giáo trình hình học đại số của GS Ngô Bảo Châu

Tài liệu giáo trình hình học đại số của GS Ngô Bảo Châu

          Giáo trình hình học đại số   Ngơ Bảo Châu Tháng năm 2003 Gi¡o tr¼nh h¼nh håc Ôi số Ngổ BÊo ChƠu bÊn thĂng nôm 2003 Lới m Ưu Trong hẳnh hồc Ôi số, cĂc ối tữủng hẳnh hồc ữủc mổ tÊ bơng mởt ngổn ngỳ Ôi số thuƯn tuỵ Bản ngoi trỹc quan hẳnh hồc v Ôi số hẳnh thực cõ v ối lêp nhau, sỹ phĂt trin cừa hẳnh hồc Ôi số thá k 20  chựng minh iÃu ngữủc lÔi : mởt ngổn ngỳ Ôi số phũ hủp cõ khÊ nông diạn Ôt trỹc quan hẳnh hồc mởt cĂch rĐt chẵnh xĂc Vo cuối thá k 19 hẳnh hồc Ôi số  phĂt trin mÔnh Italia vợi nhỳnh tản tuối nhữ Castelnuovo hay Severi, gt hĂi ữủc nhiÃu kát quÊ àp  và cĂc ối tữủng tữỡng ối cử th nhữ ữớng cong v mt Ôi số Do thiáu mởt nÃn tÊng Ôi số vỳng chưc, cĂc nh toĂn hồc Italia cán dịng nhi·u cỉng cư gi£i t½ch v  ỉi mưc phÊi nhỳng ngở nhên hẳnh hồc dăn án nhỳng chựng minh khổng Ưy ừ PhÊi án Zariski v Weil, Ôi số giao hoĂn mợi tr thnh cổng cử chẵnh hẳnh hồc Ôi số Vo nhỳng nôm giỳa thêp k 20, hẳnh hồc Ôi số cõ thảm mởt lƯn lởt xĂc Nhụng ngữới i tiản phong giai oÔn ny l Serre v Grothendieck Grothendieck sỷ dửng lỵ thuyát phÔm trũ vo hẳnh hồc Ôi số mởt cĂch cõ hằ thống ị tững cừa coi a tÔp Ôi số nhữ mởt hm tỷ l mởt ỵ tững then chốt lỵ thyát lữủc ỗ Mởt cĂi hay cừa ngổn ngỳ hẳnh hồc Ôi số l, mc dũ phÔm trũ v hm tỷ l nhỳng khĂi niằm rĐt trứu tữủng, nõ cho php ta diạn Ôt mởt cĂch sĂng nhỳng trỹc quan hẳnh hồc cử th nhĐt v thêt sỹ giúp ta hiu thảm và nhỳng ối tữủng cử th vẵ dử nhữ ữớng cong, mt Những õ cụng ỗng thới l cĂi khõ cho ngữới hồc hẳnh hồc Ôi số v cho ngữỏi viát giĂo trẳnh hẳnh hồc Ôi số Xem cĂc giĂo trẳnh tiáng nữợc ngoi  cõ, nời tiáng nhĂt l cĂc cõa Hartshorne, Mumford, Shafarevich, ta th§y c¡c cuèn n y câ nởi dung rĐt khĂc nhau, hƯu nhữ ẵt cõ phƯn giao Ngữới viát ny cụng phÊi lỹa chồn mởt tuyán ữớng riảng,  dăn dưt bÔn ồc tham quan xự s diằu ký cừa hẳnh hồc Ôi số Theo quan im sữ phÔm riảng, tuyán ữớng ữủc chồn l cĂc Ôi lở chẵnh, cõ th khổng cõ gẳ thêt ngoÔn mửc, nõ giúp ta di xa hỡn v  câ thº tr¡nh cho ng÷íi tham quan câ c£m giĂc b lÔc ữớng Nởi dung quyn giĂo trẳnh ny tĐt nhiản khổng cõ gẳ mợi Náu cõ gẳ mợi thẳ nõ nơm cĂch trẳnh by v thự tỹ sưp xáp cĂc khĂi niằm Trong tứng phƯn riảng r, chưc chưn l ngữới viát cõ vay mữủn tứ cĂc sĂch  cõ, chừ yáu tứ cừa Hartshorne v cừa Mumford Ngữới viát cụng khổng hà ngƯn ngÔi lữủc bỵt i ho n to n mët sè chùng minh qu¡ r­c rối hoc ch trẳnh by chựng minh mởt trữỡng hđp °c bi»t nh÷ng °c thị C¡c chùng minh chi tiát v Ưy ừ thẳ bÔn ồc náu cƯn câ thº tham kh£o s¡ch cõa Hartshorne Ð ¥y, tỉi ch mong muốn bÔn ồc nđm ữủc cĂch tẵnh toĂn cư thº mët sè tr÷ìng hđp cư thº v  hiu ữủc nởi dung cừa nh lỵ thổng qua cĂc tẵnh toĂn õ PhƯn I Ôi số Mửc ẵch cừa chữỡng ny l im lÔi mởt số khĂi niằm cỡ bÊn cừa Ôi số giao hoĂn v lỵ thuyát phÔm trũ TĂc giÊ khổng cõ tham vồng viát chữỡng ny thnh mởt ti liằu tham khÊo Mửc ẵch cừa nõ l im lÔi mởt số khĂi niằm cỡ bÊn cừa Ôi số giao hoĂn v lỵ thuyát phÔm trũ m theo chừ quan cừa mẳnh, tĂc giÊ cho l khổng thiáu ữủc cho ngữới bưt Ưu hồc hẳnh hồc Ôi số NhiÃu chựng minh ch ữủc trẳnh by vưn tưt, hoôc thêm chẵ bọ qua Náu cÊm thĐy cƯn thiát, ngữới ồc cõ th tham khÊo sĂch kinh in và Ôi số giao hoĂn cừa Matsumura hay l cừa Atyah v Macdonald Ta ỵ c biằt án phÔm trũ cĂc vnh giao hoĂn v cĂc hm tỷ tứ phÔm trũ ny vo phÔm trũ cĂc têp hủp KhĂi niằm a phữỡng hoĂ Ôi sè giao ho¡n v  kh¡i ni»m h m tû biºu di¹n ữủc cừa lỵ thuyát phÔm trũ ữủc nhĐn mÔnh Chữỡng Sỡ lữủc và Ôi số giao hoĂn 1.1 Vnh giao hoĂn Trong têp hủp cĂc số nguyản php nh¥n Z ta câ hai ph²p to¡n cì b£n l  ph²p cëng v  C¡c ph²p to¡n n y thäa m¢n mët số tẵnh chĐt nhữ tẵnh giao hoĂn, tẵnh kát hủp v tẵnh phƠn phối 0, Php cởng cõ mởt phƯn tỷ ỡn v l php nhƠn cõ mởt phƯn tỷ ìn l  V nh giao ho¡n l  c§u tróc Ôi số trứu tữủng, mổ phọng cĂc tẵnh chĐt cừa php cởng v php nhn số nguyản nh nghắa Vnh giao hoĂn l mởt têp hủp R vợi (+, 0, ì, 1) thoÊ mÂn R, - têp vợi +, vợi php cởng + v phƯn tỷ 0R l phƯn tỷ ỡn v ối tÔo thnh mởt nhõm Abel -têp R vợi php nhƠn ì v phƯn tỷ 1R ỡn v vợi php , tÔo thnh mởt nûa nhâm Abel, tùc l  nh÷ mët nhâm Abel ch¿ thiáu tiản à l mồi phƯn tỷ Ãu nghch Êo ữủc -php + v php nhƠn thoÊ mÂn tẵnh chĐt phƠn phối x ì (y + z) = x ì y + x ì z TĐt nhiản vẵ dử cỡ bÊn nhĐt cừa vnh giao hoĂn chẵnh l vnh cĂc số nguyản Z Têp hủp cĂc số hỳu t tÔo n¶n mët v nh húu t¿ Q[x], Q, c¡c sè thüc R, hay c¡c sè phùc cơng Tªp c¡c a thùc mởt bián vợi hằ số nguyản hay hằ số phực C[x] Z[x], hằ số ró rng cụng tÔo nản mởt vnh Vẵ dử suy bián v tƯm thữớng l vẵ dử mởt vnh vợi chựng minh ữủc l vnh ny ch¿ câ óng mët ph¦n tû = Khi õ ta CHìèNG 10 nh nghắa ỗng cĐu vnh giỳa thẵch vợi cĂc cĐu trúc (+, 0, ×, 1) SÌ L×ĐC V— „I SÈ GIAO HON R v R cừa R v l mởt Ănh xÔ :RR tữỡng R Ta lữu ỵ tợi khng nh hin nhiản sau Ơy Mằnh à Vợi mồi vnh giao hoĂn R, tỗn tÔi nhĐt mởt ỗng cĐu vnh R : Z → R n, φR b­t buëc ph£i gỷi n lản phƯn tỷ 1+à à Ã+1, n lƯn, cừa R Cỏn náu n l nguyản Ơm, ta phÊi gỷi n lản R (n) Dạ thĐy Vợi mồi số nguyản dữỡng Ănh xÔ nh nghắa nhữ trản l mởt ỗng cĐu vnh nh nghắa Mởt phƯn tỷ cho xR ữủc gồi l khÊ nghch náu tỗn tÔi yR xy = Ta kỵ hiằu Rì tƠp hủp c¡c ph¦n tû kh£ nghàch cõa v nh R = R {0} Vẵ Z thẳ khổng ữủc gồi l mởt trữớng náu nhữ hỳu t, hay R, C Ãu l trữớng, ì R dử nhữ vnh Vnh Q R cĂc số Têp hủp cĂc lợp ỗng p l mởt trữớng m ngữới ta thữớng kỵ hiằu l Fp CĂc trữớng hỳu hÔn Fp vợi p nguyản tố, v Q ữủc gồi l trữớng nguyản thu, tữỡng tỹ nhu Z l vnh nguyản thu, mằnh à sau Ơy Ta modulo mởt số nguyản tố cõ th chựng minh nâ cịng mët kiºu nh÷ m»nh · M»nh à Mởt trữớng cĂc trữớng hỳu hÔn k bĐt ký hoc l chựa Trong trữớng hủp Ưu, ta nõi sau, k câ °c sè p Q, ho°c l  chùa mët Fp k l  tr÷íng câ °c sè Hẳnh hồc Ôi số trản hỳu t cừa phữỡng trẳnh Ôi số Q Hẳnh hồc Ôi số trản giÊi phữỡng trẳnh ỗng modulo 0, trữớng hủp liản quan án viằc tẳm nghiằm Fp thẳ giống nhữ viằc p x R ữủc gồi l ữợc số cừa náu tỗn tÔi mởt phƯn tỷ y R khĂc cho xy = Mët ph¦n tû x R gồi l lu linh n náu tỗn tÔi n ∈ N cho x = Mët v nh R ữủc gồi l miÃn nguyản náu R khổng chựa cĂc phƯn tỷ khĂc khổng m lÔi l ữợc số cừa khổng Vnh R ữủc gồi l rút gồn náu R khổng nh nghắa Mởt phƯn tỷ chựa phƯn tỷ khĂc khổng m lÔi l lụy linh 1.2 MOUN TR–N MËT V €NH 1.2 11 Moun tr¶n mët vnh nh nghắa Moun trản mởt vnh php nhƠn vổ hữợng RìM M R l mởt nhỏm Abel kỵ hiằu l (, x) x M vợi mởt thoÊ mÂn cĂc tẵnh chĐt ( + )x = αx + βx v  α(x + y) = αx + y , -()x = (x) v 1.x = x ỗng cĐu R-moun l mởt Ănh xÔ bÊo ton cĐu trúc R-moun - R m  ta câ thº xem nh÷ mët moun trản R Cho hai R-moun bĐt ký M1 , M2 , tẵch trỹc tiáp M1 ì M2 cõ mởt cĐu trúc R-moun hin nhiản (x1 , x2 ) = (αx1 , αx2 ) Ta gåi nâ l  têng trüc tiáp cừa M1 v M2 v kỵ hiằu l M1 ⊕ M2 Mët R-moun l  moun tü c§p n náu n nõ ng cĐu vợi R = R à à à R, n lƯn Vẵ dử ỡn giÊn nhĐt l têp M Rn M nh nghắa ton Ănh l mởt moun hỳu hÔn sinh náu tỗn tÔi mởt ỗng cĐu tứ mởt moun tỹ cĐp hỳu hÔn vo Nõi mởt cĂch khĂc, M l hỳu hÔn x1 , , xn M cho mồi phƯn dÔng x = x1 + · · · + αn xn tû nh nghắa cho M M M M sinh náu tỗn tÔi mởt số hỳu hÔn phƯn tỷ xM Ãu cõ th viát ữủc dữợi l mởt moun xÔ Ênh náu tỗn tÔi mởt R-moun M l mởt moun tỹ cĐp hỳu hÔn Mởt moun tỹ hỳu hÔn sinh l dắ nhiản l mởt moun xÔ Ênh Mằnh à ngữủc lÔi thẳ khổng úng nhữ ta s thĐy nhỳng chữỡng sau nghiản cựu cĂc phƠn thợ vectỡ 1.3 Iảan, iảan nguyản tố v phờ Mổun cõa mët R-moun M cëng v  ph²p nh¥n vỉ hữợng M/N tỹ ởng cõ mởt cĐu trúc nh nghắa 10 Ta x²t R R÷ cõa l  mët mỉun I l mởt têp Náu N N M , õng õi vợi php M , thữỡng l mởt mổun cừa R-moun nhữ l mởt moun trản chẵnh nõ R Mởt iảan cừa CHìèNG 12 R, moun thữỡng R/I tỹ ởng cõ mởt cĐu trúc vnh gồi l vnh cĂc cừa R moulo I Thêt vêy lợp ỗng modulo I cừa tờng hay tẵch hai ph¦n tû x, y ∈ R ch¿ phư thc vo cĂc lợp ỗng cừa x v y modulo I ÷ Trong tr÷íng hđp I = R ta câ vnh suy bián ch cõ Náu I Sè LìẹC V I Sẩ GIAO HON l mởt iảan cừa mởt phƯn tỷ nh nghắa 11 Iảan Iảan I I ữủc gồi l nguyản tố náu ữủc gồi l tối Ôi náu R/I R/I l mởt miÃn nguyản l mởt trữớng ối tữủng hẳnh hồc thổng dửng ựng vợi mởt vnh giao ho¡n phê Spec(R) c¡c i¶an nguy¶n tè cõa R R, l têp Têp phờ ny cỏn ữủc trang b nhiÃu cĐu trúc khĂc nỳa nhữ cĐu trúc tổpổ v cĐu tróc bâ v nh m  chóng ta s³ xem x²t kÿ chữỡng sau Hiằn tÔi ta tÔm coi têp hủp, cĂc phƯn tỷ cừa nõ ữủc gồi l im Spec(R) ch nhữ mởt Ta khÊo sĂt têp ny mởt số trữớng hủp ỡn giÊn Spec(Z) bao gỗm nhĐt mởt iảan nguyản tố m khổng tối Ôi l  i¶an {0} C¡c i¶an nguy¶n tè kh¡c ·u câ mởt phƯn tỷ sinh l mởt số nguyản tố p no õ im tữỡng ựng vợi iảan {0} gồi l im tờng quĂt Ta cõ th hẳnh dung Spec(Z) nhữ mởt ữớng cong vợi mội Náu R = Z, têp im l mởt số nguyản tố, cởng thảm vợi mởt iºm têng qu¡t C[x] câ phê l  mët ÷íng cong quen thc hìn Nâ cơng chùa mët nh§t mët iảan nguyản tố khổng tối Ôi l iảan {0} CĂc iảan tối Ôi ữủc sinh bời mởt ỡn thực dÔng x vợi l mởt số phực no õ Nhữ vêy, phờ cừa C[x] l têp cĂc sè phùc C câ bê sung th¶m mët iºm têng quĂt Nõi chung, náu R l mởt miÃn nguyản, iảan {0} l mởt iảan nguyản tố im tữỡng ựng vợi nâ phê cõa R gåi l  iºm têng qu¡t Vnh Mằnh à 12 Vợi mồi ỗng cĐu vnh nguyản tố p iảan tối Ôi bĐt ký cừa p R bĐt ký cừa :RR, tÔo Ênh cụng l mởt iảan nguản tố R p cừa mổt iảan TÔo Ênh p cừa mổt cụng l mởt iảan tối Ôi p l tÔo Ênh cừa p , ỗng cĐu vnh R/p R /p c£m sing tø φ, l  mët Do R /p l vnh nguyản vàn nản R/p cụng phÊi l vnh nguyản Tữỡng tỹ nhu vêy, náu R /p l mởt trữớng thẳ R/p cụng phÊi l mởt Do ỡn Ănh vàn trữớng R R cừa R Nhữ vêy mội ỗng cĐu vnh Spec(R) tứ phờ cừa R vo phờ cho ta mởt Ănh xÔ Spec(R ) CHìèNG 12 164 H TUYN TNH V ìẻC Trữợc hát ta kỵ hiằu PL = Proj(Sym(L )) l khổng gian xÔ Ênh ựng vợi khổng gian vectỡ k l mởt ữỡng thng ối ngău L Trản PL L L∗ Méi iºm cõa PL∗ tr¶n ho°c l  mët si¶u m°t khỉng gian vectì ta câ bâ OL∗ (1) vợi (PL , OL (1)) = L Trản tẵch X ìk PL ta xt phƠn thợ ữớng thng cho bði t½ch tenxì ngo i L k OL∗ (1) = pr∗ L ⊗ prPL∗ OL∗ (1) X Ta bi¸t Γ(X × PL∗ , L k OL∗ (1)) = Γ(X, L) ⊗k L∗ v  nâ ch÷ùa L ⊗k L∗ = Homk (L, L) nhữ k -khổng gian vectỡ Vẳ vêy ta cõ mởt phƠn tỷ chuân tưc 1L Homk (L, L) ⊂ Γ(X × PL∗ , L k OL∗ (1)) VL l  tªp âng c¡c khỉng iºm cõa lợp cưt ny, nhữ trản trản VL cõ mởt cĐu lữủc dỗ chuân tưc v l lữủc ỗ õng cừa Ta kỵ hiằu ta biát X ì PL Ta cõ php chiáu VL PL vợi thợ cõ th xem nhữ lữủc ỗ cừa X Ta câ thº d¹ dang kiºm tra kh¯ng ành sau l ∈ L kh¡c khæng, gåi pl ∈ PL∗ (k) l  siảu mt cừa L hÔch cừa Ănh xÔ tuyán t½nh l : L → k Khi â Vl l thợ cừa cĐu xÔ VL PL trản im pl Mằnh à 35 Vợi mồi nh nghắa 36 Cho (X, L) L l mởt Hằ tuyán tẵnh trản k -khổng gian vectỡ X ựng vợi L l lữủc ỏ hỳu hÔn chiÃu cừa VL X ì PL xƠy dỹng nhữ trản Náu X l mởt a tÔp xÔ Ênh, hÔn chiÃu thẳ hằ tuyán t½nh VL L = Γ(X, L) l  mët k -khỉng gian vectỡ hỳu ựng vợi nõ gồi l hằ tuyán tẵnh Ưy ừ 12.2 NH Lị BERTINI 12.2 165 nh lỵ Bertini Trữớng hủp quan trồng nhĐt cừa hằ tuyán tẵnh l cĂc hằ tuyán tẵnh giu trản khổng gian xÔ Ênh nh lỵ 37 Cho k X l mởt a tÔp xÔ Ênh trữỡn trản mởt trữớng õng Ôi số L l mởt phƠn thợ ữỡng thng rĐt giu trản X v cho mởt nhúng xÔ f : X → Pn vỵi L = f ∗ O(1) Khi õ tỗn tÔi mởt siảu phng H cừa Pn k k cho H X l mởt lữủc ỗ trỡn v têp cĂc siảu phng nhữ vêy tÔo thnh mởt phƯn m trũ mêt cừa hằ tuyán tẵnh Ưy ừ cừa L Kát luƠn trản văn cỏn úng náu tƠ giÊ thiát X ch cõ ký d mởt têp hữụu hÔn cĂc im Cho Ênh cổ lêp Náu X liản thổng v têp m trũ mêt, 12.3 thẳ vợi mồi siảu phng H mởt l liản thổng ìợc Weil v ữợc Cartier x X gồi l cõ ở cao mởt náu nhữ tỗn x Spec(A) X , v  ð Spec(A), x t÷ìng ựng vợi mởt iảan nguyản tố ở cao mởt Vợi måi iºm x ∈ X câ ë cao mët, v nh a phữỡng OX,x , thợ cừa bõ cĐu trúc tÔi im x l vnh a phữỡng cõ chiÃu Krull bơng mởt Lữủc ỏ X gồi l chẵnh qui ở cao mởt náu vợi mồi im x ồ cao mët, c¡c v nh OX,x ·u l  v nh ch½nh qui Cho X H X dim(X) 2, l mởt lữủc ỗ Mởt im tÔi mởt lƠn cên aphin v õ ta bi¸t, chóng ­t l  c¡c v nh ành gi¡ ríi rÔc nh nghắa 38 Cho X l mởt lữủc ỗ nguyản Noether chẵnh qui ở cao mởt Mởt ữợc Weil trản X l mởt tờng hẳnh thực cõ dÔng D= dx x x x vợi im chÔy trản têp c¡c iºm å cao mët cõa x D gåi l  ữợc thêt sỹ náu nhữ dx rÔc v dx = vợi x X hƯu hát cĂc X l mởt lữủc ỗ nguyản chẵnh qui ở cao mởt Ta biát vợi mồi x X ở cao mët, v nh àa ph÷ìng OX,x l  mët v nh ành gi¡ ríi Gåi K l  tr÷íng c¡c h m húu t¿ trản X Vợi mồi hm hỳu t f K , Cho im X vợi mồi ta nh nghắa số nguyản ordx (f ) CHìèNG 12 166 f , xt nhữ f1 , f2 K ì , ta câ l  ành gi¡ cõa Vỵi måi H› TUY˜N TNH V ìẻC mởt phƯn tỷ cừa trữớng cĂc thữỡng cõa OX,x ordx (f1 f2 ) = ordx (f1 ) + ordx (f2 ) M»nh · 39 Cho X l mởt lữủc ỗ nguyản Noether chẵnh qui ồ cao mởt f Kì Vợi mồi hm hỳu t khĂc khổng hát cĂc im x trản X, ta cõ ordx (f ) = vợi hƯu ở cao mët X Noether, ta câ thº phõ X b¬ng mët phừ hỳu hÔn cĂc Ui = Spec(Ai ) vợi Ai l vnh Noether Vẳ thá ta cõ th giÊ sỷ X = Spec(A) l mởt lữủc ỗ aphin, phờ cừa mởt vnh Noether Viát f = f1 /f2 vợi f1 , f2 ∈ A, ta ch¿ c¦n chùng minh m»nh · cho f1 v  f2 n¶n ta câ thº gi£ sû f ∈ A Cho f ∈ A, x²t tªp V1 (f ) c¡c iºm x ∈ X ë cao mët cho ordx (f ) > º thuªn mưt, ta kỵ hiằu px l iảan nguyản tố ựng vợi mội im x nhữ vêy, ta cõ x V1 (f ) v  ch¿ f ∈ px Gi£ sû tªp V1 (f ) l  tªp vỉ hÔn, ta s xƠy dỹng ữủc mởt dÂy tông khổng dứng cĂc iảan cừa A v nhữ thá s mƠu thuăn vợi giÊ thiát A l vnh Noether XƠy dỹng nhữ sau : Theo giÊ thiát têp m aphin Vợi méi h m húu t¿ f ∈ K ×, ta câ mởt ữợc Weil ordx (f ) x vợi x chÔy trản têp cĂc im ở cao mởt CĂc ữợc Weil nhên ữủc nhữ vêy gồi l cĂc ữợc chẵnh nh nghắa 40 Cho X l mởt K ì /Oì lợp cưt ton cửc cừa bõ lữủc ỗ nguyản trản X ×ỵc Cartier cõa X l  mët : s ∈ Γ(X, K ì /Oì ) Theo xƠy dỹng cừa bõ thữỡng × × Γ(X, K /O ) • mët phõ mð aphin vỵi måi cho mët lỵp c¡t to n cưc s∈ l cho X = Spec(Aij ), ã K ì /Oì , i ∈ I, mët ph¦n tû i∈I Ui cõa si ∈ K × X , Ui = Spec(Ai ), Ui Uj = 12.3 ã ìẻC WEIL V ìẻC CARTIER vợi mồi cp 167 i, j I , si s1 Aì j ij vợi quan hằ tuỡnữg ữỡng l : sau lĐy phừ mn nhĐt º qui v· tr÷ìng (Ui , si ) ∼ (Ui , si ) v  ch¿ s−1 si ∈ Aì i i Cho mởt ữợc Cartier s = (Ui , si ) nhữ trản Ta nõi nõ l ữợc thêt sỹ náu nhữ vợi mồi i ta câ s i ∈ Ai hđp cịng mët phõ mð M»nh · 41 Cho X l  mët l÷đc dỗ nguyản Cho mởt ữợc Cartier trản cho mởt phƠn thợ ữớng thng quĂt cừa L L X l l ∈ LK vỵi LK l  thỵ têng X l  cho mët c°p (L, l) vỵi L l ∈ Γ(X, L) l mởt lợp cưt ton cửc v mởt phƯn tỷ Cho mởt ữợc Cartier thêt sỹ cừa l mởt phƠn thợ ữớng thng trản cừa Cartier X v L s (X, K ì /Oì ), ta xƠy dỹng mởt phƠn thợ ữớng thng L, phƠn thợ cừa phƠn thợ hơng K , nhữ sau Trản têp m aphin Ui = Spec(Ai ), ta x²t Ai -moun tü cĐp mởt Náu cho mởt lợp cưt si Ai ⊂ K cõa K Tr¶n Ui ∩ Uj = Spec(Aij ), hai mỉun n y b¬ng si Ai ⊗Ai Aij = sj Aj ⊗Aj Aij si s−1 ∈ A× j ij Ai -moun tü n y d¡n lÔi vợi thnh mởt phƠn thợ ữớng thng L, bõ cừa bõ hơng K Thợ tờng quĂt cừa bõ ny l K cho nản cõ mởt phƯn tỷ l Ngữủc lÔi, giÊ sỷ ta cho mởt cp (L, l) bao gỗm mởt phƠn thợ ữỡng thng L trản X v mởt phƯn tỷ l cừa thợ tờng quĂt LK Khi õ, ta cõ th ỗng nhĐt hai khổng gian vectỡ chiÃu mởt K LK bơng cĂch gỷi phƯn tỷ cừa K lản phƯn tỷ l LK Vẳ L l phƠn thợ ữớng thng cho nản trản mội têp m aphin Ui = Spec(Ai ), Ai l  mi·n nguy¶n, Γ(Ui , L) l  mët Ai moun tü àa ph÷ìng, moun cõa LK = K Chån phõ Ui õ màn, ta câ thº gi£ sû l  Γ(Ui , L) l  Ai -moun tỹ cĐp mởt Vợi mồi ch số i, ta chån mët cì sð si cõa Γ(Ui , L) Vẳ hÔn chá vo Uij cho ta mởt Aij -moun −1 × tü cõa K , cho nản si s j Aij Cuối thẳ hai sü l÷üa chån kh¡c cõa si v  s cì sð cõa Γ(Ui , L) sai kh¡c mët phƯn tỷ khÊ nghch i si s1 Aì Vẳ vêy (L, l) xĂc nh mởt lợp cưt s (X, K ì /Oì ) i j PhƯn tỷ ∈ K cõa thỵ têng qu¡t l  måt lỵp cưt ton cửc náu nhữ vợi mồi i ta cõ ∈ Γ(Ui , L) = si Ai C¡i ny hin nhiản tữỡng ữỡng vợi s1 Ai i vẳ Vẳ vêy cĂc 168 CHìèNG 12 H TUYN TNH V ìẻC PhƯn VI ối ỗng iÃu 169 Chữỡng 13 ối ỗng iÃu trản tổpổ Zariski 13.1 Cho X Hm tỷ dăn xuĐt cừa hm tỷ l mởt khổng gian tổpổ Xt phÔm trũ cĂc bõ nhõm abel trản X Ta biát phÔm trũ ny l mởt phÔn trũ abel Theo nh nghắa, mởt dÂy cĂc bõ 0→M →M →M →0 l  khỵp v  ch¿ vợi mồi im x X, ta cõ dÂy khợp c¡c thỵ → Mx → Mx → Mx → nh lỵ 42 PhÔm trũ cĂc bõ nhõm abel trản mởt khổng gian tổpổ cõ ừ vêt nởi tÔi M»nh · 43 H m tû cho ùng vỵi méi bâ nhâm abel X, Γ(X, M ) i M → H (X, M ) nhâm c¡c lỵp c­t to n cưc h m tỷ dăn xuĐt l M trản khổng gian tổpổ l mởt hm tỷ khợp trĂi Nõ cõ cĂc Ta  biát, mồi hm tỷ khợp trĂi i tứ mởt phÔm trũ abel võ ừ vêt nởi tÔi, Ãu cõ cĂc hm tỷ dăn xuĐt Ta ch cƯn chựng minh tẵnh khỵp tr¡i cõa h m tû Γ M → M , mët lỵp c­t s ∈ Γ(X, M ) câ £nh s ∈ Γ(X, M ) b¬ng khỉng Vâi måi x X , Ênh sx Mx bơng khổng nản gi£ thi¸t M x → Mx ìn ¡nh k²o theo sx = Vợi mồi x tỗn tÔi mởt lƠn cên Ux cừa x cho hÔn chá cừa s vo Ux bơng khổng Theo tẵnh dĂn ữủc cừa bõ, s = Cho Ănh xÔ 171 CHìèNG 13 172 ẩI ầNG IU TRN TặPặ ZARISKI M M M l dôy khợp trĂi, cho s Γ(X, M ) vỵi £nh s ∈ Γ(X, M ) bơng khổng Khi õ vợi mồi x X , tỗn tÔi nhĐt s x Mx cõ Ênh l sx Mx vẳ dÂy Mx Mx Mx l khợp Lợp cưt a phữỡng s x xĂc nh trản mồt lƠn cên Ux cừa x Cho hai iºm x = x , tr¶n giao Ux ∩ Ux hai lỵp c­t s x v  sx câ mởt Ênh l hÔn chá cừa s cho nản nhữ ta  thĐy trản, chúng nhĐt thiát phÊi bơng Tữỡng tỹ nhữ vêy, cho l khổng khỵp s ∈ Γ(X, M ) Vỵi måi sx ∈ Mx câ £nh l  sx ∈ Mx Ta câ th thỷ lêp luƠnh nhữ trản  xem tÔi h m tû ph£i, xem lªp luªn cõa ta bà t­c ð ché n o x ∈ X , Mx → Mx l ton Ănh, nản tỗn tÔi CĂi mưc thự nhĐt l ta cĂi no sx LĐy nhữ vêy tỗn tÔi, ta khổng biát chồn Chồn tũy tiằn mởt phƯn tỷ sx , cĂc phƠn tỷ khĂc s Ãu cõ dÔng sx + sx vợi sx Mx LÔi lĐy mởt lƠn cên ừ nhọ Ux cừa x tren õ xĂc nh sx Những bƠy giớ cĂi cÊn tr cho viằc dĂn cĂc lợp cưt a phữỡng sx lÔi vợi l sai khĂc (sx , sx ) = sx |Ux ∩Ux − sx |Ux ∩Ux C¡i sai kh¡c n y câ £nh b¬ng khỉng M i Ui lợp cưt cừa m X= trản Ux Ux Γ(Ux ∩ Ux , M ) n¶n ph£i l mởt sx cho ta mởt phừ Nhữ vêy viằc lüa chån c¡c Uij= Ui ∩ Uj v  tr¶n méi giao ta câ mët lỵp c­t ∂ij ∈ Γ(Uij , M ) v cĂc lợp cưt ny thọa mÂn phữỡng tr¼nh ∂ij + ∂jk + ∂ki = Uijk Gồi Z (X, M ) l têp cĂc lợp tữỡng ữỡng theo nghắa hin nhiản cĂc bở (Uij , ij ) Tỗn tÔi s (X, M ) cõ £nh l  s v  ch¿ ta câ thº thay êi sx th nh sx + s x cho ữ b triằt tiảu Muốn vêy ta phÊi giÊ trản ữủc phữỡng trẳnh ối biản ij = si sj vợi si (Ui , M ) Phữỡng trẳnh n y khỉng ph£i lóc n o cơng câ nghi»m, v  c¡i cÊn tr cho viằc phữỡng trẳnh ny cõ nghiằm chẵnh l  mët ph¦n tû cõa nhâm Z (X, M ) chia cho nhõm trẳnh ối biản giÊi ữủc B (X, M ) c¡c bë (Uij , ∂ij ) cho phữỡng 13.2 ẩI ầNG IU CếA B TĩA NH‡T QUN M»nh · 44 Vỵi måi bâ nhâm abel H (X, M ) M tr¶n X, 173 h m tỷ dăn xuĐt bêc mởt l H1 (X, M ) = Z (X, M )/B (X, M ) Ngữới ta  mổ tÊ ữủc cÊ hm tỷ dăn xuĐt bêc hai H2 (X, M ) theo cĂch tữỡng tỹ nhữ vêy õ cƠu chuyằn tr nản phực tÔp hỡn nhiÃu,  mổ tÊ ngữới ta cƯn án nhỳng khĂi niằm nhữ k án H3 , H4 2-phÔm trũ Ơy l khổng Trong hon cÊnh c biằt cĂc bõ tỹa nhĐt quĂn trản lữủc ỗ, thẳ ngữỏi ta cõ cĂc cĂch tẵnh toĂn c thũ kh¡c, hi»u qu£ hìn f : X → Y l  mởt Ănh xÔ liản tửc giỳa hai khổng gian tổpổ Khi f tứ phÔm trũ cĂc bõ nhõm abel trản X vo phÔm trũ cĂc nhõm abel trản Y Nõ cho ựng vợi mội bõ M trản X bõ tr¶n Y cho bði Cho â ta câ h m tû bâ h m tû f∗ F (UY ) = F (UX ) X H m tû n y l  mët bâ v¼  kim tra tẵnh dĂn ữủc cừa f F trản mët phõ {UY,i } cõa mët tªp mð UY , ta qui và viằc kim tra tẵnh dĂn ữủc cừa F trản tÔo Ênh UX cừa UY v phừ m {UX,i } cho bi tÔo Ênh UX,i cừa UY,i H m tû f∗ l  hamg tû Γ tr÷ìng hủp riảng Y l mởt im vợi mồi têp m UY cõa M»nh · 45 H m tû hi»u l  Ri f∗ 13.2 Cho X Y f∗ v  tªp mð UX l tÔo Ênh cừa UY l hm tỷ khợp trĂi Nõ cõ cĂc hm tỷ dăn xuĐt kỵ ối ỗng iÃu cừa bõ tỹa nhĐt quĂn l mởt lữủc ỗ v M l mởt bõ O-moun tỹa nhĐt quĂn trản X ta nh nghắa Hi (X, M ) nhữ phĐn trữợc ch coi X M l nhõm abel trản Hi (X, M ) vợi nhữ mồt khổng gian tổpổ v M nhữ mởt bõ Tuy vêy, viằc tẵnh toĂn cử th cĂc nhõm ối ỗng iÃu bõ tỹa nhĐt quĂn thẳ cõ nhỳng c thũ riảng X = Spec(A) l mởt lữủc dỗ aphin M ữ trản Spec(A) ta câ Hi (X, M ) = vỵi M»nh · 46 Cho tüa nh§t qu¡n X Khi â vợi mồi bõ mồi i 174 CHìèNG 13 ẩI ầNG IU TRN TặPặ ZARISKI Mửc lửc I Ôi số Sỡ lữủc và Ôi số giao ho¡n 1.1 1.2 Moun tr¶n mët v nh 1.3 1.4 1.5 11 I¶an, i¶an nguy¶n tè v  phê 11 T½ch tenxì 13 àa ph÷ìng ho¡ v  v nh àa ph÷ìng 14 Moun trản mởt vnh a phữỡng 17 1.7 V nh Noether v  Ôi số dÔng hỳu hÔn 19 1.6 V nh giao ho¡n Sỡ lữủc và lỵ thuyát phÔm trũ 21 2.1 21 2.2 PhÔm trũ ối 2.3 nh lỵ Yoneda 2.4 Vẵ dử hm tỷ biu diạn ữủc 2.5 2.6 PhÔm trũ, hm tỷ v cĐu xÔ giỳa cĂc hm tỷ 24 24 26 Giợi hÔn quy nÔp v giợi hÔn xÔ Ênh 26 T½ch theo thỵ 28 Sì lữủc và Ôi số ỗng iÃu 31 3.1 31 34 DÂy khợp v hm tỷ khợp 37 3.4 PhÔm trũ abel 3.3 II PhÔm trũ cĂc moun trản mởt vnh 3.2 Phực, phực giÊi v hm tỷ dăn xuĐt 40 Lữủc ỗ 45 Lữủc ỗ aphin 49 175 MệC LệC 176 4.1 49 4.2 PhÔm trũ ối cừa phÔm trũ cĂc vnh 55 4.3 Khỉng gian tỉpỉ 4.4 Bâ c§u tróc 4.5 4.6 Têp Ôi số Spec(A) 56 59 Thợ cừa bõ v thợ cừa bõ cĐu trúc 63 CĐu xÔ giỳa hai lữủc ỗ aphin 64 L÷đc ỗ v cĐu xÔ 67 5.1 inh nghắa lữủc ỗ bơng cĂch dĂn cĂc lữủc ỗ aphin 67 5.2 Vẵ dử : xƠy dỹng ữớng thng xÔ Ênh 5.3 DĂn trữỡng hỹp tờng quĂt 5.4 CĐu xÔ giỳa hai lữủc ỗ 5.5 im : 5.6 Nhúng m v lữủc ỗ m 5.7 Nhúng õng v lữủc ỗ õng 68 69 69 têng qu¡t ho¡ v  °c bi»t ho¡ 70 73 75 5.8 Tẵch theo thợ cừa lữủc ỗ v thợ cừa cĐu xÔ 76 5.9 CĐu xÔ ÷íng ch²o 78 III Bâ 6.1 Bâ moun 83 OX -mæun Bâ OX -moun 85 nh§t qu¡n v  tüa nh§t qu¡n 85 86 6.2 DĂn bõ tỹa nhĐt quĂn 6.3 Vẵ dử bõ nhĐt quĂn trản ữớng thng xÔ Ênh 90 6.4 PhÔm trị abel c¡c bâ (tüa) nh§t qu¡n 91 6.5 ƒnh xi 6.6 ƒnh ng÷đc 92 95 6.7 Bâ tü àa ph÷ìng 96 6.8 H m c§p cõa mët bâ nh§t qu¡n 97 Moun vi ph¥n 103 7.1 im vổ gƯn cĐp mởt 103 7.2 Moun èi chu©n 105 7.3 Moun vi phƠn tữỡng ối 106 7.4 Thỵ cõa 109 7.5 Hai dÂy khợp cỡ bÊn 110 7.6 Ma trªn Jacobi 115 ΩA/k ð c¡c k -iºm MÖC LÖC 7.7 IV 177 PhƯn m trỡn cừa mổt a tÔp Ôi số ChiÃu v chuân hõa ChiÃu 121 CĐu xÔ hỳu hÔn v chiÃu Krull 8.2 Bêc siảu viằt v bờ à chuân hõa Noether 8.3 CĐp tờng quĂt cừa bõ vi phƠn tữỡng ối 121 125 126 Chu©n hâa 9.1 V 129 V nh âng nguy¶n H¼nh håc xÔ Ênh 10 116 119 8.1 129 133 Khổng gian xÔ Ênh 135 10.1 Têp cĂc si¶u ph¯ng 135 10.2 Iảan phƠn bêc cừa vnh a thực 136 142 10.3 PhƠn thợ ữớng thng O-moun 10.4 Bõ 10.5 DÂy khợp Euler trản O(d) tr¶n Pn k Pn k 144 149 11 CĐu xÔ vo khổng gian xÔ Ênh 151 11.1 Hm tỷ biu diạn bi khổng gian xÔ Ênh 11.2 Proj 151 154 11.3 Ch¿ ti¶u nhúng xÔ Ênh 158 11.4 PhƠn thợ ữớng thng giu v rĐt giu 160 cừa mởt vnh phƠn bêc v nờ 12 Hằ tuyán tẵnh v ữợc 12.1 Hằ tuyán tẵnh 12.2 nh lỵ Bertini 12.3 VI 163 165 ìợc Weil v ữợc Cartier 165 ối ỗng iÃu 169 13 ối ỗng iÃu trản tổpổ Zariski 13.1 Hm tỷ dăn xuĐt cừa h m tû 163 Γ 171 171 MệC LệC 178 13.2 ối ỗng i·u cõa bâ tüa nh§t qu¡n 173 ... l vnh cĂc số nguyản Z Têp hủp cĂc số hỳu t tÔo nản mởt vnh hỳu t Q[x], Q, cĂc sè thüc R, hay c¡c sè phùc cơng Tªp c¡c a thực mởt bián vợi hằ số nguyản hay hằ số phực C[x] Z[x], hằ số ró rng... toĂn cử th mởt số trữỡng hđp cư thº v  hiºu ÷đc nëi dung cõa ành lỵ thổng qua cĂc tẵnh toĂn õ PhƯn I Ôi số Mửc ẵch cừa chữỡng ny l im lÔi mởt số khĂi niằm cỡ bÊn cừa Ôi số giao hoĂn v... hẳnh hồc Ôi số Ngổ BÊo ChƠu bÊn thĂng nôm 2003 Lới m Ưu Trong hẳnh hồc Ôi số, cĂc ối tữủng hẳnh hồc ữủc mổ tÊ bơng mởt ngổn ngỳ Ôi số thuƯn tuỵ Bản ngoi trỹc quan hẳnh hồc v Ôi số hẳnh thực