41 bài toán Phương trình và Hệ phương trình hay có lời giải chi tiết

TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN NGỌC HIỂN – CÀ MAU.[r]

Tuyển tập bài

PHƯƠNG TRÌNH,

HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAY

MỘT THỜI ĐỂ NHỚ

Bài 1: Giâi hệ phương trình

2

2

12

12

x y x y y x y

    

 

 



Cách 1:

Thế 2

12

x y x y t phng trỡnh th nhỗt xung phương trình thứ hai cûa hệ, ta

12  12

y   x y hay

2

12 12 12

12 y y

x y

y y

  

     (1)

Thế vào phương trình thứ hai cûa hệ, ta

2

2

12 12

12

y y

y y

y

   

(nhn thỗy y0 khơng nghiệm cûa phương trình)

2

2

144 y 12y 12

y

y y

   

   

   

2

2

12 12 144

y y y

       y y 4y 3

5 x y x y  



 

    

   

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm      x y;  5;3 ; 5;4



Cách 2:

Trường hợp 1: x y

Đặt x y a x y b ta có hệ

 

2 2

12 24

b ab

b a ab

   

Nhn thỗy phng trỡnh th hai cú bc v phng trỡnh th nhỗt có bậc nên ta bình phương hai vế phương trỡnh th nhỗt th vo phng trỡnh th hai

Hệ suy  2  

2 2

6

b ab  ab b a  b b 3a b 2a b a  0

Từ dễ dàng suy nghiệm  x y;

Trường hợp 2: yx

Đặt y x a   x y b ta có hệ

 

2 2

12 12

ab b

ab a b

   



  

4



Cách 3:

Phng trỡnh th nhỗt cỷa h suy 2

12

x y   x y 2  2

12

x y x y

    

2

12 72 12

y y

x

y

  

 



(2) (sau xét y12 khôn thôa mãn hệ phương trình trên)

Từ (2) kết hợp với (1) để tìm y



Bài 2: Giâi phương trình:

 

3

2 3

3

2

x   x  x Cách 1:

Điều kiện để phương trình có nghiệm: 3 1 2 1 3 2

2 x  x   2

3 3

3

2

2x x

    

   

2

2

3 3

3

3

0

2 2

x x

x x

 

 

   

   

 

 

0

x

 

Phương trình tương đương

 

3

2 3

3

2

x   x  x

 3   

4 x x 3x 7x

        

  

     

  

2

2 2

2

3 3

1 63 78 15

0

16 5

x x x x x

x x

x x x x

    

  

  

     

 

     

2

2 2

2

3 3

63 78 15

1

4

16 5

x x x

x

x x

x x x x

 

    

    

  

     

 

 

Đến đåy bän đọc tự giâi



Cách 2:

Xét x2 3  3

3 1 2

2

x   x  x  x

x x

Xét x2, ta có đánh giá

2

3

3

3

4

3

x x

x x

    



    

Suy  

2

3

2

3

1

2

x x

x  x   x      x

Do x1 nên suy 3 1 3 1 3 2

2

x

x   x  x    3x120 x



Bài 3: Giâi phương trình:

  

2

2

1 2

2

x x

x x

x x

     

 

Điều kiện xác định: x 2

Khi phương trình tương đương

     

2

2

1 2

2

x x

x x

x x

 

   

 

   

  

2

2 2

1 2

2

x x x

x x

x x

    

    

 

    

2

2

2

x x

x x

x x

    

 

     

   

 

       

2 2

x  x x x x x 

           

       

2 1

x  x x x x x x 

            

 x 2x 4 x x 1 x 1 x x 1 x x 1

                

    

2 2 1

x x x  x x x x 

            

Chú ý:    

2

2 11

1 2

2

x x x   x x  x x      x

 

Vậy phương trình tương đương 2

2

x

x x

   

 

    

6



Bài 4: Giâi phương trình:

   

5x16 x 1 x  x 20 5 5x9

Điều kiện xác định: x5

Chú ý: 5 16

5

x x

x

   

  (sau xét

16

x khơng nghiệm cûa phương trình)

Phương trình suy

 

1 20

x x   x  x

  

1 20

x x x x x

       

    2

2

1 20

x x x x x

       

  

2

2x 5x x x x 20

      

      

2 x 4x x x x 4x

        

  

4 4

x x x x x x

         

Đến đåy bän đọc tự giâi



Bài 5: Giâi phương trình:

   

2 x2 5x  x1 x  5 7x5

Điều kiện xác định:  5 x 5

Phương trình tương đương

     

2 x2 5x   2 x x   5

       

2

2 1 2

0

5

x x x x x x

x x

     

  

   

   2 21 2

2

5

x x

x x

x x

   

     

   

     

2

2 5

x x

x x x x x

     



      



Xét      

2 5

x x  x x   x kết hợp với phương trình ban đỉu ta có hệ

     

   

2

2

2 5

2 5

x x x x x

x x x x x

       

 

      



Xem

5x x25 hai èn cûa hệ phương trình bc nhỗt hai ốn

n ồy bọn c t giâi



Bài 6: Giâi phương trình:

3 2

1

x   x x   x x

ý thỗy

1

x   x 2x2  x vi mi x nờn ta ỏp dng bỗt đẳng thức AMGM

như sau

   

3

2 2 1 1

6 2

3

x x x x

x   x   x x   x          x 

Từ suy 2

6x  2 x 2 hay x0



Bài 7: Giâi phương trình:

 2  2  2 2  

4x x   x x 5x 1 x  x 2 x4 4

Điều kiện xác định:  

   

2

2

4

1

x x x x x

x x x

      

 

    



Chú ý:  

4x x   x x 5x 1 suy

2

x 

Ta bình phương hai vế cûa phương trình để

 

4 2

2 8

x  x    x x x x     x x x

   

 

2

3

2

8

2

4

x x x x x x x

x x x x x x

 

     

8

 

 

2

3

2

8

2

4

x x

x x x x

x x x x x x

   

 

      

      

 

Chú ý:

2

x  x  x  ;

4x   x 4x x 2     x 1 x2 5x 2x 1 với

x 

Vậy phương trình có nghiệm x0



Bài 8: Giâi hệ phương trình:

 

2

2

2

xy x x x x

xy x x xy

      

 

    



Điều kiện xác định:

2 0 xy x xy x

   

   

 

Nhn thỗy x0 khụng l nghim cỷa h nên hệ tương đương

2

1

2

3

y x

x

y x x y

x x



    

  

 

      

  



Đặt

y a

x

  xb hệ tương đương s 1

3

a b

a b ab

    

 

  

   

2 1 14

3

a b a b

a b ab

     

  

  



(*)

Th a b ab3 lờn phng trỡnh th nhỗt cûa (*) suy ab ab  4 11 ab

Đến đåy bän đọc tự giâi



Câu 9: Giâi hệ phương trình:

      

2

2

4 12 16

1 1

x y y

x y y x x y

   

 

      



Đặt: x a y2 bthì hệ tương đương

      

2

2

4 12 16

1 1

a b b

a b b a a b

   



       



T phng trỡnh th nhỗt cỷa h ta c

2

16 12

4

b b

a   xuống phương trình thứ hai để

256b 192b 32b 148b 139b290 (*)

Chú ý: (*) tương đương 3

256 148 139 29 0

8

b b   b  b  b   b

 

Vậy hệ phương trình vơ nghiệm



Bài 10: Giâi phương trình:

2

2x 4x 4 2x   x

Phương trình tương đương

 2

2 2

2

x  x  x x   x

Chú ý: 2  2 2 2    

2 2

x  x  x        x x x x x  x 

Vậy x0 nghiệm cûa phương trình



Bài 11: Giâi phương trình:

 

3 2

5 14 2 1

x  x  x  x x  x 

Điều kiện:

3 2

5 14

2

x x x

x x

    

 

   

 

3 2

5 14 2 1

x  x  x  x x  x 

 3 

2 14 2

x x x x x x

        

     

2

2

2 3 3 2 3 3 2

2

2

2 14 14

x x

x x

x x x x x x x x

 

    

10

     

2

2

2 3 3

2

2

2 14 14

x x

x x

x x x x x x x x

 

   

     

         

 

 

Đến đåy bän đọc tự giâi



Bài 12: Giâi hệ phương trình:

2

2

78

20 78

15 y x

x y x y

x y

  

 

 

  

 



Hệ tương đương:  

 

3 2

3 2

78 20 78 15

x xy y x y

y x y x x y

    

 

   



Xét x0 y0 không thôa mãn hệ

Nhån phương trình đỉu với x phương trình hai với y để có hệ  

 

4 2 2

4 2 2

78 20 78 15

x x y xy x x y

y x y xy y x y

    

 

   



Trừ vế theo vế:

     

4 2 2 2

20 15 20 15

x y   y x y  x y  x y x y   x3 xy220x215xy0

Ta có hệ:

 

3 2

3 2

20 15

78 20

x xy x xy

x xy y x y

    

 



Lỗy phng trỡnh th hai tr v theo v vi phng trỡnh th nhỗt, ta

2

2xy 15xy78y20y Hay

2xy15x7820y

Vậy cuối ta có hệ:

2

2 15 78 20 20 15

xy x y

x y x y

   



    



Đến đåy bän đọc tự giâi



  

1 x1 2x 2x   1 x x x

Phương trình tương đương

  

1 x1 2x 2x   1 x x x

   

2 1 1

x x x x x x x

       

 

2

2x 2x x x 1

       

   

2

2x 2x x x x x

 

        

 

2

2

3

0

2 1

x x x x

x x

x x x x

   

  

 

   

Đến đåy bän đọc tự giâi



Bài 14: Giâi phương trình:

3

2

4x  6 x  x 7x 12x6

Điều kiện: 12

4

x x x

x

    

  



Phương trình tương đương

3

2

4x  6 x  x 7x 12x6

  3 

2 12 6

x x x x x

        

   

 

3

3

2

2

3 3

7 12 6

2

7 12 12 6

x x x x

x

x x x x x x x x

      

 

   

         

 

 

    

   

2

2

2

3 3 3

2 14 75 144 90

2

7 12 12 6 12 6

x x x x x

x

x x x x x x x x x x x x

    

   

                  

   

 

Đến đåy bän đọc tự giâi



12

2

4 5

x  x  x    x x

Điều kiện:

1

x x   x hay x 1

Phương trình tương đương

2

4 5

x  x  x    x x

   

5 1

x x x x x x

        

   

2

5

0

1

x x x x x

x x

 

   

  

 

2

5

1

1

x

x x

x x

  

    

  

 

Đến đåy bän đọc tự giâi



Bài 16: Giâi phương trình:

3

4 x4x  6 x x  3 24 x2

Điều kiện:

3

4

3 x x x x x

   



   

   

Đặt

4

x x   a x x   3 b

Phương trình tương đương

4 4

2 b a

a b    4  4

3 a b 16 4b a

   

  2 

19 31 49 61

a b a a b ab

     

Vậy ab

Đến đåy bän đọc tự giâi



Bài 17: Giâi phương trình:

 

3 2x 1 2x1 4 4x  1 8x

Điều kiện:

Đặt 2x 1 2x  1 a 2 suy 2

2a 4 4x  1 8x

Phương trình tương đương

3a2a

Đến đåy bän đọc tự giâi



Bài 18: Giâi hệ phương trình:

2

2

x

y x y

y

x x y x y

     



      

Điều kiện:

2

x y

x x y

 

 

  



Xét y0 không nghiệm cûa hệ

Trường hp 1: y0

Phng trỡnh th nhỗt cỷa h trương đương x2 x2

y  y  y  y 2

2

6

x x

y y y y

 

     

 

Trường hợp 2: y0

Phng trỡnh th nhỗt cỷa h trng ng x2 x2

y  y  y  y 2

2

6

x x

y y y y

 

     

 

Đến đåy bän đọc tự giâi



Bài 19: Giâi phương trình:

 

   

2

2

2

8 2 2 3

2

1

x x x x

x x

 

  

 

Phương trình tương đương

 

   

2

2

2

8 2 2 3

2

1

x x x x

x x

 

  

 

  4   

2 x x 4x x 2

         

  3  2 

1 2

x x x x 

          

14



Bài 20: Giâi phương trình:

 3

1

1 2 2

1

x x x x

x

      



Điều kiện: x1

Cách 1:

Phương trình tương đương

 3

1

1 2 2

1

x x x x

x

      



   3

1 1 2

1

x x x x x

x

 

          



 

  1

2 2

1 1

x

x x

x x

  

      

  

 

  1 3 

2 2

1 1

x

x x

x x

   

        

  

  

 

 

   2

3

2 3

2

1 1 2 2 2 2 1

x x

x

x x x x

 

 

 

    

      

 

 

  

   2

3

1

2

1 1 2 2 2 2 1

x x

x x x x

 

 

     

      

 

 

2 x x

   

   

Cách 2:

Phương trình 1

2

1 1

x

x

x x

    

 sau liờn hp lổn th nhỗt cách cịn có hướng

xử lý sau

Phương trình tương đương

3

1

2

1 1

x

x

x x



   

 

1

2

1 1

x

x

x x x



    

   

 

    3 

2 1 1

1 2

2 2 1

x

x

x x x x x

 

 

       

        

       2

3

2

2 3

0

2 2 1 2 2 2 2 1

x x

x x

x x x x x x x

 

 

   

 

            

Đến đåy bän đọc tự giâi



Bài 21: Giâi phương trình:

 2  2 2

2 3 21

3

x x

x

x

  

 



Phương trình tương đương

 2  2 2

2 3 21

3

x x

x

x

  

 



 2 2  2  2

3 21 3

x x x x

      

  3 2  3  2

3 3 2 3

x x x x x x

       

Nhn thỗy x khụng l nghim nên phương trình tương đương

 3  

3

3

1 2

3

x x

x x

    

 

3

3 x

x   

  

3

2

x x 

    

Đến đåy bän đọc tự giâi



Bài 22: Giâi phương trình:

2

1 2 x  9x 18 x x 14x53

Điều kiện:

3 x x

    

Phương trình tương đương

2

1 2 x  9x 18 x x 14x53 (1)

   2 

1 14 53 18

x x x x x

16

  2 19 2

1

14 53 18

x x

x x x x

  

    

    

 

Xét

2

19

1

14 53 18

x

x x x x



 

    

2

14 53 18 19

x x x x x

         (2)

Kết hợp (1) (2) để giâi



Bài 23: Giâi phương trình:

2

1 2 3 1

x x  x x  x x  x 

Điều kiện: x 1

Chú ý:  

1 2 3 1

x x  x x  x x  x x  x   x  x 

Vậy, x 1



Bài 24:Giâi phương trình:

3 2 2

2x  x 4x 1 x 3x 2x 15x 2x

Điều kiện có nghiệm:

2x x 4x 1

x

 

Phương trình tương đương

3 2 2

2x  x 4x 1 x 3x 2x 15x 2x

   

2 2

3 15

x x x x x x x

        

  2

2

1

6

3 15

x x x

x x x x x x

 

     

     

 

Đến đåy bän đọc tự giâi



Bài 25:Giâi hệ phương trình:

   

 

3 3

1

3 1 2

x y y x x y

y x

xy xy

y x x y x x

   

 

  

 

         



3 3    

1

xy x y x y x y

xy xy xy

   



 

  

3

x y

xy xy x y xy xy

   

    



Xét 3xy3 xy  x yxy xy1 tương đương

xy xy 1 2  x y 1 xy xy2

Chú ý 1xy xy2  xy xy1 2  x y  xy xy1 2 24 xy

Suy  4    

1t t 2  t  t 2 t với t xy

Hay  2 2 

1 2

t t t  t  (vô lý)  t

Điều kiện rút từ phương trình thứ hai:

2

1

1

x

x y

 

   



1

0

x y  

   

 , xy1 x y

(không thôa mãn)

Vậy x y xuống ta

3x1 2x 1 1 x 1x2x 1 2x2

 

2x 3x x 2x 2x 1 x

           

  

2x 1 x 2x 2x 1 x 2x 1 x

              

 2x 1 x2x 1 x2x 1

          

Đến đåy bän đọc tự giâi



Bài 26:Giâi phương trình:

2

2 5 4 2 4 1

x  x   x  x Điều kiện:

2 x

   Điều kiện có nghiệm 4 x

Chú ý: 2x 5 42x  2x5  42x 3

Suy

18

Bài 27:Giâi phương trình:

3x1 2x 2 5x7 3x 2 2x4 4x 3

Điều kiện:

x

Đặt f x   3x1 2x 2 5x7 3x 2 2x4 4x3

Xét x4 f x 0

Xét 2 x f x   3x1 2x  2 4 x 4x 3 6 6 160

Xét

2

4 x Ta cú cỏc bỗt ng thức sau

3 2

3 4

3 x x

x x

  

  



 

  



Suy   3 1 5 7 2 4

3

x x

f x  x     x x  x    

     x



Bài 28:Giâi phương trình:

2 6 2 3.3 5

x   x x x

Điều kiện:

2

x 

Phương trình tương đương

2 6 2 3.3 5

x   x x x

   

2

6 3

x x x x x x x

          

      

     

2

2 2

3

3 2

1

2 3

2 5 1 5 1

x x x

x x x x

x x x x

  

 

         

     

   

         

2

2 2

3

3 3 2

0

2 3 5 1 5 1

x x x x x x x

x x x x x

 

         

  

       

Đến đåy bän đọc tự giâi

Bài 29:Giâi hệ phương trình:

2

5

3

10 21

x y x y

x y y

    



  

   



Đặt 2x y a x y b, hệ tương đương

2 2

2

5

3

3 21 2

a b

a b a b

  



  

     



Thế

2

b

a  xuống phương trình thứ hai cûa hệ, ta 10

3

b  b 

Đến đåy bän đọc tự giâi



Bài 30:Giâi hệ phương trình:

 

2

4

2

3

3

2

x x y y

x x x x x

y y y y y

     



           

     

     



Xét y0 không phâi nghim cỷa h, phng trỡnh th nhỗt cỷa h tng đương

2

2

2

1

x x x

y y y y

 

   

   

Hệ tương đương

2

2

4

2

2

1

3

2

x x x

y y y y

x x x x x

y y y y y

       

  

     

       

      

      

Thế phng trỡnh th nhỗt xung ta c

4

6

2

x x x x x

y y y y y y

      

     

     

      (*)

Đặt x x a y y

   

 

 

2

1 b

y   (*) trở thành

2

2

a ab b 

Đến đåy bän đọc tự giâi

20

Bài 31:Giâi hệ phương trình:

    4 2 4 y x x y

x y x y

   

 

   



Hệ tương đương  

  4 2 4 y x x y

x y x y

              

2 4

2

4

9

3

x

x x y x

y

x y x y

                 

2 4

2

2

2 2 4

9

9 4

x

x x y x

y

x y y x y x y

             

Trừ vế theo vế để 4 4 4 2  2 4  4 42

2 4

x

x y x y y x y x y

y       

Hay  4 2 4

1 32 4

 

      

x y x y y x y y    

2

4 4

2 36

 

 x y  y   x y 

Trường hợp 1:

  4 4          x y

x y x y hay x y (vô lý)

Trường hợp 2:

 

3

4

2

3

    

    

y x y

x y x y

   

3

3 4

2

3

   

  

   



y x y

x y y x y x y

3

2

2

3

    

 

 



y x y

x x y x

3

3

2

2

  

  

 



y x y

x xy 3 2 2           x y

Trường hợp 3:

 

3

4

2

3

   



   



y x y

x y x y

3

3

2

2

  

  

 



y x y

x xy

Đặt z x yi, ta suy 3 3 3 3 2       i

x xy x y y i z

Ta có: 10 10 cos sin 

10 10  

 

     

 

i

i i với ;

2         10 cos sin

2  

z  i cos sin

2 3

   

 

    

 

k k

Vậy,

6

6

5

cos

2

5

sin

2

 

 

 

  

  



k x

k y

với k 0,1,



Bài 32:Giâi hệ phương trình:

3 4

7

4

x y

x y x y

   



  



Ta sử dụng đồng bậc để suy  4   3 

7 x y  xy 4x3y

Đến đåy bän đọc tự giâi



Bài 33:Giâi hệ phương trình:

2

2

2

5

4 1

2

2

x x y

x y

y

     



     

Đặt

1

x x  a y2 b suy

2 x a a

  

Hệ tương đương

2

4

1 1

2

a b

a b

a b

   



     

Đến đåy bän đọc tự giâi



Bài 34:Giâi hệ phương trình:

 

2

3 2

1

4 2

x y

x x x x y xy

   



      



Hệ tương đương

 

2

3 2

1

4 2

x y

x x x x y xy

   



      



   

      

2

2

2

1

4 1 1

x y x y

x x x x y x

    

  

      

22

   

     

2

2 2

1

2 1

x y x y

x x x y

    

  

    



   

         

2

2 2 2

1

2 1

x y x y

x x x y x y x y

    



   

       

  



   

     

2

2 2

1

2 1

x y x y

x x x y

    

  

    



1

x y

  



Bài 35:Giâi hệ phương trình:

  

3 2 2

6 6

2

2 2

x y y x

x y

x y y x x y x y x

      

  



           



Đặt x2y 3 a thỡ phng trỡnh th nhỗt cỷa h tng ng a 3a2 4 2a 3 a2 6

Chú ý:

2

2 2

3 8

2

a a

a a   a  a      a a   a  x 2y1

Thế xuống phương trình thứ hai cûa hệ, ta

  

3 2 2

1 2

x   x x   x x   x x  x x 

4 2

2

x x x x x x x x

           

  2 

2 2

3

x x x x x x x x

           

Đặt

1

x   x b, phương trình tương đương

4 2

3

b    b b b      

1

b b b b

       

     

2

1

1

3

b b

b b b

b

 

     

   

3

2

1

1

3

b b b b

b

  

      

 

 

Đến đåy bän đọc tự giâi



Bài 36:Giâi phương trình:

 

2 x1  2x 1

Điều kiện: 0 x 21

Đặt 42x  42z

 

Ta có hệ  

2

2

2

y z

y z

  

 

   

Đến đåy bän đọc tự giâi



Bài 37:Giâi phương trình:

 4 2 2 4

1

4

x x x x

x

x x

     



   

Điều kiện: 2 x

Phương trình tương đương

      

9 16 2 4 11

x x x x x x x x

            

        

2 2 4 14

x x  x x x x x x x x 

                 

Đến đåy bän đọc tự giâi



Bài 38:Giâi phương trình:

1 13

0

5 3

x x

x x

    

   

Đặt x a, d thỗy iu kin l a 3

Phương trình trở thành:

2

1 13

0

5 3

a a

a a

    

   

Ta có

 

 

2

2

2

1 1

1

5

5 3

3 173

2

200

a a

a a a

a a

a a a

a a

a a

a a

a a

       

    

   

      

    



  

 

   

Suy

       

 

2 2

2

2

2 173 13 118 833 1502

1 13 13

5 200 200

5 3

a a a a a a a

a a

a a a a a a

a a

      

        

   

   

Vậy, phương trình vơ nghiệm

24

Bài 39:Giâi hệ phương trình:

2

2

5

2

5

y x

y

x y y y

   

 

     

 

Hệ tương đương

2

2

1

2

5

y x

y

x y y y



  

 

       

Cộng vế theo vế ta  2  

2

x  x  y   y

Đến đåy bän đọc tự giâi



Bài 40:Giâi hệ phương trình:

2

1

4 3

xy xy x

x y x xy xy

    



  



T phng trỡnh th nhỗt cỷa h ta suy

 

1

4

4

3

x

x

y y y

  

       

Phương trình thứ hai cûa hệ tương đương x xy4 x  1 4 3y3 x 1

0 x y

    

 

Bài 41:Giâi phương trình:

2

3 4 8 0

x x x   x Điều kiện: x0

Cách 1: Đặt xa, phương trình tương đương

3

4 2

8

a   a a a  

     

2 2

 a a a   a a a  

      

 

2

2

3 2

3 2

2 2

4

a a a a

a a a

a a a a

  

     

      

 

2

2

3 2

3

2 2

4

a a a

a a a

a a a a

 

 

 

      

   

 

 

Đến đåy bän đọc tự giâi



Cách 2: Phương trình tương đương

2

3 4 8 0

x x x   x

3 2 3

3

2

x

x x  x x x 

         

   

2

3

3

2 2

x x x

x x  x x  x 

          

     

Đến đåy bän đọc tự giâi cách liên hợp