thống hóa kiến thức
2.3.3.1 Biện pháp
- Học sinh có cái nhìn tổng thể các kiến thức trong chương, các dạng bài tập thường gặp.
- Ở mỗi dạng các em biết cách hình thành và hệ thống phương pháp giải đồng thời các em mở rộng ra các trường hợp mới, bài tập mới.
- Các em vận dụng lý thuyết vào giải các bài toán thực tế. 2.3.3.2 Yêu cầu
Giúp các em ôn tập, tổng kết hệ thống hóa, khái quát hóa kiến thức sau một chương, một phần, các em thấy được mối quan hệ giữa các phần đã học với nhau. Bên cạnh đó các em nắm được kiến thức cơ bản, ứng dụng vào thực tiễn thông qua các mô hình toán học.
2.3.3.3 Bài tập vận dụng Bài toán 1: Chứng minh rằng
a) Với mọi số n Z thì (2n + 1)2 - 1 chia hết cho 8.
b) Hiệu bình phương của hai số lẻ liên tiếp thì chia hết cho 8. c) Hiệu bình phương của hai số chẳn liên tiếp chia hết cho 4.
Giải
Vận dụng những phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, đưa biểu thức về dạng tích của hai số nguyên liên tiếp để giải:
n và n + 1 là hai số nguyên liên tiếp nên bao giờ cũng có một số chia hết cho 2 tức là 4n(n + 1) ⋮ 2. Đặt n(n + 1) = 2k (k N) thì 4n(n + 1) = 4.2k = 8k ⋮ 8
Vậy (2n + 1)2 - 1 ⋮ 8.
b) Gọi 2k là một số chẳn thì 2k + 1 và 2k + 3 là hai số lẻ liên tiếp. Theo đề bài ta phải chứng minh: (2k + 3)2 - (2k + 1)2 ⋮ 8.
Phân tích đa thức trên ta đựơc:
4k2 + 12k+ 9 - 4k2 + 4k - 1 = 16k - 8 = 8(2k - 1) ⋮ 8
⇒ (2k + 3)2 - (2k + 1)2 ⋮ 8. c) Cách làm tương tự như câu b. Bài toán 2: Chứng minh rằng:
a) a2 + 4a + 5 > 0 với mọi giá trị của a.
b) x2 + y2 + z2 - 2xy + 2xz - 2yz + 4 > 0 với mọi x, y, z. c) (5a + 1)2 +(5a + 2)2 chia hết cho 5 với mọi a.
Giải
Trước hết ta chứng minh rằng với mọi số thực A ta luôn có A2 0.
Thật vậy, nếu A = 0 thì A2 = 0, nếu A 0 thì A2 = A.A là tích của hai số cùng dấu nên A2 > 0. Bây giờ ta biến đổi biểu thức thành dạng sau:
a) a2 + 4a + 5 = a2 + 4a + 4 + 1 = (a + 1)2 + 1 (a + 1)2 0 với mọi giá trị của a và 1 > 0
⇒ (a + 1)2 + 1 > 0 với mọi giá trị của a
b) x2 + y2 + z2 - 2xy + 2xz - 2yz + 4 = (x - y + z)2 + 4 (x - y + z)2 0 với mọi giá trị của x, y, z và 4 > 0
⇒ (x - y + z)2 + 4 > 0 với mọi x, y, z
mỗi số đều chia hết cho 5. 50a2 + 30a + 5 = 5(10a2 + 3a + 1) ⋮ 5 với mọi a Bài toán 3: Chứng minh rằng
a) a2 + b2 + c2 + d2 + f2 a(b + c + d + f) với mọi a, b, c, d, f b) x2 + y2 xy + x + y - 1 với mọi x , y
c) (a2 + c2)(b2 + d2) - (ab + cd)2 0 với mọi a, b, c, d Giải
a) Chuyển biểu thức bên phải sang biểu thức bên trái, biến đổi thành một tổng các bình phương của một nhị thức a2 + b2 + c2 + d2 + f2 a(b + c + d + f) (1) ⇔ a2 + b2 + c2 + d2 + f2 - a(b + c + d + f) 0 ⇔ ( a2 4 - ab + b2) + ( a2 4 - ac + c2) + ( a2 4 - ad + d2) + ( a2 4 - af + f2) 0 ⇔ ( a2 - b)2 + ( a2 - c)2 + ( a2 - d)2 + ( a2 - b)2 0 với mọi a, b, c, d, f. Bất đẳng thức này đúng. Vậy (1) đã được chứng minh.
b) Nhân cả hai vế với 2 rồi chuyển biểu thức bên phải sang bên trái, biến đổi thành tổng của các bình phương x2 + y2 xy + x + y - 1 (1) ⇔ 2x2 + 2y2 2xy + 2x + 2y - 2 ⇔ 2x2 + 2y2 - 2xy - 2x - 2y + 2 0 ⇔ (x2 - 2xy + y2) + (x2 - 2x + 1) + (y2 - 2y + 1) 0 ⇔ (x - y)2 +(x - 1 )2 + (y - 1)2 0 với mọi x, y Bất đẳng thức này đúng. Vậy (1) đã được chứng minh.
c) Tương tự thực hiện phép tính để biến đổi vế trái thành bình phương của một hiệu (bc - ad)2 0
Bài toán 4: Chứng minh rằng
Cho hai số a, b: a 0 ; b 0. Chứng minh rằng: a) a+2b≥√ab (bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm) b) (a + b)(ab + 1) 4ab c) a + b + 12 √a + √b Giải a) Ta có: ( √a - √b )2 0 ⇒ ( √a )2 - 2 √a . √b + ( √b )2 0 ⇒ a - 2 √ab + b 0 ⇒ a + b 2 √ab ⇒ a+b 2 ≥√ab (1) a+b
2 là trung bình cộng của a và b; √ab là trung bình nhân của a và b với điều kiện a, b không âm.
b) Do a , b 0 nên ab 0.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho a + b và ab + 1 ta có:
a + b 2 √ab (1)
ab + 1 2 √ab .1 (2)
Nhân hai bất đẳng thức (1) và (2) vế với vế ta được: (a + b)(ab + 1) 2 √ab .2 √ab .1
(a + b)(ab + 1) 4ab đpcm. c) Biến đổi vế trái:
VT = a + b + 12 = (a+1
4)+(b+1 4)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: a + 14 2 √a.1 4 = √a (1) b + 14 2 ❑ √b.1 4=√b (2) Cộng (1) Và (2) ta được: a + 14 + b + 14 ❑ √a+√b Hay a + b + 12≥ √a+√b . Đpcm Bài toán 5: Chứng minh rằng
Nếu (a + b + c + d)(a - b - c + d) = (a - b + c - d)(a + b - c - d) thì ac=b d Giải Cách 1: Vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ, ta có: (a + b + c + d)(a - b - c + d) = (a - b + c - d)(a + b - c - d) = (a + b + c + d)(a - b - c + d) - (a - b + c - d)(a + b - c - d) = [(a+d)+(b+c)] [(a+d)−(b+c)] - [(a− d)−(b − c)] [(a− d)+(b − c)] = (a + d)2 - (b + c)2 + (b - c)2 - (a - d)2 = 0
Suy ra 4ad = 4bc ⇔ ad = bc hay ac=b d Cách 2: Vận dụng tỉ lệ thức đã học ở lớp 7 ta có: aa+b+c+d +b − c − d= a − b+c −d a − b −c+d Theo tính chất AB=C D suy ra A − BA+B=C+D C − D Đặt A = a + b + c + d ; B = a + b - c - d C = a - b + c - d ; D = a - b - c + d
Ta được a +b c+d= a − b c −d hay c d d c b a b a do đó ab= c d
Bài toán 6: Xác định các hệ số a, b sao cho đa thức sau viết được dưới dạng bình phương của một đa thức nào đó
x4 + 2x3 + 3x2 + ax + b Giải Giả thiết rằng: x4 + 2x3 + 3x2 + ax + b = (x2 + cx + d)2 * Xét trường hợp: x4 + 2x3 + 3x2 + ax + b = (x2 + cx + d)2 = x4 + c2x2 + d2 + 2cx3 + 2dx2 + 2cdx = x4 + 2cx3 + x2(c2 + 2d) + 2cdx + d2 Vận dụng phương pháp đồng nhất hệ số hai vế ta có: ¿ 2c=2 c2+2d=3 2 cd=a b=d2 ¿{ { { ¿ ⇒ ¿ c=1 d=1 a=2 b=1 ¿{ { { ¿ * Xét trường hợp: x4 + 2x3 + 3x2 + ax + b = (- x2 + cx + d)2 Ta được: a = 2 ; b = 1 ; c = d = - 1 Vậy x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 = (x2 + x + 1)2 = (- x2 - x - 1)2
Bài toán 7: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác vuông với a là cạnh huyền. Chứng minh rằng: a3 > b3 + c3
Giải
Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác vuông với a là cạnh huyền Nên a > b và a > c
Theo định lí Py-ta-go, ta có: a2 = b2 + c2
Ta có nhận xét: a3 = a2.a = (b2 + c2).a = b2.a + c2.a > b2.b + c2.c = b3 + c3, đpcm
* Nhận xét
Ở đây, ta còn có kết quả tổng quát hơn:
“Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác vuông với a là cạnh huyền, ta luôn có: an > bn + cn, với n N và n > 2”
Bài toán 8: Tìm các chữ số a, b sao cho a56b 45 Giải
Sử dụng các dấu hiệu chia hết cho 5 và cho 9 ở lớp 6: Ta thấy 45 = 5.9 mà (5 ; 9) = 1 để a56b 45 a56b 5 và 9 Xét a56b 5 b {0 ; 5} Nếu b = 0 ta có số a56b 9 a + 5 + 6 + 0 9 a + 11 9 a = 7 Nếu b = 5 ta có số a56b 9 a + 5 + 6 + 5 9 a + 16 9 a = 2 Vậy: a = 7 và b = 0 ta có số 7560 a = 2 và b = 5 ta có số 2560
Bài toán 9: Cho số N = dcba chứng minh rằng: a. N 4 (a + 2b) 4
b. N 16 (a + 2b + 4c + 8d) 16 với b chẳn c. N 29 (d + 2c + 9b + 27a) 29
Giải
Sử dụng các dấu hiệu và các tính chất chia hết ở lớp 6, ta có:
a. N 4 ab 4 10b + a 4 8b + (2b + a) 4 a + 2b 4 b. N 16 1000d + 100c + 10b + a 16
(992d + 96c + 8b) + (8d + 4c + 2b + a) 16 a + 2b + 4c + 8d 16 với b chẵn c. Có 100(d + 3c + 9b + 27a) - dbca 29
mà (1000, 29) =1
dbca 29 (d + 3c + 9b + 27a) 29
Bài toán 10: Tìm tất cả các số có 2 chữ số sao cho mỗi số gấp 2 lần tích các chữ số của số đó.
Giải Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 2, ở lớp 6:
Gọi ab là số có 2 chữ số Theo bài ra ta có:
ab= 10a + b = 2ab (1) ab 2 b {0; 2; 4; 6; 8} Thay vào (1) a = 3; b = 6
2.3.4 Biện pháp 4: Chú trọng câu hỏi gợi ý hướng dẫn học sinh giải bài tập
2.3.4.1 Biện pháp
Đặt vấn đề khuyến khích cả lớp tập trung suy nghĩ giải quyết vấn đề gặp phải trong quá trình học. Hướng dẫn và tập cho các em có thói quen động não với hệ thống câu hỏi dẫn dắt từ đơn giản đến phức tạp, tính chất câu hỏi phải rõ ràng, chính xác, đa dạng. Những câu hỏi chính:
+ Hiểu bài toán: Cái gì chưa biết? Những gì đã cho? Dữ kiện của bài toán là gì? Có thể thỏa mãn được bài toán hay không? Diễn tả nội dung bài toán bằng kí hiệu toán học, diễn tả bài toán trên hình vẽ.
+ Đề ra chương trình giải: có biết một bài toán tương tự bài toán này không? Có thể sử dụng nó để giải quyết không? Có thể phát biểu bài toán dưới dạng khác không? Thử giải bài toán gần giống nó? Có sử dụng hết giả thiết của bài toán chưa? + Thực hiện chương trình giải: Thử lại một chi tiết của chương trình? Có thấy chi tiết này là đúng không? Có thể chứng minh nó đúng không? Tổng quan các
bước giải một bài toán.
+ Phân tích lời giải: Thử lại kết quả? Thử lại sự lập luận? Có cách giải nào khác không? Có thể tạo ra được một bài toán mới không? Kiểm tra sự phù hợp của lời giải. Đề xuất vấn đề có liên quan bằng cách xét tương tự, khái quát hóa, đặt biệt hóa, lật ngược vấn đề.
2.3.4.2 Yêu cầu
Đặt câu hỏi là phương pháp rất quan trọng, giúp học sinh vận dụng các khái niệm, quy tắc, giúp giáo viên kiểm tra và sửa lỗi cho học sinh ngay tại chỗ. Đồng thời cung cấp cho giáo viên thông tin phản hồi từ phía học sinh.
2.3.4.3 Bài tập vận dụng
Bài toán 1: Cho A = 6(x2 + y2 + z2 - xy - yz - xz). B = (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 Hãy chứng minh rằng nếu A = B thì x = y = z
Huớng dẫn giải a) Đây là dạng toán nào? Cách giải ra sao? - Đây là dạng toán chứng minh đẳng thức.
- Cách giải: để chứng minh một đẳng thức ta có thể biến đổi từ vế này đến vế kia hoặc biến đổi riêng từng vế rồi so sánh kết quả của hai vế.
b) Ta biến đổi vế trái A = 6(x2 + y2 + z2 - xy - yz - xz) = 3(2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2xz) = 3(x2 - 2xy + y2) + (x2 - 2xz + z2) + (y2 - 2yz + z2) A = 3[(x - y)2 + (x - z)2 + (y - z)2] c) Nếu A = B thì: 3[(x - y)2 + (x - z)2 + (y - z)2] = (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 Suy ra: (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 = 0
⇒ x - y = y - z = z - x = 0 Tức là x = y = z.
Bài toán 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên a khác 0 thì: A = (a + 1)(a + 3)(a + 5)(a + 7) + 15 chia hết cho a + 6.
Hướng dẫn giải
a) Đây là bài toán chứng minh sự chia hết, để giải bài toán trước tiên ta phải làm gì?
Ta phân tích và biến đổi A về dạng sau: A = (a + 1)(a + 3)(a + 5)(a + 7) + 15
= (a + 1)(a + 7)(a + 3)(a + 5) + 15 = (a2 + 8a + 7)(a2 + 8a + 15) + 15 = (a2 + 8a + 7)(a2 + 8a + 7 + 8) + 15
b) Ta nhận xét các thừa số của biểu thức là các đa thức bậc hai, nếu ta giữ nguyên như thế thì khó nhìn ra nên ta đặt a2 + 8a + 7 = x, ta có:
A = x(x + 8) + 15 = x2 + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5) (1) Thay x = a2 + 8a + 7 vào (1)
A = (a2 + 8a + 10)( a2 + 8a + 12) = (a2 + 8a + 10)( a2 + 2a + 6a + 12)
= (a2 + 8a + 10)[a(a + 2) + 6(a + 2)] = (a2 + 8a + 10)(a + 2)(a + 6) ⋮ (a + 6) Vậy A ⋮ (a + 6) với mọi số a N
* Chú ý: Để giải các bài toán chia hết, ta sử dụng các phương pháp sau đây: Phương pháp 1: - Sử dụng dấu hiệu chia hết
Phương pháp 2: - Sử dụng tính chất chia hết
Trong n số nguyên liên tiếp có 1 và chỉ 1 số chia hết cho n.
Phương pháp 3: Sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử Phương pháp 4: Biến đổi biểu thức cần chứng minh về dạng tổng
Bài toán 3: Hãy tìm các số hạng A và B trong đa thức sau để phép chia sau đây là phép chia hết.
(9x3 + A + B + 1) : (3x2 + x + 1)
Hướng dẫn giải
a) Yêu cầu bài toán là gì? Nó tương tự dạng toán nào?
Bài toán yêu cầu tìm các số hạng A và B để phép chia đã cho là phép chia hết. Đây là dạng toán chứng minh sự chia hết.
b) Ta có: Để tìm các số hạng A, B còn thiếu trong mỗi đa thức, ta thực hiện phép chia hai đa thức:
9x3 + A + B + 1 3x2 + x + 1 9x3 + 3x2 + 3x 3x
(A - 3x2) + (B - 3x) + 1
c) Nếu phép chia đã cho là phép chia hết thì (A - 3x2) + (B - 3x) + 1 phải chia hết cho 3x2 + x + 1. Khi đó số hạng thứ hai của thương là 1
Suy ra: (A - 3x2) + (B - 3x) + 1 = 3x2 + x + 1 ⇒ A - 3x2 = 3x2 ⇒ A = 6x2
B - 3x = x ⇒ B = 4x
Vậy đa thức bị chia là: 9x3 + 6x2 + 4x + 1.
Bài toán 4: Tìm các số tự nhiên n sao cho n3 + 3n2 + 4 chia hết cho n + 2 Hướng dẫn giải
a) Đề bài yêu cầu ta tìm gì? Thực hiện cách giải như thế nào?
Đề bài yêu cầu tìm số tự nhiên n để phép chia là phép chia hết. Đây cũng là dạng toán chứng minh sự chia hết, sử dụng các dấu hiệu chia hết ở lớp 6.
b) Ta tiến hành thực hiện phép chia như sau
n3 + 3n2 + 4 n + 2 n3 + 2n2 n2 + n - 2 n2 + 4 n2 + 2n - 2n + 4 - 2n - 4 8 Vậy n3 + 3n2 + 4 = (n + 2)(n2 + n - 2) + 8
Muốn n3 + 3n2 + 4 chia hết cho n + 2 thì 8 ⋮ (n + 2) Vì n là số tự nhiên nên n + 2 2
n + 2 phải là ước lớn hơn hoặc bằng 2 của 8 U(8) 2 là : 2 ; 4 và 8
Nếu n + 2 = 2 ⇒ n = 0 n + 2 = 4 ⇒ n = 2 n + 2 = 8 ⇒ n = 6
Vậy với n = 0, n = 2 hoặc n = 6 thì n3 + 3n2 + 4 chia hết cho n + 2. Bài toán 5: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c luôn có: a2 + b2 + c2 ab + bc + ca
Hướng dẫn giải
a) Đây là bài toán chứng minh bất đẳng thức A > B, ta thực hiện cách làm như thế nào?
Cách giải:
+ Phương pháp 1
- Hướng 1: Dùng định nghĩa chứng minh A - B > 0.
_ _
- Hướng2: Thực hiện các phép biến đổi tương đương:
( A>B⇔C>D⇔.. .⇔E>F ) để biến đổi bất đẳng thức ban đầu về một bất đẳng thức đúng, biến đổi và đưa đến bất đẳng thức cần chứng minh.
- Hướng 3: Xuất phát từ bất đẳng thức đúng.
+ Phương pháp 2: Sử dụng tính chất bắc cầu: A > C và C > B.
+ Phương pháp 3: Phương pháp chứng minh phản chứng, được áp dụng với các bài toán yêu cầu chứng minh ít nhất một bất đẳng thức trong các bất đẳng thức đã cho là đúng hoặc sai.
+ Phương pháp 4: Phương pháp hình học, bằng việc sử dụng tính chất:
“ Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì: a + b > c và |a − b| < c”.
b) Ta có ba cách trình bày như sau: Cách 1: Ta biến đổi bất đẳng thức như sau: a2 + b2 + c2 - ( ab + bc + ca) 0 ⇔ (a22−ab+ b2 2 )+(b22−bc+ c2 2 )+(c22−ca+ a2 2 )≥0 ⇔ (√a2− b √2)2+(√b2− c √2)2+(√c2− a √2)2≥0 luôn đúng. Cách 2: Ta biến đổi bất đẳng thức như sau:
2(a2 + b2 + c2) 2(ab + bc + ca)
⇔ (a2 + b2 - 2ab) + (b2 + c2 - 2bc) + (c2 + a2 - 2ca) 0
⇔ (a- b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 0 luôn đúng. Cách 3: Ta luôn có:
a −b¿2≥0 ¿ b − c¿2≥0 ¿ c −a¿2≥0 ¿ ¿{ { ¿ ¿ ⇔ ¿ a2 +b2−2ab≥0 b2 +c2−2 bc≥0 c2+a2−2ca≥0 ¿{ { ¿ (I)
Cộng theo vế các bất phương trình trong hệ (I), ta được: 2(a2 + b2 + c2) - 2(ab + bc + ca) 0
⇔ a2 + b2 + c2 - ( ab + bc + ca) 0
Bài toán 6: Chứng minh rằng với mọi n N* luôn có: 1 1 . 2+ 1 2. 3+.. .+ 1 n(n+1)<1 Hướng dẫn giải a) Đây là dạng toán nào?