Luan VanSKKN 18

3.6 Kết quả thử nghiệm Trong quá trình thực hiện áp dụng đề tài này chúng tôi tiến hành khảo sát câu hỏi dạng trắc nghiệm và tự luận với nội dung kiến thức nói về việc “Bồi dưỡng năng lự[r]

Phần I: PHẦN MỞ ĐẦU I Lí chọn đề tài Quá trình dạy học tiến hành kết hợp hoạt động dạy thầy và hoạt động học học sinh Lâu chúng ta thường chú ý đến chất lượng hoạt động dạy Trong dự giờ, rút kinh nghiệm ta thường phân tích nhiều khía cạnh hoạt động thầy trên lớp như: chất lượng bài giảng, khả lôi học sinh học tập, phong thái, cách trình bày Điều đó là cần thiết, vì giáo viên là người điều khiển, tổ chức quá trình dạy học Nhưng việc ít quan tâm quan tâm không đầy đủ, sâu sắc đến hoạt động học học sinh lại là thiếu sót lớn Nhân cách học sinh, đó có kết trí dục, chính là chất lượng sản phẩm mà nhà trường đào tạo cho xã hội Vì vậy, cần thiết phải chú ý đến hoạt động học, trước hết phải bồi dưỡng cho học sinh lực học tập môn Trong quá trình giảng dạy, chúng tôi nhận thấy thực tế dạy - học môn toán trường THCS có số điểm: chương trình dài và hạn chế thời gian, giáo viên chưa chú trọng đúng mức, học sinh tính toán còn kém, nên quá trình rèn luyện và nâng cao kĩ giải các bài toán cho học sinh chưa có hiệu cao, đa số các em phải học thêm ngoài lên lớp để có điều kiện trao đổi các bài tập ngoài sách giáo khoa Phần lớn học sinh chưa có biện pháp phù hợp để rèn luyện kĩ và các em thường gặp khó khăn các bài tập tổng hợp ôn tập cuối chương Vậy Dạy-Học nội dung: Bồi dưỡng lực giải các bài toán " Phép nhân và chia đa thức "như nào để đạt kết tốt nhất? Phù hợp với học sinh đại trà? Đồng thời đáp ứng nhu cầu học tập học sinh khá giỏi Vì vậy, chúng tôi vào nghiên cứu đề tài này nhằm đề xuất vài biện pháp bồi dưỡng lực giải toán để các em học sinh tham khảo và tự rèn luyện Đồng thời sâu tìm hiểu vài phương pháp giải bài tập qua đó giúp chúng tôi có vốn kiến thức để có thể giảng dạy tốt môn Toán trường THCS Hiểu tầm quan trọng vấn đề, kinh nghiệm dạy và học toán chúng tôi chọn đề tài này II Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu các tài liệu và thực tiễn giảng dạy số trường THCS tỉnh Sóc Trăng với mục đích: - Giúp học sinh có sở lựa chọn số biện pháp phù hợp để rèn luyện và nâng cao kĩ giải toán - Hướng dẫn học sinh tự rèn luyện, giúp các em nắm các biện pháp phục vụ cho việc giải bài tập toán - Giúp học sinh chủ động, tích cực và sáng tạo học tập III Nhiệm vụ nghiên cứu - Đề các biện pháp bồi dưỡng lực giải toán cho học sinh - Phân chia các dạng bài tập, tìm sai lầm mà học sinh thường mắc phải và đề xuất các biện pháp khắc phục IV Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu tài liệu: đọc kĩ nội dung chương I - Đại số “Phép nhân và phép chia đa thức”, nghiên cứu sách bài tập và các dạng bài tập nâng cao - Phương pháp quan sát: theo dõi quá trình học tập học sinh quá trình dạy - Phương pháp thực nghiệm: hướng dẫn học sinh giải vài bài tập cụ thể V Phạm vi nghiên cứu - Phạm vi nghiên cứu: Chương trình đại số 8, cụ thể là chương I: “Phép nhân và phép chia đa thức” toán tập I - Đối tượng nghiên cứu: Một số biện pháp bồi dưỡng lực giải các bài toán “ Phép nhân và chia đa thức” - Địa bàn nghiên cứu: Trường THCS Mỹ Tú - Tỉnh Sóc Trăng VI Cấu trúc đề tài * Lời nói đầu * Phần I: Phần mở đầu * Phần II: Nội dung đề tài Chương I: Cơ sở lí luận và thực tiễn 1.1 Thế nào là lực giải toán 1.2 Rèn luyện lực giải toán 1.3 Hệ thống các dạng bài tập chương 1.4 Thực trạng việc dạy và học phép nhân và phép chia đa thức thông qua dạy đại số số trường THCS tỉnh Sóc Trăng Chương II: Các biện pháp rèn luyện và nâng cao kĩ giải toán cho học sinh 2.1 Cơ sở xây dựng các biện pháp 2.2 Các nguyên tắc xây dựng các biện pháp 2.3 Các biện pháp rèn luyện và nâng cao kĩ giải bài toán cho học sinh 2.4 Các bài tập vận dụng tổng hợp Chương III: Thực nghiệm * Phần III: Kết luận PHẦN II: NỘI DUNG ĐỀ TÀI Chương I: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Thế nào là lực giải toán? 1.1.1 Bài toán và giải toán 1.1.1.1 Bài toán - Polya viết: “Bài toán đặt cần thiết phải tìm hiểu cách có ý thức, phương tiện thích hợp để đạt tới mục đích thấy rõ ràng không thể đạt ngay” [2, tr 17] - Rubinstein cho rằng: “một vấn đề hay tình có vấn đề xác định trước hết chổ nó có cái chưa biết, tức là cái lỗ hỏng cần lấp đầy, có cái x nào đó cần thay giá trị tương ứng Như tình có vấn đề luôn luôn chứa cái gì đó là ẩn - quan hệ với cái đã cho - cần xác định dạng hiện”, “bài toán là phát biểu vấn đề thành lời” [2, tr 18] - Ta hiểu bài toán là yêu cầu cần có để đạt mục đích nào đó Mục đích nêu bài toán có thể là tập hợp bất kì (các số, các hình, các biểu thức, phương trình ) đúng đắn nhiều kết luận 1.1.1.2 Lời giải bài toán - Lời giải bài toán là tập hợp đã xếp thứ tự các thao tác cần thực để đạt mục đích nêu bài toán đó - Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác - Yêu cầu bài toán: đầy đủ, rõ ràng, không có sai lầm, lập luận phải có xác định, logic 1.1.1.3 Sự phức tạp và cái khó bài toán - Sự phức tạp bài toán thể phức tạp cái đã cho, cái phải tìm lời giải Nó thể chỗ có nhiều thành tố tạo thành, liên quan đến nhiều lĩnh vực chuyên môn - Cái khó bài toán có tính tương đối và phụ thuộc vào người giải bài toán đó Cái khó thể trên ba phương diện: khó hiểu, khó tìm lời giải và khó trình bày lời giải 1.1.2 Năng lực Năng lực là tổ hợp các thuộc tính độc đáo cá nhân phù hợp với yêu cầu hoạt động định, đảm bảo cho hoạt động đó có kết (theo trang 193 Sách tâm lý học đại cương) 1.1.2.1 Các mức độ lực [1, tr 22] - Năng lực là mức độ định khả người, biểu thị khả hoàn thành có kết hoạt động nào đó - Tài là mức độ lực cao hơn, biểu thị hoàn thành cách sáng tạo hoạt động nào đó - Thiên tài là mức độ cao lực, biểu thị mức độ kiệt xuất, hoàn thành vĩ nhân lịch sử nhân loại 1.1.2.2 Phân loại lực [1, tr 23] - Năng lực chung là lực cần thiết cho nhiều lĩnh vực hoạt động khác (những thuộc tính thể lực, trí tuệ.) - Năng lực riêng biệt là thể độc đáo các phẩm chất riêng biệt, có tính chuyên môn, nhằm đáp ứng yêu cầu lĩnh vực hoạt động chuyên biệt với kết cao: lực toán học, lực thơ, văn, hội họa 1.1.3 Năng lực giải toán [2, tr 25] Từ định nghĩa lực chuyên biệt ta có thể hiểu: lực giải toán là thể độc đáo các phẩm chất riêng biệt nhằm đáp ứng yêu cầu hoạt động toán học với kết cao Năng lực toán học là kết hợp các kĩ giải toán và tư logic 1.1.3.1 Kĩ giải toán - Kĩ là khả vận dụng các kiến thức (khái niệm, phương pháp, quy tắc ) để giải nhiệm vụ [5, tr 102] - Theo đó ta có thể hiểu kĩ giải toán là khả vận dụng kiến thức toán học (khái niệm, định lí, tính chất ) vào việc giải bài toán - Cấu trúc kĩ gồm: mục đích, cách thức, điều kiện thực - Rèn luyện kĩ thông thường qua vận dụng kiến thức để giải các bài toán cách thường xuyên 1.1.3.2 Tư - Tư là quá trình tâm lí phản ánh thuộc tính chất, mối liên hệ và quan hệ bên có tính chất quy luật vật và tượng thực khách quan, mà trước đó ta chưa biết [1, tr 92] - Ở mức độ nhận thức cảm tính người phản ánh các thuộc tính trực quan cụ thể bên ngoài, phản ánh trực tiếp các giác quan vật tượng tác động Dựa vào nhận thức đó, tư phản ánh thuộc tính bên trong, mối liên hệ vật, tượng cái người chưa biết cần tìm tòi và giải a) Những đặc điểm tư [1, tr 7] - Tính “Có vấn đề” tư duy: tư xảy tình có vấn đề cần giải nhiệm vụ nào đó - Tư có mối liên hệ chặt chẽ với ngôn ngữ: ngôn ngữ là công cụ để tư Sản phẩm tư là khái niệm, phán đoán suy luận biểu đạt ngôn ngữ - Tính gián tiếp tư duy: tư phản ánh các vật, tượng gián tiếp qua ngôn ngữ - Tính trừu tượng và khái quát tư duy: tư có khả trù xuất khỏi vật, tượng thuộc tính, dấu hiệu cụ thể, cá biệt,… giữ lại cái chất nhất, chung cho nhiều vật tượng và trên sở đó khái quát các vật tượng riêng lẻ khác có chung thuộc tính chất thành nhóm - Tính lý tính tư duy: có tư giúp người phản ánh chất các vật, tượng, mối liên hệ có tính quy luật chúng - Tư có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính: nhận thức cảm tính làm nảy sinh tình có vấn đề và cung cấp các yếu tố cấn thiết cho tư b) Quá trính tư gồm bước [1, tr 8] - Bước 1: Xác định vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ tư - Bước 2: Huy động tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tưởng, hình thành giả thiết và cách giải vấn đề - Bước 3: Xác định giả thiết thực tiễn, giả thiết đúng thì qua bước sau, sai thì phủ định nó và hình thành giả thiết - Bước 4: Quyết định, đánh giá kết quả, đưa sử dụng c) Các thao tác tư - Phân tích - tổng hợp + Phân tích là dùng trí óc chia cái toàn thể thành phần tách thuộc tính hay khía cạnh riêng biệt nằm cái toàn thể đó + Tổng hợp là dùng trí óc hợp các phần cái toàn thể kết hợp lại cái thuộc tính khía cạnh khác nằm cái toàn thể đó - So sánh là xác định giống và khác các vật, tượng Muốn so sánh hai vật tượng thì phải phân tích các dấu hiệu, các thuộc tính, đối chiếu các dấu hiệu các thuộc tính đó với tổng hợp lại xem chúng có gì giống và khác - Trừu tượng hóa - khái quát hóa + Khái quát hóa là dùng trí óc tách cái chung các đối tượng, kiện tượng + Trừu tượng hóa: ta khái quát hóa, tách cái chung, gạt bỏ cái riêng và khảo sát cái chung này còn cái riêng ta không để ý tới Đó là trừu tượng hóa + Cụ thể hóa là tìm ví dụ minh họa cho cái chung đó, tức là tìm cái riêng mà cái này thỏa mãn tính chất cái chung đã xác định 1.1.4 Phương pháp chung tìm lời giải bài toán Dưới tư tưởng tổng quát cùng với gợi ý G.Pôlya (1975) ta có thể đưa phương pháp chung tìm lời giải bài toán sau: 1.1.4.1 Tìm hiểu nội dung bài toán: Giả thiết là gì? Kết luật là gì? Hình vẽ minh họa sau? Sử dụng kí hiệu nào? Phát biểu bài toán nhiều dạng khác để hiểu rõ bài toán? Thuộc dạng toán nào? Kiến thức cần có là gì? 1.1.4.2 Xây dựng chương trình giải: rõ các bước cần tiến hành theo trình tự hợp lý - Bước 1: Thực vấn đề gì? - Bước 2: Giải vấn đề gì? - Bước 3: - 1.1.4.3 Thực chương trình giải: trình bày bài làm theo các bước đã ra, chú ý sai lầm thường gặp tính toán, biểu đạt 1.1.4.4 Kiểm tra và nghiên cứu lời giải - Xét xem có sai lầm gì không? - Có phải biện luận kết tìm hay không? - Nếu là bài toán có nội dụng thực tiễn thì kết tìm có phù hợp với thực tiễn không? - Nghiên cứu bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề 1.1.5 Các mức độ tư học sinh đại số - Mức độ 1: Học sinh nắm và vận dụng các định nghĩa, quy tắc, tính chất vào giải các bài tập đơn giản - Mức độ 2: Học sinh vận dụng kiến thức vào các bài tập theo hướng vận dụng ngược - Mức độ 3: Học sinh vận dụng kiến thức vào giải các bài tập tổng hợp - Mức độ 4: Học sinh vận dụng kiến thức vào giải các bài tập nâng cao 1.2 Rèn luyện lực giải toán 1.2.1 Các vấn đề chung rèn luyện lực giải toán 1.2.1.1 Ba mức độ tiếp cận kiến thức toán học học sinh a) Nhận biết: Đây là mức độ thấp lĩnh vực kiến thức vì yêu cầu học sinh sử dụng trí nhớ để nhận đối tượng mà không cần giải thích b) Thông hiểu: Đây là mức độ cao hơn, yêu cầu học sinh nhận biết mà còn phải giải thích c) Vận dụng: Đây là mức độ cao nhất, đòi hỏi học sinh vận dụng kiến thức, sử dụng phương pháp, nguyên lý hay ý tưởng để giải vấn đề nào đó 1.2.1.2 Ba mức độ kĩ tương ứng với ba mức độ tiếp cận kiến thức toán học học sinh a) Bắt chước: Bắt chước là khả lặp lại hoạt động qua quan sát hướng dẫn trực tiếp b) Thao tác: Thao tác là thực theo đúng trình tự hoạt động đã đựơc quan sát, hướng dẫn trước đó c) Chính xác: Chính xác là hoạt động hợp lí loại bỏ các động tác thừa, tự điều chỉnh hành động, rèn suy luận lôgíc, tư lôgíc 1.2.2 Đổi phương pháp dạy học - Phương pháp dạy học là lấy người học làm trung tâm, chuyển đổi phương pháp thông báo tái sang tổ chức, điều khiển hoạt động nhận thức học sinh nhằm để học sinh tích cực, chủ động chiếm lĩnh tri thức, tự giác, chủ động, tinh thần hợp tác, kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn: tạo niềm tin, niềm vui, hứng thú học tập, giáo viên là người định hướng, tổ chức cho học sinh hoạt động Trước phương pháp dạy và học đó thì việc hướng dẫn cho học sinh tự học, tự rèn luyện là vấn đề cấp thiết Các yêu cầu đổi phương pháp dạy học THCS là: - Phát huy tính tích cực chủ động học sinh: + Giáo viên cần khơi dậy hết tiềm học sinh + Lấy mặt mạnh, mặt tốt học sinh để kích thích hứng thú học tập, khắc phục mặt yếu kém, tôn trọng ý kiến học sinh, định hướng không áp đặt học sinh + Giúp học sinh tự tiếp cận chiếm lĩnh tri thức cách nhanh chống, rèn luyện khả phát và giải vấn đề + Áp dụng các phương pháp dạy học tích cực: dạy học đặt - giải vấn đề, dạy học hợp tác theo nhóm - Yêu cầu soạn bài: + Xây dựng hệ thống câu hỏi dẫn dắt học sinh giải vấn đề + Chọn các bài tập và các mối liên hệ các bài toán, các kiến thức có liên quan, đưa kế hoạch tự học cho học sinh + Tìm các bài tập ngoài sách giáo khoa, các bài tập nâng cao phù hợp với trình độ học sinh - Công việc giáo viên: gợi ý để các em tham gia trả lời các câu hỏi, tổ chức làm việc cá nhân và theo nhóm, khẳng định kết học sinh, đưa kiến thức và phương pháp giải cho học sinh (nếu cần) - Công việc học sinh: trả lời câu hỏi và giải bài tập, trao đổi gặp khó khăn, báo cáo kết tự giải thân và nhóm, tự kiểm tra đánh giá 1.3 Hệ thống các dạng bài tập chương: Phép nhân và phép chia đa thức 1.3.1 Cơ sở phân loại bài tập - Dựa vào ba mức độ tiếp cận kiến thức toán học học sinh THCS - Dựa vào các dạng toán mà học sinh học chương trình SGK - Dựa vào khai thác sâu các vấn đề các dạng toán nâng cao 1.3.2 Các dạng bài tập 1.3.2.1 Dạng 1: NHÂN ĐA THỨC a) Quy tắc i) Nhân đơn thức với đa thức Muốn nhân đơn thức với đa thức, ta nhân đơn thức với hạng tử đa thức cộng các tích với Vậy phép nhân đơn thức A với đa thức B1 + B2, minh họa bởi: A.(B1 + B2) = A.B1 + A.B2 Từ đó, ta có công thức mở rộng: A.(B1 + B2 + + Bn) = A.B1 + A.B2 + + A.Bn (1) Và vì phép nhân có tính chất giao hoán nên ta có: (B1 + B2 + + Bn)A = B1.A + B2.A+ + Bn.A (2) ii) Nhân đa thức với đa thức Muốn nhân đa thức với đa thức, ta nhân hạng tử đa thức này với hạng tử đa thức cộng các tích với nhau.(tại đây thông thường cần thực phép rút gọn) Vậy phép nhân đa thức A1 + A2 với đa thức B1 + B2 trình bày bởi: (A1 + A2)( B1 + B2) = A1(B1 + B2) + A2(B1 + B2) = A1B1 + A1B2 + A2B1 + A2B2 iii) Nhân hai đa thức biến đã xếp Muốn nhân hai đa thức biến đã xếp, ta trình bày sau: - Đa thức viết đa thức - Kết phép nhân số hạng đa thức thứ hai với đa thức thứ viết riêng dòng - Các đơn thức đồng dạng xếp vào cùng cột - Cộng theo cột * Chú ý: Vì đây là các đa thức đã xếp, đó có tình trạng khuyết nhiều bậc trung gian nào đó thì lúc viết vào phép nhân phải để trống khoảng ứng với bậc khuyết ấy, để minh họa chúng ta xét các ví dụ sau: b) Phương pháp giải toán Ví dụ 1: Thực phép nhân a) 3x2(x2 - 3x + 2) b) (2x2 - y - 3xy)4xy2 Giải a) Sử dụng công thức (1) ta có ngay: 3x2(x2 - 3x + 2) = 3x2.x2 - 3x2 3x + 3x2 = 3x4 - 9x3 + 6x2 b) Sử dụng công thức (2) ta có ngay: (2x2 - y - 3xy)4xy2 = 2x2.4xy2 - y.4xy2 - 3xy.4xy2 = 8x3y2 - 4xy3- 12x2y3 * Chú ý: Khi thực phép nhân cần chú ý đến dấu đơn thức tham gia phép toán để đặt dấu “+” dấu “-” cho thích hợp Ví dụ 2: Thực phép tính: a) (x3 + 3x2y - 2xy2)( - 3x2y) b) 2x3 - 6x2 - 2x(x2 - 3x + 2) Giải a) Ta có ngay: (x3 + 3x2y - 2xy2)(-3x2y) = x3.(-3x2y) + 3x2y.(-3x2y) - 2xy2(-3x2y) = - 3x 5y - 9x4y2 + 6x3y3 b) Ta có ngay: 2x3 - 6x2 - 2x(x2 - 3x + 2) = 2x3 - 6x2 - 2x.x2 - 3x.(- 2x) + 2.(- 2x) = 2x - 6x2 - 2x3 + 6x2 - 4x = - 4x * Nhận xét + Trong câu b cần lưu ý đến thứ tự thực phép tính: - Trước hết phải nhân đơn thức -2x với đa thức x2 - 3x + - Sau đó thực phép cộng đa thức + Có hai cách xét các phép tính biểu thức b, cụ thể: - Xét biểu thức là hiệu 2x3 - 6x2 và x2 - 3x + - Hoặc xét biểu thức là tổng 2x3 - 6x2 và 2x(x2 - 3x + 2) Lời giải theo cách này gọn Ví dụ 3: Thực phép nhân: (x + y)(x2 - xy + y2) Giải Ta có: (x + y)(x2 - xy + y2) = x(x2 - xy + y2) + y(x2 - xy + y2) = x3 - x2y + xy2 + x2y - xy2 + y3 = x3 + y3 * Nhận xét Như vậy, ví dụ trên còn có thể phát biểu dạng: “Chứng minh rằng: (x + y)(x2 - xy + y2) = x3 + y3 ” và để thực yêu cầu này chúng ta biến đổi vế trái thành vế phải phép nhân đa thức với đa thức Ví dụ 4: Thực phép nhân: (3x - 5)(2x + 11) - (2x + 3)(3x + 7) Giải Ta có: (3x - 5)(2x + 11) - (2x + 3)(3x + 7) = 3x(2x + 11) - 5(2x + 11) - 2x(3x + 7) - 3(3x + 7) = 6x2 + 33x - 10x - 55 - 6x2 - 14x - 9x - 21 = - 76 * Nhận xét - Để thực phép nhân trên chúng ta cần chú ý tới việc đặt dấu “ + ” dấu “ - ” cho thích hợp - Như nội dung thí dụ trên còn có thể phát biểu dạng: “Chứng minh biểu thức: (3x - 5)(2x + 11) - (2x + 3)(3x + 7) không phụ thuộc vào x” và để thực yêu cầu này chúng ta biến đổi biểu thức phép nhân đa thức với đa thức Ví dụ 5: Thực phép nhân: 3(x - 1)(x - 2) - x(3x + 1)(1 - x) Giải Ta có thể lựa chọn hai cách thực sau: Cách 1: Ta có 3(x - 1)(x - 2) - x(3x + 1)(1 - x) = 3(x2 - 2x - x + 2) - x(3x - 3x2 + - x) = 3x2 - 6x - 3x + - 3x2 + 3x3 - x + x2 = 3x3 + x2 + 10x + Cách 2: Ta có 3(x - 1)(x - 2) - x(3x + 1)(1 - x) = (3x - 3)(x - 2) - (3x2 + x)(1 - x) = 3x2 - 6x - 3x + - 3x2 + 3x3 - x + x2 = 3x3 + x2 + 10x + * Nhận xét Ở ví dụ này, để nhân ba đơn thức, đa thức ta thấy: - Trong cách ta nhân hai đa thức với trước, sau đó nhân kết với đơn thức - Trong cách ta nhân đơn thức với đa thức trước, sau đó nhân hai đa thức lại với Ví dụ 6: Thực phép nhân hai đa thức đã xếp: P = 2x3 - x + và Q = x2 + Giải Ta viết: x 2x3 -x+1 x2 2x3 + +1 -x+1 2x5 - x3 + x2 2x5 + x3 + x2 - x + Vậy, ta được: P.Q = (2x3 - x + 1)(x2 + 1) = 2x5 + x3 + x2 - x + * Nhận xét Nếu đa thức có nhiều biến, ta có thể chọn biến làm biến chính và xếp theo biến ấy, thí dụ đa thức x + y2 + xy xếp theo lũy thừa giảm biến x là x2 + xy + y2, từ đó áp dụng phương pháp trên để nhân hai đa thức, ví dụ sau đây minh họa ý sau c) Sử dụng phép nhân đa thức để giải toán Bài toán 1: Chứng minh biểu thức n(3n - 1) - 3n(n - 2) luôn chia hết cho với số nguyên n Giải Ta biến đổi biểu thức dạng: n(3n - 1) - 3n(n - 2) = 3n2 - n - 3n2 + 6n = 5n Điều đó khẳng định biểu thức luôn chia hết cho với số nguyên n * Nhận xét Trong ví dụ trên, việc sử dụng phép nhân đa thức với đa thức chúng ta đã thực việc đơn giản biểu thức ban đầu thấy tính chia hết nó Bài toán 2: Cho a, b là hai số tự nhiên, biết a chia cho dư và b chia cho dư Chứng minh a.b chia cho dư Giải Ta có: Vì a chia cho dư 2, nên a = 3p + 2, p N Vì b chia cho dư 1, nên b = 3q + 1, q N Từ đó ta suy ra: a.b = (3p + 2)(3q + 1) = 9pq + 3p + 6q + Do đó a.b chia cho dư * Nhận xét Trong ví dụ trên, chúng ta đã sử dụng kết quả: “Nếu a chia cho b dư c thì a = k.b + c” Bài toán 3: Thực phép nhân, rút gọn tính giá trị biểu thức: P = (x2 + y2)(x2y + y3) - y(x4 + y4) với x = và y = Giải Thực phép nhân ta được: P = (x2 + y2)(x2y + y3) - y(x4 + y4) = x2(x2y + y3) + y2(x2y + y3) - x4y + y5 = x4y + x2y3 + x2y3 + y5 - x4y - y5 = 2x2y3 Khi đó với x = Vậy P = 27 2 và y = ta nhận được: P = x = 2 () .33 = 27 và y = * Nhận xét Ví dụ trên thường phát biểu dạng: “Tính giá trị biểu thức P với x = phải thực theo các bước: - Bước 1: Rút gọn biểu thức và y = 3” đó chúng ta cần biết - Bước 2: Thay giá trị tương ứng các biến từ đó nhận giá trị biểu thức Bài toán 4: Tìm x, biết: (3x - 4)(2x + 1) - (6x + 5)(x - 3) = (1) Giải Ta có: (3x - 4)(2x + 1) - (6x + 5)(x - 3) = 3x(2x + 1) - 4(2x + 1) - 6x(x - 3) - 5(x - 3) = 6x2 + 3x - 8x - - 6x2 + 18x - 5x + 15 = 8x + 11 Khi đó (1) có dạng 8x + 11 = ⇔ 8x = - ⇔ x = - Vậy x = - thỏa mãn điều kiện đầu bài * Nhận xét Như vậy, việc sử dụng phép nhân đa thức với đa thức cho phép chúng ta giải phương trình Bài toán 5: Chứng minh rằng: (x - y)(x2 + xy + y2) = x3 - y3 Giải Ta có ngay: (x - y)(x2 + xy + y2) = x(x2 + xy + y2) - y(x2 + xy + y2) = x3 + x2y + xy2 - x2y - xy2 - y3 = x - y3 * Nhận xét Như vậy, việc sử dụng phép nhân đa thức với đa thức cho phép chúng ta chứng minh đẳng thức 1.3.2.2 Dạng 2: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ a) Bình phương tổng i) Quy tắc Cho A, B là hai biểu thức tùy ý thì ta có đẳng thức (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 Đọc là: “Bình phương tổng hai biểu thức bình phương biểu thức thứ cộng hai lần tích biểu thức thứ với biểu thức thứ hai và cộng với bình phương biểu thức thứ hai” Để chứng minh đẳng thức, ta thực phép biến đổi: VT = (A + B)2 = (A + B)(A + B) = A(A + B) + B(A + B) = A2 + AB + B2 + AB = A2 + 2AB + B2 đpcm Trong nhiều trường hợp, ta sử dụng công thức: (A + B)2 = (A - B)2 + 4AB thí dụ với yêu cầu: “ Tính giá trị (A + B)2 biết A - B = p và AB = q ” Mở rộng: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca (a + b + c + d)2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2bc + 2cd + 2da tương tự ta có thể khai triển bình phương tổng 5, 6, 7, , n số hạng ii) Sử dụng đẳng thức giải toán Ví dụ a) Tính (10a + 5)2 b) Hãy ứng dụng khai triển trên Giải a) Ta có: (10a + 5)2 = 10a2 + 100a + 25 b) Nếu ta viết tiếp: (10a + 5)2 = 100a(a + 1) + 25 (*) Từ (*) ta nhận thấy -Vế trái là bình phương số có tận cùng chữ số với số hàng chục a -Vế trái cho thấy để có kết ta cần tính a(a + 1) viết tiếp số 25 vào bên phải Tương tự chúng ta có thể vận dụng kiến thức ví dụ trên để tính nhẩm 152, 252 , 352, 452, 552, 652, 752, 852, 952 Ví dụ 2: Viết các biểu thức sau dạng bình phương tổng: a) x +x+1 b) (x2 + 4x + 4) + 2(x + 2) + Giải a) Ta có: x +x+1= x 2 ( ) x ( ) + + 12 = ( x+ 2 ) b) Ta có thể trình bày theo hai cách sau Cách 1: Ta biến đổi: (x2 + 4x + 4) + 2(x + 2) + = (x + 2)2 + 2(x + 2) + = (x + + 1) = ( x + 3)2 Cách 2: Ta biến đổi: (x2 + 4x + 4) + 2(x + 2) + = x2 + 4x + + 2x + + = x + 6x + = (x + 3)2 Ví dụ 3: Tìm hệ số a cho P = x2 + 2ax + là bình phương tổng Giải Để P là bình phương đa thức ta cần có các trường hợp: - Trường hợp 1: Xét với: x2 + 2ax + = (x + 2)2 = x2 + 4x + Suy 2a = ⇔ a = - Trường hợp 2: Xét với: x2 + 2ax + = (- x + 2)2 = x2 - 4x + Suy 2a = ⇔ a = - Vậy với a = ± thỏa mãn điều kiện đầu bài Ví dụ 4: Biết số tự nhiên a chia cho dư 2, chứng minh a2 chia cho dư Giải Vì a chia cho dư 2, nên đặt a = 3p + 2, p N Khi đó: a2 = (3p + 2)2 = 9p2 + 12p + = 9p2 + 12p + + Suy a2 chia cho dư * Chú ý: Nếu ta có: + P = a2 + c c (a2 0) ⇒ Pmin = c, đạt a = + P = c - a2 c (a2 0) ⇒ Pmax = c, đạt a = Từ đó ta có thể sử dụng tổng bình phương để thực đòi hỏi “Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức ” Ví dụ sau đây minh họa ứng dụng này Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 2x2 + 8x + Giải Ta biến đổi P dạng: P = 2x2 + 8x + = 2(x2 + 4x) + P = 2(x2 + 4x + 4) + = 2(x + 2)2 + 1 Suy Pmin = 1, đạt dược x = - b) Bình phương hiệu i) Quy tắc Ta có: (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 (2) Đọc là: “Bình phương hiệu hai biểu thức bình phương biểu thức thứ trừ hai lần tích biểu thức thứ với biểu thức thứ hai và cộng với bình phương biểu thức thứ hai” Để chứng minh đẳng thức, ta có thể lựa chọn hai cách: Cách 1: Thực phép biến đổi: VT = (A - B)2 = (A - B)(A - B) = A(A - B) - B(A - B) = A2 - AB - AB + B2 = A2 - 2AB + B2, đpcm Cách 2: Tận dụng đẳng thức bình phương tổng: VT = (A - B)2 = [A + (- B)]2 = A2 + 2A(- B) + (- B)2 = A2 - 2AB + B2, đpcm Trong nhiều trường hợp, ta sử dụng công thức: (A - B)2 = (A + B)2 - 4AB thí dụ với yêu cầu: “ Tính giá trị (A - B)2 biết A + B = p và AB = q ” Mở rộng: (a - b - c)2 = a2 + b2 + c2 - 2ab + 2bc - 2ca (a + b - c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab - 2bc - 2ca tương tự ta có thể khai triển bình phương hiệu 5, 6, 7, , n số hạng * Lưu ý: Ta luôn có: (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 = B2 - 2BA + A2 = (B - A)2 ii) Sử dụng đẳng thức giải toán Ví dụ 1: a) Tính (3x - 4y)2 b) Tính nhẩm 992 Giải a) Ta có: (3x - 4y)2 = (3x)2 - 2.3x.4y + (4y)2 = 9x2 - 24xy + 16y2 b) Ta có: 992 = (100 - 1)2 = 1002 - 2.100 + = 9801 Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức: P = (x2 + 4xy + 4y2) - 2(x + 2y)(y - 1) + (y2 - 2y + 1) với x + y = 10 Giải Ta biến đổi P dạng: P = (x2 + 4xy + 4y2) - 2(x + 2y)(y - 1) + (y2 - 2y + 1) = (x + 2y)2 - 2(x + 2y)(y - 1) + (y - 1)2 = (x + 2y - y + 1)2 = (x + y + 1)2 Suy P = (10 + 1)2 = 121 Ví dụ 3: a) Tính: (a - b - c)2 b) Áp dụng tính: (x2 - x - 1)2 Giải a) Ta có: (a - b - c)2 = [ ( a −b ) − c ] = (a - b)2 - 2(a - b)c + c2 = a2 - 2ab + b2 - 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 - 2ab + 2bc - 2ca b) Áp dụng ta được: (x2 - x - 1)2 = x4 + x2 + - 2x2.x - 2x2.1 + 2.x.1 = x4 - 2x3 - x2 + 2x + * Nhận xét Ta có thể sử dụng kết đẳng thức (a + b + c) để chứng minh đẳng thức trên, từ đó ta có thể tính (a + b - c )2, (a - b + c)2 Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn biểu thức: P = 12x - 3x2 Giải Ta có: P = 12x - 3x2 = - 3(x2 - 4x) = 12 - 3(x2 - 4x + 4) = 12 - 3(x - 2)2 12 Suy PMax = 12, đạt (x - 2)2 = ⇔ x = Ví dụ 5: Rút gọn các biểu thức: (x - y + z)2 + (z - y)2 - 2(x - y + z)(z - y) Giải Ta có: (x - y + z)2 + (z - y)2 - 2(x - y + z)(z - y) = (x - y + z - z + y)2 = x2 Ví dụ 6: Chứng minh rằng: (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad - bc)2 = x2 Giải Ta có thể lựa chọn hai cách giải sau: Cách 1: Biến đổi vế phải đẳng thức: VP = (ac + bd)2 + (ad - bc)2 = a2c2 + abcd + b2d2 + a2d2 - abcd + b2c2 = a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2 = (a2c2 + a2d2) + (b2d2 + b2c2) = a2(c2 + d2) + b2(d2 + c2) = (a2 + b2)(c2 + d2) đpcm Cách 2: Biến đổi vế trái đẳng thức: VT = (a2 + b2)(c2 + d2) = a2c2 + a2d2 + b2d2 + b2c2 = (a2c2 + b2d2) + (a2d2 + b2c2) = (a2c2 + 2abcd + b2d2) + (a2d2 - 2abcd + b2c2) = (a2 + b2)(c2 + d2) đpcm * Nhận xét Thực phép tính vế trái biến đổi để đẳng thức có kết vế phải sau đó kết luận: “vế trái vế phải Đẳng thức đã chứng minh” c) Hiệu hai bình phương i) Quy tắc A2 - B2 = (A + B)(A - B) Đọc là: “Hiệu bình phương biểu thức thứ và bình phương biểu thức thứ hai tích tổng hai biểu thức với hiệu biểu thức thứ trừ biểu thức thứ hai ” Để chứng minh đẳng thức, ta có thể lựa chọn hai cách: Cách 1: Thực phép biến đổi: VP = (A + B)(A - B) = A(A - B) + B(A - B) = A2 - AB + AB - B2 = A2 - B2, đpcm Cách 2: Thực phép thêm bớt: VP = A2 - B2 = A2 - AB + AB - B2 = A(A - B) + B(A - B) = (A + B)(A - B), đpcm ii) Sử dụng đẳng thức giải toán Ví dụ 1: Thực phép tính: 3(x + 1)2 - 2(x - 3)2 - (x + 2)(x - 2) Giải Ta có: 3(x + 1)2 - 2(x - 3)2 - (x + 2)(x - 2) = 3(x2 + 2x + 1) - 2(x2 - 6x + 9) - (x2 - 4) = 18x - 11 * Nhận xét Thứ tự thực phép tính trên sau: + Bình phương x + nhân với + Bình phương x - nhân với - Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức: P = (x + y)2 - (x - y)2 với xy = Giải Ta biến đổi P dạng đơn giản theo các cách: Cách 1: Ta có P = (x + y)2 - (x - y)2 = (x2 + 2xy + y2) - (x2 - 2xy + y2) = 4xy Cách 2: Ta có: P = (x + y)2 - (x - y)2 = [ ( x + y )−( x − y ) ] Suy P = 4 [( x + y )+(x − y ) ] = 4xy =1 Ví dụ 3: Tính nhanh giá trị biểu thức: P = (22 + 42 + 62 + + 1002) - (12 + 32 + 52 + 992) Giải P = (22 + 42 + 62 + + 1002) - (12 + 32 + 52 + 992) = (22 - 12) + (42 - 32) + (62 - 52) + + (1002 - 992) = + + 11 + + 199 = (3 + + 11 + + 199 = 50(3+199) 50(3+199) kiến thức này thuộc chương trình lớp 6) Ví dụ 4: a) Biến đổi thành tích biểu thức sau: (x2 - 8) + 36 b) Từ kết trên hãy tìm n N để (n2 - 8)2 + 36 là số nguyên tố Giải a) Ta có: (x2 - 8)2 + 36 = x4 - 16x2 + 64 + 36 = x4 + 100 - 16x2 = x4 + 100 + 20x2 - 36x2 = (x2 + 10)2 - 36x2 = (x2 + 10 - 6x)(x2 + 10 + 6x) b) Theo câu a, ta có: (n2 - 8)2 + 36 = (n2 + 10 - 6n) (n2 + 10 + 6n) Để (n2 - 8)2 + 36 là số nguyên tố điều kiện cần là: n2 + 10 - 6n = ⇔ n2 - 6n + ⇔ (n - 3)2 = ⇔ n = Thử lại, với n = ta được: (n2 - 8)2 + 36 = 37 là số nguyên tố Vậy với n = thỏa mãn điều kiện đầu bài * Nhận xét Trong lời giải ví dụ trên ta đã sử dụng kết quả: “Số nguyên tố là số có ước là và chính nó” tức là “Số a là số nguyên tố thì a có thể biểu diễn a = 1.a” Do đó, số a có dạng: a = a1.a2 thì điều kiện để a là số nguyên tố là: = a1 < a2 d) Lập phương tổng i) Quy tắc (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 Đọc là: “Lập phương tổng hai biểu thức lập phương biểu thức thứ nhất, cộng ba lần tích bình phương biểu thức thứ với biểu thức thứ hai, cộng ba lần tích biểu thức thứ với bình phương biểu thức thứ hai, cộng lập phương biểu thức thứ hai.” Để chứng minh đẳng thức, ta có thể lựa chọn hai cách: Cách 1: Thực phép biến đổi: VT = (A + B)3 = (A + B)(A + B)2 = (A + B)(A2 + 2AB + B2) = A(A2 + 2AB + B2) + B(A2 + 2AB + B2) = A3 + 2A2B + AB2 + A2B + 2AB2 + B3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 Cách 2: Thực phép tách: VP = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 = (A3 + 2A2B + AB2) + (A2B + 2AB2 + B3) = A(A2 + 2AB + B2) + B(A2 + 2AB + B2) = A(A + B)2 + B(A + B)2 = (A + B)2(A + B) ii) Sử dụng đẳng thức giải toán Ví dụ 1: a) Tính (x + 2y)3 b) Tính nhẩm 113 Giải a) Ta có: (x + 2y)3 = x3 + 3.x2.2y + 3.x.(2y)2 + (2y)3 = x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3 b) Ta có: 113 = (10 + 1)3 = 103 + 3.102.1 + 3.10.12 + 13 = 1331 Ví dụ 2: Viết các biểu thức sau dạng lập phương tổng: a) x3 + 9x2 + 27x + 27 b) √ x3 +18x2 +12 √ x + Giải a) Ta có: x3 + 9x2 + 27x + 27 = x3 + 3.x2.3 + 3.x.32 + 33 = ( x + 3)3 * Nhận xét: Nếu yêu cầu bài toán phát biểu dạng: “Giải phương trình: x3 + 9x2 + 27x + 27, ” đó ta nhận được: ( x + 3)3 = suy x = - b) Ta có: √ x3 +18x2 + 12 √ x + = ( √ x)3 + 3.( √ x)2.2 + √ x.22 + 23 = ( √ x + 2)3 Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức: P = (x3 + 3x2 + 3x + 1) + 3(x2 + 2x + 1)y + 3(x + 1)y2 + y3 với x + y = Giải Ta có: P = (x3 + 3x2 + 3x + 1) + 3(x2 + 2x + 1)y + 3(x + 1)y2 + y3 = (x + 1)3 + 3(x + 1)2y + 3(x + 1)y2 + y3 = (x + + y)3 Suy P = (9 + 1)3 = 1000 Ví dụ 4: Chứng minh a + b + c + d = thì: a3 + b3 + c3 + d3 = 3(b + d)(ac - bd) Giải Ta giả thiết ta có: a + b + c + d = ⇔ a + c = - (b + d) ⇔ (a + c)3 = - (b + d)3 ⇔ a3 + c3 + 3ac(a + c) = - b3 - d3 - 3bd(b + d) ⇔ a3 + b3 + c3 + d3 = -3ac(a + c) - 3bd(b + d) = 3ac(b + d) - 3bd(b + d) = 3(b + d)(ac - bd) e) Lập phương hiệu i) Quy tắc Ta có: (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 Đọc là: “Lập phương hiệu hai biểu thức lập phương biểu thức thứ trừ ba lần tích bình phương biểu thức thứ với biểu thức thứ hai cộng ba lần tích biểu thức thứ với bình phương biểu thức thứ hai trừ lập phương biểu thức thứ hai” Để chứng minh đẳng thức, ta có thể lựa chọn ba cách: Cách 1:Thực phép biến đổi: VT = (A - B)3 = (A - B)(A - B)2 = (A - B)(A2 - 2AB + B2) = A(A2 - 2AB + B2) - B(A2 - 2AB + B2) = A3 - 2A2B + AB2 - A2B + 2AB2 - B3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 Cách 2: Thực phép tách VP = A3 - 2A2B - A2B + AB2 + 2AB2 - B3 = (A3 - 2A2B + AB2) - (A2B - 2AB2 + B3) = A(A2 - 2AB + B2) - B(A2 - 2AB + B2) = A(A - B)2 - B(A - B)2 = (A - B)2(A - B) = (A - B)3, đpcm Cách 3: Tận dụng đẳng thức lập phương tổng: VT = (A - B)3 = [A + (- B)]3 = A3 + 3A2(- B) + 3A(- B)2 + (- B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3, đpcm Trong vài trường hợp, ta lựa chọn cách viết: (A - B)3 = A3 - B3 - 3AB(A - B) ii) Sử dụng đẳng thức giải toán Ví dụ 1: Viết các biểu thức sau dạng lập phương hiệu a) - 12x + 6x2 - x3 b) x6 - 3x5 + 3x4 - x3 Giải a) Ta có: - 12x + 6x2 - x3 = 23 - 3.22.x + 3.2.x2 - x3 = (2 - x)3 b) Ta có: x6 - 3x5 + 3x4 - x3 = (x2)3 - 3.(x2).x + 3.x2.(x)2 - x3 = (x2 - x)3 Ví dụ 2: Chứng minh rằng: (x + y)(x2 - xy + y2) + (x - y)(x2 + xy + y2) = 2x3 Giải Ta có: VT = (x + y)(x2 - xy + y2) + (x - y)(x2 + xy + y2) = x3 + y3 + x3 - y3 = 2x3 Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức: P = (x3 - 3x2y + 3xy2 - y3) - 6(x2 - 2xy + y2) + 12(x - y) - với x - y = 12 Giải Ta có: P = (x3 - 3x2y + 3xy2 - y3) - 6(x2 - 2xy + y2) + 12(x - y) - = (x - y)3 - 3(x - y)2.2 + 3(x - y).22 - 23 = (x - y - 2)3 Suy ra: P = (12 - 2)3 = 1000 Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức: A = (a + b + 1)3 - (a + b - 1)3 - 6(a + b)2 Giải Ta thấy biểu thức a + b lặp lại nhiều lần, gọn, ta đặt a + b = x Do đó: A = (x + 1)3 - (x - 1)3 - 6x2 = x3 + 3x2 + 3x + - ( x3 - 3x2 + 3x - 1) - 6x2 = x3 + 3x2 + 3x + - x3 + 3x2 - 3x + - 6x2 = * Nhận xét Hãy so sánh cách giải trên với cách giải thông thường sau để thấy ưu điểm lời giải cách đổi biến trên Cách 1: Ta viết A = (a + b + 1)(a + b + 1)(a + b + 1) - (a + b - 1)(a + b - 1)(a + b - 1) - 6(a + b)(a + b) = = Cách 2: Ta viết: A = [ ( a+b)+1 ] - [( a+b)− ] - 6(a + b)2 = [(a + b)3 + 3(a + b)2 + 3(a + b) + 1] - [(a + b)3 - 3(a + b) + 3(a+b) - 1] 6(a2 +2ab + b2) = = f) Tổng hai lập phương i) Quy tắc A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2) Đọc là: “Tổng hai lập phương tổng hai biểu thức nhân với bình phương thiếu hai biểu thức đó” Để chứng minh đẳng thức, ta có thể lựa chọn hai cách: Cách 1: Thực phép biến đổi: VP = (A + B)(A2 - AB + B2) = A(A2 - AB + B2) + B(A2 - AB + B2) = A3 - A2B + AB2 + A2B - AB2 + B3 = A3 - B3 Cách 2: Ta có: (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 ⇔ A3 + B3 = (A + B)3 - 3AB(A + B) = (A + B)[(A + B)2 - 3AB] = (A + B)(A2 - AB + B2), đpcm Trong nhiều trường hợp, ta sử dụng công thức: A3 + B3 = (A + B)3 - 3AB(A + B) Thí dụ với yêu cầu: “Tính giá trị A3 + B3 biết A + B = p và AB = q ” Mở rộng: “Tổng hai lũy thừa cùng bậc lẻ ” A2n + + B2n + = (A + B)(A2n - A2n - 1B + - AB2n - + B2n) Từ đó suy hệ quen thuộc rằng: “Nếu a, b Z và a + b thì a2n + + b2n + chia hết cho a + b với ∀ n ii) Sử dụng đẳng thức giải toán Ví dụ 1: Viết các đa thức sau dạng tích a) 8x3 + b) x3 - (x - y)3 Giải a) Ta có: 8x3 + = (2x)3 + = (2x + 1)[(2x)2 - 2x.1 + 1] N” = (2x + 1)(4x2 - 2x + 1) b) Ta có: x3 - (x - y)3 = x3 + (y - x)3 = (x + y - x)[x2 - x(y - x) + (y - x)2] = y(3x2 - 3xy + y2) Ví dụ 2: Chứng minh rằng: a3 + b3 = (a + b)[(a - b)2 + ab] Giải Ta có thể lựa chọn hai cách trình bày sau: Cách 1: Biến đổi vế trái đẳng thức: VT = a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) = (a + b)[(a2 - 2ab + b2) + ab] = (a + b)[(a - b)2 + ab], đpcm Cách 2: Biến đổi vế phải đẳng thức: VP = (a + b)[(a2 - 2ab + b2) + ab] = (a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3, đpcm Ví dụ 3: Biết x + y = và xy = 10 Tính giá trị biểu thức: P = (x + y)(x2 + y2)(x3 + y3) Giải Biến đổi biểu thức B dạng P = (x + y)(x2 + y2)(x3 + y3) = (x + y)[(x + y)2 - 2xy][(x + y)3 - 3xy(x + y)] Khi đó với x + y = và xy = 10, ta nhận được: P = 7.(72 - 2.10)(73 - 3.10.7) = 7.29.133 = 26999 Ví dụ 4: Tìm x, biết: (x + 2)(x2 - 2x + 4) - x(x2 + 2) = Giải Ta có: (x + 2)(x2 - 2x + 4) - x(x2 + 2) = (x + 2)(x2 - x.2 + 22) - x(x2 + 2) = x3 + - x3 - 2x = - 2x Khi đó ta được: - 2x = ⇔ 2x = ⇔ x = Vậy, với x = thỏa mãn điều kiện đầu bài g) Hiệu hai lập phương i) Quy tắc A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2) Đọc là: “Hiệu hai lập phương hiệu hai biểu thức nhân với bình phương thiếu tổng hai biểu thức đó” Để chứng minh đẳng thức, ta có thể lựa chọn hai cách: Cách 1: Thực phép biến đổi VP = (A - B)(A2 + AB + B2) = A(A2 + AB + B2) - B(A2 + AB + B2) = A3 + A2B + AB2 - A2B - AB2 - B3 = A3 - B3, đpcm Cách 2: Tận dụng đẳng thức tổng hai lập phương: VT = A3 + (- B)3 = [A3 + (- B)][A2 - A(- B) + (- B)2] = (A - B)(A2 + AB + B2), đpcm Trong nhiều trường hợp, ta sử dụng công thức: A3 - B3 = (A - B)3 + 3AB(A - B) thí dụ với yêu cầu: “Tính giá trị A3 - B3 biết A - B = p và AB = q” Mở rộng: Hiệu hai lũy thừa tổng quát: An - Bn = (A - B)(An -1 + An - 2B + + ABn - + Bn - 1), với n N Từ đó suy hai hệ quen thuộc: an - = (a - 1)(an - + an - + + a + 1), với n “ Nếu a, b Z và a N b thì an - bn chia hết cho a - b với ∀ n N ” ii) Sử dụng đẳng thức giải toán Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức: (x - 1)(x + 1)(x2 - x + 1)(x2 + x + 1) Giải Ta có: (x - 1)(x + 1)(x2 - x + 1)(x2 + x + 1) = [(x -1)(x2 + x + 1)][( x + 1)(x2 - x + 1)] = (x3 + 1)(x3 - 1) = x6 - Ví dụ 2: Chứng minh các đẳng thức sau: a) (x + y + z)3 - (x + y - z)3 - (x + z - y)3 - (y + z - x)3 = 24xyz b) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) c) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Giải Để chứng minh đẳng thức ta có thể biến đổi từ vế này đến vế tính riêng vế so sánh kết hai vế: a) Vế trái đẳng thức có thể viết lại thành: [(y + z) + x]3 - [( y + z) - x ]3 - [x + (y - z)]3 + [x - (y - z)]3 Áp dụng các đẳng thức: (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 ⇒ (A + B)3 - (A - B)3 = 2B3 + 6A2B ⇒ (A + B)3 + (A - B)3 = 2A3 + 6AB2 Ta có [(y + z) + x]3 - [( y + z) - x ]3 = 2x3 + 6x(y + z)2 [x + (y - z)]3 + [x - (y - z)]3 = 2x3 + 6x(y - z)2 Trừ vế với vế ta được: [(y + z) + x]3 - [( y + z) - x ]3 - [x + (y - z)]3 + [x - (y - z)]3 = 6x(y + z)2 - 6x(y - z)2 = 24xyz đpcm b) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 + c3 – 3abc – 3a2b – 3ab2 = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2] – 3ab(a + b + c) = (a + b + c) [(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) đpcm c) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = [(a + b + c)3 – a3] – (b3 + c3) = (b + c)[(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2] – (b + c)(b2 – bc + c2) = (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)] = 3(a + b)(b + c)(c + a) đpcm 1.3.2.3 Dạng 3: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thành thừa số) là phép biến đổi đa thức cho trước thành tích đơn thức đa thức: A = A1.A2 An a) Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung i) Phương pháp: Giả sử cần phân tích A + B thành nhân tử, ta xác định A và B nhân tử chung C, đó: A + B = C.A1 + C.B1 = C.(A1 + B1) Cách làm gọi là phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung ii) Ví dụ vận dụng Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 8xy2 - 2x2y Giải Ta thấy: 8xy2 = 2xy.4y 2x2y = 2xy.x Như hai hạng tử đa thức có nhân tử chung là 2xy, đó có thể viết: 8xy2 - 2x2y = 2xy.4y - 2xy.x = 2xy(4y - x) *Chú ý: Nhiều cần đổi dấu để làm xuất nhân tử chung Ta có tính chất A = - (-A) thí dụ đa thức: 3x(y - z) + (z - y)(x + 2y) viết là: 3x(y - z) - (y - z)(x + 2y) từ đó thấy xuất nhân tử chung (y - z) Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2x(x - 1) - x(1 - x)2 - (1 - x)3 Giải Ta có ngay: 2x(x - 1) - x(1 - x)2 - (1 - x)3 = 2x(x - 1) - x(x - 1)2 + (x - 1)3 = (x - 1)[2x - x(x - 1) + (x - 1)2] = (x - 1)(2x - x2 + x + x2 - 2x + 1) = (x - 1)(x + 1) * Chú ý: Nhiều em học sinh thực mắc phải lỗi đổi dấu (1 - x)2 = (x - 1)2 Hãy nhớ : A2n = (- A)2n và A2n + = - (- A2n + 1) với n là số tự nhiên Ví dụ 3: Tìm x, biết: 2x(x - 3) - 5(3 - x) = Giải Ta có: 2x(x - 3) - 5(3 - x) = 2x(x - 3) + 5(x - 3) = (x - 3)(2x + 5) Nên ta được: (x - 3)(2x + 5) = (*) Từ (*) tính các nghiệm số x = và x = −5 b) Phân tích đa thức thành nhân tử cách dùng đẳng thức i) Phương pháp: Việc sử dụng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử thường theo hai hướng: + Hướng 1: Biến đổi đa thức ban đầu dạng quen thuộc đẳng thức + Hướng 2: Sử dụng đẳng thức để làm xuất nhân tử chung xuất đẳng thức Cách làm gọi là phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp dùng đẳng thức ii) Ví dụ vận dụng Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) 27 + 8x3 b) y6 - 64x6 Giải a) Ta có: 27 + 8x3 = 33 + (2x)3 = (3 + 2x)[32 - 3.2x + (2x)2] = (3 + 2x)(9 - 6x + 4x2) b) Ta có thể lựa chọn hai cách sau: Cách 1: Ta có: y6 - 64x6 = (y2)3 - (4x2)3 = (y2 - 4x2)[(y2)2 + y2.4x2 + (4x2)2] = (y2 - 4x2)(y4 + 4x2y2 + 16x4) = (y - 2x)(y + 2x)(y4 + 4x2y2 + 16x4) Cách 2: Ta có: y6 - 64x6 = (y3)2 - (8x3)2 = (y3 - 8x3)(y3 + 8x3) = [y3 - (2x)3][y3 + (2x)3] = (y - 2x)(y2 + 2xy + 4x2)(y + 2y)(y2 - 2xy + 4x2) * Nhận xét Như vậy, thông qua ví dụ trên phần b) ta thấy việc lựa chọn hướng biến đổi theo đẳng thức cách thích hợp nhận kết tốt Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 4x2 - 4x + - y2 - 8y - 16 Giải Ta có: 4x2 - 4x + - y2 - 8y - 16 = [(2x)2 - 2x + 12] - (y2 + 2.y.4 + 42) = (2x - 1)2 - (y + 4)2 = [(2x - 1) - (y + 4)][(2x - 1) + (y + 4)] = (2x - y - 5)(2x + y + 3) * Chú ý: Ta thấy đa thức trên có thể cho dạng thu gọn 4x2 - 4x - y2 - 8y - 15 đó chúng ta cần sử dụng phép tách hệ số - 15 = - 16, đó chính là ý tưởng phương pháp bài toán Ví dụ 3: Chứng minh rằng: (n4 - 1) ⋮ với n là số tự nhiên lẻ bất kì  Giải Ta có: (n4 - 1) = (n2)2 - = (n2 - 1)(n2 + 1) = (n - 1)(n + 1)(n2 + 1) Khi đó vì n là số tự nhiên lẻ nên (n - 1) và (n + 1) là hai số tự nhiên chẳn liên tiếp Trong hai số tự nhiên chẳn liên tiếp có số chia hết cho và số còn lại chia hết cho Vậy (n - 1)(n + 1) ⋮ 8, suy (n4 - 1) ⋮ *Chú ý: Với số tự nhiên n, ta có: * 2n, 2n + gọi là hai số tự nhiên chẳn liên tiếp * 2n - 1, 2n + gọi là hai số tự nhiên lẻ liên tiếp c) Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp nhóm hạng tử i) Phương pháp: Cho đa thức A + B + C + D Nếu A, B, C, D không có nhân tử chung thì hãy thử với: A + B và C + D các phép giao hoán khác Tức là nhóm các hạng tử có nhân tử chung lại với tạo thành đẳng thức để làm xuất nhân tử chung đa thức Cách làm gọi là phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp nhóm hạng tử Và từ ý tưởng tổng quát trên chúng ta thấy đa thức có thể có nhiều cách nhóm hạng tử thích hợp Tuy nhiên, không thể nhóm hai hạng tử bất kì lại với mà phải nhóm hai hạng tử nào đó có nhân tử chung và phân tích nhóm thành nhân tử, nhóm lại có nhân tử chung ii) Ví dụ vận dụng Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 3xy - z - 3x + yz Giải Ta có thể lựa chọn hai cách sau: Cách 1: Ta có: 3xy - z - 3x + yz = (3xy - 3x) + (yz - z) = 3x(y - 1) + z(y - 1) = (y - 1)(3x + z) Cách 2: Ta có: 3xy - z - 3x + yz = (3xy + yz) - (z + 3x) = y(3x + z) - (z + 3x) = (y - 1)(3x + z) Ví dụ 2: Tìm x, biết: x4 - 2x3 + x2 - 2x = Giải Ta phân tích đa thức thành nhân tử, có thể lựa chọn hai cách sau: Cách 1: Ta có x4 - 2x3 + x2 - 2x = (x4 - 2x3) + (x2 - 2x) = x3(x - 2) + x(x - 2) = (x - 2)(x3 + x) = (x - 2)x(x2 + 1) Cách 2: Ta có: x4 - 2x3 + x2 - 2x = (x4 + x2) - (2x + 2x3) = x2(x2 + 1) - 2x(x2 + 1) = (x2 + 1)(x2 - 2x) = (x - 2)x(x2 + 1) Từ đó, ta được: (x - 2)x(x2 + 1) = 0, suy x = x = Ví dụ 3: Chứng minh (n4 - 4n3 - 4n2 + 16n) ⋮ 384 với n là số tự nhiên chẳn lớn Giải Ta có: n4 - 4n3 - 4n2 + 16n = (n4 - 4n3) - (4n2 - 16n) = n3(n - 4) - 4n(n - 4) = n(n - 4)(n2 - 4) = n(n - 4)(n - 2)(n + 2) Khi đó vì n là số tự nhiên chẳn lớn nên có thể đặt: n = 2k + 2, k Suy n4 - 4n3 - 4n2 + 16n = (2k + 2)(2k + - 4)( 2k + - 2)( 2k + + 2) = 16(k - 1)k(k + 1)(k + 2) Ta có (k - 1), k, (k + 1) và (k + 2) là bốn số tự nhiên liên tiếp, đó tích chúng chia hết cho 2.3.4 Vậy 16(k - 1)k(k + 1)(k + 2) ⋮ 16.2.3.4 Suy ra: n4 - 4n3 - 4n2 + 16n ⋮ 384 * Nhận xét Cũng có thể nhóm theo cách: n4 - 4n3 - 4n2 + 16n = (n4 - 4n2) - (4n3- 16n) = n2(n2 - 4) - 4n(n2 - 4) = (n2 - 4)(n2 - 4n) = n(n - 2)(n + 2)(n - 4) Ví dụ 4: Tính giá trị biểu thức: P = y2 + xy + x + 2y + với x = 100 và y = 99 Giải Ta có: P = y2 + xy + x + 2y + = (xy + x) + (y2 + 2y + 1) = x(y + 1) + (y +1)2 = (y + 1)(x + y + 1) Suy ra: P = (99 + 1)(100 + 99 + 1) = 100.200 = 20000 d) Phân tích đa thức thành nhân tử cách tách hạng tử thành nhiều hạng tử i) Phương pháp: Cho đa thức: A + B + C Nếu không thể sử dụng các phương pháp các bài toán 1, 2, thì hãy thử với (A + B1) và (C + B2) đó B = B1 + B2 Phương pháp mở rộng thay vai trò B A C Cách làm gọi là phân tích đa thức thành nhân tử cách tách hạng tử thành nhiều hạng tử ii) Ví dụ vận dụng Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 - 2x - Giải Ta có thể lựa chọn các cách sau: Cách 1: (Sử dụng phép tách theo B) Ta có: x2 - 2x - = x2 + x - 3x - = (x2 + x) - (3x + 3) = x(x + 1) - 3(x + 1) = (x + 1)(x - 3) Cách 2: (Sử dụng phép tách theo A) Ta có: x2 - 2x - = 3x2 - 2x2 - 2x - = (3x2 - 3) - (2x2 + 2x) = 3(x2 - 1) - 2x(x + 1) = 3(x + 1)(x - 1) - 2x(x + 1) = (x + 1)[3(x - 1) - 2x] = (x + 1)(x - 3) Cách 3: (Sử dụng phép tách theo C) Ta có: x2 - 2x - = x2 - 2x - - = (x2 - 1) - (2x + 2) = (x - 1)(x + 1) - 2(x + 1) = (x + 1)(x - - 2) = (x + 1)(x - 3) Cách 4: (Sử dụng phép tách tạo đẳng thức) Ta có: x2 - 2x - = x2 - 2.x.1 + - = (x - 1)2 - = (x - - 2)(x - + 2) = (x + 1)(x - 3) * Nhận xét Để việc vận dụng đạt hiệu cao nhất, thông qua ví dụ trên để tổng quát phương pháp phân tích thành nhân tử cho các đa thức dạng: * x2 + bx + c * ax2 + bx + c Từ đó có thể vận dụng cho đa thức dạng P2 + b.P + c Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x + y)2 - 8(x + y) + 12 Giải Ta có: (x + y)2 - 8(x + y) + 12 = (x + y)2 - 2.(x + y).4 + 16 - = [(x + y) - 4]2 - 22 = (x + y - 4)2 = (x + y - - 2) (x + y - + 2) = (x + y - 6)(x + y - 2) * Nhận xét - Lời giải trên sử dụng phép tách để tạo thành đẳng thức, ngoài hướng dẫn các em học sinh thực thêm việc phân tích phép tách theo A, B, C - Phương pháp tách để tạo thành đẳng thức cho phép thực yêu cầu xác định dấu đa thức Để minh họa chúng ta xét ví dụ sau: Ví dụ 3: Chứng minh đa thức sau luôn dương với giá trị x: x2 - x + Giải Ta có: x - x + = x - 2.x + 2 Vì 2 () + = ( ) x− x− ( ) + ( ) với giá trị x, nên x− + 4 với giá trị x Vậy x2 - x + luôn dương với giá trị x * Chú ý: Qua ví dụ trên các em học sinh có thể thực yêu cầu “ Tìm giá trị nhỏ đa thức P = x2 - x + 1” Thật vậy: P= x− 2 ( ) + 4 suy Pmin = , đạt dược x = Chúng ta minh họa thêm việc thực yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, nhỏ đa thức ví dụ sau: Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2x2 + xy - y2 Giải Ta có thể lựa chọn các cách sau: Cách 1: Ta có: 2x2 + xy - y2 = x2 + x2 + xy - y2 = (x2 - y2) + (x2 + xy) = (x - y)(x + y) + x(x + y) = (x + y)(2x - y) Cách 2: Ta có: 2x2 + xy - y2 = 2x2 + 2xy - xy - y2 = (2x2 + 2xy) - (xy + y2) = 2x(x + y) - y(x + y) = (x + y)(2x - y) Cách 3: Ta có: 2x2 + xy - y2 = 2x2 + xy - 2y2 + y2 = (2x2 - 2y2) + (xy + y2) = 2(x2 - y2) + y(x + y) = 2(x - y)(x + y) + y(x + y) = (x + y)(2x - y) * Chú ý: Phương pháp tách hạng tử mở rộng tự nhiên cho trường hợp cần tách nhiều hạng tử đa thức Để minh họa chúng ta xem xét ví dụ sau: Ví dụ 5: Tìm x, biết: x3 - 6x2 - x + 30 = Giải Ta có: x3 - 6x2 - x + 30 = x3 - 8x2 + 2x2 + 15x - 16x + 30 = (x3 + 2x2) - (8x2 + 16x) + (15x + 30) = x2(x + 2) - 8x(x + 2) + 15(x + 2) = (x + 2)(x2 - 8x + 15) = (x2 + 2)(x2 - 3x - 5x + 15) = (x + 2)[x(x - 3) - 5(x - 3)] = (x + 2)(x - 3)(x - 5) Từ đó, ta được: (x + 2)(x - 3)(x - 5) = suy x = - x = x = Ví dụ 6: Chứng minh rằng: (n4 - 6n3 + 27n2 - 54n + 32) ⋮ với n Giải Ta có: n4 - 6n3 + 27n2 - 54n + 32 = n4 - n3 - 5n3 + 5n2 + 22n2 - 22n - 32n + 32 Z = (n - 1)(n3 - 5n2 + 22n - 32) = (n - 1)( n3 - 2n2- 3n2 + 6n + 16n - 32) = (n - 1)(n - 2)(n2 - 3n + 16) Bởi (n - 1) và (n - 2) là hai số tự nhiên liên tiếp, đó tích chúng chia hết cho 2, Do đó: (n4 - 6n3 + 27n2 - 54n + 32) ⋮ với n Z e) Phân tích đa thức thành nhân tử cách thêm bớt cùng hạng tử i) Phương pháp: Để đặt vấn đề, ta hãy bắt đầu với việc khai triển đa thức: (x2 + 2x + 2)( x2 - 2x + 2) = (x2 + + 2x)(x2 + - 2x) x2 − x2 = (x2 + 2)2 - 4x2 = x4 + + 4⏟ ❑ = x4 + Thêm và bớt Khi đó với yêu cầu ngược lại “ Hãy phân tích đa thức x + thành nhân tử ” chúng ta cần thực theo chiều ngược lại các bước trên và đó có xuất hạng tử 4x2 và - 4x2 Cách làm đựơc gọi là phân tích đa thức thành nhân tử cách thêm bớt cùng hạng tử thích hợp ii) Ví dụ vận dụng: Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 + Giải Ta có: x4 + = x4 + + 2x2 - 2x2 = (x4 + + 2x2) - 2x2 = (x2 + 1)2 - ( √ x)2 = (x2 + - √ x)( (x2 + + √ x) = (x2 - √ x + 1)(x2 + √ x + 1) * Chú ý: Phương pháp thêm bớt cùng hạng tử mở rộng tự nhiên cần thêm, bớt nhiều hạng tử, để minh họa chúng ta xem xét ví dụ sau: Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x8 + x + Giải Ta có: x8 + x + = x8 + x4 - x4 + x2 - x2 + x + - + = (x8 + x4 + 1) - (x4 + x2 + 1) + (x2 + x + 1) (1) Trong đó: x4 + x2 + = x4 + 2x2 - x2 + = (x4 + 2x2 + 1) - x2 = (x2 + 1)2 - x2 = (x2 + - x)(x2 + + x) = (x2 - x + 1)(x2 + x + 1) (2) x8 + x4 + = x8 + 2x4 - x4 + = (x8 + 2x4 + 1) - x4 = (x4 + 1)2 - (x2)2 = (x4 + - x2)(x4 + + x2) = (x4 - x2 + 1)(x4 + x2 +1) = (x4 - x2 + 1)(x2 - x + 1)(x2 + x + 1) (3) Thay (2), (3) vào (1), ta được: x8 + x + = (x8 + x4 + 1) - (x4 + x2 + 1) + (x2 + x + 1) = (x4 - x2 + 1)(x2 - x + 1)(x2 + x + 1) - (x2 - x + 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[(x4 - x2 + 1) (x2 - x + 1) - (x2 - x + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x6 - x5 + x3 - x2 + 1) f) Phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phương pháp i) Phương pháp: Để đặt vấn đề, ta hãy bắt đầu với việc phân tích đa thức x2y - 4xy + 4y - 4y3 = y(x2 - 4x + - 4y2) Bước = y[(x2 - 4x + 4) - 4y2] Bước = y[(x - 2)2 - (2y)2] Bước = y(x - + 2y)(x - - 2y) Bước Như vậy, để phân tích đa thức trên thành nhân tử chúng ta cần thực qua bốn bước và đó: Bước 1: Chúng ta sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung Bước 2: Chúng ta sử dụng phương pháp nhóm nhiều hạng tử Bước 3: Chúng ta sử dụng phương pháp dùng đẳng thức Bước 4: Chúng ta sử dụng phương pháp dùng đẳng thức Điều đó có nghĩa là để phân tích đa thức thành nhân tử nhiều trường hợp sử dụng đơn phương pháp đã biết phương pháp 1, 2, 3, và phương pháp không thể thực Cách làm gọi là phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phương pháp ii) Ví dụ vận dụng Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 - x2 + 2x + Giải Ta có thể lựa chọn hai cách sau: Cách 1: Ta có: x4 - x2 + 2x + = x4 - 2x2 + x2 + 2x + + = (x4 - 2x2 + 1) + (x2 + 2x + 1) = (x2 - 1)2 + (x + 1)2 = (x + 1)2(x - 1)2 + (x + 1)2 = (x + 1)2[(x - 1)2 + 1] = (x + 1)2( x2 - 2x + 2) Cách 2: Ta có: x4 - x2 + 2x + = (x4 - x2) + (2x + 2) = x2(x2 - 1) + 2(x + 1) = x2(x - 1)(x + 1) + 2(x + 1) = (x + 1)[x2(x - 1) + 2] = (x + 1)(x3 - x2 + 2) = (x + 1)[(x3 + 1) - (x2 - 1)] = (x + 1)(x + 1)(x2 - x + - x + 1) = (x + 1)(x2 - 2x + 2) Yêu cầu: Nếu yêu cầu phát biểu dạng: “Tìm x, biết: x4 - x2 + 2x + = 0” em lựa chọn phương pháp nào? Vì sao? Và đó nghiệm bao nhiêu? Ví dụ 2: Tìm x, biết: x9 + x8 - x - Giải Ta có: x9 + x8 - x - = (x9 + x8) - (x + 1) = x8(x + 1) - (x + 1) = (x + 1)(x8 - 1) = (x + 1)(x4 - 1)(x4 + 1) = (x + 1)(x2 - 1)(x2 + 1)(x4 + 1) = (x + 1)(x - 1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1) Từ đó, ta được: (x + 1)(x - 1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1) = Suy x = - x = Ví dụ 3: a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = a4 + b4 + c4 - 2a2b2 - 2b2c2 - 2c2a2 b) Hãy xác định dấu A a, b, c là ba cạnh tam giác Giải a) Ta có: A = a4 + b4 + c4 - 2a2b2 - 2b2c2 - 2c2a2 = (a4 + 2a2b2 + b4) - (2b2c2 + 2c2a2) + c4 - 4a2b2 = (a2 + b2)2 - 2(a2 + b2)c2 + c4 - 4a2b2 = (a2 + b2 - c2)2 - 4a2b2 = (a2 + b2- c2- 2ab)(a2 + b2 - c2 + 2ab)= [(a2 + b2 -2ab) - c2][(a2 + b2 +2ab) - c2] = [(a - b)2 - c2][(a + b)2 - c2] = (a - b - c)(a - b + c)(a + b - c)(a + b + c) b) Khi a, b, c là ba cạnh tam giác, ta có: a - b - c < 0, a - b + c > 0, a + b - c > 0, a + b +c > Do đó A < * Nhận xét Chúng ta có thể đưa cách nhóm khác để phân tích A thành nhân tử và hãy so sánh với cách làm trên 1.3.2.4 Dạng 4: CHIA ĐA THỨC a) Quy tắc i) Mở đầu: Ta có: xm : xn = xm - n, ∀ x 0, m, n Am : An = Am - n, ∀ A ii) Chia đơn thức cho đơn thức N, m 0, m, n n N, m n Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B) ta thực sau: + Chia hệ số đơn thức A cho hệ số đơn thức B + Chia lũy thừa A cho lũy thừa cùng biến B + Nhân các kết tìm với iii) Chia đa thức cho đơn thức Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử A chia hết cho B) ta chia hạng tử A cho B cộng các kết với iv) Chia đa thức biến đã xếp Muốn chia đa thức A cho đa thức B (trường hợp A và B là các đa thức biến đã xếp) ta thực sau: - Bước 1: Đặt phép chia - Bước 2: Chia hạng tử bậc cao đa thức bị chia cho hạng tử bậc cao đa thức chia, giả sử nhận thương là C1 - Bước 3: Lấy C1 nhân với đa thức chia, kết nhận viết đa thức bị chia.Thực phép trừ hai đa thức này để nhận số dư - Bước 4: Đặt vai trò số dư là số bị chia, ta quay trở lại bước nhận đựơc số dư có bậc nhỏ số chia * Chú ý: Người ta chứng minh hai đa thức tùy ý A và B cùng biến (B 0), tồn hai đa thức Q và R cho: A = B.Q + R Với R = bậc R nhỏ bậc B Với R = ta nói A chia hết cho B Với R ta nói A không chia hết cho B (phép chia có dư ) b) Phương pháp giải toán Ví dụ 1: Thực phép chia: a) 10x3y2z : (- 4xy2z) b) (x2 + x + 1)8 : (x2 + x + 1)3 Giải 10 x y z =− x2 −4 x y z a) 10x3y2z : (- 4xy2z) = b) (x2 + x + 1)8 : (x2 + x + 1)3 = ( x 2+ x +1 ) 8− = (x2 + x + 1)5 * Chú ý: Khi đã thành thạo quy tắc chia đơn thức cho đơn thức chúng ta có thể bỏ số phép tính trung gian, chẳng hạn: xy z =− yz 2 −2 xy Ví dụ 2: Thực phép chia: (4x3 - 3x2y + 5xy2) : x Giải Ta có: (4x3 - 3x2y + 5xy2) : x = 12x2 - 9xy + 15y2 Ví dụ 3: Thực phép chia: [2(y - x)3 - 2(y - x)2 + (x - y)] : (y - x) Giải Ta viết lại: [2(y - x)3 - 2(y - x)2 - (y - x)] : (y - x) = 2(y - x)2 - 2(y - x) - Ví dụ 4: Thực phép chia: (x3 + 4x2 + 6x + 4) : (x + 2) Giải Ta có: _ x3 + 4x2 + 6x + x+2 x3 + 2x2 x2 + 2x + _ 2x2 + 6x + 2x2 + 4x _ 2x + 2x + Ví dụ 5: Thực phép chia: (2x3 - 3x2 - 3) : (x2 - 1) Giải Ta có: _ 2x3 - 3x2 2x3 _ -3 - 2x x2 - 2x - - 3x2 + 2x - - 3x2 +3 2x - Tới đây, phép chia không thể tiếp tục, vì bậc số dư thấp bậc số chia Vậy, ta nhận được: (2x3 - 3x2 - 3) = (x2 - 1)(2x + 3) + 2x - Ví dụ 6: Tìm thương Q và dư R cho A = B.Q + R, Biết: A = 4x3 - 3x2 + và B = x2 + 2x - Giải _ 4x - 3x +1 4x3 + 8x2 - 4x _ x2 + 2x - 4x - 11 -11x2 + 4x + -11x2 - 22x + 11 26x - 10 Vậy, ta được: Q = 4x - 11 và R = 36x - 10 Do đó: 4x3 - 3x2 + = (x2 + 2x - 1)(4x - 11) + 26x - 10 c) Sử dụng phép chia đa thức để giải toán Bài toán 1: Tính giá trị các biểu thức: P = x3n : x3n - , với n và x = - Giải , ta có: P = x3n : x3n - = x3n - (3n - 2) = x2 = Với n ( ) − = 64 Bài toán 2: Tìm x, biết: (2ax3 - 3ax2) : ax2 = 5, với a là số khác Giải Ta có: (2ax3 - 3ax2) : ax2 = 2x - Từ đó ta nhận được: 2x - = ⇔ x = Vậy x = thỏa mãn điều kiện đầu bài Bài toán 3: Tìm số tự nhiên n để phép chia sau là phép chia hết: a) x4 : x2n b) xny3 : x2yn+1 Giải a) Để phép chia x4 : x2n là phép chia hết điều kiện là: 2n ⇔ Vậy, điều kiện là n n N và n ( cụ thể ta nhận n = 0, n = 1, n = 2) b) Để phép chia xny3 : x2yn + là phép chia hết, điều kiện là: ¿ n≥ ≥n+ ¿{ ¿ ⇔ ¿ n ≥2 n ≤2 ¿{ ¿ ⇔ n=2 Vậy, điều kiện là n = Bài toán 4: Tìm m cho đa thức x4 - 3x3 - 6x2 - 7x + m Chia hết cho đa thức x2 - 2x + Giải Thực phép chia đa thức x4 - 3x3 - 6x2 - 7x + m cho đa thức x2 - 2x + 1, ta được: x4 - 3x3 - 6x2 - 7x + m = (x2 - 2x + 1)( x2 - x + 3) + m - Từ đó, để x4 - 3x3 - 6x2 - 7x + m chia hết cho x2 - 2x + điều kiện là: m-3=0 ⇔ m=3 Vậy m = thỏa mãn điều kiện đầu bài * Nhận xét Trong lời giải trên, việc tìm điều kiện tham số để đa thức A chia hết cho đa thức B thực theo các bước: Bước 1: Thực phép chia A cho B để có dư R Bước 2: Tìm điều kiện để R = Cách làm này đúng, có điều trường hợp riêng việc thực bước là phức tạp, và chúng ta hoàn toàn có thể khắc phục vấn đề này thông qua kết định lí: “Số dư phép chia đa thức f(x) cho x - a là f(a) ” Các ví dụ minh họa cho việc sử dụng định lí này Bài toán 5: Cho f(x) = 4x2 - 6x + m a) Không thực phép chia, hãy tìm phần dư phép chia f(x) cho x - b) Tìm m để f(x) chia hết cho x - Giải a) Ta có, phần dư phép chia f(x) cho x - là: f(x) = m + 18 b) Để f(x) chia hết cho x - điều kiện là: m + 18 = ⇔ m = - 18 Vậy, với m = - 18 thỏa mãn điều kiện đầu bài * Nhận xét Như vậy, thông qua ví dụ trên chúng ta đã bước đầu biết cách vận dụng định lí phần dư Ví dụ gồm câu, với mục đích + Câu a) giúp ôn tập lại việc sử dụng định lí để tìm phần dư + Câu b) minh họa việc vận dụng sáng tạo và người ta đặt tên cho phương pháp đây là “Phương pháp giá trị riêng” Bài toán 6: Tìm đa thức f(x), biết f(x) chia cho x + dư 9, f(x) chia cho x - dư và f(x) chia cho x2 + x - 12 có thương x2 + và có dư Giải Với giả thiết f(x) chia cho x2 + x - 12 và có thương x2 + và có dư, ta nhận được: f(x) = (x2 + x - 12)( x2 + 3) + ax + b Chọn các giá trị riêng x cho: x2 + x - 12 = ⇔ (x - 3)(x + 4) = ⇔ x = x = - Khi đó: - Với giả thiết f(x) chia cho x + dư 9, ta được: f(-4) = ⇔ - 4a + b = (2) - Với giả thiết f(x) chia cho x - dư 2, ta được: f(3) = ⇔ 3a + b = (3) Từ (2), (3) ta nhận đựơc a = - và b = Suy f(x) = (x2 + x - 12)( x2 + 3) - x + = x4 + x3 - 9x2 + 2x - 31 Bài toán 7: Cho f(x) = x3 - 4x2 + 5x - và g(x) = x - Biết f(x) chia hết cho g(x) Hãy tìm thương phép chia đó cách chia thông thường và phương pháp hệ số bất định Giải * Cách chia thông thường: x3 - 4x2 + 5x - x-1 x - x2 x2 - 3x + - 3x2 + 5x - - 3x2 + 3x 2x - 2x - Đặt phép chia ta tìm thương là: x2 - 3x + * Tìm thương phương pháp hệ số bất định: Vì f(x) ⋮ g(x) gọi đa thức thương là q(x) ta có: f(x) = g(x).q(x) Mà f(x) là đa thức bậc 3, g(x) là đa thức bậc nên q(x) là đa thức bậc có dạng tổng quát ax2 + bx + c Nên: x3 - 4x2 + 5x - = (x - 1)(ax2 + bx + c) = ax3 + bx2 + cx - ax2 - bx - c = ax3 + (b - a)x2 + (c - b)x - c ¿ a=1 b − a=− Suy c − b=5 −c=− ¿{{{ ¿ ⇒ ¿ a=1 b=−3 c=2 ¿{{ ¿ Vậy q(x) = x2 - 3x + 1.4 Thực trạng việc dạy và học phép nhân và phép chia đa thức thông qua dạy đại số số trường THCS tỉnh Sóc Trăng Qua thực tế giảng dạy và thông qua phiếu khảo sát giáo viên giảng dạy Toán trường và đề kiểm tra khả làm bài tập học sinh, trình độ nhận thức, vận dụng và đặc biệt là khả giải toán phép nhân và chia đa thức học sinh việc áp dụng chúng để giải số bài toán liên quan quá trình dạy học còn nhiều hạn chế,điều đó có thể nhiều nguyên nhân, song theo chúng tôi trước áp dụng đề này có thể số nguyên nhân chính sau đây: Một là: Khả phân tích, rèn kĩ giải toán số giáo viên còn nhiều hạn chế Hai là: Đối với dạng toán này giáo viên không khéo léo giảng dạy làm cho học sinh nhàm chán, thụ động và máy móc vận dụng Ba là: Giáo viên thiếu điều kiện thuận lợi, thiếu thời gian để rèn luyện và nâng cao kĩ tìm lời giải, chưa kích thích học sinh chủ động sáng tạo Bốn là: Giáo viên dạy theo phương pháp đã yêu cầu các em chuẩn bị bài trước nhà Vì không có đủ thời gian, lại thêm hỏng số kiến thức lớp bảng cửu chương chưa nắm vững Nên phần đông các em thực phép nhân và chia đa thức thường sai lầm số và dấu các phép tính Năm là: Có nhiều em phải phụ giúp gia đình buổi còn lại nên các em cảm thấy mệt mỏi chuẩn bị học bài, làm bài cho ngày học hôm sau, điều kiện học tập còn chưa tốt nên học phép nhân và chia đa thức các em tính toán kém Sáu là: Phân phối chương trình đôi lúc phân bổ quá dồn dập có tuần kiểm tra tiết liên tục môn đưa đến tình trạng các em học qua loa, học vẹt vì vừa phải học bài kiểm tra vừa phải chuẩn bị bài cho ngày học hôm sau nên các em không hệ thống hóa kiến thức, các quy tắc và tính chất HS không vận dụng Chương II CÁC BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH 2.1 Cơ sở xây dựng các biện pháp - Về động học tập: hoạt động học tập học sinh xem để thỏa mãn nhu cầu nhận thức - Về chu ý: để thu hút chú ý học sinh nên tổ chức các hoạt động học tập hợp lí, không để thời gian cho học sinh phân tán chú ý - Về ghi nhớ: ghi nhớ có ý nghĩa dần thay ghi nhớ máy móc - Về tư duy: tư trừu tượng khái quát ngày càng phát triển dù tư hình tượng -cụ thể giữ vai trò quan trọng - Về quan hệ giao tiếp: học sinh THCS có quan niệm mình là người lớn và có nhu cầu đối xử người lớn, học sinh thích khẳng định mình 2.2 Nguyên tắc xây dựng các biện pháp - Phải xuất phát từ sở bồi dưỡng lực tư duy, tương thích với nội dung chương trình và sách giáo khoa - Phải đảm bảo phù hợp với cấu trúc logic nội dụng, phương pháp, kết hợp với lý thuyết dạy học truyền thống và bồi dưỡng lực giải toán cho học sinh - Phải đảm bảo thống vai trò chủ đạo thầy và trò 2.3 Các biện pháp bồi dưỡng lực giải bài toán cho học sinh Qua thực tế dạy học giải bài tập học sinh cùng với hệ thống các dạng bài tập chương, ta có các biện pháp sau để bồi dưỡng lực giải toán cho học sinh 2.3.1 Biện pháp 1: Tập cho HS vận dụng các thao tác khái quát hóa, đặt biệt hóa, tương tự 2.3.1.1 Biện pháp Từ kiện cụ thể riêng biệt ta so sánh đối chiếu các kiện với để phát các kiện chung khái quát hóa thành kết luận tổng quát, khái quát hóa, đặt biệt hóa là hai quá trình đối lập thống với 2.3.1.2 Yêu cầu - Cần phát triển vấn đề cách toàn diện nhiều khía cạnh khác - Phát triển nội dung và kết các vấn đề để định hướng giải các vấn đề đặt biệt, tương tự, các vấn đề tổng quát - Sau giải xong phải rút kinh nghiệm, đề xuất vấn đề mới, thao tác tương tự thao tác đặt biệt hóa giúp học sinh mò mẫm đúng hướng 2.3.1.3 Bài tập vận dụng Bài toán 1: Thực các phép tính sau: a) (a - b)(a6 + a5b + a4b2 + a3b3 + a2b4 + ab5 + b6) b) (x + y)(x5 - x4y + x3y2 - x2y3 + xy4 - y5) c) (c - d)(cn - + cn - 2d + .+ cdn - + dn - 1) d) (x + y)(x2k - x2k - 1y + + x2y2k - - xy2k - + y2k) Giải a) Ta có: (a - b)(a6 + a5b + a4b2 + a3b3 + a2b4 + ab5 + b6) = a7 + a6b + a5b2 + a4b3 + a3b4 + a2b5 + ab6 - a6b - a5b2 - a4b3 - a3b4 - a2b5 - ab6 - b7 = a - b7 b) Ta thực tương tự bài toán trên, ta có: (x + y)(x5 - x4y + x3y2 - x2y3 + xy4 - y5) = = x6 - x5y + x4y2 - x3y3 + x2y4 - xy5 + x5y - x4y2 + x3y3 - x2y4 + xy5 - y6 = x6 - y6 c) Trường hợp tổng quát ta thực tương tự: (c - d)(cn - + cn - 2d + .+ cdn - + dn - 1) = cn + cn - 1d + .+ c2dn - + cdn - - cn - 1d - cn - 2d2 - .- cdn - - dn) = c n - dn d) (x + y)(x2k - x2k - 1y + + x2y2k - - xy2k - + y2k) = x2k + - x2k y + + x3y2k - - x2y2k - + xy2k + x2ky - x2k - y2 + + x2y2k - - xy2k + y2k + = x2k + + y2k + Bài toán 2: Chứng minh các đẳng thức sau: a) (a3b3 - 1)(a3b3 + 1) - a6b6 = - b) (a + b)(a4 - a3b + a2b2 - ab3 + b4) = a5 + b5 c) (x - y)(xn - + xn- 2y + + xyn - + yn - 1) = xn - yn d) (a - 1)(a9 + a8 + a7 + + a2 + a + 1) + = a10 Giải Khi gặp bài toán này ta thực phép tính vế trái (vế phức tạp) biến đổi để đẳng thức có kết vế phải (vế đơn giản) sau đó kết luận: “Vế trái vế phải” Đẳng thức chứng minh a) VT = (a3b3 - 1)(a3b3 + 1) - a6b6 = a6b6 + a3b3 - a3b3 - a6b6 - = - = VP b) VT = (a + b)(a4 - a3b + a2b2 - ab3 + b4) = a5- a4b + a3b2 - a2b3 + ab4 + a4b - a3b2 + a2b3 - ab4 + b5 = a5 + b5 = VP c) VT = (x - y)(xn - + xn - 2y + + xyn - + yn - 1) = xn + xn- 1y + + x2yn - + xyn - - xn- 1y - xn- 2y2 - - xyn - - yn = xn - yn = VP d) VT = (a - 1)(a9 + a8 + a7 + + a2 + a + 1) + = a10 + a9 + a8 + + a3 + a2 + a - a9 - a8- a7 - - a2 - a - + = a10 = VP Bài toán 3: Chứng minh với số nguyên n thì: a) n(n + 1)(2n + 1) ⋮ với n N b) n(n - 7) - (n + 2)(n - 3) ⋮ với n N c) (n + 3)(n - 3) - (n + 9)(n + 3) ⋮ 12 với n N d) (2n + 1)(2n + 1) + 4(2n + 1) + ٪ với số nguyên lẻ Giải a) Ta phân tích bài toán thành tổng các số hạng chia hết cho n(n + 1)(2n + 1) = n(n + 1)[(n + 2) + (n - 1)] = n(n + 1)(n + 2) + n(n + 1)(n - 1) Tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n(n + 1)(n + 2) ⋮ , n(n + 1)(n - 1) ⋮ [n(n + 1)(n + 2) + n(n + 1)(n - 1)] ⋮ với n N Vậy n(n + 1)(2n + 1) ⋮ đpcm * Chú ý: Trong n số nguyên liên tiếp có và số chia hết cho n b) Thực phép tính tương tự để có kết là: - 6n + = - 6(n - 1) ⋮ c) Thực phép tính tương tự để có kết quả: - 12(n + 3) ⋮ 12 d) Thực phép tính tương tự để có kết là: 4n2 + 12n + Vì n lẻ nên đặt n = 2k + thay vào kết trên tiếp tục biến đổi ta được: 16k2 + 40k + 21 (k N) 16k2 ⋮ ; 40k ⋮ ; 21 ٪ nên (16k2 + 40k + 21) ٪ Vậy (2n + 1)(2n + 1) + 4(2n + 1) + ٪ với số nguyên lẻ n Bài toán 4: Chứng minh rằng: a Tích số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho b Tích số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho Giải a Trong số nguyên liên tiếp có số chẵn  Số chẵn đó chia hết cho Vậy tích số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho Tích số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho nên tích số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho b Trong số nguyên liên tiếp có số chia hết cho  Tích số đó chia hết cho mà (1; 3) = Vậy tích số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho Bài toán 5: Chứng minh rằng: Tổng lập phương số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho Giải Gọi số nguyên liên tiếp là: n - 1, n, n+1 Ta có: A = (n - 1)3 + n3 + (n + 1)3 = 3n3 - 3n + 18n + 9n2 + = 3(n - 1)n (n+1) + 9(n2 + 1) + 18n Ta thấy (n - 1)n (n + 1)   3(n - 1)n (n + 1)  ¿ 9(n2+ 1) ⋮ mà 18 n⋮  A  (Đpcm) ¿{ ¿ Bài toán 6: Chứng minh rằng: n4 - 4n3 - 4n2 +16n  384 với n chẳn, n  Giải Vì n chẳn, n  ta đặt n = 2k, k  Ta có n4 - 4n3 - 4n2 + 16n = 16k4 - 32k3 - 16k2 + 32k = 16k(k3 - 2k2 - k + 2) = 16k(k - 2)(k - 1)(k + 1) Với k  nên k - 2, k - 1, k + 1, k là số tự nhiên liên tiếp nên số đó có số chia hết cho và số chia hết cho  (k - 2)(k - 1)(k + 1)k  Mà (k - 2)(k - 1)k  ; (3, 8) =  (k - 2)(k - 1)(k + 1)k  24  16(k - 2)(k - 1)(k + 1)k  (16, 24) Vậy n4 - 4n3 - 4n2 +16n  384 với n chẳn, n  Bài toán 7: Chứng minh a) 817 - 279 - 913 chia hết cho 405 b) 122n + + 11n + chia hết cho 133 Giải a) 817 - 279 - 913 = (34)7 - (33)9 - (32)13 = 328 - 327 - 326 = 326(32 - -1) = 326.5 Mà 405 = 34 Do đó 326.5 chia hết cho 34 hay (817 - 279 - 913 ) chia hết cho 405 b) 122n + + 11n + = 122n 12 + 11n.112 = 12.144n + 11n 121 = 12(144n - 11n) + 12.11n + 121.11n = 12(144n - 11n) + 11n(12 + 121) = 12.133n + 11n.133 Mỗi số hạng chia hết cho 133 Vậy (122n + + 11n + 2) chia hết cho 133 Bài toán 8: Chứng minh các đẳng thức sau: a) x3 + y3 + z3 = 3xyz + (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - xz - yz ) b) (x2 + x + 1)(x5- x4 + x3- x + 1) = x7 + x5 + Giải a) x3 + y3 + z3 = 3xyz + (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - xz - yz ) Ta có: (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - xz - yz ) = x(x2 + y2 + z2 - xy - xz - yz ) + y(x2 + y2 + z2 - xy - xz - yz ) + z(x + y2 + z2 - xy - xz - yz ) = x3 + xy2 + xz2 - x2y - x2z - xyz + x2y + y3 + yz2 - xy2 - xyz - y2z + x2 z + y2z + z3 - xyz - xz2 - yz2 = x3 + y3 + z3 - 3xyz Thay kết này vào vế phải đẳng thức ta vế trái b) (x2 + x + 1)(x5 - x4 + x3 - x + 1) = x7 + x5 + Thực phép tính vế trái: (x2 + x + 1)(x5 - x4 + x3 - x + 1) = x2(x5 - x4 + x3 - x + 1) + x(x5 - x4 + x3 - x + 1) + (x5 - x4 + x3 - x + 1) = x - x6 + x5 - x3 + x2 + x6 - x5 + x4 - x + x + x - x + x3 - x + = x7 + x5 + Bằng vế phải 2.3.2 Biện pháp 2: Tập cho học sinh nhìn vấn đề nhiều góc độ khác 2.3.2.1 Biện pháp - Giúp học sinh nhìn vấn đề nhiều góc độ khác nhau, mối quan hệ khác nhau, từ đó có cách giải phù hợp và sáng tạo - Nhìn vấn đề nhiều góc độ khác nhau, giải vấn nhiều khía cạnh, biện luận các khả có thể xảy 2.3.2.2 Yêu cầu Phát và biết phân tích vấn đề, từ đó làm xuất các trường hợp cần giải 2.3.2.3 Bài tập vận dụng Bài toán 1: Chứng minh các biểu thức sau đây luôn luôn nhận giá trị dương với giá trị biến x a) x2 - 8x + 25 b) x2 + x + c) (x - 5)(x - 7) + Giải Theo đề bài ta chứng minh biểu thức luôn nhận giá trị dương, thật ta biến đổi biểu thức thành bình phương nhị thức cộng với số dương Dựa vào bình phương nhị thức thì luôn luôn không âm với giá trị biến để lập luận: a) x2 - 8x + 25 = x2 - 8x + 16 + = (x - 4)2 + (x - 4)2 với x ; > Nên (x - 4)2 + > với x Tức là x2 - 8x + 25 luôn luôn nhận giá trị dương với x 2 ( ) b) Lập luận tương tự câu a: x + x + = x+ + 19 c) Lập luận tương tự câu a: (x - 5)(x - 7) + = (x - 6)2 + Tương tự ta có thể giải các bài toán sau: a) A = 4x2 - 4x + > với số thực x b) B = 5x - x2 - < với số thực x c) (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad - bc)2 với a, b, c, d là các số thực Bài toán 2: Cho a + b = S, a.b = P Hãy biểu diễn theo S và P các biểu thức a) A = a3 + b3 b) B = a2 + b2 c) C = a2 + ab + b2 Giải a) Ta thực phép biến đổi: A = a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) = (a + b)[(a + b)2 - 3ab] = S(S2 - 3P) Với các câu b và c biến đổi tương tự: b) B = a2 + b2 = S2 - 2P c) C = a2 + ab + b2 = S2 - P Bài toán 3: Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp biết tích chúng 120 Giải Gọi n là số tự nhiên thì tích số tự nhiên liên tiếp là: (n - 1)n(n + 1)(n + 2) = 120 ⇔ (n2 + n)(n - 1)(n + 2) = 120 ⇔ (n2 + n)(n2 + n - 2) = 120 ⇔ (n2 + n)(n2 + n) - 2(n2 + n) = 120 ⇔ (n2 + n)2 - 2(n2 + n) + = 121 ⇔ (n2 + n - 1)2 = 112 ⇔ n2 + n - = 11 ⇔ (n - 3)(n + 4) = Vì n ⇔ n2 + n - 12 = N nên n + > Suy có n - = ⇒ n=3 Vậy số tự nhiên liên tiếp phải tìm là 2, 3, 4, Thử lại = 120 Bài toán 4: a) Cho P = 30(319 + 318 + 318 + + 312 + 32) + Chứng minh P là số chính phương b) Cho n = 2k + (k N) Chứng minh n2 + 4n + không chia hết cho Giải a) Đặt a = 31 ⇒ 30 = a - và 32 = a + Ta có: P = (a - 1)(a9 + a8 + a7 + + a2 + a + 1) + = a10 - + = a10 = (a5)2 P = (31)2 b) n = 2k + k N Thì n2 + 4n + = (2k + 1)2 + 4(2k + 1) + = 4k2 + 4k + + 8k + + = 4k2 + 4k + 8k + 10 = 4k(k + 1) + 8(k + 1) + k và k + là hai số tự nhiên liên tiếp nên tích k(k + 1) ⋮ ⇒ 4k(k + 1) ⋮ ; 8(k + 1) ⋮ ; ٪ Vậy 4k(k + 1) + 8(k + 1) + ٪ Tức là n2 + 4n + không chia hết cho với n = 2k + (n là số lẻ) Bài toán 5: Một tam giác có độ dài các cạnh là a, b, c cho biết: a = x2 - y2 ; b = 2xy ; c = x2 + y2 a) Tam giác có ba cạnh là a, b, c trên là tam giác gì? b) Với x, y là hai số tự nhiên có x > y và xy = Tìm giá trị a, b, c cho a2 + b2 = c2 Giải a) Ta có: a = x2 - y2 ⇒ a2 = x4 - 2x2y2 + y4 b = 2xy ⇒ b2 = 4x2y2 c = x + y2 ⇒ c2 = x4 + 2x2y2 + y4 (1) a2 + b2 = x4 - 2x2y2 + y4 + 4x2y2 = x4 + x2y2 + y4 Từ (1) và (2) ⇒ a2 = b2 + c2 Vậy tam giác có ba cạnh a, b, c trên là tam giác vuông (theo định lý Pytago) b) Với x N, x > y và xy = Thì x = 6, y = x = 3, y = - Nếu x = 6, y = thì a = 36 - = 35 ⇒ a2 = 1225 b = 2.6 = 12 ⇒ b2 = 144 c = 36 + = 37 ⇒ c2 = 1369 ⇒ a2 + b2 = c2 - Nếu x = 3, y = thì a = - = ⇒ a2 = 25 b = 2.3.2 = 12 ⇒ b2 = 144 c = + = 13 ⇒ c2 = 169 (2) ⇒ a2 + b2 = c2 Vậy các giá trị a, b, c phải tìm là (35, 12, 37) (5, 12, 13) 2.3.3 Biện pháp 3: Tập cho học sinh biết vận dụng lý thuyết vào thực tiễn, hệ thống hóa kiến thức 2.3.3.1 Biện pháp - Học sinh có cái nhìn tổng thể các kiến thức chương, các dạng bài tập thường gặp - Ở dạng các em biết cách hình thành và hệ thống phương pháp giải đồng thời các em mở rộng các trường hợp mới, bài tập - Các em vận dụng lý thuyết vào giải các bài toán thực tế 2.3.3.2 Yêu cầu Giúp các em ôn tập, tổng kết hệ thống hóa, khái quát hóa kiến thức sau chương, phần, các em thấy mối quan hệ các phần đã học với Bên cạnh đó các em nắm kiến thức bản, ứng dụng vào thực tiễn thông qua các mô hình toán học 2.3.3.3 Bài tập vận dụng Bài toán 1: Chứng minh a) Với số n Z thì (2n + 1)2 - chia hết cho b) Hiệu bình phương hai số lẻ liên tiếp thì chia hết cho c) Hiệu bình phương hai số chẳn liên tiếp chia hết cho Giải Vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, đưa biểu thức dạng tích hai số nguyên liên tiếp để giải: a) (2n + 1)2 - = (2n + - 1)(2n + 1+ 1) = 2n (2n + 2) = 4n(n + 1) n và n + là hai số nguyên liên tiếp nên có số chia hết cho tức là 4n(n + 1) ⋮ Đặt n(n + 1) = 2k (k N) thì 4n(n + 1) = 4.2k = 8k ⋮ Vậy (2n + 1)2 - ⋮ b) Gọi 2k là số chẳn thì 2k + và 2k + là hai số lẻ liên tiếp Theo đề bài ta phải chứng minh: (2k + 3)2 - (2k + 1)2 ⋮ Phân tích đa thức trên ta đựơc: 4k2 + 12k + - 4k2 + 4k - = 16k - = 8(2k - 1) ⋮ ⇒ (2k + 3)2 - (2k + 1)2 ⋮ c) Cách làm tương tự câu b Bài toán 2: Chứng minh rằng: a) a2 + 4a + > với giá trị a b) x2 + y2 + z2 - 2xy + 2xz - 2yz + > với x, y, z c) (5a + 1)2 +(5a + 2)2 chia hết cho với a Giải Trước hết ta chứng minh với số thực A ta luôn có A2 Thật vậy, A = thì A2 = 0, A 0 thì A2 = A.A là tích hai số cùng dấu nên A2 > Bây ta biến đổi biểu thức thành dạng sau: a) a2 + 4a + = a2 + 4a + + = (a + 1)2 + (a + 1)2 với giá trị a và > ⇒ (a + 1)2 + > với giá trị a b) x2 + y2 + z2 - 2xy + 2xz - 2yz + = (x - y + z)2 + (x - y + z)2 với giá trị x, y, z và > ⇒ (x - y + z)2 + > với x, y, z c) Khai triển hai bình phương tổng thu gọn thành tổng có ba số hạng mà số chia hết cho 50a2 + 30a + = 5(10a2 + 3a + 1) ⋮ với a Bài toán 3: Chứng minh a) a2 + b2 + c2 + d2 + f2 b) x2 + y2 a(b + c + d + f) với a, b, c, d, f xy + x + y - với x , y c) (a2 + c2)(b2 + d2) - (ab + cd)2 với a, b, c, d Giải a) Chuyển biểu thức bên phải sang biểu thức bên trái, biến đổi thành tổng các bình phương nhị thức a2 + b2 + c2 + d2 + f2 ⇔ a(b + c + d + f) a2 + b2 + c2 + d2 + f2 - a(b + c + d + f) ⇔ ( a ⇔ ( a 2 a - ab + b ) + ( - b)2 + ( a (1) a - ac + c ) + ( - c)2 + ( a - d)2 + ( a 2 a - ad + d ) + ( - b)2 - af + f2) với a, b, c, d, f Bất đẳng thức này đúng Vậy (1) đã chứng minh b) Nhân hai vế với chuyển biểu thức bên phải sang bên trái, biến đổi thành tổng các bình phương x2 + y2 xy + x + y - ⇔ 2x2 + 2y2 (1) 2xy + 2x + 2y - ⇔ 2x2 + 2y2 - 2xy - 2x - 2y + ⇔ (x2 - 2xy + y2) + (x2 - 2x + 1) + (y2 - 2y + 1) ⇔ (x - y)2 +(x - )2 + (y - 1)2 0 với x, y Bất đẳng thức này đúng Vậy (1) đã chứng minh c) Tương tự thực phép tính để biến đổi vế trái thành bình phương hiệu (bc - ad)2 0 Bài toán 4: Chứng minh Cho hai số a, b: a a+b ≥ √ ab a) 0;b (bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm) b) (a + b)(ab + 1) c) a + b + Chứng minh rằng: 4ab √a + √b Giải a) Ta có: ( √ a - √ b )2 ⇒ a - √ ab + b ⇒ ( ⇒ √ a )2 - √ a √ b + ( √ b )2 a+b √ ab a+b ≥ √ ab ⇒ (1) a+b là trung bình cộng a và b; √ ab là trung bình nhân a và b với điều kiện a, b không âm b) Do a ,b nên ab Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho a + b và ab + ta có: a+b √ ab (1) ab + √ ab (2) Nhân hai bất đẳng thức (1) và (2) vế với vế ta được: (a + b)(ab + 1) √ ab √ ab (a + b)(ab + 1) 4ab đpcm c) Biến đổi vế trái: VT = a + b + = (a+ 14 )+(b+ 41 ) Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: a+ = √ a √ b =√ b √a (1) b+ ❑ (2) Cộng (1) Và (2) ta được: a + Hay a + b + ≥ +b+ 4 √ a+ √ b ❑ √ a+√ b Đpcm Bài toán 5: Chứng minh Nếu (a + b + c + d)(a - b - c + d) = (a - b + c - d)(a + b - c - d) thì a b = c d Giải Cách 1: Vận dụng các đẳng thức đáng nhớ, ta có: (a + b + c + d)(a - b - c + d) = (a - b + c - d)(a + b - c - d) = (a + b + c + d)(a - b - c + d) - (a - b + c - d)(a + b - c - d) = [ ( a+d )+(b+ c) ] [( a+d )−(b+ c)] - [( a− d )−(b − c) ] [( a− d )+(b − c)] = (a + d)2 - (b + c)2 + (b - c)2 - (a - d)2 = Suy 4ad = 4bc ⇔ ad = bc hay a b = c d Cách 2: Vận dụng tỉ lệ thức đã học lớp ta có: Theo tính chất A C = B D suy A+ B C+ D = A−B C− D Đặt A = a + b + c + d ; B = a + b - c - d C=a-b+c-d ; a+b+ c+ d a − b+c −d = a+b − c − d a − b −c +d D=a-b-c+d Ta a+b a − b = c+ d c −d hay a b c d  a b c d đó a c = b d Bài toán 6: Xác định các hệ số a, b cho đa thức sau viết dạng bình phương đa thức nào đó x4 + 2x3 + 3x2 + ax + b Giải Giả thiết rằng: x4 + 2x3 + 3x2 + ax + b = (x2 + cx + d)2 * Xét trường hợp: x4 + 2x3 + 3x2 + ax + b = (x2 + cx + d)2 = x4 + c2x2 + d2 + 2cx3 + 2dx2 + 2cdx = x4 + 2cx3 + x2(c2 + 2d) + 2cdx + d2 Vận dụng phương pháp đồng hệ số hai vế ta có: ¿ c=2 c + d=3 cd=a b=d ¿{{{ ¿ ¿ c=1 d =1 a=2 b=1 ¿{{{ ¿ ⇒ * Xét trường hợp: x4 + 2x3 + 3x2 + ax + b = (- x2 + cx + d)2 Ta được: a = ; b = ; c = d = - Vậy x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + = (x2 + x + 1)2 = (- x2 - x - 1)2 Bài toán 7: Cho a, b, c là độ dài cạnh tam giác vuông với a là cạnh huyền Chứng minh rằng: a3 > b3 + c3 Giải Vì a, b, c là độ dài cạnh tam giác vuông với a là cạnh huyền Nên a > b và a > c Theo định lí Py-ta-go, ta có: a2 = b2 + c2 Ta có nhận xét: a3 = a2.a = (b2 + c2).a = b2.a + c2.a > b2.b + c2.c = b3 + c3, đpcm * Nhận xét Ở đây, ta còn có kết tổng quát hơn: “Cho a, b, c là độ dài cạnh tam giác vuông với a là cạnh huyền, ta luôn có: an > bn + cn, với n N và n > 2” Bài toán 8: Tìm các chữ số a, b cho a 56 b  45 Giải Sử dụng các dấu hiệu chia hết cho và cho lớp 6: Ta thấy 45 = 5.9 mà (5 ; 9) = để a 56 b  45  a 56 b  và Xét a 56 b   b  {0 ; 5} Nếu b = ta có số a 56 b   a + + +   a + 11  a=7 Nếu b = ta có số a 56 b   a + + +   a + 16  a=2 Vậy: a = và b = ta có số 7560 a = và b = ta có số 2560 Bài toán 9: Cho số N = dcba chứng minh rằng: a N   (a + 2b)  b N  16  (a + 2b + 4c + 8d)  16 với b chẳn c N  29  (d + 2c + 9b + 27a)  29 Giải Sử dụng các dấu hiệu và các tính chất chia hết lớp 6, ta có: a N   ab   10b + a   8b + (2b + a)   a + 2b  b N 16  1000d + 100c + 10b + a 16  (992d + 96c + 8b) + (8d + 4c + 2b + a) 16  a + 2b + 4c + 8d 16 với b chẵn c Có 100(d + 3c + 9b + 27a) - dbca  29 mà (1000, 29) =1 dbca  29  (d + 3c + 9b + 27a)  29 Bài toán 10: Tìm tất các số có chữ số cho số gấp lần tích các chữ số số đó Giải Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 2, lớp 6: Gọi ab là số có chữ số Theo bài ta có: ab = 10a + b = 2ab (1) ab   b {0; 2; 4; 6; 8} Thay vào (1) a = 3; b = 2.3.4 Biện pháp 4: Chú trọng câu hỏi gợi ý hướng dẫn học sinh giải bài tập 2.3.4.1 Biện pháp Đặt vấn đề khuyến khích lớp tập trung suy nghĩ giải vấn đề gặp phải quá trình học Hướng dẫn và tập cho các em có thói quen động não với hệ thống câu hỏi dẫn dắt từ đơn giản đến phức tạp, tính chất câu hỏi phải rõ ràng, chính xác, đa dạng Những câu hỏi chính: + Hiểu bài toán: Cái gì chưa biết? Những gì đã cho? Dữ kiện bài toán là gì? Có thể thỏa mãn bài toán hay không? Diễn tả nội dung bài toán kí hiệu toán học, diễn tả bài toán trên hình vẽ + Đề chương trình giải: có biết bài toán tương tự bài toán này không? Có thể sử dụng nó để giải không? Có thể phát biểu bài toán dạng khác không? Thử giải bài toán gần giống nó? Có sử dụng hết giả thiết bài toán chưa? + Thực chương trình giải: Thử lại chi tiết chương trình? Có thấy chi tiết này là đúng không? Có thể chứng minh nó đúng không? Tổng quan các bước giải bài toán + Phân tích lời giải: Thử lại kết quả? Thử lại lập luận? Có cách giải nào khác không? Có thể tạo bài toán không? Kiểm tra phù hợp lời giải Đề xuất vấn đề có liên quan cách xét tương tự, khái quát hóa, đặt biệt hóa, lật ngược vấn đề 2.3.4.2 Yêu cầu Đặt câu hỏi là phương pháp quan trọng, giúp học sinh vận dụng các khái niệm, quy tắc, giúp giáo viên kiểm tra và sửa lỗi cho học sinh chỗ Đồng thời cung cấp cho giáo viên thông tin phản hồi từ phía học sinh 2.3.4.3 Bài tập vận dụng Bài toán 1: Cho A = 6(x2 + y2 + z2 - xy - yz - xz) B = (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 Hãy chứng minh A = B thì x = y = z Huớng dẫn giải a) Đây là dạng toán nào? Cách giải sao? - Đây là dạng toán chứng minh đẳng thức - Cách giải: để chứng minh đẳng thức ta có thể biến đổi từ vế này đến vế biến đổi riêng vế so sánh kết hai vế b) Ta biến đổi vế trái A = 6(x2 + y2 + z2 - xy - yz - xz) = 3(2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2xz) = 3(x2 - 2xy + y2) + (x2 - 2xz + z2) + (y2 - 2yz + z2) A = 3[(x - y)2 + (x - z)2 + (y - z)2] c) Nếu A = B thì: 3[(x - y)2 + (x - z)2 + (y - z)2] = (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 Suy ra: (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 = ⇒ x-y = y-z = z-x=0 Tức là x = y = z Bài toán 2: Chứng minh với số tự nhiên a khác thì: A = (a + 1)(a + 3)(a + 5)(a + 7) + 15 chia hết cho a + Hướng dẫn giải a) Đây là bài toán chứng minh chia hết, để giải bài toán trước tiên ta phải làm gì? Ta phân tích và biến đổi A dạng sau: A = (a + 1)(a + 3)(a + 5)(a + 7) + 15 = (a + 1)(a + 7)(a + 3)(a + 5) + 15 = (a2 + 8a + 7)(a2 + 8a + 15) + 15 = (a2 + 8a + 7)(a2 + 8a + + 8) + 15 b) Ta nhận xét các thừa số biểu thức là các đa thức bậc hai, ta giữ nguyên thì khó nhìn nên ta đặt a2 + 8a + = x, ta có: A = x(x + 8) + 15 = x2 + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5) (1) Thay x = a2 + 8a + vào (1) A = (a2 + 8a + 10)( a2 + 8a + 12) = (a2 + 8a + 10)( a2 + 2a + 6a + 12) = (a2 + 8a + 10)[a(a + 2) + 6(a + 2)] = (a2 + 8a + 10)(a + 2)(a + 6) ⋮ (a + 6) Vậy A ⋮ (a + 6) với số a N * Chú ý: Để giải các bài toán chia hết, ta sử dụng các phương pháp sau đây: Phương pháp 1: - Sử dụng dấu hiệu chia hết Phương pháp 2: - Sử dụng tính chất chia hết Trong n số nguyên liên tiếp có và số chia hết cho n Phương pháp 3: Sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử Phương pháp 4: Biến đổi biểu thức cần chứng minh dạng tổng Bài toán 3: Hãy tìm các số hạng A và B đa thức sau để phép chia sau đây là phép chia hết (9x3 + A + B + 1) : (3x2 + x + 1) Hướng dẫn giải a) Yêu cầu bài toán là gì? Nó tương tự dạng toán nào? Bài toán yêu cầu tìm các số hạng A và B để phép chia đã cho là phép chia hết Đây là dạng toán chứng minh chia hết b) Ta có: Để tìm các số hạng A, B còn thiếu đa thức, ta thực phép chia hai đa thức: _ 9x3 + A + B + 3x2 + x + 9x3 + 3x2 + 3x 3x (A - 3x2) + (B - 3x) + c) Nếu phép chia đã cho là phép chia hết thì (A - 3x 2) + (B - 3x) + phải chia hết cho 3x2 + x + Khi đó số hạng thứ hai thương là Suy ra: (A - 3x2) + (B - 3x) + = 3x2 + x + ⇒ ⇒ A - 3x2 = 3x2 B - 3x = x ⇒ A = 6x2 B = 4x Vậy đa thức bị chia là: 9x3 + 6x2 + 4x + Bài toán 4: Tìm các số tự nhiên n cho n3 + 3n2 + chia hết cho n + Hướng dẫn giải a) Đề bài yêu cầu ta tìm gì? Thực cách giải nào? Đề bài yêu cầu tìm số tự nhiên n để phép chia là phép chia hết Đây là dạng toán chứng minh chia hết, sử dụng các dấu hiệu chia hết lớp b) Ta tiến hành thực phép chia sau n3 + 3n2 _ +4 n+2 n3 + 2n2 n2 _ n2 + n - +4 n2 + 2n - 2n + _ - 2n - Vậy n3 + 3n2 + = (n + 2)(n2 + n - 2) + Muốn n3 + 3n2 + chia hết cho n + thì ⋮ (n + 2) Vì n là số tự nhiên nên n + 2 n + phải là ước lớn U(8) là : ; và Nếu n + = ⇒ n = n+2=4 ⇒ n=2 n+2=8 ⇒ n=6 Vậy với n = 0, n = n = thì n3 + 3n2 + chia hết cho n + Bài toán 5: Chứng minh với số thực a, b, c luôn có: a2 + b2 + c2 ab + bc + ca Hướng dẫn giải a) Đây là bài toán chứng minh bất đẳng thức A > B, ta thực cách làm nào? Cách giải: + Phương pháp - Hướng 1: Dùng định nghĩa chứng minh A - B > - Hướng2: Thực các phép biến đổi tương đương: ( A > B ⇔ C> D⇔ ⇔ E> F ) để biến đổi bất đẳng thức ban đầu bất đẳng thức đúng, biến đổi và đưa đến bất đẳng thức cần chứng minh - Hướng 3: Xuất phát từ bất đẳng thức đúng + Phương pháp 2: Sử dụng tính chất bắc cầu: A > C và C > B + Phương pháp 3: Phương pháp chứng minh phản chứng, áp dụng với các bài toán yêu cầu chứng minh ít bất đẳng thức các bất đẳng thức đã cho là đúng sai + Phương pháp 4: Phương pháp hình học, việc sử dụng tính chất: “ Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác thì: a + b > c và c” b) Ta có ba cách trình bày sau: Cách 1: Ta biến đổi bất đẳng thức sau: a2 + b2 + c2 - ( ab + bc + ca) ⇔ ⇔ ( a2 b2 b2 c2 c2 a2 − ab+ + − bc+ + − ca+ ≥0 2 2 2 ( a b b c c a − + − + − ≥ luôn đúng √2 √2 √2 √2 √2 √2 )( ) ( )( ) ( ) ) Cách 2: Ta biến đổi bất đẳng thức sau: 2(a2 + b2 + c2) 2(ab + bc + ca) ⇔ (a2 + b2 - 2ab) + (b2 + c2 - 2bc) + (c2 + a2 - 2ca) ⇔ (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 Cách 3: Ta luôn có: luôn đúng |a − b| < a −b ¿ ≥ ¿ b − c ¿2 ≥ ¿ c −a ¿ ≥ ¿ ¿{{ ¿ ¿ ¿ a +b − 2ab ≥ b2 +c −2 bc ≥ c2 + a2 − 2ca ≥ ¿{{ ¿ ⇔ (I) Cộng theo vế các bất phương trình hệ (I), ta được: 2(a2 + b2 + c2) - 2(ab + bc + ca) ⇔ a2 + b2 + c2 - ( ab + bc + ca) Bài toán 6: Chứng minh với n N* luôn có: 1 + + + <1 2 n ( n+1 ) Hướng dẫn giải a) Đây là dạng toán nào? - Đây là dạng toán chứng minh bất đẳng thức luôn đúng b) Sử dụng tính chất nào để giải? Theo tính chất đã học lớp 6, ta nhận xét rằng: c) Do đó: VT = = 1− 1 = − k k +1 k ( k +1 ) 1 1 1 1 + + + = − + − + + − 2 2 n n+1 n ( n+1 ) n+ 1< ( )( ) ( ) Đpcm 2.3.5 Biện pháp 5: Tập cho học sinh biết giải vấn đề nhiều cách khác và lựa chọn cách giải tối ưu 2.3.5.1 Biện pháp - Những bài toán nhiều có cách giải dài dòng và phức tạp mang tính chất mò mẫm khó hiểu thì ta có thể nghỉ có cách giải khác sáng sủa và cho kết nhanh chóng - Đa số các em thường không chấp nhận cách giải quen thuộc nhất, luôn tìm tòi và đề xuất nhiều cách giải khác cho bài toán, giáo viên có nhiệm vụ định hướng cho các em, đặt biệt là lời giải tối ưu và sáng tạo 2.3.5.2 Yêu cầu Học sinh phải biết hệ thống hóa kiến thức, vận dụng thành thạo các kĩ năng, thủ thuật cách chắn, mềm dẽo, linh hoạt, tâp hợp nhiều cách giải và tìm cách giải tối ưu nhất, từ đó phát vấn đề mới, rèn luyện tính chuyên cần, yêu thích môn toán, rèn luyện tính nhuần nhuyễn, linh hoạt tư 2.3.5.3 Bài tập vận dụng Bài toán 1: Cho đa thức f(x) = x3 - 2x2 + ax + b Tìm a và b biết f(x) chia (x - 1) dư - 2, chia cho x - thì dư Giải Cách 1: Chia f(x) cho x - dư là: b + a - Chia f(x) cho x - dư là: b + 2a ¿ b+ a− 1=− b+2 a=4 Đặt: ¿{ ¿ ⇒ b=-a-1 (1) b = - 2a + (2) Từ (1) và (2) ⇒ - a - = -2a + ⇔ - a + 2a = + ⇔ a = và b = - - = Vậy f(x) = x3 - 2x2 + 5x - Cách 2: Áp dụng định lý Bezout f(x) chia x - dư - tức là: f(1) = - ⇒ 13 - 2.12 + a.1 + b = -2 -1+a+b=-2 ⇒ b+a-1=-2 f(x) chia x - dư - tức là: f(2) = ⇒ 23 - 2.22 + 2a + b = ⇒ b + 2a = Đến đây tiếp tục giải cách để tìm a và b * Nhận xét Cách là cách làm này đúng, có điều trường hợp riêng việc thực là phức tạp đòi hỏi HS phải có linh hoạt Ở cách là cách giải ngắn gọn đòi hỏi HS phải biết vận dụng định lí Bezout Bài toán 2: Tìm ba số tự nhiên chẳn liên tiếp, biết tích hai số sau lớn tích hai số đầu là 192 Giải Cách 1: Theo đề bài ta có hai cách giải: Gọi số tự nhiên chẳn là n thì số chẳn trước nó là n - và số tự nhiện chẳn sau nó là n + 2.Theo đề bài ta có: n(n + 2) - (n - 2)n = 192 ⇒ n2 + 2n - n2 + 2n = 192 ⇒ 4n = 192 ⇒ n = 192 : = 48 Vậy ta ba số tự nhiện chẳn liên tiếp thỏa mãn đầu bài là: 46 , 48, 50 Cách 2: Gọi 2x, 2x + 2, 2x + là ba số tự nhiên chẳn liên tiếp (x Theo đề bài ta có: (2x + 2)(2x + 4) = 2x(2x + 2) + 192 ⇔ 4x2 +8x + 4x +8 = 4x2 +4x +192 ⇔ 8x = 184 ⇔ x = 23 Vậy ta ba số đã cho thỏa mãn đầu bài là :46 , 48, 50 N) * Nhận xét Hai cách giải trên lập luận chặc chẽ và việc tính toán đơn giản hơn, đòi hỏi HS phải biết cách gọi để thỏa mãn điều kiện đề bài Bài toán 3: Xác định các số a và b cho: a) x4 + ax2 + b chia hết cho x2 - x + b) ax3 + bx2 + 5x - 50 chia hết cho x2 + 3x - 10 c) x3 + ax + b chia hết cho x + x - Giải a) Cách 1: Làm phép chia ta thương x2 +x +a, dư: (a -1)x + ( b - a) Muốn chia hết thì đa thức dư phải đồng 0: hay (a -1)x + ( b - a) = Do đó ta có: a = 1, b = a = Vậy a = b = Cách 2: Thương phép chia có dạng x2 + cx + b nhân nó với x2 - x + đồng với x4 + ax2 + b Ta được: ¿ c − 1=0 b − c+1=a c −b=0 ¿{{ ¿ suy a = b = c = b) Cách 1: Đặt phép chia tương tự câu a Cách 2: Đồng (x2 + 3x - 10)(ax + 5) với đa thức bị chia, ta được: ¿ a+5=b 15 −10 a=5 ¿{ ¿ ⇒ ¿ a=1 b=8 ¿{ ¿ Cách 3: Xét ax3 + bx2 + 5x - 50 (x + 5)(x - 2).Q(x) Lần lượt cho x = - và x = 2, ta đựơc: ¿ −125 a+25 b=75 a+4 b=40 ¿{ ¿ ⇔ ¿ −5 a+ b=3 a+b=10 ¿{ ¿ ⇔ ¿ a=1 b=8 ¿{ ¿ c) Thực phép chia: Cách 1: _ x3 _ x + x2 _ + ax + b x + x -2 - 2x x-1 -x2 + (a +2)x + b -x2 - x+ (a + 3)x + (b - 2) Để chia hết, đa thức dư phải với giá trị x nên: ¿ a+3=0 b −2=0 ¿{ ¿ ⇔ ¿ a=−3 b=2 ¿{ ¿ Vậy với a = -3 và b = thì x3 + ax + b chia hết cho x + x - Cách 2: Phương pháp hệ số bất định Đa thức bị chia có bậc 3, đa thức chia có bậc nên thương là nhị thức bậc nhất, hạng tử cao là x3 : x2 = x Gọi thương phép chia là x + c, ta có: x3 + ax + b = ( x + x - 2)(x + c) x3 + ax + b = x3 + (c + 1)x2 + (c - 2)x - 2c ¿ c+1=0 c − 2=a −2 c=b ¿{{ ¿ Hai đa thức trên nên: ⇔ ¿ c =−1 a=−3 b=2 ¿{ { ¿ Vậy a = - , b = thì x3 + ax + b chia hết cho x + x - thương là x - Cách 3: Phương pháp giá trị riêng: Gọi thương phep chia x3 + ax + b cho x + x - là Q(x), ta có: x3 + ax + b = (x + x - 2).Q(x) Vì đẳng thức đúng ∀ x nên cho x = và x = - 2, ta đựơc: ¿ 1+ a+b=0 −8 − 2a+ b=0 ¿{ ¿ ⇔ ¿ a+b=− −2 a+b=8 ¿{ ¿ ⇔ ¿ a=−3 b=2 ¿{ ¿ Vậy a = - , b = thì x3 + ax + b chia hết cho x + x - thương là x - * Nhận xét Cách đặt phép chia thông thường nhiều đa thức có bậc lớn và có nhiều tham số đó phép chia phức tạp Tuy nhiên cách dùng phương pháp hệ số bất định thì việc tính toán có nhiều thuận lợi HS dễ nhầm lẫn việc chọn thương phép chia để đồng Ở cách là việc vận dụng sáng tạo và người ta đặt tên cho phương pháp đây là “Phương pháp giá trị riêng”.Đây là cách giải tối ưu Bài toán 4: Phân tích thành thừa số: A = ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a) Giải Cách 1: a) Phương pháp xét giá trị riêng: Nếu ta thay a b thì : A = + bc(b - c) + ca(c - a) = nên A chia hết cho (a - b) Do vai trò a, b, c đa thức nên A chia hết cho = (a - b)(b - c)(c - a) Trong phép chia đó, đa thức bị chia A có bậc tập hợp các biến, đa thức chia (a - b)(b - c)(c - a) Có bậc ba tập hợp các biến nên thương là số k Trong đẳng thức: ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a) = k(a - b)(b - c)(c - a) Ta cho các biến nhận giá trị riêng a = 2, b = 1, c = 0, ta được: 2.1.1 + + = k.1.1.(-2) , đó -2k = ⇒ k = - Vậy A = ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a) = (a - b) (b - c) (c - a) Cách 2: A = ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a) = ab(a - b) + b2c - bc2 + ac2- a2c = ab(a - b) - bc2 + ac2 - a2c + b2c = ab(a - b) + c2(a - b)- c(a + b)(a - b) = (a - b) [ a(b− c )− c (b −c ) ] = (a - b) (b - c)(c - a) Cách 3: Bằng cách thêm bớt các hạng tử để làm xuất nhân tử chung, ta có lời giải sau: Tách b - c = - [ (a− b)+( c − a) ] A = ab(a - b) - bc [ ( a− b)+(c − a) ] + ca(c - a) = b(a - b)(a - c) + c(c - a)(a - b) = (a - b)(a - c)(b - c) * Nhận xét Đối với bài toán trên việc xét giá trị riêng và thực tính toán cách phức tạp HS dễ nhằm lẫn tính toán Ở cách nhận thấy việc tính toán đặt nhân tử chung gần gũi đưa tích các thừa số cách giải ngắn gọn cách và Nên cách là cách giải nhanh và chính xác Bài toán 5: Chứng minh với x, y nguyên thì: A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y(x + 4y) + y4 là số chính phương Giải Cách 1: Từ A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y(x + 4y) + y4 A = [ (x + y )( x+ y ) ] [( x +3 y )( x+ y )] + y4 A = (x2 + 3xy + 2y2).(x2 + 7xy + 12y2) + y4 Sau khai triển và rút gọn, ta đựơc: A = x4 + 10x3y + 35x2y2 + 50xy3 + 25y4 A = (x4 + 10x3y +25x2y2 ) + (10x2y2 + 50xy3) + 25y4 A = (x2 + 5xy)2 + 2.5y2.(x2 + 5xy) + 25y4 A = ((x2 + 5xy) + 5y2)2 = (x2 + 5y2 + 5xy)2 Cách 2: A = [ ( x + y )(x+ y ) ] [ ( x +2 y)(x +3 y ) ] + y4 A = (x2 + 5xy + 4y2).(x2 + 5xy + 6y2) + y4 Ta nhận xét, ta nhân vào thì phức tạp tính toán, vì thừa số (x2 + 5xy + 6y2) = (x2 + 5xy + 4y2 + 2y2) , vì ta đặt t = x2 + 5xy + 4y2 Vậy A = (t + y2)2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 * Nhận xét Cách là cách giải trực tiếp phức tạp tính toán HS khó nhìn đẳng thức vì bước thứ đòi hỏi HS phải linh hoạt Ở cách đặt ẩn phụ là cách giải hay thường áp dụng cho bài toán phức tạp nên bài toán trên cách giải là cách giải ngắn gọn Bài toán 6: Cho hai đa thức: A = 98m + m3 - 6m5 + m6 - 26 + 10m4 B = - m + m3 a) Chứng minh với giá trị nguyên m thì thương phép chia A cho B là bội số b) Xác định giá trị nguyên m để đa thức dư Giải Cách 1: a)Thực phép chia A cho B ta thương là: m3 - 6m2 + 11m - và dư là 17m2 + 81m - 20 Có m3 - 6m2 + 11m - = m3 - m2 - 5m2 + 5m + 6m - = m2(m - 1) - 5m(m - 1) + 6(m - 1) = (m - 1)(m2 - 5m + ) = (m - 1)[(m2 - 2m) - (3m - )] = (m - 1) [ m(m− 2)−3( m−2) ] = (m - 1)(m - 2)(m - 3) Kết là tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho Vậy thương phép chia là bội Cách 2: Ta có thể phân tích bài toán tương tự bài toán biện pháp chứng minh sau: m3 - 6m2 + 11m - = m3 - m - 6m2 + 12m - = m(m2 - 1) - 6m2 + 12m - = (m - 1)m(m + 1) - 6(m2 -2m + 1) = (m - 1)m(m + 1) - 6(m - 1)2 Từ đó ta thấy biểu thức đã cho chia hết cho b) Giải phuơng trình sau: 17m2 + 81m - 20 = = 17m2 - 4m + 85m - 20 = m(17m - 4) + 5(17m - 4) = = (17m - 4)(m + 5) = Vì m Z nên m = - dư * Nhận xét Ở hai cách trên sử dụng phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp tách hạng tử Nên nhìn chung việc biến đổi đưa bài toán có cách giải hai cách có mức độ khó 2.3.6 Biện pháp 6: Quan tâm sai lầm học sinh và cách khắc phục 2.3.6.1 Biện pháp - Trong dạy học toán học sinh thường mắc sai lầm lược, cách thức, lôgíc, vận dụng định lí, định nghĩa, khái niệm, công thức - Ở dạng sai lầm có hướng khắc phục Nhìn chung có huớng chính: cho các em nắm vững kiến thức logíc, cho các em nắm vững kiến thức cở bản, cho các em nắm vững số phương pháp giải các dạng toán 2.3.6.2 Yêu cầu - Điều quan trọng vấn đề là các em phải tự mình tìm thấy sai lầm và tự mình phải khắc phục, các em phải biết tâm đắc tự mình phấn đấu vươn lên thì độ bền và độ chắn cao, từ đó các em thấy mình linh hoạt và sáng tạo học tập tự đánh giá thân và đánh giá các bạn - Ở học sinh THCS thường thì độ chính các em chưa cao nên sữa chửa sai lầm ta không nêu tên cụ thể em nào phải giáo dục uốn nắn sai lầm đó đúng lúc 2.3.6.3 Bài tập vận dụng Bài toán 1: Khi giải bài tập: “Xét xem đa thức A = 5x - 4x3 + 6x2y có chia hết cho đơn thức B =2x2 hay không ”, Hà trả lời: “A không chia hết cho B vì không chia hết cho 2”, Quang trả lời: “A chia hết cho B vì hạng tử A chia hết cho B” Cho biết ý kiến em lời giải hai bạn Giải Hà trả lời sai vì : là phần hệ số, đó phần biến thì hạng tử A chia hết cho đơn thức B Vậy Quang nói đúng * Nhận xét Sai lầm Hà đây là đã chia phần hệ số với nhau, phần hệ số không chia hết thì kết luận là sai Hà chưa nắm quy tắc chia đa thức cho đơn thức Cần nhấn mạnh lại đa thức chia hết cho đơn thức hạng tử đa thức chia hết cho đơn thức chia Bài toán 2: Khi thực phép chia (4x - 8x2y2 + 12x5y) : (- 4x2), bạn Hoa viết: (4x4 - 8x2y2 + 12x5y) = - 4x2(- x2 + 2y2 - 3x3y) nên (4x4 - 8x2y2 + 12x5y) : (- 4x2) = - x2 + 2y2 - 3x3y Em hãy nhận xét xem bạn Hoa giải đúng hay sai? Giải Bạn Hoa giải đúng vì ngoài qui tắc ta có thể phân tích đa thức thành nhân tử, mà có chứa nhân tử là đơn thức thực tương tự chia tích cho số * Nhận xét Cần nhấn mạnh cho các em trước thực phép chia ngoài áp dụng quy tắc ta có thể phân tích đa thức thành nhân tử mà có chứa nhân tử là đa thức chia, lời giải theo cách này gọn Bài toán 3: Đức viết: x2 - 10x + 25 = (x - 5)2 Thọ viết: x2 - 10x + 25 = (5 - x)2 Hương nêu nhận xét: Thọ viết sai, Đức viết đúng Sơn nói: Qua ví dụ trên mình rút đẳng thức đẹp! Hãy nêu ý kiến em Sơn rút đẳng thức nào? Giải Hai bạn đúng vì x2 - 10x + 25 = 25 - 10x + x2 ⇔ (x - 5)2 = (5 - x)2 Từ đó ta rút nhận xét: (A - B)2 = (B - A)2 * Nhận xét Có thể thấy nhiều em học sinh thực luôn mắc phải lỗi đổi dấu: (1 - x)2 = - (x - 1)2 Hãy nhớ rằng: A2n = (- A)2n A2n+1 = - (-A)2n+1 với n N Bài toán 4: Khi thảo luận nhóm, bạn đề bài: Hãy phân tích đa thức x4 - 9x3 + x2 - 9x thành nhân tử Bạn Thái làm sau: x4 - 9x3 + x2 - 9x = x(x3 - 9x2 + x - 9) Bạn Hà làm sau: x4 - 9x3 + x2 - 9x = (x4 - 9x3) + (x2 - 9x) = x3(x - 9) + x(x - 9) = (x - 9)(x3 + x) Bạn An làm sau: x4 - 9x3 + x2 - 9x = (x4 + x2) - (9x3 + 9x) = x2(x2 + 1) - 9x(x2 + 1) = (x2 + 1)(x2 - 9x) = x(x - 9)(x2 + 1) Hãy nêu ý kiến em lời giải các bạn Giải Bạn Thái và bạn Hà giải sai vì hai bạn phân tích chưa triệt để, mặc dù hai bạn có hướng biến đổi đúng, có bạn An là giải đúng * Nhận xét Việc phân tích đa thức thành nhân tử (hay thành thừa số) là phép biến đổi đa thức đó từ dạng tổng các đơn thức thành tích đơn thức với đa thức hay tích hai hay nhiều đa thức, đó việc phân tích phải triệt để, vận dụng linh hoạt các tính chất giao hoán, kết hợp, tính chất phân phối phép nhân, phép cộng và các đẳng thức đáng nhớ, đôi phải dùng phép chia hai đa thức Bài toán 5: Điền vào dấu để biểu thức trở thành bình phương tổng: 4x2y2 + + Giải Ta có các cách suy luận sau: Cách 1: Coi 4x2y2 và là bình phương số thứ và số thứ hai, ta thấy: 4x2y2 = (2xy)2 và = 32 Do đó ta điền vào dấu hai lần tích 2xy và Vậy 4x2y2 + + = (2xy)2 + 2.2xy.3 + 32 = (2xy + 3)2 Trong cách điền này, ta thay 12xy Cách 2: Xét là bình phương 3, còn 4x2y2 là hai lần tích số thứ là 2 2 2 x y với số thứ hai là Khi đó: 4x2y2 = x y 3 Vậy: 4x2y2 + + = 2 2 2 22 2 x y +( x y ) + 32 = ( x y + 3)2 3 Trong cách điền này, ta thay 4 xy Cách 3: Xét 4x2y2 là bình phương 2xy, còn là hai lần tích số thứ là 2xy với số thứ hai là Khi đó: = 2.2xy xy Vậy: 4x2y2 + + = (2xy)2 + xy ( ) + 2.2xy xy = xy ( xy + xy ) 81 16 x y Trong cách điền này, ta thay * Nhận xét Các đẳng thức luôn luôn đúng và sử dụng nhiều Bài toán 6: Hãy điền vào chổ trống để hằn đẳng thức sau đúng: a) + 6xy + 9y2 = (x + )2 b) x2 + + 4y2 = ( + )2 Giải a) Ta có: + 6xy + y¿ ¿ x + ¿ x + ¿ ⇔ +2 x y +¿ ⏟ SuyraA= x y =¿ ¿ ⇒ x2 + 6xy + 9y2 = x+ y ¿ ¿ y ¿2 ¿ .+ ¿ b) Ta có: x2 + + .+ ¿2 ⇔ x 2+ .+ ¿ y2 =¿ ¿ A=x ⇒ x2 + 4xy + 4y2 = x+ y ¿ ¿ * Nhận xét Học sinh thường nhầm lẫn và không biết đưa dạng đẳng, cần nhấn mạnh đẳng thức là công cụ hữu ích giúp ta việc tính toán, đơn giản biểu thức Bài toán 7: Tìm đa thức dư phép chia sau (x1992 + x198 + x19 + x + 1) : ( x2 - 1) Giải Trong phép chia đa thức, bậc đa thức dư phải nhỏ bậc đa thức chia Ở đây đa thức chia là đa thức bậc nên đa thức dư có thể có bậc cao là (có dạng ax +b) Gọi thương đa thức là Q(x) thì ta có đẳng thức: (x1992 + x198 + x19 + x + 1) = ( x2 - 1)Q(x) + (ax + b) (*) Để tìm a và b đa thức dư ax + b ta cần: Cho x = ta đựơc = a + b (1) Cho x = -1 ta = -a + b (2) Suy a = và b = Vậy đa thức dư phải tìm là 2x + * Nhận xét Đây là bài toán tìm đa thức dư, giả sử cho đa thức A và B đó B  ta luôn tìm hai đa thức Q và R cho: A = BQ + R Với  bậc R  bậc B R Trong đó: A là số bị chia, B là số chia, Q là thương, R là số dư Bài toán 8: Chứng minh rằng: (a + b + c)3 = a3 +b3 +c3 +3(a + b)(b + c)(c + a) Áp dụng thu gọn biểu thức sau:A = (a + b + c)3 - (a + b - c)3 - (b + c - a)3 - (c + a - b)3 Giải a) (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a) Ta chứng minh: (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) VT= (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = [(a + b + c)3 – a3] – (b3 + c3) = (b + c)[(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2] – (b + c)(b2 – bc + c2) = (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)] = 3(a + b)(b + c)(c + a) VP Áp dụng: Ta đặt ¿ x =a+b − c y=b +c − a z=c +a − b }} ¿ ⇒ x+y+z=a+b+c A = (a + b + c)3 - (a + b - c)3 - (b + c - a)3 - (c + a - b)3 = (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3 = 3(x + y)(y + z)(z + x) = 24abc * Nhận xét Đây là dạng toán chứng minh đẳng thức không có điều kiện, đa số các em thường dùng phương pháp chung là biến đổi vế trái (vế phức tạp) thành vế phải (vế đơn giản), cần nhấn mạnh với các em có thể biến đổi vế biểu thức trung gian biến đổi vế phải vế trái Bài toán 9: Chứng minh đa thức: a) x50 + x 49 + x48 + .+ x2 + x + chia hết cho đa thức x16 + x15 + x14 + .+ x2 + x + b) x79 + x78 + x77 + .+ x2 + x + chia hết cho đa thức x19 + x18 + x17 + + x2 + x + Giải a)Vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đưa bài toán dạng tích sau : Gọi A = x50 + x 49 + x48 + .+ x2 + x + B = x16 + x15 + x14 + .+ x2 + x + Ta biến đổi biểu thức A sau A = (x50 + x 49 + + x34) + (x33 + x32 + + x17) + (x16 + x15+ + x + 1) A = x34(x16 + x15 + x14 + + x2 + x +1) + x17(x16 + x15 + x14 + + x2 + x + 1) + (x16 + x15 + x14 + + x2 + x + 1) A = (x34 + x17 + 1)( x16 + x15 + x14 + + x2 + x + 1) Tức là A =(x34 + x17 + 1) B Vậy A ⋮ B b) Vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đưa bài toán dạng tích sau: Gọi A = x79 + x 78 + x77 + .+ x2 + x + B = x19 + x18 + x17 + .+ x2 + x + Ta biến đổi biểu thức A sau: A = (x79 + x 78 + + x60) + (x59 + x58+ + x40) + (x39 + x38 + + x20) + (x19 + x18 + x17 + + x2 + x + 1) A = x60(x19 + x18 + x17 + + x2 + x +1) + x40(x19 + x18 + x17 + + x2 + x + 1) + x20(x19 + x18 + x17 + + x2 + x +1) + (x19 + x18 + x17 + + x2 + x + 1)) A = (x60 + x40 + x20 + 1) (x19 + x18 + x17 + + x2 + x + 1) Vậy A ⋮ B Tức là A = (x60 + x40 + x20 + 1) B * Nhận xét Sai lầm các em đó là vì các em thường đã quen phép chia theo cách thông thường đó phức tạp với đa thức có bậc Vì cần nhấn mạnh với các em các đa thức có bậc lớn ta có thể thực sau: Giả sử chứng minh an  k Ta có thể phân tích an chứa thừa số k phân tích thành các thừa số mà các thừa số đó chia hết cho các thừa số k 2.4 Các bài tập vận dụng tổng hợp Bài toán 1: Cho a, b, c là ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a) (a + b + c) ( 1a + b1 + 1c ) b) a2(1 + b2) + b2(1 + c2) + c2(1 + a2) 6abc Hướng dẫn giải a) Ta có: a, b, c là ba cạnh tam giác nên a > 0, b > 0, c > ⇒ a >0 ; b b >0 ; a a >0 ; c Biến đổi vế trái: (a + b + c) c >0 ; a ( 1a + b1 + 1c ) = b >0 ; c c >0 b a+b+ c a+b+ c a+b+ c + + a b c =1+ b c + a a +1+ a c + b b b a b a a c b c + = +( + ) + ( + ) +( + ) c c a b c a c b +1+ Theo bất đẳng thức Côsi, ta có: b a + a b √ a c + c a b a =2; a b √ a c =2; c a b c + c b √ b c =2 c b b a a c b c + ) +( + ) +( + ) a b c a c b Suy ra: + ( Hay (a + b + c) ( 1a + b1 + 1c ) đpcm b) Thực phép tính vế trái và chuyển biểu thức vế phải sang vế trái ta được: a2(1 + b2) + b2(1 + c2) + c2(1 + a2) 6abc ⇔ a2 + a2b2 + b2 + b2c2 + c2 + c2d2 - 6abc ⇔ a2 -2abc + (bc)2 + b2 - 2abc + (ac)2 + c2 - 2abc + (ab)2 ⇔ (a - bc)2 + (b - ac)2 + (c - ab)2 0 Bất đẳng thức này đúng suy bất đẳng thức đã cho đúng Bài toán 2: Chứng minh với x, y ta luôn có: a) x2 + y2 + b) x4 + y4 xy + x + y xy3 + x3y c) 3(x2 + y2 + z2) (x + y + z)2 với x, y, z Hướng dẫn giải a) Nhân hai vế với chuyển biểu thức bên phải sang bên trái, biến đổi thành tổng các bình phương x2 + y2 + xy + x + y ⇔ 2x2 + 2y2 + ⇔ (1) 2xy + 2x + 2y 2x2 + 2y2 - 2xy - 2x - 2y + ⇔ (x2 - 2xy + y2) + (x2 - 2x + 1) + (y2 - 2y + 1) ⇔ (x - y)2 + (x - )2 + (y - 1)2 0 với x, y Bất đẳng thức này đúng Vậy (1) đã chứng minh Tương tự ta có thể giải câu a theo cách khác: Ta có: x2 + y2 2xy , x2 + 2x , y2 + 2y Cộng ba bất đẳng thức trên vế với vế ta được: 2x2 + 2y2 + 2xy + 2x + 2y ⇒ x2 + y + xy + x + y (đpcm) 2ab ⇒ x2 + y2 b) Từ a2 + b2 4x2y2 xy3 + x3y = xy(y2 + x2) Mà x2 + y2 x2 + y2 (x2 + y2) ⇒ xy ( x2 + y ) Hay ⇔ mà ⇔ x +y + x2 y2 2 x y x4 + y4 x + y +2 x y xy3 + x3y ⇔ 4 xy (x2 + y2) xy3 + x3y xy3 + x3y x +y 4 x +y ⇔ + x +y xy3 + x3y xy3 + x3y (đpcm) c)Ta có: x 2+ y ≥ 2xy; 2 y +z ≥ 2yz; x 2+ z ≥ 2xz Cộng ba bất đẳng thức trên vế với vế: x +2 y 2+ z ≥ xy +2 yz+ xz Thêm vào vế bất đẳng thức trên biểu thức x2 + y2 + z2 3x2 + 3y2 + 3z2 2xy + 2yz + 2xz + x2 + y2 + z2 3(x2 + y2 + z2) (x + y + z)2 với x, y, z đpcm Bài toán 3: Phân tích thừa số: a) [(a2 + b2)(c2 + d2) + 4abcd]2 - 4[cd(a2 + b2) + ab(c2 + d2)]2 b) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 c) Áp dụng kết câu b để rút gọn biểu thức sau: M = (x + y + z)3- (x + y - z)3- (y + z - x)3 - (z + x - y)3 Hướng dẫn giải a) Áp dụng bình phương hai số để phân tích thừa số: [(a2 + b2)(c2 + d2) + 4abcd]2 - 4[cd(a2 + b2) + ab(c2 + d2)]2 = [(a2 + b2)(c2 + d2) + 4abcd - 2cd(a2 + b2) - 2ab(c2 + d2)] [(a2 + b2)(c2 + d2) + 4abcd + 2cd(a2 + b2) + 2ab(c2 + d2)] = [(a2 + b2)(c2 + d2 - 2cd) - 2ab(c2 + d2 - 2cd)] [(a2 + b2)(c2 + d2 + 2cd) + 2ab(c2 + d2 + 2cd)] = [(a2 + b2)(c - d)2 - 2ab(c - d)2][(a2 + b2)(c + d)2 + 2ab(c + d)2] = (c - d)2(a - b)2(c + d)2(a + b)2 b) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = [(a + b + c)3 - a3] - (b3 + c3) = (a + b + c - a)[(a + b + c)2 + a(a + b + c) + a2] - (b + c)(b2 - bc + c2) = (b + c)((a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc + a2 + ab + ac + a2) - (b + c)(b2 - bc + c2) = (b + c)(3a2 + b2 + c2 + 3ab + 2bc + 3ac - b2 + bc - c2) = (b + c)((3a2 + 3ab + 3ac + 3bc) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)] = 3(b + c)(a + b)(a + c) c) Đặt ẩn số phụ để biến đổi biểu thức M có dạng biểu thức câu b M = (x + y + z)3- (x + y - z)3- (y + z - x)3 - (z + x - y)3 Đặt: x + y - z = a y+z-x=b z+x-y=c ⇒ a + b + c = x + y + z Thay vào M ta có: M = (a + b + c)2 - a3 - b3 - c3 Theo kết câu b thì M = 3(b + c)(a + b)(a + c) Thay các biểu thức a, b, c trên M = 3(y + z - x + z + x - y)( x + y - z + y + z - x)( x + y - z + z + x - y) = 3.2z.2y.2x M = 24xyz Bài toán 4: Chứng minh nếu:a > 0; b > 0; c > thì: a+b b+c + c+ a + a+b+ c > Hướng dẫn giải Do a > 0; b > 0; c > nên a + b + c > Ta phải chứng minh: a+b b+c + c+ a + > a+b+ c Nhân hai vế với a + b + c ta được: (a + b + c) ¿¿ ⇔ a+b+ c a+ b ⇔ ⇔ Hay 1+ c a+b + c a+b + a+b + b+c a+b+ c b+ c + a+b+ c c +a +1+ a b+c + a b+c +1+ b c+ a +3>3 c+ a + ¿ >3 >3 b c+ a >3 Bất đẳng thức này đúng vì a, b, c lớn c a+b + a b+c + b c+ a >0 Bài toán 5: Hãy chứng tỏ các đa thức sau đây không phân tích thừa số: a) x2 + 8x + 20 b) x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 14 c) x2 - 4x + y2 - 2y + Hướng dẫn giải Ta biến đổi đa thức đã cho thành bình phương cộng với số thực để chứng tỏ đa thức đó luôn nhận giá trị khác với giá trị biến thì đa thức đó không thể phân tích thừa số tập số thực R a) x2 + 8x + 20 = (x + 4)2 + > với x Nên x2 + 8x + 20 không phân tích thừa thừa số b) x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 14 = (x + y + z)2 + 14 > với x, y, z c) x2 - 4x + y2 - 2y + = x2 - 4x + + y2 - 2y + + = (x - 2)2 + (y - 1)2 + > với x, y Bài toán 6: Chứng tỏ rằng, a, b, c là các số đo các cạnh tam giác vuông với a là độ dài cạnh huyền, thì các số x = 9a + 4b + 8c; y = 4a + b + 4c và z = 8a + 4b + 7c là số đo các cạnh tam giác vuông khác Hướng dẫn giải Vì a, b, c là các số đo các cạnh tam giác nên a > 0, b > 0, c > Do đó ta có x > 0, y > 0, z > Hơn ta có: x2 = (9a + 4b + 8c)2 = ((9a + 4b) + 8c)2 x2 = (9a + 4b)2 + (9a + 4b).8c + (8c)2 x2 = (9a)2 + 2.9a.4b + (4b)2 + 144ac + 64bc + 64c2 ⇒ x2 = 81a2 + 16b2 + 64c2 +72ab + 144ac + 64bc (1) Tương tự y2 = ((4a + b) + 4c)2 = (4a + b)2 + 2.(4a + b).4c + (4c)2 ⇒ y2 = 16a2 + b2 + 16c2 + 8ab + 32ac + 8bc (2) z2 = ((8a + 4b) + 7c)2 = (8a + 4b)2 + (8a + 4b).7c + (7c)2 ⇒ z2 = 64a2 + 16b2 + 49c2 + 64ab + 112ac + 56bc (3) Từ (1), (2) và (3) ta có: x2 - y2 - z2 = a2 - b2 - c2 Vì a là độ dài cạnh huyền và b, c là độ dài hai cạnh góc vuông Nên a2 = b2 + c2 suy a2 - b2 - c2 = Do đó, ta có: x2 = y2 + z2 Điều này nghĩa là x là độ dài cạnh huyền y, z là độ dài hai cạnh góc vuông tam giác vuông Bài toán 7: Cho các số a, b, c không đồng thời không (tức là có ít số khác 0) Chứng minh có ít các biểu thức dứơi đây có giá trị dương M = (a + b + c)2 - 8ab N = (a + b + c)2 - 8bc Q = (a + b + c)2 - 8ac Hướng dẫn giải Trước hết ta khai triển (a + b + c)2 (a + b + c)2 = ((a + b)2 + c)2 = (a + b)2 + 2.( a + b).c + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc Thay vào các biểu thức M, N, Q ta được: M + N + Q = 3( a2 + b2 + c2) - 2(ab + ac + bc) = a2 + b2 + c2 + ( a2 + b2 - 2ab) + ( a2 + c2 - 2ac ) + (b2 + c2 - 2bc) = a2 + b2 + c2 + (a - b)2 + (a - c)2 + (b - c)2 Do a, b, c không đồng thời nên a2 + b2 + c2 >0 ngoài (a - b)2 , (a - c)2 0, (b - c)2 nên M + N + Q > Tổng ba số M, N, Q dương thì ít có số dương (bởi vì không có số nào dương thì tổng ba số không thể lớn 0) Bài toán 8: Cho a, b, c là độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng: ab(a + b - 2c) + bc(b + c - 2a) + ac(a + c - 2b) Hướng dẫn giải Biến đổi bất phương trình dạng: a+b −2 c b+ c − a c +a −2 b + + ≥0 c a b a b b c c a ⇔ + + + + + ≥6 c c a a b b Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho vế trái ta được: a b b c c a a b b c c b + + + + + ≥6 =6 c c a a b b c c a a b a √ đpcm a b b c c a = = = = = ⇔ a=b=c c c a a b b Dấu xảy Bài toán 9: Cho hai số a, b a Nếu a + b = k, k là số, tính giá trị lớn ab b Nếu ab = k, k là số, tính giá trị nhỏ a + b Hướng dẫn giải a Theo bất đẳng thức Côsi ta có: a + b √ ab ⇔ ab Từ đó suy (ab)Max = k a+b k = ( ) , đạt a = b = k b Theo bất đẳng thức Côsi ta có: a + b √ ab=2 √ k Từ đó suy (a + b)Min = √ k , đạt a = b = k * Nhận xét Qua ví dụ trên chúng ta thấy rằng: - Trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông là hình có diện tích lớn - Trong số các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình vuông là hình có chu vi nhỏ CHƯƠNG III: THỰC NGHIỆM 3.1 Mục đích thực nghiệm Vận dụng các biện pháp nhân chia đa thức trên vào việc hướng dẫn học sinh giải số dạng bài tập nhân chia đa thức đa thức Nhằm rút mặt ưu và nhược điểm để có thể bổ sung và xây dựng biện pháp hoàn thiện hơn, từ đó nâng cao khả nhân chia đa thức cho học sinh 3.2 Nội dung thực nghiệm Qua thực tế giảng dạy môn toán 8, chúng tôi nhận thấy học sinh đa số thực việc nhân chia đa thức hạn chế, nên chúng tôi mạnh dạng đưa việc bồi dưỡng nhân chia đa thức môn Toán vào quá trình giảng dạy mình 3.3 Tiến trình thực nghiệm 3.3.1 Trong dạy lý thuyết - Cho học sinh hoạt động nhóm: thường chia lớp làm nhóm cho các em thi đua với và chấm điểm, nội dung là cho các em giải bài tập chấm hỏi, trả lời câu hỏi, giải bài tập củng cố bài tập luyện tập - Ghép hình: dùng để tìm nội dung định lí (bằng trực quan) ý tưởng chứng minh định lí - Hỏi - đáp: giáo viên đặt các câu hỏi, học sinh trả lời và bước tìm hiểu các nội dung bài 3.3.2 Trong giải bài tập - Ở các tiết bài tập thường chúng em giải các bài tập SGK, SBT nên các biện pháp áp dụng mức đơn giản - Tập cho học sinh vận dụng các thao tác khái quát hóa, đặt biệt hóa, tương tự: chủ yếu là cho học sinh giải bài tập cụ thể (không quá khó) số sau đó tổng quát lên cho HS giải các bài toán tương tự cho dạng chữ - Tập cho học sinh biết nhìn vấn đề nhiều góc độ khác nhau: cho học sinh làm các bài tập SGK, cho các em giải các bài tập SBT dạng đó cho dạng câu hỏi khác - Tập cho học sinh biết vận dụng lý thuyết vào thực tiễn, hệ thống hóa kiến thức: việc hệ thống hóa kiến thức học sinh các tiết luyện tập tiết ôn tập chương, còn các kiến thức cũ khác nhắc lại quá trình giải bài tập, các bài toán thực tế còn hạn chế - Chú trọng câu hỏi gợi ý hướng dẫn học sinh giải bài tập: đây là biện pháp sử dụng thường xuyên các tiết bài tập vì các em gặp khó khăn lúc giải bài tập thì giáo viên có thể hướng dẫn các em hệ thống câu hỏi Tuy nhiên các bài tập SGK thì các em thường không cần hướng dẫn cần định hướng sơ - Tập cho học sinh biết giải vấn đề nhiều cách khác và lựa chọn cách giải tối ưu: biện pháp này không thường xuyên vì thời gian lên lớp còn hạn chế, có bài tập (định lí) có nhiều cách giải (cách chứng minh) giáo viên giới thiệu qua với các em cho các em nhà giải không làm lớp - Quan tâm đến sai lầm học sinh và tìm cách khắc phục: qua các bài tập học sinh trình bày trên bảng qua hoạt động nhóm, giáo viên phát và sữa các lỗi mắc phải học sinh 3.4 Nhận xét kết áp dụng các biện pháp 3.4.1 Ưu điểm - Khi áp dụng các biện pháp trên thì đa số học sinh giải đựơc các bài tập - Các em có thể tự giải số bài tập khó mà không cần hướng dẫn giáo viên 3.4.2 Hạn chế - Có vài biện pháp không đạt đến mục tiêu đề vì thời gian trên lớp có hạn nên giáo viên hướng dẫn cho các em nhà làm, còn phận các em chưa quan tâm đến các vấn đề đó, các em cần có lời giải là dừng lại - Đa số các em có sách giải SBT nên các em thường không kiên nhẫn việc rèn luyện và nâng cao kĩ giải toán - Giáo viên không có điều kiện kiểm tra bài tập các em cách thường xuyên nên có số sai lầm các em giáo viên không kịp thời khắc phục 3.5 Ý kiến đề xuất - Tăng thêm thời gian làm bài tập lớp cho HS để GV có điều kiện kiểm tra, giải thích thắc mắc các em kiến thức cách trình bày lập luận - Phải đặt yêu cầu là tất các em phải giải và hiểu 80% các bài tập SGK,vì đó là các bài tập - Giáo viên nên đưa cách trình bày thống cho dạng bài tập để các em có cách trình bày rõ ràng không thiếu sót - Kiểm tra việc học nhà học sinh cách phân công kiểm tra bài tập và để nắm mức độ hiểu bài học sinh Giáo viên nên thường xuyên cho ban cán lớp tra 15 phút đầu và chọn bài chấm cột điểm kiểm tra miệng thay vì gọi hai em lên trả bài đầu - Vì các em còn học nhiều môn, thời gian tự học cho môn toán là có hạn nên lượng bài tập quá nhiều thì có thể cho các em làm bài tập theo nhóm phải đảm bảo là kiểm tra bất kì bạn nào thì bạn phải hiểu bài tập đó - Với bài tập nâng cao thì giáo viên nên đưa và hướng dẫn cho các em nhà tự nghiên cứu, không giải lớp kể các bài tập các em đưa ra, bài tập phải phù hợp với nội dụng mà các em học và nằm khả các em - Trong các đề kiểm tra nên có 40% là trắc nghiệm và 60% là tự luận (nên cho cho tự luận để biết khả vận dụng kiến thức, cách trình bày và lập luận các em) - Khuyến khích tinh thần học tập các em cách tạo hội cho các em lấy điểm các giải bài tập 3.6 Kết thử nghiệm Trong quá trình thực áp dụng đề tài này chúng tôi tiến hành khảo sát câu hỏi dạng trắc nghiệm và tự luận với nội dung kiến thức nói việc “Bồi dưỡng lực giải các bài toán về: Phép nhân và chia đa thức” điểm trường THCS Mỹ Tú tỉnh Sóc Trăng với ba lớp, tổng số 68 học sinh đạt kết sau:: * Kết khảo sát: Lớp Số Điểm HS 10 8A1 34 6 10 0 0 8A2 34 7 0 0 Tổng 68 13 14 12 17 0 0 Qua bảng khảo sat cho thấy số học sinh sau bồi dưỡng thì không có em nào bị điểm trung bình, số điểm cao không nhiều đa số đạt từ trung bình trở lên Phần III: PHẦN KẾT LUẬN Đề tài “Bồi dưỡng lực giải các bài toán “Phép nhân và chia đa thức” nhằm giúp các em có sở tự rèn luyện Những biện pháp đưa không phải bất kì em học sinh nào áp dụng Vì tính cách và trình độ em khác Vì theo chúng em học sinh THCS, lớp học thường là lớp đại trà có em giỏi và có em không giỏi, cho nên vấn đề áp dụng các biện pháp cần có lựa chọn và kết hợp các biện pháp cách thích hợp Và quan trọng là các em tự lựa chọn biện pháp phù hợp với mình Chính vì lẽ đó với đề tài này chúng tôi mong muốn làm cái gì đó để góp phần giúp học sinh lẫn giáo viên THCS Mỹ Tú có phương pháp giải toán cách sáng tạo Riêng học sinh, chúng tôi còn mong muốn rằng: “Bồi dưỡng lực giải các bài toán “Phép nhân và chia đa thức” là tảng vững để các em học tốt các lớp sau Vì để dạy tốt nâng cao chất lượng dạy học "Bồi dưỡng lực giải các bài toán " Phép nhân và chia đa thức "giáo viên cần phải kết hợp các phương pháp dạy học tích cực để tạo tình phạm, bài toán nhận thức hay nhất, nhằm tích cực hóa hoạt động giải toán học sinh Qua việc nghiên cứu đề tài chúng tôi nhận thấy giải bài toán đã khó và hướng dẫn học sinh tìm lời giải còn khó Chính vì vậy, thân chúng tôi cần rèn luyện nhiều trình độ lực truyền thụ Trong điều kiện áp dụng đề tài quá trình giảng dạy chúng tôi nhận thấy còn số hạn chế nên việc áp dụng các biện pháp chưa có hiệu cao, có thể có biện pháp không phù hợp với học sinh THCS vấn đề này chúng tôi tiếp tục nghiên cứu và khắc phục PHIẾU LẤY Ý KIẾN CỦA GIÁO VIÊN Nhằm tìm hiểu việc bồi dưỡng lực giải bài toán cho HS trường THCS, đây là đề tài nghiên cứu tốt nghiệp đại học nhóm chúng tôi, mong quý thầy (cô) giúp đỡ chúng tôi cách trả lời các câu hỏi đây theo quan điểm mình, chúng tôi xin chân thành cảm ơn Theo thầy (cô) có cần thiết bồi dưỡng cho học sinh không? a Cần thiết b Không cần thiết c Rất cần thiết d Ý kiến khác Khi bồi dưỡng cho học sinh thì thầy (cô) bồi dưỡng nội dung nào? a Trong giải bài tập b Trong dạy kiến thức c Trong phương pháp giải d Cả ý trên Thầy (cô) gặp khó khăn gì bồi dưỡng giải bài tập cho học sinh? a Không đủ thời gian b Học sinh học không đồng c Do chương trình dài d Học sinh tính toán còn kém Theo thầy (cô) hệ thống các bài tập SGK có đáp ứng việc bồi dưỡng lực giải bài tập cho học sinh không? a Có b Không c Chưa đủ d Ý kiến khác Theo thầy (cô) tài liệu nào giúp ích cho thầy (cô) bồi dưỡng lực cho học sinh? a Sách tham khảo b Sách bài tập c Sách và nâng cao d Sách rèn luyện kĩ giải toán Theo thầy (cô) có nên bồi dưỡng lực học sinh thầy (cô) không? a Có b Không c Cần thiết d Ý kiến khác Hệ thống các dạng bài tập sách bài tập bồi dưỡng lực theo thầy (cô) có đầy đủ chưa? a Đầy đủ b Không đầy đủ c Qua loa d Ý kiến khác Biện pháp bồi dưỡng lực giải bài tập theo (cô) có đầy đủ chưa? a Đầy đủ b Không đầy đủ c Qua loa d Ý kiến khác Theo thầy (cô) các biện pháp bồi dưỡng lực sau biện pháp nào thầy (cô) cho là phù hợp với học sinh? a Quan tâm sai lầm học sinh và cách khắc phục b Tập cho HS vận dụng các thao tác khái quát hóa, đặt biệt hóa, tương tự c Tập cho học sinh nhìn vấn đề nhiều góc độ khác d Ý kiến khác 10 Thầy (cô) thường dùng các phương pháp suy luận nào giải toán? a Phân tích và tổng hợp b Quy nạp c So sánh d Tương tự 11 Theo thầy (cô) có nên quan tâm đến sai lầm học sinh giải toán không? a Có b Không c Rất cần thiết d Ý kiến khác 12 Khả phân tích, bồi dưỡng lực giải toán thầy (cô) nào? a Hạn chế b Tương đối c Phù hợp d Tốt 13 Thầy (cô) có thường hướng dẫn học sinh giải toán nhiều cách khác và lựa chọn cách giải tối ưu không? a Có b Không c Rất cần thiết d Ý kiến khác 14.Trong giảng dạy thầy (cô) có chú trọng đến việc đặt câu hỏi gợi ý hướng dẫn học sinh giải bài không? a Có b Không c Rất ít d Ý kiến khác 15 Trong giảng dạy theo thầy (cô) có nên tập cho học sinh biết giải vấn đề nhiều cách khác và lựa chọn cách giải tối ưu không? a Có b Không c Đôi nên tập d Ý kiến khác 16 Theo thầy (cô) giải bài tập ta có nên tập cho học sinh biết vận dụng lý thuyết vào thực tiễn, hệ thống hóa kiến thức? a Có b Không c Rất cần thiết d Ý kiến khác 17 Trong giảng dạy theo thầy (cô) để bồi dưỡng cho học sinh lực thì phải làm gì? a Tích cực gọi HS lên bảng b Yêu cầu HS trật tự, yên lặng học c Yêu cầu HS ghi chép bài cách cẩn thận d Ý kiến khác 18 Theo thầy (cô) yêu cầu nào là người giáo viên bồi dưỡng cho học sinh lực? a Phải có cách truyền thụ tốt b Biết hướng dẫn học sinh giải vấn đề c Dạy học phải sát đối tượng d Ý kiến khác 19 Theo thầy (cô) hoạt động nào là bồi dưỡng lực cho học sinh? a Dùng máy chiếu thay cho viết bảng b Tổ chức cho HS hoạt động nhóm c Hướng dẫn HS bước giải vấn đề d Tích cực gọi HS lên bảng 20 Theo thầy (cô) bồi dưỡng lực cho học sinh có cần chú trọng câu hỏi gợi ý hướng dẫn HS giải bài tập không? a Có b Không c Rất quan trọng d Ý kiến khác ĐỀ KIỂM TRA I/ PHẦN TRẮC NGHIỆM: ( Khoanh tròn câu trả lời đúng nhất) 2 2 Câu 1: Kết phép tính 20a b c : (5ab c ) là A.4abc B 20ac C 20ac D 4ac ( x  y)2 Câu 2: Kết phép tính là 2 x  y2 x  xy  y x  xy  y A B C x  xy  y D Câu 3: Kết phép tính (2a  b) là 3 2 A 8a  b B 2a  3a b  3ab  b 2 3 2 C 8a  12a b  6ab  b D 8a  12a b  6ab  b Câu 4: Kết phép tính (3x  12) : ( x  2) là A 3( x  2) B 3( x  2) C x  2 Câu 5: Giá trị biểu thức P  3a b a  1, b 1 là A.3 B.-3 C -18 Câu 6: Kết phép phân tích đa thức x  x thành nhân tử là A x(1  x ) D x  D 18 B x(1  x)(1  x  x ) 2 C x(1  x)(1  x  x ) D x(1  x)(1  x  x ) Câu 7: Tập hợp các giá trị x để x 2 x là 2   B   5   C   A   Câu 8: Điền đa thức thích hợp vào chổ chấm(…)  2 0;  D   n3  n ( )( x  x  1) x3  x  x  II/ TỰ LUẬN(6 điểm) Câu 1: Làm các phép tính sau: a )(2 x  1)(3 x  1)  (6 x  1)( x  1) b)(3 x3  x  1) : (3 x  1) c)(a  1)( a  a  1)  ( a  1)(a  1) Câu 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a )4ab  a  3a  12b b) x  3x  x   27 y 3 Câu 3: Chứng minh với số tự nhiên lẻ n thì n  n luôn chia hết cho 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO *** [1] Nguyễn Ngọc Bảo - Hà Thị Đức - Giáo trình tâm lý học đại cương - giáo trình CĐSP [2] Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy - Phương pháp dạy học các nội dung môn toán, NXB giáo dục [3] Lê Thị Hương - Nguyễn Kiếm - Hồ Xuân Thắng - Những bài tập và nâng cao chọn lọc lớp tập I, NXB Đại học sư phạm [4] TS Vũ Thế Hựu - Những bài toán và nâng cao lớp 8, NXB giáo dục [5] Lê Văn Học - Giáo trình tâm lí học lứa tuổi và sư phạm - giáo trình CĐSP [6] TS Nguyễn Văn Lộc - Những vấn đề toán NXB giáo dục [7] Nguyễn Đức Tấn - Giải nhiều cách các bài toán lớp 8, NXB tổng hợp thành phố Hồ Chí Minh [8] Đỗ Đức Thái - Đỗ Thị Hồng Thúy - Bồi dưỡng toán 8, NXB giáo dục [9] Bộ giáo dục và đào tạo - Chuyên đề dạy học sinh tự lực tiếp cận kiến thức môn Toán học [10] Bộ giáo dục và đào tạo - Chuyên đề đổi phương pháp dạy học môn toán THCS nhằm rèn luyện và cao kĩ giải toán cho học sinh [11] Bộ giáo dục và đào tạo: SGK và SBT toán tập I , NXB giáo dục