2 Sì l÷ñc v· lþ thuy¸t ph¤m trò
2.5Giîi h¤n quy n¤p v giîi h¤n x¤ £nh
dú ki»n nh÷ sau. Vîi méi ph¦n tû j ∈ J, ta cho mët tªp hñp Sj ; vîi mët c°p i ≤ j trong J ta cho mët ¡nh x¤ sij : Sj → Si sao cho sii = 1 v
sij ◦sjk =sik vîi måii≤j ≤k.
Ta công câ thº coiJ l mët ph¤m trò vîi c¡c vªt l ph¦n tû cõa J, vîi HomJ(i, j)l tªp vîi duy nh¥t mët ph¦n tû hay l tªp réng tuý theo i≤j
hay khæng. Ng÷ñc l¤i n¸u ta câ mët ph¤m trò sao cho tªp c¡c çng c§u giúa hai vªt ch¿ câ khæng ho°c mët ph¦n tû, khi â tªp c¡c vªt câ mët quan h» thù tü : i≤j khi v ch¿ khi HomJ(i, j) kh¡c réng. Khi â mët h» quy n¤p c¡c tªp hñp l mët h m tû tø J v oSet.
ành ngh¾a 9 Vîi mët ph¤m trò C b§t ký, mët h» quy n¤p trong C vîi ch¿ sè trong J l mët h m tû S tø J v o C. T÷ìng tü nh÷ vªy h» x¤ £nh trong mët ph¤m trò C b§t ký vîi ch¿ sè trong J l mët h m tû S tø J v o Copp.
Giîi h¤n quy n¤p cõa mët h» quy n¤p trongC l mët vªt C cõa C còng vîi c¡c çng c§u cj :Sj →C sao cho v÷îi måi i ≤j, ta câ ci =cj◦sji sao cho vîi måi (C0; (c0
j)j∈J) tho£ m¢n còng mët t½nh ch§t nh÷ (C,(cj)j∈J), tçn t¤i duy nh§t mët çng c§u b :C →C0 sao cho c0
j =b◦cj, nâi c¡ch kh¡c l c°p (C,(cj)j∈J) l c°p phê döng cho t½nh ch§t n y.
Giîi h¤n x¤ £nh cõa mët h» x¤ £nh trong C l mët vªt C còng vîi c¡c çng c§u cj : C → Sj sao cho ci = sij ◦cj vîi måi i ≤ j v sao cho c°p (C,(cj)j∈J)l c°p phê döng.
Bê · 10 Måi h» quy n¤p (hay x¤ £nh) vîi gi¡ trà trong trong ph¤m trò tªp hñp Set ·u câ giîi h¤n quy n¤p (hay x¤ £nh). Cho C l mët ph¤m trò b§t ký. Kh¯ng ành tr¶n v¨n cán óng vîi ph¤m trò c¡c h m tû tø C v o Set.
Kh¯ng ành thù hai suy ra ÷ñc tø kh¯ng ành thù nh§t. Ta l§y giîi h¤n quy n¤p (ho°c x¤ £nh) cõa hå h m tû Fj :C →Set b¬ng c¡ch l§y giîi h¤n qui n¤p (ho¤c x¤ £nh) cho hå tªp hñp Fj(C)cho tøng èi t÷ñng C ∈ob(C). Cho mët h» quy n¤p (Sj, sji) trong Set. Ta x¥y düng giîi h¤n quy n¤p cõa nâ nh÷ sau : tªp C l tªp c¡c lîp t÷ìng ÷ìng c¡p c°p (j, x)vîi j ∈ J
v x∈ Sj, theo quan h» t÷ìng ÷ìng (j, x)∼ (j0, x0) n¸u tçn t¤i i lîn hìn c£ j v j0 sao cho sij(x) = sij0(x0) ; vîi måi j ∈ J, ¡nh x¤ cj : Sj → C l ¡nh x¤ g¡n vîi méi ph¦n tû x∈Sj lîp t÷ìng ÷ìng cõa (j, x).
Cho mët h» x¤ £nh(Sj, sij) trongSet. Ta x¥y düng giîi h¤n x¤ £nh cõa nâ nh÷ sau : tªpC l tªp c¡c d¢y(xj)j∈J vîi xj ∈Sj tho£ m¢nsij(xj) =xi
28 CH×ÌNG 2. SÌ L×ÑC V LÞ THUYT PHM TRÒ Ta xem x²t hai v½ dö sau. Thù nh§t l h» x¤ £nh bao gçm ba tªp hñp
X, Y, Z v hai ¡nh x¤ f : Y → X v g : Z → X. Giîi h¤n x¤ £nh cõa h»
n y l t½ch ph¥n thî
Y ×X Z
tªp c¡c c°p (y, z) vîi y ∈ Y v z ∈ Z sao cho f(y) = g(z). Trong tr÷íng hñp X câ óng mët ph¦n tû, t½ch ph¥n thî l t½ch Descartes. Ta câ thº coi t½ch theo thî nh÷ mët t½ch Descartes phö thuëc mæt bi¸nx∈X.
V½ dö thù hai l h» qui n¤p bao gçm ba tªp hñp X, Y, Z v hai ¡nh x¤
f :X →Y v g :X →Z. Giîi h¤n qui n¤p cõa h» n y l tªp
Y +X Z
th÷ìng cõa hñp ríiY FZ cõa Y v Z chia cho quan h» t÷ìng ÷ìng sinh bði y ∼z n¸u tçn t¤i x ∈ X sao cho y =f(x) v z = g(y). Ta câ thº h¼nh dung Y +X Z nh÷ l d¡nY v Z theo X. Ph²p to¡n n y ÷ñc gåi l têng hén hñp. Ng÷íi åc công n¶n chó þ l kþ hi»u têng hén hñp Y +X Z dòng ð ¥y khæng ph£i l mët kþ hi»u phê bi¸n nh÷ kþ hi»u t½ch ph¥n thîY ×XZ. Mët tr÷íng hñp °c bi»t cõa têng hén hñp l ph²p d¡n. Cho hai tªp hñp X, Y v hai ¡nh x¤ f1, g2 : X → Y. Dú ki»n nh÷ vªy gåi l mët quan h» t÷ìng ÷ìng tr¶nY n¸u quan h» hai ngæi
y1 ∼y2 ⇔ ∃x∈X sao cho y1 =f1(x) v y2 =f(x2)
l mët quan h» t÷ìng ÷ìng. Khi â têng hén hñp Y +X Y gåi l d¡n Y
the quan h» t÷ìng ÷ìng X.