25 bài tập trắc nghiệm về Mặt trụ - Khối trụ Toán 12 có đáp án chi tiết

Câu 23: Chiều cao của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình cầu có bán kính R là.. A..[r]

Trang | 25 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VỀ MẶT TRỤ - KHỐI TRỤ

TỐN 12 CĨ ĐÁP ÁN CHO TIẾT

Câu 1: Một hình trụ có bán kính đáy R có thiết diện qua trục hình vng Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác nội tiếp khối trụ cho

A

4R B

2R C

3R D

R

Hướng dẫn giải:

Giả sử ABCDA B C D' ' ' ' khối lăng trụ tứ giác nội tiếp hình trụ cho Từ giả thiết, suy hình trụ có chiều cao

2

h R đáy ABCD hình vng nội tiếp đường trịn bán kính R

Do 2

2 R AC R AB R Diện tích hình vng ABCD là:

 2

2

ABCD

S  R  R

Vậy thể tích khối lăng trụ cho là: V SABCD.h2R2.2R4R3

Ch n A

Câu 2: Một khối lăng trụ tam giác cạnh đáy ,a góc đường chéo mặt bên mặt đáy

60 Tính thể tích khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ

A

3

V  a B V a3 C

3

V  a D

3

V  a

Hướng dẫn giải:

Xét hình lăng trụ tam giác ' ' '

ABC A B C có cạnh đáy ABa, góc đường chéo A’B với mặt đáy ABC A BA' 60

Suy ra: hAA 'a.tan 600 a Khối trụ ngoại tiếp khối lăng trụ có đường cao A’A, đáy đường trịn ngoại tiếp hai mặt đáy ABC , A B C' ' ',

A

O'

O

B

D D'

C A'

C'

B'

a A'

C B

A

Trang | có bán kính R cho

3 a

R   a R

Thể tích khối trụ:

2

3

3

a

V R h  a  a

  (đvdt)

Ch n A

Câu 3: Một khối lăng trụ tam giác có cạnh đáy a chiều cao h nội tiếp khối trụ Tính thể tích khối trụ

A

2 a h 

B

2

3 a h 

C

2

3 a h 

D

2

a h 

Hướng dẫn giải:

Hình trụ có đáy đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Do ABC tam giác cạnh a nên hình trụ có bán kính là:

2 3

3 3

a a

ROA AM  

với M  AOBC

Chiều cao hình trụ chiều cao lăng trụ h

Vậy thể tích khối trụ là:

2

2

3

a a h

V R h  h

 

Ch n A

Câu 4: Cho hình trụ có đáy hai hình trịn tâm O O’, bán kính đáy chiều cao a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, đường đáy tâm O’ lấy điểm B cho AB2 a Tính thể tích khối tứ diện OO'AB

A

3 12 a

B

3 12 a

C

3

5

12 a

D

3 a

Hướng dẫn giải:

Kẻ đường sinh AA’ Gọi D điểm đối xúng A’ qua O’ H hình chiếu vng góc B đường thẳng ’ A D

O' M'

M C'

A'

B B'

A C

Trang |

 

'

' '

BH A D

BH AOOA

BH AA

 

 

 



Do đó, BH chiều cao tứ diện OO'AB Thể tích khối tứ diện OO ' : ' AOO AB V  S BH

Tam giác AA B' vuông A’ cho: A B'  AB2A A'  4a2a2 a Tam giác A B'  A D' 2A B'  4a23a2 a

Suy BO D' tam giác cạnh a

Từ

2 a BH 

Do OAOO'=a nên tam giác AOO' vng cân O

Diện tích tam giác AOO' là:

2 '

1

.OO'=

2

AOO

S  OA a

Vậy

3

1 3

3 2 12

a a

V  a 

Ch n A

Câu 5: Một hình trụ có thiết diện qua trục hình vng Bên hình trụ có hình lăng trụ tứ giác nội tiếp Nếu thể tích hình lăng trụ V thể tích hình trụ bao nhiêu?

A

2

Tru

V

V  B

3

Tru

V

V  C

4

Tru

V

V  D

5

Tru

V V 

Hướng dẫn giải:

Gọi cạnh đáy lăng trụ a

Thiết diện qua hình trụ hình vng

DD' ' : 2 '

B B BD Ra BB a

Thể tích lăng trụ V

2

2 V

a a V a

   

Thể tích hình trụ tính theo a:

3

2

2

tru

a a

V   a 

 

a 2a

H

O O'

A

A' D

B

O'

O D'

C'

B' A'

A B

Trang |

Thay :

2

2 tru

V V V

a  V  

Ch n A

Câu 6: Cho hình nón có độ dài đường kính đáy 2R, độ dài đường sinh R 17 hình trụ có chiều cao đường kính đáy 2R, lồng vào hình vẽ

Tính thể tích phần khối trụ khơng giao với khối nón

A

12R B

3R C

3R D

3 6R

Hướng dẫn giải: Ch n D

Ta có

2 2

17 ,

2 R SI  SB IB  R R  RSE R EF Thể tích khối nón lớn (có đường cao SI)

2

1

1

.4 R

3

V  R  R

Thể tích khối nón nhỏ (có đường cao SE)

3

1

.2

3

R

V     R R  

Thể tích phần khối giao giữ khối nón khối trụ 3 2

7 V  V V V  R Thể tích khối trụ là V4 R2.2R2R3

Vậy thể tích phần khối trụ khơng giao với khối nón 4 3 V V V  R

Trang |

B 14 8

K

N

A A V(H) 192

B V(H) 275

C V(H)704

D V(H) 176

Hướng dẫn giải:

Ch n D

Đường kính đáy khối trụ 2 10 6 8 Bán kính đáy khối trụ R4

Thể tích khối trụ H1 V1.R h2.1 .4 1282   Thể tích khối trụ H2 V2 .R h2 2 .4 62 96 Thể tích H 1 2 128 1.96 176

2

V  V V      

Câu 8: Cắt khối trụ mặt phẳng ta khối  H hình vẽ biết thiết diện elip có độ dài trục lớn 10 , khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần mặt đáy điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy tới mặt đáy 14 Tính thể tích  H

A V H 275 B V H 176

C V H 192 D V H 704

Trang | Dùng mặt phẳng qua N vuông góc với trục hình  H cắt hình  H thành phần tích Vtren, Vduoi

Ta có 2

8 day tru duoi 128

MN  NK KM  R  V  R h 

Phần phía tích nửa hình trụ có 4, 16.6 48

tren

R h V    

Vậy V H 128 48 176

Câu 9: Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi O’, O tâm hai hình vng ABCD ' ' ' '

A B C D O O' a Gọi V1 thể tích hình trụ trịn xoay đáy hai đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD A B C D, ' ' ' ' V2 thể tích hình nón trịn xoay đỉnh O’ đáy

đường trịn nội tiếp hình vng ABCD Tỉ số thể tích V V là:

A 2 B 3 C 4 D 6

Hướng dẫn giải:

Gọi M trung điểm AB tam giác OAM vuông cân M

1

2

;

2

R OA R OM 

2

1

2

2

3 :

1 2 4

V R h

V R h

 

   

       

 

Ch n D

Câu 10: Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ', đáy ABC tam giác có AB5,AC8 góc   , 60 AB AC  Gọi V V, ' thể tích khối lăng trụ ngoại tiếp nội tiếp khối lăng trụ cho Tính

tỉ số V'? V

R1

R2

M O

B B

Trang |

A

49 B

9

4 C

19

49 D

29 49

Hướng dẫn giải:

Áp dụng đinh lý cosin tam giác ABC ta c

2 2

2 os60 25 64 2.5.8 49

BC  AB AC  AB AC c    

Diện tích tam giác ABC là:

0

1

.sin 60 5.8 10

2 2

S  AB AC  

Mặt khác:

,

ABC

AB AC BC S

R

 với R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC 5.8.7

ABC 4.10 3 AB AC BC

R

S

   

Ngoài ra: SABC  pr, 1  10

p ABBCAC  r bán kính đường trịn nội

tiếp tam giác ABC 10 3

10

ABC

S r

p

   

Hình trụ ngoại tiếp nội tiếp lăng trụ cho có bán kính đáy R r, có chiều cao chiều cao hình lăng trụ

Giả sử h chiều cao hình lăng trụ, ta có: V R h2 V r h2 Vậy '

49 V

V 

Ch n A

Câu 11: Cho khối trụ có bán kính đáy ra chiều cao h2a Mặt phẳng ( )P song song với trục OO' khối trụ chia khối trụ thành phần, gọi V1 thể tích phần khối trụ chứa trục

'

OO , V2 thể tích phần cịn lại khối trụ Tính tỉ số V

V , biết ( )P cách OO'

khoảng 2 a

A 3

2  



 B

3 2  



 C

2

2  



 D

2  

  Hướng dẫn giải:

Thể tích khối trụ V r h2 a2.2a2a3 Gọi thiết diện hình chữ nhật ABB A' '

8

5 600

C

B O

O'

A A'

C'

Trang | Dựng lăng trụ ABCD A B C D ’ ’ ’ ’ hình vẽ

Gọi H trung điểm AB

Ta có OH ABOH(ABB A' ')  2 a OH 



2 a

AH BH  OH

OAB vng cân O  ABCD hình vng Từ suy ra:

   

2 ' ' ' '

1 ( 2)

2 ( 2)

4 ABCD A B C D a

V  V V  a  a a  

3

3

1

( 2) (3 2)

2

a a

V  V V  a      Suy

3

2 V

V  

 



Ch n A

Câu 12: Cho hình trụ có bán kính đáy R5, chiều cao h6 Một đoạn thẳng AB có độ dài 10 có hai đầu mút nằm hai đường trịn đáy Tính khoảng cách đường thẳng AB trục hình trụ?

A 3 B 4 C 2 D 1

Hướng dẫn giải:

Gọi hai đường tròn đáy    O , O'

 ,  '

A O B O Kẻ hai đường sinh ,

AD BC ta tứ giác ABCD

hình chữ nhật mp ABCD / /OO' Do đó, khoảng cách OO’ AB khoảng cách từ O đến mp ABCD  Tam giác ACB vng C nên ta có:

2 2

10

AC AB BC   

Gọi I trung điểm AC, ta có:

 

OI AC

OI ABCD

OI AD

 

 

 



Vậy khoảng cách đường thẳng AB trục OO’ hình trụ là:

2 2

5

OI  OA IA   

Ch n B

I B

D

O O'

Trang |

Câu 13: Một hình trụ có bán kính đáy 50cm có chiều cao 50cm Một đoạn thẳng AB có chiều dài 100cm có hai đầu mút nằm hai đường trịn đáy Tính khoảng cách d từ đoạn thẳng đến trục hình trụ

A d50cm B d 50 3cm C d25cm D d 25 3cm

Hướng dẫn giải:

Kẻ AA1 vng góc với đáy, A1 thuộc đáy Suy ra:

         

1/ / 1/ / 1, 1, 1,

OO AA OO AA B d OO AB d OO AA B d O AA B

Tiếp tục kẻ O H1  A B1 H, O1H nằm đáy nên

cũng vng góc với A1A suy ra:

 

1

O H  AA B Do

 1,   1,   1, 

d OO AB d OO AA B d O AA B O H

Xét tam giác vng AA B1 ta có 2

1 50

A B AB AA 

Vậy O H1  O A1 12A H1 25cm

Ch n C

Câu 14: Cho hình trụ có bán kính đáy R chiều cao R lấy hai điểm A, B nằm hai đường tròn đáy cho AB2 R Tính khoảng cách từ AB đến hình trụ theo R

A

2 R

B

3 R

C

5 R

D

4 R

Hướng dẫn giải:

Giả sử A đường tròn O, B O ' Từ A vẽ đường song song OO’ cắt đường tròn  O' A’

Vẽ O’H vng góc ’ A B

Từ H vẽ đường thẳng song song với OO’, cắt AB K Vẽ KI / / 'O H

Ta có: O H' A B' AA ' nên:

 

' ' '

O H mp AA B O H HK AB Vậy tứ giác KIO H' hình chữ

nhật KI OO'

Vậy KI đoạn vng góc chung

H O

A

A1

B

O1

K I

I

K A

O' O

A'

Trang | 10 AB OO'.AA B' vuông

2 2 2

' '

A B AB AA R R R

     

Do H trung điểm A’B nên:

2

2 2

3

' ' ' ' ' '

2 4

R R R

HA  O A HO H O A A H R  

Do đó:  , OO ' ' R d AB KI O H 

Ch n A

Câu 15: Cho AA B B' ' thiết diện song song với trục OO’ hình trụ (A, B thuộc đường tròn tâm O) Cho biết AB4, AA'=3 thể tích hình trụ V 24  Khoảng cách d từ O đến mặt phẳng AA ' 'B B là:

A d 1 B d 2 C d 3 D d 4

Hướng dẫn giải:

Kẻ OH AB OH AA B B' ' 

Và

2 AH  AB

Ta có V .OA AA2 '3OA2

Mà

24

V  OA 

 

 

2 2

: 4

, AA'B'B

OAH d OH OA AH

d O d

      

  

Ch n B

Câu 16: Cho hình trụ có hai đáy hai đường tròn  O  O , chiều cao 2R bán kính đáy R Một mặt phẳng   qua trung điểm OO tạo với OO góc 30,   cắt đường trịn đáy theo dây cung Tính độ dài dây cung theo R

A

3 R

B 2

3 R

C 2

3 R

D 2

3 R

Hướng dẫn giải: Ch n B

Dựng OHABABOIH  OIH  IAB IH

 hình chiếu OI lên IAB Theo ta OIH  30

H B' A'

O O'

Trang | 11 Xét tam giác vuông OIH vuông O tan 30

3 R

OH OI

   

Xét tam giác OHA vuông H 2 6

3

R R

AH OA OH AB

     

Câu 17: Cho hình trụ có bán kính đáy R có chiều cao R Hai điểm , A B nằm hai đường tròn đáy cho góc AB trục hình trụ 30 Khoảng cách AB trục hình trụ bằng:

A R B R C

2 R

D

4 R

Hướng dẫn giải:

Từ hình vẽ kết hợp với giả thiết, ta có OA O B ' R Gọi AA' đường sinh hình trụ

' ' , '

O A R AA R BAA'300 Vì OO' ABA' nên

     

', ', ' ', '

d OO AB d OO ABA d O ABA  Gọi H trung điểm A B' , suy

 

' '

' '

' '

O H A B

O H ABA

O H AA

 

 



  nên d O ',ABA'O H' Tam giác ABA' vuông A' nên BA'AA' tan 300 R Suy tam giác A BO' ' có cạnh R nên '

2 R O H 

Ch n C

Câu 18: Cho mặt cầu bán kính Một hình trụ có chiều cao bán kính đáy thay đổi nội

tiếp mặt cầu Tính chiều cao theo bán kính cho diện tích xung quanh hình trụ lớn

A B C D

Hướng dẫn giải: Ch n A

Ta có .

Diện tích xung quanh hình trụ

 S R h r

h R

2

hR hR

2 R

h

2 R h

2 2

; ,

Trang | 12 ,

(dùng BĐT )

Vậy

Câu 19: Cho hình trụ có chiều caoh2,bán kính đáyr3.Một mặt phẳng P khơng vng góc với đáy hình trụ, lượt cắt hai đáy theo đoạn giao tuyến AB vàCD choABCD hình vng Tính diện tíchS hình vngABCD

A S 12  B S 12 C S 20 D S 20 

Hướng dẫn giải:

Kẻ đường sinh BB’ hình trụ Đặt độ dài cạnh hình vng ABCD x, x > 0

Do ' '

'

CD BC

CD B C B CD

CD BB

 

   

 

 vuông C Khi đó, B’D là đường kính đường

Trịn  O' Xét B CD' vuông C

2 2 2

' ' (1)

B D CD CB r x CB

     

Xét tam giác BB'C vuông B

2 2 2

' ' ' (2)

BC BB CB x h CB

     

Từ (1) (2)

2 2

20

r h

x 

  

Suy diện tích hình vng ABCD S 20

Câu 20: Một hình trụ tích V khơng đổi Tính mối quan hệ bán kính đáy chiều cao hình trụ cho diện tích tồn phần đạt giá trị nhỏ

A

2 h

R B

3 h

R C

5 h

R D

4 h R

Hướng dẫn giải:

Gọi R h bán kính đáy chiều cao hình trụ Ta có: V R h2 (khơng đổi)

 

2

day

2 2

tp xq

S S  S  Rh R  RhR  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương,

2 2

2

2

2

h R h

S  rhh R h   

2 2

a b

ab 

2 2

max

S  R h  R h  h R

h

R O

Trang | 13

Ta có: 33 . .

2 2

Rh Rh Rh Rh

R R

  

4 2

2 3 3

2

3

4

R h V

Rh R



   

 3 2

4

tp

V

S 



  (hằng số)

Do đó: S tồn phần đạt giá trị nhỏ

2

Rh h

R R

   

Ch n A

Câu 21: Trong số khối trụ tích V, khối trụ có diện tích tồn phần bé có bán kính đáy

A

2 V R



 B R

V 

 C R

V 

 D R V

 

Hướng dẫn giải:

2

2

V

V R h l h

R 



    , STP SXq 2Sd Rl R2 2V R2

R

  

     

Xét hàm số f R( ) 2V R2

R 

  với R>0,

3

3

2

'( ) , '( )

2

V R V

f R f R R

R 



 

   

Bảng biến thiên

R

V

 + ,

( )

f R + -

( )

f R  

Từ bảng biến thiên ta thấy diện tích tồn phần nhỏ

V R

 

Ch n A

Câu 22: Trong số hình trụ có diện tích tồn phần S bán kính R chiều cao h khối trụ tích lớn là:

A ;

2 2

S S

R h

 

  B ;

4

S S

R h

 

Trang | 14

C ;

3

S S

R h

 

  D ;

6

S S

R h

 

 

Hướng dẫn giải:

Gọi thể tích khối trụ V , diện tích tồn phần hình trụ S Ta có: S S2daySxq 2R22Rh Từ suy ra:

2

2 2 3

2

2 2

Cauchy

S S V V V V

R Rh R R

R R R

             

hay

3

2

2 27

4 54

V S S

V

  

 

   

 

Vậy

3 max

54 S V



 Dấu “=” xảy 

2

2 2

V R h Rh

R

R R



 

   hay h2R

Khi

6

6 S

S R R



   2

6 S

h R



 

Ch n D

Câu 23: Chiều cao khối trụ tích lớn nội tiếp hình cầu có bán kính R

A R B

3 R

C 4

3 R

D 2

3 R

Hướng dẫn giải:

Giả sử 2x chiều cao hình trụ (0 x R) (xem hình vẽ)

Bán kính khối trụ 2

r R x Thể tích khối trụ là:

2

( )2

V  R x x Xét hàm số 2

( ) ( )2 ,

V x  R x x  x R

Ta có : '( ) ( 2) 3 R

V x   R  x   x

Trang | 15 Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn chiều cao

khối trụ 3 R

;

3 max

4

9 R

V  

Câu 24: Cho hình cầu tâm O, đường kính 2R hình trụ trịn xoay nội tiếp

trong hình cầu Hãy tìm kích thước hình trụ tích đạt giá trị lớn

A

3 R

r B

3 R

r C

3 R

r D

3 R r

Hướng dẫn giải:

1Gọi h r chiều cao bán kính đáy hình trụ Bài tốn quy

về việc tính h r phụ thuộc theo R hình chữ nhật ABCD nội tiếp hình trịn (O, R) thay đổi

V r hđạt giá trị lớn Ta có: AC2 AB2BC24R24r2h2

 

2

2

1

0

4

3

'

4

V R h h h R h h R

R

V h R h

 



   

         

   

 

     

 

Vậy

max

4

3

9

R V V  R  h

Lúc

2

2

4 3

R R R

r R    r

Ch n A

Câu 25: Cho hình vẽ bên Tam giác SOA vng O có MN/ /SO với M N, nằm cạnh SA, OA Đặt SOh khơng đổi Khi quay hình vẽ quanh SO tạo thành hình trụ nội tiếp hình nón đỉnh S có đáy hình trịn tâm O bán kính ROA Tìm độ dài MN để thể tích khối trụ lớn

A

2 h

MN  B

3 h

MN  C

4 h

MN  D

6 h MN 

Hướng dẫn giải:

S

M

A

Trang | 16 Ta thấy quay quanh trục SO tạo nên khối trụ nằm khối chóp Khi thiết diện qua trục hình trụ hình chữ nhật MNPQ Ta có hình sau:

Ta có SOh; OAR Khi đặt OI MNx

Theo định lí Thales ta có IM SI IM OA SI R h. x

OA SO SO h



   

Thể tích khối trụ  

2

2

2

R

V IM IH x h x

h  

  

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

   

3 2

2

3

x h x

x hx     

 

Vậy

2

27 R h

V   Dấu '''' xảy h x Hay

3 h MN 

Ch n B

A O

S

M Q

P N

B

Trang | 17 Website HOC247 cung cấp môi trường h c trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng

xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II. Khoá H c Nâng Cao HSG

- Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS

THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số H c, Giải Tích, Hình H c và Tổ Hợp

dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III. Kênh h c tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia