IV Chi·u v chu©n hâa
8.3 C§p têng qu¡t cõa bâ vi ph¥n t÷ìng èi
ành lþ 13 Cho k l mët tr÷íng °c sè khæng v R l mët k-¤i sè d¤ng húu h¤n câ bªc si¶u vi»t b¬ng n. Khi â tçn t¤i mët tªp mð U cõa
X = Spec(R) sao cho h¤n ch¸ ΩR/k v o U l mët OU-moun tü do àa ph÷ìng c§p n.
8.3. CP TÊNG QUT CÕA B VI PH N T×ÌNG ÈI 127 Theo ành lþ chu©n hâa Noether, tçn t¤i mët çng c§uk-¤i sè ìn ¡nh v húu h¤n
A=k[t1, . . . , tn]→R
tø v nh a thùc n bi¸n v o R. Sû döng d¢y khîp cì b£n thù hai ta câ ΩA/k⊗AR →ΩR/k →ΩR/A→0.
Ta ¢ bi¸t l ΩA/k l mët A-moun tü do c§p n, v ta muèn dòng d¢y khîp n y º chùng minh r¬ng ΩR/k, h¤n ch¸ v o mët tªp mð õ nhä U cõa Spec(R), l mët OU-moun tü do c§p n.
GåiLl tr÷íng c¡c th÷ìng cõa R. Ta bi¸t vîi ΩL/k = ΩR/k⊗RL. Muèn ch÷ng minh l h¤n ch¸ cõaΩR/kv o mët tªp mð õ nhäU l mëtOU-moun tü do c§pn, ta ch¿ can chùng minh l ΩL/k l mëtL-khæng gian vectì chi·u
n.
Gåi K l tr÷íng c¡c th÷ìng cõa A. D¢y khîp cì b£n thù hai ¡p döng v o
k→K →L, cho ta
ΩK/k⊗KL→ΩL/k →ΩL/K →0
Bê · 14 Cho k l mët tr÷íng ¤c sè khæng. Cho L l mët mð rëng húu h¤n cõa tr÷íng c¡c th÷ìng K cõa v nh c¡c a thùc n bi¸n A=k[t1, . . . , tn]. Khi â ¡nh x¤
ΩK/k⊗KL→ΩL/k
l mët ¯ng c§u giúa hai khæng gian vectì tr¶n tr÷íng L.
Nh÷ thæng l», º chùng minh mët t½ch ch§t vîi bâ vi ph¥n t÷ìng èi, ta chóng minh t½nh ch§t èi ng¨u vîi c¡c ¤o h m. Ta s³ ch÷ng minh l ¡nh x¤ L-tuy¸n t½nh
HomL(ΩL/k, L)→HomL(ΩK/k⊗KL, L) = HomK(ΩK/k, L)
l mët ¯ng c§u. Cho mët ph¦n tû cõaHomL(ΩL/k, L), l cho mëtk-¤o h m
D : L → L tùc l mët ¡nh x¤ k-tuy¸n t½nh thäa m¢n cæng thùc Leibnitz. Cán mët ph¦n tû cõa HomK(ΩK/k, K) th¼ l mët k-¤o h m tø K → L. çng c§u HomL(ΩL/k, L) → HomK(ΩK/k, L) cho ùng vîi mët k-¤o h m
D:L→L h¤n ch¸ cõa nâD|K :K →L.
Nh÷ vªy c¡i ta c¦n chùng minh l måi k-¤o h m DK : K → L câ thº th¡c triºn mët c¡ch duy nh§t th nh mët k-¤o h m D:L→L.
128 CH×ÌNG 8. CHIU Tr÷îc h¸t ta s³ gi£ sû tçn t¤i mët ph¦n tû sinh x ∈ L nh÷ mët K-¤i sè. C¡c mð rëng húu h¤n cõa mët tr÷íng °c sè khæng ·u câ mët ph¦n tû sinh nh÷ vªy. N¸u khæng bi¸t k¸t qu£ n y th¼ ta câ thº qui n¤p d¦n. Tâm l¤i, ta s³ gi£ sû tçn t¤i mët ph¦n tûx∈Lsao cho çng c§u tø v nh a thùc mët bi¸nK[t]→Lgûi t7→xl to n ¡nh. V¼ Ll K-húu h¤n n¶n çng c§u n y câ h¤ch kh¡c khæng.
V¼ Ll mët tr÷íng n¶n h¤ch n y l i¶an sinh bði mët a thùc b§t kh£ quiP ∈K[t]bªc n vîi n = dimK(L) v vîi h» sè ¦u b¬ng 1. Ta vi¸t
P =tn+an−1tn−1+· · ·+a0
vîi a0, . . . , an−1 ∈K. P gåi l a thùc cüc tiºu cõa x.
Cho DK : K → L l mët k-¤o h m. Muèn th¡c triºn DK th nh mët
k-¤o h mD:L→L, ta ph£i chån £nh D(x)∈Lsao choD(P(x)) = 0. Ta câ
D(P(x)) = ∂P
∂t(x)Dx+Q.
vîi Q l mët tê hñp tuy¸n t½nh cõa c¡c ph¦n tû D(ai)∈ L vîi h» sè trong
L. ¤o h m ri¶ng ∂P ∂t =nt n−1+ (n−1)an−1tn−1+· · ·+a1 câ £nh trongL nxn−1+· · ·+a1 6= 0. V¼ th¸ ph÷ìng tr¼nh D(P(x)) = 0 x¡c ành gi¡ trà D(x)∈ L mët c¡ch duy nh§t. Ta câ thº kiºm tra r¬ng vîi gi¡ trà n y cõaD(x), ta câ mëtk-¤o h m
Ch÷ìng 9 Chu©n hâa
9.1 V nh âng nguy¶n
ành ngh¾a 15 Cho A l mët mi·n nguy¶n, K l tr÷íng c¡c th÷ìng cõa A.
A gåi l âng nguy¶n n¸u vîi måi ph¦n tû x ∈ K thäa m¢n mët ph÷ìng tr¼nh
xn+a1xn−1+· · ·+an
vîi a1, . . . , an∈A, th¼xt ph£i thuëc A. V nh âng nguy¶n cán gåi l v nh
chu©n.
T½nh ch§t âng nguy¶n ÷ñc b£o to n vîi àa ph÷ìng hâa. Ta chùng minh mët tr÷íng hñp °c bi»t cõa kh¯ng ành n y. T÷ìng hñp têng qu¡t công chùng minh gièng nh÷ th¸.
M»nh · 16 Cho A l mët v nh âng nguy¶n, p l mët i¶an nguy¶n tè cõa A. Khi â v nh àa ph÷ìng Ap công l v nh âng nguy¶n.
V¼ A gi£ thi¸t l mi·n nguy¶n, cho n¶n A v àa ph÷ìng hâa Ap cõa A
câ còng mët tr÷íng c¡c th÷ìng K. Chox∈K thäa m¢n mët ph÷ìng tr¼nh
xn+a1xn−1+· · ·+an= 0
vîi a1, . . . , an ∈ Ax. Vi¸t ai = ci/gi vîi ci ∈ A v gi ∈ A−p. Thay x bði
y =gx v÷îi g l t½ch c¡cgi, g ∈A−p, ta câ mët ph÷ìng tr¼nh
yn+b1yn−1+· · ·+bn = 0
vîib1, . . . , bn∈A. V¼Al âng nguy¶n cho n¶ny∈Av tø â ta câx∈Ap.
¤
130 CH×ÌNG 9. CHUN HÂAành ngh¾a 17 Mët v nh àa ph÷ìng A, l mi·n nguy¶n, vîi tr÷íng c¡c