TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Các bạn cũng có thể tải về tại đây. Có cả File Latex để các bạn tham khảo. file tex đầy đủ đề các bạn tham khảo, chỉnh sửa thoải mái, tham khảo các lênh tex thông thường hay sử dụng khi làm luận văn.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN DƯƠNG QUỐC HUY BIỂU DIỄN TENSOR CỦA KHÔNG GIAN CÁC HÀM CHỈNH HÌNH VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 60.46.01.02 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2012 Luận văn hoàn thành tại: Trường Đại học Quy Nhơn Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Thái Thuần Quang Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ chun ngành Tốn giải tích họp Trường Đại học Quy Nhơn vào hồi ngày tháng 12 năm 2012 Có thể tìm hiểu luận văn tại: Trung tâm Thông tin - Tư liệu, Trường ĐH Quy Nhơn; Khoa Toán, Trường ĐH Quy Nhơn Mục lục Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt iii Mở đầu iv Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 1.4 Không gian lồi địa phương 1.1.1 Không gian vector topo 1.1.2 Không gian lồi địa phương Tích tensor xạ ảnh tích tensor nội xạ 1.2.1 Tích tensor xạ ảnh 1.2.2 Tích ε-tensor Giới hạn quy nạp giới hạn xạ ảnh 1.3.1 Giới hạn quy nạp 1.3.2 Giới hạn xạ ảnh Một số không gian lồi địa phương quan trọng 1.4.1 Không gian Fréchet đối ngẫu Fréchet 1.4.2 Không gian Schwartz không gian Montel 1.4.3 Không gian hạch i ii 1.4.4 Khụng gian cỏc dóy Kăothe 1.4.5 Không gian chuỗi luỹ thừa Chương Biểu diễn tensor không gian hàm chỉnh hình 2.1 2.2 Khơng gian hàm chỉnh hình 2.1.1 Hàm chỉnh hình - Mầm chỉnh hình 2.1.2 Khơng gian hàm chỉnh hình mầm chỉnh hình 12 Biểu diễn tensor khơng gian hàm chỉnh hình 16 Chương Một số ứng dụng 17 3.1 Luật mũ với topo τ0 , τω 17 3.2 Sự trùng topo τ0 , τb , τω khơng gian hàm chỉnh hình 18 Tính chất (QNo) (QNo)’ khơng gian hàm (mầm) chỉnh hình 20 3.3 Kết luận 21 Tài liệu tham khảo 22 iii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Γ : Γ : ✼ E : ✶ E : ✶ Eco : ✆ A : ♣ EV : ✶ EV ✆ : intU : U : L♣E q : Hb ♣E, F q : P ♣n E, F q : H ♣U q : H ♣U, F q : H ♣K q : H ♣K, F q : Toán tử bao lồi cân Tốn tử bao đóng bao lồi cân Đối ngẫu đại số E Đối ngẫu topo E Không gian E ✶ với topo compact mở polar tập A Không gian Banach kết hợp với lân cận V Không gian Banach sinh V ✆ ⑨ E ✶ Phần U Bao đóng U Khơng gian ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào E Khơng gian hàm chỉnh hình bị chặn tập bị chặn E giá trị F Không gian đa thức n-thuần liên tục từ E vào F Không gian hàm chỉnh hình U giá trị vơ hướng Khơng gian hàm chỉnh hình U giá trị F Khơng gian mầm chỉnh hình K giá trị vơ hướng Khơng gian mầm chỉnh hình K giá trị F DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT t.ư : tương ứng iv Mở đầu Hai toán topo khơng gian hàm chỉnh hình quan tâm toán phân lớp topo xét trùng chúng Các topo tự nhiên khơng gian hàm chỉnh hình phải kể đến topo compact mở τ0 , topo τb , topo Nachbin τω , topo τδ topo mạnh β Việc nghiên cứu topo không gian hàm chỉnh hình giá trị vơ hướng H ♣U q khơng gian hàm chỉnh hình giá trị vector H ♣U, F q đạt nhiều kết đáng ý Một kết sớm trùng topo τ0 τω H ♣U q Ansemil Ponte tìm vào năm 1988 (xem [10]) Sau vào năm 1991, P Galindo, D Garcia M Maestre [10] đưa điều kiện (BB) tính chất T-không gian không gian Fréchet-Montel để τ0 ✏ τω H ♣U q Thậm chí đẳng thức U tập mở cân không gian Fréchet-Montel Hilbert Một số kết tương tự A Defant M Maestre [7] vào năm 1993 Các kết không gian hàm chỉnh hình giá trị vector H ♣U, F q tìm muộn Vào năm 1994, T Bonet, P Doma´ nski J Mujica [6] giới thiệu kỹ thuật tuyến tính hố mầm chỉnh hình giá trị vector Phương pháp cho phép nghiên cứu hàm chỉnh hình giá trị vector thơng qua hàm tuyến tính thuận tiện nhiều Đến năm 1996, C Boyd A Peris [5] đưa mô tả xạ ảnh topo Nachbin τω khơng gian hàm chỉnh hình giá trị vector H ♣U, X q Kết tác giả trùng τ0 ✏ τω τb ✏ τω H ♣U, X ✶ q v Rõ ràng việc nghiên cứu topo khơng gian hàm chỉnh hình giá trị vơ hướng H ♣U q có nhiều thuận lợi so với khơng gian hàm chỉnh hình giá trị vector H ♣U, F q Do đó, ngồi cách tuyến tính hố hàm chỉnh [6] điều tự nhiên phải tìm cách biểu diễn hàm chỉnh hình giá trị vector thơng qua hàm chỉnh hình giá trị vơ hướng Một cơng cụ đại ngày giúp thực điều sử dụng tích tensor Tích tensor cho phép biểu diễn rH ♣U, F q, τ s dạng tích tensor rH ♣U q, τ s F , tức biểu diễn dạng rH ♣U, F q, τ s ✕ rH ♣U q, τ s❜♣ π F (✝) Bởi tầm quan trọng nó, nhiều tốn đặt tích tensor khơng gian cịn hướng nghiên cứu lớn toán học Chẳng hạn “Bài toán topo Grothendick” tiếng đề xướng từ năm 50 kỷ trước phân chia theo nhiều mảng nghiên cứu khác thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học Chính lẽ đó, mục đích luận văn tìm biểu diễn dạng tích tensor khơng gian hàm chỉnh hình giá trị vector có dạng (✝) vận dụng biểu diễn để giải số tốn trùng nhau, khơng trùng topo không gian hàm (mầm) chỉnh hình giá trị vector Để đạt mục đích trên, mục lục, bảng ký hiệu chữ viết tắt, phần mở đầu phần kết luận, luận văn chia thành ba chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương chúng tơi dành để trình bày kiến thức cở cần thiết vi không gian vector topo, không gian lồi địa phương, giới hạn quy nạp, giới hạn xạ ảnh kiểu tích tensor tính chất chúng Chúng tơi kết thúc chương việc trình bày số lớp không gian lồi địa phương quan trọng sử dụng chương Chương Biểu diễn tensor khơng gian hàm chỉnh hình Trong chương này, chúng tơi trình bày chi tiết hàm (mầm) chỉnh hình khơng gian lồi địa phương Chúng mô tả định nghĩa topo compact mở τ0 , topo τb , topo Nachbin τω , topo τδ topo mạnh β không gian hàm (mầm) chỉnh hình giá trị vector Cuối chương dành cho việc trình bày kết đạt biểu diễn tensor không gian hàm (mầm) chỉnh hình dạng (✝) Chương Một số ứng dụng Chương dành cho việc trình bày ứng dụng kết Chương Đó việc mở rộng kết topo khơng gian hàm (mầm) chỉnh hình giá trị vô hướng lên không gian hàm (mầm) chỉnh hình giá trị vector số lớp khơng gian cụ thể Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình đầy nhiệt tâm PGS TS Thái Thuần Quang Nhân xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy gia đình Mặc dù nỗ lực cố gắng chắn luận văn khó tránh khỏi thiếu sót ngồi ý muốn Chúng tơi mong nhận góp ý thẳng thắn, chân tình q thầy cô giáo bạn bè đồng nghiệp để luận văn hồn thiện vii Tơi xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám Hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phịng Sau đại học, Khoa Tốn q thầy giáo giảng dạy lớp cao học Tốn khố XIII tận tình giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho suốt thời gian học tập nghiên cứu thực đề tài Cuối cùng, xin gửi đến Trường Đại học Tây Nguyên lời cảm ơn chân thành Tôi xin gửi đến gia đình, đồng nghiệp bạn bè lời tri ân suốt q trình học tập cơng tác Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian lồi địa phương Ký hiệu K trường số thực R phức C E không gian vector K 1.1.1 Không gian vector topo Một topo E gọi tương thích với cấu trúc đại số E phép toán cộng đại số nhân   : E ✂ E ÝĐ E ♣x, yq ÞÝĐ x   y ✂ : K ✂ E ÝĐ E ♣λ, xq ÞÝĐ λx liên tục theo topo Một không gian vector với topo tương thích với cấu trúc đại số gọi khơng gian vector topo Chương Biểu diễn tensor không gian hàm chỉnh hình 2.1 Khơng gian hàm chỉnh hình Trong mục này, ta giả thiết không gian lồi địa phương không gian lồi địa phương phức 2.1.1 Hàm chỉnh hình - Mầm chỉnh hình • Hàm chỉnh hình Định nghĩa 2.1.1 ([2]) Một hàm f : U Ñ F gọi chỉnh hình U với ξ € U , tồn dãy đa thức Pk € P ♣k E, F♣q cho với nửa chuẩn liên tục β € cs♣F q ln có lân cận V ξ U cho lim sup β rf ♣xq ✁ m Ñ✽ x€V m ➳ ✏ k Pk ♣x ✁ ξ qs ✏ Ký hiệu H ♣U, F q tập hợp tất hàm chỉnh hình từ U vào F ; F ✏ C ta viết H ♣U q thay cho H ♣U, Cq 10 Mệnh đề 2.1.2 ([2]) Để hàm f : U Ñ F chỉnh hình điều kiện cần đủ f liên tục (hoặc bị chặn địa phương) với ξ € U tồn dãy đa thức Pk € Pa ♣k E, F♣q thoả mãn với β € cs♣F q tồn lân cận V ξ U cho m ➳ lim sup β rf ♣xq ✁ m Ñ✽ x€V ✏ Pk ♣x ✁ ξ qs ✏ k Mệnh đề sau cho ta biểu diễn vi phân cấp n hàm chỉnh hình f € H ♣U, F q dạng tích phân f Mệnh đề 2.1.3 ([2], Tích phân Cauchy) Cho F tách f € H ♣U, F q, điểm ξ, x € U ρ → cho ξ   λx € U với λ € C thoả mãn ⑤λ⑤ ↕ ρ Khi 1 ˆm d f ♣ξ q♣xq ✏ m! 2πi ➺ ⑤λ⑤✏ρ f ♣ξ   λxq dλ, λm 1 ❅m € N Mệnh đề 2.1.4 ([2]) Cho F tách f € H ♣U, F q Nếu α € cs♣E q, β € cs♣F q ξ € U, ρ → cho B α,ρ ♣ξ q ⑨ U ta có ✎✎ ✎✎ m ˆ d f ♣ ξ q ✎ m! ✎α,β ↕ ρ1m sup ♣ ✁ q✏ρ α x ξ β rf ♣xqs với m € N Nếu E F không gian lồi địa phương U ⑨ E tập mở để thu khai triển quanh ξ € U cho f ♣x q ✏ ✽ ➳ ✏ Pn ♣ x ✁ ξ q n x € U Pn € Pa ♣n E, F♣q ta cần điều kiện φ ✆ f chỉnh hình Gâteaux với φ € F ✶ (xem [8]) Tuy nhiên, để f hàm chỉnh hình địi hỏi Pn phải liên tục chuỗi 11 hội tụ lân cận ξ nằm U Sự hội tụ kéo theo liên tục f Vì vậy, người ta cịn định nghĩa hàm chỉnh hình U hàm khả vi Gâteaux liên tục U • Mầm chỉnh hình Cho E F không gian lồi địa phương phức K tập compact E Hai hàm f g ↕ K ⑨V, V mở H ♣V, F q gọi tương đương, ký hiệu f ✒ g, tồn lân cận W K cho f g xác định nhau, tức f ⑤W ✏ g ⑤W Đặt H ♣K, F q ✏ ↕ K ⑨V, V mở H ♣V, F q④ ✒ Khi đó, phần tử H ♣K, F q gọi mầm chỉnh hình K Nếu f € H ♣V, F q với V mở chứa K ta ký hiệu f rf sK lớp tương đương H ♣K, F q chứa f Nếu F không gian định chuẩn U tập mở không gian lồi địa phương E ta đặt H ✽ ♣U, F q ✏ tf € H ♣U, F q : ⑥f ⑥ ✏ ⑥f ⑥U ➔ ✽✉ Dễ thấy H ✽ ♣U, F q không gian định chuẩn F khơng gian Banach H ✽ ♣U, F q đầy đủ Sử dụng lớp tương đương trên, ta định nghĩa khơng gian mầm chỉnh hình bị chặn K, giá trị F H ✽ ♣K, F q ✏ ↕ ✽ H ♣V, F q④ ✒ K ⑨V V mở 12 2.1.2 Không gian hàm chỉnh hình mầm chỉnh hình Trong mục này, định nghĩa số topo thường gặp khơng gian hàm chỉnh hình H ♣U, F q Định nghĩa 2.1.2 ([8]) Cho E, F không gian lồi địa phương U tập mở E Topo compact mở τ0 không gian hàm chỉnh hình H ♣U, F q topo lồi địa phương sinh nửa chuẩn pα,K ♣f q :✏ ⑥f ⑥α,K ✏ sup α♣f ♣xqq € (2.1) x K K chạy tập compact U α chạy tập nửa chuẩn liên tục F Định nghĩa 2.1.3 ([8]) Cho U tập mở không gian lồi địa phương E F không gian định chuẩn Nửa chuẩn p H ♣U, F q chuyển qua tập compact K U với tập mở V , K ⑨ V ⑨ U , tồn c♣V q → cho p♣f q ↕ c♣V q⑥f ⑥V (2.2) với f € H ♣U, F q Topo τω H ♣U, F q topo sinh họ nửa chuẩn p chuyển qua tập compact U Nếu E F không gian lồi địa phương phức tuỳ ý U tập mở E topo Nachbin τω khơng gian H ♣U, F q định nghĩa giới hạn xạ ảnh rH ♣U, F q, τω s ✏ limprojrH ♣U, Fαq, τω s € ♣ q (2.3) α cs F cs♣F q họ nửa chuẩn liên tục F Fα không gian Banach kết hợp với α 13 Định nghĩa 2.1.4 ([8]) Cho U tập mở không gian lồi địa phương E F không gian định chuẩn Nửa chuẩn p H ♣U, F q τδ liên tục với dãy tăng tVn ✉✽ n✏1 phủ mở U , tồn số dương n0 c → cho p♣f q ↕ c⑥f ⑥Vn0 (2.4) với f € H ♣U, F q Topo τδ H ♣U, F q topo lồi địa phương sinh họ nửa chuẩn τδ -liên tục Đặc biệt, F không gian lồi địa phương tuỳ ý ta định nghĩa rH ♣U, F q, τδ s ✏ limprojrH ♣U, Fαq, τδ s € ♣ q (2.5) α cs F Định nghĩa 2.1.5 ([8]) Cho U tập mở cân không gian lồi địa phương E F không gian Banach Ký hiệu τb topo H ♣U, F q sinh họ nửa chuẩn ✄✽ n ☛ ✽ ✎ n ✎ ➳ d♣ f ♣0q ➳ ✎✎ d♣ f ♣0q ✎✎ p ✏ ✎ n! ✎B n! ✏ n ➦ ✏ n (2.6) n d f ♣0q với f ✏ ✽ € H ♣U, F q tBn✉n chạy n✏0 n! dãy tập bị chặn U hội tụ tới tập compact U Nếu F không gian lồi địa phương tuỳ ý ta định nghĩa ♣n rH ♣U, F q, τbs ✏ limprojrH ♣U, Fαq, τbs € ♣ q (2.7) α cs F cs♣F q họ nửa chuẩn liên tục F Fα không gian Banach kết hợp với α Nếu H ♣K, F q khơng gian mầm chỉnh hình ta định nghĩa topo tự nhiên H ♣K, F q rH ♣K, F q, τ s ✏ limind rH ♣V, F q, τ s K ⑨V (2.8) 14 € tτ0, τb, τω ✉ Ký hiệu G♣U q không gian dạng tuyến tính τ0 -liên tục tập bị chặn địa phương H ♣U q Dễ thấy G♣U q với topo hội tụ tập bị chặn địa phương H ♣U q trở thành không gian lồi địa phương Hơn nữa, ta chứng minh họ hàm Delta - Dirac tδx : x € U ✉ sinh không gian trù mật G♣U q Ký hiệu δU : U Ñ G♣U q cho δU ♣xq ✏ δx với f € H ♣U, F q ln tồn ánh xạ tuyến tính liên tục JF f € L♣G♣U q, F q cho δU ♣JF f q ✏ f Ánh xạ thiết lập đẳng cấu H ♣U, F q L♣G♣U q, F q, tức τ H ♣U, F q ✕ L♣G♣U q, F q Khi đó, topo β H ♣U, F q ✏ L♣G♣U q, F q định nghĩa topo hội tụ tập bị chặn G♣U q Từ định nghĩa mô tả topo trên, ta có quan hệ thứ tự topo không gian H ♣U, F q τ0 ↕ τω ↕ τδ τ0 ↕ τb ↕ β ↕ τδ Hơn τ0 ✏ τb E không gian nửa Montel Các topo τ0 , τb τω không gian đa thức n-thuần liên tục P ♣n E, F q định nghĩa tương tự Nếu ký ➶ hiệu E tích tensor xạ ảnh đối xứng n lần E ta n,s,π thiết lập đẳng cấu L♣ â n,s,π E, F q ✕ P ♣n E, F q Hơn nữa, với A tập E ta có ⑥P ⑥A ✏ sup ⑤ € x A P, x ❜ ☎ ☎ ☎ ❜ x ⑤ ✏ ⑥P ⑥ ➶ A ✏ ⑥P ⑥Γ♣ ➶ Aq n,s n,s 15 Từ đó, đặt Bτ0 ✏ tΓ♣ Bτb â n,s ✏ tΓ♣ ta thu K q : K compact E ✉, â n,s B q : B bị chặn E ✉ â rP ♣nE q, τ s ✕ ♣ ② E q✶B τ n,s,π ➶ ✶ E qB hiểu không gian € tτ0, τb✉, ♣ ② n,s,π ➶ ✶ E q với topo hội tụ tập Bτ Đối với topo ♣② n,s,π τω P ♣n E, F q ta có với τ τ rP ♣nE q, τω s ✏ limind PV ♣n E q V €U PV ♣n E q :✏ tP ⑥P ⑥Γ♣ ➶ V q ➔ ✽✉ € P ♣nE q : ⑥P ⑥V ➔ ✽✉ ✏ tP € P ♣nE q : n,s Topo mạnh β P ♣n E q định nghĩa topo hội tụ ➶ tập bị chặn ② E Từ đó, dễ thấy n,s,π P n E τb ↕ β P ♣ q τb ✏ β ♣ q và➶chỉ E có ♣BB qn-tính chất, tức họ tập có dạng Γ♣ B q với B nE n,s tập bị chặn E tạo thành sở tập bị chặn tích ➶ tensor xạ ảnh đối xứng ② E n,s,π Từ định nghĩa mô tả topo trên, ta có τ0 τb ↕ β ↕ τω P ♣n E q với n ↕ 16 2.2 Biểu diễn tensor không gian hàm chỉnh hình Trong mục này, chúng tơi trình bày biểu diễn tensor khơng gian hàm chỉnh hình giá trị Fréchet rH ♣U, F q, τ s ♣ π F U tập mở không gian dạng rH ♣U q, τ s❜ Fréchet τ € tτ0 , τω , τδ ✉ Định lý 2.2.1 ([17]) Cho U tập mở không gian Fréchet E F không gian Fréchet hạch Khi rH ♣U, F q, τ s ✕ rH ♣U q, τ s❜♣ π F với τ € tτ0 , τω , τδ ✉ Để chứng minh Định lý 2.2.1 ta cần kết bổ trợ sau Bổ đề 2.2.2 ([17]) Cho K tập compact không gian Fréchet B không gian Banach phản xạ Khi H ♣K, B q :✏ limindH ✽ ♣V, B q K ⑨V ✽ đầy đủ, H ♣V, B q ký hiệu khơng gian Banach hàm chỉnh hình bị chặn V giá trị B Bổ đề 2.2.3 ([17]) Cho U tập mở không gian Fréchet E F không gian lồi địa phương hạch đầy đủ Khi rH ♣U, F q, τ s đầy đủ với τ € tτ0 , τω , τδ ✉ Định lý 2.2.4 ([17]) Cho U tập mở cân không gian Fréchet E F không gian lồi địa phương hạch đầy đủ Khi rH ♣U, F q, τ s ✕ rH ♣U q, τ s❜♣ π F với τ € tτ0, τω , τδ ✉ Chương Một số ứng dụng 3.1 Luật mũ với topo τ0 , τω Trong mục này, nghiên cứu đồng thức biết đến luật mũ Định lý 3.1.1 ([17]) Cho U V tương ứng tập cân mở khơng gian Fréchet E F Khi với τ € tτ0 , τω ✉ ta có rH ♣U ✂ V q, τ s ✏ rH ♣U, rH ♣V q, τ sq, τ s ✏ rH ♣U q, τ s❜♣ π rH ♣V q, τ s điều kiện sau đúng: (i) E € ♣QN oq, F € ♣QN oq; (ii) F không gian hạch Trường hợp (i) kết Boyd [4] Để chứng minh trường hợp (ii) Định lý 3.1.1 ta cần số kết bổ trợ sau 17 18 Bổ đề 3.1.2 ([17]) Cho E ✏ limind En , F ✏ limindFm n m giới hạn quy nạp quy dãy khơng gian Banach ánh xạ hạch Fm Ñ Fm 1 với m ➙ Khi ♣ πF E❜ ♣ π Fm ✕ limind En ❜ n,m Bổ đề 3.1.3 ([17]) Cho K L tương ứng tập compact không gian Fréchet E F Giả sử F khơng gian hạch Khi ♣ π H ♣Lq H ♣K ✂ Lq ✕ H ♣K q❜ 3.2 Sự trùng topo τ0 , τb , τω không gian hàm chỉnh hình Định lý 3.2.1 ([17]) Cho E khơng gian Fréchet thoả mãn điều kiện trù mật Khi đó, điều kiện sau tương đương: (i) Eb✶ (DFop)-không gian; (ii) E có tính chất ♣BB q✽ Eb✶ có tính chất địa phương hố mạnh; (iii) τb ✏ τω P ♣n E, F q với không gian lồi địa phương hạch đầy đủ F ; (iv) τb ✏ τω H ♣K, F q với K cân compact E không gian lồi địa phương hạch đầy đủ F ; (v) τb ✏ τω H ♣U, F q với U cân mở E không gian lồi địa phương hạch F 19 Hệ 3.2.2 ([17]) Cho E không gian Fréchet thoả mãn điều kiện trù mật Khi đó, E có phân tích T-Schauder K, U ⑨ E lồi T-bất biến khẳng định Định lý 3.2.1 Định lý 3.2.3 ([17]) Cho E khơng gian Fréchet Montel Khi đó, khẳng định sau tương đương: (i) Eb✶ (DFop)-không gian; (ii) E có tính chất ♣BB q✽ ; (iii) τ0 ✏ τω P ♣n E, F q với không gian lồi địa phương hạch đầy đủ F ; (iv) τ0 ✏ τω H ♣K, F q với K cân compact E không gian lồi địa phương hạch đầy đủ F ; (v) τ0 ✏ τω H ♣U, F q với U mở cân E không gian lồi địa phương hạch đầy đủ F Hệ 3.2.4 ([17]) Giả sử E khơng gian Fréchet - Montel Khi đó, E T-không gian E không gian Hilbert khẳng định Định lý 3.2.3 Ví dụ 3.1 (Phản ví dụ cho Hệ 3.2.4) Giả s A ai,j q l ma trn Kă othe cho với tập vô hạn I ⑨ N n € N, tồn k € N thoả mãn inf taj,n a✁ j,k : j € I ✉ ✏ Khi đó, theo Định lý 27.9 [13], khụng gian cỏc dóy Kăothe p Aq l không gian Montel Vậy hiển nhiên Λp ♣Aq không gian Fréchet - Montel Theo Hệ 27.6 [13], khơng gian Λp ♣Aq có ♣BB q✽ tính chất (cũng xem [8, tr 332]) Vậy Λp ♣Aq thoả mãn Định lý 3.2.3 Tuy nhiên, không gian không gian Hilbert Thật vậy, Λp ♣Aq khơng gian 20 Hilbert phải khơng gian hữu hạn chiều điều Định lý 3.2.5 ([17]) Cho E không gian Fréchet Schwartz Khi điều kiện tương đương sau đúng: (i) τ0 ✏ τω P ♣n E, F q với không gian lồi địa phương hạch đầy đủ F ; (ii) τ0 ✏ τω H ♣K, F q với tập K cân compact E không gian lồi địa phương hạch đầy đủ F ; (iii) τ0 ✏ τω H ♣U, F q với tập U cân mở E không gian lồi địa phương hạch đầy đủ F 3.3 Tính chất (QNo) (QNo)’ khơng gian hàm (mầm) chỉnh hình Định lý 3.3.1 ([17]) Nếu U tập mở cân (F)-không gian E € ♣QN oq rH ♣U, F q, τ s thoả mãn ♣QN oq✶ với (DFN)-không gian F với τ € tτω , τδ ✉ Định lý 3.3.2 ([17]) Nếu K tập cân compact không gian Fréchet Schwartz E € ♣QN oq rH ♣K, F q, τω s thoả mãn ♣QN oq✶ với ♣DF N q-không gian F Định lý 3.3.3 ([17]) Cho E không gian Fréchet F (DFN)-không gian Khi đó, (i) Nếu Eb✶ (ii) € ♣QN oq rHb♣E, F q, τbs € ♣QN oq; ✶ € ♣QN oq rH ♣E, F q, τ0 s € ♣QN oq Nếu Eco 21 Kết luận Nội dung chủ yếu luận văn tìm biểu diễn tensor khơng gian hàm (mầm) chỉnh hình giá trị vector vận dụng biểu diễn để giải số toán trùng topo không gian hàm (mầm) chỉnh hình Luận văn đạt số kết sau • Trình bày cách hệ thống kiến thức không gian vector topo không gian lồi địa phương số lớp không gian lồi địa phương quan trọng Tìm hiểu số kiểu tích tensor tính chất chúng số lớp khơng gian quan trọng • Mơ tả tương đối chi tiết topo thường gặp khơng gian hàm (mầm) chỉnh hình giá trị vector không gian đa thức liên tục đồng thời thứ tự chúng khơng gian • Đưa biểu diễn tensor không gian hàm chỉnh hình giá trị vector dạng rH ♣U, F q, τ s ✕ rH ♣U q, τ s❜♣ π F với τ € tτ0 , τω , τδ ✉ trình bày Định lý 2.2.1 Định lý 2.2.4 • Mở rộng số kết khơng gian hàm (mầm) chỉnh hình giá trị vơ hướng đến khơng gian hàm (mầm) chỉnh hình giá trị vector Tài liệu tham khảo Tiếng Việt: [1] Thái Thuần Quang (2011), Bài giảng không gian vector topo, Trường Đại học Quy Nhơn Tiếng Anh: [2] Barraoso, J A (1985), Introduction to Holomorphy, Elsevier Science Publishers B.V [3] Boland, P (1975), “Holomorphic functions on nuclear spaces”, Trans Amer Math Soc., 209, 275-281 [4] Boyd, C (2000), “Exponential law for the Nachbin ported topology”, Canad Math Bull., 43 (2), 138-144 [5] Boyd, C., and Peris, A (1996), “A projective description of the Nachbin-ported topology”, J of Math Anal and Appl., 197, 635-657 [6] Bonet, J., Doma´ nski, P., and Mujica, J (1994), “complete spaces of vector-valued holomorphic germs”, math scand., 75, 150 - 160 [7] Difant, A., and Maestre, M (1993), “Property (BB) and holomorphic functions on Fréchet - Montel spaces”, Math Proc Cambridge Philos Soc., 115, 303-313 22 23 [8] Dineen, S (1999), Complex Analysis on Locally Convex Spaces, North-Holland Math Stud [9] Dineen, S (1994), “Holomorphic functions and the ♣BB qproperty”, Math Scand., 74, 215-236 [10] Galindo, P., Garcia, D., and Maestre, M (1991), “The coincidence of τ0 and τω for spaces of holomorphic functions on some Fréchet-Montel spaces”, Proc Roy Irish Acad., Sect A , 91 (2), 137-143 [11] Jarchow, H (1981), Locally Convex Spaces, B G Teubner Stuttgart [12] Kăothe, G (1979), Topological vector spaces II, SpringerVerlag New York Inc [13] Meise, R., Vogt, D (1997), Introduction to Functional Analysis, Clarendon Press, Oxford [14] Peris, A (1994), “Quasinormable spaces and the problem of topologies of Grothendieck”, Ann Acad Sci Fennicæ., Series A I Math.19, 167-203 [15] Pietsch, A (1971), Nuclear locally convex spaces, Ergeb Math Grenzgeb Springer Verlag, 66 [16] Ryan, R A (2002), Introduction to tensor products of Banach spaces, Springer - Verlag, London [17] Quang, T T., Vỹ, D T., and Huy, D Q (2012), “Tensor representation of spaces of holomorphic functions and applications”, (submitted) [18] Schaefer, H (1971), Topological vector spaces, Springer Verlag .. .Luận văn hoàn thành tại: Trường Đại học Quy Nhơn Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Thái Thuần Quang Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ. .. lớn toán học Chẳng hạn “Bài toán topo Grothendick” tiếng đề xướng từ năm 50 kỷ trước phân chia theo nhiều mảng nghiên cứu khác thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học Chính lẽ đó, mục đích luận văn. .. Kết luận Nội dung chủ yếu luận văn tìm biểu diễn tensor khơng gian hàm (mầm) chỉnh hình giá trị vector vận dụng biểu diễn để giải số toán trùng topo khơng gian hàm (mầm) chỉnh hình Luận văn đạt