Đây là bài kiểm tra môn Giải tích phức và ứng dụng, khá ngắn và đơn giản. BÀI KIỂM TRA GIỮA KÌ MÔN GIẢI TÍCH PHỨC VÀ ỨNG DỤNG Hồ Quan Bằng lớp Cao học giải tích K15. Câu hỏi 1. Phát biểu và chứng minh công thức tích phân Cauchy cho đạo hàm? Bài giải 1. Phát biểu: Giả sử f là hàm chỉnh hình trên miền D ⊂ C. Khi đó f có đạo hàm mọi cấp trên D và các đạo hàm này cũng là các hàm chỉnh hình trên D. Ngoài ra đạo hàm của f tại điểm z0 ∈ D cho bởi công thức
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN BÀI KIỂM TRA GIỮA KÌ Mơn: Biến đổi tích phân Giảng viên : PGS TS Đinh Thanh Đức Học viên thực : Nguyễn Thị Kiều Trinh Lớp CH Tốn Giải tích K15 : Quy Nhơn, tháng 12 - 2013 1- Bài 23 ( trang 123) Hãy sử dụng cơng thức Parseval để tính tích phân sau đây, với a > b > 0: +∞ +∞ dx (x2 + a2 )2 (a) (c) −∞ +∞ −∞ +∞ (b) sin ax dx x(x2 + b2 ) (d) −∞ sin2 ax dx x2 exp(−bx2 ) dx x2 + a2 −∞ Bài làm (a) Xét f (x) = e−a|x| Ta có F (k) = F {f (x)} = a π (k + a2 ) +∞ +∞ F (k)F (k)dk = Áp dụng công thức Parseval, ta có −∞ +∞ −∞ +∞ dk = (k + a2 )2 Suy f (x)f (−x)dx −∞ +∞ dk π = (k + a2 )(k + a2 ) 2a2 −∞ e−a|x| e−a|−x| dx −∞ +∞ 2π = 2a e−2ax dx = π 2a3 +∞ dx π = (x2 + a2 )2 2a3 Vậy −∞ 1, |x| < a g(x) = e−b|x| 0, |x| > a b G(k) = F {g(x)} = π (k + b2 ) (b) Xét f (x) = X[−a,a] (x) = H (a − |x|) = sin ak , π k Áp dụng cơng thức Parseval ta có Ta có Fa (k) = F {f (x)} = +∞ +∞ +∞ π sin ak dk = k (k + b2 ) 2b sin ak dk = k(k + b2 ) −∞ −∞ X[−a,a] (x).e−b|x| dx −∞ a π = 2b a e −b|x| π dx = b −a e −bx π dx = b −1 −bx e b a = π − e−ab b +∞ π sin ax dx = − e−ab 2 x(x + b ) b Vậy −∞ (c) Xét f (x) = X[−a,a] (x) Ta có Fa (k) = F {f (x)} = sin ak π k Áp dụng cơng thức Parseval ta có +∞ +∞ sin2 ak dk = k2 +∞ sin ak sin ak π dk = k k −∞ −∞ −∞ +∞ π = a π X[−a,a] (x)dx = −∞ +∞ Vậy X[−a,a] (x).X[−a,a] (−x)dx dx = πa −a sin2 ax dx = πa x2 −∞ 2- Bài 24 ( trang 123) Hãy chứng minh ∞ sin ax sin bx π dx = min(a, b) x2 Bài làm Vì sin ax sin bx hàm số chẵn nên x2 ∞ +∞ sin ax sin bx dx = x2 I= sin ax sin bx dx x2 −∞ Xét f (x) = X[−a,a] (x), g(x) = X[−b,b] (x) sin ak Ta có Fa (k) = F {f (x)} = , Gb (k) = F {g(x)} = π k Áp dụng cơng thức Parseval ta có +∞ I= +∞ sin ak sin bk dk = k −∞ sin bk π k +∞ sin ak sin bk π dk = k k −∞ X[−a,a] (x).X[−b,b] (x)dx −∞ * Nếu a ≤ b −b π I= −a X[−a,a] (x).X[−b,b] (x)dx + −∞ −b b a X[−a,a] (x).X[−b,b] (x)dx + + X[−a,a] (x).X[−b,b] (x)dx −a +∞ X[−a,a] (x).X[−b,b] (x)dx + a = π dx = X[−a,a] (x).X[−b,b] (x)dx b a π a −a b π * Nếu a > b tương tự ta có I = dx = π b −b ∞ sin ax sin bx π dx = min(a, b) x2 Vậy 3- Bài 25 ( trang 124) Nếu f (x) = e−ax g(x) = H(t − x), chứng minh ∞ sin tx π dx = − e−at 2 x(x + a ) 2a Bài làm Xét f (x) = e−ax , g(x) = H (t − x) = Khi Fc (k) = 1, x < t 0, x > t a π (k + a2 ) ∞ Gc (k) = Fc {g(x)} = π ∞ cos kx.g(x)dx = π cos kx.H (t − x) dx t = π cos kxdx = sin tk π k Định lý Tính chập khai triển cosin Fourier đưa ∞ ∞ Fc (k)Gc (k) cos kxdk = f (ξ) [g(x + ξ) + g(|x − ξ|)] dξ ∞ Đặt x = ta thu ∞ Fc (k)Gc (k) cos kxdk = ∞ f (ξ)g(ξ)dξ = f (x)g(x)dx Suy ∞ ∞ π sin tk dk = k(k + a2 ) 2a t π e−ax H (t − x) dx = 2a 0 π −ax dx = − e 2a a π − e−at 2a2 = e −ax ∞ sin tx π dx = − e−at 2 x(x + a ) 2a Vậy 4- Bài 26 ( trang 124) Sử dụng Công thức Poisson để tính tổng dãy sau, với a > 0: ∞ ∞ (a) a2 ) (1 + n n=−∞ ∞ (b) n=1 ∞ (c) n=1 sin an n2 (d) sin an n a + a2 ) (n n=−∞ Bài làm ∞ (a) , a > a2 ) (1 + n n=−∞ a −a|x| Ta có F e = (1 + x2 a2 ) π (a2 + k ) π −a|k| Suy F = e (a2 + x2 ) 2a 1 π − |k| π − |k| F = F = a e a = e a + x2 a2 a2 a + x2 a a2 + Xét f (x) = ∞ ⇒ f (n) = √ n=−∞ π = a ∞ 2π a n=−∞ ∞ |2πn| π − |2πn| π e a = e− a a n=−∞ ∞ ∞ − 2πn a e n=0 + e n=1 2πn a t 2π Đặt r = e− a Ta có ∞ π f (n) = a n=−∞ = π a ∞ ∞ n r + n=0 1+r 1−r n=1 = r n = π a r + 1−r 1−r π π coth a a ∞ sin an n n=1 ∞ ∞ sin an sin an =2 Ta có n n n=−∞ n=1 (b) sin ax sin ak Ta có F {H (a − |x|)} = x π k π sin ax = Suy F {f (x)) = F H (a − |k|) Do x + Xét f (x) = ∞ √ ∞ ∞ π H (a − 2π|n|) = π H (a − 2π|n|) f (n) = 2π n=−∞ n=−∞ n=−∞ a a a − − , ∈ /Z π 2π 2π 2π = a a a π − − −1 , ∈Z 2π 2π 2π ∞ f (n) = Vậy π 2 a a − − 2π 2π π a a + −1 , 2π 2π n=1 = π 2 a a − − 2π 2π (c) n=1 a ∈Z 2π , a ∈ /Z 2π a ∈Z 2π sin2 an n2 ∞ a ∈ /Z 2π (a − π) , ∞ , ∞ sin2 an sin2 an Ta có =2 2 n n n=−∞ n=1 Xét f (x) = sin ax , ta có F x2 1− sin2 ax x2 ∞ √ f (n) = Do ∞ 2π n=−∞ a π 1− π|n| π|n| H 1− a a n=−∞ ∞ = πa n=−∞ ∞ Vậy n=1 ∞ sin2 an πa = n2 ak 2 sin ak π k2 |x| |x| H 1− = 2a 2a a |k| |k| 1− H 1− 2a 2a π =a a =√ 2π 1− Thay a 2a ta F Suy F |x| |x| H 1− a a 1− |n|< πa 1− ak sin2 π|n| π|n| H 1− a a 1− = πa |n|< πa π|n| a a + a2 ) (n n=−∞ (d) a Ta có F e−a|x| = 2 x +a a π −a|k| Khi F e = 2 x +a 2 a π a2 + k + Xét f (x) = ∞ f (n) = √ ∞ ∞ π −a2π|n| e =π e−2aπ|n| n=−∞ 2π n=−∞ =π n=−∞ ∞ −2aπn e ∞ e2aπn + n=0 n=1 Đặt r = e−2aπ ta có ∞ ∞ f (n) = π n=−∞ ∞ n r + n=0 n=1 r n =π = π coth(πa) ∞ Vậy a = π coth(πa) + a2 ) (n n=−∞ r + 1−r 1−r =π 1+r 1−r π|n| a ...1- Bài 23 ( trang 123) Hãy sử dụng công thức Parseval để tính tích phân sau đây, với a > b > 0: +∞ +∞ dx (x2 + a2 )2 (a) (c) −∞... ∞ sin ax sin bx π dx = min(a, b) x2 Vậy 3- Bài 25 ( trang 124) Nếu f (x) = e−ax g(x) = H(t − x), chứng minh ∞ sin tx π dx = − e−at 2 x(x + a ) 2a Bài làm Xét f (x) = e−ax , g(x) = H (t − x)... ) 2a Vậy 4- Bài 26 ( trang 124) Sử dụng Công thức Poisson để tính tổng dãy sau, với a > 0: ∞ ∞ (a) a2 ) (1 + n n=−∞ ∞ (b) n=1 ∞ (c) n=1 sin an n2 (d) sin an n a + a2 ) (n n=−∞ Bài làm ∞ (a)