ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG

Giaovienvietnam.com ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG A CHUẨN KIẾN THỨC A.TĨM TẮT GIÁO KHOA Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng ( α) d Cho đường thẳng • • mặt phẳng ( α) d d , ta có ba vị trí tương đối chúng là: { M } = dα∩ ( ) M cắt điểm ( α) , kí hiêu dαP ( ) song song với , kí hiệu α dα⊂ ( ( ) d • nằm , kí hiệu ) ( α) P d M = dα ∩( để đơn giản ta kí hiệu ) (h1) ( h2) (h3) Các định lí tính chất • Nếu đường thẳng ( α) d khơng nằm mặt phẳng ( α) d song song với dα⊄ ( )  d P d' ⇒ dαP ( d'α  ⊂( ) Vậy d d ( α) d' song song với đường thẳng nằn ) ( α) • Cho đường thẳng song song với mặt phẳng d' P d d' tuyến ( β) Nếu mặt phẳng Trang ( α) d qua cắt theo giao Giaovienvietnam.com dαP ( )  d' ⇒ dP dβ⊂ ( )  ( α ) ∩ ( β) = d' Vậy • Nếu hai mặt phẳng phân biệt song song với đường thẳng giao tuyến chúng ( có) song song với đường thẳng ( α ) P d  ⇒ d' P d ( β) P d  ( α ) ∩ ( β) = d' Vậy • Cho hai đường thẳng chéo Có mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài toán 01: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG Phương pháp: ( α) d Để chứng minh đường thẳng ( α) d' thẳng songsong với mặt phẳng nằm Trang d ta chứng minh song song với đường Giaovienvietnam.com Các ví dụ A BCD Ví dụ Cho hai hình bình hành O ABEF khơng nằm mặt phẳng có tâm O' ( ADF) OO' a) Chứng minh song song với mặt phẳng M ,N b) Gọi ( BCE ) 1 AM = AE,BN = BD 3 AE,BD hai điểm cạnh cho MN Chứng minh ( CDEF) song song với Lời giải OO' a) Ta có BDF đường trung bình tam giác ứng với OO' P DF DF ⊂ ( ADF ) nên , DF cạnh ⇒ OO' P ( ADF ) OO' Tương tự, CE với cạnh A CE đường trung bình tam giác OO' P CE CE ⊂ ( CBE ) ⇒ OO' P ( BCE ) nên , ( ABCD ) b) Trong I = AN ∩ CD , gọi AN BN AN = ⇒ = AI BD AI AB P CD Do nên AM AN AM = ⇒ = AE AI AE ⇒ MN P IE Lại có ứng I ∈ CD ⇒ IE ⊂ ( CDEF ) ⇒ MN P ( CDEF ) Mà Trang Giaovienvietnam.com S.A BCD Ví dụ Cho hình chóp I G hình bình hành Gọi M AB trung điểm A BCD có đáy M cho CI AB a) Đường thẳng qua AM = AD AD điểm cạnh song song với cắt NG P ( SCD ) N Chứng minh MG P ( SCD ) b) Chứng minh Lời giải IN BJ AM IG = = = = IC BC AD IS a) Ta có , ⇒ IN IG = ⇒ NG P SC IC IS , SC ⊂ ( SCD ) mà ⇒ NG P ( SCD ) IM E b) Gọi giao điểm SA B trọng tâm tam giác CD IM AM IM IG = = ⇒ = IE AD IE IS Ta có ⇒ MG P SE SE ⊂ ( SCD ) ⇒ GM P ( SCD ) , Bài toán 02: DỰNG THIẾT DIỆN SONG SONG VỚI ĐƯỜNG THẲNG Phương pháp: Sử dụng định nghĩa tính chất biểu thức tọa độ phép tịnh tiến Trang , Giaovienvietnam.com ( α) Trong phần ta xét thiết diện mặt phẳng qua điểm song song với hai đường thẳng chéo ( α) chứa đường thẳng song song với đường thẳng; để xác định thiết diện loại ta sử ( α ) P d  dβ⊂ ( )  Mα∈ ( ) β∩ ( ) ⇒ α( ) β∩ ( d' )= d,M P d'∈ dụng tính chất: Các ví dụ S.ABCD M N CD ( α ) AB Ví dụ Cho hình chóp , hai điểm thuộc cạnh , mặt phẳng qua MN SA song song với ( α) S.ABCD a) Xác định thiết diện hình chóp cắt MN b) Tìm điều kiện để thiết diện hình thang Lời giải Mα∈ ( ) SAB ∩(  ( α ) P SA  SA ⊂ ( SAB) ) a) Ta có ⇒ ( SA Bα ) ∩ ( MQ )= SAP,Q SB∈ ( ABCD ) Trong I = AC ∩ MN gọi I ∈ MNα⊂ ( ) ⇒ Iα ∈(  I ∈ AC ⊂ ( SAC ) ∩( ) SAC ) Trang Giaovienvietnam.com I ∈ ( SACα ) ∩( )  ( α ) P SA  SA ⊂ ( SAC ) ⇒ ( SACα ) ∩ ( IP) = SAP,P SC∈ Vậy ( α ) ∩ ( SBC ) = PQ,( α ) ∩ ( SAD ) = NP Từ ta có MNPQ Thiết diện tứ giác MNPQ b) Tứ giác MN P PQ hình thang MQ P NP Trường hợp 1: MQ P NP ⇒ SA P NP  MQ P SA MQ P NP Nếu ta có NP ⊂ ( SCD ) ⇒ SA P ( SCD ) Mà (vơ lí) Trường hợp 2: ( ABCD ) ,α( ), SBC ( ) MN P PQ Nếu ta có mặt phẳng MN ,BC,PQ đôi cắt theo ba giao tuyến MN P BC nên MNα⊂ ( )   BC ⊂ ( SBC )  ∩( PQα= ( ) SBC MN P BC Đảo lại ) ⇒ MN P PQ MNPQ nên tứ giác hình thang MNPQ Vậy để tứ giác MN P BC hình thang điều kiện S.A BCD Ví dụ Cho hình chóp cạnh cho SA B a , có đáy hình vng cạnh BM = x ( < x < a) BC ( α) , tam giác M mặt phẳng qua Trang M Một điểm SA song song với SB thuộc Giaovienvietnam.com ( α) a) Xác định thiết diện hình chóp cắt a b) Tính diện tích thiết diện theo x Lời giải Mα∈ ( ) SBC ∩(  ( α ) P SB  SB ⊂ ( SBC ) ) a) Ta có ⇒ ( α ) ∩ ( SBC ) = MN P SB, N ∈ SC N ∈ ( SA Cα ) ∩(  ( α ) P SA  SA ⊂ ( SAC ) ) ⇒ ( SACα ) ∩ ( NI) = SAP,I A C∈ Tương tự ( ABCD ) Trong Q = M I ∩ AD gọi Q ∈ ( SADα ) ∩(  ( α ) P SA  SA ⊂ ( SAD ) ) , ta có ⇒ ( SAD ) ∩ ( α ) = QP P SA ,P ∈ SD MNPQ Thiết diện tứ giác MN P SB ⇒ CM CN = ( 1) CB CS IN P SA ⇒ CI CN = CA CS b) Do Lại có ( 2) ( 1) Từ CM CI = ⇒ IM P AB CB CA ( 2) suy AB P CD ⇒ IM P CD Mà Trang ( α ) ,( ABCD ) Giaovienvietnam.com ( SCD ) Ba mặt phẳng MQ,CD,NP đôi cắt theo ba giao tuyến với MQ P CD ⇒ MQ P NP MNPQ Vậy hình thang MN CM DQ PQ = = = SB CB DA SA Ta có , mà SA = SB = a ⇒ MN = PQ MNPQ Do hình thang cân MN CM a − x = = ⇒ MN = a − x SA CB a Từ , PN SN BM IM CM = = ⇒ PN = BM = x = ⇒ IM = CM = a − x DC SC BC AB CB , J Gọi IM trung điểm  a− x NJ = MN − MJ = ( a − x) −  = ( a − x) ÷   2 1 3 2 SMNPQ = NJ ( MQ + NP ) = a − x) ( a + x) = a −x ( 2 ( ) CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP M ,N S.ABCD 31.Cho hình chóp Gọi AB trung điểm SAB,SBC tâm tam giác AC P ( SMN ) a) Chứng minh G1G2 P ( SAC ) b) Trang BC G1 ,G2 ; tương ứng trọng ( ABC ) c) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng S.A BCD 32 Cho hình chóp SA ,SB,AD A BCD có đáy hình bình hành Trên cạnh lấy SM SN PD = = SA SB AD M ,N ,P điểm Giaovienvietnam.com ( BG1G2 ) cho MN P ( ABCD ) a) Chứng minh SD P ( MNP ) b) NP P ( SCD ) c) S.A BCD 33 Cho hình chóp A BCD O có đáy tứ giác lồi Gọi giao điểm hai đường chéo O BD AC Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng qua S.A BCD 34 Cho hình chóp A BCD định thiết diện hình chóp với mặt phẳng MN M qua trung điểm cạnh SB hai điểm hai cạnh Xác SA BD , song song với M ,N Gọi AB hình bình hành Gọi ( α) 35 Cho hình chóp M có đáy S.A BCD SC AB , song song với ( α) CD , mặt phẳng qua SC song song với ( α) Xác định thiết diện hình chóp cắt O,O' A BCD ABC ABD 36 Cho tứ diện Gọi tâm đường tròn nội tiếp tam giác Chứng minh điều kiện cần đủ để BC AB + AC = BD AB + AD OO' P ( BCD ) a) OO' P ( CBD ) b) OO' P ( ACD ) BC = BD A C = AD Trang Giaovienvietnam.com S.A BCD 37 Cho hình chóp A BCD có đáy hình bình hành AM phẳng qua M Gọi ( α) SC trung điểm ; mặt BD song song với ( α) a) Xác định thiết diện hình chóp cắt ( α) E,F b) Gọi giao điểm SB,SD với cạnh K = ME ∩ CB,J = MF ∩ CD Tính tỉ số Chứng minh S.A BCD EF nằm đường thẳng song song với A BCD có đáy SCD tâm tam giác A ,K ,J c) Gọi 38 Cho hình chóp SΔSME SΔSMF ; SΔSBC SΔSCD M ,N AB hình thang với đáy lớn Gọi theo thứ tự trọng SAB ( ABM ) ( SCD ) ( SMN ) a) Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng : ; ( ABC ) MN P ( ABC ) b) Chứng minh d ( SCD ) c) Gọi giao tuyến ( ABM ) I,J SD,SC d giao điểm với Chứng IN P ( A BC ) minh P,Q d) Tìm giao điểm với S.A BCD 39 Cho hình chóp , với S,P,Q Chứng minh hình bình hành tâm AM mặt phẳng qua ( SCD ) AN A BCD có đáy ( α) , ( SA B) MC thẳng hàng O M SC điểm di động cạnh BD song song với ( α) a) Chứng minh chứa đường thẳng cố định ( α) H ,K b) Tìm giao điểm SB SD SC + − SH SK SM SB,SD với Chứng minh Trang 10 có giá trị khơng đổi Giaovienvietnam.com ( α) b) Thiết diện hình chóp với có với Một mặt phẳng song song với CD AB hai đường thẳng thiết diện ( α) AB = CD = a,BC = AD = b,A C = BD = c A BCD 40 Cho tứ diện hình thang khơng? cắt cạnh của tứ diện theo thiết diện hình thoi Tính diện tích A BCD 41 Cho tứ diện cạnh a M BC P AD hai điểm di động cạnh , cho MA = PC = x, ( < x < a) MP Một mặt phẳng qua CD song song với cắt tứ diện theo thiết diện a) Chứng minh thiết diện hình thang cân x b) Tìm để diện tích thiết diện nhỏ S.A BCD 42 Cho hình chóp SC,SD cắt ( α) A BCD có đáy hình bình hành Một mặt phẳng AB thay đổi qua M ,N A BMN a) Tứ giác hình gì? AM I b) Chứng minh giao điểm AN K c) Chứng minh giao điểm BN AB BC − MN SK BM ABC.A 'B'C' 43 Cho hình lăng trụ ln thuộc đường thẳng cố định thuộc đường thẳng cố định B'C' I Gọi không đổi trung điểm cạnh AB' P ( A 'IC ) a) Chứng minh M b) điểm thuộc cạnh SΔA 'PQ = SΔA 'CI M PQ P AB' A 'C' A M ∩ A 'C = P,B'M ∩ A 'I = Q , Chứng minh Tìm vị trí để ABC.A 'B'C' I,G,K A BC ACC' A 'B'C' 44 Cho hình lăng trụ trọng tâm tam giác , Chứng minh Trang 11 Giaovienvietnam.com IG P ( ABC') a) GK P ( BB'C'C ) b) A BCD 45 Cho tứ diện cạnh a I AC J AD trung điểm cạnh , điểm tuộc cạnh cho ( MIJ ) P AB AJ = 2JD M BCD điểm di động tam giác cho M a) Tìm tập hợp điểm Trang 12 ... đường thẳng song song với đường thẳng B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài toán 01: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG Phương pháp: ( α) d Để chứng minh đường thẳng ( α) d' thẳng. .. hai mặt phẳng phân biệt song song với đường thẳng giao tuyến chúng ( có) song song với đường thẳng ( α ) P d  ⇒ d' P d ( β) P d  ( α ) ∩ ( β) = d' Vậy • Cho hai đường thẳng chéo Có mặt phẳng. .. thẳng ( α) d' thẳng songsong với mặt phẳng nằm Trang d ta chứng minh song song với đường Giaovienvietnam.com Các ví dụ A BCD Ví dụ Cho hai hình bình hành O ABEF khơng nằm mặt phẳng có tâm O' (