Một vài câu hỏi ơn tập cho K65 khoa Tốn-Tin Giảng viên : Trần Đức Anh Liên hệ qua hòm thư: ducanh@hnue.edu.vn bạn có câu hỏi, thắc mắc, hay trao đổi học tập Tháng 12/2015 Ghi chú: Danh sách có tính gợi ý cách ơn tập, khơng phải danh sách có tính hạn chế vùng kiến thức Vùng kiến thức dùng để kiểm tra bao gồm tồn giáo viên dạy, khơng có lý lại dạy mà khơng kiểm tra Danh sách cập nhật, tùy vào tình hình tiến độ lớp lý thuyết Các khái niệm không gian vector Câu hỏi Nêu thuật tốn tính hạng hệ vector hệ độc lập tuyến tính tối đại Câu hỏi Từ hệ sinh không gian vector, làm để tìm sở khơng gian vector đó? Câu hỏi Mối liên hệ hạng hệ vector số vector hệ? Câu hỏi Nếu không gian vector định nghĩa hệ phương trình tuyến tính nhất, làm để tìm sở khơng gian vector đó? Câu hỏi Chiều không gian vector thương V /W với chiều V W có liên hệ khơng? Câu hỏi Cho U ⊂ V khơng gian vector hữu hạn chiều Giải thích dim U ≤ dim V ? Nếu dim U = dim V chuyện xảy ra? Vì tồn không gian vector U˜ cho V = U ⊕ U˜ ? Phép chiếu tuyến tính từ V → U định nghĩa nào? Câu hỏi Định nghĩa ma trận chuyển sở; ma trận ánh xạ tuyến tính Cách tính tốn đại lượng Cách tính tốn ma trận ánh xạ tuyến tính thay đổi sở Câu hỏi Cho ánh xạ tuyến tính f : V → W Không gian ảnh hạt nhân f gì? Mối liên hệ chiều khơng gian ảnh hạt nhân này? Phát biểu định lý đồng cấu không gian vector Câu hỏi "Ánh xạ tuyến tính làm giảm chiều khơng gian" Câu nói có nghĩa gì? Nhờ kết đó, ta chứng minh tương đương tính đơn cấu, toàn cấu đẳng cấu tự đồng cấu không gian vector hữu hạn chiều nào? Câu hỏi 10 Định nghĩa hạng ma trận Định nghĩa hạng ánh xạ tuyến tính Cách tính đại lượng này? Định thức hệ phương trình tuyến tính Câu hỏi 11 Định nghĩa phép Cách tính dấu phép Câu hỏi 12 Định nghĩa định thức Cách tính định thức (theo định nghĩa, theo khai triển theo hàng cột, dùng phép biến đổi sơ cấp) Tính chất nhân tính định thức (det(AB) = det(A) det(B) với A, B hai ma trận vng cấp) Câu hỏi 13 Tính chất định thức: đa tuyến tính, thay phiên Cho A ma trận vuông Nêu mối liên hệ định thức A tính phụ thuộc tuyến tính vector hàng A (hoặc vector cột A) Câu hỏi 14 Nêu phương pháp Gauss-Jordan việc giải hệ phương trình tuyến tính Số dẫn đầu gì? Câu hỏi 15 Tiêu chuẩn Kronecker-Capelli tồn nghiệm hệ phương trình tuyến tính Định lý Cramer Hệ Cramer hệ gì? Câu hỏi 16 Cách tìm hệ nghiệm hệ phương trình tuyến tính có dạng Ax = b, với A ma trận cấp m × n Cấu trúc tự đồng cấu Câu hỏi 17 Cho A ma trận vng Vì từ det A = 0, suy Ker(A) khơng tầm thường (tức Ker(A) = {0})? Câu hỏi liên quan tới việc giải thích giá trị riêng ma trận vuông lại nghiệm đa thức đặc trưng Câu hỏi 18 Cho A ma trận vuông với hệ số phức (hệ số phức để đảm bảo đa thức đặc trưng ln có đủ nghiệm) Nêu khái niệm bội đại số bội hình học giá trị riêng A Câu hỏi 19 Ma trận vuông chéo hóa nghĩa gì? Tiêu chuẩn tính chéo hóa ma trận vng (gợi ý: bội hình học bội đại số giá trị riêng phải nhau) Câu hỏi 20 Khối Jordan cấp s ứng với giá trị riêng λ gì? Cơng thức tính số khối nào? (Gợi ý: rank(A − λI)s−1 − 2rank(A − λI)s + rank(A − λI)s+1 Lưu ý rank(A − λI)s hạng ma trận (A − λI)s ) Câu hỏi 21 Dạng chuẩn Jordan ma trận vng gì? Làm để tính dạng chuẩn Jordan? Gợi ý: xem cơng thức số khối nói Câu hỏi 22 Không gian bất biến tự đồng cấu (hoặc ma trận vng) gì? Tính khơng gian nào? (Gợi ý: Nên xử lý trường hợp đơn giản trước, xử lý trường hợp tự đồng cấu chéo hóa được, hay ma trận chéo hóa được) Câu hỏi 23 Vì mà tự đồng cấu tuyến tính không gian vector thực hữu hạn chiều có khơng gian bất biến chiều chiều? Khơng gian vector Euclide; Dạng song tuyến tính; Tích vô hướng Câu hỏi 24 Cho không gian vector U không gian vector Euclide E Cho v vector E Nêu cơng thức hình chiếu vng góc v lên U Câu hỏi 25 Dạng song tuyến tính đối xứng xác định dương gì? Tiêu chuẩn Sylvester cho tính xác định dương dạng song tuyến tính đối xứng? Câu hỏi 26 Trực giao hóa trực chuẩn hóa Gram-Schmidt gì? Nó có liên quan tới cơng thức hình chiếu vng góc nói không? Câu hỏi 27 Ánh xạ tuyến tính trực giao gì? Ma trận trực giao gì? Câu hỏi 28 Tự đồng cấu đối xứng gì? Ma trận đối xứng gì? Ma trận đối xứng thực chéo hóa ma trận trực giao có nghĩa gì? Câu hỏi 29 Bất đẳng thức Bessel so sánh độ dài vector với độ dài hình chiếu vng góc Câu hỏi 30 Cho f tự đồng cấu tuyến tính ánh xạ trực giao Giả sử U không gian vector bất biến f Chứng minh U ⊥ không gian bất biến f Từ tính chất này, mơ tả cấu trúc tự đồng cấu trực giao Câu hỏi 31 Ma trận trực giao vng cấp có dạng nào? Dạng toàn phương Câu hỏi 32 Phương pháp Lagrange việc chuyển dạng tồn phương dạng tắc chuẩn tắc gì? Câu hỏi 33 Chỉ số quán tính dạng tồn phương gì? Chỉ số qn tính dương? Chỉ số quán tính âm? Định lý Sylvester số quán tính? Câu hỏi 34 Mối liên hệ dạng toàn phương thực ma trận đối xứng thực? Câu hỏi 35 Dạng toàn phương xác định dương gì? Tiêu chuẩn Sylvester dạng tồn phương xác định dương? ... Câu hỏi 25 Dạng song tuyến tính đối xứng xác định dương gì? Tiêu chuẩn Sylvester cho tính xác định dương dạng song tuyến tính đối xứng? Câu hỏi 26 Trực giao hóa trực chuẩn hóa Gram-Schmidt gì? Nó... tính phụ thuộc tuyến tính vector hàng A (hoặc vector cột A) Câu hỏi 14 Nêu phương pháp Gauss-Jordan việc giải hệ phương trình tuyến tính Số dẫn đầu gì? Câu hỏi 15 Tiêu chuẩn Kronecker-Capelli tồn... Lagrange việc chuyển dạng toàn phương dạng tắc chuẩn tắc gì? Câu hỏi 33 Chỉ số qn tính dạng tồn phương gì? Chỉ số qn tính dương? Chỉ số quán tính âm? Định lý Sylvester số quán tính? Câu hỏi 34