Bài thu hoạch môn đại số tuyến tính

Họ tên: Bài thu hoạch môn Đại số tuyến tính Mục lục Mở đầu………………………………………………………………………trang 02 Chương : Tập hợp ánh xạ………………………………………………trang 03 Chương : Ma trận định thức ………………………………………… trang 11 Chương : Không gian vectơ……………………………………………….trang 38 Chương : Ánh xạ tuyến tính……………………………………………….trang 50 Chương : Hệ phương trình tuyến tính …………………………………….trang 61 Phụ lục……………………………………………………………………….trang 70 Họ tên: Bài thu hoạch mơn Đại số tuyến tính MỞ ĐẦU Bài thu hoạch mơn “ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH” nhằm giúp hệ thống lại nội dung kiến thức học chương trình học mơn học tốn A1(ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH) dành cho nghành kinh tế “ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH” mơn học, phương pháp tốn học áp dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật thiếu chương trình đào tạo Cao đẳng- Đại học Chúng ta cần phải nắm rõ khái niệm bản, thuật toán vận dụng thành thạo trình học tập Bài thu hoạch giúp em hiểu rõ môn học tạo điều kiện ôn tập để đạt kết cao học tập Trong nội dung thu hoạch có sử số tài liệu sưu tầm trang mạng xã hội nên nội dung nhiều thiếu sót Mong thầy bạn sinh viên trình đọc giúp chúng em tìm lỗi sửa chữa Đó niềm vinh dự lớn em Em xin chân thành cảm ơn ! Họ tên: Bài thu hoạch mơn Đại số tuyến tính Chương 1: TẬP HỢP – ÁNH XẠ - QUAN HỆ - SỐ PHỨC Bài 1: Khái niệm tập hợp, tập hợp con, phép toán tập hợp Tập hợp: 1.1 Khái niệm: Tập hợp khái niệm nguyên thủy, không định nghĩa, mà hiểu cách trực giác sau: “Một tập hợp quần tụ đối tượng có thuộc tính đó; đối tượng gọi phần tử tập hợp Ví dụ: - Tập hợp sinh viên trường đại học - Tập hợp số nguyên tố Ta thường ký hiệu tập hợp chữ viết hoa A, B, C,…, X, Y, Z, … phần tử tập hợp thường ký hiệu chữ viết thường a, b, x, y Để phần tử a thuộc tập hợp A, ta viết phần tử A thỡ ta ký hiu Vớ d: Ơ - Â - Ă - Ô - v c l a thuc A” Nếu b đọc “b không thuộc A” tập hợp số tự nhiên tập hợp số nguyên tập hợp số thực tập hợp số hữu tỉ S = {1; 2;3} tập hợp số nguyên dương nhỏ Tập rỗng tập hợp khơng có phần tử - - b∉ A a∈ A ∅ - - Ký hiệu: Ví dụ: tập hợp số thực mà bình phương số – tập rỗng 1.2 Cách xác định tập hợp: Một tập hợp xác định cách như: Phương pháp liệt kê: Một tập hợp xác định cách liệt kê hết phần tử thuộc tập hợp Phương pháp dùng tập hợp hữu hạn Ví dụ: A = {1; 3; 4; 5; 7} Phương pháp thuộc tính đặc trưng: Một tập hợp nhận biết cách thuộc tính đối tượng dựa vào thuộc tính ta biết phần tử có thuộc tập hợp hay khơng Ví dụ: B = {M | OM = r} C = {n ∈ ¥ | n M3} tập hợp điểm nằm mặt cầu tâm O bán kính r tập hợp số tự nhiên chia hết cho 3 Họ tên: Bài thu hoạch mơn Đại số tuyến tính 1.3 Sự hai tập hợp: Định nghĩa: Hai tập hợp A B gọi phần tử A phần tử B ngược lại phần tử B phần tử A Khi ta viết A = B Từ định nghĩa muốn chứng minh A = B phải chứng minh điều sau: - Nếu x∈ A x∈B x∈B x∈ A Nếu Tập hợp con: 2.1 Định nghĩa: Cho hai tập hợp A B Nếu phần tử tập hợp A phần tử tập hợp B ta nói tập A chứa B, hay tập A tập hợp tập hợp B A B Ký hiu: Vớ d: - - ÂÔ Ă Tập hợp {1; 3} tập hợp tập hợp {1; 2; 3} - Tập hợp tam giác tập hợp tập hợp tam giác 2.2 Tính chất: A⊂ A - Với tập hợp A ; - ∅⊂ A Với tập hợp A ; B⊂C A⊂C A⊂ B - Nếu (tính chất bắc cầu); A⊂ B B⊂ A A=B - Nếu 2.3 Tập tập tập hợp - P ( A) Cho A tập hợp, ký hiệu tập tập tập A Nếu A có n phần tử P(A) có 2n phần tử Ví dụ: A = {a} P( A) = {∅, a} P( A) = {∅,{a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c},{a, b, c}} A A = {a, b, c} Các phép tốn tập hợp A3.1∩Hợp B tập hợp 3.1.1 Định nghĩa: Cho A B hai tập hợp tùy ý, ta gọi tập hợp C gồm phần tử thuộc hai tập A, B hợp hai tập A, B C = A∪ B B Ký hiệu: Biểu đồ Venn: A ∪ B = {x | x ∈ A x ∈ B} Họ tên: Bài thu hoạch môn Đại số tuyến tính Ví dụ: Nếu định nghĩa A, B, C tập sau: C = {x | f ( x).g ( x) = 0} A = {x | f ( x) = 0} B = {x | g ( x) = 0} C = A∪ B Khi 3.1.2 Định lý: Với A, B, C tập B⊂ A A∪ B = A Nếu ; A∪∅ = A A∪ A = A ii) Với tập hợp A ; A∪ B = B ∪ A iii) ; i) A ∪ (B ∪ C ) = ( A ∪ B) ∪ C iv) 3.2 Giao tập hợp 3.2.1 Định nghĩa: Cho hai tập A, B tùy ý Ta gọi tập hợp C gồm phần tử thuộc hai tập hợp A, B giao hai tập hợp A, B C = A ∩ B = {x | x ∈ A x ∈ B} A∩ B Ký hiệu: Biểu đồ Venn: A B Định lý: Với A, B, C tập hợp tùy ý ta có khẳng định sau: A∩∅ = ∅ B⊂ A A∩ B = B A∩ A = A i) Nếu Với tập hợp A ; A∩ B = B ∩ A ; 3.2.2 ii) iii) ( A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) 3.2.3 Định lý: Cho A, B, C tập tùy ý đó: i) A ∩ ( A ∪ B) = A ii) iii) ; ( A ∩ B) ∪ B = B ; A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) ; A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ) iv) 3.3 Hiệu hai tập hợp 3.3.1 Định nghĩa: Cho hai tập A, B tùy ý Ta gọi tập hợp C gồm phần tử thuộc A không thuộc B hiệu tập A tập B A\ B A Ký hiệu: C = A\B Biểu Bđồ Venn: A \ B = {x | x ∈ A x ∉ B} Họ tên: Bài thu hoạch mơn Đại số tuyến tính 3.3.2 Định lý: Với A, B, C, D tập đó, đó: A\ B =∅ A⊂ B ; A\ B ⊂ A Với A, B ; D⊂C A\C ⊂ B \ D A⊂ B Nếu ; C\B⊂C\A A⊂ B Nếu với tập C ta có 3.4 Phần bù Nếu B⊂ A A\B gọi phần bù B A, ký hiệu C A ( B) = {x ∈ A | x ∉ B} CA ( B) - hay Thực chất phần bù hiệu A\B với điều kiện phần bù suy từ tính chất phép hiệu A\B 3.4.1 Định lý: Với tập A, B, C tùy ý ta có - C A ( B) A \ ( B ∪ C ) = ( A \ B) ∩ ( A \ C ) B⊂ A nên tính chất liên quan đến ; A \ ( B ∩ C ) = ( A \ B) ∪ ( A \ C ) Công thức đối ngẫu De Morgan C A (U Bi ) = I (C A ( Bi )) - i i ; C A (I Bi ) = U(C A ( Bi )) i i Ta phát biểu phần bù hợp giao phần bù, phần bù giao hợp phần bù 3.5 Hiệu đối xứng A B: - A\ B A∆ B = ( A \ B) ∪ ( B \ A) A Ký hiệu: B Biểu đồ Venn: Họ tên: Bài thu hoạch mơn Đại số tuyến tính 3.6 Tích Descartes tập hợp Giả sử a b hai đối tượng bất kỳ, từ hai đối tượng ta thành lập đối tượng thứ ba ký hiệu (a; b) gọi cặp (a; b) Hai cặp (a; b) (c; d) gọi a = c b = d Nếu a≠b cặp (a; b) (b; a) coi khác 3.6.1 Định nghĩa: Tích Descartes n tập hợp thứ tự ( a1 ; a2 ; ; an ) a1 ∈ A1 , a2 ∈ A2 , , an ∈ An Ta ký hiệu tích Descartes chúng ký hiệu 3.6.2 Ví dụ: Cho A A1 , A2 , , An A1 × A2 × × An Nếu tập hợp gồm tất dãy A1 = A2 = = An tích Descartes n A1 = {a; b} A2 = {c; d }, A3 = {1; 2} , Khi đó: A1 × A2 × A3 = {(a; c;1), (a; d ;1), ( a; c; 2), ( a; d ; 2), (b; c;1), (b; c; 2), (b; d ;1), (b; d ; 2)} 3.6.3 Nhận xét: A× B = ∅ A=∅ B=∅ A× B ≠ ∅ A '× B ' ⊂ A × B A' ⊂ A B'⊂ B Nếu và Bài 2: Khái niệm ánh xạ - Các ánh xạ đặc biệt Ánh xạ: 1.1 Khái niệm: Cho hai tập hợp X Y Một quy tắc tương ứng f phần tử phần tử y ∈Y Ký hiệu: x∈ X với gọi ánh xạ từ tập X vào tập Y f : X →Y f X  →Y Họ tên: Bài thu hoạch môn Đại số tuyến tính y ∈Y - Hàm số y = lg x ánh xạ từ Phép tương ứng số trị - x∈ X Phần tử , tương ứng với phần tử qua ánh xạ f, đó, x gọi tạo ảnh y y gọi ảnh x qua ánh xạ f Ngoài ra, X gọi tập nguồn (miền xác định), Y cịn gọi tập đích (miền giá trị) ánh xạ f 1.2 Ví dụ: ¡ ¡ Hàm số y = x – ánh xạ từ tập số thực vào x>0 + + vào ¡ với số ta có hai giá trị y là: Phép tương ứng có x∈¡ ¡ y= x f ( x) = f :¡ → ¡ cho y∈¡ y∈¡ cho y=− x x +1 x = y2 khơng ánh xạ với giá tương ứng với x ánh xạ với x = −1∈ ¡ khơng tương ứng với x cho 1.3 Định nghĩa: Bộ phận A tập X gọi ổn định ánh xạ f với f : X → Y ⇔ ∀a ∈ A, f (a ) ∈ A 1.4 Ánh xạ nhau: Định nghĩa: Cho f g hai ánh xạ từ X vào Y Ánh xạ f gọi ánh xạ g f(x) = g(x) với x∈ X f ( x) = a x∈ X Nếu với có với a phần tử xác định Y, ta nói f ánh xạ khơng đổi, hay ánh xạ số f ( x ) = x, x∈ X Nếu X = Y với f gọi ánh xạ đồng X Ký hiệu Nhận xét: Hai ánh xạ f g chúng có chung tập nguồn ∀x ∈ X , f ( x) = g ( x) chung tập đích Ảnh tạo ảnh: 2.1 Ảnh tập hợp: 1X f : X →Y a) Định nghĩa: Cho ánh xạ A tập X Tập Y gồm ảnh tất phần tử A gọi ảnh tập A qua ánh xạ f Ký hiệu: f(A) Hay, Khi đó, f ( A) = { f ( x) | x ∈ A} y ∈ f ( A) ⇔ ∃x ∈ A, y = f ( x) b) Định lý: Cho ánh xạ f : X →Y Với hai tập tùy ý A B X ta có: Họ tên: Bài thu hoạch mơn Đại số tuyến tính f ( A ∪ B ) = f ( A) ∪ f ( B ) f ( A ∩ B ) ⊂ f ( A) ∩ f ( B ) (Sinh viên tự chứng minh tập.) 2.2 Tạo ảnh tập hợp: a) Định nghĩa: Cho ánh xạ x∈ X phần tử cho f −1 (U ) Ký hiệu: U tập tùy ý Y Tập X gồm gọi tạo ảnh toàn phần U qua ánh xạ f f −1 (U ) = {x ∈ X | f ( x ) ∈U } f : X →Y −1 −1 −1 −1 −1 −1 f ( A ∪ B) = f ( A) ∪ f ( B) - f ( x) ∈ U Khi đó, b) Định lý: Cho ánh xạ f : X →Y x ∈ f −1 (U ) ⇔ f ( x) ∈U Với hai tập A, B Y ; f ( A ∩ B) = f ( A) ∩ f ( B) (Sinh viên tự chứng minh tập nhỏ) Các loại ánh xạ đặc biệt 3.1 Đơn ánh: 3.1.1 Định nghĩa: Ánh xạ x1 x2 f : X →Y gọi đơn ánh với hai phần tử khác f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) X Nói cách khác, f đơn ánh phần tử tập đích có tối đa tạo ảnh tập nguồn Từ định nghĩa trên, để chứng minh f đơn ánh ta chứng minh: ∀x1 , x2 ∈ X , x1 ≠ x2 f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) ∀x1 , x2 ∈ X , f ( x1 ) = f ( x2 ) Hoặc 3.1.2 Ví dụ: Ánh xạ f :¡ → Ă f :Ơ Ô nh x n thỡ 1 ≠ n m xác định x1 = x2 f ( x) = x f (n) = xác định n không đơn ánh f(1) = f(-1) = đơn ánh với hai số tự nhiên khác m, iA : A → E A⊂ E Nếu , ánh xạ nhúng tắc từ A vào E 3.2 Tồn ánh: xa x đơn ánh gọi đơn ánh tắc Họ tên: Bài thu hoạch mơn Đại số tuyến tính 3.2.1 Định nghĩa: Ánh xạ f : X →Y f : X →Y toàn ánh với Toàn ánh f : X →Y gọi toàn ánh f(X) = Y Nói cách khác y ∈Y tồn x∈ X cho f(x) = y gọi ánh xạ toàn ánh từ X lên Y Từ định nghĩa trên, để chứng minh f toàn ánh ta cần chứng minh cho f(x) = y Nhận xét: Nói cách khác ánh xạ tạo ảnh X 3.2.2 Ví dụ: f :¡ → ¡ f : X →Y ∀y ∈ Y , ∃x ∈ X toàn ánh phần tử Y có f ( x ) = cos x 2∈¡ khơng tồn ánh tồn số x∈¡ cos x = ¡ mà để Tuy nhiên xét ánh xạ g từ tập số thực vào đoạn [-1, 1] g tồn ánh Ánh xạ xác định cơng thức 3.3 Song ánh f : X →Y 3.3.1 Định nghĩa: Ánh xạ gọi song ánh vừa đơn ánh vừa toàn ánh Để chứng minh ánh xạ f song ánh ta phải chứng minh f đơn ánh f toàn ánh, chứng minh 3.3.2 Ví dụ: Ánh xạ đồng ∀y ∈ Y 1X : X → X tồn x∈ X cho f ( x) = y song ánh f :¡ → ¡ x a x2 Ánh xạ không song ánh khơng phải tồn ánh (cũng khơng đơn ánh) Nhận xét: Một ánh xạ từ E vào E gọi hoán vị E Ví dụ: Cho f :¥ →¥ x a 2x g :¥ → ¥ y  y a 2  y −1  Nếu y chẵn Nếu y lẻ 10 Họ tên: Bài thu hoạch môn Đại số tuyến tính Do rank( f ) = rank (u1 , u2 , u3 , u4 ) = rankA = < = dim ¡ f :¡ →¡ 2) Cho Vậy f không đơn cấu.■ ánh xạ tuyến tính xác định f (e1 ) = u1 = (1,1); f (e2 ) = u2 = (1, 2); f (e3 ) = u3 = (0, 0) Chứng minh f toàn cấu Giải: 1  rank ( f ) = rank (u1 , u2 , u3 ) = rank 1  = = dim( ¡ ) 0  Vậy f toàn cấu.■ 3) Cho f :¡ →¡ ánh xạ tuyến tính cho f (e1 ) = u1 = (1,1,1); f (e2 ) = u2 = (1,1, 0); f (e3 ) = u3 = (1, 0, 0) Ánh xạ f có phải đẳng cấu khơng? Giải: Ta lập ma trận A với dòng tọa độ vectơ nên hệ vectơ { f (e1 ), f (e2 ), f (e3 )} sở ¡ { f (e1 ), f (e2 ), f (e3 )} Do 1 1  rankA = rank 1  = 1 0  ¡ Ánh xạ f biến sở tắc thành sở , nên f đẳng cấu.■ Nghiên cứu ánh xạ tuyến tính nhờ ma trận biểu thức tọa độ nó: 4.1 Tính chất: Cho V V’ hai không gian vectơ n chiều, m chiều Giả sử B = {e1 , e2 , , en } B ' = {e , e , , e } ' ' ' m sở V V’ Xét ánh xạ tuyến tính A = (aij ) ∈ M ( m, n; K ) A[ x ][ B ] = [ f ( x )][ B '] ma trận ánh xạ tuyến tính f với cặp sở (B, B’) Khi ta có: - rank(f ) = rank(A); - f đơn cấu ⇔ rank( A) = n ≤ m - f toàn cấu - f đẳng cấu x ∈ Kerf ⇔ - Gọi biểu thức tọa độ f đối ; ⇔ rank( A) = m ≤ n ; ⇔ rank( A) = n = m ⇔ A ∈ M (n; K ) det A ≠ [ x ][ B ] ma trận cột tọa độ ra, def(f ) = dim Kerf = n – rank(A); x ∈ Im f ⇔ f :V → V ' nghiệm hệ phương trình tuyến tính AX = Ngoài AX = [ x '][ B '] hệ phương trình tuyến tính có nghiệm 70 Họ tên: Bài thu hoạch mơn Đại số tuyến tính 4.2 Hệ quả: Xét hệ phương trình tuyến tính tổng qt Khi đó, tập hợp gian K P0 nghiệm hệ phương trình tuyến tính liên kết với hệ khơng n , có số chiều n – r với r hạng ma trận hệ số hệ phương trình (ta gọi hạng P0 hệ phương trình) gọi khơng gian nghiệm hệ phương trình 4.2.1 Hệ nghiệm hệ phương trình tuyến tính nhất: P0 Mỗi sở gọi hệ nghiệm hệ phương trình nhất, hệ gồm n – r nghiệm độc lập tuyến tính Khi chọn hệ nghiệm nghiệm hệ tổ hợp tuyến tính hệ nghiệm Vì hạng hệ r nên ta chọn r ẩn n – r ẩn tự Giả sử ẩn tự là: xr +1 , xr +2 , , xn x1 , x2 , , xr ẩn ẩn tự do, đó, cơng thức nghiệm hệ có dạng (α1 , α , , α n −r ) Khi đó, cho n – r số ta thu hệ nghiệm hệ nhận giá trị vectơ sở tắc Cn − r , f :V → V ' Việc tìm nhân ánh xạ tuyến tính quy việc tìm khơng gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính Do đó, phương pháp cho ta cách tìm sở cho Kerf 4.2.2 Ví dụ 1) Cho ánh xạ tuyến tính f :¡ →¡ xác định f ( x, y, z, t ) = ( x − y + t ,3x − y + z , x − y + z + t ) a) Lập ma trận f cặp sở tắc b) Tìm Kerf Imf c) f có phải đơn cấu, tồn cấu không? Giải: a) Ma trận f sở tắc b) Tìm Kerf: 1 −2  A =  −1   −3 1  x − y + t =  3 x − y + z = 4 x − y + z + t =  Xét hệ phương trình tuyến tính AX = sau: Thực phép biến đối sơ cấp dòng ta đưa hệ phương trình hệ phương trình tương đương sau: 71 Họ tên: Bài thu hoạch môn Đại số tuyến tính  x = 2α − β y = α x − y + t = x = y − t  ⇔ ⇔  5 y + z − 3t =  z = −5 y + 3t  z = −5α + 3β t = β Lần lượt cho Với α = 1, β = α = 0, β = Do đó, , ta ta với α, β ∈ ¡ 2 1 X1 =    −5   0  −1 0 X2 =   3   1 Kerf = {(2α − β , α , −5α + 3β , β ) | α , β ∈ ¡ } u1 = (2,1, −5, 0); u2 = ( −1, 0,3,1) có sở gồm hai vectơ sau: Vì dim Imf = rank( f ) = rank(A) = 2, nên ta tìm hai vectơ độc lập tuyến tính f (e3 ) = (0,1,1); f (e4 ) = (1, 0,1) Do độc lập tuyến tính nên ta chọn { f (e3 ), f (e4 )} làm sở Im f = (0,1,1);(1, 0,1) = {( β , α , α + β ) | α , β ∈ ¡ } Imf Vậy c) Do Kerf ≠ {(0, 0, 0, )} nên f đơn cấu dim ¡ f :¡ →¡ Vì dim Imf = rank(f ) =2 < = 2) Cho tốn tử tuyến tính , nên f khơng phải tồn cấu.■ xác định f ( x, y , z ) = ( x − y + z , x + y + z , x − y + z ) Hãy tìm Kerf Imf Giải Ma trận f sở tắc 1 −1 1 A =  3  −1 5 Do cột ma trận A tọa độ trận A, từ suy rank(A) f (ei ) nên thực phép biến đổi sơ cấp cột ma 72 Họ tên: Bài thu hoạch mơn Đại số tuyến tính 1 −1  1 0  1 0  A =  3 →   →    −1 5     Khi đó, Imf = rank(A) = 2, ta chọn hai cột độc lập tuyến tính ma trận làm sở Imf Khi đó, Im f = (1, 0, 2), (0,1,1) = {( α , β , 2α + β ) | α , β ∈ ¡ } Để tìm Kerf ta xét hệ phương trình sau: x − y + z = x − y + z =  x = 4α x − y + z = x = y − z    ⇔ ⇔ y = α  x + y + z = ⇔ 3 y + z = ⇔  3 y + z =  z = −3 y 4 x − y + z = 3 y + z =  z = −3α    α =1 - 4 X =    −3 Kerf = {(4α , α , −3α ) | α ∈ ¡ } với α ∈¡ u1 = (4,1, −3) Cho ta Vậy với sở ■ Chú ý: Sinh viên tìm đọc thêm nội dung phép biến đổi tuyến tính sách viết đại số tuyến tính _ Tóm tắt chương Nội dung chương phần mở đầu cho môn Đại số tuyến tính mà sinh viên học Qua chương này, sinh viên nắm số kiến thức ánh xạ tuyến tính, loại ánh xạ đặc biệt, cách thức biểu diễn ánh xạ qua ma trận tọa độ ánh xạ Học xong chương sinh viên cần nắm kiến thức sau: Ánh xạ tuyến tính gi? Tính chất? Cách xác định ánh xạ ánh xạ tuyến tính? Phép biến đổi tuyến tính gì? Ảnh tạo ảnh khơng gian có tính chất đặc biệt? Thế đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu? Cách chứng minh ánh xạ tuyến tính đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu? Tọa độ ảnh vectơ nào? Với cặp sở khác nhau? Dùng ma trận ánh xạ để chứng minh tính chất nó? Chương 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài 1: Các khái niệm hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa: Hệ phương trình dạng a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 a x + a x + + a x = b  21 22 2n n (1)   am1 x1 + am x2 + + amn xn = bm 73 Họ tên: Bài thu hoạch mơn Đại số tuyến tính aij , b j ∈ ¡ x1 , x2 , , xn Trong ẩn số, gọi hệ phương trình tuyến tính m phương trình, n ẩn Ma trận gọi ma trận hệ số hệ (1) A= Ma trận ma trận hệ số mở rộng hệ (1) Nhận xét: Một hệ phương trình hồn tồn xác định ta biết ma trận hệ số mở rộng Cột gọi cột tự hệ (1) Hệ (1) viết lại dạng Hoặc Ax=B với A ma trận hệ số hệ (1),x ma trận cột B ma trận hệ số tự hệ (1) Khi ta thực phép biến đổi sơ cấp dịng hệ phương trình tuyến tính ta hệ tương đương với hệ cho (c1; c2 ; ; cn ) Ta nói thỏa mãn X = ( x1 Nếu AX = B Ví dụ: xj = cj nghiệm hệ (1) thay x2 xn ) Hệ phương trình T B = ( b1 b2 bm ) 2 x1 − x2 + x3 = 1;   x1 + x2 + x3 = 4;  x − x − x = −3,  tất phương trình hệ (1) T hệ phương trình viết dạng: hệ phương trình tuyến tính ẩn Hệ phương trình cịn viết dạng  −1   x1    1 1   x  =     2   1 −1 −2   x3   −3 ¡  −1 1    1 1  1 −1 −2 −3 (1, 2,1) ∈ ¡ Trong nghiệm hệ phương trình Một vài hệ phương trình đặc biệt: 4.1 Hệ Cramer: Hệ phương trình tuyến tính (1) gọi hệ Cramer m = n (tức số phương trình số ẩn) ma trận hệ số A không suy biến (hay Ví dụ: Hệ phương trình det A ≠ 0) + x3 =  x1  2 x1 − x2 + x3 = 4 x + x + x = 3  hệ Cramer 74 Họ tên: Bài thu hoạch môn Đại số tuyến tính 4.2 Hệ phương trình tuyến tính nhất: b1 = b2 = = Nếu cột tự hệ (tức ) hệ phương trình tuyến tính (1) gọi hệ phương trình tuyến tính Hệ gọi hệ liên kết với hệ phương trình (1) ( x1 , x2 , , xn ) = (0, 0, ,0) 4.3 Nhận xét: Hệ phương trình tuyến tính ln có nghiệm nghiệm gọi nghiệm tầm thường hệ Các định lý tính chất: 5.1 Định lý: Đối với hệ phương trình tuyến tính có ba trường hợp nghiệm xảy là: - Có nghiệm nhất; - Vơ nghiệm; - Có vơ số nghiệm 5.2 Hệ quả: Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm tầm thường có vơ số nghiệm 5.3 Định nghĩa: Hai hệ phương trình có số ẩn gọi tương đương chúng có tập hợp nghiệm 5.4 Định lý: Nếu hai hệ phương trình có hai ma trận hệ số mở rộng tương ứng tương đương dòng với chúng tương đương Hoặc phát biểu lại sau: Cho hai hệ gồm m phương trình tuyến tính n ẩn K có dạng ma trận hóa ° = (C | D) C °A = ( A B ) °A : C ° Khi hai hệ phương trình tương đương 5.5 Nhận xét: Ta sử dụng phép biến đổi sơ cấp dịng cách tùy ý ma trận hóa hệ phương trình tuyến tính để đưa dạng hệ phương trình tuyến tính đơn giản  x1 − x2 + x3 = 1;   x1 + x2 + x3 = 4;  x − x − x = −3,  5.6 Ví dụ: Để giải hệ phương trình đổi sơ cấp dịng để đưa ma trận hóa dạng đơn giản ta tiến hành ma trận hóa sử dụng phép biến  −1 1  0 −3 −1 −7  0 −7 −7  0 1  −1 d1   d1 − d   d3 −d1     → 1 1   → 1   → 1 0  d3 − d d − d3 d2 − 3d1 1 1   1 −1 −2 −3 0 −2 −3 −7  d1 +3d3 0 −2  d3 + d1 0  Vậy hệ cho tương đương với 5.7 Định lý: Giả sử hệ (1) u0  x1 =  ⇔  x2 =   x3 = ■ nghiệm cho trước hệ phương trình (1) Khi u = u0 + v Nói cách khác 0 x1 + x2 + x3 = 1;   x1 + x2 + x3 = 1; 0 x + x + x =  u∈Kn nghiệm , với v nghiệm hệ phương trình tuyến tính liên kết với hệ (1) v1 , v2 , , vr nghiệm hệ phương trình tuyến tính liên kết ta viết nghiệm hệ phương trình tuyến tính (1) u = u0 + t1v1 + t2 v2 + + tr vr , t1 , t2 , , tr ∈ K 75 Họ tên: Bài thu hoạch mơn Đại số tuyến tính 5.8 Định nghĩa: Một nghiệm cố định u = u0 + t1v1 + t2 v2 + + tr vr nghiệm Ví dụ: Xét hệ phương trình sau: 2 x1 − x2 + x3 + x4 =  3 x1 − x2 + x3 + x4 = 5 x − 10 x − x + 10 x = 15  u0 hệ phương trình tuyến tính (1) gọi nghiệm riêng, gọi nghiệm tổng quát hệ (1) u0 = (1, 0, 0,1) Nhận xét hệ có nghiệm Xét hệ phương trình liên kết với hệ (1) 2 x1 − x2 + 3x3 + x4 =  3x1 − x2 + x3 + x4 = 5 x − 10 x − x + 10 x =  Hệ có nghiệm v1 = (11,5,1, 0); v2 = ( −6, −2, 0,1) Khi nghiệm tổng qt hệ phương trình ban đầu u = u0 + t1v1 + t2 v2 Bài 2: Các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính _ Phương pháp Cramer: Nội dung phương pháp định lý sau: 1.1 Định lý: Cho hệ Cramer a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 a x + a x + + a x = b  21 22 2n n   an1 x1 + an x2 + + ann xn = bn (2) ma trận hệ số Khi đó, - Nếu xi = - det A ≠ det Ai det A hệ phương trình có nghiệm xác định công thức sau: , Ai ma trận thu ma trận A cách thay cột i cột hệ số tự Nếu detA = tồn j ∈ {1, 2, , n} cho | Aj |≠  b1  b   2  M   bn  hệ phương trình vơ nghiệm 76 Họ tên: Bài thu hoạch môn Đại số tuyến tính | Aj |= 0, ∀j = 1, n - Nếu detA = hệ phương trình khơng có nghiệm (nghĩa vơ nghiệm vơ số nghiệm) Nếu xảy trường hợp ta dùng phương pháp Gauss (được nêu phần tiếp theo) để giải hệ phương trình 1.2 Hệ quả: Hệ phương trình tuyến tính n phương trình n ẩn có nghiệm khơng tầm thường định thức ma trận hệ số Nhận xét: Phương pháp dùng để giải hệ phương trình có số phương trình số ẩn 1.3 Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: Giải:  ax1 + bx2 = c  cx2 + ax3 = b (1) cx + bx = a  với a, b, c số khác a b det A = c a = 2abc ≠ c b Ta có nên hệ Cramer Hơn c b det A1 = b c a = ( a − b + c )b a b a c det A2 = b a = (− a + b + c ) a c a b a b c det A3 = c b = (a + b − c )c c a Do đó, hệ có nghiệm x1 = det A1 a − b + c det A2 − a + b + c = x2 = = det A 2ac det A 2bc ; x3 = ; det A3 a + b − c = det A 2ab ■ Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:  x1 + x2 + x3 =  −2 x1 − x2 − x3 =  x + x + x = −2  Giải: | A1 |= Ta có |A|=0 nên hệ phương trình vơ nghiệm ■ Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau: 77 Họ tên: Bài thu hoạch môn Đại số tuyến tính  x1 + x2 + x3 =   x1 − x2 − x3 = x − 2x − 2x =  Ta có det A = 0;det A1 = det A2 = det A3 = Hệ phương trình khơng có nghiệm tức hệ có vơ số nghiệm hệ vô nghiệm Đối với trường hợp phải dùng phương pháp Gauss để giải lại hệ phương trình Phương pháp Gauss: 2.1 Định lý Cronecker Capelly: Cho hệ phương trình tuyến tính tổng quát a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 a x + a x + + a x = b  21 22 2n n (1)   am1 x1 + am x2 + + amn xn = bm A A i) Nếu ma trận hệ số ma trận hệ số mở rộng Khi đó: rankA < rank A hệ (1) vơ nghiệm; rankA = rank A = r ii) Nếu hệ (1) có nghiệm Hơn nữa:  Nếu r = n hệ (1) có nghiệm  Nếu r < n hệ (1) có vơ số nghiệm phụ thuộc n – r tham số 2.2 Thuật toán sau để giải hệ phương trình tuyến tính (gọi thuật toán Gauss): A Lập ma trận hệ số mở rộng Bằng phép biến đổi sơ cấp dòng đưa ma trận A dạng bậc thang Giả sử ma trận bậc thang cuối có dạng: 0  0   A → C = 0  0    c1*i1 c2*i2 c1n d1   c2 n d    cri* r crn d r   d r +1   d m  Hệ phương trình tương ứng với ma trận C tương đương với hệ ban đầu Do đó: 1) Nếu tồn 2) Nếu di với r +1 ≤ i ≤ m d r +1 = d r + = = d m = khác hệ vơ nghiệm hệ có nghiệm Khi cột xi1 , xi2 , , xir i1 , i2 , , ir (là cột đánh dấu * ) giữ lại bên trái ẩn, cột lại chuyển sang bên phải, ẩn ứng với cột trở thành tham số Vậy ta có n – r tham số hệ cho tương ứng với hệ xk tương 78 Họ tên:  c1i1  0   0  c1i2 c2i2 Trong Bài thu hoạch mơn Đại số tuyến tính c1ir d ( x )  k  d ( xk )   crir d r ( xk )  di ( xk ) (3) hàm tuyến tính xk với k ≠ i1 , i2 , , ir Hệ phương trình (3) hệ phương trình dạng tam giác ta dễ dàng giải cách dần từ lên, tức tính xir , xir −1 , , xi1 Chú ý: Nếu trình biến đổi xuất dịng mà bên trái cịn bên phải số khác ta kết luận hệ phương trình vơ nghiệm khơng cần làm tiếp Nhận xét: Nếu ma trận thu cuối thuật tốn Gauss có dạng A’|B’ A’ gọi ma trận rút gọn theo dòng bậc hay đơn giản ma trận rút gọn, ký hiệu Khi hạng ma trận A hạng RA RA 2.3 Các ví dụ: a) Giải hệ phương trình sau:  x1 + x2 + x3 =  −2 x1 + x2 − x3 = (*) 3x + x + x = −2  Giải: | A |=| A1 |=| A2 |=| A3 |= Vì nên ta khơng thể dùng phương pháp Cramer để giải hệ phương trình Ta áp dụng phương pháp Gauss để giải hệ phương trình Ta viết hệ dạng ma trận hóa sau: 1 2 0 1 2  1 2    d2 →d2 + d1   d3 → d3 + d   d3 → d3 − d1  −2 −2  → 0 2  → 0 2   −2  0 −5 −2 −2   0 0  1 2  d → d2    → 0 / / 5 0 0  x3 Vậy hệ phương trình (*) có vơ số nghiệm phụ thuộc vào tham số 79 Họ tên: Bài thu hoạch mơn Đại số tuyến tính −4 −4 −6  x = − x − x = + x − x = − x3 3  5 5  2   x2 = − x3 5   x3 ∈ ¡   ■ Chú ý: - Khi hệ phương trình có vơ số nghiệm dù giải phương pháp ta có nhều cách chọn biến tự - Khi giải hệ phương trình tuyến tính nhất, ta có nhiều cách chọn hệ nghiệm  x1 + x2 + x3 = −9   x1 − x2 + x3 = 3 x − x − x = 25  b) Giải hệ phương trình Giải: Ta tiến hành giải thuật toán Gauss sau: 1 −9  d →d − d 1 −9  1 −9    d32 →d32 −3d1   d3 → d3 − d   1 −1  →  −3 −2 11  → 0 −3 −2 11  3 −6 −1 25  0 −12 −16 52  0 −8  Vậy hệ phương trình đầu tương đương với hệ:  x1 + x2 + x3 = −9   − 3x2 − x3 = 11  - x3 =  ( x1 , x2 , x3 ) = (2, −3, −1) Do nghiệm hệ Sinh viên tham khảo them thuật tốn Gauss Jordan tài liệu viết đại số tuyến tính Thực chất thuật tốn Gauss Jordan ta thực phép biến đổi dòng ma trận hệ số mở rộng trở thành ma trận có tính chất sau: - Các dịng khác nằm dịng 0; - Hệ số khác dòng khác - Các phần tử lại cột chứa số chuẩn (gọi cột chuẩn) ( x1 , x2 , x3 ) = (2, −3, −1) Vậy nghiệm hệ ■ Giải biện luận hệ phương trình tuyến tính tổng qt: Các ví dụ: a) Giải hệ phương trình sau:  x1 + x2 + x4 + x5 = 2 x + x + x + 3x =   3 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = m   x1 + x2 + x3 + x5 = 2m − 80 Họ tên: Bài thu hoạch mơn Đại số tuyến tính Giải: Ma trận hệ số mở rộng hệ phương trình 1  B= 3    1 → d − d1  dd32 →  d3 −3 d1 3  0 → d → d − d1 0 m    1 2m − 8 0 2 1  d3 → d3 − d2 0 → d4 →d4 − d2 0     −1 −2  −3 −2 m −   −2 2m −  2  1   −1 −2   → d → d − d3 0 0 −1 m −    0 −1 2m − 10  0 2 1 1   −1 −2  0 −1 m − 5  0 0 m − 5 2 m≠5 Nếu hệ phương trình vơ nghiệm Nếu m = hệ phương trình trở thành 1  0 0  0 1  −1 −2  0 −1   0 0  2 Vậy hệ phương trình có vơ số nghiệm phụ thuộc tham số  x1 + x4 = − x2 − x5   x3 − x4 = + x5 − x = −2 x  Từ suy ra, x5 , x2  x4 = x5   x3 = x5 +  x = −2 x − x +  với x2 , x5 ∈ ¡ ■ 1− m = − 2m − m m+3 x3 = x4 = m+3 x2 = x4 = m+3 x4 = x1 = − x2 − x3 − mx4 = m+3 Kết luận: - Nếu m = hệ phương trình có vơ số nghiệm - Nếu m = -3 hệ vơ nghiệm x1 = x2 = x3 = x4 = m ≠ 1, −3 - Nếu hệ có nghiệm Giải hệ phương trình phương pháp thích hợp: Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau phương pháp thích hợp: m+3 ■ 81 Họ tên: Bài thu hoạch mơn Đại số tuyến tính − x + y + z + t = a x − y + z + t = b   x + y − z + t = c  x + y + z − t = d Cộng theo vế phương trình ta được: a+b+c+d x+ y + z +t = (*) Lấy (*) trừ cho phương trình thứ (1) hệ được: a+b+c+d −a + b + c + d 2x = −a ⇒ x = Lấy (*) trừ cho phương trình thứ (2) hệ được: a −b +c + d y= Lấy (*) trừ cho phương trình thứ (3) hệ được: a+b−c+d z= Thực tương tự lấy (*) trừ cho phương trình thứ (4) hệ được: a+b+c−d t= Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: mx + y + z + t =  x + my + z + t =    x + y + mz + t =  x + y + z + mt = Giải Cách 1: SV tự giải phương pháp Gauss (hoặc Gauss Jordan) Cách 2: Cộng tất phương trình ta được: (m + 3)( x + y + z + t ) = (*) Nhận xét: Khi m = - phương trình (*) vơ nghiệm, hệ vơ nghiệm Khi m = hệ có vơ số nghiệm  x = t − t1 − t − t3 y = t   z = t   t = t3 Khi m ≠ −3, m ≠ t1 , t2 , t3 ∈ ¡ với chia biểu thức (*) cho m + ta có 82 Họ tên: x+ y + z +t = Bài thu hoạch môn Đại số tuyến tính m+3 Lấy kết trừ phương trình thứ hệ ta được: x= m+3 y = z =t = m+3 Thực tương tự ta Tóm tắt chương Ở chương này, thơng qua việc vận dụng kiến thức định thức ma trận ta nghiên cứu thêm phương pháp để giải hệ phương trình tuyến tính tổng qt Sau học xong chương này, sinh viên cần trả lời câu hỏi sau: Hệ phương trình tuyến tính có yếu tố cần biết để giải? Nghiệm hệ xác định sao? Khi hai hệ phương trình tương đương? Đặc điểm hệ Cramer gì? Thế hệ phương trình tuyến tính nhất? Phương pháp Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính giống với nội dung học chương trước? Trình bày phương pháp Gauss? Sinh viên nghiên cứu thêm phương pháp Gauss Jordan? Sự giống khác phương pháp Gauss phương pháp Gauss Jordan? Điều kiện cần thiết để giải hệ phương trình phương pháp Cramer? Trình bày phương pháp Cramer? Phụ lục Để dễ dàng cho việc học tìm hiểu mơn học đọc tham khảo thêm số sách viết mơn đại số tuyến tính : 1) Đại số tuyến tính (PGS.TS Nguyễn Thành Quang,Dự án phát triển giáo viên THPT&TCCN-Trường Đại học Vinh,Hà Nội 2013 ) 83 Họ tên: Bài thu hoạch mơn Đại số tuyến tính 2) Giáo trình đại số tuyến tính ( Nguyễn Hữu Việt Hưng,NXB Đại học Quốc gia Hà Nội , 2006) 3) Tổng quan đại số đại (G.Birkhoff S.Maclane,NXB ĐH& THCN, Hà Nội 1979(bản dịch tiếng Việt) 4) Tốn cao cấp, Tập 1,Đại số hình học giải tích,(Nguyễn Đình Trí(Chủ biên) NXB Giáo dục,Hà Nội ,2003) 5) Giáo trình đại số tuyến tính (Ngơ Việt Trung, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội,2001) 6) Đại số đại cương (Hồng Xn Sính ,NXB Giáo dục,Hà Nội ,2002) 84 ...Họ tên: Bài thu hoạch môn Đại số tuyến tính MỞ ĐẦU Bài thu hoạch mơn “ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH” nhằm giúp hệ thống lại nội dung kiến thức học chương trình học mơn học tốn A1(ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH) dành... nhiên Bài thu hoạch môn Đại số tuyến tính W1 ∩ W2 = {( x, 0, 0) | x ∈ ¡ } W1 ∪ W2 = {( x, y, z ) | y = không gian ¡ hay z = 0}, không gian ¡ Bài 3: Sự độc lập tuyến tính phụ thu? ??c tuyến tính. .. vectơ thu? ??c tuyến tính  ∀v ∈V u1 , u2 , , un ∈ V u1 , u2 , , un ∈ V {v} độc lập tuyến tính u1 , u2 , , un ∈ V phụ thu? ??c tuyến tính có vectơ hệ vectơ phụ thu? ??c tuyến tính phụ thu? ??c tuyến tính