt phẳng vng góc Ví dụ 8: Mệnh đề sau đúng? (A) Hai mặt phẳng vuông góc với đường thẳng nằm mặt phẳng n vng góc với mặt phẳng (B) Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng vng góc với (C) Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song với (D) Ba mệnh đề sai Đáp án (D) Ví dụ 9: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng: (A) Nếu hình hộp có mặt hình vng hình lập phương (B) Nếu hình hộp có mặt chung đỉnh hình vng hình lập phương (C) Nếu hình hộp có mặt hình lập phương (D) Nếu hình hộp có đường chéo hình lập phương Đáp án: (B) HD: Nếu hình hộp có mặt chung đỉnh hình vng mặt hình vng nên hình lập phương Ví dụ 10: Cho đường thẳng a mặt phẳng (P) Có mặt phẳng qua a vng góc với (P)? (A) Khơng có (B) Có (C) Có vơ số (D).Có vơ số Giaovienvietnam.com Đáp án: (C) HD: + Nếu a khơng vng góc với (P) có + Nếu a vng góc với (P) có vơ số Ví dụ 11: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a, SA ⊥ (ABC) SA = a a) Góc mặt phẳng (SAB) (ABC) bằng: (A) Oo (B) 30o (C) 60o (D) 90o b) Góc (SAB) (SAC) bằng: (A) 30o (B) 45o (C) 60o (D) 90o c) Góc mặt phẳng (SBC) (ABC) bằng: (A) 30o (B) 45o (C) 60o (D) 90o Đáp án: a) (D) b) (C) c) (A) ⊥ (( ABC ), SA ⊂ ( SAB ) ⇒ ( SAB ) ⊥ ( ABC ) ⇒ HD: a) SA góc (SAB,ABC) = 90 o b) SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ AB, SA ⊥ AC ( SAB) ∩ ( SAC ) = SA, AB ⊂ ( SAB ), AC ⊂ ( SAC ) ⇒ Góc (SAB,SAC) = góc BAC = 60o b) + Gọi M trung điểm BC ⇒ AM ⊥ BC , SM ⊥ BC ⇒ Góc(SBC,ABC) = Góc SMA = α + Xét tam giác vng SMA có SA = a a ⇒ α = 30 o , AM = ⇒ tan α = 2 Ví dụ 12: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đội vng góc với Gọi α , β , γ tương ứng góc tạo mặt phẳng (OAB), (OBC), (OCA) với mặt phẳng (ABC) Khi góc α , β , γ thoả mãn điều kiện đây? (A) cos2 α + cos2 β + cos2 γ = (B).sin2 α +sin2 β +sin2 γ =2 (C) tan2 α + tan β + tan2 γ = (D) cot2 α + cot2 β + cot2 γ =2 A Đáp án (B) HD: * Xác định α , β , γ : F + Gọi H trực tâm tam giác D ABC ⇒ OH ⊥ ( ABC ) α H Và CH ⊥ AB, CH ∩ AB = D ⇒ AB ⊥ (OCD ) ⇒ AB ⊥ DO ⇒ α = góc ODH + Tương tự β = góc OEH, γ = góc O OFH (xem hình vẽ) * C β E OH   = OH +  B  2 OD OB   OA 1 = + Vì tam giác vng OAB có OD ⊥ AB → 2 OD OA OB + Xét tam giác vng ODH có sin α = Giaovienvietnam.com  + Tương tự sin2 α = OH  1    + , sin γ = OH  +  2  OC  OA   OB  OC 1  2 2  =2 Từ suy ra: sin α + sin β + sin γ = 2OH  + + OB OC   OA 1 1 = + + Vì 2 OH OA OB OC III Bài tập: 1/ Bài tập tự luận: Cho tứ dien ABCD có AB ⊥ CD AH ⊥ (BCD) a) CMR: (ABH) ⊥ (BCD) (ABH) ⊥ (ACD) b) Xác định góc mặt phẳng (ACD) (BCD) Cho hình chóp S.SBCD có đáy hình vng cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a a) CMR: (SAB) ⊥ (ABCD), (SAB) ⊥ (SAD) b) CMR: (SAB) ⊥ (SBC), (SAC) ⊥ (SBD) c) CMR: giao tuyến mặt phẳng (SAD) (SBC) vng góc với (SAB) d) Tính góc cặp mặt phẳng (SCD) (SAD), (SCD) (ABCD), (SAD) (SBC) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, BD = a, SC ⊥ (ABCD), SC= a Chứng minh (SAB) ⊥ (SAD) 2/ Bài tập trắc nghiệm: Cho mặt phẳng (P) (Q) cắt theo giao tuyến a Góc mặt phẳng (P) (Q) khơng phải góc sau đây? (A) Góc đường thẳng vng góc với mặt phẳng (B) Góc đường thẳng nằm mặt phẳng vng gốc với đường thẳng a (C) Góc đường thẳng b b’, b nằm (P) vng góc với a, cịn b’ hình chiếu vng góc b (Q) (D) Góc đường thẳng b vng góc với (P) hình chiếu b (Q) Cho tứ diện ABCD có đường thẳng AB BC, CD đơi vng góc Góc mặt phẳng (ACD) (BCD) góc sau đây? (A) Góc ACB (B) Góc ADB (C) Góc AIB, I-trung điểm CD (D) Góc DAB Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi SA = SC Mặt phẳng (ABCD) vng góc với mặt phẳng sau đây? (A) (SAD) (B) SBD) (C) (SAC) (D).(SAB) Cho tứ diện ABCD cạnh a, Khi mặt bên (ABC) tạo với mặt đáy (BCD) góc ϕ thoả mãn điều kiện đây? Giaovienvietnam.com (C) cos ϕ = (A) cos ϕ = (B) cos ϕ = (D) cos ϕ = 2 Cho mặt phẳng (P), (Q), (R) Mệnh đề sau đúng? (A) Nếu (P) ⊥ (Q) (R) ⊥ (Q) (P) // (R) (B) Nếu (P) // (Q) (P) ⊥ (R) (Q) // (R) (C) Nếu (P) ⊥ (Q) (Q) // (R) (P) ⊥ (R) (D) Nếu (P) // (Q) (Q) // (R) (P) ⊥ (R) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc Bộ mặt phẳng vng góc với đơi là: (A) (OAB), (OAC), (OBC) (B) (AOB), (AOC), (ABC) (C) (BOA), (BOC), (BAC) (D) (COA), (COB), (CAB) Có mặt phẳng qua điểm A cho trước vng góc với mặt phẳng phân biệt (P) (Q) cho trước? (A) Khơng có (B) Có (C) Có vơ số (D) Có vơ số Cho (P) ⊥ (Q), đường thẳng a ⊥ (Q).Khi đó: (A) a ⊥ (P) (B) a // (P) (C) a ⊂ (P) (D) a // (P) a ⊂ (P) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Tam giác SAD (SAD) ⊥ (ABCD) Khẳng định sau đúng? (A) Đường cao hình chóp a (B) SB = a (C) Tam giác SAC cân S (D) Cả (A), (B), (C), sai 10 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi α , β , γ góc đường chéo A’c với cạnh AA’, A’B’, A’D’ Khẳng định sau đúng? (A) cos α + cos β + cos γ = (B) cos2 α + cos2 β + cos γ = (C) sin2 α + sin β + sin γ = (D) Cả (A), (B), (C) HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP VÀ ĐÁP SỐ Chủ đề 1/ Bài tập tự luận: 1.a) * AH ⊥ ( BCD ), AH ⊂ ( ABH ) ⇒ ( ABH ) ⊥ ( BCD) * AH ⊥ ( BCD ) ⇒ AH ⊥ CD Mặt khác AB ⊥ CD Giaovienvietnam.com (Theo giả thuyêt) ⇒ CD ⊥ ( ABH ) Mà CD ⊂ ( ACD ) ⇒ ( ACD ) ⊥ ( ABH ) b) * Giả sử BH cắt CD BM ⊥ CD * Vì CD ⊥ (ABH) ⇒ CD ⊥ AM Vậy góc mặt phẳng (ACD) (BCD) góc đường thẳng AM BM Giả sử α = góc (AM, BM) Ta có α = góc AMB, góc AMB ≤ 90 o B α = 180o – góc AMB, góc AMB > 90o A D H 2.a) * SA ⊥ ( ABCD), SA ⊂ ( SAB) ⇒ ( SAB) ⊥ ( ABCD) * SA ⊥ ( ABCD) ⇒ SA ⊥ AB ABCD hình vng ⇒ SA ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SAD) , mà AB ⊂ (SAB) nên (SAB) ⊥ (SAD) b)* SA ⊥ ( ABCD) ⇒ SA ⊥ BC ABCD hình vng ⇒ AB ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SAB), mà BC ⊂ (SBC ) nên (SBC) ⊥ (SAB) * SA ⊥ ( ABCD) ⇒ SA ⊥ BD ABCD hình vng ⇒ AC ⊥ BD Từ suy BD ⊥ (SAC ), mà BD ⊂ (SBD) nên (SBD) ⊥ (SAC ) B S M C t D A C c) + Ta có AD ⊂ ( SAD), BC ⊂ ( SBC ), AD // BC ⇒ ( SAD) ∩ ( SBC ) = St // AD + Vì (SAD) ⊥ (SAB) (SBC) ⊥ (SAB) nên St ⊥ (SAB) d) * Ta có CD ⊥ SA, CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ ( SAD) ⇒ ( SCD) ⊥ ( SAD) Vậy góc (SCD) (SAD) 90o *+ (SCD) ∩ ( ABCD) = CD, AD ⊥ CD CD ⊥ ( SAD) ⇒ CD ⊥ SD nên góc mặt phẳng (SCD) (ABCD) góc SDA + Xét tam giác vng SAD có SA = AD = a suy góc SDA = 45o Vậy góc mặt phẳng (SCD) (ABCD) 45o *+(SAD) ∩ ( SBC ) = St + Theo chứng minh St ⊥ ( SAB) ⇒ St ⊥ SA, St ⊥ SB ⇒ góc mặt phẳng (SAD) (SBC) góc ASB + Xét tam giác vng SAB có SA = AB = a ⇒ góc ASB = 45o Vậy góc mặt phẳng (SAD) (SBC) 45o S 3.+ SC ⊥ ( ABCD) ⇒ SC ⊥ BD Giaovienvietnam.com ABCD hình thoi ⇒ AC ⊥ BD Do BD ⊥ ( SAC ) ⇒ BD ⊥ SA (1) + Gọi O = AC ∩ BD Trong mặt phẳng (SAC) kẻ OH ⊥ SA (2) + Từ (1) (2) H D A ⇒ SA ⊥ ( BDH ) ⇒ SA ⊥ BH , SA ⊥ DH Vậy góc mặt phẳng (SAB) (SAD) góc đường thẳng BH DH O C B + ta có tam giác vng AHO ASC đồng dạng có góc A chung nên: OH SC OA.SC = ⇒ OH = OA SA SA (3) + Xét tam giác vng SCA có SC= a a , AC = AO = =a 2 a ) 3a 9a 3a ⇒ SA = SC + AC = + 3a = ⇒ SA = 2 a a 2 = a = BD ⇒ OH = + Từ (3) (4) 3a 2 (Vì ∆ABD cạnh a ⇒ AO = (4) (5) + Tam giác HBD có đường trung tuyến HO thoả mãn hệ thức (5) nên tam giác vng H suy góc (BH,DH) = 90o suy (SAB) ⊥ (SAD) 2/Bài tập trắc nghiệm: 1.Đáp án (D) HD: (D) sai (P) ⊥ (Q) 2.Đáp án (A) HD: + AB ⊥ BC, AB ⊥ CD ⇒ AB ⊥ ( BCD) ⇒ AC ⊥ CD + (ACD) ∩ ( BCD = CD ⇒ góc ACB góc mặt phẳng (ACD) (BCD) 3.Đáp án (B) HD: + Gọi O = AC ∩ BD , SA=SC ⇒ SO ⊥ AC + ABCD hình thoi ⇒ BD ⊥ AC ⇒ AC ⊥ (SBD) , mà AC ⊂ ( ABCD) ⇒ ( ABCD) ⊥ ( SBD) 4.Đáp án (B) HD: + Kẻ AH ⊥ ( BCD) ⇒ DH ⊥ BC , DH ∩ BC = M ⇒ AM ⊥ BC ⇒ ϕ = góc AMH Giaovienvietnam.com + Ta có AM=DM= HM a = , HM = DM ⇒ cos ϕ = AM 3 5.Đáp án (C) Đáp án (A) HD: + OA ⊥ OB, OA ⊥ OC ⇒ OA ⊥ (OBC) ⇒ (OAB) ⊥ (OBC), (OAC) ⊥ (OBC) +Tương tự : OB ⊥ (OAC ) ⇒ (OAB) ⊥ (OAC ) Đáp án (D) HD: + Nếu (P) cắt (Q) có qua A có mặt phẳng (R) vng góc với giao tuyến (P) (Q) ⇒ ( R) ⊥ ( P), ( R) ⊥ (Q) + Nếu (P) // (Q) có vơ số mặt phẳng qua A có đường thẳng a vng góc với a (P) (Q) suy có vơ số mặt phẳng chứa a vng góc với (P) (Q) Đáp án (D) HD: + Nếu a (P) có điểm chung a ⊂ (P) + Nếu a (P) khơng có điểm chung a // (P) Đáp án (B) HD: + Chứng minh tam giác SAB vuông cân A ⇒ SB = a 10 Đáp án (D) A' A 1 ⇒ (A), (B), (C) HD: A’C=a ⇒ cos α = A' C = , cos β = coss γ = 3 ... đủ để mặt phẳng vuông góc Ví dụ 8: Mệnh đề sau đúng? (A) Hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng n vng góc với mặt phẳng (B) Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng vng góc với... chứa mặt hình lập phương Giaovienvietnam.com (B) Góc mặt phẳng (A’BD) mặt phẳng chứa mặt hình lập phương phụ thuộc vào kích thước hình lập phương (C) Góc mặt phẳng (A’BD) mặt phẳng chứa mặt hình... trắc nghiệm: Cho mặt phẳng (P) (Q) cắt theo giao tuyến a Góc mặt phẳng (P) (Q) khơng phải góc sau đây? (A) Góc đường thẳng vng góc với mặt phẳng (B) Góc đường thẳng nằm mặt phẳng vng gốc với