Qua thực tế dạy học giải bài tập của học sinh cùng với hệ thống các dạng bài tập của chương, ta có các biện pháp sau để bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh.
2.3.1 Biện pháp 1: Tập cho HS vận dụng các thao tác khái quát hóa, đặt biệt hóa, tương tự
2.3.1.1 Biện pháp
Từ những sự kiện cụ thể riêng biệt ta so sánh đối chiếu các sự kiện với nhau để phát hiện ra các sự kiện chung rồi khái quát hóa thành kết luận tổng quát, khái quát hóa, đặt biệt hóa là hai quá trình đối lập nhau nhưng thống nhất với nhau.
2.3.1.2 Yêu cầu
- Cần phát triển vấn đề một cách toàn diện ở nhiều khía cạnh khác nhau.
- Phát triển nội dung và kết quả của các vấn đề để định hướng giải quyết các vấn đề đặt biệt, tương tự, các vấn đề tổng quát.
- Sau khi giải xong phải rút kinh nghiệm, đề xuất vấn đề mới, thao tác tương tự thao tác đặt biệt hóa giúp học sinh mò mẫm đi đúng hướng.
2.3.1.3 Bài tập vận dụng
Bài toán 1: Thực hiện các phép tính sau: a) (a - b)(a6 + a5b + a4b2 + a3b3 + a2b4 + ab5 + b6) b) (x + y)(x5 - x4y + x3y2 - x2y3 + xy4 - y5) c) (c - d)(cn - 1 + cn - 2d + ...+ cdn - 2 + dn - 1) d) (x + y)(x2k - x2k - 1y +...+ x2y2k - 2 - xy2k - 1 + y2k) Giải a) Ta có: (a - b)(a6 + a5b + a4b2 + a3b3 + a2b4 + ab5 + b6) = a7 + a6b + a5b2 + a4b3 + a3b4 + a2b5 + ab6 - a6b - a5b2 - a4b3 - a3b4 - a2b5 - ab6 - b7 = a7 - b7
b) Ta thực hiện tương tự như bài toán trên, ta có: (x + y)(x5 - x4y + x3y2 - x2y3 + xy4 - y5) =
= x6 - x5y + x4y2 - x3y3 + x2y4 - xy5 + x5y- x4y2 + x3y3 - x2y4 + xy5 - y6 = x6 - y6.
c) Trường hợp tổng quát ta cũng thực hiện tương tự: (c - d)(cn - 1 + cn - 2d + ...+ cdn - 2 + dn - 1) = cn + cn - 1d + ...+ c2dn - 2 + cdn - 1 - cn - 1d - cn - 2d2 - ...- cdn - 1 - dn) = c n - dn. d) (x + y)(x2k - x2k - 1y +...+ x2y2k - 2 - xy2k - 1 + y2k) = x2k + 1 - x2k y +...+ x3y2k - 2 - x2y2k - 1 + xy2k + x2ky- x2k - 1 y2 +...+ x2y2k - 1 - xy2k + y2k + 1 = x2k + 1 + y2k + 1.
Bài toán 2: Chứng minh các đẳng thức sau: a) (a3b3 - 1)(a3b3 + 1) - a6b6 = - 1
b) (a + b)(a4 - a3b + a2b2 - ab3 + b4) = a5 + b5.
c) (x - y)(xn - 1 + xn- 2y +...+ xyn - 2 + yn - 1) = xn - yn. d) (a - 1)(a9 + a8 + a7 + ... + a2 + a + 1) + 1 = a10
Giải
Khi gặp bài toán này ta thực hiện phép tính ở vế trái (vế phức tạp) biến đổi để mỗi đẳng thức có được kết quả của vế phải (vế đơn giản) sau đó kết luận: “Vế trái bằng vế phải”. Đẳng thức được chứng minh.
a) VT = (a3b3 - 1)(a3b3 + 1) - a6b6 = a6b6 + a3b3 - a3b3 - a6b6 - 1 = - 1 = VP. b) VT = (a + b)(a4 - a3b + a2b2 - ab3 + b4) = a5- a4b + a3b2 - a2b3 + ab4 + a4b - a3b2 + a2b3 - ab4 + b5 = a5 + b5 = VP. c) VT = (x - y)(xn - 1 + xn - 2y +...+ xyn - 2 + yn - 1) = xn + xn- 1y +...+ x2yn - 2 + xyn - 1 - xn- 1y - xn- 2y2 -...- xyn - 1 - yn = xn - yn = VP. d) VT = (a - 1)(a9 + a8 + a7 + ... + a2 + a + 1) + 1 = a10 + a9 + a8 + ... + a3 + a2 + a - a9 - a8- a7 -... - a2 - a - 1 + 1 = a10 = VP.
Bài toán 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì: a) n(n + 1)(2n + 1) ⋮ 6 với mọi n N
b) n(n - 7) - (n + 2)(n - 3) ⋮ 6 với mọi n N
c) (n + 3)(n - 3) - (n + 9)(n + 3) ⋮ 12 với mọi n N d) (2n + 1)(2n + 1) + 4(2n + 1) + 5 ٪ 8 với mọi số nguyên lẻ
Giải
a) Ta phân tích bài toán thành một tổng các số hạng chia hết cho 6. n(n + 1)(2n + 1) = n(n + 1)[(n + 2) + (n - 1)]
= n(n + 1)(n + 2) + n(n + 1)(n - 1)
Tích của ba số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng chia hết cho 6. n(n + 1)(n + 2) ⋮ 6 , n(n + 1)(n - 1) ⋮ 6
[n(n + 1)(n + 2) + n(n + 1)(n - 1)] ⋮ 6 với mọi n N Vậy n(n + 1)(2n + 1) ⋮ 6 đpcm.
* Chú ý: Trong n số nguyên liên tiếp có 1 và chỉ 1 số chia hết cho n. b) Thực hiện phép tính tương tự để có kết quả là: - 6n + 6 = - 6(n - 1) ⋮ 6 c) Thực hiện phép tính tương tự để có kết quả: - 12(n + 3) ⋮ 12
d) Thực hiện phép tính tương tự để có kết quả là: 4n2 + 12n + 5
Vì n lẻ nên đặt n = 2k + 1 thay vào kết quả trên tiếp tục biến đổi ta được: 16k2 + 40k + 21 (k N)
16k2 ⋮ 8 ; 40k ⋮ 8 ; 21 ٪ 8 nên (16k2 + 40k + 21) ٪ 8 Vậy (2n + 1)(2n + 1) + 4(2n + 1) + 5 ٪ 8 với mọi số nguyên lẻ n. Bài toán 4: Chứng minh rằng: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
a. Tích của 2 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2 b. Tích của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 6
Giải
a. Trong 2 số nguyên liên tiếp bao giờ cũng có 1 số chẵn
Số chẵn đó chia hết cho 2.
Vậy tích của 2 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2.
Tích 2 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2 nên tích của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2
b. Trong 3 số nguyên liên tiếp bao giờ cũng có 1 số chia hết cho 3.
Tích 3 số đó chia hết cho 3 mà (1; 3) = 1
Vậy tích của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 6. Bài toán 5: Chứng minh rằng:
Tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 9 Giải
Gọi 3 số nguyên liên tiếp lần lượt là: n - 1, n, n+1 Ta có: A = (n - 1)3 + n3 + (n + 1)3 = 3n3 - 3n + 18n + 9n2 + 9 = 3(n - 1)n (n+1) + 9(n2 + 1) + 18n Ta thấy (n - 1)n (n + 1) 3 3(n - 1)n (n + 1) 9 mà ¿ 9(n2+1)⋮9 18n⋮9 ¿{ ¿ A 9 (Đpcm)
Bài toán 6: Chứng minh rằng:
n4 - 4n3 - 4n2 +16n 384 với n chẳn, n 4 Giải Vì n chẳn, n 4 ta đặt n = 2k, k 2 Ta có n4 - 4n3 - 4n2 + 16n = 16k4 - 32k3 - 16k2 + 32k = 16k(k3 - 2k2 - k + 2) = 16k(k - 2)(k - 1)(k + 1)
Với k 2 nên k - 2, k - 1, k + 1, k là 4 số tự nhiên liên tiếp nên trong 4 số đó có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4 (k - 2)(k - 1)(k + 1)k 8
Mà (k - 2)(k - 1)k 3 ; (3, 8) = 1
(k - 2)(k - 1)(k + 1)k 24
16(k - 2)(k - 1)(k + 1)k (16, 24)
Vậy n4 - 4n3 - 4n2 +16n 384 với n chẳn, n 4 Bài toán 7: Chứng minh rằng
a) 817 - 279 - 913 chia hết cho 405 b) 122n + 1 + 11n + 2 chia hết cho 133 Giải a) 817 - 279 - 913 = (34)7 - (33)9 - (32)13 = 328 - 327 - 326 = 326(32 - 3 -1) = 326.5 Mà 405 = 34. 5
Do đó 326.5 chia hết cho 34 .5 hay (817 - 279 - 913 ) chia hết cho 405 b) 122n + 1 + 11n + 2 = 122n .12 + 11n.112 = 12.144n + 11n . 121
= 12(144n - 11n) + 12.11n + 121.11n = 12(144n - 11n) + 11n(12 + 121) = 12.133n + 11n.133
Mỗi số hạng đều chia hết cho 133 Vậy (122n + 1 + 11n + 2) chia hết cho 133
Bài toán 8: Chứng minh các đẳng thức sau:
a) x3 + y3 + z3 = 3xyz + (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - xz - yz ) b) (x2 + x + 1)(x5- x4 + x3- x + 1) = x7 + x5 + 1 Giải a) x3 + y3 + z3 = 3xyz + (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - xz - yz ) Ta có: (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - xz - yz ) = x(x2 + y2 + z2 - xy - xz - yz ) + y(x2 + y2 + z2 - xy - xz - yz ) + z(x2 + y2 + z2 - xy - xz - yz ) = x3 + xy2 + xz2 - x2y - x2z - xyz + x2y + y3 + yz2 - xy2 - xyz - y2z + x2 z + y2z+ z3 - xyz - xz2 - yz2 = x3 + y3 + z3 - 3xyz
Thay kết quả này vào vế phải của đẳng thức ta được vế trái b) (x2 + x + 1)(x5 - x4 + x3 - x + 1) = x7 + x5 + 1 Thực hiện phép tính vế trái: (x2 + x + 1)(x5 - x4 + x3 - x + 1) = x2(x5 - x4 + x3 - x + 1) + x(x5 - x4 + x3 - x + 1) + (x5 - x4 + x3 - x + 1) = x7 - x6 + x5 - x3 + x2 + x6 - x5 + x4 - x2 + x + x5 - x4 + x3 - x + 1 = x7 + x5 + 1 Bằng vế phải
2.3.2 Biện pháp 2: Tập cho học sinh nhìn vấn đề dưới nhiều góc độ khác nhau 2.3.2.1 Biện pháp
- Giúp học sinh nhìn một vấn đề dưới nhiều góc độ khác nhau, trong những mối quan hệ khác nhau, từ đó có cách giải quyết phù hợp và sáng tạo.
- Nhìn vấn đề dưới nhiều góc độ khác nhau, giải quyết vấn về dưới nhiều khía cạnh, biện luận các khả năng có thể xảy ra.
2.3.2.2 Yêu cầu
Phát hiện và biết phân tích vấn đề, từ đó làm xuất hiện các trường hợp cần giải quyết. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
2.3.2.3 Bài tập vận dụng
Bài toán 1: Chứng minh rằng các biểu thức sau đây luôn luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến x.
a) x2 - 8x + 25 b) x2 + x + 5 c) (x - 5)(x - 7) + 6
Giải
Theo đề bài ta chứng minh biểu thức luôn nhận giá trị dương, nhưng thật ra ta biến đổi mỗi biểu thức thành một bình phương của một nhị thức cộng với một số dương. Dựa vào bình phương của nhị thức thì luôn luôn không âm với mọi giá trị của biến để lập luận:
a) x2 - 8x + 25 = x2 - 8x + 16 + 9 = (x - 4)2 + 9 (x - 4)2 0 với mọi x ; 9 > 0
Nên (x - 4)2 + 9 > 0 với mọi x
Tức là x2 - 8x + 25 luôn luôn nhận giá trị dương với mọi x b) Lập luận tương tự câu a: x2 + x + 5 = (x+1
2)2 + 194 c) Lập luận tương tự câu a: (x - 5)(x - 7) + 6 = (x - 6)2 + 5 Tương tự ta có thể giải các bài toán sau:
a) A = 4x2 - 4x + 5 > 0 với mọi số thực x b) B = 5x - x2 - 7 < 0 với mọi số thực x
c) (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad - bc)2 với a, b, c, d là các số thực
Bài toán 2: Cho a + b = S, a.b = P. Hãy biểu diễn theo S và P các biểu thức a) A = a3 + b3
b) B = a2 + b2 c) C = a2 + ab + b2
Giải a) Ta thực hiện phép biến đổi:
A = a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) = (a + b)[(a + b)2 - 3ab] = S(S2 - 3P) Với các câu b và c cũng biến đổi tương tự:
b) B = a2 + b2 = S2 - 2P c) C = a2 + ab + b2 = S2 - P
Bài toán 3: Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp biết rằng tích của chúng bằng 120. Giải
(n - 1)n(n + 1)(n + 2) = 120 ⇔ (n2 + n)(n - 1)(n + 2) = 120 ⇔ (n2 + n)(n2 + n - 2) = 120 ⇔ (n2 + n)(n2 + n) - 2(n2 + n) = 120 ⇔ (n2 + n)2 - 2(n2 + n) + 1 = 121 ⇔ (n2 + n - 1)2 = 112 ⇔ n2 + n - 1 = 11 ⇔ n2 + n - 12 = 0 ⇔ (n - 3)(n + 4) = 0 Vì n N nên n + 4 > 0. Suy ra chỉ có n - 3 = 0 ⇒ n = 3 Vậy 4 số tự nhiên liên tiếp phải tìm là 2, 3, 4, 5
Thử lại 2 . 3 . 4 . 5 = 120
Bài toán 4: a) Cho P = 30(319 + 318 + 318 +....+ 312 + 32) + 1 Chứng minh rằng P là một số chính phương.
b) Cho n = 2k + 1 (k N)
Chứng minh rằng n2 + 4n + 5 không chia hết cho 8. Giải a) Đặt a = 31 ⇒ 30 = a - 1 và 32 = a + 1 Ta có: P = (a - 1)(a9 + a8 + a7 +...+ a2 + a + 1) + 1 = a10 - 1 + 1 = a10 = (a5)2 P = (31)2 b) n = 2k + 1 k N Thì n2 + 4n + 5 = (2k + 1)2 + 4(2k + 1) + 5 = 4k2 + 4k + 1 + 8k + 4 + 5 = 4k2 + 4k + 8k + 10 = 4k(k + 1) + 8(k + 1) + 2
k và k + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên tích k(k + 1) ⋮ 2
Vậy 4k(k + 1) + 8(k + 1) + 2 ٪8
Tức là n2 + 4n + 5 không chia hết cho 8 với n = 2k + 1 (n là số lẻ) Bài toán 5: Một tam giác có độ dài các cạnh là a, b, c cho biết: a = x2 - y2 ; b = 2xy ; c = x2 + y2.
a) Tam giác có ba cạnh là a, b, c như trên là tam giác gì? b) Với x, y là hai số tự nhiên có x > y và xy = 6.
Tìm giá trị a, b, c sao cho a2 + b2 = c2. Giải a) Ta có: a = x2 - y2 ⇒ a2 = x4 - 2x2y2 + y4 b = 2xy ⇒ b2 = 4x2y2 c = x2 + y2 ⇒ c2 = x4 + 2x2y2 + y4 (1) a2 + b2 = x4 - 2x2y2 + y4 + 4x2y2 = x4 + x2y2 + y4 (2) Từ (1) và (2) ⇒ a2 = b2 + c2
Vậy tam giác có ba cạnh a, b, c như trên là tam giác vuông (theo định lý Pytago) b) Với x N, x > y và xy = 6 Thì hoặc x = 6, y = 1 hoặc x = 3, y = 2. - Nếu x = 6, y = 1 thì a = 36 - 1 = 35 ⇒ a2 = 1225 b = 2.6 = 12 ⇒ b2 = 144 c = 36 + 1 = 37 ⇒ c2 = 1369 ⇒ a2 + b2 = c2 - Nếu x = 3, y = 2 thì a = 9 - 4 = 5 ⇒ a2 = 25 b = 2.3.2 = 12 ⇒ b2 = 144 c = 9 + 4 = 13 ⇒ c2 = 169
⇒ a2 + b2 = c2
Vậy các giá trị a, b, c phải tìm là (35, 12, 37) hoặc (5, 12, 13). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});