C§p têng qu¡t cõa bâ vi ph¥n t÷ìng èi

IV Chi·u v chu©n hâa

8.3C§p têng qu¡t cõa bâ vi ph¥n t÷ìng èi

ành lþ 13 Cho k l  mët tr÷íng °c sè khæng v  R l  mët k-¤i sè d¤ng húu h¤n câ bªc si¶u vi»t b¬ng n. Khi â tçn t¤i mët tªp mð U cõa

X = Spec(R) sao cho h¤n ch¸ ΩR/k v o U l  mët OU-moun tü do àa ph÷ìng c§p n.

8.3. C‡P TÊNG QUT CÕA B VI PH…N T×ÌNG ÈI 127 Theo ành lþ chu©n hâa Noether, tçn t¤i mët çng c§uk-¤i sè ìn ¡nh v  húu h¤n

A=k[t1, . . . , tn]→R

tø v nh a thùc n bi¸n v o R. Sû döng d¢y khîp cì b£n thù hai ta câ ΩA/k⊗AR →ΩR/k →ΩR/A→0.

Ta ¢ bi¸t l  ΩA/k l  mët A-moun tü do c§p n, v  ta muèn dòng d¢y khîp n y º chùng minh r¬ng ΩR/k, h¤n ch¸ v o mët tªp mð õ nhä U cõa Spec(R), l  mët OU-moun tü do c§p n.

GåiLl  tr÷íng c¡c th÷ìng cõa R. Ta bi¸t vîi ΩL/k = ΩR/k⊗RL. Muèn ch÷ng minh l  h¤n ch¸ cõaΩR/kv o mët tªp mð õ nhäU l  mëtOU-moun tü do c§pn, ta ch¿ can chùng minh l ΩL/k l  mëtL-khæng gian vectì chi·u

n.

Gåi K l  tr÷íng c¡c th÷ìng cõa A. D¢y khîp cì b£n thù hai ¡p döng v o

k→K →L, cho ta

ΩK/k⊗KL→ΩL/k →ΩL/K →0

Bê · 14 Cho k l  mët tr÷íng ¤c sè khæng. Cho L l  mët mð rëng húu h¤n cõa tr÷íng c¡c th÷ìng K cõa v nh c¡c a thùc n bi¸n A=k[t1, . . . , tn]. Khi â ¡nh x¤

ΩK/k⊗KL→ΩL/k

l  mët ¯ng c§u giúa hai khæng gian vectì tr¶n tr÷íng L.

Nh÷ thæng l», º chùng minh mët t½ch ch§t vîi bâ vi ph¥n t÷ìng èi, ta chóng minh t½nh ch§t èi ng¨u vîi c¡c ¤o h m. Ta s³ ch÷ng minh l  ¡nh x¤ L-tuy¸n t½nh

HomL(ΩL/k, L)→HomL(ΩK/k⊗KL, L) = HomK(ΩK/k, L)

l  mët ¯ng c§u. Cho mët ph¦n tû cõaHomL(ΩL/k, L), l  cho mëtk-¤o h m

D : L → L tùc l  mët ¡nh x¤ k-tuy¸n t½nh thäa m¢n cæng thùc Leibnitz. Cán mët ph¦n tû cõa HomK(ΩK/k, K) th¼ l  mët k-¤o h m tø K → L. çng c§u HomL(ΩL/k, L) → HomK(ΩK/k, L) cho ùng vîi mët k-¤o h m

D:L→L h¤n ch¸ cõa nâD|K :K →L.

Nh÷ vªy c¡i ta c¦n chùng minh l  måi k-¤o h m DK : K → L câ thº th¡c triºn mët c¡ch duy nh§t th nh mët k-¤o h m D:L→L.

128 CH×ÌNG 8. CHI—U Tr÷îc h¸t ta s³ gi£ sû tçn t¤i mët ph¦n tû sinh x ∈ L nh÷ mët K-¤i sè. C¡c mð rëng húu h¤n cõa mët tr÷íng °c sè khæng ·u câ mët ph¦n tû sinh nh÷ vªy. N¸u khæng bi¸t k¸t qu£ n y th¼ ta câ thº qui n¤p d¦n. Tâm l¤i, ta s³ gi£ sû tçn t¤i mët ph¦n tûx∈Lsao cho çng c§u tø v nh a thùc mët bi¸nK[t]→Lgûi t7→xl  to n ¡nh. V¼ Ll K-húu h¤n n¶n çng c§u n y câ h¤ch kh¡c khæng.

V¼ Ll  mët tr÷íng n¶n h¤ch n y l  i¶an sinh bði mët a thùc b§t kh£ quiP ∈K[t]bªc n vîi n = dimK(L) v  vîi h» sè ¦u b¬ng 1. Ta vi¸t

P =tn+an−1tn−1+· · ·+a0

vîi a0, . . . , an−1 ∈K. P gåi l  a thùc cüc tiºu cõa x.

Cho DK : K → L l  mët k-¤o h m. Muèn th¡c triºn DK th nh mët

k-¤o h mD:L→L, ta ph£i chån £nh D(x)∈Lsao choD(P(x)) = 0. Ta câ

D(P(x)) = ∂P

∂t(x)Dx+Q.

vîi Q l  mët tê hñp tuy¸n t½nh cõa c¡c ph¦n tû D(ai)∈ L vîi h» sè trong

L. ¤o h m ri¶ng ∂P ∂t =nt n−1+ (n−1)an−1tn−1+· · ·+a1 câ £nh trongL nxn−1+· · ·+a1 6= 0. V¼ th¸ ph÷ìng tr¼nh D(P(x)) = 0 x¡c ành gi¡ trà D(x)∈ L mët c¡ch duy nh§t. Ta câ thº kiºm tra r¬ng vîi gi¡ trà n y cõaD(x), ta câ mëtk-¤o h m

Ch÷ìng 9 Chu©n hâa (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

9.1 V nh âng nguy¶n

ành ngh¾a 15 Cho A l  mët mi·n nguy¶n, K l  tr÷íng c¡c th÷ìng cõa A.

A gåi l  âng nguy¶n n¸u vîi måi ph¦n tû x ∈ K thäa m¢n mët ph÷ìng tr¼nh

xn+a1xn−1+· · ·+an

vîi a1, . . . , an∈A, th¼x­t ph£i thuëc A. V nh âng nguy¶n cán gåi l  v nh

chu©n.

T½nh ch§t âng nguy¶n ÷ñc b£o to n vîi àa ph÷ìng hâa. Ta chùng minh mët tr÷íng hñp °c bi»t cõa kh¯ng ành n y. T÷ìng hñp têng qu¡t công chùng minh gièng nh÷ th¸.

M»nh · 16 Cho A l  mët v nh âng nguy¶n, p l  mët i¶an nguy¶n tè cõa A. Khi â v nh àa ph÷ìng Ap công l  v nh âng nguy¶n.

V¼ A gi£ thi¸t l  mi·n nguy¶n, cho n¶n A v  àa ph÷ìng hâa Ap cõa A

câ còng mët tr÷íng c¡c th÷ìng K. Chox∈K thäa m¢n mët ph÷ìng tr¼nh

xn+a1xn−1+· · ·+an= 0

vîi a1, . . . , an ∈ Ax. Vi¸t ai = ci/gi vîi ci ∈ A v  gi ∈ A−p. Thay x bði

y =gx v÷îi g l  t½ch c¡cgi, g ∈A−p, ta câ mët ph÷ìng tr¼nh

yn+b1yn−1+· · ·+bn = 0

vîib1, . . . , bn∈A. V¼Al  âng nguy¶n cho n¶ny∈Av  tø â ta câx∈Ap.

¤

130 CH×ÌNG 9. CHU‰N HÂAành ngh¾a 17 Mët v nh àa ph÷ìng A, l  mi·n nguy¶n, vîi tr÷íng c¡c