toan hinh hoc lop 6 theo chuong trinh moi

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 CÁC CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC SÁCH GIÁO KHOA MỚI LỚP Tài liệu sưu tầm, ngày 21 tháng năm 2021 Website:tailieumontoan.com HH6.CHUYÊN ĐỀ 1-MỘT SỐ HÌNH PHẲNG TRONG THỰC TẾ CHỦ ĐỀ 1: HÌNH TAM GIÁC ĐỀU, HÌNH LỤC GIÁC ĐỀU PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT TAM GIÁC ĐỀU Trong tam giác có: cạnh nhau, góc góc 60° = 60° = C ∆ABC có: AB = BC = AC ; A= B LỤC GIÁC ĐỀU Hình lục giác có: cạnh nhau, góc góc 120° = BC = CD = DE = EF ; góc đỉnh A, B, C , D, E , F Hình lục giác ABCDEF có: AB 120° = BE = CF Ba đường chéo nhau: AD Ba đường chéo cắt trung điểm O đường: OA = OB = OC = OD = OE = OF PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI Tam giác Bài Trình bày cách vẽ tam giác ABC có cạnh cm thước thẳng compa Tính chu chu vi tam giác vừa vẽ được? Lời giải * Để vẽ tam giác ABC có độ dài cạnh cm thước thẳng compa, ta làm sau: Bước Dùng thước vẽ đoạn thẳng AB = cm Bước Lấy A làm tâm, dùng compa vẽ phần đường trịn có bán kính AB = cm Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Bước Lấy B làm tâm, dùng compa vẽ phần đường trịn có bán kính BA = cm ; gọi C giao điểm hai phần đường tròn vừa vẽ Bước Dùng thước thẳng vẽ đoạn thẳng AC BC Vậy ta tam giác ABC có cạnh cm C C A B cm cm A B cm A cm A B * Chu vi tam giác ABC là: 3.4 = 12 cm Bài Trình bày cách vẽ tam giác MNP có cạnh 5cm thước ê ke có góc 60° Tính chu vi tam giác vừa vẽ được? Lời giải * Để vẽ tam giác MNP có độ dài cạnh 5cm thước ê kê có góc 60° , ta làm sau: Bước 1: Vẽ đoạn thẳng MN = 5cm (dùng thước thẳng) Bước 2: Vẽ góc NMx 60° (dùng ê kê có góc 60° ) Bước 3: Vẽ góc MNy 60° (dùng ê kê có góc 60° ) Hai tia Mx Ny cắt P Bước 4: Nối M với P , N với P ta tam giác MNP x x y P P 60° M 60° cm N M cm 60° 60° 60° N M cm N * Chu vi tam giác MNP là: 3.5 = 15cm Bài Trình bày cách cắt giấy tam giác từ hình vng Lời giải Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC B Website:tailieumontoan.com Bước 1: Gấp hình theo hình Bước 2: Gấp tiếp hình theo hình Bước 3: Cắt theo đường gạch đỏ hình ta tam giác Bài Vẽ tam giác DEF có cạnh cm Gọi M điểm cạnh DE , N điểm cạnh EF , P điểm cạnh DF a) Hãy kiểm tra xem tam giác MNP tam giác gì? Tính chu vi tam giác MNP ? b) Tính tỉ số chu vi tam giác MNP chu vi tam giác DE.F Lời giải D P M E N F = PN = MN nên tam giác MNP tam giác a) Dùng thước thẳng (hoặc compa) kiểm tra ta thấy: MP = NE = EM Tương tự ta kiểm tra tam giác EMN tam giác nên MN Vì M điểm cạnh ED nên EM = 1 ED = = 3cm ⇒ MN = 3cm 2 Vậy chu vi tam giác MNP 3.3 = ( cm ) b) Ta có chu vi tam giác DEF 6.3 = 18 ( cm ) Suy ra, tỉ số chu vi tam giác MNP chu vi tam giác DE.F = 18 Hay chu vi tam giác MNP nửa chu vi tam giác DE.F Bài Vẽ tam giác ABC có độ dài cạnh x cm Vẽ phía ngồi tam giác tam giác ABC tam giác APB, AQC , BRC a) Hình PQR có phải hình tam giác khơng? b) Tính chu vi hình PQR Lời giải Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com A P B Q C x cm R = QR = PR nên tam giác PQR tam giác a) Dùng thước thẳng (hoặc compa) kiểm tra ta thấy: PQ b) Vì tam giác ABC , APB, AQC , BRC tam giác nên: AB = BC = AC , AB = AP = PB, = CR = BR nên AP AC = AQ = QC , BC = AQ = x cm Do độ dài cạnh PQ x ( cm ) Vậy chu vi tam giác PQR x.3 = x ( cm ) Bài Cho ABC Gọi D, E , F điểm cạnh AB, BC , AC Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác AMP, APC , BQC a) Kiểm tra xem tam giác DEF , MPQ tam giác gì? b) Cho chu vi tam giác DEF cm , tính chu vi tam giác MPQ A M D B P F E C Q Lời giải = PQ = MQ nên tam a) Dùng thước thẳng (hoặc compa) kiểm tra ta thấy: DE = EF = DF , MP giác DEF , MPQ tam giác Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com b) Ta có AD = AB = 1 AB nên CDEF = C ABC 2 1 MQ nên C ABC = CMPQ 2 Ta suy CDEF = CMPQ hay CMPQ = 4.CDEF Mà CDEF = cm = 9.4 = 36 ( cm ) Vậy CMPQ LỤC GIÁC ĐỀU: Dạng 1: Vẽ hình lục giác số yếu tố hình lục giác đều: I Phương pháp giải: - Dựa vào cách vẽ tam giác biết độ dài cạnh cạnh nó, để vẽ hình lục giác có độ dài cạnh xác định thước compa, êke compa - Dựa vào cách ghép sáu tam giác để tạo hình lục giác II Bài toán: Bài 1: Nêu cách tạo lục giác từ miếng bìa? Lời giải: Bước 1: Cắt miếng bìa cho thành sáu hình tam giác có cạnh Bước 2: Ghép sáu miếng bìa để hình lục giác Bài Trình bày cách vẽ tam giác MNO có cạnh cm thước thẳng compa a) Từ vẽ hình lục giác MNPQRH ? b) Kể tên đỉnh, cạnh, góc, đường chéo hình lục giác MNPQRH ? c) Hãy nhận xét độ dài cạnh, đường chéo độ lớn góc hình lục giác MNPQRH ? Lời giải: * Để vẽ tam giác MNO có độ dài cạnh cm thước thẳng compa, ta làm sau: Bước Dùng thước vẽ đoạn thẳng MN = cm Bước Lấy M làm tâm, dùng compa vẽ phần đường trịn có bán kính MN = cm Bước Lấy N làm tâm, dùng compa vẽ phần đường trịn có bán kính NM = cm ; gọi O giao điểm hai phần đường trịn vừa vẽ Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Bước Dùng thước thẳng vẽ đoạn thẳng OM ON Ta tam giác MNO có cạnh cm a) (Trình tự vẽ đỉnh cịn lại lục giác MNPQRH khác so với lời giải – đáp án mở) Bước 5: Lấy O làm tâm, dùng compa vẽ phần đường trịn có bán kính ON = cm Lấy N làm tâm, dùng compa vẽ phần đường trịn có bán kính NO = cm ; gọi P giao điểm hai phần đường tròn vừa vẽ (điểm P khác điểm M ).Tương tự tiếp tục vẽ điểm Q (điểm Q khác điểm N ), điểm R (điểm R khác điểm P ), điểm H (điểm H khác điểm Q ) Bước 6: Dùng thước thẳng vẽ đoạn thẳng NP, PQ, QR, RH , HM Vậy ta hình lục giác MNPQRH b) Hình lục giác MNPQRH có: Sáu đỉnh M , N , P, Q, R, H Sáu cạnh MN , NP, PQ, QR, RH Sáu góc đỉnh M , N , P, Q, R, H Ba đường chéo MQ, NR, PH c) Theo cách vẽ ta có tam giác OMN , ONP, OPQ, OQR, ORH , OHM vậy: MN = NP = PQ = QR = RH = HM = ( cm )   =  QRH    MNP = = NPQ PQR = RHM = HMN = 1200 MQ = MO +OR = + = (cm); = NO + OR = + = (cm); NR PH = PO +OH = + = (cm); Bài Trình bày cách vẽ tam giác OAB có cạnh 5cm thước ê kê có góc 60° Từ nêu cách vẽ hình lục giác ABCDEF ? Lời giải Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com * Để vẽ tam giác OAB có độ dài cạnh 5cm thước ê kê có góc 60° , ta làm sau: Bước 1: Vẽ đoạn thẳng AB = 5cm (dùng thước thẳng) Bước 2: Vẽ góc BAx 60° (dùng ê kê có góc 60° ) Bước 3: Vẽ góc ABy 60° (dùng ê kê có góc 60° ) Hai tia Ax By cắt O Bước 4: Nối O với A , O với B ta tam giác OAB Bước 5: Tương tự trên, vẽ tam giác OBC, OCD,ODE,OEF, OFA (trình tự vẽ tam giác khác lời giải – đáp án mở) Vậy ta vẽ lục giác ABCDEF Bài Trình bày cách cắt giấy lục giác từ hình vng (khuyến khích hs tìm hiểu thêm cách gấp giấy khác) Lời giải Bước 1: Gấp hình vng cho hai cạnh trùng khít lên (theo hình a) Bước 2: Gấp đơi hình chữ nhật cho chiều dài trùng khít lên (theo hình b) Bước 3: Trải phẳng tờ giấy hình vuông ban đầu, xác định giao điểm nếp gấp cạnh hình vng (theo hình c) Bước 4: Tại giao điểm thứ ba cạnh hình vng, gấp giao điểm thứ trùng lên cạnh liên kề hình vng (theo hình d) (tính từ phải sang trái) Bước 5: Trải phẳng tờ giấy hình vng, gấp ngang hình vng giao điểm xác định bước (như hình e) Bước 6: Dùng kéo cắt theo nếp gấp đánh dấu màu đỏ (như hình g) Bước 7: Mở đơi hình thang cân hình lục giác (như hình h) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Dạng : Cách nhận biết hình lục giác I.Phương pháp giải: - Dựa vào đặc điểm chung cạnh, góc để nhận biết hình lục giác II.Bài tốn: Bài 5: Trong hình đây, hình hình lục giác Hình Hình Hình Hình Hình Lời giải: Hình 1: Hình sáu cạnh PQRHKL khơng phải lục giác cạnh khơng Hình 2: Hình sáu cạnh ABCDGH khơng phải lục giác góc khơng Hình 3: Hình sáu cạnh EFIJKL lục giác có cạnh nhau, góc Hình 4: Đa giác ABCDEF khơng phải lục giác cạnh khơng nhau, góc khơng Hình 5: Đa giác ABCDNM khơng phải lục giác cạnh khơng nhau, góc khơng Dạng 3: Tính chu vi, diện tích hình lục giác I.Phương pháp giải: Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Thơng qua cơng thức tính chu vi, diện tích hình tam giác hình tứ giác học tiểu học để tính chu vi, diện tích hình lục giác Tính chu vi, diện tích hình lục giác biết độ dài cạnh II.Bài tốn: Bài 6: Cho hình lục giác ABCDEF hình sau, biết OA = ( cm ) , BF = 10, ( cm ) a) Tính chu vi hình lục giác ABCDEF b) Tính diện tích hình lục giác ABCDEF Lời giải: C B D A O a) Hình lục giác ABCDEF có F E OA = AB = BC = CD = DE = EF = FA = ( cm ) ( OA = ( cm ) nên tam giác OAB, OBC , OCD, ODE , OEF , OFA tam giác đều) = 6.6 = 36 ( cm ) Vậy chu vi hình lục giác ABCDEF AB 1 ⋅ OA = ⋅ BF 6.= 10, 31, ( cm ) 2 Theo hình vẽ diện tích hình lục giác ABCDEF gấp ba lần diện tích hình thoi ABOF b) Diện tích hình thoi ABOF là: Vậy diện tích hình lục giác ABCDEF là: 31,2 = 93,6 (cm2) Bài Người ta thiết kế viên đá lát vườn hình lục giác cách ghép viên đá hình thang cân lại với (như hình bên) Mỗi viên đá hình thang cân có hai đáy 10 cm 20 cm, chiều cao 8,6 cm Hỏi viên đá lát hình lục giác tạo thành có diện tích bao nhiêu? (Biết diện tích mạch ghép khơng đáng kể) Lời giải: Diện tích viên đá hình thang cân (10 + 20) 8, = 129 (cm ) là: Diện tích viên đá lục giác là: 129 = 258 (cm ) Dạng 4: Bài toán thực tế, toán liên quan đến lục giác Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com HH6 CHUYÊN ĐỀ - ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC CHỦ ĐỀ 2: ĐOẠN THẲNG, ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG, TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT ĐOẠN THẲNG, ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG Đoạn thẳng hình gồm điểm A , điểm B tất điểm nằm A B A B Mỗi đoạn thẳng có độ dài Độ dài đoạn thẳng số dương AB = CD ⇔ AB CD có độ dài A B C D AB < CD ⇔ độ dài đoạn thẳng AB nhỏ độ dài đoạn thẳng CD A B C D AB > CD ⇔ độ dài đoạn thẳng AB lớn độ dài đoạn thẳng CD A B C D Điểm nằm hai điểm: A M B Nếu điểm M nằm điểm A điểm B AM  MB  AB Ngược lại, AM  MB  AB điểm M nằm hai điểm A B Nếu AM + MB ≠ AB điểm M khơng nằm A B A M N B Nếu điểm M nằm hai điểm A B ; điểm N nằm hai điểm M B AM + MN + NB = AB VẼ ĐOẠN THẲNG CHO BIẾT ĐỘ DÀI Trên tia Ox vẽ điểm M cho OM = a (đơn vị dài) Trên tia Ox , OM = a , ON = b < a < b hay OM < ON điểm M nằm hai điểm O N Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Trên tia Ox có điểm M , N , P , OM = a ; ON = b , OP = c < a < b < c hay OM < ON < OP điểm N nằm hai điểm M P TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG Trung điểm đoạn thẳng điểm nằm hai đầu đoạn thẳng cách hai đầu đoạn thẳng M A B Nếu M trung điểm đoạn thẳng AB thì: Điểm M nằm hai điểm A , B MA = MB = AB Nếu M nằm hai đầu đoạn thẳng AB MA = AB M trung điểm đoạn AB Mỗi đoạn thẳng có trung điểm PHẦN II CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng chứng minh điểm nằm I.Phương pháp giải  Để tính độ dài đoạn thẳng ta thường sử dụng nhận xét sau: • Nếu điểm M nằm điểm A điểm B AM + MB = AB Ngược lại, AM + MB = AB điểm M nằm hai điểm A B • Nếu điểm M nằm hai điểm A B ; điểm N nằm hai điểm M B AM + MN + NB = AB AB  Để chứng minh điểm nằm hai điểm ta thường sử dụng nhận xét sau: • Nếu M trung điểm đoạn thẳng AB MA = MB = • Nếu AM + MB = AB điểm M nằm hai điểm A B • Trên tia Ox , OM = a , ON = b < a < b hay OM < ON điểm M nằm hai điểm O N • Nếu tia OM tia ON hai tia đối điểm O nằm hai điểm M N II.Bài toán Bài 1: Cho đoạn thẳng AB = cm Gọi C điểm nằm A B , AC = cm M trung điểm BC Tính BM Lời giải: A C M B Vì điểm C nằm hai điểm A B Nên AC + BC = AB ⇒ + BC = Suy BC = − = (cm) Vì M trung điểm đoạn thẳng BC Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Nên BM= BC = = (cm) 2 Bài 2: Cho đoạn thẳng AB = cm M điểm nằm hai điểm A B Gọi C D trung điểm đoạn thẳng AM MB Tính độ dài đoạn thẳng CD Lời giải: A M C D B Vì điểm M nằm hai điểm A B nên AM + MB = AB Vì C D trung điểm đoạn thẳng AM MB nên ta có: CM = AM MB , MD = 2 Vì M nằm A B , C nằm A M , D nằm M B , suy M nằm C D AM MB AB Do CD = CM + MD = + (cm) = == 2 2 Bài 3: Trên tia Ox cho điểm A , B , C , D biết A nằm B C ; B nằm C D ; OA = cm, OD = cm, BC = cm độ dài đoạn AC gấp đôi độ dài đoạn BD Tính độ dài đoạn BD , AC Lời giải: O D B A C x Vì A nằm B C nên BA + AC = BC ⇒ BA + AC =⇒ AC =− AB (1) Vì A nằm B C ; B nằm C D ⇒ B nằm A D Trên tia Ox , ta có OD < OA ( < ) Nên điểm D nằm hai điểm O A Suy : OD + DA = OA ⇒ + DA = ⇒ DA = (cm) Vì B nằm hai điểm A D Nên DB + BA = DA ⇒ DB + BA = ( 2) ⇒ BD= − AB Từ (1) ( ) ta có: AC − BD = Theo đề ra: AC = BD thay vào ( 3) ( 3) Ta có BD − BD = ⇒ BD = (cm) ⇒ AC = BD Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ⇒ AC = (cm) Vậy AC = (cm), BD = (cm) Bài 4: Đoạn thẳng AB = 36 cm chia thành bốn đoạn thẳng có độ dài khơng theo thứ tự đoạn thẳng AM , MN , NP PB Gọi E , F , G , H theo thứ tự trung điểm đoạn thẳng AM , MN , NP, PB Biết độ dài đoạn thẳng EH = 30 cm Tính độ dài đoạn thẳng FG Lời giải: A E M F N G H P B Vì đoạn thẳng AB chia thành bốn đoạn thẳng có độ dài không theo thứ tự đoạn thẳng AM , MN , NP , PB nên suy điểm M , N , P nằm hai điểm A , B theo thứ tự M nằm A N , N nằm M P , P nằm N B Mặt khác : E , F , G , H theo thứ tự trung điểm đoạn thẳng AM , MN , NP , PB nên điểm E nằm hai điểm A H , điểm H nằm hai điểm E B Do ta có: AE + EH + HB = AB Mà AB = 36 , EH = 30 Suy ra: AE + 30 + HB = 36 ⇒ AE + HB =36 – 30 = Mà AE = (1) PB AM HB = (do E H trung điểm AM PB ) 2 ( 2) Từ (1) ( ) ta có : AM PB AM + PB + = = 2 ⇒ AM + PB = 12 (cm) AE + HB = Vì điểm M , N , P nằm hai điểm A , B theo thứ tự M nằm A N , N nằm M P , P nằm N B nên ta có: AM + MP + PB = AB Suy ra:= MP AB – ( AM + PB ) =36 –12 ⇒= MP 24 ( cm ) Mặt khác F , G trung điểm MN , NP nên ta có: FN = NP MN ; NG = 2 MN NP MN + NP (*) + = 2 Theo đề bài, thứ tự điểm chia thứ tự trung điểm đoạn thẳng N điểm nằm hai điểm F , G N điểm nằm hai điểm M , P Do ta có: FN + NG = Do ta có: FN + NG = FG , MN + NP = MP MP 24 = = 12 (cm) 2 Vậy độ dài đoạn thẳng FG 12 (cm) Thay vào (*) ta có: FG = Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Bài 5: Đoạn thẳng AB có độ dài 28 cm chia thành ba đoạn thẳng không theo thứ tự AC , CD DB Gọi E , F trung điểm đoạn thẳng AC , DB Biết độ dài đoạn EF = 16 cm Tìm độ dài đoạn CD Lời giải: A E D C B F Đoạn AB chia thành ba đoạn theo thứ tự AC , CD DB Vậy hai điểm C , D nằm hai điểm A B Vì E trung điểm AC nên AE = F trung điểm DB nên FB = AC (1) DB ( 2) AC DB AC + BD + ⇒ AE + FB = 2 Vì điểm E điểm F nằm hai điểm A , B điểm E nằm hai điểm A , F Nên: AE + EF + FB = AB ⇒ AE + FB = AB − EF Từ (1) ( ) có : AE + FB = AC + BD = 28 − 16 = 12 Suy ra: AC + BD = 24 (cm) Suy AE + FB = Vậy đoạn CD= AB - ( AC + BD)= 28 - 24= (cm) Bài 6: Cho đoạn thẳng AB = cm Trên tia đối tia AB lấy điểm C Biết E trung điểm đoạn thẳng CA , F trung điểm đoạn thẳng CB a) Chứng tỏ độ dài đoạn CB lớn độ dài đoạn CA b) Tìm độ dài đoạn EF Lời giải: C E A F B a) Điểm C thuộc tia đối tia AB nên điểm A nằm hai điểm B , C Suy BC = BA + AC Mà BA, AC , BC > Suy độ dài đoạn CB lớn độ dài đoạn CA b) Vì F trung điểm đoạn CB , nên : CF = CB (1) CA ( 2) Mà CA < CB ( câu a), nên CE < CF , chứng tỏ điểm E nằm hai điểm C , F Vì E trung điểm đoạn CA , nên : CE = Suy : CF = CE + EF Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ⇒ EF = CF - CE ( 3) CB CA CB − CA AB Thay (1) ( ) vào ( 3) , ta có : EF = − = = = =3 (cm) 2 2 Vậy EF = (cm) Bài 7: Vẽ tia Ax Trên tia Ax xác định hai điểm B C cho B nằm A , C AC = cm, AB = 3BC Tính độ dài đoạn AB, BC (Đề thi HSG huyện Hưng Hà 2020-2021) Lời giải: B A C x Vì điểm B nằm hai điểm A , C nên AB + BC = AC Mà AB = 3BC , AC = cm Suy ra:   3BC + BC =  8  ⇒ BC =  8  ⇒ BC = (cm) Do đó: AB = 2.3 = (cm) Vậy AB = (cm), BC = (cm) Bài 8: Trên tia Ox lấy điểm A B cho OA = cm, OB = cm Gọi  I trung điểm đoạn thẳng OA , K trung điểm đoạn thẳng AB Tính độ dài đoạn thẳng AB , IK (Đề thi HSG huyện Nông Cống 2020 - 2021) Lời giải: O I A K B x Trên tia Ox , ta có OA < OB ( < ) nên điểm A nằm hai điểm O B Do đó: OA + AB = OB ⇒ + AB = ⇒ AB = − = (cm) Vì  I trung điểm đoạn thẳng OA OA = = (cm) 2 Vì K trung điểm đoạn thẳng AB Nên OI= IA= AB = = (cm) 2 Mà điểm A nằm hai điểm O B , điểm  I nằm hai điểm O A , K nằm hai điểm A B nên suy A nằm hai điểm I K Suy ra: AI + AK = IK ⇒ IK =1 + = (cm) Nên AK= KB= Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Vậy AB = (cm), IK = (cm) Bài 9: Cho ba điểm A , O , B cho OA = cm, OB = cm AB = cm Lấy điểm M nằm đường thẳng AB cho OM = cm Tính độ dài đoạn thẳng AM ? (Đề thi HSG huyện Hoa Lư 2020-2021) Lời giải: Vì OA + OB = AB + = nên điểm O nằm hai điểm A B ⇒ O nằm đường thẳng AB hai tia OA , OB đối +) Trường hợp 1: M nằm tia OB A O B M Ta có: OM OA hai tia đối nên O nằm A M Khi đó: AM = AO + OM = + = (cm) +) Trường hợp 2: M nằm tia OA M A O B Trên tia OA , ta có OM < OA (do < ) nên điểm M nằm hai điểm O A Khi đó: OM + MA = OA ⇒ AM = OA − OM = − = (cm) Vậy AM = (cm), AM = (cm) Bài 10: Cho đoạn thẳng AB biết AB = 10 cm Lấy điểm C , D đoạn AB ( C , D không trùng với A , B ) cho AD + BC = 13 cm Chứng minh rằng: Điểm C nằm hai điểm A D Tính độ dài đoạn thẳng CD (Đề thi HSG huyện Gia Bình 2020-2021) Lời giải: A C D B 1) Vì điểm C nằm đọan AB nên điểm C nằm hai điểm A , B Suy AC + CB = AB 10 ⇒ AC + CB = ⇒ AC =10 − CB (1) Theo ta có: AD + BC = 13 ⇒ AD = 13 − BC ( 2) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Từ (1) ( ) suy AC < AD Trên tia AB có AC < AD nên điểm C nằm hai điểm A D 2) Vì điểm C nằm A D nên AC + CD = AD Ta có: AD + BC = 13 ⇒ AC + CD + BC = 13 ⇒ ( AC + BC ) + CD = 13 13 ⇒ AB + CD = ⇒ CD =13 − AB ⇒ CD = 13 − 10 = (cm) Vậy CD = (cm) Dạng 2: Chứng minh điểm trung điểm đoạn thẳng, chứng minh đẳng thức độ dài có liên quan I.Phương pháp giải Để chứng minh M trung điểm đoạn thẳng AB , ta thường làm sau: Cách Bước 1: Chứng tỏ điểm M nằm A B Bước 2: Chứng tỏ MA = MB AB Cách Bước 1: Chứng tỏ điểm M nằm A B Cách Chứng minh MA = MB = Bước 2: Chứng tỏ MA = AB AB MB = 2 II Bài toán Bài 1: Gọi A B hai điểm tia Ox cho OA = cm, OB = cm Trên tia BA lấy điểm C cho BC = cm Tính độ dài đoạn thẳng AB AC Lời giải: O C A B x Trên tia Ox , ta có: OA < OB (4 < 6) nên điểm A nằm hai điểm O B Suy AB + OA = OB ⇒ AB = OB − OA ; Mà OA = cm, OB = cm Nnên AB = − = (cm) Trên tia BA , ta có BA < BC (2 < 3) nên điểm A nằm hai điểm B C Suy AC + BA = BC ⇒ AC = BC − BA Mà BC = cm, AB = cm Do đó: AC = − = (cm) Liên hệ tài liệu word môn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Vậy AB = (cm), AC = (cm) Bài 2: Trên tia Ox cho điểm A , B , C , D Biết A nằm B C ; B nằm C D ; OA = cm, OD = cm, BC = cm AC = 3BD a) Tính độ dài AC b) Chứng tỏ rằng: Điểm B trung điểm đoạn thẳng AD Lời giải: O D B C A x a) Đặt BD = x (cm) ⇒ AC = x (cm) Trên tia Ox có OD < OA ( < ) Nên điểm D nằm hai điểm O A Suy ra: OD + DA = OA ⇒ DA = OA − OD = − = (cm) Vì điểm B nằm hai điểm D C , điểm A nằm hai điểm B C Nên điểm B nằm hai điểm D A Suy DB + BA = DA ⇒ DB + BA = (1) ⇒ x + BA = Vì A nằm B C nên: BA + AC = BC hay x + BA = ( 2) Từ (1) ( ) ta có: (3 x + BA) − ( x + BA) =8 − ⇒ 2x = ⇒ x = ⇒ AC =3.2 =6 (cm) Vậy AC = (cm) b) Theo (1) ta có: x + BA = mà x = ⇒ BA = Mà BD ==⇒ x BD = BA Mặt khác điểm B nằm điểm D A Suy B trung điểm đoạn thẳng AD Bài 3: Trên tia Ox lấy hai điểm M N , cho OM = cm ON = cm a) Tính độ dài đoạn thẳng MN b) Lấy điểm P tia Ox , cho MP = cm Tính độ dài đoạn thẳng OP c) Trong trường hợp M nằm O P Chứng tỏ P trung điểm đoạn thẳng MN Lời giải: O M N x a) Trên tia Ox , ta có: OM < ON ( < ) nên M nằm hai điểm O N ⇒ OM + MN = ON ⇒ + MN = Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ⇒ MN = − = (cm) Vậy MN = (cm) b)TH1: P nằm M N M O P N x N x N x Vì P nằm M N mà M nằm hai điểm O N Nên M nằm O P ⇒ OP = OM + MP ⇒ OP = + = (cm) TH2: P nằm O M O P M Vì P nằm O M Nên OM = OP + PM ⇒ 3= OP + ⇒ OP = (cm) c)Vì M nằm O P nên MO + MP = OP ⇒ OP = + = (cm) M O P Trên tia Ox , ta có OP < ON ( < ) nên P nằm O N ⇒ OP + PN = ON ⇒ + PN = ⇒ PN = (cm) Do đó: MP = PN (1) Trên tia Ox , ta có: OM < OP < ON ( < < ) nên P nằm M N ( 2) Từ (1) ( ) suy P trung điểm MN Bài 4: Cho điểm A , B , C nằm đường thẳng Các điểm M , N trung điểm đoạn thẳng AB , AC Chứng tỏ rằng: BC = MN Bài tốn có trường hợp, chứng tỏ trường hợp đó? Lời giải: - Trường hợp 1: Hai điểm B , C phía với A , tức hai tia AB , AC trùng A M N B C * Trường hợp chia làm hai trường hợp nhỏ : AB > AC , AC > AB (hai trường hợp chứng minh tương tự) Giả sử: AC > AB Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Vì N trung điểm AC , nên: AN = NC = AC Vì M trung điểm AB , nên: AM = MB = AB (1) ( 2) Từ (1) ( ) ta có : AN − AM = ( 3) AC AB AC − AB − = 2 Ta xét AC > AB , nên điểm B nằm hai điểm A C Suy ra: AC =+ AB BC = > BC =− AC AB ( 4) AB < AC = > AM < AN nên điểm M nằm hai điểm A N Suy ra: AN =+ AM MN = > MN =− AN AM ( ) BC hay BC = MN * Trường hợp 2: Hai tia AB AC đối Thay ( ) ( ) vào ( 3) , ta có: MN = Mà điểm M thuộc tia AB , điểm N thuộc tia AC Nên AM AN hai tia đối B A M = MB = M trung điểm AB , nên: AM N trung điểm AC , nên: AN = NC = N AB ( 6) AC (7) C Từ ( ) ( ) có: AB + AC AM + AN = (8) Vì AB , AC hai tia đối nhau, nên điểm A nằm hai điểm B , C Suy ra: BC = BA + AC (9) Vì M N thuộc hai tia đối AB , AC nên điểm A nằm hai điểm M , N Suy ra: MN = AM + AN (10 ) BC hay BC = MN Bài 5: Đoạn thẳng AB có độ dài a chia thành ba đoạn thẳng hai điểm chia P , Q Thay ( ) (10 ) vào ( ) , ta có : MN = theo thứ tự đoạn AP , PQ , QB cho = AP 2= PQ 2QB Tìm khoảng cách giữa: a) Điểm A điểm I với I trung điểm QB b) Điểm E điểm I với E trung điểm đoạn AP Lời giải: Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com A E P Q I B a) Đoạn AB chia thành ba đoạn theo thứ tự AP , PQ , QB nên suy AB = AP + PQ + QB Mà = AP 2= PQ 2QB (1) Suy ra: PQ = QB ( 2) Vậy AB = 2QB + BQ + QB = 4QB ( 3) QB ( 4) I trung điểm QB , mà Q nằm hai điểm A , B nên I nằm hai điểm A , B Vì I trung điểm QB , nên : QI = IB = ( 5) Suy ra: AB = AI + IB Từ ( 3) ta có: AB = 4QB ⇒ QB = ( 6) AB QB AB QB AB ⇒ = ⇒ IB = QI = = 8 Thay ( ) vào ( ) có: AB = AI + AB AB AB − AB = 8 ⇒ AI = AB − ⇒ AI= AB a (cm) = 8 b) Theo ( 3) ta có: AB = 4QB Theo (1) ta có: 2QB = AP Vậy ta suy ra: AB = AP ⇒ AP = AB Mà E trung điểm AP , nên EP = AP AB = (7) mà PQ = QB , AB (8) Theo đầu bài, đoạn AB chia thành ba đoạn thẳng theo thứ tự AP , PQ , QB Vậy : PQ = QB = (9) Suy EI = EP + PQ + QI Thay ( ) , ( ) , ( ) vào ( ) có: EI = Liên hệ tài liệu word mơn toán: 039.373.2038 AB AB AB + + 4 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ⇒ EI = AB 5a (cm) ⇒ EI = 8 Bài tập 6: Trên tia Ox vẽ điểm A , B , C cho OA = 12cm , OB = 19cm , OC = 26cm Điểm B có trung điểm đoạn thẳng AC hay khơng? Vì sao? Lời giải: O B A C x Trên tia Ox ta có OA < OB ( 12 < 19 ) nên A nằm hai điểm O B Suy ra: OA + AB = OB ⇒ AB = OB − OA = 19 − 12 = (cm) (1) Trên tia Ox ta có OB < OC ( 19 < 26 ) nên điểm B nằm hai điểm O C Suy ra: OB + BC = OC ⇒ BC = OC − OB = 26 − 19 = (cm) ( 2) Từ (1) ( ) suy AB = BC ( 3) Mặt khác Trên tia Ox ta có OA < OB < OC (12 < 19 < 26 ) ( 4) suy điểm B nằm hai điểm A C Từ ( 3) ( ) ⇒ B trung điểm đoạn thẳng AC Bài tập 7: Cho đoạn thẳng AB trung điểm M Chứng tỏ C điểm thuộc đoạn CA − CB thẳng MB CM = Lời giải: A M Vì điểm M nằm hai điểm A C nên: = CA C MA + CM B (1) Vì điểm C nằm hai điểm M B nên: CM + CB = MB = > CB = MB − CM Vì M trung điểm AB nên MA = MB = ( 2) AB ( 3) Từ (1) , ( ) ( 3) ta được: CA − CB = 2CM CA − CB Bài tập 8: Trên tia Ox xác định điểm A B cho OA = a (cm), OB = b (cm) Suy ra: CM = a) Tính độ dài đoạn thẳng AB , biết b < a Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ( a + b) b) Xác định điểm M tia Ox cho OM = Lời giải: O B M A x a) Trên tia Ox , ta có: OB < OA ( b < a ) nên điểm B nằm điểm O điểm A Suy ra: OB + AB = OA Suy ra: AB = OA − OB = a − b a + b 2b + a − b a −b b) Vì M nằm tia Ox OM = (a + b) = = =b + = 2 2 OA − OB OB + = OB + AB 2 ⇒ M điểm thuộc đoạn thẳng AB cho AM = BM Bài 9: Trên tia Oy , lấy điểm M H cho OM = cm, OH = 10 cm Tính độ dài đoạn thẳng HM Điểm M có trung điểm đoạn thẳng OH khơng? Vì sao? Cho đoạn thẳng AB Điểm C thuộc tia đối tia BA Gọi M , N theo thứ tự trung điểm BC CA + CB AB AC Chứng minh rằng: CM = MN = 2 (Đề thi HSG huyện Ninh Bình 2020-2021) Lời giải: 1) Chứng minh M nằm O H O H M y Ta có OM + MH = OH ⇒ MH = 10 − = 5cm Điểm M có trung điểm đoạn thẳng OH : M nằm O H MH = MO =( cm) 2) Chứng minh rằng: CM = CA + CB BC MN = 2 A M N B C Vì M trung điểm AB , điểm C thuộc tia đối tia BA nên M nằm A C Suy ra: CA = CM + AM ⇒ CM =AC − AM (1) Lại có B nằm M C ⇒ CM =CB + BM ( ) Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Từ (1) ( ) ⇒ 2CM = AC − AM + BC + MB = AC + BC ( AM = MB ) Vậy CM = CA + CB AC Lại có N trung điểm AC ⇒ CN = Có AB < AC , M , N theo thứ tự trung điiểm AB AC ⇒ AM < AN ⇒ M nằm A N ⇒ AN = AM + MN AC − AB BC = 2 Bài 10: Trên tia Ox lấy hai điểm A , B cho OA = cm, OB = cm ⇒ MN = AN − AM = a) Tính độ dài đoạn thẳng AB b) Trên tia đối tia Ox lấy điểm C cho O trung điểm đoạn thẳng AC Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA cho OM = OA Hỏi M có trung điểm đoạn thẳng BC khơng? Vì sao? Lời giải: C O M A B x a) Trên tia Ox có OA < OB , (3 < 5) nên điểm A nằm hai điểm B O Suy OA + AB = OB ⇒ AB = OB − OA ⇒ AB = − = (cm) Vậy AB = (cm) b) Vì điểm O trung điểm đoạn thẳng AC nên OC = OA = (cm) Vì điểm M thuộc đoạn thẳng OA OM = OA Nên điểm M trung điểm đoạn thẳng OA Suy OM = MA = 3= : 1,5 (cm) Vì hai điểm C , M nằm hai tia đối gốc O nên điểm O nằm hai điểm C , M Suy ra: CO + OM = CM ⇒ + 1,5 = CM ⇒ CM = 4,5 (cm) Trên tia Ox có OM < OB (1,5 < 5) nên điểm M nằm hai điểm O B Suy ra: OM + MB = OB ⇒ MB =OB − OM ⇒ MB =5 − 1,5 =3,5 (cm) Ta thấy MB ≠ MC (3,5 ≠ 4,5) nên điểm M không trung điểm đoạn thẳng BC Liên hệ tài liệu word mơn tốn: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... góc NMx 60 ° (dùng ê kê có góc 60 ° ) Bước 3: Vẽ góc MNy 60 ° (dùng ê kê có góc 60 ° ) Hai tia Mx Ny cắt P Bước 4: Nối M với P , N với P ta tam giác MNP x x y P P 60 ° M 60 ° cm N M cm 60 ° 60 ° 60 ° N... vng ABCD là: 6. 6 = 36 cm ) Vậy chu vi hình vng 36 cm Bài 19 Tính diện tích hình vng biết chu vi hình vng 64 cm Lời giải Vì chu vi hình vng 64 cm nên độ dài cạnh hình vng là: 64 :4 = 16 ( cm ) (... giác OAB, OBC , OCD, ODE , OEF , OFA tam giác đều) = 6. 6 = 36 ( cm ) Vậy chu vi hình lục giác ABCDEF AB 1 ⋅ OA = ⋅ BF 6. = 10, 31, ( cm ) 2 Theo hình vẽ diện tích hình lục giác ABCDEF gấp ba lần