Đường chính khúc và đường tiệm cận trên mặt trong e3

Tr-ờng đại học vinh khoa toán Tống Thị Tú đ-ờng khúc đ-ờng tiệm cận mặt E3 Khóa luận tốt nghiệp đại học ngành cử nhân khoa học toán Vinh - 2009 Tr-ờng đại học vinh khoa toán đ-ờng khúc đ-ờng tiệm cận mặt E3 Khóa luận tốt nghiệp đại học ngành cử nhân khoa học toán chuyên ngành: hình học Cán h-ớng dẫn khóa luận: TS Nguyễn Duy Bình Sinh viên thực hiện: Tống Thị Tú Lớp: 46B2 - Toán Vinh - 2009 Mục lục Trang LờI Mở Đầu Đ1 ánh xạ Weingarten độ cong §2 §-êng chÝnh khóc 13 §3 §-êng tiƯm cËn 24 KÕt luËn 35 Tài liệu tham khảo 36 LêI Më Đầu Lý thuyết đ-ờng mặt nội dung quan trọng hình học vi phân trình bày nhiều tài liệu như: Hình học vi phân Đoàn Quỳnh, Các dạng vi phân H.Cartan Lý thuyết liên quan đến nhiều kiến thức hình học tôpô Có loại đ-ờng th-ờng gặp mặt, là: Đ-ờng khúc Đ-ờng tiệm cận Đ-ờng trắc địa Trong phạm vi khoá luận này, trình bày khái niệm tính chất đ-ờng khúc đ-ờng tiệm cận mặt E3 Cấu trúc khoá luận số kết đạt đ-ợc: Đ1 ánh xạ Weingarten độ cong Mục trình bày chøng minh chi tiÕt mét sè tÝnh chÊt quan träng ánh xạ Weingarten (Mệnh đề 1.4,1.6 ) Từ ®i ®Õn c¸c kh¸i niƯm ®é cong Gauss, ®é cong trung bình, dạng I, II, công thức Meusnier, Euler chứng minh số tính chất liên quan (Mệnh đề 1.7,1.8.1,1.8.2) để sử dụng cho chứng minh sau Đ2 Đ-ờng khúc Mục trình bày khái niệm đ-ờng khúc mặt E xây dựng ph-ơng trình vi phân đ-ờng khúc Từ áp dụng để tìm đ-ờng khúc số mặt th-ờng gặp Ngoài trình bày tính chất đường khúc (Mệnh đề 2.5.1,,2.5.7) Đ3 Đ-ờng tiệm cận Mục trình bày định nghĩa, số ví dụ ph-ơng trình vi phân đ-ờng tiệm cận tham số hoá địa ph-ơng Thông qua ph-ơng trình vi phân để viết ph-ơng trình đ-ờng tiệm cận số mặt th-ờng gặp E3 Ngoài trình bày chứng minh mét sè tÝnh chÊt quan träng cđa ®-êng tiƯm cËn E3 (Mệnh đề 3.5.1,,3.5.9) Khoá luận đ-ợc hoàn thành d-ới h-ớng dẫn tận tình thầy giáo TS Nguyễn Duy Bình Nhân dịp này, xin đ-ợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy Đồng thời cảm ơn thầy cô Khoa Toán - Tr-ờng Đại học Vinh, cảm ơn gia đình bạn bè đà tạo điều kiện cho suốt trình học tập hoàn thành khoá luận Do hạn chế thời gian nh- lực thân nên khoá luận không tránh khỏi thiếu sót, mong đ-ợc đánh giá, phê bình góp ý thầy cô Tôi xin chân thành cảm ơn ! Vinh, tháng 04 năm 2009 Tác giả Đ1 ánh xạ Weingarten mặt S E3 1.1 Định nghĩa S đa tạp hai chiều (mặt) có h-ớng E xác định tr-ờng vectơ pháp tuyến đơn vị n S ánh xạ: h p : TpS TpS - D n ( D đạo hàm tr-ờng vectơ pháp tuyến đơn vị E3) đ-ợc gọi ánh xạ Weingarten p Khi p thay đổi, kí hiệu chung hp h gọi ánh xạ Weingarten S 1.2 Nhận xét Định nghĩa ánh xạ hp nh- hợp lý v× víi mäi p  S : n p .n p Lấy đạo hàm hai vế ta cã: 2D n.n  0,   TpS Do ®ã: D n  TpS 1.3 VÝ dô :J S Cho cung tham sè: t   t  NÕu  ' t ánh xạ Weingarten p là: hp : TpS TpS n0    t0  ' 1.4 MƯnh ®Ị Với điểm p thuộc mặt S , ánh xạ h p : TpS TpS tự đồng    D n cÊu tuyÕn tÝnh ®èi xøng Chøng minh: hp mét tù ®ång cÊu tuyÕn tÝnh: ThËt vËy, víi mäi  ,   TpS ; mäi k, l  R ta cã: h p k  l    Dk l n   Dk n  Dl n    kD n  lD  n  khp    lh p Để chứng minh hp đối xứng ta chøng minh r»ng víi mäi  ,  thuéc TpS cã h p  .   h p   víi mäi p  S ThËt vËy, lÊy tham số hóa địa ph-ơng: r :U R2  S u, v   r u, v  T¹i p=r(u,v),ký hiƯu Ru  p   ru' u, v, Rv ( p)  rv' u, v Ta có Ru ( p), Rv ( p) sở TpS Do ta cần chứng minh h p Ru  p .Rv  p   Ru  p .h p Rv  p  Ta cã: h p Ru  p    DRu ( p ) n Dn0 r  u, v  du  Dn0 r  '  h p Ru  p .Rv  p     rv u, v du Mặt khác: n0 r .rv' Lấy đạo hàm hai vế theo u ta cã: Dn0 r  ' Dr ' rv  n0 r  v  du du 2 Drv' (u, v) du Tõ (1) vµ (2) suy ra: h p ( Ru ( p)).Rv ( p)  (n r ) T-¬ng tù ta cã: Dru' Ru ( p).h p ( Rv ( p))  (no r ) (u, v) dv Do r khả vi nên Dru' Drv'  2r 2r   suy uv vu dv du VËy h p Ru  p .Rv  p   Ru  p .h p Rv  p Suy h p tự đồng cấu tuyến tính đối xứng 1.5 Định nghĩa Mỗi giá trị riêng h p gọi độ cong p S Mỗi vectơ riêng h p xác định ph-ơng gọi ph-ơng p S Định thức tự đồng cấu h p gọi độ cong Gauss p cđa S , kÝ hiƯu lµ K  p Vethp gọi độ cong trung bình p S , kÝ hiƯu lµ H  p  Điểm p S gọi điểm eliptic, hyperbolic hay parabolic cña S tuú theo K  p  d-ơng, âm hay 1.6 Nhận xét Từ tÝnh chÊt cđa tù ®ång cÊu tun tÝnh ®èi xøng h p suy r»ng h p lu«n cã hai giá trị phân biệt thực có giá trị riêng thực Chứng minh: Chọn sở trực chuẩn đơn vị e1 ,e2 TpS Giả sử:  h p e1   ae1  be2   h p e2   ce1  de2 Suy ra:  h p e1 .e2  b   h p e2 .e1  c Tõ tÝnh ®èi xøng cña h p suy b  c a Do ma trận ánh xạ h p là: Ap b Xét định thức: Ta có: ak b b d  b 0 d k   K  a  d .K  b  ad  *   a  d   - NÕu   ph-¬ng trình * có hai nghiệm thực phân biệt, nghĩa h p có hai giá trị riêng phân biệt, hai ph-ơng p hoàn toàn xác ®Þnh ~ ~ ~ ~ h p e1   K1 e1 , h p e2   K e2 Gọi hai giá trị riêng K1 , K thì: Độ cong Gauss p S lµ K  p   K1 K ~ ~ Độ cong trung bình p cđa S lµ H  p    ~ ~ K1  K 2  NÕu  ph-ơng trình * có nghiệm kép thực tức h p có giá trị ~ ~ riêng thực K1 K Khi với mäi c¬ së trùc chn e1 ,e2  cđa TpS cã ~ ~ ~ ~ ~ ~ h p e1   K1 e1 ; h p e2   K e2 ; K1  K vµ K  p   K12 ; H ( p)  K1 Điểm p nh- gọi điểm rốn cña S ~ ~ K1  K  p gọi điểm dẹt Khi ~ ~ K1 K p gọi điểm cầu 1.7 Mệnh đề Mặt S E mà điểm rốn độ cong Gauss không âm Chứng minh: r: Umë (  R2) S Gi¶ sư: (u,v) r (u, v) tham số hoá địa ph-ơng tuú ý cña S    r r  ,   ®éc lËp tuyÕn tÝnh  u v Gọi n tr-ờng vectơ pháp tuyến đơn vị mặt S Vì điểm S ~ ~ ~ điểm rốn nên độ cong chÝnh cđa S lµ K1  K  K Ta có độ cong Gauss S ~ K  K    r r , sở TpS nên:  u v      r  ~ r h p  u    K u       r  ~ r h    K p   v v Mặt khác ta có:  n0 r   r  u, v  hp    h p Ru    DRu n   u  u    n0 r   r  u, v  hp    h p Rv    DRv n   v  v    ~ r   n0 r   K  u u Nªn     ~ r   n0 r   K  v  v Lấy đạo hàm hai vế đẳng thức ta cã:      n0 r  ~ ' r ~  2r  Kv  K   uv u uv     ~ ' r ~  2r   n0 r   K  K u  v vu  vu    2r  2r V× n0 r khả vi nên: uv vu  ~ ' r ~ ' r ~ ' r ~ ' r Do ®ã: K v  K u hay K v  K u  u v u v    r r  ~' ~' ~ Do  ,  ®éc lËp tuyÕn tÝnh nªn K v  K u  Suy K lµ hµm h»ng  u v ~ Vậy K K số không âm 1.8 Các dạng I II mỈt S (mỈt cã h-íng E ) Víi P S, I p : TpS TpS  R  ,      II p : TpS  TpS  R  ,  hp Là dạng song song tuyến tính đối xứng TpS chúng đ-ợc gọi theo thứ tự dạng thứ thứ hai cđa S t¹i p Ng-êi ta cịng kÝ hiƯu: I p  ,    I p  ; II p  ,    II p ,và p thay đổi ký hiệu I II Trong tham số hoá địa ph-ơng r : U S, Xét hàm số U :   F u , v   I r u , v , r u , v  G u , v   I r u , v  Lu , v   II r u , v  M u , v   II r u , v , r u , v  N u , v   II r u , v  E u , v   I ru' u , v  ' u ' u ' u ' u ' u ' v ' u u, v ru, v 22 Hơn nữa: n ' t .n~t   nt .n~ ' t   1  ' t   n~t  nªn n ' t   n~t  2 Tõ (1) vµ (2)  n~ ' t   n~t  Vậy đ-ờng khúc S 2.5.6 Mệnh đề Cho C S đ-ờng quy N tr-ờng pháp vectơ đơn vị S Với tham số hoá C , Khi đó: 1) C đ-ờng khúc N ' t ' t ph-ơng 2) Nếu C đ-ờng khúc độ cong chÝnh øng víi  ' t  lµ  '' N  '  ' Chøng minh: a)  : Dễ dàng thấy C đ-ờng khúc nên ' t vectơ ph-ơng C ' t vectơ riêng D (t ) N Do đó: D t  N  N ' t   r t . ' t , ' t   N ' t  vµ  ' t  cïng ph-ơng : Nếu N ' t ' t ph-ơng hiển nhiên ta có C đ-ờng khúc b) Ta có:       D ' t  N  ' t   ' t . ' t    N ' t . ' t  ' t   ' t . ' t Mặt khác: N ' N '  N ' t . ' t   N t . '' t     N ' t . ' t   N t . '' t     K p,  ' t   VËy:   K p,  '     ' t ,  ' t  hp  ' t   ' t   I  ' t ,  ' t   ' t . ' t   K p,  ' t   N  ''  '  ' N t . '' t  , t   ' t . ' t  23 2.5.7 Mệnh đề Cho đ-ờng quy C giao mặt quy S với mặt phẳng p tham số hoá C Nếu góc S p dọc theo đ-ờng khúc Chứng minh: * Tr-ờng hợp 1: Góc S p lớn 0 bé 180 Giả sử N V t-ơng ứng tr-ờng vectơ pháp tuyến đơn vị S p dọc theo C Do p mặt phẳng, suy V const  V '  Do N V =const  N.V '  N ' V   N ' V   N '  V N ' ' ph-ơng (vì V ) Do C đ-ờng khúc * Tr-ờng hợp 2: Góc S p 0 180 Khi đó: N  V  N '   N ' t   0, t   N ' t ,  ' t  cïng ph-¬ng víi mäi t C đ-ờng khúc 24 Đ3 Đ-ờng tiệm cận 3.1 Định nghĩa Ph-ơng xác định TpS gọi ph-ơng tiệm cận S p độ cong pháp dạng S theo ph-ơng 0, K ~ Đ-ờng S mà ph-ơng tiếp xúc điểm ph-ơng tiệm cận S ®iĨm ®ã gäi lµ mét ®-êng tiƯm cËn cđa S 3.2 Ví dụ S mặt phẳng đ-ờng S đ-ờng tiệm cận S Thật S mặt phẳng nên tr-ờng vectơ pháp tuyến đơn vị n S tr-ờng vectơ song song Do ®ã víi mäi  TpS  0 ta cã D n   II    0,   TpS  0 ~  K    0,   TpS  0 Vậy đ-ờng có ph-ơng xác định đ-ờng tiệm cận S Do đ-ờng S đ-ờng tiệm cận S 3.3 Ph-ơng trình vi phân họ đ-ờng tiệm cận tham số hoá địa ph-ơng r :U S u, v  r  u, v  lµ mét tham số hoá địa ph-ơng mặt S E ph-ơng aRu p  bRv  p  a  ut' , b  vt' ,  a  b  x¸c định ph-ơng tiệm cận S r u, v   p vµ chØ K    ~  II     h p  .            ' '     a n0 r u  b n0 r v  aru'  brv'      t¹i u, v    '  '  ' '   a n0 r u ru'  ab n0 r u rv'  ab n0 r v ru'  b n0 r v rv'   La  2Mab  Nb  t¹i u, v  t¹i u, v  du dv  du   dv   L   2M  N    dt dt  dt  dt Vậy ph-ơng trình vi phân cần tìm lµ: Ldu  2Mdudv  Ndv  25 3.4 Các ví dụ Ví dụ 1:Tìm ph-ơng trình ®-êng tiƯm cËn cđa mỈt nãn E Ph-ơng trình biểu diễn mặt nón không gian E lµ:  x  v cos u   y  v sin u z  v  r:U E3, Umở E3 Xét ánh xạ: u, v  v cos u, v sin u, v Ta cã: ru'   v sin u , v cos u ,  rv'  cos u , sin u ,1 ruv''   sin u , cos u ,  ruu''   v cos u ,  v sin u ,  rvv''  0, 0,  Khi ®ã: n v cos u, v sin u,  v  v L v M N Ph-ơng trình vi phân họ đ-ờng tiệm cận mặt nón có dạng: v du   v  hc u  c, c  const VËy đ-ờng tiệm cận mặt nón đ-ờng toạ ®é v  hc u  c , c const Ví dụ 2:Tìm ph-ơng trình đ-ờng tiệm cận mặt S có ph-ơng trình: z 1  E x y Mặt S đà cho xác định tham số hoá 26 r :U  E3 x, y    x, y,  1   , Umë  E3 x y  Ta cã: 2  rx'  1, 0,  x     rxx''   0, 0,  x     ry'   0,1,  y    6 ryy''   0, 0,  y   '' rxy  0, 0,  Khi ®ã:  2    , ,1 x y  n  4 1  x y L 4  6 x y x4 1 M 0 6 N y4 1 4  6 x y Ph-ơng trình vi phân họ ®-êng tiƯm cËn cđa mỈt S E cã d¹ng: x4 1 4  6 x y dx  y4 1  dx   dy        x  y  dx dy    * x y 4  6 x y dy  27        C , x  y  C  const      C , x  y  1    C  2C , x y y  z  C  2C , y C  const C  const C  const x Tõ (*) t-¬ng tù ta cịng cã z  2c  C , C  const Chän C  ta cã:   z   y  z    x hay  y   1 z  x   1 z VËy ®-êng tiƯm cËn cđa S có ph-ơng trình dạng: x t   y  1 t  z t Ví dụ 3:Tìm ph-ơng trình đ-ờng tiƯm cËn cđa mỈt trơ E XÐt mặt trụ E có ph-ơng trình biểu diễn lµ:  x  a cos u   y  a sin u z  v  XÐt ¸nh x¹: r :U  E3 , Umë  R u, v  a cos u, a sin u, v 28 Ta cã: ru'   a sin u , a cos u ,  rv'  0, 0,1 '' ruu   a cos u ,  a sin u ,  ruv''  0, 0,  rvv''  0, 0,  Khi ®ã: n a cos u, a sin u, 0 a L  a M N Ph-ơng trình vi phân họ đ-ờng tiệm cận mặt trụ có dạng: Ldu  2Mdudv  Ndv    a du    a du   du   u  C, C const , aR Vậy đ-ờng tiệm cận mặt trụ đ-ờng toạ độ: u C, C const, aR 3.5 Các tính chất 3.5.1 Mệnh đề Trong tham sè ho¸ u, v   r u, v  cđa S L  vµ chØ đ-ờng toạ độ u đ-ờng tiệm cËn cđa S N  vµ chØ đ-ờng toạ độ v đ-ờng tiệm cËn cđa S Chøng minh: Trong tham sè ho¸ u, v   r u, v  cña S , hệ số L , N đ-ợc xác định:      L0 r  II ru'  N r  II rv' 29 Ta cã:      L   II ru'  ~  K ru'   ru' đ-ờng tiệm cận S điểm u, v Đ-ờng toạ độ u ®-êng tiƯm cËn cđa S  N   II rv'   ~  K rv' rv' ph-ơng tiệm cận S điểm u, v Đ-ờng toạ độ u đ-ờng tiệm cận S 3.5.2 MƯnh ®Ị Däc ®-êng tiƯm cËn  cđa S, độ cong Gauss k không d-ơng: K(p) víi p   Chøng minh: e1 ,e2 sở trực chuẩn TpS gồm vectơ riêng hp cos e1 sin e2  TpS Ta cã c«ng thøc Euler: ~ ~ ~ ~ ~ K    K1 cos   K sin  ( K1 , K độ cong p ) Dọc đ-ờng tiệm cận S K nên: ~ ~ ~ ~ K1 cos   K sin    K1 K  ~ VËy ~ ~ K  p   K1 K  0, p   3.5.3 HƯ qu¶ Mặt S E mà điểm điểm rốn có độ cong Gauss khác không cã ®-êng tiƯm cËn Chøng minh: Theo 1.7 ta cã: mặt S E mà điểm điểm rốn độ cong Gauss K hằng, không âm mặt khác, K p 0, p  S nªn K  p   0, p S Vậy từ 3.5.2 ta có điều phải chứng minh 30 3.5.4 Mệnh đề Đ-ờng mặt S E đ-ờng tiệm cận S điều kiện sau đ-ợc thoả mÃn: i) Tại điểm tiếp tuyến có ph-ơng ph-ơng tiệm cận ii) Đ-ờng đ-ờng thẳng điểm mặt phẳng mật tiếp trùng với mặt phẳng tiếp xúc mặt iii) Tại điểm độ cong pháp dạng theo ph-ơng tiếp tuyến Chứng minh: i) ii):Giả sử đ-ờng mặt S mà điểm tiếp tuyến có ph-ơng ph-ơng tiệm cận Khi đ-ờng tiƯm cËn cđa S Gi¶ sư:  : J S tham số hoá tự nhiên , s điểm song qui bất kú cđa  th× K T s0   ~ Từ theo công thức Meusnier K s0 .N s0 .n s0    K s0 0, s0 đ-ờng thẳng N s0 .n s0 0, s0    N s0   n s0 , s0   mµ n s0    ' s nên n s0 vuông góc với mặt phẳng mật tiếp s Do mặt phẳng mặt tiếp s ph-ơng với mặt phẳng tiếp xúc với S s nªn chóng trïng ii)  iii):  đ-ờng S Ta xét tr-ờng hợp sau: a) đ-ờng thẳng: Khi ®ã ®é cong cđa  t¹i ®iĨm s bÊt kỳ thuộc K s0 Giả sử có tham số hoá tự nhiên : s   s0  ~ ~ Tõ c«ng thøc Meusnier ta cã: K T s0   0, s0   hay K T   b) T¹i điểm mặt phẳng mật tiếp trùng với mặt phẳng tiếp xúc mặt Khi đó, N s0  n»m mËt tiÕp cđa  t¹i s nªn N  s0 .N s0   0, s0   ~  K T s0   K s0 .N s0 .N  s0   0, s0   31 Hay K T   ~ Vậy điểm độ cong pháp dạng iii) i): Giả sử đ-ờng S cho thời điểm độ cong pháp dạng 0, với s điểm thuộc K T s0 ~ Do ph-ơng tiếp xúc T s0 ph-ơng tiệm cận, nên đ-ờng tiệm cận S 3.5.4 Mệnh đề Mặt S mà điểm điểm hyperbolic điểm S có hai ph-ơng tiệm cận Chứng minh: Gọi p điểm bất ký thuộc S Lấy e1 ,e2 sở trực chuẩn TpS gồm ~ ~ vectơ riêng h p ứng với giá trị riêng K1 , K ~ ~ Vì p điểm hyperbolic nên K1 K từ công thức Euler suy tồn TpS để độ cong pháp dạng theo ph-ơng xác định  lµ K    ~ ThËt vËy víi   cos 1e1  sin 1e1  TpS  0   cos  e2  sin  e2  TpS  0 ~   K1  sin    ~ ~   K1  K   ~  K1   sin    ~ ~   K  K2   Th× K 1   K    nên , hai ph-ơng tiệm cận S p ~ ~ Vậy điểm p S có hai ph-ơng tiệm cận S 3.5.5 Mệnh đề Mặt S mà điểm điểm parabolic mà không điểm dẹt điểm S có mét ®-êng tiƯm cËn Chøng minh: Víi mäi ®iĨm pS ; ~ ~ ~ ~ K1 , K lµ độ cong S p K1  K  32 LÊy e1 ,e2 sở trực chuẩn TpS gồm vectơ riêng h p t-ơng ~ ~ ứng víi K1 , K ~ ~ Víi   cos e1  sin e2  TpS  0 th× K    K1 cos  ~ K     cos   Vậy p S ph-ơng xác định e2 ph-ơng tiệm cận 3.5.6 Mệnh đề Mặt mà điểm điểm eliptic đ-ờng tiệm cận Chứng minh: Giả sử S mặt E mà điểm ®iĨm eliptic th× ~ ~ ~ ~ K1 K ( K1 , K độ cong p S ) Lấy sở trực chuẩn e1 ,e2 TpS gồm vectơ riêng h p t-ơng ứng với ~ ~ giá trị riêng K1 , K Với cos  e1  sin  e2  TpS  0, độ cong pháp dạng S theo ph-ơng xác định bëi  lµ: ~ ~ ~ K    K1 cos   K sin  Tõ ®ã ta cã nÕu K1 , K cïng dấu K có dấu với mäi  TpS  0, tøc ~ ~ ~ ~ K    0,   TpS  0 Vậy TpS 0, không ph-ơng tiệm cận S S đ-ờng tiệm cận 3.5.7 Hệ Mặt cầu đ-ờng tiệm cận Chứng minh: Giá sử S mặt cầu bán kính R, n tr-ờng vectơ pháp tuyến đơn vị h-ớng S Với TpS  0  : J  S , J  R  t   t  lµ mét cung tham sè cña S R  n 33 Đặt ' t      ' '  o n  n0   nªn  R R Ta cã: Do ®ã: h p     D n  ' t    n0  t       R R   ' Gäi e1 ,e2  lµ sở trực chuẩn TpS gồm vectơ riêng cđa h p th×:  h p e1    R e1  h e    e  p R  §é cong Gauss mặt cầu S p K p    0, p  S R2 Vậy điểm S điểm eliptic, theo 4.6 mặt cầu S đ-ờng tiệm cận 3.5.8 Mệnh đề Trên mặt mà đ-ờng đ-ờng tiệm cận mặt mặt phẳng phần mặt phẳng Chứng minh: Gọi S mặt mà đ-ờng đ-ờng tiệm cận Khi ph-ơng xác định TpS ph-ơng tiệm cận p S Gọi e1 ,e2 sở trực chuẩn TpS gồm vectơ riêng ứng với giá trị riêng ~ ~ K1 , K cña h p Víi   cos e1  sin e2  TpS độ cong pháp dạng S theo ph-ơng xác định là: ~ ~ ~ K    K1 cos   K sin   0,  ~ ~  K1  K   h p  0, p  S  D n  0,   TpS Suy n tr-ờng vectơ song song Vậy S mặt phẳng phần mặt phẳng 34 3.5.9 Mệnh đề Trên miền điểm hyperbolic mặt S đ-ờng khúc điểm chia đôi góc đ-ờng tiệm cận Chứng minh: Giả sử p điểm hyperbolic thuộc S ; e1 , e2 sở trực chuẩn ~ ~ TpS gồm vectơ riêng h p ứng với giá trị riêng K1 , K Theo 3.5.4 ta cã: 1  cos 1e1  sin 1e2  TpS  0 víi sin 1  ~ K1 ~ ~ K1  K   cos 2e1  sin 2e2 TpS  0 víi sin    ~ ~ K1 ~ K1 K hai ph-ơng tiệm cận S p Giả sử , hai đ-ờng tiệm cận S có ph-ơng xác định ; đ-ờng chÝnh khóc cđa S §Ĩ chøng minh  chia đôi góc ta chứng minh 1 , e1    , e1  vµ 1 , e2    , e2  ThËt vËy ta cã: cos  , e1    e1  e1  cos 1e1  sin 1e2 .e1 ( V× 1  e1  )  cos 1 cos  , e1    e1  e1  cos  e1  sin  e2 .e1 ( V×   e1  ) cos Mặt khác cos   cos   cos1 , e1   cos , e1   1 , e1    , e1  Chøng minh t-¬ng tù ta cã 1 , e1    , e2  35 KÕt luËn Khãa luËn ®· đạt đ-ợc kết sau: - Trình bày cách hệ thống chứng minh chi tiết tính chất độ cong chính, độ cong pháp dạng mặt tính chất đ-ờng khúc, đ-ờng tiƯm cËn - Chøng minh MƯnh ®Ị 1.7, MƯnh ®Ị 2.5.2, MƯnh ®Ị 2.5.6, MƯnh ®Ị 2.5.7, MƯnh ®Ị 3.5.8 - ChØ c¸c vÝ dơ thĨ: VÝ dơ 1.3, VÝ dơ 3.4 - ChØ mét sè ®-êng khúc mặt quen biết nh- mặt trụ Eliptic, mặt trụ Hyperbolic, mặt trụ Parabolic, mặt đinh ốc cứng - Tìm đ-ợc ph-ơng trình tiệm cận số mỈt E3 nh- mỈt nãn, mỈt trơ 36 Tài liệu tham khảo [1] Đoàn Quỳnh (2001), Hình học vi phân, Nxb Giáo dục, Hà Nội [2] Đoàn Quỳnh, Trần Đình Viện, Tr-ơng Đức Hinh, Nguyễn Hữu Quang (1989), Bài tập hình học vi phân, Nxb Giáo dục, Hà Nội [3] Lê Thị Nhung (2002), Về ánh xạ cầu siêu mặt, Luận văn Thạc sĩ Toán học, Đại häc Vinh [4] Б.A.ДУБРОBИНС, П НОВИКОВ, A.T ФОМЕМCO (1979), COBPEMHHAЯ ГЕОМЕТРИЯ, MOCKBA [5] D Gromoll, W Klingerberg, W Meyer (1971), Hình học Riemann toàn cục, M (Bản dịch tiếng Việt - Th- viện Đại học Vinh) ... Độ cong Gauss mặt cầu S p lµ K  p    0, p S R2 Vậy điểm S điểm eliptic, theo 4.6 mặt cầu S đ-ờng tiệm cận 3.5.8 Mệnh đề Trên mặt mà đ-ờng đ-ờng tiệm cận mặt mặt phẳng phần mặt phẳng Chứng... Đ-ờng tiệm cận Mục trình bày định nghĩa, số ví dụ ph-ơng trình vi phân đ-ờng tiệm cận tham số hoá địa ph-ơng Thông qua ph-ơng trình vi phân để viết ph-ơng trình đ-ờng tiệm cận số mặt th-ờng gặp E3. ..   0,   TpS  0 VËy   TpS  0, không ph-ơng tiệm cận S S đ-ờng tiệm cận 3.5.7 Hệ Mặt cầu đ-ờng tiệm cận Chứng minh: Giá sử S mặt cầu bán kính R, n tr-ờng vectơ pháp tuyến đơn vị h-ớng