Bài tập trắc nghiệm về Phương pháp quy nạp toán học có lời giải chi tiết

Chúng ta có thể chọn phương án đúng dựa vào một trong hai cách sau đây: Cách 1: Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của n... Đáp án A.[r]

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VỀ PHƢƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC CĨ LỜI GIẢI CHI TIẾT

A LÝ THUYẾT

Để chứng minh mệnh đề liên quan đến số nguyên dương n với n mà thử trực tiếp làm sau:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n1

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n k (gọi giả thiết quy nạp) Bằng kiến thức biết giả thiết quy nạp, chứng minh mệnh đề với n k

B CÁC BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH

Ví dụ Với mối số nguyên dương n , đặt S 12 22  n2 Mệnh đề đúng? A.

( 1)( 2) n n n

S  

B.

( 1)(2 1)

n n n

S   

C.

( 1)(2 1)

n n n

S   

D.

( 1)(2 1)

n n n

S   

Đáp án C

Lời giải

Cách 1: Chúng ta chứng minh phương pháp quy nạp tốn học n *, ta có đẳng thức

2 2 ( 1)(2 1)

1

6

n n n

n  

    

- Bước 1: Với n1 vế trái 12 1, vế phải 1(1 1)(2.1 1)

 

 Vậy đẳng thức với n1

-Bước 2: Giả sử đẳng thức với n k , tức chứng minh

  

2 2 2 ( 1) ( 1) 2( 1) ( 1)( 2)(2 3)

1 ( 1)

6

k k k k k k

k k        

       

Ta phải chứng minh đẳng thức với n k , tức chứng minh

  

2 2 2 ( 1) ( 1) 2( 1) ( 1)( 2)(2 3)

1 ( 1)

6

k k k k k k

k k        

       

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có

2 2 2 ( 1)( 1)(2 1)

1 ( 1) ( 1)

6

k k k

k k    k

        

Mà

2

( 1)( 1)(2 1) ( 1)(2 1) 6( 1) ( 1)( 2)(2 3)

( 1)

6 6

k k k k k k k k k k

k

         

   

Suy

2 2 2 ( 1)( 2)(2 3)

1 ( 1)

6

k k k

k k   

      

Do đẳng thức với n k Suy có điều phải chứng minh

Vậy phương án C

+ Với n1 S 12 (loại phương án B D); + Với n2thì S 12 22 5 (loại phương án A) Vậy phương án C

STUDY TIP

Ngoài kết nêu ví dụ 1, đề cập đến kết tương tự sau: 1) ( 1)

2 n n

n 

   

2)

2

3 3 ( 1)

1

4

n n

n 

   

3)

2

4 4 ( 1)(2 1)(3 1)

1

30

n n n n n

n    

   

4)

2 2

5 5 ( 1) (2 1)

1

12

n n n n

n   

   

5) 1.2.3 2.3.4 ( 1)( 2) ( 1)( 2)( 3)

n n n n

n n n   

     

Nhận xét: Từ ví dụ tập phần nhận xét, ta thấy bậc vế trái nhỏ bậc vế phải đơn vị Lưu ý điều tính tổng dạng luỹ thừa dựa vào phương pháp hệ số bất định Từ kết của ví dụ này, hồn tồn đề xuất câu hỏi trắc nghiệm sau đây:

Câu Với số nguyên ,n đặt S   12 22 n2. Mệnh đề sai? A. 12 3 

6

S  n  n n B.  1 3 1 1 

6

S   n  n  n n

C. 2 13  1 2 1

S   n  n n  n  D.   

2

1

n n n

S   

Câu Với số nguyên dương ,n ta có 2

1 2   n an bn cn, , , a b c số Tính giá trị biểu thức M ab2bc2ca2

A. M 25 B. 25

216

M  C. 25

6

M  D. M 23 Câu Tìm tất số nguyên dương ,n để 12  22 n2 2017

A n18 B n20 C n17 D n19 Câu Tính tổng S tất số nguyên dương ,n thoả mãn 12  22 n2 2018

A S 153 B S 171 C S136 D S190 Ví dụ Đặt Tn  2 2   (có n dấu căn) Mệnh đề mệnh đề đúng?

A Tn  B cos 1

2

n n

T   C cos 1

2

n n

T   D Tn  Đáp án B

Lời giải Ta chứng minh cos 1

2

n n

T   phương pháp quy nạp toán học Thật vậy: Bước 1: Với n1 vế trái 2, vế phải cos 1 1 cos

2

 

  

Bước 2: Giả sử đẳng thức với n k 1, nghĩa cos 1

k k

T  

Ta phải chứng minh đẳng thức với n k 1, tức chứng minh 1 cos 2

k k

T   Thật vậy, Tk1  2Tk nên theo giả thiết quy nạp ta có 1 2 cos 1

2

k k k

T  T   

Mặt khác,

1 2

1 cos cos 2 cos

2k 2k 2k

  

  

 

    

  nên

2

1 2.2 cos 2 cos

2

k k k

T    

Vậy phương án B

STUDY TIP

Ngoài cách làm trên, ta làm theo cách sau: kiểm tra tính – sai phương án đến tìm phương án thơng qua số giá trị cụ thể n

+ Với n1 T1  2 (loại phương án A, C D)

Nhận xét: Từ kết ví dụ 2, đề xuất câu hỏi đây: Câu Đặt Tn  2 2   (có n dấu căn) Tìm n để 2sin511

1024

n

T  

A n10 B n9 C n11 D n8

Câu Cho dãy số  un xác định u1  un1  2un , n * Số hạng tổng quát dãy số  un là:

A 2sin 1

n n

u   B cos 1

2

n n

u  

C cos 1

n n

u   D sin 1

2

n n

u   Ví dụ Đặt 1

1.3 3.5 (2 1)(2 1)

n

S

n n

   

  ,với *

n Mệnh đề đúng?

A. 2(2 1) n n S n  

 B

3 n n S n  

 C n n S

n



 D

2 n n S n   

Đáp án C

Lời giải

Cách 1: Rút gọn biểu thức S dựa vào việc phân tích phần tử đại diện n Với số nguyên dươngk, ta có 1 1

(2k 1)(2k 1) 2k 2k

 

   

     

Do đó: 1 1 1

2 3 2

n S n n                1

2 2

n n n          

Vậy phương án phương án C

Cách 2: Kiểm tra tính – sai phương án dựa vào số giá trị cụ thể n Với n1thì 1 1

1.3

S   (chưa loại phương án nào); Với n2 2 1

1.3 3.5

S    (loại phương án A,B D Vậy phương án phương ánC

sau đây:

Câu Với n * ,biết 1

1.3 3.5 (2 1)(2 1) an b

n n cn



   

   Trong a b c số , ,

nguyên Tính giá trị biểu thức Pa2 b3 c4

A P17 B P10 C P9 D P19 Câu Với n * ,biết 1

1.3 3.5 (2 1)(2 1) an b

n n n c



   

   Trong a b c số , ,

nguyên.Tính giá trị biểu thức   2 2

T  a b c  a b c

A T40 B T 4 C T32 D T 16 Câu Biết

 

2

1 1

1.3 3.5 (2 1)(2 1) an bn c

n n n

 

   

   ,trong *

n , ,a b c số nguyên Tính giá trị biểu thức F a b a c

A F 9 B F6 C F 8 D F 27 Câu Tính tổng S tất số nguyên dương n thỏa mãn bất phương trình

1 1 17

1.33.5 (2n1)(2n1)35

A S 153 B S136 C S272 D S 306

Ví dụ Tìm tất số nguyên dương n cho 2n1n23 n

A. n3 B. n5 C. n6 D. n4 Đáp án D

Lời giải

Kiểm tra tính – sai bất đẳng thức với trường hợp n1, 2,3, 4, ta dự đoán

1

2n n 3 ,n với n4 Ta chứng minh bất đẳng thức phương pháp quy nạp toán học Thật vây:

-Bước 1: Với n4 vế trái

2  2 32, vế phải 423.428 Do 3228 nên bất đẳng thức với n4

-Bước 2: Giả sử đẳng thức với n k 4, nghĩa 2k1k23 k

Ta phải chứng minh bất đẳng thức với n k 1, tức phải chứng minh

 1  2  

2k   k1 3 k1 hay 2k2 k25k4 Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có 2k1k23 k

Suy  

2.2k 2 k 3k hay 2k2 2k26k

Mặt khác   2

2k 6k k 5k4 k   k 4   4 16 với k4 Do  

2k 2 k 3k k 5k4 hay bất đẳng thức với n k Suy bất đẳng thức chứng minh

Vậy phương án D

STUDY TIP Dựa vào kết ví dụ 4, ta đề xuất tốn sau:

A. p3 B. p5 C. p4 D. p7 C BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG

Câu Tổng S góc đa giác lồi n cạnh, n3, là:

A. S n.180 B. S n2 180 

C. S n1 180  D. S n3 180  Câu Với *

n , rút gọn biểu thức S 1.4 2.7 3.10    n3n1

A. S n n 12 B. S n n 22 C. S n n 1 D. S 2n n 1

Câu Kí hiệu   *

! 2.1,

k k k  k Với *

n , đặt Sn 1.1! 2.2!   n n ! Mệnh đề đúng?

A. Sn 2 !n B. Sn n 1 ! 1 C. Sn n1 ! D. Sn n 1 ! 1 Câu Với *

n , đặt Tn  12 22  32  2n 2và Mn 224262   2n Mệnh đề đúng?

A.

2 n n T n M n  

 B.

4 n n T n M n  

 C.

8 1 n n T n M n  

 D.

2 1 n n T n M n    Câu Tìm số nguyên dương p nhỏ để 2n 2n1 với số nguyên n p

A. p5 B. p3 C. p4 D. p2

Câu Tìm tất giá trị n *sao cho 2n n2

A.n5 B. n1 n6 Cn7 D. n1 n5 Câu Với số nguyên dương n , ta có: 1  1 

2.5 5.8 3

an b

n n cn



   

   , a b c, ,

là số nguyên Tính giá trị biểu thức T ab2bc2ca2

A. T 3 B. T 6 C. T43 D. T42

Câu Với số nguyên dương n2, ta có: 1 1 12

4

an n bn

             

      , a b,

số nguyên Tính giá trị biểu thức 2

T a b

A. P5 B. P9 C. P20 D. P36

Câu Biết 13  23 n3an4bn3cn2dn e , n  * Tính giá trị biểu thức M     a b c d e

A. M 4 B. M 1 C.

4

M  D.

2

M  Câu 10 Biết số nguyên dương n , ta có  

1 1

1.2 2.3   n n 1 a n b n c n d

 

2 2

1.2 2.5 3.8    n 3n 1 a n b n c n d Tính giá trị biểu thức

1 2 2

T a a b b c c d d

A. T2 B. T 1 C.

3

M  D.

3

T  Câu 11 Biết 1k2k   nk, n k, số nguyên dương Xét mệnh đề sau:

 

1 n n

S   , 2  2 1

n n n

S    ,  

2 n n

S      

2

1 3

30

n n n n n

S     

Số mệnh đề mệnh đề nói là:

Câu 12 Với n *, ta xét mệnh đề :"7n

P  chia hết cho 2"; Q:"7n5chia hết cho 3" :"7n

Q  chia hết cho 6" Số mệnh đề mệnh đề :

A.3 B. 0 C. D. 2

Câu 13 Xét toán: “Kiểm nghiệm với số nguyên dương n bất đẳng thức n2n1” Một học sinh

trình bày lời giải toán bước sau:

Bước 1: Với n1, ta có: n! 1! 1  2n121 1 201 Vậy

! 2n

n   Bước : Giả sử bất đẳng thức với n k 1, tức ta có

! 2k

k  

Ta cần chứng minh bất đẳng thức với n k 1, nghĩa phải chứng minh k1 ! 2  k Bước : Ta có    

1 ! 1 ! 2.2k 2k

k  k k    Vậy n! 2 n1 với số nguyên dương

n

Chứng minh hay sai, sai sai từ bước ?

A Đúng B Sai từ bước C Sai từ bước D Sai từ bước Câu 14 Biết

  

2

1 1

1.2.3 2.3.4 16

an bn

n n n cn dn



   

    , a b c d, , , n số nguyên dương Tính giá trị biểu thức T a c b d   

là :

A.T 75 B. T364 C. T300 D. T256

D HƢỚNG DẪN GIẢI Câu Đáp án B.

Cách 1: Từ tổng góc tam giác 180 tổng góc từ giác 360, dự đoán Sn2 180 

Cách 2: Thử với trường hợp biết để kiểm nghiệm tính –sai từ cơng thức Cụ thể với n3 S180 (loại phương án A, C D); với n4

360

S   (kiểm nghiệm phương án B lần nữa) Câu Đáp án A.

Để chọn S đúng, dựa vào ba cách sau đây: Cách 1: Kiểm tra tính –sai phương án với giá trị n

Với n1 S1.44 (loại phương án B C); với n2 S1.4 2.7 18  (loại phương án D)

Cách 2: Bằng cách tính S trường hợp n1,S4; n2,S18; n3,S48 ta dự đốn cơng thức  2

1

S n n

Cách 3: Ta tính S dựa vào tổng biết kết 1  1 n n

n 

   

  

2 2

1

6

n n n

n  

    Ta có: S 3 1 222  n2   1 nn n 12 Câu Đáp án B.

Chúng ta chọn phương án dựa vào hai cách sau đây: Cách 1: Kiểm nghiệm phương án giá trị cụ thể n Với n1 S11.1! 1 (Loại phương án A, C, D)

Cách 2: Rút gọn S dựa vào việc phân tích phần tử đại diện n

     

! 1 ! ! ! ! !

2! 1! 3! 2!  ! !  ! 1

n

S       n n  n  Câu Đáp án A.

Chúng ta chọn phương án dựa vào hai cách sau đây: Cách 1: Kiểm nghiệm phương án giá trị cụ thể n Với n1 T1 12 22 5;M122 4nên

1

5

T

M  (loại phương án B, C, D) Cách 2: Chúng ta tính T M dựa vào tổng biết kết Cụ thể dựa vào ví dụ 1: n, n

     

2 2

;

6

n n

n n n n n n

T    M    Suy

2

n n

T n

M n

 

 Câu Đáp án B.

Dễ thấy p2thì bất đẳng thức 2p p

  sai nên loại phương án D Xét với p3 ta thấy 2p

p

  bất đửng thức Bằng phương pháp quy nạp toán học chứng minh 2n

n

  với n3 Vậy p3 số nguyên dương nhỏ cần tìm

Câu Đáp án D

Kiểm tra với n1 ta thấy bất đẳng thức nên loại phương án A C

Kiểm tra với n1 ta thấy bất đẳng thức Bằng phương pháp quy nạp toán học chứng minh 2n n2, n 5

Câu Đáp án B

Cách 1: Với ý  1  1 3k 3k 3k 3k

 

   

     , có:   

1 1 1 1 1

2.5 5.8 3n 3n 5 3n 3n

 

           

     

=1  

3

n n

n  n

Đối chiếu với đẳng thức cho, ta có: a1,b0,c6 Suy 2

6

Tab bc ca 

Cách 2: Cho n1,n2,n3 ta được: 2; 3;

4 10 22

a b a b x b

c c c

     

  

Giải hệ phương trình ta a1,b0,c6 Suy T ab2bc2ca2 6

Câu Đáp án C

Cách 1: Bằng cách phân tích số hạng đại diện, ta có: 1 12 k 1.k

k k k

 

  Suy

2

1 1

1

4 n

                 

1 1 2

2 3 2

n n n n

n n n n

   

  

Đối chiếu với đẳng thức cho ta có: a2,b4 Suy Pa2b2 20 Cách 2: Cho n2,n3 ta 3; 2

4 3

a a

b b

   

Giải hệ phương trình trren ta

2;

Cách 1: Sử dụng kết biết:  

2

2

3 3

1

4

n n n n n

n   

     So sánh cách hệ số, ta 1; 1; 1;

4

a b c d  e

Cách 2: Cho n1,n2,n3,n4,n5, ta hệ phương trình ẩn a b c d e, , , , Giải hệ phương trình đó, ta tìm 1; 1; 1;

4

a b c d  e Suy M      a b c d e Câu 10 Đáp án C

Cách 1: Sử dụng tổng lũy thừa bậc bậc ta có:

+)    2 2   2

1.2 2.3 1

3

n n n n n n n

              

Suy 1 1; 1 1; 1 2; 1

3

a  b  c  d 

+) 1.2 2.5 3.8    n3n 1 1 222  n2   1 nn3n2 Suy a2 b2 1;c2 d2 0

Do 1 2 1 2 1 2 1 2

3

T a a b b c c d d 

Cách 2: Cho n1,n2,n3,n4 sử dụng phương pháp hệ số bất đinh ta tìm

1 1

1

; 1; ;

3

a  b  c  d  ; a2 b2 1;c2 d2 0

Do 1 2 1 2 1 2 1 2

3

T a a b b c c d d  Câu 11 Đáp án D.

Bằng kết biết ví dụ 1, thấy có  

2

3

1 n n

S   sai Câu 12 Đáp án A

Bằng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh 7n5

chia hết cho Thật vậy: Với n1

7  5 12

Giả sử mệnh đề với n k 1, nghĩa 7k5 chia hết ccho Ta chứng minh mệnh đề với n k 1, nghĩa phỉa chứng minh

7k 5 chia hết cho Ta có: 7k1 5 7 k  5 30

Theo giả thiết quy nạp 7k 5

chia hết 7k1 5 7 k  5 30 chia hết cho

Vậy 7n5

chia hết cho với n1 Do mệnh đề P Q Câu 13 Đáp án A

Câu 14 Đáp án C

Phân tích phần tử đại diện, ta có:  1     1 

1 2 1

k k k k k k k

 

   

      

Suy ra: 1  1  1.2.32.3.4 n n1 n2

    

1 1 1 1

2 1.2 2.3 2.3 3.4 n n n n

 

        

  

  

1 1

2 n n

 

   

 

 =

2

2

3

4 12 8 24 16

n n n n

n n n n

  

   

Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sƣ phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dƣỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chƣơng trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia

- - - -