BÀI TỐN CHIA KẸO EULER VÀ ỨNG DỤNG Lục Trí Tun Tóm tắt: Bài tốn chia kẹo Euler toán đếm tiếng với nhiều ứng dụng tốn đếm khác Bài tơi trình bày toán gốc số toán đếm dạng ứng dụng mà đếm theo cách thông thường khó khăn, hiểu theo đếm tốn Euler tốn lại trở thành đơn giản BÀI TOÁN GỐC n,( n ≥ 1) Bài tốn: Có kẹo chia em nhỏ khơng có kẹo ? k em nhỏ ( ≤ k ≤ n) Hỏi có cách chia kẹo cho khơng có Hướng dẫn giải: k=1 Nếu có cách chia kẹo Nếu k≥2 , ta trải n kẹo thành hàng ngang Tiếp theo ta dùng k −1 thước đặt vào (n −1) khe viên kẹo để chia thành k phần Như có tất k−1 n−1 C Như có tất Cnk−−11 cách cách chia kẹo cho trường hợp k = ỨNG DỤNG ĐẾM SỐ NGHIỆM NGUN CỦA PHƯƠNG TRÌNH Ví dụ 1.1: Phương trình x1 + x2 + … + xk = n với n ≥ k có nghiệm nguyên dương? Hướng dẫn giải: Coi xi phần kẹo em nhỏ thứ i tốn chia kẹo số nghiệm phương trình số cách chia n kẹo cho k em nhỏ Vậy phương trình có Ví dụ 1.2: Phương trình Hướng dẫn giải: Cnk−−11 x1 + x2 + … + xk = n ( ) ( nghiệm ngun dương có nghiệm ngun khơng âm? ) ( ) x1 + x2 + … + xk = n ⇔ x1 + + x2 + + L + xk + = n + k Có Đặt x = xi + ' i ' i x số nguyên dương Áp dụng tốn gốc ta có tất Ví dụ 1.3: Bất phương trình Hướng dẫn giải: Cnk+−1k−1 nghiệm ngun khơng âm phương trình x1 + x2 + L + xk < n,( n ≥ k + 1) x1 + x2 + L + xk < n ⇔ x1 + x2 + L + xk + x' = n Có phương trình Ví dụ 1.4: Bất phương trình Hướng dẫn giải: với x1 + x2 + … + xk ≤ n,( n ≥ k) có nghiệm nguyên dương? x' ≥ Vậy có tất Cnk−1 nghiệm nguyên dương , có nghiệm nguyên dương? x1 + x2 + L + xk ≤ n ⇔ x1 + x2 + L + xk + x' = n ⇔ x1 + x2 + L + xk + x'' = n + với x'' = x' + k n x' ≥ với Hay tương đương : C Áp dụng tốn Euler phương trình có Ví dụ 1.5: Phương trình n≥ x1 + x2 + … + xk = n nghiệm có nghiệm nguyên thỏa mãn xi ≥ di với di ≥ cho k ∑ d,k ≥ i i =1 trước, biết Hướng dẫn giải: Đặt x'i = xi − di + ⇒ x'i ≥ D= ′ ′ k i =1 k ∑d i =1 Đặt k x + x + L + x = n + k − ∑ di ′ i theo tốn chia kẹo, phương trình có Cnk+−k1− D−1 nghiệm ỨNG DỤNG CHO CÁC BÀI TOÁN ĐẾM THỰC TẾ ( O) 20 Ví dụ 2.1: Cho đa giác cạnh nội tiếp đường tròn đa giác cạnh đường chéo đa giác? Hướng dẫn giải: Có tam giác mà đỉnh đỉnh Gọi số đo cung chứa cạnh đa giác đơn vị (thực 2π 20 Xét tam giác thỏa mãn, với đỉnh gọi số đo cung chứa cạnh Đặt ) x, y, z x + y + z = 20 x' = x − 1; y' = y − 1; z' = z − 16 ta có x', y', z' ≥ x' + y' + z' = 17 C Theo tốn Euler có ứng với nghiệm phương trình Thực cho đỉnh nên số tam giác thỏa mãn đề Tổng quát: Với Ví dụ 2.2: Cho này? n n giác số đa giác k 20 C 16 20 giác nội tiếp đường tròn x, y, z ≥ đỉnh tam giác đếm lần tam giác đỉnh mà cạnh đường chéo ( O) ta có : n giác n k−1 C k n− k−1 Hỏi có tam giác tù mà đỉnh đỉnh đa giác Hướng dẫn giải: Xét tam giác tù thỏa mãn có đỉnh góc tù đỉnh đa giác Gọi x, y số lần số đo cung chứa cạnh bên x+ y < tam giác so với số đo cung chứa cạnh Tam giác tù đường tròn) Nếu Nếu n n lẻ, ta có : nC n2 2 n 2 x −1 Áp dụng Ví dụ 1.4 ta có n 2 nC nghiệm Vậy số tam giác thỏa mãn Vậy số tam giác tù thỏa mãn : n ×C n2 nchan −1 n ×C n nle ( Oxy) Ví dụ 2.3: Trong mặt phẳng tập hợp tất điểm A( x; y) ∈ S Vậy số tam giác thỏa mãn là ký hiệu số nguyên lớn khơng vượt q C phương trình có −1 [x] với (tức nhỏ C n2 chẵn, áp dụng Ví dụ 1.3, số nghiệm phương trình n x+ y ≤ 2 n ,( x, y ≥ 1) cho hình chữ nhật A( x; y), x, y ∈ N Tính xác suất để OMNP M( 0; 10); N( 100; 10) với nằm bên (kể cạnh) P( 100; 0) OMNP Gọi S Lấy ngẫu nhiên điểm x + y ≤ 90 Hướng dẫn giải: y 10 x Bài đếm theo kiểu liệt kê trường hợp từ đến Mỗi trường hợp đếm số giá trị thỏa mãn Bây ta trình bày cách sử dụng tốn Euler | Ω |= 101 × 11 = 1111 Khơng gian mẫu dễ thấy Bài toán trở thành đếm nghiệm ngun khơng âm bất phương trình x + y ≤ 90 ≤ x ≤ 100 & ≤ y ≤ 10 (*) với điều kiện +) Số nghiệm không âm (*) không ràng buộc điều kiện (tức tính nghiệm mà nghiệm nguyên dương x' + y' ≤ 92 Ở : 92 x' = x + ≥ 1; y' = y + ≥ 11 ≤ y ≤ 90 ) số C Do đó, theo Ví dụ 1.4, số nghiệm nghiệm ≤ x ≤ 90 & 11 ≤ y ≤ 90 +) Ta đếm số nghiệm (*) thỏa mãn Ta có (*) ⇔ ( x + 1) + ( y − 10) ≤ 81 ⇔ x' + y' ≤ 81 x' = x + 1; y' = y − 10 với 81 nguyên dương C Số nghiệm phương trình theo Ví dụ 1.4 C922 − C812 +) Vậy số nghiệm (*) thỏa mãn ràng buộc ban đầu Vậy xác suất cần tính tốn : Ví dụ 2.4: Cho đa giác Chọn ngẫu nhiên 15 C922 − C812 86 P= = 1111 101 đỉnh Gọi tam giác thuộc M Hướng dẫn giải: M tập tất tam giác có ba đỉnh ba đỉnh đa giá Tính xác suất để tam giác chọn tam giác cân không ( O) Giải sử đa giác nội tiếp đường tròn số đo cung căng canh đơn vị, ta có 15 cung | Ω |= C153 Khơng gian mẫu có kích thước Xét đỉnh tam giác cân có đỉnh đỉnh đa giác số đo cung chứa hai cạnh bên x ≥ 1, x ∈ ¢ , cạnh lại y ≥ 1, x ∈ ¢ Ta có : cân có đỉnh đỉnh đa giác có tất P= Vậy xác suất cần tính x + y = 15 ⇔ x ≤ 15.6 = 90 x≠ y⇒ x≠ Vậy có tam giác tam giác cân không thỏa mãn 90 18 = 91 C153 X = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Ví dụ 2.5: Gọi S tập tất số tự nhiên có chữ số lập từ tập Rút ngẫu nhiên thuộc tập S Tính xác suất để rút số mà chữ số đứng sau ln lớn chữ số đứng trước Hướng dẫn giải: Không gian mẫu dễ tính Xét số Đặt abc | Ω |= 7.8.8 = 448 thỏa mãn đề 1≤ a≤ b≤ c≤ x = a − 1; y = b − a; z = c − b; t = − c , Ta có : x, y, z, t ≥ 0, x, y, z, t ∈ ¢ số nghiệm ngun khơng âm phương trình (*) số số abc : x+ y+ z+ t = thỏa mãn đề (*) Vậy Mà theo Ví dụ 1.2, phương trình (*) có P= Vậy xác suất cần tính : Ví dụ 2.6: Cho đa giác vuông không cân Hướng dẫn giải: 20 C64+−41−1 = C93 C = 448 16 đỉnh Lấy ngẫu nhiên Gọi đường tròn ngoại tiếp đa giác 20 đa giác đơn vị, ta có cung 20 tam giác vuông đỉnh đa giác, gọi m+ n = 10 (*) với n, m ≥ 1; m, n ∈ ¢ m= n = giác vng cân vuông không cân thỏa mãn P= Vậy xác suất cần tính : số thỏa mãn biến cố xảy ( O) Xét nghiệm Do có C93 đỉnh Tính xác suất để đỉnh tạo thành tam giác đỉnh gọi số đo cung chắn cạnh m, n số đo hai cung căng hai cạnh bên tam giác, ta có Do số tam giác vuông tạo thành từ đỉnh C91 = nên có tam giác vng khơng cân từ đỉnh Vậy có tất có tam 20.8 = 160 tam giác 160 = 57 C20 n,( n ≥ 4) ( O) Ví dụ 2.7: Cho giác nội tiếp đường trịn Có hình thang (khơng hình chữ nhật) mà đỉnh đỉnh đa giác cho? Hướng dẫn giải: Gọi cung chứa cạnh đa giác đường tròn đơn vị (có n cung vậy) Xét hình thang thỏa mãn mà đỉnh chứa đáy nhỏ đồng hồ Gọi x, y, y, z Ai , đỉnh theo thứ tự thuận chiều kim số đo cung chứa đáy nhỏ, hai cạnh bên đáy lớn hình thang, ta có: 1 ≤ x, y, z ∈ ¢ x < z x + y + z = n(*) Ta có phương trình (*) tương đương với x + z = n − 2y Theo toán chia kẹo Euler, phương trình (**) có x< z ngun dương (**) mà • Nếu n lẻ (**) khơng có nghiệm x= z • Nếu n chẵn (**) có nghiệm (**) với n − 2y − thỏa mãn n− 2 nghiệm nguyên dương Bây ta đếm nghiệm nên số nghiệm thỏa mãn x= z y 1≤ y< x< z nên số nghiệm thỏa mãn x< z n − 2y − n − 2y − 2 n−3 ∑ Vậy số nghiệm (*) thỏa mãn ràng buộc cho n− ∑ y=1 y=1 n − 2y − 1 = ( n − 1)( n − 3) với n lẻ n − 2y − = ( n − 2)( n − 4) với n chẵn x, y, z Với số thỏa mãn (*) xuất phát từ đỉnh đa giác đỉnh đáy nhỏ hình thang (ứng với cạnh x ) theo chiều thuận kim đồng hồ ta có hình thang thỏa mãn Vậy tổng số hình thang thỏa mãn : n( n − 1)( n − 3) Áp dụng: Với đa giác là: n( n − 2)( n − 4) với n lẻ, n = 20 20 tức đa giác với n chẵn cạnh, số hình thang khơng phải hình chữ nhật tạo thành từ đỉnh 20.18.16 = 720 Ví dụ 2.8: Gọi S chữ số mà tổng chữ số S 11 Tính xác suất để số chọn chia hết cho Hướng dẫn giải: Gọi a1a2 … a7 tập tất số có số thỏa mãn đề với 1 ≤ a1 ≤ 9; ≤ a2 , a3 ,…, a7 ≤ a1 + a2 + L + a7 = 59( 1) 59 Lấy ngẫu nhiên số Vậy số phần tử khơng gian mẫu số nghiệm (1) Ta có : ( ) ( ) ( ) ( 1) ⇔ 10 − a1 + 10 − a2 + L + 10 − a7 = 11 hay x1 + x2 + L + x7 = 11 xi = 10 − ⇒ ≤ x1 ≤ nghiệm (*) Có : a1a2 … a7 C106 Vậy : ≤ x2 , x3 ,… , x7 ≤ 10 | Ω |= C106 chi hết cho 11 nên ) + a4 + a6 = 11; 22; 33; … a1 + a3 + a5 + a7 = 35 (2) (3) nên tương tự (1) có số nghiệm ( 10 − a ) + ( 10 − a ) + ( 10 − a ) + ( 10 − a ) = C43 ( 10 − a ) + ( 10 − a ) + ( 10 − a ) = Phương trình (3) tương đương nghiệm (*) không vượt 10 nên số a2 + a4 + a6 = 24 Phương trình (2) tương đương xi Do (a +a +a +a ) −(a Kết hợp với (1) ta : (*) : C52 nên tương tự (1) có số nghiệm Ω A = C52 ×C43 Vậy số số có chữ số có tổng 59 chia hết cho 11 P( A) = C52 ×C43 10 C biến cố cần tìm : = Do xác suất 21 Ví dụ 2.9: Từ số 0,1,2,3,4,5,6 lập số tự nhiên có chữ số (các chữ số không thiết khác nhau) chia hết cho Hướng dẫn giải: Gọi số thỏa mãn có dạng Trường hợp 1: a1a2 … a5 thỏa mãn đề bài, ta có : a1 +a2 +a3 +a4 + a5 = xi = + 1, i = 2,… , với ≤ a1 ≤ 6; ≤ ≤ 6( i = 2,…, 5) ta có : C124 a1 ≥ 7,( 1) ⇔ x2 + x3 + x4 + x5 ≤ ⇒ xi < xi ≥ Đặt a + x + x + x + x = 13( 1) 1 ≤ a1 ≤ 1 ≤ x ≤ i - Số nghiệm nguyên dương (1) - Nếu a1 +a2 +a3 +a4 + a5 = ; 18 ; 27 nên không trùng với trường hợp C , phương trình có nghiệm xi ≥ 8,( 1) ⇔ a1 + ∑ xj ≤ ⇒ a1, xj < j ≠i - Nếu nghiệm nên với vị trí Vậy trường hợp có Trường hợp 2: ta có : xi nên khơng trùng với trường hợp Phương trình có 4.C có nghiệm C − C − ×C54 12 a1 + a2 +a3 +a4 +a5 =18 số thỏa mãn đề với có ≤ a1 ≤ 6; ≤ ≤ 6( i = 2,… , 5) Đặt xi = − , i = 1,… , x + x + x + x + x = 17( 2) 1 ≤ x1 ≤ 1 ≤ x ≤ 7, i = 2,… , i - Số nghiệm nguyên dương (2) - Nếu C164 x1 ≥ 7,( 1) ⇔ x2 + x3 + x4 + x5 ≤ 10 ⇒ xi < C104 nên không trùng với trường hợp xi ≥ nghiệm xi ≥ 8, i = 2,… , 5,( 1) ⇔ x1 + ∑ xj ≤ ⇒ xj < - Nếu C54 j ≠i nên khơng trùng với trường hợp , phương trình Phương trình có C94 nghiệm nên với vị trí xi có 4.C94 nghiệm C − C − ×C 16 Vậy trường hợp có Trường hợp 3: a1 + a2 +a3 +a4 +a5 =27 xi = − , i = 1, 2,…, Từ (2) 10 ta có : xi ≥ ⇒ xi ≤ số thỏa mãn đề với ≤ a1 ≤ 6; ≤ ≤ 6( i = 2,… , 5) x + x + x + x + x = 8( 3) 1 ≤ x1 ≤ 1 ≤ x ≤ 7, i = 2,… , i nên tập nghiệm (3) không vượt khỏi miền xác định C Phương trình có Vậy trường hợp có Vậy có tất + 12 + 16 nghiệm C74 Đặt số thỏa mãn đề C + C + C74 − C64 − C104 − 4C54 − 4C94 = 1601 số thỏa mãn đề xi ... i =1 k ∑d i =1 Đặt k x + x + L + x = n + k − ∑ di ′ i theo tốn chia kẹo, phương trình có Cnk+−k1− D−1 nghiệm ỨNG DỤNG CHO CÁC BÀI TOÁN ĐẾM THỰC TẾ ( O) 20 Ví dụ 2.1: Cho đa giác cạnh nội tiếp... giải: y 10 x Bài đếm theo kiểu liệt kê trường hợp từ đến Mỗi trường hợp đếm số giá trị thỏa mãn Bây ta trình bày cách sử dụng tốn Euler | Ω |= 101 × 11 = 1111 Khơng gian mẫu dễ thấy Bài toán trở... x < z x + y + z = n(*) Ta có phương trình (*) tương đương với x + z = n − 2y Theo toán chia kẹo Euler, phương trình (**) có x< z ngun dương (**) mà • Nếu n lẻ (**) khơng có nghiệm x= z