HOT PHUONG TRINH HE NAM 2016

Lần 2 – THPT YÊN LẠC Lời giải tham khảo Bất phương trình tương đương:.. Lời giải tham khảo Bất phương trình tương đương:..[r]

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT TỔNG HỢP HỆ - BẤT - PHƢƠNG TRÌNH TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ NĂM 2016   x  y   x  y  x  Bài 1: Giải hệ phƣơng trình:  3 2  x  y  12 x  y  y  x  Lần – THPT ANH SƠN Lời giải tham khảo x   y  1 Điều Kiện :  Phương trình thứ tương đương với ( x  2)3  ( y  1)3  y  x  (3) Thay (3) v|o phương trình thứ ta được:  x  x   x3  x  x  điều kiện 2  x    x  x   x3  x  x    x  x    x3  x  x  2( (3  x)( x  2)  2)   x3  x  x  3 x  x  3 2( x  x  2)   ( x  1)( x  2)( x  3) (  x  x   3)( (3  x)( x  2)  2) 2( x  x  2)  ( x  x  2)( x  3) (  x  x   3)( (3  x)( x  2)  2)  ( x  x  2)(  ( x  3))  (  x  x   3)( (3  x)( x  2)  2)  ( x  3)  Do điều kiện 2  x  nên (  x  x   3)( (3  x)( x  2)  2)  Suy x2  x    x  1; x  thoả mãn điều kiện Khi x  1  y  TMĐK Khi x   y  TMĐK Vậy hệ đã cho có hai nghiệm (-1;0), (2;3)  x  xy  x  y  y  y  4(1) Bài 2: Giải hệ phƣơng trình    y  x   y   x  1(2) Lần – sở giáo dục ĐỒNG THÁP Lời giải tham khảo  xy  x  y  y   Đk: 4 y  x    y 1   Ta có (1)  x  y   x  y  y  1  4( y  1)  Đặt u  x  y , v  y  ( u  0, v  ) VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT u  v u  4v(vn) Khi đó (1) trở th|nh : u  3uv  4v2    Với u  v ta có x  y  1, thay v|o (2) ta :  y  y    y  1   y  2  y2  y   y 1  y  ( vì   y2  y   y 1  y  y 1 1   y2    y  2    y  y   y 1 y 1   y  y   y 1   0 y     0y  ) y 1 1 Với y  thì x  Đối chiếu Đk ta nghiệm hệ PT l|  5;  2x  y  x  3( xy  1)  y Bài 3: Giải hệ phƣơng trình:  2   x  y    5x  x  y    x, y   Lần 1– THPT BẢO THẮNG SỐ Lời giải tham khảo 2 x  y   ĐK :   x  Biến đổi phương trình thứ hệ ta có : 2x  y  x  3( xy  1)  y   x  y  1 2x  y  3   y  x  Với y  x 1 thay v|o phương trình thứ hai ta phương trình sau : 2    x    5x x  10      x  10   x    5x  9  x    5x  x   5x     x    5x  x    5x  4x  41   4 ( Do x   1;  nên x    5x  4x  41  )  5  x    5x    x    5x   x   5x   4x  x 1   x  1  x   5x  x      x    5x  x  Với x   y  1; x  1  y  2   Đối chiếu với điều kiện v| thay lại hệ phương trình ban đầu ta thấy hệ đã cho có nghiệm : ( x; y)  (0; 1);( x; y)  (1; 2) VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Bài 4: Giải phƣơng trình: x x2 2x x CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT 2x 1 Lần – THPT BÌNH MINH Lời giải tham khảo Điều kiện: x 1, x 13 x  x6 ( x  2)( x   2) ( x=3 không l| nghiệm) 1 2x 1  2x 1   (2 x  1)  x   ( x  1) x   x  Pt  x    H|m số f (t )  t  t đồng biến trên đó phương trình  x   x   x  1/  x  1/   (2 x  1)  ( x  1) x  x  x   x  1/ 1     x  0, x   x  0, x   Vậy phương trình có nghiệm S {0, } 32 x5  y   y ( y  4) y   x  x, y   Bài 5: Giải hệ phƣơng trình:  ( y   1) x   x  13( y  2)  82 x  29  Lần – THPT Bố Hạ Lời giải tham khảo Đặt đk x   , y  2 +) (1)  (2 x)5  x  ( y  y) y   y   (2 x)5  x    y   y  2(3) Xét h|m số f (t )  t  t , f '(t )  5t   0, x  R , suy h|m số f(t) liên tục trên R Từ (3) ta có f (2 x)  f ( y  2)  x  y  Thay x  y  2( x  0) v|o (2) Thay x  y  2( x  0) v|o (2) (2 x  1) x   x  52 x  82 x  29  (2 x  1) x   (2 x  1)(4 x  24 x  29)  (2 x  1)   x   x  24 x  29   x     x   x  24 x  29  0(4) Với x  Ta có y=3 (4)  ( x   2)  (4 x  24 x  27)   2x   (2 x  3)(2 x  9)  2x 1  VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT x  /   (2 x  9)  0(5)  x   Với x  Ta có y=11 Xét (5) Đặt t  x    x  t  Thay vao (5)  29 t  2t  10  21   (t  3)(t  t  7)  Tìm t  Xét (5) Đặt t  x    x  t  Thay vao (5) t  2t  10  21   (t  3)(t  t  7)  Tìm t  Từ đó tìm x   29 13  29 103  13 29 ,y  x3  y  3x  y  24 x  24 y  52   Bài 6: Giải hệ phƣơng trình:  x   y 1 4 Lần – THPT CAM RANH Lời giải tham khảo 2  x  1  y  Đk  Đặt t  y  Biến đổi phương trình đầu dạng x3  3x2  24x  t  3t  24t Xét h|m số f  x   x3  3x  24 x liên tục trên  2; 2 Chứng minh x=t=y+2  x  x  y   x  y    y    y   Hệ pt viết lại:  x  x  /   y 1   y  4 /  4     y  4 / KẾT LUẬN: x - 6x + 13x = y + y + 10 Bài 7: Giải hệ phƣơng trình:   2x + y + - - x - y = x - 3x - 10y + Lần – THPT CAM RANH Lời giải tham khảo XÉT PT(1): x  6x  13x  y3  y  10   x    ( x  2)  y  y (*) Xét h|m số f  t   t  t Ta có f '  t   3t   0t   f  t  đồng biến trên Do đó (*)  y  x  Thay y  x  v|o (2) ta được: 3x    x  x  3x  10 x  26  3x      x  x3  x  10 x  24 (ĐK :   x  1) VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016  3 x  2  x  2  3x     x CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT   x    x  x  12  x      x  x  12 (3)  3x     x x  2 Hệ có nghiệm  y  PT (3) vô nghiệm vì với   x  thì x2  x 12  Bài 8: Giải bất phƣơng trình: x3 x1  x  9x x Lần 1– THPT CAO LÃNH Lời giải tham khảo Điều kiện: 1  x  9; x  (1)     x  3x   x x   x   x x 3 x1    0 ( x  3)2  9( x  1)   x x   x   x x 3 x1 x     x1 x 33 x1 2 9 x  x x  3 x1   0  0     x 1 x 1   1  x x 33 x1 2 9 x 0 0 x x  x8 x1 x8   00x8     x  x   1  x  x Kết hợp điều kiện ta nghiệm bất phương trình l|  x   Bài 9: Giải bất phƣơng trình: x2 + x –  (x + 2) x  x  Lần – THPT chuyên LÊ QÚY ĐÔN - KH Lời giải tham khảo TA CÓ : x2  2x – + (x + 2)(3  x  x  )   (x2  2x – 7) Vì: ( x  1)   x   x  nên : ( x 1)2 1  ( x 1) 3 x  x   ( x 1)2 1  ( x 1) 3 x  x    > , x  x2 – 2x –   x   2  + 2  x Vậy bất pt có tập nghiệm: S = (;1  2 ] [1 + 2 ;+) Bài 10: Giải bất phƣơng trình: x3  x   3x  Lần – THPT chuyên NGUYỄN HUỆ VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT Lời giải tham khảo x  x   3x  3  x3  x   3 x   x x   x3  x3  x   3x   x 3x   x    x3  x  1  0  2 3 3x   x 3x   x      x3  x   1   0,  x     3 3x   x 3x   x    x 1   x  2 Vậy tập nghiệm bất phương trình l|    1    x  y3  3x  3x  6y    Bài 11: Giải hệ phƣơng trình:  y 2x   7y  13   x  1     Lần – THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ Lời giải tham khảo Từ phương trình (1) ta có: x3  3x   y  1   y  1 Xét h|m số f  t   t  3t , f   t   3t  f   t   với t suy h|m số f  t  đồng biến trên f  x   f  y  1  x  y  Thế x  y  v|o phương trình (2) ta được: Thế x  y  v|o phương trình (2) ta được:  x  1   x   x    x  1  3 Ta có x  không l| nghiệm phương trình Từ đó:   2x   x   Xét h|m số g  x      x  x 1  2x   x    x  x 1  TXĐ: D      \ 1   g  x    x  33  x  2  x  12  3 g   x   0   ; x  1, g     không x{c định  2   H|m số đồng biến trên khoảng   ;1 và 1;     VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT Ta có g  1  0; g  3  Từ đó phương trình g  x   có đúng hai nghiệm x  1 và x  Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  1; 2  và  3;   xy ( x  1)  x  y  x  y Bài 12: Giải hệ phƣơng trình:  2 y  x   y   x  x       Lần – THPT CHUYÊN SƠN LA Lời giải tham khảo      y  x  Biến đổi PT (1)   x  y  x  y     y  x 1   3x  x    x   x = y v|o PT (2) ta được:   x  1  Xét f (t )  t   x  1       (3 x)  (3 x)    f  x  1  f  3 x   t   có f '(t )  0, t f l| h|m số đồng biến nên: x   3x  x    y      x  x2   y  x2     Thế vào (2) 3( x  1)  x   x    y  x2    x  x2   Vế trái luôn dương, PT vô nghiệm   1 5 Vậy hệ có nghiệm nhất:   ;   x   x  x    y    x  1 y  1 Bài 13: Giải hệ phƣơng trình:  3x  x    x  1 y    x, y   Lần – THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC Lời giải tham khảo  x  1  y  1 Điều kiện:  1  x3  x  x   y  2 x 1  x  1 y  1   x3  x  x  1  x  1 x 1   y  2 y   x  x    y 1  y 1   x 1  x 1  Xét h|m số f  t   t  t trên có f   t   3t   0t   x   f  x 1  Nên f    y 1  suy f(t) đồng biến trên x  y  Thay vào (2) ta được 3x  x   x x  x 1 VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016    x  1  x  x  Ta có y   CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT   x 1    x  3  x  6x    x 1  x 1       13 x  x  x    x      9 x  10 x   x2 1 x 1 Với x    y  43  13 41  13 Với x   y 72 C{c nghiệm n|y thỏa mãn điều kiện Hệ phương trình có h   x; y      3; nghiệm   13 41  13  43  ;  &  x; y      72   3 2   x  y  x  y  3x  y Bài 14: Giải hệ phƣơng trình:  x  y  10 y   y  x   x  13 y  x  32       Lần – THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC Lời giải tham khảo x    x  2  y    y  7 Điều kiện :  Từ phương trình 1 ta có  x  1   x  1   y  1   y  1 3  3 Thay   vào   ta pt:  5x  5x  10  x    x   x   x3  13x  x  32  5 Đ/K x  2  5x  5x  10    x     2x  6  Xét hàm số f  t   t  5t , trên tập trên  5x  4  5x  10   x  x  10 , f   t   3t   0, t   hàm số f  t  đồng biến  3 : f  x  1  f  y  1  x  y x   3   x    x     x3  x  x  10     x  2   x    x3  x  x  10    Từ 2x      x    x  5 x2 2  x7 3  4  x    y    x; y    2;2 ( thỏa mãn đ/k)  x  x  10 x   x  x  10 2x     0  x7 3 x2 2    x  x  10  x  2   x7 3   2x    x  5   x2 2    x    y    x; y    2;2 ( thỏa mãn đ/k)    1  1   x  x  10       2x       (pt n|y vô nghiệm)    0,x2   x     0,x2   x   2   0,x 2  0,x 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm :  x; y    2;  VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT x2 2 Bài 15: Giải bất phƣơng trình:  x2  x  4   x  2  Lần – THPT chuyên VĨNH PHÚC Lời giải tham khảo Điều kiện : x  2 Do đó bất phương trình    x     x2  x  4   x  2  x   x  12  x    x Ta có  x  2x  4   x  2  trình    x2  x  4  x2  x  4   x  2 1  0, x  2 Do đó bất phương  x     x2  x  4   x  2 Nhận xét x  2 không là nghiệm bất phương trình 2  2t  t  1  2t  12  6t    t2  2 2  t    4  8t  4t  12  6t Khi x  2 chia hai vế x  x   2  12     x2  x2  bất phương   Đặt t  trinh 1 cho x2 0 ta x thì bất phương trình   x2 x x x  x x0  2t22   12   t 2 thì bất phương trình    2  xĐặt  2  2  x  2x  x2  x x42x  Bất phương trình có nghiệm x    x  97 y  y  97 x  97( x  y ) ( x, y  ) Bài 16: Giải hệ phƣơng trình:  27 x  y  97 Lần – THPT CHUYÊN HẠ LONG Lời giải tham khảo Điều kiện:  x , y  97    1   1  '0  ,  ;  ,  vào (1), (2) 97   97   97 97   ta thấy c{c cặp n|y không l| nghiệm Do đó  x , y  97 Đặt 97 x  a, 97 y  b Do  x , y  nên  a, b  Khi đó (1) trở th|nh 97 Thay ( x; y) c{c cặp số (0; 0),  0; VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016    CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT  a  b  b  a  a2  b2  a a   b2  b b   a2   a b  ( a  b  1)   b   a2  a  1 b  2 2    a  b  Suy x  y  97  Với c{c số dương a1 , a2 , b1 , b2 , ta có a1b1  a2 b2  a12  a22 b12  b22 Đẳng thức xảy v| a1b2  a2b1 Thật vậy,    a1b1  a2 b2  a12  a22 b12  b22   a1b1  a2 b2   a12  a22 b12  b22   a1b2  a2 b1   2 ) 97 Do đó 27 x  y  97 x  y  97 97 x  y  97 (do x  y  Đẳng thức xảy 4x = 9y v| x  y  Đối chiếu với điều kiện ta nghiệm 97   ;   97 97  hệ pt đã cho l|  x; y      ;   97 97  Đối chiếu với điều kiện ta nghiệm hệ pt đã cho l|  x; y    2x  x  3y   Bài 17: Giải hệ phƣơng trình:  2  x  6xy  y  5x  3y Lần – THPT CHUYÊN LONG AN Lời giải tham khảo  uv x 3  x  y  u  Ta có hệ phương trình: u  v  7(1)  Đặt   2 2u  4u  v  v(2) x  y  v y  u  v  Lấy (2) nh}n với −3 cộng với (1) ta được: u3  6u2  12u   v3  3v2  3v     u     v  1  3  u   v Thay vào phương trình (2), ta được: v2  v   Thay v|o phương trình (2), ta được: v2  v    v  1 1 3 + v  1 suy u = Suy  x, y    ,   2 2 v  1 3 + v  1 suy u = Suy  x, y    ,  2   1 3 + v  suy u = −1 Suy  x, y    ,   2 2  x  y  y  3x  y    Bài 18: Giải hệ phƣơng trình:   y x   y  13  3( x  1)   Lần – THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ Lời giải tham khảo Điều kiện: x   VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 10 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT Từ pt(1) ta có x  3x  ( y  1)  3( y  1) 3 f (t)  với t suy h|m số đồng Xét h|m số f (t )  t  3t ; f (t )  3t   0, t  biến trên f (t)  với t suy h|m số đồng biến trên Mà f ( x)  f ( y  1) nên x  y  Thế x  y  v|o pt(2) ta được: ( x  1)   2x   x   3( x  1) (3) Ta có x  không l| nghiệm pt(3) Từ đó Xét h|m số g( x)  x   x    2x   x   3( x  1) x 1 3( x  1) x 1  Tập x{c định D    ;   \1   g( x)  2x   3 (7 x  6)2  ( x  1)2  3 g( x)  0, x   ; x  1, g    không x{c định  2   H|m số đồng biến trên khoảng   ;1  và  1;   Ta có g(1)  0; g(3)  Từ   đó pt g( x)  có đúng hai nghiệm x  1 và x  Ta có g(1)  0; g(3)  Từ đó pt g( x)  có đúng hai nghiệm x  1 và x  Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (1; 2) và (3; 2) Bài 19: Giải bất phƣơng trình: x 1  3x   x  1 Lần – THPT ĐA PHÚC Lời giải tham khảo +) Đặt t = x2 – 2, bpt trở th|nh: 1   ĐK: t  với đk trên, bpt tương t 3 3t  t 1 đương 1  )  Theo Cô-si ta có: t 3 3t  t 2t 11 2t       3t   3t   3t  t t t 1  t t 1       t 1 t   t 1 t   1 t 1  t 1  t 3      t  3t   t  3t   3t  1 11        VT  2t  t 3 2 t 3 t 3 ( t  1)( t 2t 11 2t       3t   3t   3t  1 t 1  t 1       t  3t   t  3t   3t   VT  2t  VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 11 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT +) Thay ẩn x x2   x  (;  2] [ 2; )  T ( ;  2] [ 2; ) Bài 20: Giải phƣơng trình: 32 x  16 x  x  x    Lần – THPT ĐA PHÚC Lời giải tham khảo 32 x  32 x  16 x  16 x  x    x   Điều kiện x  , phương trình đã cho tương đương    32 x  x  1  16 x  x  1  7( x  1)   x    32 x  x  1 ( x  1)  16 x  x  1  7( x  1)    2x  2x 1 18     x  1 32 x ( x  1)  16 x   0  2x 1   18     x  1 32 x3  32 x  16 x     (*)  2x 1   0 Ta có 32  32 x  4   32  x   32 x    32 x  32 x  16 x   27  16  16 x   18  2x 1     18  2x 1 18  32 x  32 x  16 x      2x 1 Vậy (*)  x  Kết luận: Phương trình có nghiệm x =1  x  xy  x  y  y  y  Bài 21: Giải hệ phƣơng trình:    y  x   y 1  x 1 Lần – THPT PHƢỚC BÌNH Lời giải tham khảo  xy  x  y  y   Đk: 4 y  x   Ta có (1)  x  y   y 1    x  y  y  1  4( y  1)  Đặt u  x  y , v  y  ( u  0, v  ) VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 12 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT u  v Với u  v ta có x  y  1, thay vào u   v ( )  Khi đó (1) trở th|nh : u  3uv  4v2    y2  y   y 1  y (2) ta : Với u  v ta có x  y  1, thay v|o (2) ta :  y  y    y  1   ( vì  y2  y   y 1  y  2  y 1 1     y  2    y2  y   y 1  y2  y   y 1  y y2  y   y 1  y2 0 y 1   0  y2 y     0y  ) y 1 1  Với y  thì x  Đối chiếu điều kiện ta nghiệm hệ PT l|  5;  Bài 22: Giải bất phƣơng trình: x 1  x2  x  x  2x 1  Lần – THPT PHƢỚC BÌNH Lời giải tham khảo - ĐK: x  1, x  13 x 1  - Khi đó: x2  x  x  x2  x   x    3 2x 1  2x 1  1  x  2  x 1  2x 1   ,  * - Nếu x     x  13 (1) thì (*)   2x  1  x    x  1 x   x  Do hàm f (t )  t  t l| h|m đồng biến trên f    2x   f  , mà (*): x   x   x   x3  x  x        DK(1)  VN    0;   2     x     1  x  13 (2) Suy ra: x   ; - Nếu thì (2*)   2x  1  x    x  1 x   x  Do hàm f (t )  t  t l| h|m đồng biến trên f    2x 1  f  x 1  1   ;     Suy ra: x   1;0   , mà (2*):   1  x    x   x      x  13     x  1   x  1 1   DK(2) ;13    x   1;0     VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 13 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT 1   ;13    -KL: x   1;0    x  xy  2y  1  2y3  2y  x Bài 23: Giải hệ phƣơng trình:  6 x   y   4x  y  1 Lần – THPT PHƢỚC BÌNH Lời giải tham khảo ĐK: x  1   2y2  x  1  x  y    y  x  vì 2y  x  0, x  Thay v|o (2) ta x   x   4x    x     2x   2x  x   2 4x  13x  10    2x   x     x 2  y 3 x    Vậy nghiệm phương trình l| ( x; y)  (2;3) 2 x3  x  3x   x   y   y  Bài 24: Giải hệ phƣơng trình:    x   14  x  y  1  2 Lần – THPT PHƢỚC BÌNH Lời giải tham khảo Ta thấy x  không phải l| nghiệm hệ, chia hai vế (1) cho x3 ta    22  y  y x x x3  1  1  1    1      y   y   y  x  x 1    * Xét hàm f  t   t  t luôn đồng biến trên *    3 2y x Thế (3) v|o (2) ta  3 x   15  x   x     15  x    1    x  7   x    x  15    0     0  x  15     111  Vậy hệ đã cho có nghiệm  x; y    7;   98     2 x  y    y Bài 25: Giải hệ phƣơng trình:   x  xy  y    Lần – THPT PHƢỚC BÌNH Lời giải tham khảo VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 14 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT x  y   Đk:   x  1 +) Nếu y  , để hệ có nghiệm thì  y   VT (1)  x  y      VT (1)  VP(1) hệ vô nghiệm VP(1)   y    +) Nếu y<0, từ (2) suy x>0      x  xy  y     9     y     y  (3)  x  x  2t 2 Xét h|m số f (t )  t  t , t  0; f '(t )   0t   t2   (3)  f   y  x    f ( y )  y x  x 9  y    y (4) H|m số g ( y )  2  y  y y đồng biến trên  ;0  ; h|m số h(y)=1-y nghịch biến trên  ;0  v| phương trình có Thế v|o pt(1) ta có phương trình ngiệm y=-3 nên pt(4) có nghiệm y=-3 Vậy, hệ có nghiệm (1;-3) x Bài 26: Giải hệ phƣơng trình: x x2 x y x y x3 x2 2x y x y Lần – THPT HÙNG VƢƠNG – BÌNH PHƢỚC Lời giải tham khảo x  y   x  y   Điều kiện     y  x  (1) ta được:  x  2 2x   x3  x2  x  2   x  1  x   x  1 4 x   x     x  1  x  Hệ có nghiệm  x; y    1; 2  ,   2;   Bài 27: Giải bất phƣơng trình: x  x  x x 6    x 1  x 2  x2  x       x 1  x 2  x   3x  9x  Lần – THPT HÙNG VƢƠNG – BÌNH PHƢỚC Lời giải tham khảo x   3x  9x   x 1 1  x 2   x    2x  10x  12 VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 15 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 x     x 6 x 2   x  x    2x x 1 1 x  5x  x    x 1 2 x  5x   2 x  x 1 2 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT  10x  12  5x  x 1 1  x 2   x  5x     2  x 1 2  x 1 1     x 1 1   x  5x    0 x   x        x  1;2   3;           y   y   x  x  xy  y Bài 28: Giải hệ phƣơng trình:  2 x  y   y  x   Lần – THPT ĐỒNG XOÀI Lời giải tham khảo Đk: y  1, x  0, y  3x    y 1 x     y 1  x  Từ pt (2) ta có :  y  x  1  Suy ra, y = x + Thay v|o pt (1) ta x2  x   x2  x    Xét h|m số: f ( x)  x2  x   x2  x  Chứng minh h|m số đồng biến Ta có nghiệm x = Vậy nghiệm hệ l| (2;3) Bài 29: Giải hệ phƣơng trình: x2 y2 x y 2xy x y x2 y Lần – THPT ĐỒNG XOÀI Lời giải tham khảo Điều kiện: x  y   (1)  ( x  y)2   xy 1    2    ( x  y  1)( x  y  x  y )  xy  x  y   (vì x  y  nên x  y  x  y  ) Thay x   y v|o (2) ta được:  x  (1  x )  x  x     x   y   x  2  y  Vậy hệ có nghiệm: (x;y) = (1; 0), (x;y) = (–2; 3) VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 16 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 x Bài 30: Giải hệ phƣơng trình: x 2y CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT 2xy y 2x x 5x 8x 2y 10y 4y (y 1) Lần – THPT ĐỒNG XOÀI Lời giải tham khảo + Điều kiện: x 2y x x x x 2y Dễ thấy x y 2xy y x x Do đó hệ 2x 2y 2xy 2x x 8x 2y 2y 8x x 2y 2y 2y 2y 6 0 x2 y2 R x 2x 2x 7x (*) 2y y2 2xy : vô nghiệm với x, y 8x 2y 2y 0 2y x 2y Giải phương trình: 2x 1 x +) Điều kiện: x 2x 2x x  2x Vậy hệ có nghiệm x ; y (*) 4)(2x 1) x 2x 7x 0 1 1 2x 7x (x x x Dễ thấy 2x +) Phương trình  2x  2x x 2xy x 2y x 2y 2y x 2y 0 x +Ta có hệ x (2x 1) (2x 1) 0 nên x y x 4;2  x x2  y  x2  x  y      Bài 31: Giải hệ phƣơng trình:   x, y   x3  x  y  x  y  2   y   x   x 2x  Lần – THPT CHUYÊN QUANG TRUNG Lời giải tham khảo VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 17 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT ĐK: x  y  Từ PT(1) tìm x  x  y  x  x  y Thế v|o (2) đưa pt có ẩn x  1 2 Đưa h|m          x x x x  Xét hàm f  t   t  t đồng biến trên »từ đó pt    giải x x 1 1  L , x  N 2 æ -1 ö Nghiệm ç ; ± - 2÷ è ø x  x  y  x  y  Bài 32: Giải hệ phƣơng trình:  2 2  x  y    x  y Lần – THPT NGUYỄN HỮU CẢNH Lời giải tham khảo Điều kiện: x+y  0, x-y   u  v  (u  v)  u  v  uv  u  x  y     u  v2  Đặt:  ta có hệ:  u  v2  v  x  y  uv    uv   2    u  v  uv  (1)    (u  v)  2uv  Thế (1) v|o (2) ta có:  uv  (2)   uv  uv   uv   uv  uv   (3  uv )  uv   uv  Kết hợp (1) ta có:   u  4, v  (vì u>v) u  v  Từ đó ta có: x =2; y =2.(Thỏa đ/k) KL: Vậy nghiệm hệ l|: (x; y)=(2; 2) 2 2 ( x  y )( x  xy  y  3)  3( x  y )  Bài 33: Giải hệ phƣơng trình:  4 x   16  y  x  Lần – THPT NGUYỄN HỮU CẢNH Lời giải tham khảo 16 3 (1)  ( x  1)  ( y  1)3  y  x  Thay y=x-2 vao (2) 4( x  2) 3( x  2) x   22  3x  x    ( x  2)( x  2)  x22 22  3x  ĐK: x  2, y  VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 18 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT x   4   ( x  2)   0(*)  x   22  x  Xét f(x)=VT(*) trên [-2;21/3],có f’(x)>0 nên h|m số đồng biến suy x=-1 l| nghiệm (*) KL: HPT có nghiệm (2;0),(-1;-3)  x  x   x   y 1  y   y  Bài 34: Giải hệ phƣơng trình:  2  x  y  x  y  44 Lần 3– THPT NGUYỄN HỮU CẢNH Lời giải tham khảo Xéth|m số f  t   t  t   t  trên  0;    , có f  t   t  1   0, t   0;    t 2 t 4 Nên (1)  x  x   x    y      y     y   x  y  (*) Thay (*) vào (2): y 3  y  1 (3) Nh}n (3) với lượng liên hợp:  y   y  (4) (3), (4)  y    y  ĐS: 1; 6 x x2  y  y  x  x3  x  Bài 35: Giải hệ phƣơng trình:   x  y  x   y( y  1)   Lần 1– THPT HÀ HUY TẬP Lời giải tham khảo Đk: x  1; y  pt(1)  x x  y  y  x x  x  x  x   x2  y  x2  x  x  y   x   y  x  1   x2  y  x2  x    L}̣p lu}̣ n x 2 x y x x   với x  1; y  Với x  y thay vào pt(2): x  x  x   x ( x  1)      x  x 1  Giải pt(2’) được: x   x  x    (2’) Giãi pt(2’) được: x  25 25 y 6 25 25 y 6 VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 19 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT  25 25  V}̣y hpt có nghiệm  ;   6  x   x  x    y    x  1 y  1 Bài 36: Giải hệ phƣơng trình:  3x  x    x  1 y    x, y  R  Lần – THPT HÀ HUY TẬP Lời giải tham khảo  x  1  y  1 Điều kiện:  1  x3  x  x   y  2 x 1  x  1 y  1   x3  x  x  1  x  1 x 1   y  2 y   x  x    y 1  y 1   x 1  x 1  Xét hàm số f  t   t  t trên R có f   t   3t   0t  R suy f(t) đồng biến trên R    x  x  y  Thay vào (2) ta được 3x  x   x x    f y 1  x 1  x 1  Xét h|m số f  t   t  t trên R có f   t   3t   0t  R suy f(t) đồng biến trên R Nên Nên f   x  f  f  x 1    y 1     x  1  x  x  Ta có y   x  y  Thay vào (2) ta được 3x  x   x x  x 1   x 1    x  3  x  6x    x 1  x 1       13 x  x  x    x      9 x  10 x   x2 1 x 1 Với x    y  43  13 41  13  y Với x  72 C{c nghiệm n|y thỏa mãn điều kiện  KL: Hệ phương trình có hai nghiệm  x; y     3;  43      13 41  13  &  x; y    ;  72   Bài 37: Giải bất phƣơng trình:  x x2   x2  x  1(1  x2  x  2) Lần – THPT ANH SƠN Lời giải tham khảo Bất phương trình đã cho tương đương ( x x2   x2  x  x2  x  2)  (1  x2  x  1)  VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 20 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016  ( x  1)(2 x  x  2) CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT x(1  x) 0 x x   x  x  x  x   x2  x  x2  x  x  ( x  1)(  )0 2 2 x x 1  x  x 1 x  x  1 x  x 1 x2  x  x (1) với A   ( x 1).A  2 2 x x 1  x  x 1 x  x  1 x  x 1 2   x  x 1  x 1  x2  x  x2  x    x x2  Nếu x  thì    x  x   x 2   x2  x  x2  x   x x2    A  Nếu x>0 , {p dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:  x2  x   x2  x   x2  x   x  x  x  x   2  2  x x2   x  x   x2   2  x2  x  x2  x   x x2   x2  x  x x  A  1  vì 1 2 1 x  x 1 1 x  x 1 Tóm lại , với x  ta có A>0 Do đó (1) tương đương x 1   x  Vậy tập nghiệm bất phương trình đã cho l| (1; ) Chú ý : Cách Phƣơng pháp hàm số Đặt u  x  x   u  x  x  v|o bpt đã cho ta có u  x  x  x x   u (1  u  1)  u2  u  u u2 1  x2  x  x x2 1 Xét f (t )  t  t  t t  ) f ' (t )  (t  t  1)  t   0t nên h|m nghịch biến trên R Do đó bpt  u  x  x  2 x  y   x  1 x  x   x  y   Bài 38: Giải hệ phƣơng trình:   x, y  xy   y  x   x      Lần – THPT THỰC HÀNH CAO NGUYÊN Lời giải tham khảo Từ phương trình thứ hai hệ ta có: y   x2   x Thay v|o phương trình thứ ta được:  x  1 1    x  1     x 1    x  2  t f  t   t 1  t    f '  t    t    0, t   t 2     Cho ta x    x  x    y  Nghiệm hệ :  x; y     ;0  2 VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 21 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT Bài 39: Giải bất phƣơng trình: 5x2  5x  10 x    2x  6 x   x3  13x2  x  32 Lần – THPT ĐOÀN THỊ ĐIỂM Lời giải tham khảo Điều kiện x  2 Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình (5 x  x  10)   x    (2 x  6)  x3  13x  x  32  (5x2  5x  10)    x    3(5 x  x  10)  2(2 x  6)  x    (2 x  6)   x    x3  x  x  10   x  x  10  2x    x  2    x2    x22  x7 3  1 2x  2x  Do x  2  x      và vì x      x  (1) x2 2 x2 2 1 Do x  2  x        và vì 5x2  5x  10  x  x7 3 2 x  x  10 x  x  10 x  x  10    x2  x    x    x  (2) x7 3 x7 3 x  x  10 2x  Từ (1) v| (2)    x   Do đó (*)  x    x  x7 3 x2 2 Kết hợp điều kiện x  2  2  x   x  y  1 x  1  x  y  x  y  Bài 40: Giải hệ phƣơng trình:   x   y   x  x   y  Lần – THPT ĐOÀN THƢỢNG Lời giải tham khảo ĐKXĐ x  2, y  4 (1)  y  ( x  x  3) y  x3  x2  x   Giải pt bậc ta y  x  y  x  Với y  x  thay v|o PT (2) ta x   x   x2  2x   x  Với y  x  thay v|o PT (2) ta  x2 f '(t )    x2 t t 3  x   x   x2  2x   x    x   ( x  1)  Xét  0, t   f (t ) đồng biến trên Xét h|m số f (t )  t  t  có f '(t )   Vậy f  hàm t t2  số f (t )  t  t  có  0, t   f (t ) đồng biến trên x  x 1   x   f  x  1  x   x      13  x   ( x  1) x     13  13 y Với y  x  thay v|o PT (2) ta 2 Với y  x  thay v|o PT (2) ta x VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 22 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 x   x2   x2  2x   x2     x  1  CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT  x2   x2  2x   x2 1 x 1 2x    ( x  1)( x  1) x  1 x2   x2  2x  x 1   x  1  y        x   x   y  81 16  x2   x2  2x   x     13  13   81  ; Vậy hệ có nghiệm l|   ,  1;3 ,  ;    16      y  x    y  85  50 x  y  13 y  x3  Bài 41: Giải hệ phƣơng trình:  2 2  x  3xy  y  x  3xy  y  3( x  y ) Lần – THPT ĐOÀN THƢỢNG Lời giải tham khảo 11 23 11 - Ta có x  3xy  y  ( x  y)  (x  y)  ( x  y) 6 36 6 11 11 11 - Nên x  3xy  y  ( x  y)2  x  y  x  y 6 6 6 11 11 11 x  3xy  y  ( x  y)2  x  y  x  y 6 6 6 - Tương tự - Cộng lại ta : x  y  x  xy  y  x  xy  y  3( x  y ) dấu xảy 11 23 ; ; trên sau : 6 36 2 x  3xy  y  (ax  by)2  c.(x  y)  Do tính đối xứng nên giả sử :  2 2  4 x  3xy  y  (b x  ay)  c.(x  y) a  c   Khai triển và đồng hệ số ta có hệ số x là b  c  a  b  VP  3(x  y)  Trừ vế (1) cho (2) và kết hợp với (3), ta 11 23 a  ; b  ; c  PT (1)    x  x    x  85  57 x  13x  x3 6 36 Chú ý : Cách tìm các hệ số - PT (1)    x  x    x  85  57 x  13x  x3    x  x    2x  -   x   x  2  1 Áp dụng bất đẳng thức bunhia copki ta có : Áp dụng bất đẳng thức bunhia copki ta có : VT  (4  x)2  12  (x  2)  (7  x)  (4  x)  12  (5  x) VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 23 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016    x  x    2x   - 4 x x2   2x CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT   x   x  2  1 Dấu xảy  x  , nghiệm (x; y)  (3;3) Dấu xảy  4 x x2   2x  x  , nghiệm (x; y)  (3;3) Bài 42: Giải phƣơng trình: 3(2  x  2)  x  x  Lần – THPT ĐÔNG DU Lời giải tham khảo ĐK: x  3(2  x  2)  x  x   2( x  3)  x   x   8( x  3)  2( x  3)  0 x 6 3 x 2 x  x    0 2   x 6 3 x 2  x 6 3 x 2  x    x  11   Vậy pt có tập nghiệm S  3 Bài 43: Giải bất phƣơng trình: x    x  3x  Lần – THPT ĐÔNG DU Lời giải tham khảo  x  Biến đổi PT dạng x   3x    x + Bình phương hai vế, đưa 3x2 17 x  14  14 + Giải x  x  14 + Kết hợp với điều kiện, nhận  x   x5 3 + ĐK:  x3  y  y  x  y   Bài 44: Giải hệ phƣơng trình:   x  x   x   y ( x, y  ) Lần – THPT ĐÔNG DU Lời giải tham khảo Điều kiện: x  2 (1)  x3  x   y  y  y  x3  x    y  1   y  1  Xét hàm số f t   t  t  trên  2;   VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 24 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT Xét h|m số f  t   t  t  trên  2;   Ta có: f '  t   3t   0, t   2;   Mà f  t  liên tục trên  2;   , suy h|m số f  t  đồng biến trên  2;   Do đó: x  y 1 Thay y  x  và phương trình (2) ta được: x3   x   Thay y  x  v| phương trình (2) ta được: x3   x    x3       x     x  2 x2  2x       x  2 x2  x     x2 2     x  2  x2  2x    x22   x  2   x2 2 x2 2     0 x2 2     x2   x  2 y 3  x2  x    x22    x2  x   Ta có VT  x  x    x  1   3;VP   x2 2  (*)  1, x  2;   x2 2 Do đó phương trình (*) vô nghiệm Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm  x; y    2;3 Bài 45: Giải bất phƣơng trình: x ( x  1)  x3  5x  8x  ( x  R ) Lần – THPT ĐỒNG GIA Lời giải tham khảo Điều kiện: x  (1)  x x  x  ( x3  x2  12 x  8)  ( x2  x  4)   ( x )3  x  x  ( x  2)3  ( x  2)2  ( x  2) (2) Xét hàm số f(t) = t3 + t2 + t, có f’(t) = 3t2 + 2t + > 0, t Xét h|m số f(t) = t3 + t2 + t, có f’(t) = 3t2 + 2t + > 0, t Do đó h|m số y = f(t) đồng biến trên R, mặt kh{c (2) có dạng +) Với  x  l| nghiệm (3) f x  f  x    x  x  (3)   +) Với  x  l| nghiệm (3) +) Với x > 2, bình phương hai vế (3) ta x2  5x     x  Kết hợp nghiệm ta < x  l| nghiệm (3) Vậy nghiệm (3) l|  x  , l| nghiệm bất phương trình (1) 2   x  xy  y  y  x (1) Bài 46: Giải hệ phƣơng trình:  y x  y   x  (2)   Lần – THPT ĐỒNG XOÀI Lời giải tham khảo VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 25 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT ĐK: x  y   (3) x  y (1)  x  y  xy  y  y  x   ( x  y )( x  y  2)     x   y (4)  Từ (3) & (2) ta có x=y=1  y  0; x   x   y  Từ (4) & (2) ta có    y   ; x  y  y  y   3  8 1 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm  x; y   1;1 ;  x; y    2;0  ;  x; y    ;    3  x  xy  y  y   y   x  Bài 47: Giải hệ phƣơng trình:   y  x  y   x      Lần – THPT ĐỒNG ĐẬU Lời giải tham khảo x   Điều kiện 1  y  2 x  y    Với điều kiện trên ta có : (1)  y 1  x  ( y   x)( y   x)  y ( y   x)  y 1  x    ( y   x)   y 1  x  y    y 1  x     y  x 1    y   x  y  (*)  y   x x  + Với  , suy phương trình (*) vô nghiệm 1  y  + Với y  x  thay v|o (2) ta  x  5x   x  (3) Điều kiện  x  ta có : (3)   x   x  3( x  x  4)  7  x   5  x  7 x3 5 x   x2  5x  4 x  5x  0     x2  5x  4   0   x   x x  5x    x   x  5x     x      0(VN )    x   x x  5x  VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 26 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm l| ( x; y)  (1;2) và ( x; y)  (4;5) 3  2 x  xy  x  y  x y  y 1 Bài 48: Giải hệ phƣơng trình:    4x  x    y   y  2 Lần – THPT ĐỨC THỌ Lời giải tham khảo 2 (1)  ( x  y )(2 x  y  1)   x  y Thay v|o (2) ta có phương trình x2  x   x   x  (3)  x  x   (1  x)  x   x 1 x2  x    x  x 1  x    x  1   x  x    x  x  (4)  2 x  x Kết hợp (3) v| (4) ta x   x    2 4 x  x    2 Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm: x  1; x   x  y 1  Bài 49: Giải hệ phƣơng trình:   (3  x)  x  y y   1  2 Lần – THPT CAM LÂM Lời giải tham khảo (2)  1    x   x  1   y  1 y  Điều kiện x  va y  Xét h|m số f(t) = (1 + t2)t = t3 + t f’(t)= 3t2 + > t  R Vậy hàm số tăng trên R (2)  f  x  f y    x  y   – x = 2y –      2y = – x Thay vào (1): x3 + x – =  x = Nghiệm hệ (1;1) 10   x  xy  y  y Bài 50: Giải hệ phƣơng trình:    4x   y    x, y  Lần – THPT CAM LÂM Lời giải tham khảo ĐK: x   Nếu y  thì từ phương trình (1) ta suy x  , v|o phương trình (2) ta thấy không thỏa mãn, y khác VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 27 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Đặt x=ky  k   CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT ta (1) trở th|nh k y  ky  y10  y  k  k  y  y (3) Xét h|m số f (t )  t  t trên , ta có f '(t )  5t   0t  Do đó f(t) l| h|m số đồng biến trên , (3)  f (k )  f ( y )  k  y  x  y Thế vào (2) ta Thế v|o (2) ta x   x    x  13  x  37 x  40  36  x  37 x  40  23  x 23  x   2 16 x  148 x  160  25 x  230 x  529 23  x  5 x  23     x 1  378 x  369  x   x    x  41 Với x=1 thì y  1 Vậy cặp nghiệm hệ phương trình :  x, y   1;1 ;  x, y   1; 1  x  y2 x  xy  y   x  y (1)  Bài 51: Giải hệ phƣơng trình:   (2)  x xy  x   xy  x  Lần – THPT GDTX NHA TRANG Lời giải tham khảo Ta có x2 y2 = 1 (x+y)2 + (x - y)2 4 (x+y)2 x  y2 1 (x+y) (3) x y 2 x  xy  y 1 và = (x+y)2 + (x - y)2 12 x  xy  y x y (x+y)2 (x+y) (4) x  y2 x  xy  y   xy Đẳng thức xảy v| x = y v| x + y (1) x = y và x Từ (3) v| (4) suy VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 28 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT Thay y = x v|o phương trình (2) ta : x x  5x  = 4x2 -5x – (2’) + Với x = thì x = không phải l| nghiệm phương trình (2’) 2 + Với x > thì (2’) 5  =4–( + ) x x x x , (t 0),  x x2 ta có phương trình: t2 + t – = Đặt t = 2 2 =2  x x2 x = x = (loại) - Với t = t = t = – (loại) 2+ + =4 x x 2x2 – 5x – = Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y    3;3  x( x  y )  y  x  Bài 52: Giải hệ phƣơng trình:  2  x( x  y )  y  x  Lần – THPT GDTX NHA TRANG Lời giải tham khảo + nhận thấy x=0 không thỏa  y2 1 x  y  4  x + Khi x  ta có hệ tương đương  ( x  y )  y    x x  y  a a  b   + Đặt  y  ta có hệ phương trình  b a  2b    x a  a  5 giải ta có   b  b  x  x    y   y  2 + Từ đó tìm  2 x3  x  3x   x   y   y  Bài 53: Giải hệ phƣơng trình:    x   14  x  y  1  2 Lần – THPT HẬU LỘC Lời giải tham khảo Ta thấy x  không phải l| nghiệm hệ, chia hai vế (1) cho x3 ta    22  y  y x x x3  1  1  1    1      y   y   y  x  x 1    * VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 29 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT Xét hàm f  t   t  t luôn đồng biến trên *    3 2y x  3 Thế (3) v|o (2) ta x   15  x   x     15  x    1    x  7   x    x  15    0     0  x  15     111  Vậy hệ đã cho có nghiệm  x; y    7;   98  Bài 54: Giải phƣơng trình:    x   x   4x  x  x  x6 Lần – THPT HOÀNG HOA THÁM Lời giải tham khảo ĐK :   x  1, đặt y   x   x  , PT  y  y 3  2   x   x   (*) Xét h|m số f t   t  t  3, t  , f / t   t   0, t  nên h|m số luôn đồng biến trên 0;   (*)  f  y   f  x6  y  x6  x   41  (thỏa đk) 2(4 x  y )  12 x  y  x( y  3)   Bài 55: Giải hệ phƣơng trình:   y  x   x  x  Lần – THPT HOÀNG HOA THÁM Lời giải tham khảo Điều kiện : y  2 Từ phương trình :  (8 x3  12 x  x  1)  y (2 x  1)  y    x  1  y  (2 x  1) y  y    x   y  (2 x  1)  y (2 x  1)  y    y y2   (2 x   y ) (2 x   )  0    y  2x 1  (2 x   y )  y   y  2x 1  1  2  y  7y  x    0  Với  x     2  7 y   y   VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 30 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Thay v|o phương trình CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT y  x   x  x   1    vô lý Với y  2x  2 x   x  x   x  x  Điều kiện :  x2 x  x    x2  x   2x  3 x   Suy :   x  2x     x   x x 1 x   2x   ( x  x  3) x  x( x  3x  x  6)    2x   x  2x  ( x  1)  ( x  1) x   ( x  5)     ( x  1) x  x( x  2)    x  3   2   x  2x    x   3( x  1)    x5         x3  x  1 x   x( x  2) Vì x   4  x  2x  x   3( x  1) 3  x5      KẾT LUẬN: Bài 56: Giải bất phƣơng trình: x 1 x 1  1  x x x Lần – THPT HỒNG LĨNH Lời giải tham khảo ).+ ĐK: x  [-1; 0)  [1; +  ) Lúc đó:VP (1) không }m nên (1) có nghiệm khi: x 1 1    x     x  Vậy (1) có nghiệm trên (1; +  ) x x x x Trên (1; +  ): (1) <=> x 1 1  x 1 x 1  x 1   x x x 1 x2  Do x     x > nên: x x <=> x   (1) x 1 x2 1 x2 1 2 1 x   1  x x x x x2 1 x2 1 x2 1 1 2 1   (  1)2  <=> x  x x x x   Vậy nghiệm BPT l|:   x   <=> 2  6 x  3x  y  y  xy  3x   Bài 57: Giải hệ phƣơng trình:    4x  y   x 1  y 1 VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 31 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT Lần – THPT HỒNG QUANG Lời giải tham khảo HD: Coi phương trình (1) l| phương trình bậc hai ẩn y, g{n x  1000 bấm nghiệm  y  3x 2 ta ph}n tích nh}n dạng nh}n tử: 1  y  3x  y  x  1     y  2x  Từ phương trình (2) ta có: y  nên y  3x2 không thỏa mãn   Thay y  2x  v|o phương trình (2) ta x2  x   x   x Khảo s{t casio thấy x  l| nghiệm đơn nên có thể truy ngược dấu để liên hợp, bình phương liên tiếp khử ĐS: x   y      2016  x  x 504  y  y  1008  Bài 58: Giải hệ phƣơng trình:    x x  xy   xy  x  Lần – THPT HỒNG QUANG Lời giải tham khảo HD: Phương trình (1) tương đương: 2016  x  x  2016   2 y    2 y   y (Chú ý: x x  a  x  x  x  a  x   a   để đảm bảo kh{c liên hợp) Thay vào (2): x 2x2  6x   4x2  6x   25 x  x    2x2  6x     2  x   x  x   3x    x   11  x  x   2 x      11 3  11   ; ĐS:  x; y   1;   ;   2      Bài 59: Giải phƣơng trình: x  x    x 1  x 2  x   3x  9x  Lần – THPT HÙNG VƢƠNG – BÌNH PHƢỚC Lời giải tham khảo  pt  x  x     x 1 1  x 2   x    2x  10x  12 VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 32 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 x     x 6 x 2   x  x    2x x 1 1 x  5x  x    x 1 2 x  5x   2 x  x 1 2 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT  10x  12  5x  x 1 1  x 2   x  5x     2  x 1 2  x 1 1     x 1 1   x  5x    0 x   x        x  1;2   3;            x  xy  x  y  y  y  Bài 60: Giải hệ phƣơng trình:  y  x   y   x    Lần1 – THPT KHÁNH SƠN Lời giải tham khảo  xy  x  y  y   Đk: 4 y  x    y 1    x  y  y  1  4( y  1)  Ta có (1)  x  y  Đặt u  x  y , v  y  ( u  0, v  ) u  v Với u  v ta có x  y  1, thay vào u  4v(vn) Khi đó (1) trở th|nh : u  3uv  4v2    (2) ta : y2  y   y 1  y Với u  v ta có x  y  1, thay v|o (2) ta :  y  y    y  1      y  2    y2  y   y 1   y  2 y2  y   y 1  y  ( vì    y 1 1   y  2 y2  y   y 1  y2 0 y 1   0 y     y2    y  2    y2  y   y 1 y 1   y  y   y 1 y2  y   y 1  y   0 y     0y  ) y 1 1 Với y  thì x  Đối chiếu Đk ta nghiệm hệ PT l|  5;     8 x  x  x   y y  y   Bài 61: Giải hệ phƣơng trình:  4 xy   y   y  x   5y  12 x     x; y   VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 33 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT Lần – THPT KHOÁI CHÂU Lời giải tham khảo  x  ĐK:  Từ pt (1)  dể pt có nghiệm thì y   y   y  x          PT 1  2 x   2 x   2 x   y3  y  y (*) Xét h|m số f  t   t  2t  4t luôn đồng biến Từ pt (*)   t   có f   t   3t  4t   2t   t    f 2 2x 1  f  y   2x 1  y 2  t  nên f(t)  Từ pt (*)  f 2 x   f  y   2 x   y Thay v|o pt ( ) ta pt y3   y   y   3y  y   Đặt z  y  ta pt y  2 z  loại  y  z3  3yz2   y  z   y  z    yz t / m y  2 z  loại  Đặt z  y  ta pt y3  z3  3yz2   y  z   y  z    yz t / m Với y = z ta y  y   y   x  (t / m)  x  y  x  y  x  y (1)  Bài 62: Giải hệ phƣơng trình:    x   y  3x   2 (2) Lần – THPT KINH MÔN Lời giải tham khảo Đk:  y  0; x  y ; x  y  x  3; y   y3    x  y ; x  y;  x  9; y  3x  Từ (1) suy VT(1)  nên bình phương hai vế ta có : 2x  x2  y  4x  y  y  2x  x2  y  y  2x  y  2x      y  0(l ) 2  y  xy  x  4( x  y )  y  x   x   x   (3) Giải (3): x  25 3( x  5) (3)  x    3( x   2)   x   ( x   2) Thay y = 4x-4 vào (2) ta có:  x   y  16   x5   (4)  x   ( x   2) VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 34 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Do x   x   x  x5 x2    CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT x5  và    x   x  luôn x4 ( x   2) đúng x  nên (4) vô nghiệm Vậy x= ; y =16 l| nghiệm hệ phương trình  x  xy  x  y  y  y  Bài 63: Giải hệ phƣơng trình:    y  x   y 1  x 1 Lần – THPT LAM KINH Lời giải tham khảo  xy  x  y  y   Đk: 4 y  x   Ta có (1)  x  y   y 1    x  y  y  1  4( y  1)  Đặt u  x  y , v  y  ( u  0, v  ) u  v u  4v(vn) Khi đó (1) trở thành : u  3uv  4v2    Với u  v ta có x  y  1, thay v|o (2) ta :  y  y    y  1    y 1 1     y  2    y  y   y 1  y2  y   y 1  y  y  2 y  y   y 1  y2 0 y 1   0  y2 y     y2 ( vì  y  y   y 1   0y  ) y 1 1 Với y  thì x  Đối chiếu điều kiện ta nghiệm hệ PT l|  5;  2  2 x  y  xy  x  y   y  x    3x Bài 64: Giải hệ phƣơng trình:   x  y   4x  y   x  y  Lần – THPT LÊ LỢI Lời giải tham khảo * ĐK: y  2x   0,4x  y   0, x  y   0, x   y  2x    x  0    * Xét trường hợp:  (Không TM hệ) 3  x   y  1  10  * Xét trường hợp: x  1, y  Đưa PT(1) dạng tích ta x y2 ( x  y  2)(2 x  y  1)  y  x    3x VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 35 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT   ( x  y  2)   y  x  1  Do y  2x    y  x    3x  nên  y  2x    x  y   y  x    3x * Thay y   x v|o PT(2) ta x2  x   3x    x 3x  2 x  x2  x   3x      x  ( x  2)( x  1)   3x     x    ( x  2)     x   x    3x     x  (vì x  nên  1 x  ) 3x     x * x    x  2  y  (TMĐK) Nghiệm hệ l| ( x; y)  (2; 4) x2  25x 19  x2  2x  35  x  Bài 65: Giải hệ phƣơng trình: Lần – THPT LÊ LỢI Lời giải tham khảo Điều kiện x  Phương trình tương đương x  25 x  19  x   x  x  35 Bình phương vế suy ra: 3x  11x  22  ( x  2)( x  5)( x  7) 3( x  x  14)  4( x  5)  ( x  5)( x  x  14) Đặt a  x2  5x 14; b  x  ( a ,b  0) Khi đó ta có phương trình a  b 3a  4b2  7ab  3a  7ab  4b    3a  4b Với a = b suy x   (t / m); x   (l ) 61  11137 61  11137 (t / m); x  (l ) 18 18 61  11137 Đs: x   ; x  18 Với 3a = 4b suy x  Bài 66: Giải hệ phƣơng trình:  x  2x  3 7x  19x  12   16x  11x  27 x  1 12  7x Lần1 – THPT LÊ QUÝ ĐÔN Lời giải tham khảo 12   4  x  Điều kiện :  (*)  x  3 1   x  1   x   12  7x  16x  24  x   3 x   12  7x  16x  24  2 VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 36 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016  2  x   12  7x    x4   12  7x  CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT   x   12  7x  x   12  7x x   12  7x   x   12  7x   x   12  7x    x    12  7x   12  7x 12  23   x   12  7x  16x  23   16 48  28x  256x  736x  529  12  23  x 12  23  382  633   x   16   16  x 256 256x  764x  481   x  382  633   256 Kết luận nghiệm phương trình l| : x  , x  382  633 256  x   xy  x  y   x   y  y   Bài 67: Giải hệ phƣơng trình:   x, y   x  y   y  x  x  x        Lần – THPT LƢƠNG TÀI Lời giải tham khảo    Pt(1)  x    x  3 y  1  x  y   y  a  x  Đặt  b  y 1 a  b a  2b2  ab  a  b     a  2b    a, b   , (1) trở th|nh: + a  2b   vô nghiệm a, b  + Xét a = b  y  x  thay vào (2) ta đƣợc:  x  3 x  3   x  1  x2  2x  3  x 1    x  3 x  3   x  1  x  2x  3 x 3 x 1    x   y  5(tm)   x  3 x     x  1  x  2x  3 *  (*)   x      2    x     x  1    x  1     Xét hàm số f  t    t    t   , t  có f '  t   0t  Suy f  t  đồng biến mà f   x   f  x  1  x   x  x    x  3 y   x  3x  Vậy hpt có nghiệm:  3;5 VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 37 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT xy  y  2y  x   y   x Bài 68: Giải hệ phƣơng trình:  3  y  2x  3y   2x  Lần – THPT LÝ THÁI TỔ Lời giải tham khảo Điều kiện: x  0,  y  6, 2x  3y   (*) x  không l| nghiệm hệ phương trình  y   x  y  Nhận thấy  PT (1)  x(y  1)  (y  1)2  Khi đó, y 1  x y 1  x Khi đó, PT (1)  x(y  1)  (y  1)2   (y  1)(x  y  1)  y 1  x y 1  x y 1  x y 1  x   0  (x  y  1)  y     y   x    x  y    y  x  (do (*)) Thay v|o PT (2) ta được:  x  5x   2x  ĐK: /  x  (**)   x  (7  x)  3( 5x   x)  4  5x  x 3(4  5x  x )   0  x  (7  x) 5x   x    (4  5x  x )       x  (7  x) x   x    x  5x   (do (**)  x  5x   (do (**) x   y  (thỏa mãn (*),(**))  x   y  Vậy nghiệm hệ phương trình l|: (1; 2), (4; 5) x3  20x2  4x  4x  2x x  x Bài 69: Giải bất phƣơng trình: Lần1 – THPT LÝ THƢỜNG KIỆT Lời giải tham khảo : pt  x   x  x2  20 x   x  x      x  20 x   x  x   0, (*)    20    x  ;t  2   ; Đặt t  x  x x x   t  t3 Ta bất phương trình  3t  4t  15   (*)  x  VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 38 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT Đ{p số: S  [0; 1]  [4; ) Bài 70: Giải phƣơng trình: 2x5  3x  14x3 x2    4x  14x3  3x  1   x2     Lần – THPT BLÝ THÁI TỔ Lời giải tham khảo Điền kiện: x  2 (*) PT  x (2x  3x  14)  (4x  14x3  3x  2)   x (x  2)(2x  7)   x (x  2)(2x  7)   x2 2  x     (4x  14x  3x  2)(x  2) x    (4x  14x  3x  2)(x   4)  x    x  (thoûa maõn (*))   x (2x  7) x    4x  14x  3x     (1) (1)  x3 (2x  7) x   4x  14x3  4x  14x3  3x   x3 (2x  7) x   3x  Nhận thấy x  không l| nghiệm phương trình  x  x Khi đó, PT  (2x   3) x    x3  2(x  2) x   x    (2) x3 x Xét h|m số: f(t)  2t  3t với t  Ta có: f '(t)  6t   t   H|m số f(t) đồng biến trên   1 x   f    x    x x  1 x x 1  x   x (thỏa mãn (*)) 2 (x  1)(x  x  1)  (2)  f Vậy nghiệm phương trình đã cho l|: x  1  , x  2   Bài 71: Giải hệ phƣơng trình:   x  x  x  25 x  18  Lần – THPT MARIE – CURIE Lời giải tham khảo Điều kiện: x  1     x  x  x  25 x  18     x  x  25 x  18 x  25 x  25   x  x  18 x  20 VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 39 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT  25  x  1   x   x  16 x  16   x     x3   1 x  2x2  4  x2  (1) Hàm số f  t   t  t đồng biến trên  0;   nên   (1)  f  x  f  x     x3   x2   5  x  1  x  x  1   x  1   x  x  1 (2) Đặt: u  x   và v  x  x   u  2 u u (2) thành: 5uv   u  v            v v v u   v  x  1 u Với  : x   x  x    vô nghiệm v x  x     x  1 u  37 Với  : x   x  x     x v 2  x  5x   Phương trình có hai nghiệm: x   37 Bài 72: Giải bất phƣơng trình: (x 2)(x 2x 5) (x 2)(3 x x2 12) 5x Lần – THPT MINH CHÂU Lời giải tham khảo   4(x  2) 3(x  2)2 5(x  2)  (x  2)  x  5x      2x   x    3 5x   5x     4(x  2) 3(x  2)2  ( x  2);  (x  2)2  x 5 3  2x   3 x   5(x  2) 5(x  2)     3 5x   5x      x  5x   4(x  2) 2x        0(*) Ta có với      3(x  2)2 x2   5(x  2)   5x    5x    18x  57x  127  0, x   45 Do đó (*)  x    x  , kết hợp với điều kiện x   VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 40 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT ta suy bất phương trình đã cho có nghiệm l|  x 2 2 x  xy  x  y  x y  y  Bài 73: Giải hệ phƣơng trình:  y  x  y  16  1   y   x 1   x2  y  2     ( x, y  ) Lần – THPT MINH CHÂU Lời giải tham khảo +) ĐKXĐ: x  1 (*) +) pt (1)  ( x  y )  (2 x  x y )  ( xy  y )   ( x  y )(1  x  y )   x  y Vì  x  y  0, x, y Thế v|o (2) được: x 2( )2  x  x  16  x 1    x  4x  2 2  x 1  +) x   y  (tm) +) pt  3  +) pt  3    x  x  32   x  1 x2  4x  x    x4    x  x   x  8 x     x  1 x  8  x2  x   x 1      x 1 x 1    x 1   3 x    x     x  1  x  x   x    x     x  1  x  x     x 1    x 1  2  3   x    3  x    3    +) Xét h|m số f  t    t  3  t  3 với t  nên f  t  đồng biến trên +) M| pt(4) có dạng: f  (4) có f '  t    t  1  0, t   x   f  x  2 x  Do đó    x   x    x   x  4x  x   13 (T/M)  x  x  5x    13 11  13 y +) Với x     13 11  13   ; Vậy hệ đã cho có tập nghiệm  x; y  là: T  (8;4);       Bài 74: Giải hệ phƣơng trình: x   x   3x  2 x2  5x   16 Lần – THPT NAM DUYÊN HÀ Lời giải tham khảo Điều kiện: x  1 Bpt (1) tương đương: 2x   x     2 x   x   20 Đặt t  x   x  , t >0 VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 41 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT t  Bpt trở th|nh: t  t  20    Đối chiếu đk t  t  4 Với t  , ta có: x   x    2 x2  5x   3x  21   3 x  21    2 x  x    3 x  21      x  146 x  429  x    x3  x   Kết hợp với điều kiện x  1 suy tập nghiệm bất pt l|: S= 3;  2  Bài 75: Giải hệ phƣơng trình:  ( x  2) x  x   y y   x  y     x  y 1  x  y 1 Lần – THPT NGHỀ NHA TRANG Lời giải tham khảo Xét h|m số f (t )  t t   t Có f '(t )  t   t2 t2    t  H|m số f(t) đồng biến trên R  Phương trình (1)  x    y Thay vào (2) ta có Thay vào (2) ta có 3   x x   x  x   2x     2  x  x   x  12 x   x  x   x  12 x   x    x      x  1  x  1  y  1 (tmdk) 2 3x  13x  10   10  x    Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (-1;-1)  x  x  y  x  1  12  x  x  y   Bài 76: Giải hệ phƣơng trình:  Lần – THPT NGHỀ NHA TRANG Lời giải tham khảo    x  3x  y  x  1  12  3x  y   x  x   12 TA CÓ:   x  4x  y      3x  y    x  x   u  3x  y u.v  12 u  u  Đặt  thì hệ (1)      u  v  v  v  x  x   v   (1) VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 42 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT  x   3 x  y  u  y  3/      x  2 v  x  x     y    x  3  3 x  y  u   y  11/     x  v  x  x     y  2 KẾT LUẬN:  x   x  8x  17  y  y  Bài 77: Giải hệ phƣơng trình:   x  y  y  21   y  3x Lần – THPT NGHỀ NINH HÒA Lời giải tham khảo Điều kiện: y  x   x  8x  17  y  y  2  ( x  4)  ( x  4)   y  y  2 Xét h|m số: f (t )  t  t  với t  Ta có : f '(t )   t t 1  0, t  Suy f(t) l| h|m số đồng biến v| liên tục với t  Do đó : ( x  4)  ( x  4)   y  y  2  f(x+4)=f(y) y = x + Thay y = x +4 v|o phương trình thứ hai, ta có : x  x   x  25   x  16 (*) , đk: x  -4 Nhận xét: x = -4 không phải l| nghiệm phương trình (*) Xét h|m số: g(x) = x  x   x  25   x  16 với x  (-4;  ) 1   x  x  25 x  16 1 x  16     g’(x) = x  x  25 x  16 1 x  15 0    g’(x) = x  x  25 x  16( x  16  1) với x  (-4;  ) Suy g(x) l| h|m số đồng biến v| liên tục với x  (-4;  ) Do đó phương trình g(x) = có tối đa nghiệm với x  (-4;  ) Ta có: g’(x) =  Mặt kh{c : g(0) = nên phương trình (*) có nghiệm x = VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 43 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT  y = x + = 0+ =4 Vậy hệ phương trình có nghiệm : x = ; y = x( x  1) ( x   1) Bài 78: Giải bất phƣơng trình:  ( x  1)(2 x  3) Lần – THPT NGHỀ NINH HÒA Lời giải tham khảo   Điều kiện: x    ;   \ 1   x( x  1) ( x   1) 2  ( x  1)(2 x  3) x( x  1) ( x   1) Mà  x( x  1)    x   ( x   1)(2 x  3) 1   x( x  1)  ( x   1)(2 x  3)  x   (2 x  3) (*)  x  2x  x  (2 x  3) x   x  3  x ( x  2)  (2 x  3) x   x    x  Vậy điều kiện phương trình l| : x  *    x  1  1 ( x  1)    2x  1 2x   Xét h|m số f(t) = (t+1)t2 với t > (vì x >2 nên x – 1> 1) Ta có : f(t) = t3 + t2  f '(t )  3t  2t , t  Suy f(t) l| h|m số liên tục v| đồng biến trên 1;   hay f ( x 1)  f ( x  3) Khi đó: Khi đó:  x  4x    x    x  2   x   x   x  Vậy S=   6;    Bài 79: Giải hệ phƣơng trình: x x    x  3  x    x  Lần – THPT NGÔ SỸ LIÊN Lời giải tham khảo TXĐ: D  1;   x x    x  3  x    x  2  x   x   x    x  3   x  3   x    f   x   f  x  3 Xét h|m số f  t   t  t  t có f   t   3t  2t   0, t  Do đó h|m số f  t  đồng biến trên VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 44 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Suy ra: f  CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT  x   f  x  3  x 1  2x  3  x   x 2  x   x  12 x   ▪ Vậy x  l| nghiệm phương trình  x2   x  y  x  y  y  Bài 80: Giải hệ phƣơng trình:  2 x  y  x   11    Lần – THPT NGUYỄN BÌNH Lời giải tham khảo  x   x  y  x  y  y 1  Hệ đã cho tương đương với  2 2  x  y   x   11  Từ (1) suy y  , vì y<0 thì x-y>0, đó VT(1) > VP( 1) 1  x2   x  y     x  y 1   x2   x  y   y  x  y 1  x2   x  y   x  y  x  y 1  x2  x  y  y x2  x  y  y 0   x2   x  y  x y    x  y 1    x  y  1     x  y 2  x  y  x2  x  y  y    Thế y  x 1 v|o phương trình (2) ta được: x  x   x   11   x  1  x   10  Đặt t  x  1, t  , ta có t  3t  10    t    t  2t  4t     t  Khi đó 2x 1   x  5 3  y  Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y    ;  2 2 2 (x  y)(x  xy  y  3)  3(x  y )  Bài 81: Giải hệ phƣơng trình:  4 x   16  3y  x  Lần – THPT NGUYỄN HUỆ - KHÁNH HÒA Lời giải tham khảo 16 3 (1)  (x  1)  (y  1)3  y  x  Thay y=x-2 vao (2) 4(x  2) 3(x  2) x   22  3x  x    (x  2)(x  2)  x2 2 22  3x  ĐK: x  2, y  VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 45 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT x   4   (x  2)   0(*)  x   22  3x  Xét f(x)=VT(*) trên [-2;21/3],có f’(x)>0 nên h|m số đồng biến suy x=-1 l| nghiệm (*) KL: HPT có nghiệm (2;0),(-1;-3) 2 3 x  xy  y  x  y  2 5 x  xy  y  x  y   Bài 82: Giải hệ phƣơng trình:  Lần – THPT CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU Lời giải tham khảo Nh}n hai vế phương trình (1) với trừ theo vế cho (2), ta phương trình: x  xy  y2  x  3y   2 x  y   (2 x  y)2  3(2 x  y)     2 x  y  Nếu x  y  thì y   x , thay v|o (1) ta được: x   y  7x  5x    x   y    7 Nếu x  y  thì y   x , thay v|o (1) ta được: x   y  x  11x     x   y  7  5 3 4 6 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm l|  0;1 ; 1;  ;  ;   ;  ;  7 7  7   xy   y x  Bài 83: Giải hệ phƣơng trình:  2 y  (2 x  3) x  x   y  x  x   Lần – THPT NGUYỄN SIÊU Lời giải tham khảo Từ phương trình (1) hệ ta có xy   y x   y ( x   x)   y  x 2 x  x2   x (do x   x  x) Thế v|o (2) ta có x   x x   (2 x  3) x  x   x  x   x  x   2( x  1)  1 ( x  1)2   2( x  1)  (1  x) ( x)   2( x) (3) t f (t )  (2t  1) t   2t , f '(t )  t   (2t  1)   t t 2 Xét hàm số VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 46 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT Xét h|m số f (t )  (2t  1) t   2t , f '(t )  t   (2t  1) t t2    t Suy h|m số f(t) đồng biến trên R Phương trình (3)  f ( x  1)  f ( x)  x    x  x  Phương trình (3)  f ( x  1)  f ( x)  x    x  x  Từ đó ta tìm y=1 Vậy hệ có nghiệm (x;y)=( ; 1) 2   y  y  y   xy  x  xy  3x Bài 84: Giải hệ phƣơng trình:   x, y   x  x  x   y    Lần – THPT NGUYỄN SIÊU Lời giải tham khảo Điều kiện x   *  y2  x   Phương trình 1   y  x  1  y  8x  5     y  8x   y2  x     y  8x  *) y  x   kết hợp với điều kiện x   dẫn tới phương trình vô nghiệm *) y  8x  Thay vào   ta phương trình: x  x   13 x     x     x   x    Xét phương trình   : Đặt 3x     2t  3 , t  Kết hợp với phương trình   ta có hệ:  x  32  2t  x  t  x  x  t x  t         2t   x *) Với t  x ta   2t  3  3x   15  97 x  3x    x   x 4 x  15 x     15  97 x  *) Với t  x ta 3x    x   x 4 x  15 x    Khi đó y  10  97 VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 47 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 *) Với 2t   2x ta CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT x  11  73 3x   x    x 4 x  11x   Khi đó y   73 Kiểm tra c{c nghiệm trên thỏa mãn  15  97   11  73  ;10  97  ;  ;6  73  Vậy hệ đã cho có nghiệm  x; y  là  8      2 x  y   x  y   3x  y  Bài 85: Giải hệ phƣơng trình:   (3x  2) y   x  14x y Lần – THPT NGUYỄN TRÃI - KONTUM Lời giải tham khảo * ĐK : x  0, y  * Đặt a  x  y  1, b  3x  y  1, a, b  Từ (1)  2a  2b  a  b  (a  b)   a  b  x  y   3x  y   x  y * Thay v|o (2) : (3x  2) 3x   x  14x x Vì x = không phải l| nghiệm (3) nên : 1 2  (3)        14 Đặt u     u  3, x x x x x  1 Đặt u     u  3, u  x x Từ (3) ta có pt : 2u  4u  3u  26   u  (nhận) * u =     x 1 y  x (3) u Thử lại => hệ có nghiệm l| (1 ; 3) 4 x  y  x   3x   x  x  y   Bài 86: Giải hệ phƣơng trình:  x 12  y  y 12  x  12     Lần – THPT NGUYỄN VIẾT XUÂN Lời giải tham khảo  x     Điều kiện:  y  12  y 12  x     x  x  y    * VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 48 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT Ta có   x 12  y  12 y 12  x   12  x 12  y    12 x  24 x 12  y  12 12  y   y  12  x  x 12  y  12      x  12  y    x  3;  y  12  Thay v|o phương trình 1 ta được: 3x  x   3x   x   2          x  x   x   3x   x   x   1     x2  x     0 x   3x  x   x     x2  x   x  x  Khi đó ta nghiệm  x; y  là  0;12  và 1;11 Bài 87: Giải phƣơng trình: x   log 16x  208x  96  3x   6x  5x  12x  16  45x  81 Lần 1– THPT NGUYỄN VĂN TRỖI Lời giải tham khảo ĐK : x   16x  208x  96  3x   6x  5x  ta có : x   log 12x  16  45x  81     x  6x  13  log x  6x  13  3x   5x   log 2 3x   5x    f x  6x  13  f    3x   5x  *  0, t  nên h|m số f (t)  t  log t t ln đồng biến trên  0;   Từ (*) suy x  6x  13  3x   5x  Xét h|m số : f (t)  t  log t ,(t  0)  f'(t)   x  x  (x  2)  3x    (x  3)  5x     x2  x   x2  x      x  x 1   0 x   3x  x   5x   x   3x  x   5x   x  3 (Do    0, x   )  x2  x    x   3x  x   5x   x  1 x  x     Đối chiếu với điều kiện ban đầu suy phương trình có nghiệm : x  0; x  1 (4 y  1) x   x  y  Bài 88: Giải hệ phƣơng trình:   x  x y  y  Lần – THPT NHƢ XUÂN Lời giải tham khảo Xét phương trình: (4y-1) x   x  y  Đặt: t = x   , ta pt: 2t2 – (4y-1)t + 2y – = VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 49 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT  y  t   1(loai) Giải được:  thay v|o pt (2) ta được: 16y2(y - 1)2+4y2(y  2  x  y  y  t  y  - 1) + y2 – = y  thay v|o pt (2) ta được: 16y2(y - 1)2+4y2(y - 1) + y2 – =  2 x  y  y  y = 1(do y  )  x = x  Vậy nghiệm phương trình là  y   Bài 89: Giải hệ phƣơng trình:      x  y  1 x   2y  2 xy   y  y  x  y    x    x2  x  y   Lần – THPT PHẠM VĂN ĐỒNG Lời giải tham khảo  x  1  ▪ Điều kiện:  y 1  x  x  y   ▪ Đặt a   x  1 ; b  y ;  a, b   thay v|o phương trình (1) hệ phương trình ta được:  a  2b   a  ab  4b2    a  2b  y  x  Thay v|o pt(2) ta được:    x   x  x   x2  x    x   x2  x   x   x 1 t  2  L  Đặt t  x   x  1; t  ta có pt: t  2t     t   N   13 17  Với t  giải ta  x; y    ;  l| nghiệm hệ 4 8  xy   y x  Bài 90: Giải hệ phƣơng trình:  2   y  2( x  1) x  x   x  x Lần – THPT PHAN BỘI CHÂU Lời giải tham khảo Vì x2   x  x2  x | x |  x  0, x  R  x2  x  x  0, x  R Nên (1)  y ( x   x)   y  x 2 x  x2   x Thế y  x2   x vào (2) : VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 50 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT Thế y  x2   x vào (2) :   x   x  2( x  1) x  x   x  x   x x   x  ( x  1) x  x    ( x  1) 1  ( x  1)    ( x) 1  ( x)   (*)     Xét h|m số f (t )  t (1  t  2) t2 f '(t )   t   t2   0, t  R  f đồng biến trên R (*)  f ( x  1)  f ( x)  x    x  x  Với x  1 1   thì y  Vậy nghiệm hệ phương trình l|   ;1   2 x   2y  x  Bài 91: Giải hệ phƣơng trình:    x  xy  x  y  y  5y  Lần – THPT PHAN BỘI CHÂU Lời giải tham khảo ĐIỀU KIỆN: xy  x  y  y  , y      x  2y      xy  x  y  y  y      y  1 0   x  2y  1 1   xy  x  y  y  y      y  1  x  2y      0   xy  x  y2  y  y    Thế 2y  x  v|o (1) ta : x2   x 1  x2    x2      x 1 1  x2   x2    x  2     x      3 x 1 1  x      2   x  2  x  2   1  0   2 x 1 1 x 1 1 x 5 3  x 5 3   3  x  Vậy nghiệm hệ phương trình l| :  2; 12    Vì x  nên x2  ( xy  3) y   x  x5  ( y  3x) y  Bài 92: Giải hệ phƣơng trình:   x  16  2 y    x Lần – THPT PHAN THÚC TRỰC VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 51 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT Lời giải tham khảo 0  x   y  2 Đk:  (*) Với đk(*) ta có x  (1)  ( x  1) ( y  3) y   ( x  1) x     ( y  3) y   ( x  1) x (3) Với x = thay v|o (2) ta được: 2 y    y   Ta có: (3)    31 (loai) y   y   ( x )3  x (4) Xét h|m số f (t )  t  t  f '(t )  3t   0; t  H|m số f(t) l| hs đồng biến, đó: (4)  f ( y  2)  f ( x )  y   x  y  x  thay v|o pt(2) ta được: (4)  f ( y  2)  f ( x )  y   x  y  x  thay v|o pt(2) ta được:  x  2 x   x  16  32  x  16 2(4  x )  x  8(4  x )  16 2(4  x )  ( x  x)   x t  2 2 Đặt: t  2(4  x ) (t  0) ; PT trở th|nh: 4t  16t  ( x  x)    t   x   0(loai )  0  x  x 4 6   y Hay 2(4  x )    32  x  3  x   4 6 ; Vậy hệ pt có nghiệm (x; y) l|:     Bài 93: Giải hệ phƣơng trình: 5x  13  57  10x  3x x   19  3x  x   x  2x  Lần – THPT PHÙ CỪ Lời giải tham khảo  19  3  x  Điều kiện  x   Bất phương trình tương đương  x   19  3x 2 x   x   19  3x 19  3x  2 x 3 x  2x   x   19  3x  x  2x   x  5  13  x   4 x      19  3x   x x 2       x  x    x  5 9 x       x  x   x2  x    13  x  19  3x     VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 52 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT     0  x2  x       x  5 13  x   19  x  9  x             Vì   x  5 9 x       *  19   với x   3;  \ 3  13  x    19  3x      Do đó *  x  x    2  x  (thoả mãn) Vậy tập nghiệm bất phương trình l| S   2;1 x  x  10 x  x   x  x  x   x   Bài 94: Giải bất phƣơng trình: Lần – THPT phú riềng Lời giải tham khảo 2 x  x  10 x  x    x  x  Điều kiện :   x  1 x  x      x  Khi đó  x  (1)  x  x  x   x  x  x   x    Khi đó (1)  x  x  x   x  x  x   x     x2    x2  x   x  x    x2  x   x  x   (2) Xét TH1 : Với x  đó (2) vô nghiệm Xét TH1 : Với x  đó (2) vô nghiệm Xét TH2 : Với x>0, chia hai vế (2) cho x ta : 4  4       x    1  x    2 x      x     (3) x x x x      x   t  , thay v|o (3) ta : Đặt t  x  x x t  1 t  1 2t   t      t  Với t  ta có :  t  1  t  2t    x  1(vn ) x 1 x  x   0 x  x   x  Với t  ta có : x  x  1(vn ) 1 x  x   0 x  x   x  Kết hợp hai trường hợp v| điều kiện ta thấy bất phương trình (1) có nghiệm x=4   x y  x y  Bài 95: Giải hệ phƣơng trình:  2 2   x  y 1   x  y VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 53 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT Lần – THPT phú riềng Lời giải tham khảo Điều kiện: x+y  0, x-y   u  v  (u  v)  u  v  uv  u  x  y   Đặt:  ta có hệ:  u  v    u  v2  v  x  y  uv    uv   2    u  v  uv  (1)  Thế (1) v|o (2) ta có:   (u  v)  2uv   uv  (2)   uv  uv   uv   uv  uv   (3  uv )  uv   uv  Kết hợp (1) ta có:   u  4, v  (vì u>v) u  v  Từ đó ta có: x =2; y =2.(Thỏa đ/k) KL: Vậy nghiệm hệ l|: (x; y)=(2; 2) x  2x    x  1 Bài 96: Giải phƣơng trình: x  2x    x2 2 Lần – THPT PHÚ RIỀNG Lời giải tham khảo ĐK: x  2 Pt x   x4   x  x   x   x  4   x  1 x  2    x2  2x  x2 2  x   2   x  1  x  2x  3   x     x       x  1    x  1    (1)   x   (1) x 1 x22 2  2  (2) Xét pt   t    t   có pt f '  t   3t  4t   0t  Vậy f(t) đồng biến trên x   13 x   f  x  1  x   x    x  x  3x    13 Vậy pt có nghiệm: x = 2, x  2  2 x   xy  y ( x, y  ) Bài 97: Giải hệ phƣơng trình:  y y ( x  y )  y (4 y  x)    Do đó: (2)  f     Lần – THPT QUẢNG HÀ Lời giải tham khảo Điều kiện y  x  y  Trừ vế với vế ta : x  5xy  y  y( xy  y  y  xy )  Nhận thấy y=0 không thỏa mãn hệ Do y>0 ta chia hai vế phương trình cho y2 ta có VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 54 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 x x x x    1 2  4  y y y  y x Đặt  t  t   2; 4 Khi đó ta được: y CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT 2t  5t   t    t   2t  6t  t  2( t   1)  (1   t )   t(t  3)  (t  3) t  t 3  0 t  1 1  t   t 2  (t  3)  2t   0 t   1   t     t 2  Ta thấy  2t    0, t   2; 4 t   1   t   Vậy t=3 suy x=3y v|o phương trình (1) hệ ta y   y  y2   y  x 2 x 2   ;   2 Kết luận hệ phương trình có nghiệm (x; y)    3x  2x  y  x    y  Bài 98: Giải hệ phƣơng trình:  x  y2 1  2x2  y  4x  y  Lần – THPT QUỐC OAI Lời giải tham khảo Điều kiện: y  0;1  3x 0 y  x   3x x 3x  1  x  y (1)      x    y y y y y      Hệ phương trình  x 3x 4x  y  3x  x  y  x  1  2  1   y y y   y  x  a  y   a  2b   3a  2a   Đặt:  Khi đó ta có hệ:   b    3a  2a  4ab   y Cộng theo vế hai phương trình cho nhau, ta được:  a  2b  1  3a  2a  2a  4ab   a  2b  1   3a  2a    a   2b    3a  2a VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 55 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Với a   2b  CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT x 1   x  y  y y Thế v|o (1) ta được:  y 1 3  y  3  y    y   2  y   y   1  1 y y y 2 y y   x   y 0  2 y  2 y  4 0   7  y   x  14 y 2 y  y   11 11  y 4  14 Thay y  ; x  v|o hệ, không thỏa mãn 11 11 a  Với  3a  2a    a 1 x  y 4a  3a   Khi đó: 1   x    x  x  4; y  Hệ phương trình có hai nghiệm:  x; y    0;  ;  4;  9 x  xy  x  y  y  Bài 99: Giải hệ phƣơng trình:   x  y     x  y   x  y Lần – THPT QUỲNH LƢU Lời giải tham khảo Đk : x  y  Nếu x = y thì (2) vô nghiệm nên x > y (2)  x  y  - x  y + – [3(x- y )]2 =   6x  y  1  3x  y 1  3x  y   x  y   7x  y    1  x  y     1  x  y    x  y   x  y     1  x  y   > suy 1–3x + 3y =0 x > y  nên   x  y   x  y  Thay y = x – v|o phương trình (1) ta 1 9x2 + 9x(x - ) + 5x – 4(x - ) + x  = 3  18x2 – 8x + 6x - + x  - = 3  2x(9x – ) + (9x – ) +3( x  - ) =   vì x >  (9x – )  x    =  x =  9 x  1   Với x = 4 thì y = Vậy hệ có nghiệm (x;y) = ( ; ) 9 9 VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 56 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT 2 x  y   y   x  y  x Bài 100: Giải hệ phƣơng trình:   xy  x  11  12  x  y   3x  Lần – THPT QUỲNH LƢU Lời giải tham khảo Điều kiện  x  , y  Ta có 4x   y x  y  4( x  2) y  Dấu “=” xẩy y=4x-8 4x  y   y  8 x   y  8 x  Dấu “=” xẩy y=4x-8 Suy x  y   y  8 x  y  x Dấu “=” xẩy y=4x-8 Như vậy, pt(1)  y=4x-8 Thế v|o pt(2) ta có: x  x  11   x   x    x  x  3      3x  x   x  x  3   3x  x   x  x  3   7   x   2;    3x  x   3x  x   3  1     x  x  3    0  3x  x   x  x      x  x  3    x2  x   ()   1    (3)   x  x   3x  x   13  13 x 2  13 Đối chiếu điều kiện ta có x  , hệ có nghiệm + pt ()  x  x    x    13  ;2 13      +Xét pt(3) 1  7 x   2;    3x  x    10     3x  x   3  3x   7 x   2;  : g ( x)   3x  x   g '( x)   1  0  3x  3x  3 Xét h|m số 7  g ( x)  g     3  3x  x  3 Do đó, 1  7 x   2;  :     hay pt(3) vô nghiệm  3x  x   3x  x   3   13  ;2 13   Vậy, hệ có nghiệm    VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 57 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT  x  xy  2y  1  2y3  2y  x Bài 101: Giải hệ phƣơng trình:  6 x   y   4x  y  1 Lần – THPT SỐ BẢO YÊN Lời giải tham khảo ĐK: x  1   2y2  x  1  x  y    y  x  vì x   x   4x    2y  x  0, x  Thay vào (2) ta x     2x   2x  x   2 Thay v|o (2) ta x   x   4x    x     2x   2x  x   2 4x  13x  10    2x   x     x 2  y 3 x    Vậy nghiệm phương trình l| ( x; y)  (2;3)    8 x  x  x   y y  y   Bài 102: Giải hệ phƣơng trình:  4 xy   y   y  x   5y  12 x     x; y   Lần – THPT SỐ BẢO YÊN Lời giải tham khảo  x  ĐK:  Từ pt (1)  dể pt có nghiệm thì y   y   y  x          PT 1  2 x   2 x   2 x   y3  y  y (*) Xét h|m số f  t   t  2t  4t luôn đồng biến Từ pt (*)   t   có f   t   3t  4t   2t   t    f 2 2x 1  f  y   2x 1  y 2  t  nên f(t)  Từ pt (*)  f 2 x   f  y   2 x   y Thay v|o pt ( ) ta pt y3   y   y   3y  y     Đặt z  y  ta pt y3  z3  3yz2   y  z  y  yz  z2   y  2 z  loại  yz t / m Với y = z ta y  y   y   x  (t / m)  x3  y  3xy ( x  y )  24 y  3x  27 y  14 Bài 103: Giải hệ phƣơng trình:   x, y    x  y   x  y   Lần – THPT SỞ BẮC GIANG Lời giải tham khảo VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 58 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT x   y  4 Đkxđ  Từ (1) ta có ( x  y)3  3( x  y)   y     y     x  y  2 ( x  y)2  ( x  y)  y     y    3     y  x  Suy 2  x  Thế vào (2) ta Thế v|o (2) ta 1 x    x  x3  x  x   x   ( x  4)   x  ( x  5)  ( x  x  2)( x  2) 3 x  1     x2  x  2   x  2       x   x  1    x  1 x   x  3 x 5 x    x    x   x  1     x  1 Với x   y  0; x  1  y  3 KL ( x; y)   1;  3 , ( x; y)   2;0  x   x  x    y    x  1 y  1 Bài 104: Giải hệ phƣơng trình:  3x  x    x  1 y    x, y   Lần – THPT SỞ VĨNH PHÚC Lời giải tham khảo  x  1  y  1 Điều kiện:  x3  x  x   y  2 1  x 1  x  1 y  1   x3  x  x  1  x  1 x 1   y  2 y   x  x     y   y 1  x 1  x 1  Xét h|m số f  t   t  t trên có f   t   3t   0t   x   f  x 1  Nên f     x  y  Thay vào (2) ta được 3x  x   x x  x 1   x 1    x  3  x  6x    x 1  x 1       13 x  x  x    x     9 x  10 x   y 1    x  1  x  x  suy f(t) đồng biến trên  x2 Ta có y  1 x 1 Với x    y  43  13 41  13  y Với x  72 VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 59 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT C{c nghiệm n|y thỏa mãn điều kiện Hệ phương trình có hai nghiệm   x; y      3;   13 41  13  43  ;  &  x; y      72   x2  x   x   x  Bài 105: Giải bất phƣơng trình: Lần – THPT SỞ BÀ RỊA VŨNG TÀU Lời giải tham khảo Điều kiện: x  1 Ta có: x2  x   x   x    2x  1   x  1  x    x  1 (1) Dễ thấy x  1 l| nghiệm bất phương trình Với x  1 , ta có: 1   x  1 x 1  1   x  1 x 1 2x 1 Ta thu BPT: t   2t  x 1 Ta có: t   2t   t  2x 1 10    x   x   1  x  18 x 1  10   Vậy BPT có tập nghiệm: T   1;  18   Đặt t  Bài 106: Giải hệ phƣơng trình:  x2  x  1  x  1  8x  8x  1  x  x  Lần – THPT SỞ HÀ TĨNH Lời giải tham khảo Điều kiện:  x   2x  x  1  x  1  8 x  x  1  x  x          x  x   x  1   x  1   x2  x  Đặt a  2x 1; b   x2  x Phương trình đã cho trở th|nh: a  b  1 b    a  b  2ab  1     2ab   1   5 x  x   x Với a  b , ta có: x    x  x   2 10  x  x  x  x  5 x  x     1  2b  a   2a 2 Với 2ab   , ta có  x  1  x  x    1  x   x  x  1 Phương trình có nghiệm  x     x  Mặt kh{c  x2  x  x 1  x   x  1  x   Suy 1  x   x  x  Do không tồn x để đẳng thức xảy nên phương trình vô nghiệm VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 60 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Vạy nghiệm phương trình l| x  CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT 5 10  ( xy  3) y   x  x  ( y  3x) y  Bài 107: Giải hệ phƣơng trình:    x  16  2 y    x Lần – THPT SỞ LÀO CAI Lời giải tham khảo 0  x   y  2 Điều kiện:  (*) Với điều kiện (*) ta có x  (1)  ( x  1) ( y  3) y   ( x  1) x     ( y  3) y   ( x  1) x (3) Với x  thay v|o (2) ta được: 2 y    y   có: (3)   y2 Ta có: (3)    31 ( Không thỏa mãn điều kiện) Ta  y   ( x )3  x (4) y2   y   ( x )3  x (4) Xét h|m số f (t )  t  t trên ; f '(t )  3t   0, t  Suy ra, h|m số f  t  đồng biến v| liên tục trên Khi đó: (4)  f ( y  2)  f ( x )  y   x  y  x  Thay y  x  v|o (2) ta được:  x  2 x   x  16  32  x  16 2(4  x )  x  8(4  x )  16 2(4  x )  ( x  x)   x t  Đặt: t  2(4  x ) (t  0) ; PT trở th|nh: 4t  16t  ( x  x)    t   x   0(loai )  0  x  x 4 6  y Ta có: 2(4  x )    32  x  3  x   4 6 ;    Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm  x; y     x  3y   xy  y  x  y   Bài 108: Giải hệ phƣơng trình:    x  y   x  14y  12  Lần – THPT SỞ QUẢNG NAM Lời giải tham khảo   x  y  (x  y)(y  1)  2(y  1)  (1) (I)   3  x  y   x  14y  12  (2) Điều kiện: x  8, y  – 1, (x – y)(y + 1)  (*) Nếu (x ; y) l| nghiệm hệ (I) thì y > – Suy x – y  VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 61 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Do đó: (1)  xy xy  20 y 1 y 1 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT xy xy 1   x  2y  y 1 y 1 Thay x = 2y + v|o (2) ta được:  2y  y   (2y  1)2 14y 12  y    2y  4y 10y 11   4( y   2)  3(  2y 1)  4y2 10y      (y  3)    2y  1  (3)  y 1    2y    3 2  , 2y + > –1 Vì 1  y  nên ,   2y  y 1   2    2y   Do đó: (3)  y    y  y 1   2y   x = (thỏa (*)) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x ; y) = (7 ; 3)  2 y  y  x  x   x Bài 109: Giải hệ phƣơng trình:  2    y  2x  y  (x, y  ) Lần – THPT SỞ QUẢNG NGÃI Lời giải tham khảo  3 Điều kiện: x  1; y    ;  Ta có  2 (1)  y  y   x  x  x   x  y  y  2(1  x)  x   x Xét h|m số f (t )  2t  t , ta có f '(t )  6t   0, t   f (t ) đồng biến trên y  Vậy (1)  f ( y)  f (  x )  y   x   Thế v|o (2) ta :  y  1 x 4x   2x2  6x 1 Pt  x   x  12 x     x   x  3(vn ) 2 x     x  2   x    2x    x     x   2(l )    x     y42 Với x      y   Vậy hệ có hai nghiệm   Bài 110: Giải bất phƣơng trình: x  x    x   x x  x   x Lần – THPT SỞ THANH HÓA Lời giải tham khảo Gọi bất phương trình đã cho l| (1) Điều kiện x{c định: x  2 VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 62 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 (1)       x   x x2  x     x   x  2x2  2x   2x  2x  1 2x  2x  x   x2 x  x   1  (2 x  x  5) x2 x CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT 2 2  2x2  2x    x   x  x  x   (Do x  x   0, x  R )  x   x   2( x  1)  2( x  2) (2) Đặt a  x  , b  x  1(a  0) , (2) trở th|nh a  b  a  b  a  b  2a  2b    ab0 2 2 (a  b)  2a  2b (a  b)  x   x   13 Do đó ta có x   x     x  2 x   ( x  ) x  x      13 Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm x   x 1  y    x   xy  Bài 111: Giải hệ phƣơng trình:  (2 x  xy ) 3x   x  3xy     Lần – THPT SỞ HÀ NỘI Lời giải tham khảo  x  ĐK:   x  xy   (1)   y   1 1   y  y   y    (3) x x x x Xét h|m số f (t )  t   t , t  Do f (t )   h|m số đồng biến trên 1 Do đó (3)  f ( y)  f    y  x x Khi đó, (2)  (2 x  7)   3x   x    3x   x    (vì x  không 2x  l| nghiệm) 2  7  , với x   ;   \   2x  3  2 10 2  7   g( x)     , với x   ;   \   2 3x  2 x  (2 x  7) 3  2 2  7  Suy g( x) đồng biến trên  ;  và  ;   3  2  Xét h|m số g( x)  3x   x   Mà g(1)  g(6)  nên phương trình có hai nghiệm x  1; x   1 Vậy hệ có nghiệm l| (1;1);  6;   6 VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 63 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT  x2  xy  17 y  17 x2  xy  y  5( x  y) Bài 112: Giải hệ phƣơng trình:  2 ( x  1) x   y  (6 y  11) x   x     Lần 1– THPT SỞ NAM ĐỊNH Lời giải tham khảo Điều kiện: x  2 Từ (1)  x  y  và VT(1)  ( x  y)2  ( x  y)2  (4 x  y)2  ( x  y)2  ( x  y)2  (4 x  y)2  x  y  x  y  Dấu “=” xảy x  y  Thế x  y v|o pt(2) ta Thế x  y v|o pt(2) ta ( x2  1)   x   2x  (6x  11) x   x2  ( x  x  12) x   x  x  x  x  x( x  2)   x  6( x  2)  x    2x3  x  x2  x 2 x2 6  x2  0  x   x  x  2   0(do x  0)     x2  x2   x2  x Đặt t  , pt trên trở th|nh: 2t  t  t    (2t  3)(t  2t  2)   t  x2   369 x (t / m)  x    x   x  x  x  18     x2  369 (l) x     369  369   369  369 y ; Với x  Vậy hệ phương trình có nghiệm    8 8   2016 x y ( x Bài 113: Giải hệ phƣơng trình: 25 x x x x)( y 2 2 y) ( x, y 18 y y2 ) Lần – THPT SÔNG LÔ Lời giải tham khảo x (1)  2016 ( x   x)  2016 y ( y   y) Điều kiện : | x |  x ln 2016  ln( x   x)   y ln 2016  ln[ ( y)   ( y)] Xét h|m số : f (t )  t ln 2016  ln( t   t ), t  R có f '  t   ln 2016  t2   0, t  , đó x   y 18 x Thay vào (2) ta có : 25 x  x x    (3) x 1 Do đó h|m số đồng biến trên VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 64 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT 18 x thì 18 x  ,7 x   VT (3)  VP(3) (loại) x 1 18 Nếu x   thì 25  9    x x x 1 Đặt t  (0  t  ) ta x 18t  18t  25  9  4t  2t    12   2t   9  4t   t 1  t 1  t  36(t  2)  (t  2)  2(t  2)  0   36  2  (4) t 1  4t   4t   t  t   36  2  (4)  t   4t  36  9 Vì   4t   12   36  VT (4)  0, t   0;  9t    4 1 ,y   t  Từ đó tìm x  2 x  x3  x  Bài 114: Giải bất phƣơng trình: x  x  x  2x2  2x Lần – THPT TAM ĐẢO Lời giải tham khảo HD: Từ phương trình (1) dùng casio nhóm nh}n tử ta có: y  x  x  y  x2  y      y  x 1 TH1: y  x2  thay v|o pt (2), suy pt vô nghiệm TH2: y  x thay v|o (2) ta phương trình: Nếu x      3x  x    x   Đưa dạng h|m:     3x  x    2 x  1  x  x2       2 x  1   3x  2 x   x    1 ĐS:  x; y     ;    5 Bài 115: Giải bất phƣơng trình: x2  x   x2  x3 x2  1 Lần – THPT THẠCH THÀNH Lời giải tham khảo Điều kiện x  3 Bất pt đã cho tương đương với VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 65 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT x x2  x3 x   x2   x x2  x3 x 3 x2  x   x3 x  2 x 3  x2 1    1 x  x    x  3  x  3 x x2  x3  x2   x 3       x  x    x  1   1  2    x  x2   x  x             x  x       x 1   1  x  (Với x  3 thì biểu thức ngoặc vuông luôn dương) Vậy tập nghiệm bất pt l| S   1;1 2 x3  y   x  y  xy  3 Bài 116: Giải hệ phƣơng trình:  2  x  y   xy Lần – THPT THẠCH THÀNH Lời giải tham khảo 2x - 9y3 = (x - y)(2xy + 3)  x3  y  ( x  y)(2 xy  x  y  xy)  Ta có   2 x + y = + xy   x  y  xy  3 3   x3  y x  y 2 x  y  x  y      2 2   x  y  xy   x  y  xy   x  y  xy   x    x  2y y 1     x  2 3 y     y  1 x; y Vậy hệ có nghiệm 2;1 ; x; y 2;  x10  x  y  x y Bài 117: Giải hệ phƣơng trình:  x   y    Lần – THPT THẠCH THÀNH Lời giải tham khảo Điều kiện: y    y   - Xét x=0, từ pt đầu suy y=0, thay x=y=0 v|o pt thứ hai không thỏa mãn (loại) Xét  y  y x  , chia vế pt đầu cho x  , ta x  x       (1) x  x 5 VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 66 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT  y  y - Xét x  , chia vế pt đầu cho x  , ta x  x       (1) x  x Xét h|m số f  t   t  2t , t  Ta có f '  t   5t   0, t  5 Vậy h|m số f  t   t  2t đồng biến trên Do đó (1)  x  y  y  x2 x y   y   (2) Xét h|m số g ( y)  y   y  1, y   1   0, y   Vậy g(y) đồng biến trên khoảng Ta có g ' ( y )  2 y 5 y 1 Thay v|o pt thứ hệ ta được:     ;     Mà g(4)=6 nên (2)  y  x   x  2  y  y  Suy y  x     y   y  3 y  x   xy  x  Bài 118: Giải hệ phƣơng trình:  y  1  x  y  1  x  y      Lần – THPT THANH CHƢƠNG Lời giải tham khảo Điều kiện: y   y  3 y  x   0; xy  0; 1  x  Từ phương trình thứ nhất, ta có được: x   y  x  , thỏa mãn hệ phương trình y  + Xét  + Xét x, y không đồng thời 0, phương trình thứ tương đương với: y   y  3 y  x   3x  xy  x   y   y  3 y  x   x y   y  3 y  x   3x   xy  x  xy  x 0   x  y    y  3 4x  0   y  x    y   y  3 y  x   3x xy  x     yx Thế y  x v|o phương trình thứ hai, ta được: a   x ; a  Đặt  b   x ; b   x  1  x   x  1  x  x  2x  x   x 1      1 x  1 x   x  a  b2 Phương trình trở th|nh:  a  b2   a  b  1   a  b   a  b a  b   a  b   a  b  a  b  1  1     a  b    a  b    a  b     VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 67 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT + Với a  b   x   x  x  (loại) 1 1 5 5  1 x  1 x  x y 2 8  5 5   ; Hệ phương trình có nghiệm:  x; y    0;0  ;   8    + Với a  b    x  xy  x  y  y  y  Bài 119: Giải hệ phƣơng trình:  y  x   y   x    Lần 1– THPT THANH CHƢƠNG Lời giải tham khảo  xy  x  y  y   Đk: 4 y  x    y 1   Ta có (1)  x  y   x  y  y  1  4( y  1)  Đặt u  x  y , v  y  ( u  0, v  ) u  v u  4v(vn) Khi đó (1) trở th|nh : u  3uv  4v2    Với u  v ta có x  y  1, thay v|o (2) ta :  y  y    y  1   y  2 y2  y   y 1  y  ( vì   y2  y   y 1  y  y 1 1   y2    y  2    y2  y   y 1 y 1    y2  y   y 1   0 y     0y  ) y 1 1 Với y  thì x  Đối chiếu Đk ta nghiệm hệ PT l|  5;   x  y  3( x  y )  y ( y  2)  14 Bài 120: Giải hệ phƣơng trình:  27 x  27 x  20x   4.3 y  x  Lần – THPT THỐNG NHẤT Lời giải tham khảo Phương trình (1)  x  3x   y  y  15 y  14 3  x  3x  2  y   32  y  Xét h|m số: f (t )  t  3t liên tục trên R Ta có f ' (t )  3t   với t  R   h|m số đồng biến trên R pt : f ( x)  f (2  y)  x   y  y   x VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 68 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT Thế y = 2-x v|o phương trình (2) ta 27x  x  20x   43  x  3x  1  4(3x  1)  x   43 x  Xét h|m số: g (t )  t  4t liên tục trên R Ta có g ' (t )  3t    h|m số đồng biến trên R Suy ra: g (3x  1)  g (3 x  1)  3x   x   27x  27x  x   x  x   y   27 x  27 x  x    27 x  27 x   0(vn) Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y)=(0;2) 2 2   x  xy  y  x  xy  13 y  2( x  y ) (1)  ( x  y ) x   y y  y y  x  (2) Bài 121: Giải hệ phƣơng trình:  Lần – THPT BÌNH LONG Lời giải tham khảo  x  2  Điều kiện:  y  x  y   Xét y = 0, hệ vô nghiệm nên y kh{c Chia vế (1) cho y ta được: 2 x x x x x          13  2(  1) y y y  y  y x Dat t= (t  1) y PT : 2t  6t   2t  2t  13  2(t  1)  t  2t  3t  4t   t  1(loai) 2   t  1  t      t  2(t / m) Với t = => x=2y, v|o (2) ta được: y y   y2 y  y4 y  2 y   y y   2 y   y4 y  y2 y 4 2 2 y y   y3  y y 2  2    2 22    y    y  y y  y (3) Xét h|m số f(u)=u3+2u với u>0; có f’(u) = 3u2 +2>0, u>0 => h|m số đồng biến      f  y    y  Từ (3)  f    y  y3  y    y  y Hệ có nghiệm (2;1 VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 69 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT  y  x  y   x3  y ( x  xy  y  1)  Bài 122: Giải hệ phƣơng trình:   y  y  x  Lần – THPT BÌNH LONG Lời giải tham khảo y  ( vì y=0 không thỏa hpt)  x  y  1 ( x  1)  ( x  1)( x  x  1)  y ( x  1)( x  y  1) (1)  y  x  y 1  ( x  1)[ x  x  xy  y  y   ] y  x  y 1  ( x  1)[ x  (3 y  1) x  y  y   ] (3) y  x  y 1 Điều kiện :  Xét A = x2 + (3y – )x + 3y2 – 3y + ;  = -3(y - 1)2  x  R => A  x, y  R (3)  x = -1  1  17 y  Thay x = -1 vào (2) ta có : y  y      1  17 (l ) y   1  17 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( - ; ) 2  y  y  4( x  y  1)  xy 2 2 ( x  1) y  x (2 y  1)  x  x  Bài 123: Giải hệ phƣơng trình:  Lần – THPT BÌNH LONG Lời giải tham khảo y  Biến đổi pt ban đầu dạng ( y  2)( y  2)( y   x)    y  2  y  x  TH 1: Với y = thay v|o pt (2) : 8x2  3x   vô nghiệm TH 2: Với y = - thay vào (2): 3x    x  2 suy nghiệm (x; y) =(-2;-2) 2 TH 3: Với y  x 1 thay vào (2): x  x    ( x  )2  ( x  )2   (vn) Kl: hệ phương trình có nghiệm ( x; y)  (2; 2) 2 Bài 124: Giải bất phƣơng trình: (4 x  x  7) x   x  8x  10 Lần – THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN – ĐÀ NẴNG Lời giải tham khảo Điều kiện x  VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 70 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT (1)  (4 x  x  7) x   x  x  14  x  2  x   2   x  2  (4 x  x  7)  x      x    x       x    (4 x  x  7)   x         x  x    x     x2 20  (4 x  x  7) 2  x  x   x  x2 20  x  2    4 x  x   (2)  2 x  x    x   (3)      2  x  v x   4  3  16 x  x  23x  x     x  1 x  1  x  x  1  Lập bảng xét dấu biểu thức VT Khi đó, phương trình (3) có tập nghiệm l|:   48    48  T3   ; 1   ;    ;   4    Kết hợp với (2) v| điều kiện ban đầu, bất phương trình đã cho có tập nghiệm:   48  T   2; 1   ;     x2 2x Bài 125: Giải hệ phƣơng trình: x x2 xy 2x2 xy 3y 4y 3y xy 2y x Lần – THPT HÙNG VƢƠNG Lời giải tham khảo x 2x 2y +) ĐK: x2 xy y +) Ta có PT (1) x x 2x y 2x 2y y 2y 1 x y x x 3y x2 xy 3y 2x x2 xy 2y 1 0(*) , Vì x y 3y x y 1 ,y 2 2x x y x thay v|o phương trình (2) ta có: x 2x2 4x 4x2 2y x 3y 3y nên (*) vô nghiệm +) Với x y x VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 71 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 x 2x2 x x 2x2 x Với Với 4x2 2x 2x 2x2 x 2x2 x 3 (l ) x x x x x 2x2 2x2 x x 2 Hệ có nghiệm x y 2 2x x x +) Kết luận: Hệ có nghiệm l| x y 2x x 2 2x2 x 2x2 x 2x2 2x CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT x 7x2 x 12 x 12 x 30 (l ) 2  x  xy  y  Bài 126: Giải hệ phƣơng trình:  2 x  y  ( x  y )(2 xy  3) Lần – THPT LÊ HỒNG PHONG Lời giải tham khảo Thay (1) v|o (2) ta x3  y  ( x  y )(2 xy x  xy  y )  x  xy  y   x  xy  y    3 3  x  y  x  y x  y (*)    y2   x  y  x   x  2  v   y   y  1 KẾT LUẬN:  2x  2x   x  y  y  x  y Bài 127: Giải hệ phƣơng trình:   x   xy  y  21 Lần – THPT LỘC NINH Lời giải tham khảo Điều kiện x{c định x  1, x  y  Khi đó 2x  2x   x  y  y  x  y  2x  xy  y  2x  x  y    x  y  2x  y     xy    x  y   2x  y     2x  x  y 2x  x  y   Do x  1, x  y   2x  y  , từ đó suy x  y Thay vào (2) ta có x   x  x  21  x    x   x  21  VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 72 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT   x2   x  2   x2   (3) x  21    x 1 1   x2   x   1  Vì x     , từ (3) suy x  2 x  21   10  x  91  Vậy nghiệm hệ phương trình l|  2;  Bài 128: Giải bất phƣơng trình: 5x  5x  10 x    x   x   x3  13x  x  32   Lần – THPT LỘC NINH Lời giải tham khảo Điều kiện x  2 Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình (5x  5x  10)   x    (2 x  6)  (5x2  5x  10)     x    3(5x  5x  10)  2(2 x  6)  x3  13x  x  32 x    (2 x  6)   x    x3  x  x  10   x  x  10   x  2    x7 3  2x   x    (*) x22  1 2x  2x  Do x  2  x      và vì x      x  (1) x2 2 x2 2 1 Do x  2  x        và vì 5x2  5x  10  x  x7 3 2 x  x  10 x  x  10 x  x  10 2    x x2  x    x  (2) x7 3 x7 3 x  x  10 2x    x   Do đó (*)  x    x  Từ (1) v| (2)  x7 3 x2 2 Kết hợp điều kiện x  2  2  x  Bài 129: Giải hệ phƣơng trình: x   3x  x   x x  x  Lần – THPT Bố Hạ Lời giải tham khảo Điều kiện: x  v x   Phương trình: x   3x  x   x x  x   x   3x  x   x x  x         3x  x   3x  x    x  x   x x  x   x    3x  x    x2  2x   2x  0  3x  x     3x  x      x  x   x   x  x   x VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 73 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT 3x  x   3x  x   1    x   x  x  x2  x   4x2 3x  x     1 Vậy, phương trình đã cho có nghiệm x  2 (x  x  2)y  x  Bài 130: Giải hệ phƣơng trình:  2 (x  4x  1)y  (2x  x)y  x  Lần – THPT NGUYỄN DU Lời giải tham khảo + (x ; y) = (0 ; 0) l| nghiệm (I) + Mọi cặp số (x ; 0) v| (0 ; y) với x0, y0 không phải l| nghiệm (I) + Trường hợp x  0, y  0:  x y  xy  2y  x   x(xy  1)  2y  xy (I)    2 2  x (xy  1)  xy(xy  1)  y  5x y  x y2  4x y  y  2x y  xy  x   (x  )  1  y x    x     x         y  y  x x2  a  2b  1 Đặt a  x  , b  (b ≠ 0), hệ trên trở th|nh: (II)  2 y x a  ab  b  Giải hệ (II) được: (a ; b) = (3 ; –1) và (a ; b) = (–7 ; 4)  1    1 + Với (a ; b) = (–7 ; 4) thì:  x; y    ;    29  + Với (a ; b) = (3 ; –1) thì:  x; y    1;   xy  x   2 2x  x y  x  y  2xy  y  Bài 131: Giải hệ phƣơng trình:  (x, y  R) Lần – THPT NGUYỄN DU Lời giải tham khảo (2) <=> x²(2x – y + 1) – y(2x – y + 1) = <=> (x² – y)(2x – y + 1) = <=> y = x² y = 2x + Với y = x², (1) trở th|nh x³ + x – = <=> (x – 1)(x² + x + 2) = <=> x = → y = 1  →y=  1  1 ; 5), ( ;  5) } Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm: S = {(1; 1), ( 2 Với y = 2x + 1, (2) trở th|nh 2x² + 2x – = <=> x = VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 74 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT Bài 132: Giải bất phƣơng trình: 5x2  5x  10 x    2x  6 x   x3  13x2  x  32 Lần – THPT NGUYỄN VĂN TRỖI Lời giải tham khảo Điều kiện x  2 Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình (5x  5x  10)   x    (2 x  6)  (5x2  5x  10)     x    3(5x  5x  10)  2(2 x  6)  x3  13x  x  32 x    (2 x  6)   x    x3  x  x  10   x  x  10  2x    x  2    x    (*) x22  x7 3  1 2x  2x  Do x  2  x      và vì x      x  (1) x2 2 x2 2 1 Do x  2  x        và vì 5x2  5x  10  x  x7 3 2 x  x  10 x  x  10 x  x  10    x2  x    x    x  (2) x7 3 x7 3 x  x  10 2x  Từ (1) v| (2)    x   Do đó (*)  x    x  x7 3 x2 2 Kết hợp điều kiện x  2  2  x  2  2 y  y   y   x  x  xy Bài 133: Giải hệ phƣơng trình:    x  y  y  3x   3x  14 x   ; x, y  R Lần – THPT THANH HOA Lời giải tham khảo x   Đk:  y  (nhận thấy x = và y = không thỏa hệ đã cho) 2 y  3x    (1) : y  y   y   x  x  xy  y 1 x  x  xy  y  y  y 1  x  ( y  x  1)( x  1  x  y  1)  0; (  x  y   0,   ) y 1  x y 1  x y 1  y  x 1 (2) : x  y  y  3x   3x  14 x    3x    x  3x  14 x    ( 3x   4)  (1   x )  ( x  5)(3 x  1)   ( x  5)(   3x  1)  3x     x  x5 VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 75 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT x  y  Vậy nghiệm hệ l|:   x x  y  y  x  x3  x  Bài 134: Giải hệ phƣơng trình:   x  y  x   y ( x  1)   Lần – THPT THANH HOA Lời giải tham khảo x  y  Đk:  (1)  x( x  y  x  x)  ( x  y )  x yx  x  y   ( x  y )( x  y  x  x  x)  x y x x x  Vì  Do đó: (1)  x  y Thay vào pt (2) : x  x  x   x( x  1)  y  2 Đặt t  x  x  1(t  0)  t  x   x( x  1) Pt trở th|nh t2+1+2t=9 hay t2+2t-8=0 lấy t=2  x   x   25 x  x( x  1)   x   x 16 4 x  x  25  20 x  x  25 25 Vậy hệ có nghiệm nhất( ; ) 16 16   2 x  xy  y  y xy  y  y  xy  Bài 135: Giải hệ phƣơng trình:   3y  x2  2x  x  x  y   Lần – THPT CHUYÊN BIÊN HÒA Lời giải tham khảo Điều kiện: y  x  y  Với y  thì x  y  0,(1)  x  xy  y  y Với   xy  y  y  xy  x x x x  2   1 2  4  y y y y x Đặt  t  t  [2; 4] y  2t  5t   t    t   2t(t  3)  t  2( t   1)  (1   t )   2t(t  3)  (t  3) t  t 2 1  t3 1  t   t   x  3y Thay x  3y v|o (2) ta được: VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 76 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016    x  x2  2x  x  x x2    x  x   x  x2    Xét h|m số f (t )  t  t  , f (t )   t   f t2 t2  CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT   0, t  x   y  x  f  x  x  x   x   y      1 Vậy hệ phương trình có nghiệm (0; 0),  1;   x 1 Bài 136: Giải phƣơng trình:    .log x  x   x.log (3 x) Lần – THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH Lời giải tham khảo Điều kiện: x  Phương trình đã cho tương đương với x x2 1   .log x  x   x.log (3 x) (1) Xét hai trường hợp sau: x  x 1   .log x  x     x.log (3 x) (1) Suy (1) không thỏa mãn TH2: x  Ta có x  x2  và 3x thuộc khoảng [1; ) Xét h|m số f (t )  2t.log t trên khoảng [1; )  với t thuộc khoảng [1; ) t ln Suy f (t) đồng biến trên khoảng [1; ) Ta có f (t )  2t ln 2.log t  2t Do đó (1) tương đương với x  x   3x Từ đó giải ta x  Vậy phương trình đã cho có nghiệm x   x  y  x  y  2x  3y   3 2 Bài 137: Giải hệ phƣơng trình:    xy  x  2015  x  x  y   2016 x  Lần – THPT LIÊN SƠN Lời giải tham khảo 8  xy  x  ĐK :  x  x  y   1  y  y  y   x3  x  x   y  y  y    x3  3x  3x  1   x  x  1  3x   y  y  y    x  1    x  1    x  1 Xét h|m số f  t   t  2t  3t , t  Có f '  t   3t  4t   t  , suy f  t  đồng biến trên VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 77 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT Ta 1  f  y   f   x  1  y   x  Thay y   x  vào   v| rút gọn phương trình x   2015  x   2016 x * x   x   2016 x  2015   x  Ta có Xét h|m số g  x   x g'  x   x 8 x   x   x   2016 x  2015 , x  x x 3 2 2015 2016  2016 x2   x2  x 2015 2016   x  3   2016  x  2015 2016  2015  ;    2016  Suy g  x  nghịch biến trên  Suy phương trình g  x   (Phương trình (*)) có tối đa nghiệm Mặt kh{c g 1  Từ đó ta x  l| nghiệm phương trình (*) Với x   y  2 (thỏa mãn điều kiện ban đầu) Vậy hệ đã cho có nghiệm  x; y   1; 2  3 2  2  x  3x   y  y    x  y   x    y    Bài 138: Giải hệ phƣơng trình:   y  3x  y   x  y   x  x  Lần – THPT NGUYỄN KHUYẾN Lời giải tham khảo HD: Từ phương trình (1) hệ ta có c{c đ{nh gi{: x  3x  3 x  3x   x  3x  1.1  và y2  3y  2 3 y  y   y  y  1.1  x  3x  y  y  2  Từ (1) suy ra:  x  y   x  1  x  3x   y  y   3        x  y    x  y  Thay y   x v|o phương trình (2), liên hợp ta tìm nghiệm:  1   x; y    ;   ,  3;3  2   VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 78 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT  5 x  26 x  44 x  20  1  y  y   y  Bài 139: Giải hệ phƣơng trình:    x  x   x 1  6x  3y   Lần – THPT THỪA LƢU Lời giải tham khảo Đưa phương trình (1) dạng h|m số: 5 x  2   x  2    y 1   y 1   y  x2  x  Thay v|o phương trình (2) ta phương trình: x2  x   x   3x2  x  19  Chuyển vế bình phương liên tiếp giải phương trình bậc ( viet đảo + casio) đặt  23  341 353  19 341 y x  2 ẩn phụ đưa bậc 2,< thử lại có nghiệm:   23  341 353  19 341 y x  2   x   x  x   3y 1 Bài 140: Giải hệ phƣơng trình:   y   y  y   x 1 Lần 1– THPT ISCHOOL – KHÁNH HÒA Lời giải tham khảo u  u2   3v (1) Đặt u = x – , v = y – , hệ trở th|nh  v  v   3u (2) Trừ (1) v| (2) vế theo vế ta có u  u2   3u  v  v2   3v (*) Xét h|m số f (t)  t  t   3t trên R , f ' (t )   t t 1  3t ln  0, t  R Do đó (*)  f (u)  f (v)  u  v Với u = v thay v|o (1) ta u  u2   3u  1 u  u 1     3u  3u u2   u  1(**)    Xét h|m số g(u)  3u u2   u , g' (u)  3u u2   u  ln      0, u  R u2   Mặt kh{c g(0) = đó (**) có nghiệm u = Với u =  v=  x = y = Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (1;1)  2x  y   3y   x  x  2y Bài 141: Giải hệ phƣơng trình:  x  x  3y  17  x   2x 3y    Lần – THPT THUẬN THÀNH Lời giải tham khảo VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 79 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT x    y   ĐK:  2x  y     x  2y  1  2x  y   x  3y   x  2y  * Nhận xét:   2x  y   x   2x  y   x   y   L   x      x   3y  1   - Nếu  Thay v|o PT(2) thấy không thỏa mãn   x  2y  y     3y   x  2y  x  y 1 x  y 1   0 2x  y   x 3y   x  2y - Nếu  x  y     2x  y   x  3y   x  2y + TH1: x  y    y  x  Thế v|o PT (2) ta được: x  4x  14  x   2x 3x   (3) ĐK: x  (3)  6 x    x  16    x  3x    3x    x  4x       9x      x  4x      1   x   x  16 3x   3x   6x   3x   2   x  2   0 x   x  16 3x   3x        3x   2 0   x  2   x   x  16 3x   3x        x  (TM)  y  (TM) + TH2: 2x  y   x  3y   x  2y + TH2: 2x  y   x  3y   x  2y  2x  y   3y   x  x  2y Ta có:   2x  y   x  3y   x  2y Trừ hai vế tương ứng hai phương trình ta được: VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 80 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT x  3y   3y  x  Thế vào PT (2) ta được: Thế v|o PT (2) ta được: x  2x  16  x   2x x  PT(4)     x 7 3  x  x  x     x    x   x  x   (4) ĐK: x  0 (vô lý)  PT vô nghiệm Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (2; 1) Bài 142: Giải hệ phƣơng trình: x  2  y  y  x  y   x  x  y  2 x  y 3 2  9.22 x 6 y 3  3 x  x  y 1 .3x 3 y  18.4 x  x 2 y Lần – THPT TĨNH GIA Lời giải tham khảo  2 y  x  y Phương trình (1)  y  x  y y  x  y    3 y  x  y Từ :   2  x x2 y   x x2 y 1 x x2 y  .22 x  y   22 x  y   x x2 y  x 3 y    1  x x2 y x x2 y 3 x 3 y  .3x 3 y   x x2 y  1 3x 3 y    x 3 y   x  x  y  x  3y  x  y   2 y  x  y  x  12  4 y  y  x   TH1:   y  2  x  x  y  x  y  y   x  y 9 y  y  x  x  3 y  x  y   x  3y     TH2:   x  x  y  x  y  y  y   x  y  VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 81 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT  x  y   y  3x  Bài 143: Giải hệ phƣơng trình:  2  y   y   x  x  xy  y Lần – THPT TÔ VĂN ƠN Lời giải tham khảo   x y 3 Ta có hệ phương trình  y  3x  (1) 2   y   y   x  x  xy  y (2) Điều kiện: y  1, x  0, y  x (2)  y   x  ( y  y  1)  x  ( y  xy  y )  y 1 x   ( y  1)  x  y ( y  x  1)  y 1  x    ( y  x  1)  y   x    y 1  x     y   x  0, y  1, x    y  x   Do y 1  x   +) Thế y v|o (1) ta x  x   x  x    (3) Xét f ( x)  x2  x   x2  x  , f ' ( x)  2x  x  x 1 Xét g (t )  t t 3  2x  x  x 1 , g '(t )  (t  3)3 2x   (2 x  1)   0, t   2x  (2 x  1)  suy g(t) đồng biến trên Do 2x   2x  nên g (2x  1)  g (2x  1) suy f '( x)  g (2x 1)  g (2x 1)  0, x  Do đó f (x) đồng biến trên , nên (3)  f ( x)  f (2)  x   y  Vậy hệ đã cho có nghiệm ( x; y)  (2;3)  x( x  y )  x  y  y ( y  1) Bài 144: Giải hệ phƣơng trình:  2  x y  x  7( x  y )   xy  x  Lần – THPT TÔ VĂN ƠN Lời giải tham khảo +ĐK x+ y  ; y  + y = hệ không có nghiệm + y > , ta có : x y  y  y  x  y  y   ( x  y )( x  y )  x  y  y  )0 x = y  ( x  y )( x  y  x  y  2y + Ta có : x3  x  14 x   x  x   ( x  1)3  3( x  1)  8x2  8x   3 8x2  8x  + Xét h|m số f(t) = t3 + 3t trên R , y' = 3t2 + > 0, t thuộc R VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 82 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT Mà f(x+1) = f ( 8x2  8x  8)  x+1 = x  x   x = Vậy hệ có nghiệm (1;1) (1  y)( x  y  3)  x  ( y  1)3 x  Bài 145: Giải hệ phƣơng trình:    x  y  x   2( y  2) 3 ( x, y  ) Lần 1– THPT TÔN ĐỨC THẮNG Lời giải tham khảo  x  y   x  y  ĐKXĐ:   x  1, y   x  0, y  Nhận xét x  1, y  không l| nghiệm hệ Xét y  thì pt (1) hệ (I) x  x( y  1)  3( y  1)  ( y  1) x( y  1)   x  x x x t , t  Khi đó, pt (1) trở thành:  3 0   y 1 y 1  y 1  y 1 x t , t  Khi đó, pt (1) trở thành: y 1 t  t  t     t  1  t  t  2t  3   t  Với t = 1, thì x   y  x  , v|o pt(2), ta y 1 x  x   x    x  1  x  x    x    x  1       x2  x 1    x  x 1   0 2 3 x3      x  1 x    x  1       x  x  1      0  x    x  1   x2  x 1 x      x  1 1 1 3 Với x  y 2  x2  x    x   x  1  1   ;    Đối chiếu ĐK, hệ phương có nghiệm :  x; y      y  y  y  x  x  13x  12 Bài 146: Giải hệ phƣơng trình:  x   y     Lần 1– THPT TRẦN BÌNH TRỌNG Lời giải tham khảo Điều kiện: x  y   VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 83 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT t  Đặt t = x  y  (t  0) Phương trình (1) trở thành : 2t – t – =   t    loại   t  Phương trình (1) trở th|nh : 2t2 – t – =   t    loại   x  y  + Hệ   2  x  y  3xy  x  x    1 y  y  1   KẾT LUẬN: 2   2x  2x   x  y  y  x  y Bài 147: Giải hệ phƣơng trình:  x   xy  y  21   Lần 1– THPT TRẦN PHÚ Lời giải tham khảo Điều kiện x{c định x  1, x  y  Khi đó 2x  2x   x  y  y  x  y  2x  xy  y2  2x  x  y    x  y  2x  y     xy    x  y   2x  y     2x  x  y 2x  x  y   Do x  1, x  y   2x  y  , từ đó suy x  y Thay vào (2) ta có x   x  x  21  x    x   x  21  x   x  x  21  x    x   x  21    x2   x  2   x 2   (3) x   x  21      x2 Vì x     x   1    , từ (3) suy x  2 x  21   10  x  91  Vậy nghiệm hệ phương trình l|  2;  Thay vào (2) ta có  x  xy  2y  1  2y3  2y  x Bài 148: Giải hệ phƣơng trình:  6 x   y   4x  y  1 Lần – THPT TRẦN PHÚ Lời giải tham khảo ĐK: x  1   2y2  x  1  x  y    y  x  vì 2y  x  0, x  Thay v|o (2) ta x   x   4x    x     2x   2x  x   2 VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 84 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT 4x  13x  10    2x   x     x 2  y 3 x    Vậy nghiệm phương trình l| ( x; y)  (2;3) 2  xy  y  2y  x   y   x Bài 149: Giải hệ phƣơng trình:   y  x  y   x    Lần – THPT TRẦN QUANG KHẢI Lời giải tham khảo Điều kiện: x  0,  y  6, 2x  3y   (*) x  không l| nghiệm hệ phương trình  y   x  Khi đó, y  Nhận thấy  PT (1)  x(y  1)  (y  1)2  y 1  x y 1  x Khi đó, PT (1)  x(y  1)  (y  1)2  y 1  x y 1  x   0  (x  y  1)  y     y   x    x  y    y  x  (do (*)) Thay v|o PT (2) ta được:  x  5x   2x  ĐK: /  x   (7  x)   x  3(x  5x  )     (4  5x+x )   0   x  (7  x) 5x   x   x   y   x  5x+4    x   y  Vậy nghiệm hệ phương trình l|: (1; 2), (4; 5)  x3  y  y  x  y   Bài 150: Giải hệ phƣơng trình:   x  x   x   y ( x, y  ) Lần – THPT TRẦN QUÝ CÁP Lời giải tham khảo Điều kiện: x  2 (1)  x3  x   y  y  y  x3  x    y  1   y  1  Xét hàm số f t   t  t  trên  2;   Xét h|m số f  t   t  t  trên  2;   Ta có: f '  t   3t   0, t   2;   Mà f  t  liên tục trên  2;   , suy h|m số f  t  đồng biến trên  2;   VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 85 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT Do đó: x  y 1 Thay y  x  v| phương trình (2) ta được: x3   x    x3       x     x  2 x2  2x    x2 2   x2 2 x2 2     x  2 x  2x     x  2  x2  2x    x22 x2 2   x2   x  2 y 3 2   x2  x    x2  x   (*) x22 x2 2     x  2      Ta có VT  x  x    x  1   3;VP     0     1, x  2;   x2 2 Do đó phương trình (*) vô nghiệm Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm  x; y    2;3 2  (2 x  x  1)(2 y  y  1)  Bài 151: Giải hệ phƣơng trình:  2   x  x   y  3y  x, y   Lần – THPT TRẦN PHÚ – VĨNH PHÚC Lời giải tham khảo y  y   x   x  y  (2 y)   (2 x)   (2 x) (*) Xét h|m số f (t )  t  t  trên R Ta có f '(t )   t t 1  t 1  t t 1  0, t suy h|m số đồng biến trên R (*)  x   y (*)  x   y Thay v|o (2) ta  Đặt 3 x  x   x  3x  x4  x2  4( x2  1)  3x  ( x  1) x2 1 4   (chia vế cho x vì x=0 không thỏa mãn) x x ( x  1)  t PTTT: 4t  t    t  x  1 x  ( x  1)   x2   x  x2  x     Với t=1 suy x  1 x   Vậy, hệ phương trình đã cho có cặp nghiệm  x; y  Bài 152: Giải bất phƣơng trình:  1  y    1  y   x2  x  x  x 1  2x 1  VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 86 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT Lần – THPT TRIỆU SƠN Lời giải tham khảo - ĐK: x  1, x  13 x 1  - Khi đó: x2  x  x  x2  x   x    3 2x 1  2x 1  1  x  2  x 1  2x 1   ,  * - Nếu x     x  13 (1) thì (*)   2x  1  x    x  1 x   x  Do hàm f (t )  t  t l| h|m đồng biến trên f    2x   f  , mà (*): x   x   x   x3  x  x        DK(1)  VN    0;   2     x     1  x  13 (2) Suy ra: x   ; - Nếu thì (2*)   2x  1  x    x  1 x   x  Do hàm f (t )  t  t l| h|m đồng biến trên , mà (2*):   1  x    f x   f x   x   x      x  13     x  1   x  1 1   DK(2) 1   ;    ;13  Suy ra: x   1;0    x   1;0       1   ;13  -KL: x   1;0          x x  y  y  x  x3  x (1)  Bài 153: Giải hệ phƣơng trình:  (2)  x  y  x   y ( x  1)   Lần – THPT DÂN LẬP LÊ THÁNH TÔN Lời giải tham khảo x  y  Đk:  (1)  x( x  y  x  x )  ( x  y )  x yx x y x x 2  x  y   ( x  y )( x  y  x  x  x)  ( x  y  x  x  x)  0(vn) VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 87 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT Do đ ó x=y thay v |o pt (2) : x  x  x   x( x  1)  Đ ặt t  x  x  1(t  0)  t  x   x( x  1) Pt trở th|nh t2+1+2t=9 hay t2+2t-8=0 lấy t=2  x   x   25 x  x( x  1)   x   x 16 4 x  x  25  20 x  x  25 25 Vậy hệ có nghiệm nhất( ; ) 16 16 ( xy  3) y   x  x5  ( y  3x) y  Bài 154: Giải hệ phƣơng trình:   x  16  2 y    x Lần – THPT TƢƠNG DƢƠNG Lời giải tham khảo 0  x   y  2 Đk:  (*) Với đk(*) ta có x  (1)  ( x  1) ( y  3) y   ( x  1) x     ( y  3) y   ( x  1) x (3) Với x = thay v|o (2) ta được: 2 y    y   Ta có: (3)    31 (loai) y   y   ( x )3  x (4) Xét h|m số f (t )  t  t  f '(t )  3t   0; t  H|m số f(t) l| hs đồng biến, đó: (4)  f ( y  2)  f ( x )  y   x  y  x  thay v|o pt(2) ta được:  x  2 x   x  16  32  x  16 2(4  x )  x  8(4  x )  16 2(4  x )  ( x  x)   x t  2 2 Đặt: t  2(4  x ) (t  0) ; PT trở th|nh: 4t  16t  ( x  x)    t   x   0(loai )  0  x  x 4 6   y Hay 2(4  x )    32  x  3  x   4 6 ; Vậy hệ pt có nghiệm (x; y) l|:     y y 1 3   x 2x Bài 155: Giải hệ phƣơng trình:  x  x2  y  y 1  Lần – THPT VĂN GIANG VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 88 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT Lời giải tham khảo y y 1  y  x   3x y  1   x   x 2x Điều kiện: x  0; y    y  1  x y   x   y 1  x  y 1 1  y 1 y 1 x  3 20    x  y 1  y 1 x x  2   x Với x  y  thay v|o phương trình (2): y 1  17 y 1  y 1    y  y  5y   Suy x   17 ( thoả mãn) Với x  y  thay v|o phương trình (2) Với x  y  thay v|o phương trình (2) y 1 y Ta được:    y  Do y      Vậy phương trình vô nghiệm 2  x   17  Kết luận: Hệ có nghiệm nhất:   17 y    x  xy  x  y  y  y  ( x, y  ) Bài 156: Giải hệ phƣơng trình:  ( y  x)( y  1)  ( y  2)  x  Lần – THPT VẠN NINH Lời giải tham khảo  xy  x  y  y  ĐK:   x  1 Từ ( 1) ta có: ( x  y )  ( x  y )( y  1)  4( y  1)   x y x y 3 4 0 y 1 y 1 x y   x  y  (3) y 1 y  ( x  1)   (4) Từ ( 2) ta có: ( y  2)(  x  1)  ( x  1)( y  1)  y 1 x 1 1 t2   f , (t )    0; t  1  f (t ) đồng biến trên  0;   Xét hàm f (t )  t 1 (t  1) y  Do đó từ (4) ta có: f ( y)  f ( x  1)  y  x    (5)  x  y 1 (Vì y  1 không thoả (2) )  Từ (3) v| (5) giải : y   (loại) ; y   (nhận)  x   Hệ có nghiệm : ( x   ; y  1 ) VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 89 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT  x  y  x  y  Bài 157: Giải hệ phƣơng trình:  2 2  x  y    x  y Lần – THPT VẠN NINH Lời giải tham khảo Điều kiện: x+y  0, x-y   u  v  (u  v)  u  v  uv  u  x  y   Đặt:  ta có hệ:  u  v    u  v2  v  x  y  uv    uv   2    u  v  uv  (1)    (u  v)  2uv   uv  (2)   Thế (1) v|o (2) ta có: uv  uv   uv   uv  uv   (3  uv )  uv   uv  Kết hợp (1) ta có:   u  4, v  (vì u>v) u  v  Từ đó ta có: x = 2; y = 2.(Thỏa đ/k) KL: Vậy nghiệm hệ l|: (x; y)=(2; 2) 4 x  y  x    3x  y  x  x  Bài 158: Giải hệ phƣơng trình:   x  x  11x  y x   y  12x  12  y Lần – THPT VIỆT TRÌ Lời giải tham khảo Phương trình (2) tương đương với x    x  y  12  x   y  12  x Thay v|o phương trình 1 ta được: 3x  x   3x   x        x  x   x   3x   x   x   1     x2  x     0 x   3x  x   x     x2  x   x  x  Khi đó ta nghiệm  x; y  là  0;12  và 1;11  x    x  1 y    x   y  y   Bài 159: Giải hệ phƣơng trình:   x  8 y  1    y  2 x    x  4x    Lần – THPT XUÂN TRƢỜNG Lời giải tham khảo Điều kiện x  1; y  VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 90 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Đặt CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT x   a; y   b  a, b  0 , từ (1) ta có: a  ab  a     b    b  a  b  ab  b  a  b    a  b 1  2a  b    a  b (do a, b    2a  b   x 1  y2  y  x3 Thế v|o (2) ta được:  x  8 x     x  1 x2  x  x    x4    x  x      x 1   x 1 x 1  + x   y  11; + *    x  8 x    x  1 x  8 x2  4x   x 1   *  x    x     x  1  x  x    x 1    x 1  2  3   x    3  x    3 (**)    Xét h|m số f  t    t  3  t  3 với t  biến trên có f '  t    t  1  t  nên f  t  đồng x  x   f  x  2  x   x    x   x  4x  x   13 (T/M)  x x  x    Do đó **  f x    13 11  13 y 2   13 11  13  ;    Vậy hệ đã cho có nghiệm  x; y  là  8;11 và   x  y   y  3x  Bài 160: Giải hệ phƣơng trình:  2  y   y   x  x  xy  y Lần – THPT YÊN PHONG SỐ Lời giải tham khảo + Đk y  1, x  0, y  3x + (2)  y   x  ( y  1)2  x  y  xy  y    ( y  x  1)     y 1 x   y 1  x    y  x       y   x  0y  1, x   y 1  x  + Thế y = x + v|o pt(1): x  x   x  x    (3) VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 91 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT Xét hàm số f ( x)  x  x   x  x  f '( x )  2x  x2  x  Xét h|m số g(t) =  2x 1 x2  x  t t 3 2x   , g’(t) = (2 x  1)   t 3   2x 1 (2 x  1)   0t  R nên hs g(t) đồng biến trên R Do 2x + > 2x – nên g(2x + 1) > g(2x – 1), suy ra: F’(x) = g(2x + 1) - g(2x – 1) >  x  R Do đó h|m số f(x) đồng biến trên R, nên (3)  f(x) = f(2)  x = Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (2; 3) Bài 161: Giải bất phƣơng trình:  x2  20  x  x2  Lần – THPT YÊN LẠC Lời giải tham khảo Bất phương trình tương đương: x   x  x  20    4x   4x    x  2    1  x  20    4x   Từ Bất phương trình ban đầu suy ra: x   x2  20  x2    x  Do đó 4x  x2    4x  x  20     x  8   x  20  x  x2    x  20   1  Nên nghiệm bpt l|: x  Bài 162: Giải hệ phƣơng trình: x 3 9 x  x x 1 x  Lần – THPT YÊN THẾ Lời giải tham khảo Bất phương trình tương đương: VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 92 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 x 33  x 1 x   x 1   x  x x 1  x    x   x 1   x 0 x x 1     x 1   1  x x CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT  0 0  x 8 x 1   0 x  x 1  1  x  x 8  00 x8 x   1  x  y  x  1  x  y  y Bài 163: Giải hệ phƣơng trình:    x  x  20  171y  40  y  1 y    Lần – THPT YÊN THẾ Lời giải tham khảo Phương trình: 1  x  y  x  1  y  x  y    1 y 0   x  y   x  y   x  y  x  1  y x y Thay v|o pt (2) ta được: x3  x  20  171x  40  x  1 x     x   x    x   x   x  27 x  12    x   x    x  11  29  y  11  KẾT LUẬN:  x  y   Bài 164: Giải hệ phƣơng trình:  y  3x  2  y   y   x  x  xy  y Lần – THPT YÊN PHONG SỐ Lời giải tham khảo + Đk y  1, x  0, y  3x + (2)  y   x  ( y  1)2  x  y  xy  y    ( y  x  1)     y 1 x   y 1  x    y  x       y   x  0y  1, x   y 1  x  VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 93 TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT + Thế y = x + v|o pt(1): x  x   x  x    (3) Xét h|m số f ( x)  x  x   x  x  f '( x )  2x  x  x 1  2x 1 x  x 1 t Xét h|m số g(t) = t 3 2x   , g’(t) = (2 x  1)  3  t 3   2x 1 (2 x  1)   0t  R nên hs g(t) đồng biến trên R Do 2x + > 2x – nên g(2x + 1) > g(2x – 1), suy ra: F’(x) = g(2x + 1) - g(2x – 1) >  x  R Do đó h|m số f(x) đồng biến trên R, nên (3)  f(x) = f(2)  x = Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (2; 3)  x3   x  y 2  xy  y  x    Bài 165: Giải hệ phƣơng trình:    y x  x   x   x y   Lần – THPT XUÂN TRƢỜNG Lời giải tham khảo Điều kiện: y  x  y (1)   x  y   x  1    +) Với x  1, thế vào (2) ta được:  x  1 1  1 y         y (vô nghiệm)  +) Với x  1, thế vào (2) ta được:   y  +) Với y  x , thế vào (2) ta được:   x       y (vô nghiệm)  x2  x   x   x x Với x = 0, phương trình trên được thõa mân Với x  , chia hai vế cho x x ta được:   1           x x x x  x     a  a 1  2a  a   a   a    x         a  1   a  1    a  a * Xét h|m đặc trưng f  t    t  t , t  , có VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN Trang 94