Một số tính chất của dãy chính quy và độ sâu

1 Bộ Giáo dục đào tạo Tr-ờng đại học vinh Lê Quang Bảo Một số tính chất dÃy quy độ sâu luận văn thạc sĩ toán học VINH, 2009 Bộ Giáo dục đào tạo Tr-ờng đại học vinh Lê Quang Bảo Một số tính chất dÃy quy độ sâu Chuyên ngành: §¹i sè - Lý thuyÕt sè M· sè: 60.46.05 luËn văn thạc sĩ toán học Cán h-ớng dẫn khoa häc: TS Ngun ThÞ Hång Loan VINH, 2009 Më đầu Cho R vành giao hoán, có đơn vị; M R -môđun Phần tử x R đ-ợc gọi -ớc không môđun M nÕu tån t¹i m  M , m  cho xm  PhÇn tư x  R đ-ợc gọi quy môđun M hay M -chÝnh quy nÕu xu  víi u  M kéo theo u 0, hay nói cách khác, x -ớc không môđun M Một dÃy phần tử x x1 , , xn vành R đ-ợc gọi dÃy M -chính quy (gọi tắt M -dÃy) xi phần tử quy M / x1 , , xi 1 M víi mäi i  1, , n (khi i hiểu x1 phần tử quy M ) M / x1 , , xn M  Gi¶ sư x  x1 , , xn  lµ mét M -d·y Khi số nguyên n đ-ợc gọi độ dài dÃy Cho I iđêan vành R cho IM  M vµ x  x1 , , xn  lµ mét M -d·y I x đ-ợc gọi dÃy quy cực đại I không tồn y I cho x1 , , xn , y lµ d·y chÝnh quy cđa M Mọi dÃy quy cực đại i đêan I độ dài độ dài chung đ-ợc kí hiệu grade M I Giả sử R, m vành địa ph-ơng, Noether với iđêan cực đại m M R môđun hữu hạn sinh Khi grade M m đ-ợc gọi độ sâu M kí hiệu depth R M (hoặc depth M ) Khái niệm dÃy quy độ sâu đóng vai trò q uan trọng lý thuyết vành Cohen-Macaulay nói riêng Đại số giao hoán nói chung Mục đích luận văn dựa vào tài liệu tham khảo để tìm hiểu, tổng hợp từ trình bày cách có hệ thống hai khái niệm Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn đ-ợc chia làm ch-ơng Ch-ơng 1, trình bày (không chứng minh) số kiến thức Đại số giao hoán liên quan đến kết chứng minh ch-ơng sau, nhằm gióp ng-êi ®äc dƠ theo dâi néi dung chÝnh cđa l uận văn Ch-ơng ch-ơng 3, trình bày nội dung luận văn Trong ch-ơng trình bày khái niệm chứng minh số tính chất dÃy quy; Ch-ơng 3, trình bày khái niệm chứng minh số tính chất độ sâu Luận văn đ-ợc hoàn thành d-ới h-ớng dẫn TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo h-ớng dẫn đà dành cho tác giả h-ớng dẫn nhiệt tình, chu đáo trình nghiên cứu Tác giả xin cảm ơn PGS.TS Ngô Sỹ Tùng; PGS.TS Lê Quốc Hán; PGS.TS Nguyễn Thành Quang; thầy giáo, cô giáo khoa Toán bạn bè lớp cao học 15 - Chuyên ngành Đại Số lí thuyết số đà có ý kiến đóng góp bổ ích để tác giả hoàn thành luận văn Mặc dù đà cố gắng nh-ng luận văn không tránh khỏi sai sót Tác giả mong đ-ợc góp ý thầy cô giáo bạn học viên Vinh, tháng 12 năm 2009 Tác giả Lê Quang Bảo Ch-ơng Kiến thức chuẩn bị Trong ch-ơng trình bày (không chứng minh) số kiến thức sở Đại số giao hoán liên quan đến chứng minh ch-ơng Sau kí hiệu R vành giao hoán có đơn vị 1.1 Căn Jacobson Iđêan m vành R đ-ợc gọi iđêan cực đại m R không tồn iđêan J R mà m  J Kí hiệu J( R ) giao tất iđêan cực đại R Khi J( R ) iđêan R gọi Jacobson vành R 1.2 Phổ giá môđun 1.2.1 Phổ vành Iđêan p vành R đ-ợc gọi iđêan nguyên tố p R với a, b  R, ab  p th× a  p b p Kí hiệu SpecR tập tất iđêan nguyên tố vành R Khi SpecR đ-ợc gọi phổ vành R Với iđêan I R ta kí hiệu V I   p  SpecR p  I 1.2.2 Giá môđun Tập SuppM  p  SpecR M p  cña SpecR đ-ợc gọi giá môđun M Với x M , ta kí hiệu Ann R x   a  R ax  0; Ann R M  a  R aM  0  a  R ax  0, x  M  Ta cã Ann R (x) vµ Ann R M lµ iđêan R ; AnnR M gọi linh hoá tử M Hơn SuppM V  Ann R M  1.3 -íc cđa không M Cho M l mt R -mụun, a  R gọi ước không M tồn x  M , x  m ax Tập tất -ớc không M kí hiệu ZdvR M hay ZdvM 1.4 Iđêan nguyên tố liên kÕt Cho M R -môđun p iđêan nguyên tố vành R p gọi iđêan nguyên tố liên kết môđun M tồn phần tử x  M , x  cho p  Ann R x  Tập tất iđêan nguyên tố liên kết M kí hiệu Ass R M  AssM  1.4.1 Mệnh đề Cho R vành Noether, M R -môđun hữu hạn sinh Nếu I iđêan R chứa -ớc không M I  p , víi p  AssM 1.5 Bổ đề Nakayama Cho M R - môđun hữu hạn sinh, I iđêan R cho I  J R  Nếu IM  M thỡ M 1.6 Định lí tránh nguyên tố i) Giả sử P1 , , Pn iđêan n nguyên tố vành R I iđêan R tho¶ m·n I   Pi i Khi tồn j ,  j  n cho I  Pj ii) Giả sử I1 , , I m iđêan vành R P iđêan nguyên m tè cđa vµnh R tho· m·n P   I i Khi tồn j ,  j  m cho i 1 P Ij m Đặc biệt, P I i tồn j , j m cho P  I j i 1 1.7 Vành địa ph-ơng đầy đủ theo tôpô m -adic Cho R, m vành địa ph-ơng Ta xét R nh- vành tôpô với sở lân cận phần tử iđêan m t , t  0,1,2, Chó ý r»ng c¬ së lân cận phần tử tuỳ ý r R gåm c¸c líp ghÐp r  m t , t 0,1,2, Khi vành đầy đủ theo tôpô m -adic R kí hiệu R đ-ợc định nghĩa cách thông th-ờng theo ngôn ngữ Cauchy nh- sau: Mét d·y Cauchy R lµ mét dÃy rn phần tử R với t , tồn số tự nhiên n0 ®Ĩ rn  rm  m t víi mäi n, m n0 DÃy rn đ-ợc gọi héi tơ vỊ d·y kh«ng nÕu víi mäi t  tồn số tự nhiên n0 để rn  rn  m t víi mäi n  n0 Hai d·y Cauchy rn  vµ s n đ-ợc gọi t-ơng đ-ơng, kí hiệu rn ~ s n  nÕu d·y rn  sn  dÃy không Khi quan hệ ~ tập dÃy Cauchy quan hệ t-ơng đ-ơ ng Ta kí hiệu R tập lớp t-ơng đ-ơng cđa c¸c d·y Cauchy Chó ý r»ng nÕu rn  s n dÃy Cauchy d·y rn  sn , rn sn  cịng lµ dÃy Cauchy lớp t-ơng đ-ơng dÃy rn  sn , rn sn  kh«ng phơ thc vào việc chọn đại diện lớp t-ơng đ-ơng dÃy Cauchy rn s n  , tøc lµ nÕu rn  ~ rn'  s n ~ s n' rn  sn  ~ rn'  sn'  vµ rn sn  ~ rn' sn'  V× thÕ  R đ-ợc trang bị hai phép toán hai ; Cùng với hai phép toán này, R lập thành vành Mỗi phần tử r R đồng với lớp t-ơng đ-ơng dÃy Cauchy mà tất phần tử dÃy r Vì ta có đơn cấu tự nhiên vành R R r r r dÃy mà tất phần tử r Định nghĩa t-ơng tự cho môđun M với sở lân cận phần tử m t M Khi M R -môđun với phép nhân vô h-ớng nh- sau: Cho a  a1 , a2 ,   R , x  x1 , x2 ,   M Ta cã ax  a1 x1 , a2 x2 , M 1.8 Vành môđun th-ơng Giả sử S tập nhân đóng vành R Trên tích Đề R S ta xÐt quan hƯ hai ng«i  nh- sau: Víi mäi r , s ,  r , s   R  S : r, s  '  ' r , s  '  tån t¹i t  S cho '  t rs '  r ' s  Khi ®ã quan hƯ quan hệ t-ơng đ-ơng R S Do R S đ-ợc chia thành lớp t-ơng đ-ơng Với phần tử r, s  R  S ta kÝ hiƯu r lµ líp t-ơng đ-ơng chứa phần tử r , s , tức lµ : s      r = r, s   r ' , s '  R  S r ' , s '  r, s  s Ta kÝ hiƯu tËp th-¬ng R  S   S 1 R , nghÜa lµ: r  S 1 R   r  R, s  S  s  Trªn S 1R trang bị phép toán cộng nhân nh- sau: Với r r ' rs '  r ' s   ; s s' ss ' r r' ,  S 1 R s s' r r ' rr '  s s ' ss' Hai phÐp to¸n không phụ thuộc vào phần tử chọn đại diện Khi tập hợp S 1R với hai phép toán lập thành vành đ-ợc gọi vành th-ơng vành R theo tập nhân đóng S Cho M R -môđun, S tập nhân đóng R T-ơng tự nh- trên, tích đề M S , trang bị quan hệ t-ơng đ-ơng : x, s x , s   , , tån t¹i t  S cho t xs '  x ' s Với phần tử x, s   M  S ta kÝ hiƯu x lµ lớp t-ơng đ-ơng chứa s phần tử x, s , tøc lµ :   x = x, s   x ' , s '  M  S x ' , s '  x, s  s Ta kÝ hiƯu tËp th-¬ng M  S   S 1 M , nghÜa lµ: x  S 1 M   x  M , s  S  s  Khi ®ã S 1 M trë thành S R môđun với phép cộng nhân với vô x x' r h-ớng nh- sau: , '  S 1 M ,  S 1 R s s t x x ' xs '  x ' s   ; s s' ss ' r x ' rx '  t s' ts ' Chó ý r»ng S 1 M cịng cã thĨ xem R -môđun với phép nhân vô h-ớng xác ®Þnh bëi: r  R, x  S 1 M s r x rx s s 10 Môđun S M đ-ợc gọi môđun th-ơng M theo tập nhân đóng S 1.9 Độ cao chiều Krull vành môđun Một dÃy giảm iđêan nguyên tố vành R : P0 P1 Pn đ-ợc gọi xích nguyên t ố có độ dài n Cho P SpecR Chặn độ dài tất cảc xích nguyên tố với P0 P đ-ợc gọi ®é cao cđa P , kÝ hiƯu lµ htP Cho I iđêan R ta định nghĩa độ cao iđêan I htI inf ht P  P  SpecR, P  I Chặn tất độ dài xích nguyên tố R đ-ợc gọi chiều Krull cđa vµnh R , kÝ hiƯu lµ dim R Cho M R -môđun Khi dimR / Ann R M đ-ợc gọi chiều Krull môđun M , kí hiệu dim M Chó ý r»ng dim M  dim M 18 Định lí sau cho ta điều kiện cần để dÃy qui cực đại iđêan có độ dài 2.2.13 nh lí Cho R vành Noether, M R -môđun hữu hạn sinh khác không I iđêan R mà IM  M Khi ®ã hai M -dãy cực đại I có độ dài Chứng minh Ta chứng minh a1 , , an M -dãy cực đại I b1 , , bn M -dãy I b1 , , bn M -dãy cực đại I Chúng ta chứng minh điều quy nạp theo n Trường hợp n  hiển nhiên Trường hợp n  1, ta xét bỉ ®Ị 2.2.12 Giả sử định lí với n  k  1, k  1, k  N Giả sử a1 , , ak M -dãy cực đại I b1 , , bk M -dãy I Với i  0,1, , k  , đặt N i : M / a1 , , M ; Li  M / b1 , , bi M (ta xem N , L0 M ) Với i  1, , k có  ZdvI \ N i 1  bi  I \ ZdvLi 1  Do I  ZdvN i 1  I  ZdvLi 1  Do ZdvN i 1  ZdvLi 1  hợp hữu hạn iđêan nguyên tố, theo định lí tránh nguyên tố, ta cú I ZdvN   ZdvN k 1   ZdvL0    ZdvLk 1  LÊy c  I \ ZdvN    ZdvN k 1   ZdvL0    ZdvLk 1  (chú ý a1 , , ak 1 , c M -dãy c  ZdvN k 1  ) Từ c  ZdvN k 2  , theo hệ 2.2.5, a1 , , ak , c, ak 1 M -dãy Do c  ZdvN k 3  , theo hƯ qu¶ 2.2.5 suy a1 , , ak 3 , c, ak 2 , ak 1 M -dãy Lập luận tương tự ta kết luận c, a1 , , ak 1 M -dãy 19 Tương tự c, b1 , , bk 1 M -dãy Hơn nữa, c  ZdvN k 1  , a k dãy N k 1 -cực đại I ( theo bæ ®Ị 2.2.2) Từ bỉ ®Ị 2.2.12 suy c N k 1 -dãy cực đại I , có nghĩa là: I  ZdvN k 1 / cN k 1   ZdvM / c, a1 , , ak 1 M  Do c, a1 , , ak 1 M -dãy cực đại I Đặt M ' : M / cM , th× M ' môđun hữu hạn sinh khác không ý M '  IM ' Do bỉ ®Ị 2.2.2, ta có a1 , , ak 1 M ' -dãy I b1 , , bk 1 M ' -dãy I Dẫn đến b1 , , bk 1 M ' -dãy cực đại I Do I  ZdvM ' /b1 , , bk 1 M '   ZdvM /c, b1 , , bk 1 M   ZdvLk 1 / cLK 1  , suy c Lk 1 dãy cực đại I Từ bk  ZdvLk 1  , theo hÖ qu¶ 2.2.5, suy bk Lk 1 -dãy cực đại I Sử dụng bỉ ®Ị 2.2.2, ta có b1 , , bk M -dãy cực đại I Định lí đ-ợc chứng minh Cho R, m vành địa ph-ơng, M R -môđun hữu hạn sinh khác không Khi theo bổ đề Nakayama với iđêan I R ta có IM M Do từ định lí ta có hệ sau 2.2.14 Hệ Cho R, m vành địa ph-ơng, M R -môđun hữu hạn sinh khác không, I iđêan thùc sù cđa R Khi ®ã mäi d·y chÝnh qui cực đại I có độ dài 20 Ch-ơng Độ sâu 3.1 Bậc độ sâu Cho R vành giao hoán, Noether, M R -môđun hữu hạn sinh khác không, I iđêan R cho IM M Khi theo định lí 2.2.13 M -dÃy cực đại I có độ dài Do ta có định nghĩa sau 3.1.1 nh ngha Cho R vành giao ho¸n Noether, M R - mụun hu hn sinh khác không v I l iờan R với IM  M Độ dài chung tất M -d·y cực đại I gọi bËc I M , kÝ hiÖu gradeM I gradeI , M  3.1.2 Chú ý Với kí hiệu nh- định nghĩa ta có nhận xét sau i) Luôn tồn t¹i M -d·y I ; Mäi M -d·y I mở rộng thành M -dÃy cực đại I ; Mọi M -dÃy cực đại I có độ dài độ dài chung đ-ợc kí hiệu gradeM I ii) Nếu định nghĩa mà M R I iđêan thực R , bậc I R gọi bậc I viết grade I iii) Giả sử thêm điều kiện R vành địa ph-ơng với iđêan cực đại m Khi phần tử M -dÃy a1 , , an nằm m M  a1 , , an M vµ M  mM (theo Bổ đề Nakayama) Do dÃy phần tử R M -dÃy M dÃy đ-ợc chứa m Vì gradeM m có ý nghĩa đặc biệt đ-ợc 21 gọi độ sâu M , đ-ợc kí hiệu depthM ( depth R M ) Do depthM độ dài M -dÃy cực đại 3.2 Một số tính chất bậc độ sâu 3.2.1.Bổ đề Cho R l vnh giao hoán Noether, M l R -môđun hữu hạn sinh khác không a1 , , an M -dÃy §Ỉt J : a1 , , an  , R : R / J vµ :R  R lµ toµn cấu tự nhiên Khi M / JM xem R - môđun Cho an1 , , a g  R Khi ®ã a1 , , a g lµ mét M -d·y nÕu vµ chØ nÕu a1 , , a g lµ M / JM -d·y, R nhiên J ảnh a i qua toàn cấu tự Chứng minh Đặt M M / JM Với i n  1, , g th× a , , a M  a , , a M trªn M / a , a M gièng nh- phÐp nh©n víi a , , a M  a , , a M / JM phép nhân a i Mặt kh¸c n n 1 n 1 g n i 1 n 1 g Do ®ã an1 , , a g M  M nÕu vµ chØ nÕu a1 , , a g M  M ¸p dụng bổ đề 2.2.2 ta có điều phải chứng minh 3.2.2 Bổ đề Cho R l vnh giao hoán Noether, M R -môđun hữu hạn sinh khác không I iđêan R với IM M Đặt g gradeM I a1 , , a n M -dÃy I Đặt J : a1 , , an  Khi ®ã: i) M / JM  I M / JM  vµ gradeM / JM I  g  n ; ii) NÕu xem M / JM lµ R / J - môđun M JM J M JM vµ  I gradeM / JM I / J   g  n 22 Chøng minh i) Do j  I , chóng ta cã I M / JM   IM / JM  M / JM Khi tồn an1 , , a g  I mµ a1 , , a g lµ M -dÃy cực đại I Suy an1 , , a g  I lµ M / JM -d·y cực đại Do gradeM / JM I g n ii) Đặt R : R / J , gọi :R R toàn cấu tự nhiên HiĨn nhiªn I / J M / JM   IM / JM từ bổ đề 3.2.1 suy r»ng an1 , , a g lµ M / JM - dÃy cực đại I / J Vì thÕ gradeM / JM I / J   g  n 3.2.3 MƯnh ®Ị Cho  R vnh giao hoán Noether, J iđêan R đ-ợc sinh bëi mét R -d·y gåm n phÇn tư Khi ®ã htJ  n Chøng minh Chó ý r»ng J phải iđêan thực R Chúng ta chøng minh b»ng quy n¹p theo n Víi n , phần tử R -dÃy rỗng sinh iđêan không, iđêan độ cao Do ®ã mƯnh ®Ị ®óng víi n  Giả sử mệnh đề với n k , k số tự nhiên đó; Cho a1 , , ak 1 lµ mét R -d·y Đặt J : a1 , , ak J ' : a1 , , ak  Theo định lí iđêan suy rộng, ta có htJ k Hơn giả thiết quy n¹p, htJ '  k Do J '  J , chóng ta kÕt ln r»ng htJ ph¶i b»ng k k Giả sử htJ k , ta tìm mâu thuẫn Tồn P SpecR mà J P htP  k Do J '  J vµ htJ ' k suy P iđêan nguyên tố cực tiểu J ' Do P phải chứa -ớc không R / J '  R / a1 , , ak  Nh-ng a k không -ớc không R / a1 , , ak  vµ a k 1 P Suy mâu thuẫn Do htJ = k Vậy mệnh đề đ-ợc chứng minh 3.2.4.Hệ Cho R Khi gradeI htI I iđêan thực vnh giao hoán Noether 23 Chứng minh Đặt gradeI n vµ cho a1 , , an lµ R -d·y cực đại đ-ợc chứa I Lúc gradeI  n  ht a1 , , an   htI 3.2.5 Định lí Cho I iđêan thực vnh giao hoán Noether R ; giả sử gradeI n I đ-ợc sinh n phần tử Khi I đ-ợc sinh R -d·y cã n phÇn tư Chøng minh NÕu n , hiển nhiên định lí Vì chóng ta gi¶ thiÕt r»ng n  Gi¶ sö r»ng a1 , , an sinh I Chóng ta sÏ chøng tá r»ng tån t¹i R -d·y b1 , , bn I cho ri , j  R , 1  i  j  có ph-ơng trình ma trận b1 1     b2   b           =           bn 1   b    n   r1, 0 r1,3 r2 , r1, n 1 r1, n r2 , n 1 r2 , n r3, n 1 r3, n rn 1,n               a1   a2 a        a n 1 a  n              PhÇn ma trận vuông ma trận tam giác có phần tử nằm đ-ờng chéo Ta sÏ chøng tá r»ng n n i 1 i 1  Rbi   Rai  I Khi định lí đ-ợc chứng minh Chúng ta xây dựng b1 , , bn quy nạp Gi¶ sư r»ng j  N ,  j n Chúng ta phải xây dựng bi thuộc R thoả mÃn yêu cầu Điều thoả mÃn j Đặt J : b1 , , b j 1  Tõ b1 , , b j 1 lµ R -d·y I vµ gradeI  n  j  , ta cã I  ZdvR R / J  Chóng ta sÏ chøng tá r»ng 24 a , a , , a   Zdv R / J  , , a   Zdv R / J  , ta sÏ t×m điều mâu thuẫn j j Giả sử a j , a j 1 n n R R Cho c  I  a1 , , an  , tồn s1 , s2 , , sn  R tho¶ m·n c  s1a1  s2 a2   sn an n n k 2 k 3 (1) Thay a1  b1   r1,k a k , a  b2   r2,k a k ,… vµo (1) ta cã c  t1b1  t b2   t j 1b j 1  t j b j   t n bn , víi t1 , t , , t j 1 , t j , , t n  R Ta cã t1b1  t2b2  t j 1b j đ-ợc chứa linh hoá tử R -môđun R / J R / b1 , , b j 1  Gi¶ sư a , a j j 1 , , an   ZdvR R / J  , nghÜa lµ t j b j   tnbn  ZdvR R / J Do c -ớc không R / J Điều nµy chøng tá r»ng I  ZdvR R / J Do mâu thuẫn với I ZdvR R / J  V× thÕ a , a j j 1 , , an   ZdvR R / J  Nh-ng ZdvR R / J  hợp số hữu hạn iđêan nguyên tố R Vì tồn r j , j 1 , , r j ,n  R , cho a j  r j , j 1 , a j 1   r j ,n an  ZdvR / J  Do ®ã, nÕu b j  a j  rj , j 1 , a j 1   rj ,n an b1 , , b j R -dÃy Tiếp tục trình nh- ta xây dựng đ-ợc R -dÃy b1 , , bn Do n n i 1 i 1  Rbi   Rai I , ta có điều phải chứng minh 3.2.6 Mệnh đề Cho I iđêan thực vành giao hoán Noether R Khi gradeI  grade I 25 Chøng minh Do I  I (và I iđêan thực R ), có gradeI grade I Đặt n : grade I vµ cho a1 , , a n R -dÃy đ-ợc chứa I Tồn t  N mµ ait  I víi mäi i 1, , n Hơn nữa, theo mệnh đề 2.2.3, dÃy phần tử a1t , , ant R -dÃy Do gradeI grade I Vì n  thÕ gradeI  grade I 3.2.7 Hệ Cho I , J iđêan thực vành giao hoán Noether R Khi grade( IJ )  grade( I  J )  mingradeI , gradeJ  Chøng minh Tõ IJ  I J , áp dụng mệnh đề 3.2.6 suy grade( IJ )  grade( I  J ) Hơn nữa, I J I , cã grade( I  J )  gradeI T-¬ng tù grade( I  J )  gradeJ Gi¶ sư r»ng grade( I  J )  mingradeI , gradeJ  Chóng ta sÏ t×m sù mâu thuẫn Đặt n gradeI J cho a1 , , an R -dÃy đ-ợc chứa I  J Lóc ®ã a1 , , an R -dÃy I theo chó ý 3.1.2 i), tån t¹i a n1  I mµ a1 , , an , an1 lµ R -d·y T-ơng tự, tồn an' J mà a1 , , an , an' R -dÃy Cả hai phần tử a n1 , an' không -ớc không R -môđun R / a1 , , an  Nh-ng an1an, 1  I  J , suy a1 , , an , an1 , an' 1 lµ R - d·y I J cã chiỊu dµi n  n  gradeI J Do phải có 3.2.8 Hệ Cho Điều mâu thuẫn với mingradeI, gradeJ n I iđêan thực vnh giao hoán Noether R Khi gradeI  mingradeP : P  AssI   mingradeP : P  I   26 Chøng minh Theo mƯnh ®Ị 3.2.6, ta cã gradeI  grade I Nh-ng I  PAssI P vµ I  Pmin I P , áp dụng hệ 3.2.7 ta có điều phải chứng minh (vì hai tập AssI I hữu hạn) 3.2.9 Bổ đề Cho R l vnh giao hoán Noether, M l môđun hữu hạn sinh khác không v S tập nhân đóng vành R thoả mÃn S M Cho a1 , , a n lµ M -dÃy Khi phần tử a1 / 1, , an / cđa S 1 R lµ S 1 M -d·y tho¶ m·n S 1 M  a1 / 1, , an / 1S 1 M Chøng minh Chúng ta cần chứng minh với i 1, , n , phần tử a1 / không -ớc không S R -môđun S M / a1 / 1, , an / 1S 1 M Ta cã ( a1 / 1, , 1 / )= a1 , , 1 e S M / a1 / 1, , 1 / 1S 1 M = S 1 M / a1 , , 1  S 1 M e  S 1 M / S 1 a1 , , 1 M   S 1 M / a1 , , 1 M  Cho  : M /a1 , , 1 M   M / a1 , , 1 M lµ R -tự đồng cấu cảm sinh phép nhân với a i Do giả thiết, đơn cấu nªn S 1 : S 1 (M / a1 , , 1 M )   S 1 (M / a1 , , 1 M ) lµ mét S R tự đơn cấu Nh-ng S S R -tự đồng cấu cảm sinh phép nh©n víi / VËy / không -ớc không S M / a1 / 1, , 1 / 1S 1 M Cho R vành giao hoán, S tập nhân đóng R Ta biết iđêan vành th-ơng S R có d¹ng S 1 I   a  I , s  S  , a s  ®ã I iđêan R S I iđêan thực S R 27 chØ I  S   HÖ sau mô tả bậc iđêan vành th-ơng 3.2.10 Hệ Cho R l vnh giao hoán Noether, I iđêan R S tập nhân đóng R thoả mÃn I S  Khi ®ã gradeI  gradeS 1R S 1 I Chứng minh Đặt n gradeI cho a1 , , an M -dÃy đ-ợc chứa I Iđêan S I S R thực bổ đề 3.2.9, dÃy a1 / 1, , an / lµ S 1 R -dÃy đ-ợc chứa S I Do gradeS 1R S 1I  n  gradeI 3.2.11 Định lí Cho R, m vành địa ph-ơng Noether M R -môđun hữu hạn sinh khác không Khi depthM dim R / p , víi mäi p  AssM Chøng minh Chóng ta sử dụng phép quy nạp theo độ sâu M Với depthM hiển nhiên Giả sử định lí với tr-ờng hợp depthM k , với k số tự nhiên Cho M R -môđun có depthM k Do k   , cã mét phÇn tử a M mà a không -ớc không M nên áp dụng bổ đề 3.2.2 i) chóng ta cã depth M / aM   k Do theo giả thiết quy nạp suy depth M / aM   dim R / q , víi q  AssM / aM  B©y giê cho p  AssM Do p lµ linh hoá tử phần tử khác không M , môđun 0:M p khác không thấy 0:M p aM  a0:M p  Cho g  0:M p   aM V× g  ag , , víi g,  M nªn víi r  p th× arg,  rg  , suy rg , (vì a không -ớc không M ) Vì 28 g , 0:M p  nªn g  ag ,  ao:M p  Do ®ã 0:M p   aM  a0:M p đà chứng minh đ-ợc r»ng 0:M p   aM  a0:M p  Hợp thành R -đồng cấu 0:M p M M / aM (ánh xạ đầu đồng cấu nhúng, ánh xạ thứ hai toàn cấu tắc) có hạt nhân 0:M p  aG  a0:M p Do ®ã M / aM có môđun đẳng cấu với 0:M p / a0:M p  (chó ý r»ng a0:M p  0:M p a M nên p a linh hoá tư 0:M p  / a0:M p  vµ nã môđun khác không M / aM Do đó, từ định lí tránh nguyên tố, ta cã p  a   ZdvM / aM   q   qAss M / aM  ( v× p  a   p , víi p ,  AssM / aM  ) Chó ý r»ng a p , a không -ớc không M (ở p AssM chứa toàn -ớc không M ), ®ã p  p , Suy dim R / p ,  dim R / p B»ng quy n¹p cã  depth M / aM  dim R / p ,  nªn depthM  k   depth M / aM    dim R / p ,  dim R / p 3.2.12.Hệ Cho R, m vành địa ph-ơng Noether M R -môđun hữu hạn sinh khác không Khi depthM dim M Chøng minh V× dim M  maxdim R / p p AssM nên áp dụng định lí 3.2.11 ta có điều phải chúng minh 29 Kết luận Khái niệm dÃy quy độ sâu đóng vai trò quan trong lí thuyết vành môđun Coh en-Macaulay nói riêng Đại số giao hoán nói chung Dựa vào tài liệu tham khảo mà chủ yếu dựa vào 4, tác giả đà tìm hiểu, tổng hợp từ trình bày cách có hệ thống hai khái niệm Cụ thể luận văn đà hoàn thành việc sau: Trình bày khái niệm chứng minh số tính chất dÃy qui Trình bày khái niệm chứng minh số tính chất độ sâu 30 Tài liệu tham khảo Atiyah, M.F and I G Macdonald (1969) Introdution to commutative algebra, Reading, Mass 2 Bruns, W and J Herzog (19 93) Cohen Macaulay ring, Cambridge University Press 3 Matsumura, H(1970), Commutative algebra, W A Benjamin Inc 4 Sharp, R.Y,(2000), step in comutative algebra, Cambridge University Press 5 Ng« Sü Thđy(2005), Mét sè tính chất môđun giả Cohen Macaulay môđun giả Cohen Macaulay suy rộng , Luận văn thạc sĩ toán học, Tr-ờng Đại học Vinh 31 Mục lục Mục Trang Mở đầu Ch-ơng 1: Kiến thức chuẩn bị Căn Jacobson Phổ giá môđun -ớc không M Iđêan nguyên tố liên kết Bổ đề Nakayama Định lí tránh nguyên tố Vành địa ph-ơng đầy đủ theo tôpô M -adic Vành môđun th-ơng Độ cao chiều Krull vành môđun 10 Ch-ơng 2: DÃy quy 11 Định nghĩa ví dụ 11 Mét sè tÝnh chÊt cđa d·y chÝnh quy 12 Ch-¬ng 3: Độ sâu 20 Bậc độ sâu 20 Một số tính chất bậc độ sâu 21 Kết luận 29 Tài liệu tham khảo 30 32 ... Bảo Một số tính chất dÃy quy độ sâu Chuyên ngành: Đại số - Lý thuyết số Mà số: 60.46.05 luận văn thạc sĩ to¸n häc C¸n bé h-íng dÉn khoa häc: TS Ngun Thị Hồng Loan VINH, 2009 Mở đầu Cho R vành... phần tử R M -dÃy M dÃy đ-ợc chứa m Vì gradeM m có ý nghĩa đặc biệt đ-ợc 21 gọi độ sâu M , đ-ợc kí hiệu depthM ( depth R M ) Do depthM độ dài M -dÃy cực đại 3.2 Một số tính chất bậc độ sâu 3.2.1.Bổ... dung luận văn Trong ch-ơng trình bày khái niệm chứng minh số tính chất dÃy quy; Ch-ơng 3, trình bày khái niệm chứng minh số tính chất độ sâu Luận văn đ-ợc hoàn thành d-ới h-ớng dẫn TS Nguyễn Thị