Ham nhieu bien(quan)

ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP HÀM NHIỀU BIẾN BỘ MƠN MƠN TỐN TỐN BỘ Viện Đào tạo Mở, Đại học Kiến trúc Hà Nội BỘ MƠN TỐN HÀM NHIỀU BIẾN I CÁC KHÁI NIỆM Hàm hai biến x, y ánh xạ f : D → R, (x; y) → z = f (x, y) Trong D ⊂ R2 gọi miền xác định Tại (x0; y0) ∈ D; z0 := z(x0, y0) = f (x0, y0) gọi giá trị hàm số z (x0; y0) Coi (x; y) tọa độ điểm M mặt phẳng tọa độ (Oxy), ta có viết z = f (M ) = f (x, y) Khi D miền mặt phẳng (Oxy) Biểu diễn hình học hàm hai biến tập điểm không gian (Oxyz), G = {(x; y; z) : (x; y) ∈ D, z = f (x, y)} BỘ MƠN TỐN Cho hàm hai biến z = f (x, y) HÀM NHIỀU BIẾN CHÚ Ý Ý CHÚ Miền xác định z D = {(x; y)|f (x, y) có nghĩa} VD Cho hàm hai biến z = 2x + 8y Xác định miền xác định z Tính giá trị z (−1; 2) BỘ MƠN TỐN HÀM NHIỀU BIẾN Giải: Biểu thức z = 2x + 8y xác định đồng thời x, y ∈ R Miền xác định z D = {(x; y)| với x, y ∈ R} = R2 Tính giá trị z (−1; 2), thay x = −1 y = vào biểu thức z, ta được, z(−1, 2) = 2.(−1) + 8.2 = 14 VD Cho hàm số z = √ − x2 − y Tìm miền hội tụ z Tính giá trị z (0; a) với a số thực cho trước BỘ MƠN TỐN HÀM NHIỀU BIẾN Giải: +) Biểu thức z = √ − x2 − y xác định − x2 − y ≥ ⇔ x2 + y ≤ Miền xác định D = {(x; y)|x2 + y ≤ 1, với x, y ∈ R} +) Ta có (0; a) ∈ D a2 ≤ ⇔ |a| ≤ Khi |a| ≤ 1, ta có z(0, a) = √ − a2 Khi |a| > 1, hàm hai biến z không xác định (0; a) BỘ MƠN TỐN BT Tìm miền xác định hàm số hai biến sau: a) z = x3 + y − 3xy + 2020 b) z = xy + ln x x c) z = arctan + sin(2xy) y Đáp số: a) D = R2 b) D = {(x; y)|x > 0, y ∈ R} c) D = {(x; y)|y = 0, x ∈ R} HÀM NHIỀU BIẾN BỘ MƠN TỐN HÀM NHIỀU BIẾN Hàm ba biến x, y, z ánh xạ f : D → R, (x; y; z) → u = f (x, y, z) Trong D ⊂ R3 gọi miền xác định Tại (x0; y0; z0) ∈ D; u0 := u(x0, y0, z0) = f (x0, y0, z0) gọi giá trị hàm số ba biến u (x0; y0; z0) Coi (x; y; z) tọa độ điểm M khơng gian (Oxyz), ta viết u = f (M ) = f (x, y, z) Khi D miền không gian (Oxyz) Cho hàm ba biến u = f (x, y, z) Miền xác định u V = {(x; y; z)|f (x, y, z) có nghĩa} Hàm n biến định nghĩa tương tự CHÚ Ý Ý CHÚ BỘ MƠN TỐN HÀM NHIỀU BIẾN VD Cho hàm số ba biến u = 2x + 3y − 4z Tìm miền xác định u Tính giá trị u điểm (0; 0; 0) BỘ MƠN TỐN HÀM NHIỀU BIẾN Giải: Biểu thức u = 2x + 3y − 4z xác định đồng thời số thực x, y, z ∈ R Miền xác định V = {(x; y; z)| x, y, z ∈ R} = R3 Tính giá trị u (0; 0; 0); thay x = 0, y = z = vào biểu thức u, ta u(0, 0, 0) = BỘ MƠN TỐN BT Tìm miền xác định hàm ba biến sau: a) u = x.y.z + y + z + x √ b) u = − x2 − y − z x c) u = sin + ln z + cos(xyz) y Đáp số: a) V = R3 b) V = {(x; y; z)|x2 + y + z ≤ 1, x, y, z ∈ R} c) V = {(x; y; z)|y = 0, z > 0, x ∈ R} HÀM NHIỀU BIẾN BỘ MƠN TỐN VD 12 Tìm cực trị hàm số z = x6 + 6xy − 2y − HÀM NHIỀU BIẾN BỘ MƠN TỐN Giải: HÀM NHIỀU BIẾN z = x6 + 6xy − 2y − Ta có zx = 6x5 + 6y, zy = 6x − 6y 2, ✽ ❃ ❃ ❃ ❃ ❃ ❃ ❃ ❃ ❁ 6x5 + 6y = 0, Tọa độ điểm tới hạn nghiệm hệ ❃ ❃ ❃ ❃ ❃ ❃ ❃ ❃ ✿ 6x − 6y = Giải hệ, ta thu điểm dừng M (0; 0) N (1; −1) Lại có A = zxx = 30x4, B = zxy = 6, C = zyy = −12y Suy B − AC = 36 + 360x4.y − M (0; 0) có B − AC = 36 > nên M không điểm cực trị − N (1; −1) có B − AC = −324 < 0, A = 30 nên N điểm cực tiểu zmin = −5 BỘ MƠN TỐN VD 13 Tìm cực trị hàm số z = 10 − x4 − y HÀM NHIỀU BIẾN BỘ MƠN TỐN Giải: HÀM NHIỀU BIẾN Tìm cực trị hàm số z = 10 − x4 − y Ta có zx = −4x3, zy = −4y Điểm tới hạn M (0; 0) Ta có A = zx2 = −12x2, B = zxy = 0, C = zy2 = −12y Suy B − AC = −144x2y Tại M (0; 0), ta có B − AC = 0; chưa kết luận Ta có z(M ) = 10 z(x, y) − z(M ) = 10 − (x4 + y 4) − 10 = −(x4 + y 4) ≤ 0, ∀(x, y), M điểm cực đại, zmax = 10 BỘ MƠN TỐN VD 14 Tìm cực trị hàm số z = x3 + y HÀM NHIỀU BIẾN BỘ MƠN TỐN Giải: HÀM NHIỀU BIẾN Tìm cực trị hàm số z = x3 + y Ta có zx = 3x2; zy = 3y Vậy hàm số có điểm tới hạn M (0, 0) Ta có A = zx2 = 6x, B = zxy = 0, C = zy2 = 6y Suy B − AC = −36xy Tại M (0; 0), ta có B − AC = 0; chưa kết luận Lấy (x; y) thuộc hình trịn tâm M (0; 0) Ta thấy z(M ) = z(x, y) − z(M ) = x3 + y Hiệu dương (x; y) nằm góc phần tư thứ âm (x; y) nằm góc phần tư thứ ba Do M khơng điểm cực trị BỘ MƠN TỐN BT Tìm cực trị hàm số sau: a) z = x3 + 8y − 6xy + b) z = 8x3 + 2xy − 3x2 + y c) z = x + 2ey − ex − e2y d) z = x4 + y − x2 − 2xy − y HÀM NHIỀU BIẾN BỘ MÔN TOÁN HÀM NHIỀU BIẾN ĐÁP SỐ: ❺ a) M1(0; 0) không điểm cực trị; M2 1; ❺ b) M1(0; 0) không điểm cực trị; M2 ❺ c) M 0; ➄ ➄ ;− điểm cực tiểu, zmin = ➄ điểm cực tiểu, zmin = − 27 điểm cực đại, zmax = −1 d) Tại M1(1; 1), M2(−1; −1) có zmin = z(M1) = z(M2) = −2 Điểm dừng M3(0; 0) không điểm cực trị − M ∈ U (M3), M (x; −x) (x > 0) z(M ) − z(M3) = 2x4 > 0; − M ∈ U (M3), M (x; 0) (0 < x < 1) z(M )−z(M3) = x2(x2 −1) < BỘ MƠN TỐN HÀM NHIỀU BIẾN V CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN CỦA HÀM BIẾN Định nghĩa: Cực trị hàm số z = f (x, y) biến số x y bị ràng buộc biểu thức g(x, y) = gọi cực trị có điều kiện VD 15 Tìm cực trị hàm z = √ − x2 − y với điều kiện x + y − = √ √ Giải: Từ y = − x suy z = x − x2 (với ≤ x ≤ 1), lập bảng biến thiên ❺ zmin ➄ 1 =1=z , 2 Tuy nhiên, gặp số trường hợp hàm g(x, y) khó biểu thị x theo y y theo x để đưa z hàm biến, ta cần phương pháp tốt để tìm cực trị z Đó Phương pháp nhân tử Lagrange BỘ MƠN TỐN HÀM NHIỀU BIẾN Phương pháp nhân tử Lagrange cho hàm hai biến Ta có định lí sau điều kiện cần cực trị có điều kiện Định lí: Cho M0(x0; y0) điểm cực trị hàm z = f (x, y) với điều kiện g(x, y) = Khi hàm F (x, y, λ) = f (x, y) + λg(x, y) đạt cực trị M0, tức tồn số λ cho với x0, y0 thoả mãn hệ phương trình ✽ ❃ ❃ ❃ ❃ ❃ ❃ ❃ ❃ ❃ ❃ ❃ ❃ ❃ ❃ ❁ ❃ ❃ ❃ ❃ ❃ ❃ ❃ ❃ ❃ ❃ ❃ ❃ ❃ ❃ ✿ Fx = fx(x, y) + λgx(x, y) = Fy = fx(x, y) + λgy (x, y) = Fλ = g(x, y) = Số λ gọi nhân tử Lagrange BỘ MÔN TỐN HÀM NHIỀU BIẾN Nhận xét lưu ý • Định lí cho phép ta hạn chế việc tìm cực trị có điều kiện vào điểm thoả mãn hệ phương trình Định lí Các điểm gọi điểm tới hạn • Định lí điều kiện cần, tức ta phải kiểm tra lại điểm dừng tìm có thực điểm cực trị hay khơng BỘ MƠN TỐN HÀM NHIỀU BIẾN Điều kiện đủ để có cực trị có điều kiện Giả sử xét cực trị hàm z = f (x, y) với điều kiện g(x, y) = Lập hàm Lagrange F (x, y, λ) = f (x, y) + λg(x, y) ✽ ❃ ❃ ❃ ❃ ❃ ❃ ❃ ❃ ❃ ❃ ❃ ❃ ❃ ❃ ❁ Fx = fx(x0, y0) + λgx(x0, y0) = Giả sử tồn (x0, y0, λ) thỏa mãn Fy = fy (x0, y0) + λgy (x0, y0) = ❃ ❃ ❃ ❃ ❃ ❃ ❃ ❃ ❃ ❃ ❃ ❃ ❃ ❃ ✿ Fλ = g(x0, y0) = ✵ Tại giá trị này, ta lập ma trận ❇ ❇ ❇ ❇ ❇ ❇ ❇ ❇ ❇ ❇ ❇ ❇ ❇ ❇ ❇ ❇ ❅ ✶ gx gy ❈ ❈ ❈ ❈ ❈ ❈ ❈ ❈ ❈ ❈ ❈ ❈ ❈ ❈ ❈ ❈ ❆ H = gx Fxx Fxy gy Fyx Fyy Nếu det H > (hoặc < 0) hàm f (x, y) đạt cực đại (hoặc cực tiểu) có điều kiện M0(x0; y0) BỘ MƠN TỐN HÀM NHIỀU BIẾN VD 16 Tìm cực trị hàm f (x, y) = xy + 2x với điều kiện g(x, y) = 8x + 4y − 120 = Giải: Lập hàm Lagrange F (x, y, λ) = xy + 2x + λ(8x + 4y − 120) Giải hệ Fx = Fy = Fλ = x = 8, y = 14, λ = −2 Tại (8, 14, −2) tính gx = 8, gy = 4, Fxx = 0, Fxy = 1, Fyy = Do ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ gx gy ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ det H = gx Fxx Fxy = = 64 > 0, gy Fyx Fyy hàm đạt cực đại fmax = f (8, 14) = 128 BỘ MƠN TỐN HÀM NHIỀU BIẾN VD 17 Tìm cực trị hàm f (x, y) = 8x + 15y + 28 với điều kiện g(x, y) = 2x2 + 3y − 107 = Giải: Lập hàm Lagrange F (x, y, λ) = 8x + 15y + 28 + λ(2x2 + 3y − 107) ❺ Giải hệ Fx = Fy = Fλ = (x, y, λ) = 4, 5, − ➄ ❺ −4, −5, Tính đạo hàm riêng: gx = 4x, gy = 6y, Fxx = 4λ, Fxy = 0, Fyy = 6λ Do ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ gx gy ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ 4x 6y det H = gx Fxx Fxy = 4x 4λ gy Fyx Fyy Kết luận: fmax = f (4, 5) = 135, 6y 6λ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ ☞ = −48λ(2x2 + 3y 2) fmin = f (−4, −5) = −79 ➄ BỘ MƠN TỐN HÀM NHIỀU BIẾN BT a) Tìm cực trị hàm f (x, y) = 3x + 4y với điều kiện g(x, y) = x2 + y − = b) Tìm cực trị hàm z = xy với điều kiện (x − 1)2 + y = Đáp Số: ❺ ➄ ❺ ➄ 4 a) Kết luận: fmax = f , = 5, fmin = f − , − = −5 5 5 √ √ √ √ 3 3 3 3 b) Kết luận zmax = z , = , zmin = z ,− =− 2 2 ❻ ➅ ❻ ➅ ... định D Trong trường hợp hàm số nhiều hai biến số, ta định nghĩa tương tự • Nếu x biến số coi y tham số, lấy đạo hàm z theo x, ta đạo hàm riêng theo biến x Kí hiệu zx ∂z ∂x • Tương tự ta có đạo