Đây là các tiểu luận giải bài tập biến đổi tích phân trong cuốn sách được thầy Đức dùng làm tài liệu dạy trên lớp. (Integral Transforms and Their Applications Lokenath Debnath and Dambaru Bhatta). Bạn cũng có thể lấy cuốn sách trên về trong file tải về.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN BÀI KIỂM TRA GIỮA KÌ Mơn: Biến đổi tích phân Giảng viên : PGS TS Đinh Thanh Đức Học viên thực : Nguyễn Thị Kiều Trinh Lớp CH Tốn Giải tích K15 : Quy Nhơn, tháng 12 - 2013 1- Bài 23 ( trang 123) Hãy sử dụng cơng thức Parseval để tính tích phân sau đây, với a > b > 0: +∞ +∞ dx (x2 + a2 )2 (a) (c) −∞ +∞ −∞ +∞ (b) sin ax dx x(x2 + b2 ) (d) −∞ sin2 ax dx x2 exp(−bx2 ) dx x2 + a2 −∞ Bài làm (a) Xét f (x) = e−a|x| Ta có F (k) = F {f (x)} = a π (k + a2 ) +∞ +∞ F (k)F (k)dk = Áp dụng công thức Parseval, ta có −∞ +∞ −∞ +∞ dk = (k + a2 )2 Suy f (x)f (−x)dx −∞ +∞ dk π = (k + a2 )(k + a2 ) 2a2 −∞ e−a|x| e−a|−x| dx −∞ +∞ 2π = 2a e−2ax dx = π 2a3 +∞ dx π = (x2 + a2 )2 2a3 Vậy −∞ 1, |x| < a g(x) = e−b|x| 0, |x| > a b G(k) = F {g(x)} = π (k + b2 ) (b) Xét f (x) = X[−a,a] (x) = H (a − |x|) = sin ak , π k Áp dụng cơng thức Parseval ta có Ta có Fa (k) = F {f (x)} = +∞ +∞ +∞ π sin ak dk = k (k + b2 ) 2b sin ak dk = k(k + b2 ) −∞ −∞ X[−a,a] (x).e−b|x| dx −∞ a π = 2b a e −b|x| π dx = b −a e −bx π dx = b −1 −bx e b a = π − e−ab b +∞ π sin ax dx = − e−ab 2 x(x + b ) b Vậy −∞ (c) Xét f (x) = X[−a,a] (x) Ta có Fa (k) = F {f (x)} = sin ak π k Áp dụng cơng thức Parseval ta có +∞ +∞ sin2 ak dk = k2 +∞ sin ak sin ak π dk = k k −∞ −∞ −∞ +∞ π = a π X[−a,a] (x)dx = −∞ +∞ Vậy X[−a,a] (x).X[−a,a] (−x)dx dx = πa −a sin2 ax dx = πa x2 −∞ 2- Bài 24 ( trang 123) Hãy chứng minh ∞ sin ax sin bx π dx = min(a, b) x2 Bài làm Vì sin ax sin bx hàm số chẵn nên x2 ∞ +∞ sin ax sin bx dx = x2 I= sin ax sin bx dx x2 −∞ Xét f (x) = X[−a,a] (x), g(x) = X[−b,b] (x) sin ak Ta có Fa (k) = F {f (x)} = , Gb (k) = F {g(x)} = π k Áp dụng cơng thức Parseval ta có +∞ I= +∞ sin ak sin bk dk = k −∞ sin bk π k +∞ sin ak sin bk π dk = k k −∞ X[−a,a] (x).X[−b,b] (x)dx −∞ * Nếu a ≤ b −b π I= −a X[−a,a] (x).X[−b,b] (x)dx + −∞ −b b a X[−a,a] (x).X[−b,b] (x)dx + + X[−a,a] (x).X[−b,b] (x)dx −a +∞ X[−a,a] (x).X[−b,b] (x)dx + a = π dx = X[−a,a] (x).X[−b,b] (x)dx b a π a −a b π * Nếu a > b tương tự ta có I = dx = π b −b ∞ sin ax sin bx π dx = min(a, b) x2 Vậy 3- Bài 25 ( trang 124) Nếu f (x) = e−ax g(x) = H(t − x), chứng minh ∞ sin tx π dx = − e−at 2 x(x + a ) 2a Bài làm Xét f (x) = e−ax , g(x) = H (t − x) = Khi Fc (k) = 1, x < t 0, x > t a π (k + a2 ) ∞ Gc (k) = Fc {g(x)} = π ∞ cos kx.g(x)dx = π cos kx.H (t − x) dx t = π cos kxdx = sin tk π k Định lý Tính chập khai triển cosin Fourier đưa ∞ ∞ Fc (k)Gc (k) cos kxdk = f (ξ) [g(x + ξ) + g(|x − ξ|)] dξ ∞ Đặt x = ta thu ∞ Fc (k)Gc (k) cos kxdk = ∞ f (ξ)g(ξ)dξ = f (x)g(x)dx Suy ∞ ∞ π sin tk dk = k(k + a2 ) 2a t π e−ax H (t − x) dx = 2a 0 π −ax dx = − e 2a a π − e−at 2a2 = e −ax ∞ sin tx π dx = − e−at 2 x(x + a ) 2a Vậy 4- Bài 26 ( trang 124) Sử dụng Công thức Poisson để tính tổng dãy sau, với a > 0: ∞ ∞ (a) a2 ) (1 + n n=−∞ ∞ (b) n=1 ∞ (c) n=1 sin an n2 (d) sin an n a + a2 ) (n n=−∞ Bài làm ∞ (a) , a > a2 ) (1 + n n=−∞ a −a|x| Ta có F e = (1 + x2 a2 ) π (a2 + k ) π −a|k| Suy F = e (a2 + x2 ) 2a 1 π − |k| π − |k| F = F = a e a = e a + x2 a2 a2 a + x2 a a2 + Xét f (x) = ∞ ⇒ f (n) = √ n=−∞ π = a ∞ 2π a n=−∞ ∞ |2πn| π − |2πn| π e a = e− a a n=−∞ ∞ ∞ − 2πn a e n=0 + e n=1 2πn a t 2π Đặt r = e− a Ta có ∞ π f (n) = a n=−∞ = π a ∞ ∞ n r + n=0 1+r 1−r n=1 = r n = π a r + 1−r 1−r π π coth a a ∞ sin an n n=1 ∞ ∞ sin an sin an =2 Ta có n n n=−∞ n=1 (b) sin ax sin ak Ta có F {H (a − |x|)} = x π k π sin ax = Suy F {f (x)) = F H (a − |k|) Do x + Xét f (x) = ∞ √ ∞ ∞ π H (a − 2π|n|) = π H (a − 2π|n|) f (n) = 2π n=−∞ n=−∞ n=−∞ a a a − − , ∈ /Z π 2π 2π 2π = a a a π − − −1 , ∈Z 2π 2π 2π ∞ f (n) = Vậy π 2 a a − − 2π 2π π a a + −1 , 2π 2π n=1 = π 2 a a − − 2π 2π (c) n=1 a ∈Z 2π , a ∈ /Z 2π a ∈Z 2π sin2 an n2 ∞ a ∈ /Z 2π (a − π) , ∞ , ∞ sin2 an sin2 an Ta có =2 2 n n n=−∞ n=1 Xét f (x) = sin ax , ta có F x2 1− sin2 ax x2 ∞ √ f (n) = Do ∞ 2π n=−∞ a π 1− π|n| π|n| H 1− a a n=−∞ ∞ = πa n=−∞ ∞ Vậy n=1 ∞ sin2 an πa = n2 ak 2 sin ak π k2 |x| |x| H 1− = 2a 2a a |k| |k| 1− H 1− 2a 2a π =a a =√ 2π 1− Thay a 2a ta F Suy F |x| |x| H 1− a a 1− |n|< πa 1− ak sin2 π|n| π|n| H 1− a a 1− = πa |n|< πa π|n| a a + a2 ) (n n=−∞ (d) a Ta có F e−a|x| = 2 x +a a π −a|k| Khi F e = 2 x +a 2 a π a2 + k + Xét f (x) = ∞ f (n) = √ ∞ ∞ π −a2π|n| e =π e−2aπ|n| n=−∞ 2π n=−∞ =π n=−∞ ∞ −2aπn e ∞ e2aπn + n=0 n=1 Đặt r = e−2aπ ta có ∞ ∞ f (n) = π n=−∞ ∞ n r + n=0 n=1 r n =π = π coth(πa) ∞ Vậy a = π coth(πa) + a2 ) (n n=−∞ r + 1−r 1−r =π 1+r 1−r π|n| a TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN THÁI THỊ HỒNG TIẾT Lớp: Cao học Toán Giải tích K15 BÀI KIỂM TRA GIỮA KỲ MƠN: BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN Giảng viên: PGS TS Đinh Thanh Đức Quy Nhơn 12 - 2013 Biến đổi Fourier cosine sine Fc tf ♣xq✉ ✏ Fc♣xq ✏ Fc✁1 tFc ♣xq✉ ✏ f ♣xq ✏ Fs tf ♣xq✉ ✏ Fs♣xq ✏ ❝ ➺ ✽ f ♣xq cos kx dx, π ❝ ❝ Fs✁1 tFs ♣xq✉ ✏ f ♣xq ✏ ➺ ✽ Fc ♣xq cos kx dx, π ➺ ✽ f ♣xq sin kx dx, π ❝ ➺ ✽ Fs ♣xq sin kx dx π Bài tập : (bài 14 trang 122 ) Tìm biến đổi Fourier cosine hàm số sau: a) f ♣xq ✏ x exp♣✁axq, a → 0, b) f ♣xq ✏ exp♣✁axq cos x, a → 0, c) f ♣xq ✏ , x d) K0 ♣axq, dây K0 ♣axq hàm Bessel Bài làm a) f ♣xq ✏ x exp♣✁axq, ✥ ✁ax ✭ Fc x e ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ❝ a → ✽ ✁ax xe cos kx dx π ❝ ➺ ✙ ✽ ✑ ✁♣a✁ikqx ✁♣ a ikqx x e e dx π ✒➺ ✽ ✚ ➺ ✽ ✁♣ a ✁ ik q x ✁♣ a ik q x ❄ xe dx xe dx 2π 0 ✒ ➺ ✽ ✁ ✁♣a✁ikqx ✞✞ ✽ ❄ e x✞ e✁♣a✁ikqx dx a ✁ ik 2π a ✁ ik ✚ ➺ ✽ ✞ ✽ 1 ✁♣ a ikqx ✞ ✁♣ a ikqx x✞ e dx ✁ a ik e a ik ✒ ✞ ✽ ✞ ✽ ✚ 1 ✞ ✞ ✁♣ a ✁ ik q x ✁♣ a ik q x ❄ ✁ e e ✁ ✞ ✞ 2 0 ♣a ✁ ikq ♣ a ik q 2π ✒ ✚ ❝ 1 a2 ✁ k ❄1 ✏ π ♣a2 k q2 2π ♣a ✁ ik q2 ♣a ik q2 ➺ b) f ♣xq ✏ exp♣✁axq cos x, ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ❝ ➺ ✽ ✁ax ✁ ax Fc e cos x ✏ e cos x cos kx dx π ❝ ➺ ✽ ✁ax tcosr♣k 1qxs cosr♣k ✁ 1qxs✉ dx e π ➺ ✙ 1 ✽ ✁ax ✑ i♣k 1qx ✁ i ♣ k q x i ♣ k ✁ q x ✁ i ♣ k ✁ q x ❄ e e e e e dx 2π ➺ ✽ ✦ ✮ ❄ e✁ra✁i♣k 1qsx e✁ra i♣k 1qsx e✁ra✁i♣k✁1qsx e✁ra i♣k✁1qsx dx ✥ ✏ a → ✭ 2π ✓ ✛✽ e✁ra✁i♣k 1qsx e✁ra i♣k 1qsx e✁ra✁i♣k✁1qsx e✁ra i♣k✁1qsx ❄ 2π ✁ra ✁ i♣k 1qs ✁ra i♣k 1qs ✁ra ✁ i♣k ✁ 1qs ✁ra i♣k ✁ 1qs ✚ ✒ 1 1 ❄ 2π a ✁ i♣k 1q a i♣k 1q a ✁ i♣k ✁ 1q a i♣k ✁ 1q ✒ ✚ ✒ ✚ 2a a 2a ❄ ✏ ❄ a2 ♣k 1q2 a2 ♣k ✁ 1q2 2π a2 ♣k 1q2 a2 ♣k ✁ 1q2 2π d) K0 ♣axq, dây K0 ♣axq hàm madified Bessel Tức K0 ♣xq ✏ ➺✽ ❄cos2 xt dt t 1 Ta có ✧ Fc ❄ ✯ a2 x2 ✏ ✏ ✏ ❝ ❝ ➺ ➺ ✽ cos kx ✽ cos kx ❄ 2 dx ✏ ❛ dx π π a x2 ④a2 a x ❝ ➺ ✂ ✡ ✽ cos akt x ❄ a dt Đặt t ✏ π a t2 a ❝ ➺ ❝ ✽ ❄cos akt2 dt ✏ K0♣akq π π 1 t Suy Fc tK0 ♣axq✉ ✏ ❝ π ❄ 21 a x Bài tập 2:(bài 15 trang 122 ) Tìm biến đổi Fourier sine hàm số sau: a) f ♣xq ✏ x exp♣✁axq, b) f ♣xq ✏ exp♣✁axq, x c) f ♣xq ✏ , x x d) f ♣xq ✏ a x2 Bài làm a → 0, a) f ♣xq ✏ x exp♣✁axq, ✥ ✁ax ✭ ✏ Fs x e ✏ ✏ ✏ ✏ b) f ♣xq ✏ ❝ a → ✽ ✁ax xe sin kx dx π ❝ ➺ ✙ ✽ ✑ ✁x♣a✁ikq ✁ x♣a ikq x e ✁e dx π 2i ✒ ➺ ✽ ✁ ✁x♣a✁ikq ✞✞ ✽ ❄ e x✞ e✁x♣a✁ikq dx a ✁ ik i 2π a ✁ ik ✚ ➺ ✽ ✞ ✽ 1 ✁ x♣a ikq ✞ ✁ x♣a ikq x✞ ✁ e dx ✁ a ik e a ik ✒ ✞ ✽ ✞ ✽ ✚ 1 ✞ ✞ ✁ x ♣ a ✁ ik q ✁ x ♣ a ik q ❄ ✁ e e ✞ ✞ 2 0 ♣ a ✁ ik q ♣ a ik q i 2π ✒ ✚ 1 ❄4ak 2 ❄1 ✁ ✏ 2 ♣a ikq i 2π ♣a ✁ ik q 2π ♣a k q ➺ exp♣✁axq x ✧ Fs ✁ax e x ✯ ✏ ❝ ➺ ✽ e✁ax sin kx dx π x Ta có ➺ ✽ e✁ax sin kx dx ✙ ✙ ✽ ✁ax ✑ ikx ✽ ✑ ✁♣a✁ikqx ✁♣ a ikqx ✁ ikx e e ✁e e ✁e dx dx ✏ 2i 2i ✓ ✛✽ ✒ ✚ e✁♣a ikqx 1 1 e✁♣a✁ikqx ✁ ✏ 2i ♣a ✁ ikq ✁ ♣a ikq 2i ✁♣a ✁ ik q ✁♣a ik q 2ik k ✏ 2 2i a k a k2 ➺ ✏ ✏ ✏ ➺ Lấy tích phân hai vế theo biến a từ a đến ✽ ta ➺ ✽ ✂➺ ✽ ô ô ô ùñ Fs ✧ ✁ax e x ✯ ✏ ✡ ➺ ✽ k ♣✁ axq e sin kx dx da ✏ da a2 k a a ✡ ➺ ✽ ✂ ➺ ✽ a ✞✞ ✽ ♣✁ axq sin kx e da dx ✏ arctan ✞ ➺ ✽ sin kx ➺ ✽ ❝ k a sin kx e♣✁axq ✞✞ ✽ ✁x e♣✁axq ✞ dx ✏ π ✁ arctan ka k dx ✏ arctan ✁x a k arctan π a a c) f ♣xq ✏ x ✧ ✯ x Fs ✏ ❝ ➺ ✽ sin kx dx π x Xét fa ♣xq ✏ e✁ax H ♣xq ✁ eax H ♣✁xq Ta có Fs tfa ♣xq✉ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ❝ ✘ ✽ ✏ ✁ax e H ♣xq ✁ eax H ♣✁xq sin kx dx π ❝ ➺0 ✽ ✁ax e sin kx dx π ❝ ➺ ✽ ✁ax eikx ✁ e✁ikx dx e π 2i ➺ ✽ ✑ ✙ ✁♣ a ✁ ik q x ✁♣ a ik q x ❄ e ✁e dx i 2π ✒0 ✚ 1 ❄ ✁ i 2π ♣a ✁ ik q ♣a ik q ❝ 2ik ❄ 2 ✏ 2 k π a k i 2π a k ➺ Cho a ÝĐ fa ♣xq ÝĐ sgnx Do π k ✯ ✧❝ π sgnx ✏ Fs k ❝ ✧ ✯ ❝ ➺ ✽ ✧ ✯ π ✁ 1 sgnx ✏ Fs sin kx dx ✏ Fs ✏ k π k k Fs tsgnx✉ ùñ ùñ ✧ ✯ Vậy Fs ✏ ❝ π sgnk x a2 x2 x d) f ♣xq ✏ ❝ ✏ ✧ Fs x ✯ ✏ a2 x2 ❝ ➺ ✽ x sin kx dx π a2 x2 Ta có ✥ ✭ F ✁1 e✁ax ✏ s ùñ ❝ π ✁ax e ❝ x 2 π a x ✧ ✯ ✏ Fs a2 x x2 Bài tập 3:(bài 16 trang 122 ) ✦ ✮ ✁ ax2 a) Nếu F ♣k q ✏ F e , a → Chứng minh F ♣k q thỏa mãn phương trình vi phân 2a ✦ dF dk kF ♣kq ✏ ❄1 với F ♣0q ✏ 2a ✮ b) Nếu Fc ♣k q ✏ Fc e✁ax , a → Chứng minh Fc ♣k q thỏa mãn phương trình vi phân dFc dk k 2a Fc ✏ với F♣ 0q ✏ ❄1 ✂ ✡2 2a Bài làm a) Ta có ✦ F e✁ax ✮ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✽ ❄1 e✁ikx✁ax dx 2π ✁✽ ★ ✓ ➺ ✽ ikx ❄ exp ✁a x2 a 2π ✁✽ ➺ ➺ ✽ ❄ exp 2π ✁✽ ✓ ✁a ✂ x ik 2a ✡2 ✓ ✁ ik 2a ✄ k2 4a ✁ ☛✛ ✡2 ✛✰ dx ✡ ✛ ✂ ✟ ✽ ik ❄1 exp ✁k2④4a dx exp ✁a x 2a 2π ✁✽ ✡ ✂ ➺ ✟ ✽ ✁ay2 ik ❄ exp ✁k ④4a e dy Đặt y ✏ x 2a 2π ✁✽ ✄ ☛ ❝ ✟ ❄1 exp ✁k2④4a π ✏ ❄1 exp ✁k a 4a 2π 2a ➺ dF dF k kF ♣k q ✏ ô F ♣k q ✏ , a → o dk dk 2a Phương trình ♣✝qcó nghiệm tổng quát F ♣k q ✏ C exp ❄1 ñ C ✏ ❄1 2a ik 2a dx ♣✝q Mặt khác 2a Vì F ♣0q ✏ ✂ 2a ✂ ✁ ➺ k dk 2a ✡ ✏ C exp ✄ ✁k2 4a Vậy nghiệm phương trình F ♣k q ✏ ❄1 exp 2a Từ suy điều phải chứng minh ✄ ☛ ♣✝q ✁k2 ✏ F ✦e✁ax ✮ 4a ☛ b) Ta có ✦ Fc e✁ax ✮ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ❝ ✽ ✁ax2 e coskx dx π ❝ ➺ ✽ ✁ax2 eikx e✁ikx dx e π ➺ ✽ ✏ ✟ ✟✘ ❄ exp ✁ax2 ikx exp ✁ax2 ✁ ikx dx 2π ★ ✛ ✓ ✛✰ ✓ ✡ ✂ ✡ ✂ ➺ ✽ ik k ik k ❄ ✁ 4a exp ✁a x 2a ✁ 4a dx exp ✁a x ✁ 2a 2π ➺ ✄ ☛ ★➺ Mặt khác phương trình dFc dk k 2a Fc ✏ Fc ♣k q ✏ C exp Vì Fc ♣0q ✏ ❄1 ñ C ✏ ❄1 2a ✓ ✡ ✛ ✂ ✽ ✽ ✁ k2 ik ❄ exp exp ✁a x ✁ dx 4a 2a 2π 0 ✒➺ ✽ ✚ ➺ ✽ ✟ 2 ❄1 exp ✁k2④4a e✁ay dy e✁az dz 2π 0 ✄ ☛ ✒ ✚ ✟ 1π 1π 1 k2 ❄ exp ✁k ④4a ✏ ❄ exp ✁ 4a 2a 2a 2π 2a 2a Fc ♣k q ✏ ✂ ✁ ➺ với Fc ♣0q ✏ k dx 2a ✡ ❄1 ➺ ✓ ✁a ✂ x ik 2a có nghiệm tổng quát 2a ✄ ☛ k2 ✏ C exp ✁ 4a Vậy nghiệm phương trình ❄1 exp 2a ✄ k2 ✁ 4a ☛ ✏ Fc ✦ e✁ax ✮ Từ suy điều phải chứng minh Bài tập 4:(bài 17 trang 122 ) Sử dụng biến đổi Fourier sine Chứng minh ➺ a) b) ✽ ➺0 ✽ Fs ♣k qGc ♣k q sin kx dk ✏ Fc ♣k qGs ♣k q sin kx dk ✏ Bài làm ✽ g ♣ξ qrf ♣ξ xq ✁ f ♣ξ ✁ xqs dξ, ➺0 ✽ f ♣ξ qrg ♣ξ xq ✁ g ♣ξ ✁ xqs dξ ➺ ✡2 ✛ ✰ dx a) Ta có ➺ ✽ ❝ Fs ♣k qGc ♣k q sin kx dk ✽ ✽ Fs ♣k q sin kx dk g ♣ξ q cos kξ dξ π 0 ❝ ➺ ➺ ✽ ✽ g ♣ξ q dξ Fs ♣k q sin kx cos kξ dk π 0 ❝ ➺ ➺ ✽ ✽ rsin k♣x ξ q sin k♣x ✁ ξ qs Fs♣kq dk g ♣ξ q dξ π ✒➺ ✽ ✚ ➺ ✽ ➺ ✽ ❄ g ♣ξ q dξ sin k ♣x ξ qFs ♣k q dk ✁ sin♣ξ ✁ xqFs ♣k q dk 2π 0 ➺ ✽ g ♣ξ qrf ♣ξ xq ✁ f ♣ξ ✁ xqs dξ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ➺ ➺ b) Ta có ➺ ✽ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ❝ Fc ♣k qGs ♣k q sin kx dk ✽ ✽ Gs ♣k q sin kx dk f ♣ξ q cos kξ dξ π 0 ❝ ➺ ➺ ✽ ✽ f ♣ξ q dξ Gs ♣k q sin kx cos kξ dk π 0 ➺ ✽ ➺ ✽ ❄1 rsin k♣x ξ q ✁ sin k♣ξ ✁ xqs Gs♣kq dk f ♣ξ q dξ 2π 0 ✒➺ ✽ ✚ ➺ ✽ ➺ ✽ ❄ f ♣ξ q dξ Gs ♣k q sin k ♣x ξ q dk ✁ Gs ♣k q sin k ♣ξ ✁ xq dk 2π 0 ➺ ✽ f ♣ξ qrg ♣ξ xq ✁ g ♣ξ ✁ xqs dξ ➺ ➺ Bài tập :(bài 18 trang 122 ) Giải phương trình tích phân ➺ ✽ f ♣xq sin kx dx ✏ ★ 1✁k , 0↕k , k ➔1 → Bài làm Ta có Fs ♣k q ✏ Fs tf ♣xq✉ ✏ ❝ π ➺ ✽ f ♣xq sin kx dx ✏ ✩ ❝ ✬ ✫ ✬ ✪ π ♣1 ✁ k q , 0↕k , k ➔1 → 9 Do f ♣xq ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ✏ ❝ ➺ ✽ Fs ♣k q sin kx dk π ❝ ➺ ❝ ➺ 2 ♣1 ✁ kq sin kx dk ✏ π ♣1 ✁ kq sin kx dk π π ✛ ✓➺ ➺1 sin kx dk ✁ k sin kx dk π 0 Fs✁1 tFs ♣k q✉ ✏ ✓ ➺ ✞1 ✞1 1 1 ✞ ✞ ✁ x cos kx k x cos kx x cos kx dk π ✒ ✚ 1 1 ✁ x cos x x x cos x ✁ x2 sin x π ✂ ✡ 1 ✁ sin x π x x2 ✛ ... THÁI THỊ HỒNG TIẾT Lớp: Cao học Toán Giải tích K15 BÀI KIỂM TRA GIỮA KỲ MƠN: BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN Giảng viên: PGS TS Đinh Thanh Đức Quy Nhơn 12 - 2013 Biến đổi Fourier cosine sine Fc tf ♣xq✉ ✏... 2π 0 ➺ ✽ f ♣ξ qrg ♣ξ xq ✁ g ♣ξ ✁ xqs dξ ➺ ➺ Bài tập : (bài 18 trang 122 ) Giải phương trình tích phân ➺ ✽ f ♣xq sin kx dx ✏ ★ 1✁k , 0↕k , k ➔1 → Bài làm Ta có Fs ♣k q ✏ Fs tf ♣xq✉ ✏ ❝ π ➺ ✽... ♣axq✉ ✏ ❝ π ❄ 21 a x Bài tập 2: (bài 15 trang 122 ) Tìm biến đổi Fourier sine hàm số sau: a) f ♣xq ✏ x exp♣✁axq, b) f ♣xq ✏ exp♣✁axq, x c) f ♣xq ✏ , x x d) f ♣xq ✏ a x2 Bài làm a → 0, a) f ♣xq