đại số tuyến tính tập hợp – ánh xạ

Sinh viên: Đại số tuyến tính Chương Tập hợp – Ánh xạ Sinh viên: Chương Tập hợp – Ánh xạ Chương 1: TẬP HỢP – ÁNH XẠ § 1: Tập hợp (SET) 1.1 Khái niệm:  Tập hợp khái niệm toán học, không định nghĩa, mô tả ví dụ cụ thể  Tập hợp khơng có phần tử gọi tập rỗng Ví dụ: - Tập hợp sinh viên trường đại học - Tập hợp số nguyên tố Ta thường ký hiệu tập hợp chữ viết hoa A, B, C,…, X, Y, Z, … phần tử tập hợp thường ký hiệu chữ viết thường a, b, x, y Để phần tử a thuộc tập hợp A, ta viết a �A đọc “a thuộc A” Nếu b khơng phải phần tử A ta ký hiệu b �A đọc “b không thuộc A” Các tập hợp số  �=  0,1, 2,K  tập hợp số tự nhiên (Set of natural nember)  �=  0, �1, �2,K  tập hợp số nguyên (Set of centegers)  �= ��  ,  tập hợp số vô tỉ (The set of real numbers)  �=  ba / a, b  �; b  � =  a  bi / a, b �� ;  i  1 tập hợp số phức (The set of complex 0 tập hợp số hữu tỉ (Set of national numbers) numbers)  Tập rỗng tập hợp khơng có phần tử Ký hiệu: � Ví dụ: tập hợp số thực mà bình phương số – tập rỗng 1.2 Cách xác định tập hợp: Một tập hợp xác định cách như:  Phương pháp liệt kê: Một tập hợp xác định cách liệt kê hết phần tử thuộc tập hợp Phương pháp dùng tập hợp hữu hạn Ví dụ: A = {1; 3; 4; 5; 7}  Phương pháp thuộc tính đặc trưng: Một tập hợp nhận biết cách thuộc tính đối tượng dựa vào thuộc tính ta biết phần tử có thuộc tập hợp hay khơng Ví dụ: B  {M | OM  r} tập hợp điểm nằm mặt cầu tâm O bán kính r C  {n ��| n M3} tập hợp số tự nhiên chia hết cho 1.3 Tập con, Sự hai tập hợp: Đại số tuyến tính Sinh viên: Chương Tập hợp – Ánh xạ Định nghĩa: Hai tập hợp A B gọi phần tử A phần tử B ngược lại phần tử B phần tử A Khi ta viết A = B  A �B �  x �A � X �B  ,  �: tap   A gọi tập thực B A tập B A �B  A  B �  x �A � x �B  �  A �B  va  B �A  1.4 Tập tập tập hợp Cho A tập hợp, ký hiệu P( A) tập tập tập A Nếu A có n phần tử P(A) có 2n phần tử X  P  A     /  �A Chú ý: tập {Ø } tập hợp tập Ví dụ: A = {a} P ( A)  {�, a} A = {a, b, c} P( A)  {�,{a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c},{a, b, c}} 1.5 Các phép toán tập hợp 1.5.1 Hợp tập hợp 1.5.1.1 Định nghĩa: Cho A B hai tập hợp tùy ý, ta gọi tập hợp C gồm phần tử thuộc hai tập A, B hợp hai tập A, B A Ký hiệu: C  A �B A �B  {x | x �A x �B} Biểu đồ Venn: A B Ví dụ: Nếu định nghĩa A, B, C tập sau: A  {x | f ( x)  0} B  {x | g ( x)  0} C  {x | f ( x).g ( x)  0} Khi C  A �B 1.5.1.2 Định lý: Với A, B, C tập i) Nếu B �A A �B  A ; ii) Với tập hợp A A ��  A A �A  A ; iii) A �B  B �A ; iv) A �( B �C )  ( A �B ) �C 1.5.2 Giao tập hợp 1.5.2.1 Định nghĩa: Cho hai tập A, B tùy ý Ta gọi tập hợp C gồm phần tử thuộc hai tập hợp A, B giao hai tập hợp A, B C  A �B  {x | x �A x �B} Ký hiệu: A Biểu đồ Venn: A B Đại số tuyến tính Sinh viên: Chương Tập hợp – Ánh xạ Ví dụ:  0,9, 7,3 � 3,5,9, 6   3,9 1.5.2.2 Định lý: Với A, B, C tập hợp tùy ý ta có khẳng định sau: i) Nếu B �A A �B  B Với tập hợp A A ��  � A �A  A ; ii) A �B  B �A ; iii) ( A �B ) �C  A �( B �C ) 1.5.2.3 Định lý: Cho A, B, C tập tùy ý đó: i) A �( A �B )  A ; ii) ( A �B ) �B  B ; iii) A �( B �C )  ( A �B) �( A �C ) ; iv) A �( B �C )  ( A �B) �( A �C ) 1.5.3 Hiệu hai tập hợp 1.5.3.1 Định nghĩa: Cho hai tập A, B tùy ý Ta gọi tập hợp C gồm phần tử thuộc A không thuộc B hiệu tập A tập B Ký hiệu: C = A\B A \ B  {x | x �A x �B} Biểu đồ Venn: A\ B A B Ví dụ:  3,9,1,5 \  8,5, 7,1   3,9 1.5.3.2 Định lý: Với A, B, C, D tập đó, đó: A \ B  � A �B ; Với A, B A \ B �A ; Nếu A �B D �C A \ C �B \ D ; Nếu A �B với tập C ta có C \ B �C \ A 1.5.4 Phần bù 1.5.4.1 Định nghĩa Nếu B �A A\B gọi phần bù B A, ký hiệu C A ( B) (complement of B in A) hay C A ( B)  {x �A | x �B} ( Thực chất phần bù C A ( B) hiệu A\B với điều kiện B �A nên tính chất liên quan đến phần bù suy từ tính chất phép hiệu A\B Ví dụ: A   3,5, 7,9, 4 ; B   3,5,9 � C A ( B )  A \ B   7, 4 1.5.4.2 Định lý: Với tập A, B, C tùy ý ta có A \ ( B �C )  ( A \ B) �( A \ C ) ; - A \ ( B �C )  ( A \ B ) �( A \ C ) 1.5.5 Hiệu đối xứng A B: Ký hiệu: A B  ( A \ B) �( B \ A) Đại số tuyến tính Sinh viên: Chương Tập hợp – Ánh xạ Biểu đồ Venn: A\ B A B 1.5.6 phép nhân a Ví dụ:  A �B    a, b  / a �A , b �B A   a, b ; B   c, d , e  A B   a , c  ;  a , d  ;  a , e  ;  b, c  ;  b , d  ;  b , e   1.6 Tích Descartes tập hợp Giả sử a b hai đối tượng bất kỳ, từ hai đối tượng ta thành lập đối tượng thứ ba ký hiệu (a; b) gọi cặp (a; b) Hai cặp (a; b) (c; d) gọi a = c b = d Nếu a �b cặp (a; b) (b; a) coi khác 1.6.1 Định nghĩa: Tích Descartes n tập hợp A1 , A2 , , An tập hợp gồm tất dãy thứ tự (a1 ; a2 ; ; an ) a1 �A1 , a2 �A2 , , an �An Ta ký hiệu tích Descartes A1 �A2 � �An Nếu A1  A2   An tích Descartes chúng ký hiệu An Ví dụ: Cho A1  {a; b} , A2  {c; d }, A3  {1; 2} Khi đó: A1 �A2 �A3  {(a; c;1), (a; d ;1), (a; c; 2), (a; d ; 2), (b; c;1), (b; c; 2), (b; d ;1), (b; d ; 2)} 1.6.2 Nhận xét: A �B  � A  � B  � Nếu A �B �� A '��B ' A B A ' �A B ' �B Đại số tuyến tính Sinh viên: Chương Tập hợp – Ánh xạ § 2: Ánh xạ (MAP) 2.1 Định nghĩa: Cho X , Y tập khác Ø Một ánh xạ f : X � Y quy tắc đặt tương ứng phần tử x �X với phần tử y �Y Ta ký hiệu y  f ( x) gọi y ảnh x , x gọi tạo ảnh y Tập X gọi tập xác định, tập Y gọi tập giá trị ánh xạ f f Ký hiệu: f : X � Y X �� �Y Ví dụ: f : �� � x a x  , x �� Ta hiểu: f ( x)  x  1,  x �� f (0)  ; f (1)  f ( x )  x , x �� ánh xạ f: �� �� x a x2 sin: ��  1;1 x a sin x Hàm số y = x – ánh xạ từ tập số thực � vào � Hàm số y  lg x ánh xạ từ � vào � Phép tương ứng số x �� với số y ��sao cho x  y khơng ánh xạ với giá trị x  ta có hai giá trị y là: y  x y   x tương ứng với x Phép tương ứng f : �� � cho f ( x)  khơng phải ánh xạ với x 1 x  1��thì khơng có y �� tương ứng với x cho 2.2 Định nghĩa: Bộ phận A tập X gọi ổn định ánh xạ f với f : X � Y � a �A, f ( a) �A 2.3 Ánh xạ nhau: Định nghĩa: Cho f g hai ánh xạ từ X vào Y Ánh xạ f gọi ánh xạ g f(x) = g(x) với x �X Nếu với x �X có f ( x)  a với a phần tử xác định Y, ta nói f ánh xạ không đổi, hay ánh xạ số Nếu X = Y f ( x)  x, với x �X f gọi ánh xạ đồng X Ký hiệu 1X Đại số tuyến tính Sinh viên: Chương Tập hợp – Ánh xạ Nhận xét: Hai ánh xạ f g chúng có chung tập nguồn chung tập đích x �X , f ( x )  g ( x ) 2.4 Ảnh ánh xạ Định nghĩa: Cho ánh xạ f : X � Y ánh xạ, giả sử A �X , Ký hiệu: f ( A)   f ( x) / a �X  �Y Ta gọi tập f ( A) tập ảnh A qua ánh xạ f ,khi A  X , ta ký hiệu, f ( x)  Im  f  Và gọi Im  f  ảnh f Ví dụ: sin: �� � x a sin x Im  sin   sin  �   1;1 �  � Nếu A  �0; ; � � � � � sin  A   � 0; ,1� � � 2.5 Tạo ảnh tập hợp: Định nghĩa: Cho ánh xạ f : X � Y U tập tùy ý Y Tập X gồm phần tử x �X cho f ( x) �U gọi tạo ảnh toàn phần U qua ánh xạ f Ký hiệu: f 1 (U ) Khi đó, f 1 (U )  {x �X | f ( x) �U } x �f 1 (U ) � f ( x ) �U Định lý: Cho ánh xạ f : X � Y Với hai tập A, B Y - f 1 ( A �B )  f 1 ( A) � f 1 ( B) ; - f 1 ( A �B )  f 1 ( A) � f 1 ( B) 2.6 Các loại ánh xạ 2.6.1 Ánh xạ đồng Định nghĩa : f ( x) : X � X xa x Nghĩa là: 1X  x   x , x �X 1X ký hiệu id X (Identify) 2.6.2 Ánh xạ Đơn ánh: Định nghĩa: Ánh xạ f : X � Y gọi đơn ánh ι�� a, b X , a b f (a ) f (b) Nói khác f đơn ánh � a, b �X f ( a)  f (b) a  b Từ định nghĩa trên, để chứng minh f đơn ánh ta chứng minh: Đại số tuyến tính Sinh viên: Chương Tập hợp – Ánh xạ x1 , x2 ι X , x1 x2 f ( x1 ) �f ( x2 ) Hoặc x1 , x2 �X , f ( x1 )  f ( x2 ) x1  x2 Ví dụ: cho f : �� � x a 2x   a, b �� f ( a)  f (b) � 2a   2b  � 2a  2b � a  b f đơn ánh Cho g : �� � x a x2  Kiểm tra tính đơn ánh g Ta có  g  1 12 1 g  1   1 1 2 � g  1  g  1 � g không đơn ánh Ánh xạ f : �� � xác định f ( x)  x không đơn ánh f(1) = f(-1) = Ánh xạ f : �� � xác định f (n)  khác m, n đơn ánh với hai số tự nhiên n 1 � n m Nếu A �E , ánh xạ nhúng tắc iA : A � E xa x đơn ánh gọi đơn ánh tắc từ A vào E 2.6.3 Ánh xạ Toàn ánh: Định nghĩa: Ánh xạ f : X � Y gọi toàn ánh với y �Y ,  x �X cho y  f  x Nói khác : phương trình y  f  x  có nghiệm X với y  Y Từ định nghĩa trên, để chứng minh f tồn ánh ta cần chứng minh y �Y , x �X cho f(x) = y Nhận xét: Nói cách khác ánh xạ f : X � Y toàn ánh phần tử Y có tạo ảnh X Ví dụ: Xét f : �� � x a x2  x  Giải phương trình: f  x   y  y �� � x2  2x   y Đại số tuyến tính Sinh viên: Chương Tập hợp – Ánh xạ � x2  2x    y   ∆´    y   y Do phương trình f  x   y có nghiệm 0 y ∆´ �۳ Từ phương trình f  x   5 (VN) � không tồn x ��: f  x   5 hay f khơng tồn ánh Xét f : �� � x a cos x y � 1,1 �  �y �1   Giải phương trình: f  x   y � cos x  y Phương trình   ln có nghiệm y � 1,1 � ánh xạ toàn ánh Ánh xạ f : �� �xác định công thức f ( x)  cos x không tồn ánh tồn số �� mà khơng có x ��để cos x  Tuy nhiên xét ánh xạ g từ tập số thực �vào đoạn [-1, 1] g tồn ánh 2.6.4 Ánh xạ Song ánh Định nghĩa: Ánh xạ f : X � Y gọi song ánh vừa đơn ánh vừa tồn ánh Nói khác đi: f song ánh y �Y !x �X y  f  x  � phương trình y  f  x  có nghiệm Để chứng minh ánh xạ f song ánh ta phải chứng minh f đơn ánh f toàn ánh, chứng minh y �Y tồn x �X cho f ( x)  y Ví dụ: Ánh xạ đồng 1X : X � X song ánh Ánh xạ f : �� � x a x2 khơng song ánh khơng phải tồn ánh (cũng khơng đơn ánh) Nhận xét: Một ánh xạ từ E vào E gọi hốn vị E Ví dụ: Cho f : �� � x a 2x Đại số tuyến tính Sinh viên: Chương Tập hợp – Ánh xạ g : �� � Nếu y chẵn �y � � y a �2 �y  �2 Nếu y lẻ Khi f đơn ánh khơng tồn ánh g tồn ánh khơng đơn ánh 2.7 Tích ánh xạ: Định nghĩa: Cho hai ánh xạ f : X � Y g : Y � Z h  g o f : X � Z gọi ánh xạ tích hai ánh xạ f g   Được xác định sau : h x   g f  x  , x �X Nhận xét: 1) Theo định nghĩa ta xác định tích gf tập đích f chứa tập nguồn g 2) Nếu f : X � X g : X � X ta xác định tích fg tích gf, nhiên gf khác với fg, hay tích hai ánh xạ khơng giao hốn 3) Phép nhân ánh xạ khơng có tính chất giao hốn: g o f �f og Ví dụ: f : �� � ; x a x2 ta có: g : �� � x a 3x  h  g o f : �� � , Được xác định sau:   h x   g f  x  g x2  x      f og : �� � , Được xác định sau:  x   h g    f  3x     x   x  g of f og Nếu f g hai ví dụ cho g o f  Id N f og : �� � �x xa � �x  Nếu y chẵn Nếu y lẻ Định lý: Cho f : X � Y , g : Y � T h : T � U h(gf)=(hg)f Định lý: Giả sử f : X � Y g : Y � T hai ánh xạ h  gf : X � T Khi đó: a) Nếu f, g đơn ánh h đơn ánh; b) Nếu h đơn ánh f đơn ánh; c) Nếu h đơn ánh f tồn ánh g đơn ánh; d) Nếu f, g toàn ánh h tồn ánh; e) Nếu h tồn ánh g tồn ánh; f) Nếu h tồn ánh g đơn ánh f toàn ánh Hệ quả: Giả sử f : X � Y g : Y � T song ánh gf song ánh Đại số tuyến tính 10 Chương Khơng gian vectơ b Tìm sở số chiều W1 + W2 30 Trong không gian � cho hai không gian sau W1  (1, 2,1,1);(3,6,5,7);(4,8, 6,8);(8,16,12, 20) W2  (2, 7, 2, 2);(1,3,1,1);(3,10, 4,3);(6, 21, 7, 6) Tìm sở số chiều W1 ,W2 ,W1 �W2 ,W1  W2 31 Trong không gian � cho hai không gian sau W1  {( a, b, c, d ) | b  2c  d  0} W2  {(a, b, c, d ) | a  d , b  2c} Tìm sở, số chiều W1 ,W2 ,W1 �W2 32 Trong không gian � cho vectơ sau u1  (1, 2, 0,1); u2  (2,1,3,1); u3  (7,8,9,5); u4  (1, 2,1, 0); u5  (2, 1, 0,1); u6  (1,1,1,1); u7  (1,1,1,1) Đặt U  u1 , u2 , u3 ;W  u4 , u5 , u6 , u7 Hãy tìm sở cho khơng gian U ;W ; U  W ;U �W Từ suy dim U ;dim W ;dim(U  W );dim(U �W ) 33 Trong không gian � cho vectơ sau u = (1, 1, 0, -1); v = (1, 0, 0, -1); w = (1, 0, -1, 0) Đặt U  u , v, w W  {( x1 , x2 , x3 , x4 ) | x1  x2  x3  x4  0} Hãy tìm sở cho khơng gian U ;W ;U  W ;U �W Từ suy dim U ;dim W ;dim(U  W );dim(U �W ) 34 Trong � , cho vectơ u1  (2,1, 1); u2  (2, 1, 2); u3  (3, 0,1); v1  ( 3,1, 2); v2  (1, 2,5); v3  (2, 4,1) a) Chứng minh B  (u1 , u2 , u3 ); B '  (v1 , v2 , v3 ) sở � b) Tìm [u ]B ' ; v; [ w]B biết u = (1, 2, 3), �� �� [v]B  �� �� �� �� �� [ w]B '  �� �� �� 35 Trong � cho vectơ u1  (1,1, 1,0); u2  (2,3, 4,1); u3  (1, 4,3, 2); v1  (1,1, 1, 1); v2  (2, 7,0,3); v3  (2, 7, 0, 2) Đặt W  {u1 ; u2 ; u3 } a) Kiểm tra B  {u1 , u2 , u3} sở W u b) Cho u  (a, b, c, d ) �� Tìm điều kiện để u �W với điều kiện tìm   B c) Kiểm tra B '  {v1 , v2 , v3 } sở W Tìm ma trận chuyển sở từ B sang B’ d) Tìm [u ]B , v,[ w] B ' biết �� �� u  (a, b, c, d ) �W ,[v ]B '  �� �� ��  w B �� ��  �� �� �� n 36 Trong khơng gian vectơ � , cho tập V có dạng: Đại số tuyến tính 70 Chương Khơng gian vectơ V  {x  ( x1 , , xn ) ��n / x1  x2  L  xn  0} n (a) Chứng minh V không gian � (b) Tìm sở số chiều V 37 Trong không gian M (�) , cho tập � � � a b � F  �A  � �/ a, b ��� b a  b� � � 38 Chứng minh hệ vectơ {u1 , u2 , , un } độc lập tuyến tính khơng có vectơ biểu thị tuyến tính qua vectơ cịn lại hệ Tìm m để vectơ u  (7, 2, m) biểu thị tuyến tính qua vectơ u1  (2,3,5); u2  (3, 7,8); u3  (1, 6,1) (a) Chứng tỏ F không gian M (�) (b) Tìm sở số chiều F Đại số tuyến tính 71 Chương 4: Ánh xạ tuyến tính Chương 4: Ánh xạ tuyến tính §1: Khái niệm ánh xạ tuyến tính – tính chất 1.1 Khái niệm ánh xạ tuyến tính Định nghĩa: Cho hai không gian vectơ V V’ trường K Một ánh xạ f : V � V ' gọi ánh xạ tuyến tính f thỏa mãn hai điều kiện sau đây: f ( x  y)  f ( x)  f ( y), x, y �V (tính bảo tồn phép cộng) ii) f ( x )   f ( x ), x �V ,  �K (tính bảo tồn phép nhân với vơ hướng) i) - Nếu V = V’ ta gọi f phép biến đổi tuyến tính hay tốn tử tuyến tính Đặt L(V, W) tập tất ánh xạ tuyến tính từ V vào W Trên L(V, W) ta đặt phép toán sau:  f  g  (u )  f (u )  g (u )   f  (u )   f (u ) u �V ,  �K Khi đó, L(V, W) với hai phép toán định nghĩa không gian vector Sinh viên tự kiểm tra không gian thỏa tiên đề không gian vector Chú ý: Ở điều kiện (i) phép (+) bên vế trái phép cộng V phép cộng bên vế phải phép (+) V’, tương tự với điều kiện (ii) Các điều kiện (i) (ii) định nghĩa thay điều kiện sau: f ( x  y)   f ( x)  f ( y), x, y �V ;  �K Ví dụ: f : K � Km x a ( x, 0, , 0) a) Ánh xạ m ánh xạ tuyến tính gọi phép nhúng từ K vào K g :Kn �K b) Với i = 1, 2, …, n ta đặt ánh xạ (x1 , x2 , , xn ) a xi n ánh xạ tuyến tính gọi phép chiếu lên thành phần thứ i K  :V �V ' x a 0V ' ánh xạ tuyến tính, gọi ánh xạ khơng c) Ánh xạ: h : �2 � �2 d) Kiểm tra ánh xạ ( x; y ) a (2 x  y; x  y ) có phải ánh xạ tuyến tính khơng? Giải: Với x, y �� suy x  ( x1 , x2 ) y  ( y1 , y2 ) với  ;  �K Khi đó, h( x  y )  h( x1  y1 , x2  y2 )  (2( x1  y1 )  x2  y2 , x1  y1  2( x2  y2 ))  (2 x1  x2 , x1  x2 )  (2 y1  y2 , y1  y2 )  h( x)  h( y ) Khi đó, h( x)   (2 x1  x2 , x1  x2 ) Vậy ánh xạ h cho cơng thức ánh xạ tuyến tính Đại số tuyến tính 71 Chương 4: Ánh xạ tuyến tính Hơn cịn phép biến đổi tuyến tính, hay tốn tử tuyến tính từ khơng gian vector � vào Các tính chất: Nếu f ánh xạ tuyến tính từ V vào V’ ta có: f ( x   y )   f ( x)   f ( y ); i) f (0V )  0V ' ; f (  x)   f ( x); ii) iii) Nếu f : V � V ' g : V ' � V '' ánh xạ tuyến tính gf : V � V '' ánh xạ tuyến tính iv) Qua ánh xạ tuyến tính hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính (trong V) biến thành hệ phụ thuộc tuyến tính (trong V’) Tức hệ vectơ {x1 , x2 , , xn } phụ thuộc tuyến tính V, hệ  f ( x1 ), f ( x) , , f ( xn ) phụ thuộc tuyến tính V’ v) Ánh xạ tuyến tính khơng làm tăng hạng hệ vectơ Tức là: rank ( x1 , x2 , , xn ) �rank ( f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn )), xi �V 1.2 Định lý xác định ánh xạ tuyến tính: Định lý: Cho sở B  {e1 , e2 , , en } không gian vectơ V ( n �1 ) v1 , v2 , , n vectơ tùy ý không gian vectơ V’ Khi đó, tồn ánh xạ tuyến tính f : V � V ' cho f (ei )  vi , i  1, n hay nói khác ánh xạ tuyến tính hồn tồn xác định ảnh sở Ví dụ: 1) Trong � cho sở tắc {e1  (1, 0, 0); e2  (0,1, 0); e3  (0, 0,1)} , � cho 3 vectơ v1  (1,1); v2  (2,3); v3  (4,5) Hãy xác định ánh xạ f : � � � thỏa tính chất f (ei )  vi , i  1, 2,3 Giải: Với x  ( x1 , x2 , x3 ) �� ta có x  x1e1  x2 e2  x3e3 Do f ánh xạ tuyến tính thỏa f (ei )  vi , i  1, 2,3 nên có f ( x)  x1 f (e1 )  x2 f (e2 )  x3 f (e3 )  x1v1  x2 v2  x3v3  ( x1 , x1 )  (2 x2 , 3x2 )  (4 x3 ,5 x3 )  ( x1  x2  x3 , x1  3x2  5x3 ) Vậy f ( x1 , x2 , x3 )  ( x1  x2  x3 , x1  x2  x3 ) ■ 2) Trong � cho hai hệ vectơ {u1  (1,1, 0); u2  (0,1,1); u3  (1, 0,1)} {v1  (1,1,1); v2  (0,0,1); v3  (1, 2,1)} Hỏi có tồn phép biến đổi tuyến tính f : �3 � �3 thỏa f (ui )  vi , i  1, 2,3 khơng? Nếu có xác định cơng thức f Giải: Hệ vectơ {u1  (1,1, 0); u2  (0,1,1); u3  (1, 0,1)} độc lập tuyến tính Đại số tuyến tính 72 Chương 4: Ánh xạ tuyến tính 1 0 1  �0 1 nên suy  u1 , u2 , u3 sở 3 tính từ f : � � � cho f (ui )  vi �3 Do đó, tồn phép biến đổi tuyến Cho x  ( x1 , x2 , x3 ) �� , giả sử x  1u1  2u2  3u3 Khi đó, x1 � �� 1 � 1  3 � � �� �� � � �� �� �� � x2 � 1 ��  2 ��  3 �� � 1  2 � � � � � �� �� �� � � x 1    3� �3 � �� �� �� �2 � 1  ( x1  x2  x3 ) � � � 2  ( x1  x2  x3 ) � � � 3  ( x1  x2  x3 ) � � 1� �� � 1  3 � � �� � � �� �� � f ( x )  1v1  2 v2  3v3  1 � 1� 2 ��  3 �� � �1  23 � � �� 1� 1 � 1  2  3 � � � �� �� �� � � Vậy công thức biểu diễn phép biến đổi tuyến tính f 1 1 � � f ( x)  �x1; x1  x2  x3 ; x1  x2  x3 � 2 2 �■ � 2 3) Giả sử cho f �L(� , � ) ánh xạ tuyến tính thỏa mãn f (1, 0)  (3, 4); f (0,1)  (2,5) Khi đó, x  ( x1 , x2 ) �� f ( x1 , x2 )  x1 f (1, 0)  x2 f (0,1)  x1 (3, 4)  x2 ( 2,5)  (3 x1  x2 , x1  x2 ) Đại số tuyến tính 73 Chương 4: Ánh xạ tuyến tính § 2: Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính 2.1 Ma trận biểu thức tọa độ ánh xạ tuyến tính: 2.1.1 Ma trận ánh xạ tuyến tính: Cho f : V � V ' ánh xạ tuyến tính từ khơng gian vectơ n chiều V vào không gian vectơ m chiều V’ (với  m, n �1 Giả sử B  (e1 , e2 , , en ) B '  (e1' , e2' , , em' ) f (e j ) hai sở khơng gian V V’ Khi đó, vectơ V’ có dạng: m f (e j )  a1 j e1'  a2 j e2'   amj em'  �aij ei' i 1 toàn xác định biết hệ số A  (aij ) �M (m, n; K ) aij , hay f (e j )[ B ]  (a1 j , a2 j , , amj ), j  1, n Vậy f hoàn , hay f xác định ma trận A  (a ) ij m�n Ma trận ma trận ánh xạ tuyến tính f cặp sở (B; B’) Ma trận A ma trận với m dòng (bằng số chiều không gian V’) n cột (bằng f (e ) j số chiều không gian V), cột thứ j tọa độ sở B’ ( j  1, n) Nếu f phép biến đổi tuyến tính ma trận f ma trận vng cấp n Ví dụ: Xét sở tắc khơng gian vectơ sau f : �� �m x a ( x,0, , 0) ma trận biểu diễn ánh xạ f cặp a) Ánh xạ tuyến tính �� �� �� �� M �� m , sở tắc không gian �� �� g : �n �� b) Ánh xạ tuyến tính ( x1 , x2 , , xn ) a x1 có ma trận biểu diễn ánh xạ g n 0 cặp sở tắc khơng gian � , �là  h : �2 � �2 c) Ánh xạ ( x, y ) a (2 x  y,3 x  y ) có ma trận biểu diễn ánh xạ h cặp 1� � � 2 � � sở tắc � � Đại số tuyến tính 74 Chương 4: Ánh xạ tuyến tính id : �n � �n ua u d) Ánh xạ đồng có ma trận biểu diễn ánh xạ đồng cặp sở tắc ma trận đơn vị I n 2.1.2 Biểu thức tọa độ ánh xạ tuyến tính: Cho f : V � V ' ánh xạ tuyến tính từ khơng gian vectơ n chiều V vào không gian A  (a ) ij m�n vectơ m chiều V’ (m, n �1) ma trận f cặp sở (B, B’) Với x � V vectơ , ta thiết lập mối quan hệ tọa độ x B với tọa độ f ( x) �V ' B’ n Giả sử Khi đó, x[ B ]  ( x1 , x2 , , xn ) f ( x)[ B ']  ( x1' , x2' , , xm' ) hay x  �x j e j j 1 m f ( x )  �xi' ei' i 1 n m n �n � n �n �' �m ' ' '� ' x e  f ( x )  f x e  x f ( e )  x a e  a x e � x  aij x j , i  1, m � � � � � �j j � � � ij i � �� ij j i i � i i j j j � i 1 j 1 j 1 �i 1 � i 1 �j 1 �j 1 � j 1 � m Cụ thể: �x1'  a11 x1  a12 x   a1n xn �' �x2  a21 x1  a22 x   a2 n xn � M � �x '  a x  a x   a x m1 m2 mn n �m Tức là, a11 a12 �x1' � � �' � � a21 a22 �x2 � � �M� �M M �' � � am1 am xm � � � a1n �� x1 � � a2 n � x2 � �� � O M ��M� �� � amn �� xn �  f ( x) B '  A  x  B , gọi biểu thức tọa độ f cặp sở (B, B’) Ví dụ: 3 Xét phép biến đổi tuyến tính f : � � � với sở tắc � , ma trận f sở là: 0� � � A� 1� � � � � � Nếu vector x có tọa độ sở tắc �� �� [ x ]  �� �� �� ��� � 28 � � � � �� � [ f ( x)]  A.[ x]  � ��� � 27 � � � �� 0� � 19 � � � �� � � Khi 2.2 Ma trận tích ánh xạ tuyến tính: Đại số tuyến tính 75 Chương 4: Ánh xạ tuyến tính Định lý: Giả sử ma trận A B ma trận ánh xạ tuyến tính f : V � V ' g : V ' � V '' ứng với cặp sở (B, B’) (B’, B’’) ma trận ánh xạ tích gf : V � V '' ứng với cặp sở (B, B’’) ma trận BA Ví dụ: 2 Cho hai ánh xạ tuyến tính f : � � � g : � � � xác định sau: f ( x, y, z )  (2 x  y  z , x  y  z ), ( x, y, z) ��3 g ( x ', y ')  ( x ' y ', x ' y ', x ' y '), ( x ', y ') ��2 Hãy xác định ma trận ánh xạ f, g, gf cặp sở tắc khơng gian tương ứng Giải: Ma trận ánh xạ f g sở tắc 1� � � 2� 1� B  � � � A� � � � 1 �và � � � 1 4 � � � C  BA  � 5� � � � 3 � � Do đó, ánh xạ tích h=gf có Ma trận ánh xạ tích gf dạng sau: h( x, y, z )  ( x  y  z, x  y  z,3x  y  z ), ( x, y, z ) �� ■ Ma trận ánh xạ tuyến tính cặp sở khác nhau: Định lý: Giả sử ánh xạ tuyến tính f : V � V ' có ma trận cặp sở ' ( B1 , B ) ( B2 , B2' ) tương ứng A1 , A2 Nếu C C’ tương ứng ma trận đổi sở từ B1 sang B2 B1' sang B2' , ta có A2   C ' A1C Nếu A1 , A2 ma trận ánh xạ tuyến tính f : V � V hai sở B1 , B2 C : B1 � B2 ma trận đổi sở từ B1 sang B2 Thì A2  C 1 A1C 1 Ví dụ: 2 1) Cho ánh xạ tuyến tính f : � � � xác định f ( x, y, z)  ( x  y  z, x  y  z), ( x, y, z ) ��3 Tìm ma trận f cặp sở (B, B’) biết B  {u1  (1,1, 0); u2  (0,1,1); u3  (1, 0,1)} B '  {u1'  (2,1); u2'  (1,1)} Giải: Ma trận f cặp sở tắc C C  3, 1 1� � A1  � 1 � � � 1 0� � � C� 1� � � � 1 C � � Ma trận đổi sở từ sang B Đại số tuyến tính 76 Chương 4: Ánh xạ tuyến tính 1� � �1 1� 1 C '  � �  C '  � 1�và 1 � � � � Ma trận đổi sở từ C2 sang B’ Vậy ma trận f cặp sở (B, B’) �2 2 � A2  (C ') 1 A1C  � 2 � � �■ 2 2) Cho tốn tử tuyến tính f : � � � xác định sau: f ( x, y )  ( x  y, x  y ), ( x, y ) ��2 Tìm ma trận f sở B  {u1  (2,1); u2  (3, 2)} Giải: Ma trận f sở tắc 2� � A1  � � 1� � 1� � �2 3� C  � � C 1  � �và 1 � � � � Ma trận đổi sở từ C2 sang B 7 10 � � A2  C 1 A1C  � � �6 �■ Vậy ma trận f sở B 3) Xét ánh xạ tuyến tính f xác định sau: f : �2 � �3 ( x, y ) a (2 x  y, x,3 y ) ' Gọi B0 ; B0 sở tắc � , � Đặt B  ((2, 3);(3, 4)); C  ((1,1, 2), (1, 4, 5), (0,3, 1)) sở �2 , �3 Khi đó, ma trận chuyển sở từ B0 sang B 3� � P� � �và ma trận chuyển sở từ B0' sang C là: � 1 0� � � Q� 3� � � �  � � 1� � � A� 0� � ' � � B , B f � � Nhận thấy ma trận cặp sở tắc 0 ma trận Khi ma trận f cặp sở B, C ma trận T xác định sau: 19 /12 1/12 1/ �� 1� 104 151 � � � 3� � � � � � � T  Q AP  � 7 /12 1/12 1/ �� �� � � 20 31� � � � �0 � 1/ 1/ � 3� � �1/ �� � � � � 1 Đại số tuyến tính 77 Chương 4: Ánh xạ tuyến tính §3: Hạt nhân ảnh ánh xạ tuyến tính _ 3.1 Ảnh tạo ảnh không gian Định lý: Cho không gian vectơ V V’, với ánh xạ tuyến tính f : V � V ' ta có: i) Nếu W khơng gian V f(W) khơng gian V’ Ngồi W  u , u , , u ii) f (W )  f (u ), f (u ), , f (u ) m m ra, Nếu W không gian hữu hạn chiều V f(W) khơng gian hữu hạn chiều V’ dim f (W ) �dim W 1 iii) Nếu W’ không gian V’ f (W ') khơng gian V 3.2 Ảnh, nhân, hạng số khuyết ánh xạ tuyến tính: Định nghĩa: Cho ánh xạ tuyến tính f : V � V ' - Ảnh ánh xạ tuyến tính f , ký hiệu Im f  f (V )  { f ( x) �V ' | x �V } Imf không gian V’  V' V ' - Nhân ánh xạ tuyến tính f, ký hiệu Kerf không gian V - Khi V V’ khơng gian hữu hạn chiều Imf Kerf không gian hữu hạn chiều, �dim Im f �dim V ' �dim Kerf �dim V , số chiều Imf Kerf gọi hạng số khuyết f, ký hiệu rankf def (f ) Kerf  f 1 (0 )  x �V | f ( x)  Ví dụ: Cho tốn tử tuyến tính f xác định sở tắc � xác định sau: �1 � � A� �0 1 � � 1 � � � Khi Kerf tập vector x �� cho f (x) = Khi xét hệ phương trình AX = 0, thực phép biến đổi sơ cấp dòng ma trận A ta đưa ma trận A dạng bậc thang sau: 1 -1 0 1   0 0 Khi hệ phương trình AX = có vơ số nghiệm phụ thuộc tham số �x1  t � �x2  t �x  t �3 với t �� Suy Kerf có sở gồm vector u  (1, 1,1) dim Kerf = Đại số tuyến tính 78 Chương 4: Ánh xạ tuyến tính Do đó, rankf = Dim Imf = Imf Im f  v1 , v2 với v1  (1, 2,3); v2  (0,1,1) Định lý: Cho ánh xạ tuyến tính f : V � V Khi đó, V khơng gian vectơ hữu hạn chiều Im(f ) Ker(f ) hữu hạn chiều, đồng thời dim Im(f ) + dim Ker(f) = dim V 3.3 Đơn cấu, toàn cấu đẳng cấu: Định nghĩa: Ánh xạ tuyến tính f : V � V ' , ta nói f đơn cấu (tương ứng toàn cấu, đẳng cấu) f đơn ánh (tương ứng toàn ánh, song ánh) Định lý: Cho V không gian vectơ hữu hạn chiều f : V � V ' ánh xạ tuyến tính Khi đó, khẳng định sau tương đương i) f đơn cấu; ii) Kerf  0V ; iii) f biến hệ vectơ độc lập tuyến tính thành hệ vectơ độc lập tuyến tính Tức hệ {u1 , u2 , , um } độc lập tuyến tính hệ { f (u1 ), f (u2 ), , f (um )} độc lập tuyến tính; iv) f giữ nguyên hạng hệ vectơ, tức rank{u1 , u2 , , um }  rank{ f (u1 ), f (u2 ), , f (um )} ; v) Nếu W khơng gian V dim( f (W ))  dim W ; vi) rank ( f )  dim V Định lý: Cho V không gian vectơ hữu hạn chiều f : V � V ' ánh xạ tuyến tính Khi đó, khẳng định sau tương đương: i) f toàn cấu; ii) Imf = V’; iii) rank(f ) = dim V’; iv) f biến hệ sinh V thành hệ sinh V’, nói cách khác V S v) V '  f ( S ') Có hệ sinh S V mà ảnh hệ sinh V’ 3.4 Hệ quả: Cho V không gian vectơ B  {e1 , e2 , , en } sở Giả sử f : V � V ' ánh xạ tuyến tính Khi đó: i) f đơn cấu f ( B)  { f (e1 ), f (e2 ), , f (en )} hệ độc lập tuyến tính ii) f tồn cấu f ( B)  { f (e1 ), f (e2 ), , f (en )} hệ sinh V’ iii) f đẳng cấu f ( B)  { f (e1 ), f (e2 ), , f (en )} sở V’ 3.5 Hệ quả: Cho f : V � V ' ánh xạ tuyến tính Khi đó, i) f đơn cấu rank ( f )  dim V �dim V ' ; ii) f toàn cấu rank ( f )  dim V ' �dim V ; Đại số tuyến tính 79 Chương 4: Ánh xạ tuyến tính iii) f đẳng cấu rank ( f )  dim V  dim V ' Nhận xét:  Nếu dimV = dimV’ f đơn cấu � f toàn cấu � f đẳng cấu  Tích đẳng cấu đẳng cấu Ánh xạ ngược đẳng cấu đẳng cấu Định nghĩa: Hai không gian vectơ V V’ gọi đẳng cấu với nhau, ký hiệu V  V ' tồn đẳng cấu từ V vào V’ Định lý: V  V ' dim V = dim V’ Ví dụ: 1) Cho f : � � � ánh xạ tuyến tính cho f (e1 )  u1  (1,1, 2, 2); f (e2 )  u2  (2,3,5, 6); f (e3 )  u  (4,5,9,10) B  {e1 , e2 , e3 , e4 } sở tắc � Hỏi ánh xạ f có đơn cấu không? Tại sao? Giải: Ta lập ma trận A với dòng tọa độ vectơ u1 , u2 , u3 , u4 , thực phép biến đổi sơ cấp dòng ta 1 2 � d �d  d � 1 2� 1 2� � � 2 � � d3 �d3  d1 � � d �d  d � A� ������ � 1 ������ � 1 2� � � � � � � � 10 1 0 0 � � � � � � Do rank( f ) = rank (u1 , u2 , u3 , u4 )  rankA    dim � Vậy f không đơn cấu.■ 2) Cho f : � � � ánh xạ tuyến tính xác định f (e1 )  u1  (1,1); f (e2 )  u2  (1, 2); f (e3 )  u3  (0, 0) Chứng minh f toàn cấu Giải: 1� � � rank ( f )  rank (u1 , u2 , u3 )  rank � 2� �  dim( � ) � 0� � � Vậy f toàn cấu.■ 3 3) Cho f : � � � ánh xạ tuyến tính cho f (e1 )  u1  (1,1,1); f (e2 )  u2  (1,1, 0); f (e3 )  u3  (1, 0, 0) Ánh xạ f có phải đẳng cấu không? Giải: Ta lập ma trận A với dòng tọa độ vectơ 1 1� � � rankA  rank � 1 0� � � 0� � � nên hệ vectơ Đại số tuyến tính  f (e1 ), f (e2 ), f (e3 ) Do  f (e1 ), f (e2 ), f (e3 ) sở �3 80 Chương 4: Ánh xạ tuyến tính Ánh xạ f biến sở tắc thành sở � , nên f đẳng cấu.■ Tóm tắt chương Nội dung chương phần mở đầu cho môn Đại số tuyến tính mà sinh viên học Qua chương này, sinh viên nắm số kiến thức ánh xạ tuyến tính, loại ánh xạ đặc biệt, cách thức biểu diễn ánh xạ qua ma trận tọa độ ánh xạ Học xong chương sinh viên cần nắm kiến thức sau: - Ánh xạ tuyến tính gi? Tính chất? Cách xác định ánh xạ ánh xạ tuyến tính? - Phép biến đổi tuyến tính gì? - Ảnh tạo ảnh khơng gian có tính chất đặc biệt? - Thế đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu? Cách chứng minh ánh xạ tuyến tính đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu? - Tọa độ ảnh vectơ nào? Với cặp sở khác nhau? - Dùng ma trận ánh xạ để chứng minh tính chất nó? BÀI TẬP Trong ánh xạ sau, ánh xạ ánh xạ tuyến tính a f : �3 � �3 : f ( x1 , x2 , x3 )  (2 x1  x2 , x3  x2 , x1 ); b f : �3 � �3 : f ( x1 , x2 , x3 )  ( x1 , x2  3, x3  x1 ); c f : �3 � �3 : f ( x1 , x2 , x3 )  ( x2  x3 , x3  x1 , x1  x2 ); d f : �3 � �3 : f ( x1 , x2 , x3 )  ( x12 , x2 , x32 ); e f : �3 � �3 : f ( x1 , x2 , x3 )  ( x1 , x2 , 4); f f : �3 � �2 : f ( x1 , x2 , x3 )  ( x1  x2 , x3  x2 ); g f : �3 � �4 : f ( x1 , x2 , x3 )  ( x1  x2 , x2  x3 , x3  x1 , x1  x ); h f : �n [ x ] � �n [ x ]: f ( p ( x ))  p '( x ) Cho ánh xạ f : � � � với f ( x, y)  (2 x  y, x  y, x  y  m) Tìm giá trị m để f ánh xạ tuyến tính 2 Cho ánh xạ tuyến tính f : � � � xác định f (3, 1)=(2, -4) f (1, 1) =(0, 2) Xác định f ( x1 , x2 ) Cho ánh xạ tuyến tính f : � � � xác định f (1,2,3) = (1,0); f (2, 5, 3) = (1, 0); f (1, 0, 10) = (0, 1) Xác định f ( x1 , x2 , x3 ) Tìm ánh xạ tuyến tính f : �2 [ x] � �2 [ x] xác định Đại số tuyến tính 81 Chương 4: Ánh xạ tuyến tính f (1)   x; f ( x)   x ; f ( x )   x  x Cho toán tử tuyến tính f � xác định sau: f ( x1 , x2 , x3 )  (( a  1) x1  x2  x3 ; x1  ( a  1) x2  x3 ; x1  x2  (a  1) x3 ) Với a số thực a) Tìm a cho rank( f ) = 3, rank(f )