Câu hỏi 1 (Bài tập 3 trang 83). Cho X là một tập hợp.a) τc =U ⊂ X : X U hoặc đếm được hoặc bằng X. Chứng minh rằng τc là một topotrên X.b) τ∞ =U ⊂ X : X U hoặc vô hạn, hoặc bằng rỗng , hoặc bằng X. τ∞ có phải làmột topo trên X không?
TRƯỜNG ĐH QUY NHƠN BÀI KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ KHOA TỐN Mơn: Tơ pơ đại cương Hồ Quan Bằng Lớp Cao học Giải tích K15 Câu hỏi (Bài tập trang 83) Cho X tập hợp a) τc = U ⊂ X : X \ U đếm X Chứng minh τc topo X U ⊂ X : X \ U vô hạn, rỗng , X τ∞ có phải b) τ∞ = topo X không? Bài giải: a) Hiển nhiên ta có ∅ X ∈ τc Lấy {Ui }i∈I ⊂ τc Ui ∈ τc Ui = X ta có Nếu i∈I i∈I Ui = X ta chứng minh X \ Nếu i∈I Ui đếm Thật vậy, ta có = (X \ Ui ) i∈I X\ Ui i∈I i∈I Vì {Ui }i∈I ⊂ τc , ∀i ∈ I nên ta có X \ Ui đếm X, với i ∈ I Do (X \ Ui ) đếm (hoặc ∅) Vậy ta có i∈I Ui ∈ τc i∈I Tiếp theo ta kiểm tra τc đóng với phép giao hữu hạn Lấy {Ui }N i=1 ⊂ τc Ta có N X\ N Ui i=1 (X \ Ui ) = i=1 Vì {Ui }i∈I ⊂ τc nên ta có X \ Ui đếm X, với i = 1, N N N (X \ Ui ) đếm X Suy Do i=1 Ui ∈ τc i=1 Vậy τc topo X b) τ∞ topo tập hợp X Thật vậy, xét X = A cho card(A), card(B) = ∞ Khi ta có X \A=B {x} , X \ B = A {x} tập vô hạn B {x} Suy ra, A, B ∈ τ∞ Tuy nhiên ta có X \ (A Do A B) = {x} tập hữu hạn (khác X ∅) B∈ / τ∞ Vậy τ∞ topo X Câu hỏi (Bài 5, trang 111) Chứng minh tập (a, b) R đồng phôi với (0, 1) Và tập [a, b] R đồng phôi với [0, 1] Bài giải: Ta xem (a, b) (0, 1) hai không gian topo R với topo cảm sinh từ topo R Xét tương ứng f : (a, b) → (0, 1), x → f (x) = b−x b−a Ta chứng minh f phép đồng phơi • Lấy x, y ∈ (a, b) Ta có x = y ⇔ f (x) = b−x b−a = b−y b−a = f (y) Do f đơn ánh • Với t ∈ (0, 1), tồn x = b−t(b−a) ∈ (a, b) cho f (x) = b−(b−t(b−a)) b−a = t(b−a) b−a Do f tồn ánh • Với x ∈ (a, b) ta có f (x) = (1) = t (2) b−x b−a hàm số liên tục (hàm số bậc nhất) (3) Xét ánh xạ ngược f f −1 : (0, 1) → (a, b) cho f −1 (t) = b − t(b − a) Khi f −1 hàm số bậc nên liên tục (4) Từ (1), (2), (3), (4) suy f phép đồng phôi hay (a, b) đồng phôi với (0, 1) Ta xem [a, b] [0, 1] hai không gian topo R với topo cảm sinh từ topo R Bằng cách xét tương ứng f : [a, b] → [0, 1], x → f (x) = b−x b−a Và chứng minh tương tự ta thu kết [a, b] đồng phôi với [0, 1] Câu hỏi (Bài trang 118) Cho R∞ tập Rω , bao gồm dãy (x1 , x2 , ) cho xi = số hữu hạn giá trị i Tìm bao đóng R∞ topo tích topo hộp Bài giải i) Xét topo tích Ta chứng minh R∞ = Rω Thật vậy, lấy r ∈ Rω Khi ∞ r = (r1 , r2 , ) r ∈ U phần tử sở topo tích, U = Ui , Ui ⊂ R lân i=1 cận ri Ta chọn lân cận Ui1 , Ui2 , , Uin cho Uij = (aj , bj ), j = 1, n Và Ui = R với Ui = Uij , j = 1, n Khi đó, lấy s = (s1 , s2 , ) ∈ R∞ cho si = i = i1, i2, , in sj ∈ ∞ (aj , bj ), j = 1, n Khi s ∈ Ui = U Như với r ∈ Rω tồn lân i=1 cận phần tử s ∈ R∞ lấy theo topo tích lân cận chứa r Tức ta có r ∈ R∞ Từ suy ra, Rω ⊂ R∞ Vậy R∞ = Rω ii) Xét topo hộp Ta chứng minh R∞ = R∞ Tức R∞ tập đóng Thật vậy, ta Rω \ R∞ tập mở Lấy r ∈ Rω \ R∞ Khi r = (r1 , r2 , ) r ∈ U ∞ Ui , Ui ⊂ R lân cận ri Ta chọn phần tử sở topo hộp, U = i=1 ∞ lân cận Ui = R ri = Và Ui = R \ {0} ri = Khi U = Ui tập i=1 mở (tích Đề-các tập mở) Lấy s = (s1 , s2 , ) ∈ R∞ U ⇒s ∈ U ⇒si ∈ R \ {0} , với ri = ⇒si = 0, với ri = ⇒s có vơ hạn thành phần khác khơng (vì r ∈ / R∞ ) ⇒s ∈ / R∞ (Vơ lí s ∈ R∞ Vậy R∞ U ) U = ∅ Hay U ⊂ Rω \ R∞ Như với r ∈ Rω \ R∞ tồn lân cận U r cho U ⊂ Rω \ R∞ Vậy Rω \ R∞ tập mở Hay R∞ tập đóng ... hạn (khác X ∅) B∈ / τ∞ Vậy τ∞ topo X Câu hỏi (Bài 5, trang 111) Chứng minh tập (a, b) R đồng phôi với (0, 1) Và tập [a, b] R đồng phôi với [0, 1] Bài giải: Ta xem (a, b) (0, 1) hai không gian... b] đồng phôi với [0, 1] Câu hỏi (Bài trang 118) Cho R∞ tập Rω , bao gồm dãy (x1 , x2 , ) cho xi = số hữu hạn giá trị i Tìm bao đóng R∞ topo tích topo hộp Bài giải i) Xét topo tích Ta chứng